Grundzüge der Theorie der Statistik

Bibliographic data

Monograph

Identifikator:: 1782637850

URN:: urn:nbn:de:zbw-retromon-178813

Document type:: Monograph

Author:: Westergaard, Harald http://d-nb.info/gnd/117574163; Nybølle, Hans Cl. http://d-nb.info/gnd/127386696

Title:: Grundzüge der Theorie der Statistik

Edition:: 2., völlig umgearb. Aufl.

Place of publication:: Jena

Publisher:: G. Fischer

Year of publication:: 1928

Scope:: 640 Seiten

Digitisation:: 2022

Collection:: Economics Books

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— 628 Wenn man speziell die zur Zeit t geborenen f(o,t)dt Personen betrachtet, dann werden f(x,t + x)dt von diesen das Alter x erreichen, so daß die Gleichung _ f(x,t + x) 1(x,t) = "oO angibt, wie die zur Zeit t Geborenen aussterben, d. h. daß sie die Generations- tafel (vgl. 8 301) für die zur Zeit t Geborenen darstellt. Bezeichnet man die Verteilung der Sterbefälle nach dem Todesalter x: und dem Todeszeitpunkt t mit © (x,t), So daß t X fat f wtdx 1 1 die Zahl der in der Zeit von t, bis t, und im Alter von x, bis x, eingetroffenen Sterbefälle angibt, dann muß, wenn keine Wanderungen stattfinden, q(x,t) durch f(x,t) bestimmt sein. Den Zusammenhang zwischen @ und f findet man un- mittelbar dadurch, daß man sowohl zu x wie t den unendlich kleinen Wert dx = dt hinzusetzt, womit die Zahl der zur Zeit t im Alter x anwesenden Per- sonen, deren Anzahl gleich f(x,t) dx ist, sich in öf öÖf (f(x,t) + 5x dt + 37 I) dx verändert, so daß im Laufe des Zeitelements dt öf , öf pz,dxdt = — (+) dxdt gestorben sind. Kennt man also f(x,t), dann wird t, ll x, — öf — öf J dt x, ( öxX 5) dx die Zahl der Sterbefälle angeben, die in der Zeit von t, bis t, im Alter von x, bis x, eintreffen (eine A-Gruppe von Toten, vgl. $ 293). Analog wird t, [ACT J. dt z al die Anzahl der Sterbefälle angeben, die in der Zeit von t, bis t, unter den in der Zeit von t,—x; bis t,—x, Geborenen eintreffen (eine B-Gruppe von Toten) und x, t— x, +x SL ax x +37 E0dt die Zahl der Sterbefälle angeben, die im Alter von x, bis x, unter den in der Zeit von t,—x, bis t,—x, Geborenen eintreffen (eine C-Gruppe von Toten). Der im 8 295 erwähnte Satz, daß der Unterschied zwischen der Anzahl von Individuenlinien, die hinsichtlich einer willkürlichen konvexen Gruppe von Toten „eintreten“ und „austreten“, gleich der Zahl der Sterbepunkte der Gruppe ist, ließe sich jetzt direkt mit Hilfe obiger Ausdrücke nachweisen. Da jedoch die zwischen f£f und © gefundene Relation nichts anderes besagt, als daß der hier er- wähnte Satz für jedes der unendlich kleinen Flächenelemente gilt, in die man sich jede Gruppe von Toten aufgelöst denken kann, so wird solch näherer Nachweis überflüssig sein. Man kann nun auch den summarischen Sterblichkeitsquotienten bestimmen, z. B. für Personen, die in der Zeit von t, bis t, im Alter von x, bis x, gestorben sind. Da die Anzahl von Sterbefällen in der Zeiteinheit gleich

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