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setzung hinsichtlich der Form des Verteilungsgesetzes kleiner als 
lie in der Kolonne a aufgezeichneten Zahlen hätten ausfallen können. 
Aufgabe 27. Eine Zahl nehme mit der gleichen Wahrscheinlichkeit jeden 
der Werte 1, 2, 3... 98, 99 (sämtliche ganzen Zahlen von 1 bis 99) und keine 
anderen an. Finde die Erwartung und die Streuung. Zur Erleichterung der Be- 
, . n(n+1)(2n+1) 
rechnung sei bemerkt, daß die Summe der n ersten Quadratzahlen ——— - 
ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, welches weniger von 
der Erwartung als das 1l}fache der Dispersion abweicht? 
130. Es ist zu bemerken, daß man nach dem oben Entwickelten 
notwendigerweise das Verteilungsgesetz kennen muß, um die Größe 
der Erwartung und der Streuung berechnen zu können; auf der 
ınderen Seite ist eine solche Kenntnis auch ausreichend. Wenn das 
Verteilungsgesetz speziell binomial (oder exponential) und mit be- 
kanntem n und p gegeben ist, erhält man, wie im $ 128 erwähnt, 
sofort, ohne erst die Momente zu berechnen. 
E (x) = sı = np 
ınd 
u = Ynpq 
Dagegen kann man nicht, wenn s, und w durch die Momente 
vgl. $ 153) eines numerisch gegebenen Verteilungsgesetzes bestimmt 
sind, n und p aus diesen Gleichungen berechnen, selbst dann nicht, 
wenn es gegeben ist, daß die einer Reihe äquidistanter Werte von 
& entsprechenden Wahrscheinlichkeiten binomial sind; denn die im 
Binomialgesetz „r günstigen Ereignissen unter n Begebenheiten“ ent- 
sprechende Wahrscheinlichkeit 
N 
(2) pa 
braucht nicht mit Notwendigkeit für x = r gegeben zu sein 
bloß durch eine Änderung des Nullpunktes und der Einheit derjenigen 
Zahlen, durch welche die Größe x ihren Ausdruck erhält, wird pr; 
für x = ar + b (wo a und b Konstanten sind) gegeben sein; und 
statt durch Berechnung der Momente des Verteilungsgesetzes 
Ss, = E (x) = np und u? = npq 
zu erhalten, bekommt man dann 
s, = E (x) = anp + b und uw? = a?npgq, 
und aus diesen Gleichungen lassen sich n und p nicht finden, ohne 
laß auch a und b gegeben sind. Kennt man dagegen zugleich die Mo- 
mente dritter und höherer Ordnung, so können auch a und b bestimmt