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Beobachtung eine zahlenmäßige Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit 
p verschaffen kann, der muß denn auch damit rechnen, daß die einer 
Vorausberechnung anhaftende Unsicherheit größer werden muß als 
diejenige, mit der man bei vorher bekanntem p rechnen muß. 
172. Zwecks näherer Untersuchung, um wieviel es sich hier 
handelt, kann man sich vorstellen, daß in gewöhnlicher Weise (unter 
Zurücklegung) einem Beutel mit weißen und roten Kugeln im 
Mischungsverhältnis p:q (p + a =1) Kugeln entnommen werden. 
Nehmen wir an, daß zuerst K, Kugeln gezogen werden, daß die 
Zahl der hierbei erhaltenen weißen Kugeln H, ist, und daß danach K, 
Kugeln, wobei man das Resultat H, weiße Kugeln erhält, entnommen 
werden. Die Verteilungsgesetze für H, und H, werden binomial 
(mit Annäherung exponential) ausfallen und folgende Erwartungen 
und mittlere Fehler haben: 
für Hı: p-Kı und V Kıpq 
für H»: p-K, und VK, pda. 
Wenn man indes nicht p kennt, sondern auf Grund der ersten 
K, Beobachtungen diese Wahrscheinlichkeit zu 
—_HAı 
Pı1 _ K;ı 
ansetzt, so wird die Erwartung im Verteilungsgesetz für H, gleich 
K;,- En gesetzt, so daß die Abweichung, statt zu 
x=p-K,-—H, 
bewertet zu werden, 
— H, 
KH 
Y KR. 
wird. 
Dabei wird die Erwartung für y allerdings Null, ebenso wie E(x), da 
K 
+ E(H;) — E(H;) 
A, — — 90. 
K;ı pK; pK, () 
ist, wie auch das Verteilungsgesetz für y exponentiell wird ebenso 
wie das Verteilungsgesetz für x; während jedoch das Quadrat des 
mittleren Fehlers im letzteren Verteilungsgesetz, wie oben gesagt, 
E (x’) = K,pq 
wird, ergibt sich als Quadrat des mittleren Fehlers im Verteilungs- 
gesetz für y