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Die Differenz zwischen m,2 - mo und m? wird also aus Gliedern 
zusammengesetzt werden können, welche alle die Form 
P; P; (ai b; — a: bj)? haben, 
und da keins dieser Glieder negativ werden kann, muß 
Moog * Mo — m? =0 
sein. 
Es wäre denkbar, daß alle Glieder P; P; (ai bj — a; bi)? gleich 
Null würden, also r? = 1 wäre. Dies kann indes nur dann ge- 
schehen, wenn sämtliche Abweichungen a; und b; proportional 
sind, also wenn 
yYıi— tt =K- (zi— s;) 
ist, und es würde dann einem gegebenen Werte von x; von x nur 
ein Wert von y, nämlich yı=t; + Kk (x; — sı) entsprechen, und 
die durch x; bedingte Wahrscheinlichkeit, y; zu erhalten, müßte 
dann 1 sein; hieraus folgt wiederum, daß die Wahrscheinlichkeit, 
x; und yı=-t, +Kk (xi —s,) (die marginalen Verteilungen) zu er- 
halten, dieselbe sein muß, und daß es sich nicht länger um Größen, 
welche im eigentlichen Sinne korreliert sind, sondern um lineär 
voneinander abhängige Größen handelt. 
Es ist der Mühe wert zu bemerken, daß wir bereits im Vorher- 
zehenden ($ 124) von diesem speziellen Falle Gebrauch gemacht 
haben, indem wir bemerkten, daß das Verteilungsgesetz für die 
Größen x + Kk und c-x und damit auch für cx -+ k dasselbe wie 
für x sein müsse. Für solche lineär voneinander abhängige Größen 
wird der Korrelationskoeffizient + 1 sein, je nachdem c positiv 
der negativ ist. Da die Bedingung dafür, daß r? = 1, nach dem 
Vorhergehenden auch notwendig ist, wird der numerische Wert von 
Korrelationskoeffizienten für Größen, welche zwar direkt, jedoch 
nicht lineär voneinander abhängig sind, nicht gleich 1 werden können. 
Als Beispiel solcher Größen können die zufällig variierende Größe x 
und die im Vorhergehenden betrachteten Potenzen der Abweichungen 
X — 8,)* erwähnt werden, welche Größen direkt voneinander ab- 
hängig sind und dasselbe Verteilungsgesetz haben, deren ent- 
sprechender Korrelationskoeffizient jedoch numerisch kleiner als 1 
werden muß. Daß der Korrelationskoeffizient kleiner als 1 ist, 
schließt also aus, daß x und y lineär abhängig sind, nicht aber, daß 
sie in anderer Weise direkt voneinander abhängig sein können. 
142. Hinsichtlich des Korrelationskoeffizienten gilt ferner, daß 
er gleich Null wird, wenn x und y unkorreliert sind; 
unter dieser Voraussetzung kann man nämlich beweisen. daß