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Es ist jedoch viel leichter, zuerst aus der Tabelle 22 teils die 
Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Anzahl innerhalb des Maximal- 
abstandes a = 29,5 fällt, welches x = 0,983 und P, = 0,674 er- 
gibt, teils die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Zahl innerhalb des 
Maximalabstandes a = 30,5 fällt, was wie oben erwähnt x — 1,017 
und P, = 0,691 gibt, zu bestimmen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit 
ist dann die Hälfte des Unterschieds P, — P,, d. h. 0,008. 
116. Es ist klar, daß man, wenn sich die hier gewonnenen 
Resultate (speziell Tabelle 22) auf ein statistisches Material anwenden 
lassen, ein sehr einfaches Mittel zur Hand hat zu entscheiden, ob 
festgestellte Unterschiede etwa besonderen — nicht zufälligen — 
Ursachen zuzuschreiben sind oder nicht. Da sich die Abweichungen, 
welche — im gegenwärtigen Sinne — zufälligen Ursachen zugeschrieben 
werden können, äußerst selten auf mehr als das Drei- oder das Vier- 
fache des mittleren Fehlers belaufen werden, ist es höchst wahr- 
scheinlich, daß Abweichungen, wenn sie diese Größe erreichen — oder 
darüber hinausreichen —, dem Umstande zu verdanken sind, daß 
sich die wirkenden Ursachen verändert haben und daß man bei Wieder- 
holung der Versuche aufs neue eine „große“ Abweichung in gleicher 
Richtung feststellen wird. Und jeder Schluß, welcher auf Ab- 
weichungen fußt, die kleiner sind als das Drei- oder Vierfache des 
mittleren Fehlers, muß im allgemeinen als unzulänglich begründet 
abgewiesen werden können. Natürlich muß zuerst eine eingehendere 
Untersuchung zeigen, ob das Exponentialgesetz mit den Erfahrungen 
aus der Sozial- und Wirtschaftsstatistik übereinstimmt. Für solche 
Untersuchungen ist es von Bedeutung, über noch mehr Sätze der 
Wahrscheinlichkeitslehre verfügen zu können; solche Sätze werden 
daher im folgenden behandelt werden. 
Aufgabe 16. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einem 
Wurf mit 64 Münzen die Anzahl Münzen, welche Avers zeigen, höchstens 10 von 
dem erwarteten Ergebnis abweicht? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, 
daß mehr als erwartet Avers ergeben? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit da- 
für, daß wenigstens 40 Avers zeigen ? 
Aufgabe 17. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einem 
Wurf mit 180 Würfeln wenigstens 40 dieser eine Sechs ergeben ? 
Aufgabe 18. Verteile 1000 Abweichungen nach einem Exponentialgesetz 
mit einem mittleren Fehler von erstens 2, zweitens 5, 
Aufgabe 19. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einem 
Wurf mit 3 Würfeln wenigstens einer eine Sechs ergibt? Wenn dies eintrifft, ge 
winnt A, sonst B. A und B setzen jedesmal 10 Pfennig, und der Gewinner er- 
hält den ganzen Einsatz. Mit welchem Verlust muß A im Laufe von 60 Spielen 
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