322 PONTIFICIAE ACADEMIAE SCIENTIARVM SCRIPTA VARIA - 23 
la consommation initiale C,. Nous allons en effet obtenir une 
propriété assez analogue. Pour en préciser le sens, posons 
d’abord la définition suivante - 
Définition 2. Un programme est dit « régulier » s’il est pos- 
sible et s’il satisfait les équations de récurrence définies par la 
condition d’équilibre (7) et les égalités (22). Un programme est 
dit « régulier maximal » s’il est régulier et si aucun programme 
régulier ne donne une valeur plus forte à Co 
Posons également les deux conditions suivantes: 
Condition r. Le programme @ satisfait la condition 1 si 
U’;c.>>0 pour tout # et s’il existe un nombre k plus grand que I 
tel que, au moins à partir d’une certaine valeur de £- 
(23) 
+ —— I 
: > hk > 
(1 fix) S,.1 = 
Condition 2. Etant donné deux programmes réguliers quel- 
conques #! et #?, l’inégalité C! > C2? implique S! < S2 pour 
tout ?. 
Etablissons le résultat suivant: 
Proposition 1. Un programme régulier Æ qui satisfait la 
condition 1 est optimal. 
Supposons en effet qu’il n’en soit pas ainsi. Il doit exister 
une valeur T et un programme possible +5 Æ tel que 5, 
soit positif et que à U, ne soit négatif pour aucun ¢# > T. En 
vertu des égalités (22), de l’inégalité (ar) et du fait que U's 
ne peut être négatif, &'Ur ne peut être positif que si à Sy est 
négatif. 
Par ailleurs, l’inégalité (16) implique: 
(24) 
U. à C,+U/,, à N, > o pour tout ¢ > 1 
"51 Malinvaud - pag. 22