- MS en AA KH, vr nz na " - ap A >. Pe a A 3 +32? + ....enfÄrr.z. Ze A u ESS HZ u ; aM U DO ] _ Be - . x era at 55, ; ® ES N Beten % SENDE. Br DES ta ee EN ER VS & . AR Pa de Sa A NSS z- Pe Spa SC 3 Sn x} In A Zr SEAN “Ü ID ES KEN. en Cr TEEN 3) AN za MS SA „St Pr FEN EEE UNS ANNE tee KEEP EEE ER ES NERERERRET ES KT HESEURODE Fass more Ba fr EI 5 3 ® f .. > Ar Sg Se. : nn Br 7 E A Br Tr TE ES > Ya“ ; A > AS BE 28 EN 5 - Z PA To © ES AD EEE AR 3 EHEN HH SEO RE 7 ren CE. < . > I I D3 4 BE 3 Sen ; 3 Ma SE HE En KEANE A? : z ER a e DREN AU Set HTEN ET RSS FE Westerpaard ie: V See EEE ME Ak Sn OA OA NM: 4 ASK X LP SE ee TER SEN ON AA OÖ B ESS 7 SEE AAN EEE ER RES EI TE EN SEI SE SER KREIS a EEE EOS JENA: CE RE ESSEN Na SKI EEE Er NN DEE FE BIKE HENKE SR EEE VEN ER ehe An DE An PS ERS A Fun Zu a HE k- FF. DEE DENTRNS OHREN ARE EBEDSNE ae Se N ER SEES " EEE EEE Ste SUSE dr SEEN. 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Gram, während das Buch sonst dem 1911 dahingegangenen Chief Registrar of Friendly Societies, John Malcolm Ludlow, gewidmet war als demjenigen meiner aus- ländischen Freunde, dem ich ganz besonders viel verdanke. Nach Verlauf von 25 Jahren erschien eine zweite Ausgabe, die auf Grund der überaus reichen Entwicklung der Statistik während der inzwischen verflossenen Zeit eine starke Umarbeitung erfahren hatte. Wegen des Weltkrieges wurde dies Buch nur in dänischer Sprache veröffentlicht, doch schilderte ich im Journal of the American Statistical Association (vol. XV, 1916) in einer längeren Abhandlung über „Scope and Method of Statistics“ den Grundgedanken meiner Arbeit. Die gegenwärtige Ausgabe hat unter der von Lektor Hans Cl. Nybglle, meinem Nachfolger als Lehrer der Theorie der Statistik an der Kopenhagener Universität, und mir geleisteten gemeinsamen Arbeit neue Gestalt bekommen und erscheint gleichzeitig auf Deutsch und Dänisch. Während die der Darstellung zugrunde liegenden Haupt- gesichtspunkte unverändert geblieben sind, haben andererseits im einzelnen erhebliche Veränderungen vorgenommen werden müssen, nicht nur auf Grund der fortwährend fruchtbaren Entwicklung der Statistik, sondern auch, um die Benutzung des Buches für den Unterricht zu erleichtern. So sind denn zahlreiche Übungsaufgaben, deren Lösung dem Leser empfohlen wird, eingeflochten und die Dar- stellung möglichst elementar gehalten worden. Die eingehende mathematische Kenntnisse erfordernden Sätze findet man im Anhang. Während überall, Punkt für Punkt, gemeinsame Arbeit geleistet ist, muß die im Vergleich mit den bisherigen Ausgaben ausführlichere Darstellung der Wahrscheinlichkeitsrechnung hauptsächlich meinem Mitarbeiter zugeschrieben werden. Die Übertragung ins Deutsche hat Dr. rer. pol. Mads Iversen, Sekretär im Statistischen Departement zu Kopenhagen, besorgt. Kopenhagen, im Oktober 1927. Harald Westergaard. Inhaltsverzeichnis. Einleitung . . . . . I. Die Geschichte der Statistik A. Die Lehre von den „Staatsmerkwürdigkeiten“ ... 0... . B. Die politische Arithmetik und die Wahrscheinlichkeitstechnung C. Die moderne Statistik . . . „x. II. Beschaffung und Bearbeitung der Massenbeobachtungen UI. Das Exponentialgesetz A. Die Regelmäßigkeit bei Glückspielerfahrungen . . . . . B. Die Hauptsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung . sn C. Das Binomial- und Exponentialgesetz . . . D. Eindimensionale Verteilungen. . 0... .. E. Zweidimensionale Verteilungen (Korrelationstheorie) F. Unkorrelierte Größen . .. G. Empirische Frequenzen . . . . „0 IV. Die Anwendung des Exponentialgesetzes A. Allgemeine Bemerkungen . . . , B. Anthropometrische Messungen. . . C. Bevölkerungsstatistische Anwendungen D. Die Wirtschaftsstatistik . . . . . V. Interpolation und Ausgleichung A. Allgemeine Bemerkungen . . . B. Interpolationsmethoden . U. Flächenberechnungen . D. Ausgleichungsmethoden E. Statistische „Gesetze“ VI. Berölkerungsstatistik A. Das Anwachsen der Volkszahl B. Die menschliche Sterblichkeit C. Die Wanderungen. . . . D. Statistisches Gleichgewicht . . . - VII. Abgeleitete statistische Ausdrücke A. Mängel der Beobachtungen. . . . B. Die Methode der berechneten Anzahl C. Preis- und andere Indexzahlen. . . VII. Versicherungswesen und Statistik Schluß , Anhang Deite 11 22 50 75 107 134 155 187 201 219 294 266 267 288 310 318 333 353 379 113 130 139 482 301 507 524 559 507 601 515 Zufügung. Betr. Fußnote S. 49 (vgl. S. 391) wird bemerkt, daß die Gauß’sche Abhandlung auch in deutscher Sprache zugänglich ist in der Übersetzung von A. Börsch und P, Simon, C. F. Gauß, Abhandlungen zur Methode der kleinsten Quadrate, Berlin 1887. Einleitung. 1. Wie man auch immer Statistik und statistische Untersuchungen betrachten mag, stets ist eine Eigenschaft allen Versuchen der Cha- rakterisierung gemein, nämlich der zahlenmäßige Ausdruck der Sta- tistik und der statistischen Untersuchungen. Zahlenmäßige Angaben und Ausdrucksformen, die eigentliche Sprache des Statistikers, besitzen in einer Menge von Verbindungen ein selbständiges Interesse. Die Bevölkerungszahl eines Landes, ihre Verteilung nach Alter oder anderen Merkmalen, der Wert der Ein- oder Ausfuhr eines Landes oder das Ergebnis einer Bearbeitung der Anzahl der Krankentage an einer Hospitalabteilung usw. sind nume- rische Angaben, die alle unmittelbar Anwendung finden. Eine andere Seite des Wesens zahlenmäßiger Angaben tritt bei der Untersuchung dessen, was die Zahlen der Statistik für unsere Erkenntnis bedeuten, zutage. Wenn man von Zeit zu Zeit oder von Ort zu Ort statistisches Material über die gleichen Gegenstände sammelt, wird man oft eine gewisse Regelmäßigkeit der Zahlen entdecken können, eine Regelmäßigkeit, hinter der man etwas Festes und Bieibendes ahnt. Diese Erscheinung ist so häufig, daß die meisten Menschen sie unwillkürlich als ganz selbstverständlich auf- fassen. Jedes Jahr wird z. B. in einem Lande oder innerhalb einer Bevölkerungsklasse ungefähr dieselbe Anzahl von Ehen eingegangen, und die Zahlen der Geburten und Sterbefälle, der Selbstmordfälle und Verbrechen kehren ziemlich regelmäßig von .Jahr zu Jahr wieder. Den Ergebnissen des Glücksspiels wie denen des Post- und Eisen- bahnverkehrs, der Schiffahrt und des Handels, allen ist ein gewisses Gepräge der Regelmäßigkeit eigen. 23. Diese Stabilität in den numerischen Tatsachen ist nun von hoher Bedeutung für die menschliche Gesellschaft. Ohne eine solche Regelmäßigkeit könnte kein Finanzbudget aufgestellt werden; man Westergaard und Nvybolle, Theorie der Statistik, 2. Aufl. 2 würde nie wissen, ob ein Land hinlänglich mit Krankenhäusern, Ärzten, Hebammen usw. versehen ist; man würde nicht wissen, mit wieviel Zollbeamten man sich begnügen kann; man würde stets Gefahr laufen, die Armenhäuser oder Gefängnisse bald um ein Be- deutendes erweitern zu müssen, bald dieselben leer zu finden. Man würde nie die Bedürfnisse einer Stadt oder einer Provinz beurteilen können; die Versorgung einer Großstadt mit Lebensmitteln würde auf die größten Schwierigkeiten stoßen; die Stadt würde bald Über- fluß haben, bald der Hungersnot ausgesetzt sein. Auf dieser Regelmäßigkeit fußend, kann man eine Wissenschaft begründen, deren wichtigste Aufgabe es ist zu untersuchen, worauf solche Regelmäßigkeit beruht und was sie bedeutet; wird dies erst klar, dann kann man besser präzisieren, was man bei der Beschaffung konkreter Zahlen erfahren kann und was nicht, und dabei dann des näheren angeben, in welchem Umfange die beobachteten Vorgänge als voneinander abhängig aufgefaßt werden können. Faßt man die statistische Wissenschaft als eine Lehre der nu- merischen Beobachtungen überhaupt auf, dann ist die erste Aufgabe dieser Wissenschaft die, zu untersuchen, wie ihr Zahlenmaterial mit größtmöglicher Genauigkeit zuwegegebracht werden kann, welche Fehlerquellen man befürchten muß und wie man solche am besten beseitigt... Aber als Wissenschaft betrachtet hat die Statistik dann auch zu untersuchen, welche Schlüsse aus den Erfahrungen gezogen werden können, die die Beschaffung des Zahlenmaterials lehrt. Hierbei kommen dann, wie erwähnt, natürlich insbesondere solche Schlüsse in Betracht, die zum Verständnis der beobachteten Vorgänge in ihrem ursächlichen Zusammenhang beitragen können. Es ist indes kaum möglich, diese verschiedenen Aufgaben voneinander zu trennen. Sie bilden insofern eine Einheit, als man mit der angestrebten Beurteilung der Genauigkeit statistischer Be- obachtungen auch gleichzeitig das Mittel zur Nachspürung der Ur- sachen der beobachteten Erscheinungen hat. Läßt man sich über- haupt auf Erwägungen über die Glaubwürdigkeit der Zahlen und deren Nutzen ein, dann gilt es stets in allererster Linie, die Be- dingungen für die größere oder für die kleinere statistische Regel- mäßigkeit zu untersuchen. Diese Untersuchung wird freilich in Wirklichkeit nur darauf hinauslaufen, die numerischen Tatsachen als Resultate einer Reihe gleichzeitig einwirkender Kräfte zu verstehen. Ob es sich um das Resultat rein physischer Kräfte, oder um Kräfte, die sich in der menschlichen oder einer anderen A Gemeinschaft geltend machen, handelt, nie ist die Regelmäßigkeit eine starre Form, in der die jeweilige Erscheinung ein für allemal gegossen ist; ganz im Gegenteil wird man trotz der Regelmäßig- keiten bei näherer Untersuchung die größten Verschiedenheiten in den statistischen Erscheinungen finden können; aus dem Gebiete der sozialen Statistik kann als Beispiel hierfür gelten, daß die Sterblich- keit in einem Lande viele Male größer sein kann als in einem anderen und daß die Sterblichkeit vielerorts heutzutage geringer ist als z. B. vor einem halben Jahrhundert. Die Verschiedenheiten treten also nicht nur räumlich, sondern auch zeitlich zutage und müssen offenbar auf durchgreifende Verschiedenheiten in den wirkenden Ursachen zurückzuführen sein. Bald sieht man denn auch, daß die Sterblich- keit an epidemischen Krankheiten in einer Stadt nach Verbesserung der Wasserversorgung bedeutend abnimmt, oder man kann beobachten, daß in wirtschaftlich schwierigen Zeiten die Zahl der Feuerschäden wächst, die Ehefrequenz dagegen sinkt. Im Grade der Klarstellung der Kausalitätsverhältnisse erweitert sich auch die menschliche Erkenntnis, und in entsprechendem Um- fange dürfen wir Schlüsse auf die nächste Zukunft wagen. Zu- zugeben ist jedoch, daß die Regelmäßigkeit in den statistischen Be- obachtungen es allein nicht machen kann. Wo zwar die Zahlen große Verschiedenheiten aufweisen, wo man aber nicht die Ursachen solcher kennt, da darf man nicht einmal auf die allernächste Zukunft Schlüsse ziehen; kann doch eine festgestellte Gleichmäßigkeit ohne jegliche Bedeutung sein. 3. Die Aufgabe, die somit in erster Linie der Statistik gestellt wird, erweist sich nun allerdings oft als unlösbar. Wenn auch theo- retisch genommen die Möglichkeit vorhanden ist, die wirkenden Ur- sachen ausfindig zu machen, so ist dieses doch bei der tatsächlichen Sachlage häufig äußerst schwierig, weil nicht eine einzelne, sondern viele, oft eine ungemein große Zahl von wirkenden Ursachen Be- rücksichtigung finden muß. Man erhöht z. B. die Getränkesteuer und beobachtet ein Abnehmen der Trunksucht; jene Maßregel ist aber wahrscheinlich nicht die einzige Kraft, welche dieses Resultat geschaffen hat; man hat es vielleicht gleichzeitig mit der Wirkung eines strengeren Strafgesetzes, mit einer Reduktion der Anzahl von Schankstellen oder mit einer Enthaltsamkeitsbewegung zu tun, mit Faktoren, die sämtlich aus einer allmählich entstandenen allgemeinen Mißstimmung gegen die alkoholischen Getränke hervorgegangen sein können. Nun kann man meistens nicht eine einzelne Ursache aussondern, um die Wirkung derselben zu erforschen. Je gründlicher man die Sache untersucht, desto mehr Ursachen kommen zum Vorschein, bis sich unter dem Mikroskop des Forschers eine fast unübersehbare Zahl gegen- und miteinander wirkender Kräfte enthüllt. Daß es unter diesen Bedingungen in sehr vielen Fällen dennoch möglich ist, zu einer Erkenntnis vorzudringen, ist allerdings der ganz besonderen Form, in der die Statistik ihre Resultate gibt und der Tatsache, daß diese Ergebnisse nur unter gewissen Bedingungen erreicht werden können, zu verdanken, Die Untersuchung solcher Bedingungen wird weiter unten unsere Aufgabe sein. Diese Tatsache ist bei näherer Erwägung nicht so merkwürdig, wie es im ersten Augenblick scheinen könnte. Würde man beispiels- weise eine Betrachtung darüber anstellen, wieviel Feuchtigkeit wäh- rend eines Regenschauers einem Acker zugeführt wird, dann steht oder fällt eine solche Betrachtung nicht mit der Möglichkeit, Ort und Zeit der Bildung jedes einzelnen Regentropfens in jeder auf- tauchenden Wolke vorausberechnen und in allen Einzelheiten Wasser- menge und Bahn und damit Zeit und Ort des Einschlags der ein- zelnen Tropfen feststellen zu können. Um dieses zu erkennen, genügt es, alltägliche statistische Erfahrungen, wie man sie beim Glücks- spiel machen kann, ins Auge zu fassen. 4. Bei jedem geordneten Glücksspiele, bei Lotterien, Würfel- spielen usw. ist offenbar alles zunächst so zurechtgelegt, daß die die Ergebnisse jedes Spieles bestimmenden Ursachen, jedenfalls anscheinend, von Spiel zu Spiel genau dieselben sind. Und dennoch wechseln die Ergebnisse auf eine Art und Weise, die sich durchaus nicht vorher- sagen läßt. Stellen wir uns einen Beutel mit Kugeln vor, die Hälfte der Kugeln von weißer, die übrigen von roter Farbe; die Kugeln sind von derselben Größe, von demselben Holz, demselben Gewicht, kurz und gut, völlig gleich. Man entnimmt nun dem Beutel eine Kugel, notiert die Farbe und wirft die Kugel in den Beutel zurück. Diesen Versuch wiederholt man mehrere Male, wobei man vor jeder neuen Ziehung den Beutel stets gut schüttelt. Anscheinend wird eine jede Kugel denselben Kräften ausgesetzt. Will man jedoch den Glauben an die unbedingte Gültigkeit des Kausalitätsgesetzes bewahren, gleich- zeitig jedoch die Möglichkeit, nur eine und stets nur eine Kugel dem Beutel zu entnehmen, erkennen, dann muß man — wenn es sich nicht etwa unmittelbar feststellen läßt — annehmen, daß die Kugeln trotz aller Bemühungen dennoch bei keinem der Versuche genau denselben Verhältnissen unterlagen. Sie können nun auch gar nicht „mathematisch“ gleich sein; jede Kugel muß die ihr eigene Ab- weichung von der genauen Kugelgestalt, jede eine von allen anderen abweichende Schwere und Größe haben. Dazu können sie unmöglich den gleichen Platz im Beutel einnehmen. Es ist ferner anzunehmen, daß die vielfach ganz unbedeutenden Verschiedenheiten der Kugeln für das unbewaffnete Auge unsichtbar sind und sich somit der Be- rechnung vollständig entziehen. Daher ist es denn auch unmöglich, im voraus anzugeben, ob das Ergebnis einer Ziehung eine weiße oder eine rote Kugel wird, wieviele Male man weiß, wieviele Male man rot erhält, wenn der Versuch mehrfach wiederholt wird. Hiernach jegliche Form einer Vorausberechnung des Ergebnisses als hoffnungslos anzusehen, wäre jedoch nur berechtigt, wenn es sich darum handelte, genau festzustellen, wieviele Male man im Laufe einer Versuchsreihe weiß und wieviele Male rot erhalten würde. Aber wie bereits erwähnt, ist eine genaue Feststellung unmöglich. Dagegen lehren uns die Erfahrungen, daß, selbst wenn das Resultat bald dies, bald jenes wird, und selbst wenn kleinere Abweichungen vom speziellen Ergebnis: zur Hälfte weiß, zur Hälfte rot, häufig vor- kommen werden, so doch größere Abweichungen seltener sein und eine verhältnismäßig stets geringer werdende Rolle spielen werden, je weiter man die Versuchsreihe führt. Mit anderen Worten: das Er- gebnis ist nicht ganz so unbestimmt, wie es zuerst scheinen möchte. Eine Menge der unbekannten, das Ergebnis des einzelnen Versuches beeinflussenden Ursachen werden gleichsam im Endresultat eliminiert, sofern man nur eine größere Reihe von Versuchen anstellt. d. Entnimmt man dem Beutel 10000 mal eine Kugel, dann ist es beispielsweise so gut wie sicher, daß die Anzahl der weißen Kugeln nicht mehr als etwa 200 von 5000 abweichen wird, daß man also eine Anzahl weißer Kugeln erhält, die zwischen 4800 und 5200 liegt. Meist wird aber nicht einmal von einer auch nur annähernd so großen Abweichung die Rede sein; und sollten tatsächlich größere Abwei- chungen vorkommen, dann wird es sich fast immer verlohnen zu unter- suchen, ob diese Unregelmäßigkeit nicht von zwar zugrundegelegten, aber tatsächlich unerfüllten Voraussetzungen herrührt. Auf gleiche Art und Weise kann man z. B. annähernd genau berechnen, wieviele der im Laufe eines Jahres geborenen Kinder Knaben, wieviele Mäd- chen sind. Dies läßt sich ebensowenig wie bei den Kugeln exakt machen; jedoch darf man, wie im folgenden bewiesen wird, damit rechnen, daß ganz besondere Verhältnisse, die nicht berücksichtigt worden sind, sich geltend gemacht haben, falls die tatsächliche Ver- hältniszahl der im Laufe eines Jahres geborenen Knaben im Vergleiche mit der Gesamtzahl, die in Dänemark etwa 70 000 ausmacht, beispiels- weise auch nur um mehr als 1 oder 2 Proz. von der berechneten Verhältniszahl abweichen sollte. Wie mit diesen einfachen Beispielen, so ist es auch mit kom- plizierteren. Die Mannigfaltigkeit der Ursachen legt jeder Voraus- berechnung, die sämtliche Ursachen berücksichtigen will, unüberwind- liche Schwierigkeiten in den Weg. Verzichtet man jedoch darauf, jedem einzelnen Individuum einer größeren Masse zu folgen — seien es Menschen, Regentropfen oder Luftmoleküle —, um statt dessen seine Aufmerksamkeit auf die Gesamtwirkung der Ursachen, von denen die Einheiten beeinflußt werden, zu lenken, dann liegt es im Bereich des Möglichen, allgemeine Ergebnisse festzustellen, wenn auch nur mit einer gewissen Genauigkeit, die jedoch oft mehr als hinlänglich sein wird. 6. Bei statistischen Untersuchungen wird also auf die Gesamt- wirkung Gewicht gelegt; man interessiert sich nicht für das Schicksal des einzelnen Menschen, stellt vielmehr Massenbeobach- tungen an. Wo es sich nicht um eine bloße nüchterne Darstellung numerischer Tatsachen handelt, da gilt es, solche Massenbeob- achtungen zu machen und sie so zu verarbeiten, daß die Wirkung der Mehrzahl von Ursachen verschwindend klein wird und nur ainzelne Ursachen bleiben, so daß die Gesetzmäßigkeit im Haupt- resultate hervortritt. Welche Ursachen wir auf diese Weise untersuchen können und welche sich eliminieren lassen, das muß uns die Erfahrung lehren. Zu guter Letzt gibt es, wie wir gesehen haben, Ursachen, deren Wir- kungen sich nicht ausscheiden lassen. Dies schließt jedoch nicht aus, auf statistischem Wege wichtige Schlüsse zu ziehen. So hat es sich erwiesen, daß die Sterblichkeit im Schankwirtsgewerbe für größer als in den meisten übrigen Berufsklassen angesprochen werden muß; ja der Unterschied ist so erheblich, daß, unterm Bewußtsein der Un- sicherheit statistischer Betrachtungsweise, angenommen werden muß, daß bei Gastwirten Ursachen zur Geltung kommen, die nicht mit entsprechender Stärke bei anderen Gewerbetreibenden wirken. Wel- ches nun diese Ursachen sind, das bleibt eine ganz andere Frage; wieviel dem Alkohol, wieviel einer ungesunden Lebensweise (Auf- enthalt in schlechtgelüfteten Räumen, Mangel an Schlaf usw.) zu- zuschreiben ist, läßt sich nur äußerst selten feststellen. Es ist mög- lich, daß die Totalwirkung zweier vereinter Ursachen größer ist als der von jeder einzelnen Ursache erzielte Effekt. Dennoch aber ist es von Bedeutung, als recht wahrscheinlich festnageln zu können, daß das Gastwirtsgewerbe gesundheitsschädlichen Einflüssen ausgesetzt ist, selbst wenn man diese nicht in ihre Komponenten zerlegen kann. Wie mit diesem Beispiel, so ist es mit allen übrigen. Die eigent- liche zahlenmäßige Behandlung kann uns höchstens zu der Annahme zwingen, daß besondere Kräfte mitgewirkt haben; über den Charakter dieser Kräfte können die Zahlen dagegen nichts aussagen. In man- chen Fällen wird man jedoch aus anderen Gründen nicht über die Art der vermuteten Ursachen im Zweifel sein. Auch ist es keines- wegs undenkbar, daß eine erneute Untersuchung in Fällen, wo Zweifel möglich ist, uns ein gutes Stück vorwärtsbringen kann; man muß nur eben erst darauf aufmerksam geworden sein, daß es überhaupt zu erforschende Ursachen gibt. 7. Das angeführte Beispiel lehrt uns, daß eine solche Abtrennung besonderer Ursachen nicht möglich wäre, wenn man nicht bereits vorderhand eine gewisse Meinung darüber hätte, welche Verschieden- heiten in Erscheinung treten können, allein schon infolge notwen- diger Nichtberücksichtigung einer Menge der Ursachen, die tatsäch- lich die einzelnen Individuen der betrachteten Gruppen beeinflußt haben; Verschiedenheiten, welche also entstehen können, ohne daß es möglich wäre, Ursachen aufzudecken, die sich nicht in beiden Gruppen geltend gemacht hätten. Hat man z. B. zwei Beutel mit Kugeln obiger Art, und ent- nimmt man jedem eintausendmal eine Kugel bei gleichzeitiger Notie- rung der Farbe, dann wird das Ergebnis: 525 weiße Kugeln des einen und 485 des anderen Beutels keineswegs überraschen. Der Unterschied kann allein den zahlreichen Ursachen zuzuschreiben sein, die sich bei jeder einzelnen Ziehung geltend machen, die festzustellen jedoch völlig aussichtslos ist. Er kann aber auch daher kommen, daß falsch aufgezählt wurde oder daß — allerdings gegen unsere Voraussetzung — ursprünglich nicht gleichviele rote und weiße Kugeln in beide Beutel getan wurden; wenn der Unterschied jedoch nicht größer ist als hier, ist man gänzlich außerstande, etwas hin- sichtlich eines etwaigen verschiedenen Inhalts der Beutel zu er- kennen. Wäre das Ergebnis dagegen z. B. 600 weiße Kugeln des einen und 490 des anderen Beutels gewesen, dann würde die Vorstellung von der möglichen Größe der Abweichung in den Ziehungsergeb- nissen aus Beuteln gleichen Inhalts unseren Zweifel erwecken: man \ würde sofort die Ursache dieses großen Unterschiedes aufzuklären suchen und in diesem einfachen Falle sofort entweder die Richtig- keit der Aufzählung der Ziehungsergebnisse oder die Voraussetzung eines gleichen Bestandes an roten und weißen Kugeln anzweifeln. Allerdings führt diese besondere Form der Erkenntnis, charakte- ristisch für die Statistik, mit sich, daß sich möglicherweise solcher Zweifel als unberechtigt erweist. Unbedingt ausgeschlossen ist das Resultat nämlich nicht, daß man bei je 1000 Ziehungen aus zwei Beuteln mit gleichviel weißen und roten Kugeln dem einen 600 und dem anderen nur 490 entnimmt. So gibt es eben keine festen Grenzen für die Größe der möglichen Verschiedenheiten in den Ziehungsresultaten bei Beuteln gleichen Inhalts, oder, wie man sich oft ausdrückt, für die Größe der durch „zufällige“ Ursachen hervor- gerufenen Unterschiede. Diese Eigenart führt jedoch nur dazu, die Vermutung, daß fest- gestellte Verschiedenheiten besonderen Umständen (Ursachen) zu- zuschreiben sind, abzuschwächen, und zwar in dem Grade, wie die Verschiedenheiten statistischer Ergebnisse geringer werden. Es muß also als mehr oder weniger fruchtbar angesehen werden, in der Frage der Unterschiedsquelle neue Betrachtungen anzustellen und neue Untersuchungen vorzunehmen. 8. Jene Elimination der Wirkung zufälliger Ursachen oder, wie man sich vielleicht besser ansdrücken könnte, der Wirkung der In- dividualursachen kann also nie ganz vollständig werden. Die statistischen Vorausberechnungen lassen sich, wie erwähnt, eben nie mit absoluter Genauigkeit durchführen. Andererseits aber geht aus obigen Ausführungen hervor, daß die Verschiedenheiten bedeutend sein können und daß das vermutete Auftreten besonderer Ursachen — Ge- meinursachen — sich bewahrheitet. Die Erfahrung lehrt denn auch, daß das Nachspüren nach solchen Gemeinursachen sich selbst da ver- lohnte, wo die Verschiedenheiten nicht überwältigend waren oder den Forscher ihre Existenz nicht einmal mit Sicherheit vermuten ließen. Schlüsse von zahlenmäßigen Ausdrücken auf die dahinter liegen- den Ursachen setzen eine feste Abgrenzung der Verschiedenheiten voraus; eine solche ist nach obigem jedoch unmöglich. Die besondere statistische Forschungsmethode verlangt daher, daß auf andere Weise zum Ausdruck kommt, inwieweit konstatierte Verschiedenheiten auf die Anwesenheit von Gemeinursachen deuten. Ist z. B. für eine Bevölkerung die Sterblichkeit jährlich etwa 15 Promille, während man in einer bestimmten Beyölkerungsklasse in einem Jahre 20 Pro- mille beobachtet hat, so entsteht die Frage, ob dieser Ausschlag ein „zufälliger“ ist, ob also nur individuelle Ursachen die Abweichung veranlaßt haben, oder ob eine bleibende Ursache, z. B. hygienischer Natur, die große Sterblichkeit hervorgebracht hat. Dies muß man unbedingt entscheiden können; denn sonst wird man nie wissen, ob in der Zukunft auf ein Wiederauftreten der gefundenen Sterblichkeit zu rechnen ist oder ob nicht vielleicht schon in kürzester Zeit sich die Sterblichkeit sogar günstiger als in der Gesamtbevölkerung gestalten wird. Eine wichtige Aufgabe der Statistik ist es also, festzustellen, wie man die Probleme löst und unter welchen Bedingungen eine Lösung Gültigkeit hat. Hier sei nur die allgemeine Regel erwähnt, daß der sich von den Individualursachen herleitende Spielraum bei zunehmender Anzahl von Beobachtungen kleiner wird. Die ganze Lehre: teils die Lehre von den Bedingungen, unter denen man trotz störender Einflüsse der Individualursachen die Regelmäßigkeit in den statistischen Phänomenen erklären kann, teils die Lehre davon, wie man denn von solchen Phänomenen weiter schließt, wird daher im allgemeinen zusammengefaßt unter der von Poisson stammenden Bezeichnung: das Gesetz der großen Zahl. Dieser Ausdruck hat oft zu Mißverständnissen Veranlassung gegeben, da er fehlerhafterweise den Gedankengang auf solche exakten Gesetze, wie man sie z. B. in der rationellen Mechanik vorfindet, leitet; er hat sich jedoch allmählich ein gewisses Bürgerrecht in der Statistik erworben und wird daher auch im folgenden gelegent- lich benutzt werden. Wie erwähnt, gibt das „Gesetz“ das Haupt- mittel dazu ab, den Spielraum wirkender Individualursachen zu be- stimmen und dabei die Anwesenheit etwaiger Gemeinursachen zu erkennen. 9. Viele ältere Statistiker nahmen auf diesen Spielraum keine Rücksicht. Obzwar man natürlich keineswegs um die Einflüsse der Individualursachen herumkam, suchte man sich jedoch in der Regel nicht über den Grad des Einflusses solcher Ursachen klar zu werden. Da es.sich bald erwies, daß die Regelmäßigkeit in den statistischen Ergebnissen im allgemeinen mit wachsender Anzahl von Beob- achtungen steigen müsse, begnügte man sich mit der allgemeinen Annahme, nur mit sehr großen Zahlen operieren zu brauchen, um Trugschlüsse zu vermeiden; es blieb aber die Frage, wie groß denn eigentlich die Zahlen sein müßten, um das angestrebte Ziel zu er- reichen. Solange diese Frage unbeantwortet blieb, konnte man nur dank großer Übung und Vorsicht Trugschlüsse vermeiden, und in den meisten Fällen war man zur Sammlung eines allzu umfassenden Materials gezwungen, eines Materials, welches gleichzeitig auch zur Begründung mehrerer anderer Schlüsse hätte ausreichen können. Die Behandlung war somit jedenfalls nicht ökonomisch, und in dem Bestreben, ein möglichst reichhaltiges Material zu erhalten, lief man außerdem Gefahr, erhebliche Verschiedenheiten zu verschleiern; was man an Umfang des Stoffes gewann, verlor man an Gleichförmig- keit desselben. Die Frage, von welchem Umfange das zureichende Material sein muß, hat man gelegentlich durch Zerlegung desselben in zwei oder mehrere Gruppen zu beleuchten versucht; sobald die einzelnen Teile zleiche Resultate aufwiesen, nahm man dies als Beweis für die hin- längliche Größe des Gesamtmaterials. Selbst wenn ein solches Er- gebnis natürlich beruhigend wirken kann, so ist damit doch keines- wegs der Beweis für die Richtigkeit geliefert, schon aus dem ainfachen Grunde nicht, weil „Zufälligkeiten“ gar leicht haben mit- spielen können; jedenfalls ist es sehr gut möglich, daß eine andere Teilung ein anderes Resultat ergäbe. Wie in einem späteren Kapitel näher zu begründen sein wird, ist es außerdem denkbar, daß die Zahlen, ganz abgesehen von verschiedenen Resultaten der einzelnen Teile des zerlegten Materials, groß genug sind, um ein gewisses Ergebnis zu zeitigen. Das Kriterium ist somit weder ausreichend noch not- wendig. Die erwähnte Methode hat dann noch einen weiteren Mangel: Sie fordert naturgemäß ein Material, das zwei- oder drei- oder mehreremal größer ist als das für die Prüfung der Ergebnisse not- wendige. Wenn man mit großer Mühe erst das notwendige Material gesammelt hat, kann man nach obiger Regel Gefahr laufen, dieses um ein Mehrfaches vergrößern zu müssen, dann nämlich, wenn eine Teilung der Gruppen nicht das festgestellte Resultat bestätigt. Einer solchen Forderung kann man aber oft nur schwierig, oft überhaupt nicht Rechnung tragen. 10. Solange die Wirkungen der Individualursachen noch keiner gründlichen Untersuchung unterworfen waren, konnte keine Wissen- schaft statistischer Untersuchungen, deren Resultaten man übrigens ft mit Fug und Recht mißtraute, entstehen. Andererseits ist das Studium der Erscheinungen, bei welchen solche Ursachen auftreten, von großer Bedeutung geworden, auch außerhalb des Gebietes der Wirtschaftswissenschaften, z. B. für die Anthropologie, die Meteorologie, die Medizin, die Biologie und nicht zum mindesten für die moderne Physik, die heutzutage durch das Studium der Bewegungen der Moleküle einen stets größeren Kreis von Phänomenen zu erklären sucht; ganz natürlich führt daher ein bedeutungsvolles und umfangreiches Gebiet innerhalb der Physik ge- radezu den Namen Statistische Mechanik. Da nach dem Plan dieses Buches das Schwergewicht auf die Behandlung der Statistik als Gesellschaftswissenschaft fällt, wird die folgende Darstellung der Grundzüge in der Geschichte der Statistik zu zeigen haben, wie man allmählich so weit gekommen ist, daß man — wenigstens annähernd und in großen Umrissen — die Bedingungen für die statistische Regelmäßigkeit in den sozialen und wirtschaftlichen Erscheinungen, namentlich mit Hinblick auf gewisse weniger komplizierte Aufgaben, feststellen kann. Das Ver- hältnis anderer Wissenschaften zur Statistik kann nur ausnahms- weise gestreift werden. Il. Kapitel. Die Geschichte der Statistik. A, Die Lehre von den „Staatsmerkwürdigkeiten‘. 11. Das Wort Statistik stammt her von dem italienischen Worte Stato, welches neben anderen Bedeutungen wie Stand, Zu- stand usw. auch die weitere Bedeutung Staat besitzt. Das italienische Statista bezeichnete demgemäß einen Mann, welcher sich mit Staatsangelegenheiten beschäftigte (homme d’Etat), während unter Statistik eine Sammlung von Tatsachen verstanden werden mußte, die auf die öffentlichen Verhältnisse verschiedener Länder (die Machtstellung der Staaten, ihre Steuer- und Heereskraft usw.) sich bezogen und für Staatsmänner von Interesse sein konnten. Anfangs konnte diese Disziplin allerdings kaum etwas mit der Statistik im modernen Sinne des Wortes gemein haben. Spät erst kam man so weit, daß man Mitteilungen in ziffernmäßiger Form geben konnte; die damalige Statistik war im wesentlichen eine Staatenkunde, welche die Verfassungen und andere Verhältnisse der einzelnen Staaten schilderte. Weit mehr mit dem verwandt, was wir heute Statistik nennen, war die sogenannte politische Arith- 12 metik. Auch sie stand mit politischen Interessen in intimer Ver- bindung; Petty fragt in allererster Linie, ob die Engländer Fran- zosen und Holländern überlegen seien; Lavoisier macht seine be- rühmten Berechnungen namentlich, um eine Grundlage für wirt- schaftliche Gesetzgebung zu schaffen. Der Doppelname „politische Arithmetik“ ist somit eine recht treffende Zusammensetzung. Um den Ursprung der Statistik zu verstehen, muß man ferner eine dritte Quelle betrachten: die ersten Anläufe zur Wahr- scheinlichkeitsrechnung. Diese Disziplin beschäftigte sich ursprünglich mit anscheinend völlig unbedeutenden Spielaufgaben, erhielt aber doch zuguterletzt eine ungemein große wissenschaftliche und praktische Bedeutung. Es genügt, Namen wie Pascal und FWermat zu erwähnen, 13. Kein geringerer als Aristoteles kann an der Spitze der langen Reihe von Schriftstellern, die sich mit Statistik im ursprüng- lichen Sinne des Wortes befaßt haben, aufgeführt werden. In seinen leider zum größten Teil verloren gegangenen Politeiai behandelt er sine große Anzahl von Staatsverfassungen einzeln der Reihe nach. Er berücksichtigte sowohl die Entwicklungsgeschichte als auch den tatsächlichen Zustand der beschriebenen Kleinstaaten, und er hatte dabei nicht allein die politischen Verhältnisse der Nachbarstaaten vor Augen, sondern auch die ganze Staatsverwaltung und Rechts- pflege, Wissenschaft und Kunst, Religion, Sitten und Gebräuche usw., alles in einer zusammenhängenden Darstellung, wie sie nur solch weit- umspannendem Geiste möglich war. Diese Darstellung der Staatsverfassungen war mit Aristoteles’ berühmter Staatslehre innig verknüpft und war schon daher von hoher Bedeutung. Und ganz natürlich mußte das blühende Staats- leben Italiens zu Beginn der neueren Zeit zu ähnlichen Unter- suchungen und Beschreibungen anspornen. Zwei wohlbekannte Namen können hier erwähnt werden: Francesco Sansovino 1521-—1586) schrieb sein Werk Del governo e amministra- zione di diversi regni e republiche (Venetia 1562 und ver- schiedene spätere Ausgaben), und Giovanni Botero (1540—1617) veröffentlichte im Jahre 1593 sein Hauptwerk auf diesem Gebiete, Le relazioni universali, das ebenfalls zahlreiche Neuauflagen erlebte. Sansovino behandelt alles in allem 22 Staaten, hierunter das alte Rom, Sparta und Athen, wie er auch ein Kapitel auf die „Utopia“ verwendet. In der Darstellung seiner Zeit scheint er aufs eifrigste 1° nach Vollständigkeit zu streben. So beschäftigt er sich in einem Kapitel über England mit der englischen Thronfolge, den Gerecht- samen des Königs, der Krönung, den Rittern des Hosenbandordens, dem Parlament usw. Natürlich darf man sein Werk nicht mit der Elle moderner Wissenschaft messen. Seine Mitteilungen über die einzelnen Staaten waren — das lag in der Natur der Sache — alies andere als vollständig; die englischen Staatseinnahmen werden auf einer einzigen Seite erledigt, die Rechtspflege mit 8 Zeilen usw. Erst viel später konnte von größerer Vollständigkeit und tieferem Eindringen in den Stoff die Rede sein. Botero geht bei seiner Darstellung von ähnlichen Gesichts- punkten aus, obzwar er seinen Stoff etwas anders ordnet und dabei klareren Überblick gewinnt. Er teilt sein Werk in drei Abschnitte: Zuerst wird das Territorium in einer ziemlich knappen und im wesentlichen geographischen Darstellung behandelt; darnach be- schreibt er den Zustand der einzelnen Staaten (Verwaltung, Ur- sachen der Größe der Staaten, Wohlstandsverhältnisse) und schließlich in einer Reihe kirchengeschichtlicher Betrachtungen den religiösen Kultus Land für Land. 13. In den folgenden Jahrhunderten wächst nun ein ganzer Literaturzweig heran in engerer oder weiterer Anknüpfung an die erwähnten Werke, und namentlich wurde die Staatenkunde eifrigst von deutschen Universitätsprofessoren gepflegt. So mag der bekannte Polyhistor Hermann Conring (1606—1681), Professor an der Jlamals blühenden Universität zu Helmstedt in Braunschweig, er- wähnt werden. Von 1660 an hielt er eine Reihe von Jahren hin- durch unter großer Beteiligung in seiner Wohnung Vorträge über Staatenkunde. Er hatte seine Vorlesungen nicht schriftlich ausge- arbeitet, sondern stützte sich ausschließlich auf sein glänzendes Ge- dächtnis. Erst im Jahre 1730 erschien eine Ausgabe seiner ge- samten staats- und rechtswissenschaftlichen Werke, in denen seine Vorträge über Staatenkunde nach Aufzeichnungen der Zuhörer, welche Notizen er dann wieder hatte abschreiben lassen, Aufnahme fanden. Conring behandelt der Reihe nach Spanien mit seinen Ko- lonien, Portugal, Frankreich usw., zuletzt Japan, Marokko und Abessinien. Die Hauptquelle für die Darstellung Japans, die nur wenige Seiten füllt, sind die Schilderungen der Jesuiten. Conrings Darstellungsweise ähnelt der seiner Vorgänger; er zitiert viel, bringt aber selbstredend durchweg kein Zahlenmaterial, beschränkt sich gewöhnlich auf mehr allgemeine Ausdrücke wie: Ein Land ist dicht 14 bevölkert usw. Conring sucht den Zusammenhang der Ver- hältnisse im Anschluß an Aristoteles und die Scholastiker zu schildern, wobei er vier Prinzipien aufstellt: causa materialis, finalis, formalis und efficiens. Unter materia des Staates behandelt er Land und Leute, unter forma Verfassung und Verwaltung, während die Staatszwecke die causa finalis ausmachen; und schließlich folgt die causa efficiens, welche Finanzen und Land- und Seestreitkräfte ımfaßt. L4. Die meisten Berührungspunkte mit Conring hatte Achen- wall (1719—1772), Professor an der Universität Göttingen. Dieser bezeichnete die neue Disziplin als Statistik, nachdem übrigens schon stliche Jahre früher von einem anderen Universitätslehrer ein Col- legium politico-statisticum gelesen worden war. Achenwall definiert die Statistik oder Staatsbeschreibung als die Lehre von der Staatsver- fassung im weiteren Verstande, welche als Inbegriff der wirklichen Staatsmerkwürdigkeiten eines Reiches oder einer Republik bezeichnet werden könne. Auch historische Staatslehre oder Staatskunde könne man dieselbe nennen. Um ihren Umfang zu begrenzen, müsse man aus der Menge der Staatsmerkwürdigkeiten die notwendigsten her- ausnehmen, ohne welche die Einrichtung und der Grad der Stärke oder Schwäche eines Staates sich nicht würde begreifen lassen. Der Hauptzweck der Statistik solle darin bestehen, daß man ein Urteil über Staatsangelegenheiten gewinnt und geschickt wird, an der Staatsleitung mitzuwirken. Die Statistik solle den gegen- wärtigen, nicht den ehemaligen Staat kennen lehren; nur als Einleitung solle eine Geschichte der Staatsveränderungen VOorauSs- yeschickt werden. Wie wenig Achenwalls Staatsbeschreibung als Statistik im heutigen Sinne des Wortes bezeichnet werden kann, geht aus einer kurzen Übersicht über den Inhalt seiner Beschreibung Spaniens in Jer fünften Ausgabe seiner im Jahre 1768 erschienenen „Staatsver- fassung der heutigen vornehmsten Europäischen Reiche“ hervor, Auf eine wenige Seiten umfassende Geschichte Spaniens folgt eine kurze Beschreibung des Klimas, der geographischen Lage, der Ein- seilung und der Erzeugnisse des Landes; die Kolonien werden auf- gezählt und deren Erzeugnisse und übrigen Verhältnisse mit wenigen Worten berührt. Daran reiht sich ohne jede kritische Bemerkung über die Berechnungsweise eine von Ustariz auf Grund einer Zählung aller steuerpflichtigen Familien berechnete Volkszahl und eine Betrachtung über die Ursachen der dünnen Bevölkerung, ferner 15 eine Schilderung des spanischen Nationalcharakters, eine Darstellung der Staatsverfassung mit Bemerkungen über die Inquisition, die Pflege der Wissenschaften, den „Fleiß und die Manufakturen“ der Spanier, so- wie den spanischen Handel, aber fast ohne jede Zahlenangabe, weiter eine Beschreibung des Münzwesens und des Staatshaushalts, ebenfalls mit nur ganz wenig Zahlen, sodann eine kurze Übersicht über die Land- und See- macht und endlich als Hauptergebnis ein Abschnitt über „das Inter- esse Spaniens“, wo auf einer Seite diskutiert wird, was das Wohl des Landes beeinträchtigt hat und in der Zukunft zu fördern ge- eignet ist. Dieser Abschnitt über Spanien eröffnet nach Conringschem Muster die Reihe der in dem Achenwallschen Buche enthaltenen Staatsbeschreibungen; insgesamt fanden 8 europäische Staaten Auf- nahme; aber selbst für Länder wie Großbritannien und Schweden, welche schon damals bevölkerungsstatistische Untersuchungen auf- zuweisen hatten, wird nur die wahrscheinliche Volkszahl angegeben und das vorhandene statistische Material überhaupt nicht erwähnt. 15. Eine wesentliche Änderung herbeizuführen, gelang weder dem Nachfolger Achenwalls, A. L.v. Schlözer (1735—1809), noch den übrigen Vertretern dieser Universitätsstatistik, auch vermochten sie nicht den Begriff der Statistik klarzustellen und über die Unbe- stimmtheit des Conring-Achenwallschen Begriffes „Staatsmerkwürdig- keiten“ hinauszukommen. Schlözer erkannte selbst die Relativität dieses Begriffes; was zu einer Zeit als merkwürdig zu bezeichnen wäre, sagte er, würde zu einer andern Zeit vielleicht gleichgültig sein *). Aber eine Folge dieser Unsicherheit war ganz natürlich der Mangel echter wissenschaftlicher Kraft. Die deutsche Universitätsstatistik konnte nur langsam zu einer wissenschaftlichen Disziplin werden, und zwar nicht auf Grund von Hindernissen, die sich bei der Beschaffung positiven Materials in den Weg stellten. Denn zwar lag das Material zum großen Teil in fürstlichen Archiven, ohne daß man wie heut- zutage ein Benutzungsrecht hatte oder die Aktenstücke gar abge- druckt in Quellensammlungen der Öffentlichkeit zugänglich waren; dies war jedoch eher ein Ansporn: Je tiefer sich die Quellen in den Staatsarchiven verbargen, desto eifriger stöberte man sie auf, so daß sich nach und nach denn auch viele, wenn auch sehr bunt gemischte, Beobachtungen in Zeitschriften und größeren Werken aufhäuften. Trotz allem aber war und blieb die „Statistik“ ein praktisches \ Schlözer, Theorie der Statistik, erstes Heft, Einleitung, 1804, S. 47 u. 53. 156 Fach. Was man im Staatsdienste brauchte, das sollte ihr Gegen- stand sein. Diese praktische Richtung tritt auch darin zutage, daß sie nur den gegenwärtigen Zustand schilderte. Hätte man sich jedoch damit begnügen wollen, so würde ein statistisches Werk bald nach seinem Erscheinen veraltet sein und in die Makulatur wandern gönnen. Die Universitätsstatistiker mußten also ihr Ziel weiter stecken, als bloß ein Bild der Gegenwart zu geben. Schlözer gestand denn auch die Möglichkeit zurückgreifender Statistiken Zu; man könnte, wie er sagt, „die Geschichte stille stehen lassen“ . Es brach sich also die Erkenntnis Bahn, daß man auch frühere Zu- stände statistisch beschreiben könne und daß die Aufgabe der Sta- tistik darin zu suchen sei, die jetzigen Zustände aus den ver- gangenen zu erklären und die Wechselwirkung zwischen den ein- zelnen Verhältnissen des Staates darzustellen. Schlözer wollte in der eigentlichen Statistik nur Tatsachen mitgeteilt wissen, der Sta- tistiker müsse aber, um seinen Vortrag weniger „trocken“ zu machen, „durch Einmischung von Geschichte, Ursachen und Folgen“ dem Vortrag „Leben und Interesse geben“ 2). Es förderte nur anscheinend den wissenschaftlichen Charakter der Statistik, daß Schlözer, wie seinerzeit Conring, eine bestimmte Einteilungsformel für diese Disziplin aufstellte, so lautend: vires unitae agunt®). Vires, die Grundmächte, sind Menschen, Land, Erzeugnisse und zirkulierendes Geld; in der Staatsverfassung ver- einigen sich diese Kräfte; und schließlich ergeben Regierung und Verwaltung der Formel drittes Glied, sie sind es, die wirken ’agunt). Solche altertümlichen Formeln zeigen dem modern den- kenden Menschen mit aller Deutlichkeit den großen Abstand, von dem aus neuzeitlich denkende Menschen diese gesamte Disziplin detrachten. Obwohl man sie mit großer Begeisterung pflegte, trug sie doch stets das Gepräge der Geistesarmut. 16. Eine von der gewöhnlichen Staatsbeschreibung etwas ab- weichende Stellung nahm der Geograph Büschin g (1724—1793) ein, ler die Statistik der Geographie unterordnen wollte. Mit Bienen- fleiß sammelte er, nicht immer unter günstigen Verhältnissen, eine ungeheure Menge Stoff, wovon seine im Jahre 1754 begonnene „Neue Erdbeschreibung“ deutlich zeugt. Allerdings trägt diese Beschreibung ') Schlözer, Theorie a. a. O., S. 86—87. *) Ebenda 8. 86. Y Ebenda 8. 59. 17 ein etwas chaotisches Gepräge und weist auch keine geographischen Gesichtspunkte im modernen Sinne auf; trotzdem aber hat sich Büsching um die Statistik sehr verdient gemacht und seine zahlenmäßig dar- gestellten Beobachtungen sind durchaus als absoluter Fortschritt anzu- sprechen. Interessant ist in dieser Beziehung sein Versuch, die Volks- zahl Portugals zu bestimmen (a. a. O. II, 1754, S. 7—8). Er konnte sich hier auf einen portugiesischen Verfasser stützen, der in einer Ab- handlung über Portugal ein Verzeichnis über Volkszahl und Anzahl der Feuerstellen der Städte und Gerichtsbezirke im Jahre 1732 mit- geteilt hatte. Obzwar dieser Autor das Verzeichnis als äußerst zu- verlässig bezeichnete, hatte er doch nicht die Volkszahl für das ganze Reich zu errechnen versucht. So etwas hat ihm offenbar ganz fern gelegen, während sich Büsching bestrebte, die Zahlen zu verwerten und — unter Mitzählung der Geistlichkeit — zu einem Ergebnis von 2 Millionen Einwohnern gelangte. Die Berechnung der Volkszahl anderer Länder war schwieriger. So suchte Büsching z. B. die Bevölkerung Deutschlands zu erfassen, indem er die Volkszahl Frankreichs zum Ausgangspunkt nahm. Diese war auf 20 Millionen veranschlagt worden, und da Deutsch- land dicht bevölkert sei und „darinnen vor Frankreich eher einen Vorzug“ habe, so könne man „Deutschland auf eine wahrscheinliche Weise gern ohngefähr 24 Millionen Menschen zuerkennen“ (a. a. O. LIT, 1757, S. 22—23). 17. Da die deutsche Universitätsstatistik bei der Schilderung der einzelnen Länder nach einem ganz bestimmten Schema vorging, erhielt sie mitunter ihren ganz natürlichen Ausdruck in der typo- graphischen Aussteuer. Bereits im Jahre 1741 ward diese schematische Form vom dänischen Historiker und Philologen Anchersen (1700—1765) in seiner Descriptio statuum cul- tiorum in tabulis benutzt. Ganz natürlich ergab diese typo- graphische Anordnung die kürzestmögliche Darstellungsform. So enthält seine Beschreibung in der ersten Tafel eine synoptische Dar- stellung von 15 europäischen Ländern, wo — unter der physischen Rubrik — Italien als „Paradisus Europae“ bezeichnet und die Reli- gion dieses Landes als „papistica“ beschrieben wird. Diese „Tabellenstatistik“ ging an und für sich nicht darauf aus, in größerem Umfange als gewöhnlich numerische Darstellungen zu geben, ganz natürlich wurde man jedoch in dieser Richtung beeinflußt. Es ist hier besonders Crome (1753—1833) zu nennen. Er gibt in einer Westergyaard und Nybelle, Theorie der Statistik, 2. Aufl. L8 seiner Arbeiten!) z. B. eine allgemeine Übersicht, worin nach ver- schiedenen Quellen für die einzelnen Staaten der Flächenraum und die Bevölkerungszahl, die Einwohnerzahl per Quadratmeile, die Kriegs- macht zu Wasser und zu Lande mitgeteilt, sowie Angaben und Be- merkungen über Einnahmen und Schulden der Staaten enthalten sind. In einem größeren Werke?) stellt Crome in einer Reihe recht ungeschickt angelegter Tafeln Volkszahl, Flächeninhalt, Bevölkerungs- dichte und die „mögliche Menschenzahl, wenn 3000 auf einer Quadratmeile leben“ für die verschiedenen Staaten mit Angabe der Quellen zusammen und bespricht im Texte die verschiedenen zur Schätzung der Volksmenge angewandten Methoden. Selbst wenn Tabellen dieser Art ziemlich unvollkommen und die zur Verdeutlichung benutzten graphischen Darstellungen oft gar unpraktisch waren, und selbst wenn die damalige Bevölkerungs- schwärmerei zu großer Einseitigkeit führte, so sind Werke wie die Cromeschen doch von wahrem wissenschaftlichen Geiste durch- irungen, und trotz ihrer Trockenheit mußte diese Richtung not- wendigerweise die Conring-Achenwallsche Richtung beeinflussen. 18. Ohne Widerstand ging dies allerdings nicht. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts brach ein Streit zwischen beiden Richtungen aus%. Die deutsche Universitätsstatistik, die „Göttinger Schule“, erkannte zwar die Notwendigkeit eines ziffernmäßigen Materials an, behauptete jedoch, die "Tabellenstatistik befasse sich nur mit materiellen Dingen, während die Universitätsstatistik die „höhere und edlere“ Richtung sei. So heißt es in einer Besprechung in den „Göttingische gelehrte Anzeigen“, 1806: „Die Tabellen-Methode ist zu bequem und einleuchtend für die große Menge der Geschäfts- männer in hohen und niederen Stellen, als daß sie nicht hätte all- gemeinen Eingang finden sollen. Hat man hier in einigen Columnen die Zahl der Quadratmeilen, der Einkünfte, der Einwohner und des lieben Viehes vor Augen, so hat man auch die Übersicht von den Kräften des Staates; für Nationalgeist, Freyheitsliebe, das Genie und den Charakter großer oder kleiner Männer an der Spitze gibt es keine Columnen.“ Die Tabellenstatistik wurde als „hirn- loses Machwerk“, ihre Verfasser als „Tabellenknechte und Skelet- ') Crome, Über die Größe und Bevölkerung der europäischen Staaten, als der sicherste Maßstab ihrer verhältnismäßigen Kultur. Neue Aufl, 1794, 3 Crome, Über die Größe und Bevölkerung der sämtlichen europäischen Staaten, 1785. 3) Siehe u. a. John, Geschichte der Statistik, 1884, S. 128. 15 Nomen Terrz Limites ad Divi- fio. | Civi- tates Pri- ma- rizx. | Religio. ! Status Civilis, Menfura. Regna PORTUGALLLFA, olim LUSITA- NIZ, & ALGARBLE. Septentrionem & Orientem Galliciam Ad meridiem & Ocidentem Legionem Algarbiam & Oceanum Extremaduram Atlanticum. Andalufiam Hifpaniez, INTER- ! TRANS- amnıa. montana,. Entre- Tralos Minho, montes, & Douro. | Mm “RE moCura. TRANS tagana.ı Alantejo, ALGAR- biz, Regnum., ] BRA- ganza. Miranda de Gvımara- Douro. nes. Lat, Villa-Real | Vimari- villa Re- num. galis. Port ä Montcor- Port v: vo, Porto. Pinhel. Lima Almeyda vel Academ. Ponte de | 1733. Lima, ıCaftel: COIM- LISABON EVORA bra. Acıadem: vel Academ Setubal 'Ebora , 1290. hod:ı Academ: Aveiro, St. Hübes. Eftremos, Lat Alcafler diVilla vico- Averium. Sal fa. Lamego, Santarein Portalegre Vifeo. L.Scalabis. Lat. Gvarda. Tomar, Portus ala- Caftelbran- Leiria. cris, co, & Alanqver ı Campoma- Salvaterra4 Sintra, jor | Caftella a Elvas L LAGOS Lat, Lacobriga. Silves Sil- ve. Tavira Pharus. Caitro ma- rino. Papiftica horrendo Inqvifitionis Tribunali munita, Rex JOHANNES V. ex Gente Braganza. cujus poteftas & Statibus, qvi Cortes dicuntur circumferipta, natus 1689, Primogenitus dicitur Princeos Brafili? in America, Longa KL 90. Mil, Germ. Lata ; ; . so. Mil. Germ. 18. mil. 30.mil. 35. mil. 35, mil. Longa. _ 27.mil 36. mil, , 8. mıl. Abdruck einiger einer Seite des Anchersenschen Descriptio statuum entnommener Bruchstücke. 20 tirer der Statistik“ bezeichnet, die Statistik der Göttinger Schule dagegen als eine der edelsten Wissenschaften gepriesen. Die Tabellenstatistik blieb die Antwort nicht schuldig. In der Zeitschrift „Germanien“ verteidigte Crome scharf seine Anschauung (1808) und bezeichnete die Kritik seines Hauptgegners A. F.Lueder (1760—1819) als „das declamatorische Geschwätz des über alles raisonirenden, oft nach falschen Ansichten und vorgefaßten Mei- aungen deraisonirenden, Hrn. Lueder“. Lueder scheint denn auch nicht ganz unschuldig gewesen zu sein. Nach seinen Abhandlungen zu urteilen, war er ein heißes Blut, ein Mann, der mit Begeisterung sich eine Theorie zu eigen machte, um sie bald wieder kurz entschlossen fallen zu lassen. Dies tritt in auffallendem Grade in seiner „Kritik der Statistik und Politik“ (1812) hervor. Er fällt hier ein scharfes Urteil über die von ihm selber früher so gelobte Universitätsstatistik: „Wir wissen nicht einmal, wie viel Mark wir in den Knochen ... haben: und wir wollen bestimmen die Kraft des Willens ganzer Völker, ihre Empfänglichkeit für den Enthusiasmus, ihre Energie und Resignation, ihre allgemeine und sittliche Kultur, ihr Vertrauen auf Gott und jen Muth ihrer Tugend!“ ($ 155). Die Zahlenangaben seien teils yanz falsch und, auf Dienstlügen fußend, teils vollständig irreführend: „Entscheidet die Volksmenge, so gilt der eine Kopf, was der andere gilt... ein Sully so viel als ein Scharfrichter; ein Kant nicht mehr als ein Laternenanzünder“ ($ 90). Und ganz dasselbe tritt in seiner leidenschaftlich geschriebenen „Kritischen Geschichte der Statistik“ (1817), die fast auf Monomanie schließen läßt, zutage. Die Statistik !sei nichts anderes als ein Traumbild, die Zahlenangaben seien ungenau. Er spottet über die Versuche, durch Verzeichnisse über uneheliche Geburten usw. eine „Himmelsbuchführung“ anlegen zu wollen (S. 377); „was man außer Bedlam sonst nirgends vereinigte, finden wir vereinigt in unseren Statistiken, im Abschnitt von der Staatsverwaltung“ usw. (S. 271). Es war nun nicht bloß die Kritik Lueders, die eine Änderung der Anschauung bewirkte, auch andere Verhältnisse spielten hinein. So mußte der Umstand, daß die Statistik so oft über Macht und Bedeutung der Länder prophezeite (vgl. das „Interesse“ bei Achen- wall) und damit ein politisches Gepräge erhielt, unausbleiblich zum Abfall von der Göttinger Schule beitragen, nachdem die politischen Ereignisse zu Beginn des 19. Jahrhunderts die Unrichtigkeit der meisten Prophezeiungen über Deutschland erwiesen hatten. 2 wa 10 Das Herzogthum Bayern, 9) Religion. Die Landegsreligion if rein römifch. Fatholifh. Die Seißllidhfeit if zahlreich, mächtig mwirkend, und bez fißt 968 Vfarren, 1904 Filialen und 548 Sapel- len; ferner. 119 Manns- Nöfler, 23 Hofpitien, 36 Nonnenflößter , man bes rechnet den ganzen Klerus zu 7300 Köpfen. Das Land hat weder einen Erzbifhof, noch einen einzigen inlän= difdHen Biflhof;z (dmmtlis he Neligiongangelegenhei= ten merden von dem Erzbi- (hof zu Salzburg, den Bi: fböfen zu Paßan, Freifing, Eichflätte, Yugsburg, Bam: derg und Coftanz geleitet. . 10) Kunftprodukte. 10) Kunftprodukte, Keine der teutfhenStaas Manufacturen nnd Ges ten foummt den Fatholiilhen werbefland liegt noch da- Yliederlanden an Höherer nieder. Kunfiprodueteufultur , in Leinmand von Mit: Manufacturen, Fabriken, tfelgewebe, am häufigften und Sewerben gleich, die: im füdlihen Theil nach fe Ldnder Haben Kunfiproz Tyrol zu. Leinmeber 6224 ducte, deren innere uud im Jahr 1776. Sußere Schönheit, feldft Tucdherzeugung vor Englifde, Sranzöfifhe und Hundert Jahr fehr beiracht: HoNländifhe Inbufrie bis lich; im Jahr 1780 wur: jegtuichterreichet Hai, Dies den nur 5000 Stird ges fe find: madt. Im Jahr 1770, Zudmacher 333. Ignaz de Luca, Statistische Fragmente, Wien 1797. Zusammengestellt aus 8. 10 und 11, Anfang. 292 19. Diese Episode in der Entwicklungsgeschichte der Statistik ist allerdings recht alleinstehend, jedoch keineswegs unbedeutsam, wo es sich um das Verständnis der gegenseitigen Beziehungen zwischen den Richtungen innerhalb der Statistik handelt. An- scheinend setzte die deutsche Universitätsstatistik nach diesen Stürmen ihre Arbeit fort; blättert man jedoch die Beiträge des 19. Jahrhunderts zur Staatenkunde durch, so erkennt man sofort, laß diese Disziplin nicht von der Kritik unbeeinflußt blieb. Die „Tabellenstatistik“ bildet, wie oben erwähnt, eine Brücke zwischen der Universitätsstatistik und den übrigen Richtungen der Statistik. Man kann sie als einen Ausläufer der politischen Arith- metik bezeichnen, deren Entwicklung in großen Zügen weiter unten geschildert wird. Der Streit zwischen der Göttinger Schule und der Tabellen- statistik wurde, wie gewöhnlich bei solchen Debatten, nicht förmlich abgeschlossen. Hinsichtlich der Universitätsstatistik kann eine Jugend- schrift des späteren berühmten Nationalökonomen Carl Knies (1821 —1898), „Die Statistik als selbstständige Wissenschaft“ (1850) ange- führt werden, die mit musterhafter Klarheit den Unterschied zwischen der Statistik als Staatenkunde und als politische Arithmetik fest- legte. Für die letztere schlug er den Namen Statistik, für die erstere die Bezeichnung „Gegenwartskunde“.oder „Staatenkunde der Gegenwart“ vor. Dies stimmt zu der jetzigen allgemein herrschenden Auffassung. Man wird hiernach dann im wesentlichen die Uni- versitätsstatistik als ein Fach betrachten können, das nur indirekt die eigentliche Statistik berührt und nur auf Grund der geschehenen eigenartigen Namensänderung einen Platz in der Geschichte der Statistik gewonnen hat. B. Die politische Arithmetik und die Wahrscheinlichkeits- rechnung. 20. Die Wiege der politischen Arithmetik stand in London, wo im Jahre 1662 ein Kaufmann, John Graunt (1620—1674), ein eigenartiges Buch herausgab: Natural and wolitical Observations upon the Bills of Mortality. London hatte im 17. Jahrhundert mit seinen einigen Hundert- tausend Einwohnern eine bedeutende Größe erreicht. Schon eine weit geringere Anhäufung von Menschen verursachte in jenen Zeiten große Schwierigkeiten. Schwer war die tägliche Versorgung der Bevölkerung mit Lebensmitteln; viel schlimmer jedoch stand es um ). die hygienischen Verhältnisse, wie denn auch die Geschichte Londons zahlreiche Pestjahre aufweist. So wütete im Jahre 1348 der schwarze Tod, zu einer Zeit, wo die Stadt 30—40000 Menschen zählte. In den Jahren 1563 und 1592 trat ebenfalls die Pest auf, dann ver- schiedene Male im 17. Jahrhundert, nämlich 1603, 1625 und 1665. Während einer solchen Epidemie starben mehrere Prozent der Be- völkerung, so daß es nicht Wunder nimmt, daß die öffentlichen Mit- teilungen über Begräbnisse und Kindtaufen mit größter Aufmerk- samkeit von den Einwohnern verfolgt wurden. Bereits im 16. Jahr- hundert hatte man wöchentliche Verzeichnisse über Geburten und Sterbefälle, die ab und zu, namentlich zu Ende des Jahrhunderts, veröffentlicht wurden. Nach der großen Pest im Jahre 1603 er- schienen diese wöchentlichen Verzeichnisse regelmäßig und so, daß am letzten Donnerstag vor Weihnachten eine Gesamtübersicht über das ganze vorhergehende Jahr herauskam. Die Listen enthielten Angaben über die Anzahl der Kindtaufen und Begräbnisse, außer- dem besondere Mitteilungen über die durch die Pest verursachten Todesfälle. Die Todesursachen wurden vom Jahre 1629 an ver- öffentlicht. Die Veröffentlichungen beruhten auf den Angaben alter vereidigter Frauen, die die Leichenschau vorzunehmen hatten. Selbst- verständlich war die Nomenklatur sehr unvollständig und die Dia- gnose vermutlich gar oft falsch. Überhaupt hafteten diesem Material große Mängel an; nichtsdestoweniger aber glückte es Graunt, bei der Bearbeitung solcher Beobachtungen der wissenschaftlichen For- schung ein ganz neues Gebiet zu erschließen. Graunt hatte keine akademische Ausbildung genossen. Sein Vater war Tuchhändler, und er selbst lernte als Manufakturhändler (Haberdasher). Aber in seiner freien Zeit eignete er sich verschiedene Kenntnisse an. Unglücklicherweise kam er während dieser Studien nicht auf die Mathematik, es wäre ihm dies eine unschätzbare Hilfe geworden. Bei seinen Zeitgenossen genoß er großes Ansehen, nicht zum wenigsten in der akademischen Welt; nach Erscheinen seines Buches ward er zum Mitglied der neugestifteten wissenschaftlichen Gesellschaft „Royal Society“ gewählt. Einer der mit ihm befreun- deten Akademiker war William Petty (1623—1687), der Erfinder der Benennung: Politische Arithmetik ?!). Pettys Name ist so ‘) Die von Graunt und Petty verfaßten Schriften sind am leichtesten zu- gänglich in Ch. H. Hull, The economic writings of Sir William Petty, 1899. Dieses Werk enthält teils die Schriften Pettys, teils die 5. Ausgabe (1676) der Graunt- schen Observations, welche nur wenig von der l. Ausrabe abweicht. 7 eng mit dem Graunts verknüpft, daß er mitunter als der eigentliche Verfasser des Grauntschen Buches aufgefaßt worden ist, was jedoch keineswegs Wahrheit ist. Graunts „Observations“ scheinen das Resultat langjähriger Er- wägungen zu sein, indem seine Gedanken nach und nach, unter Be- rücksichtigung der verschiedenen auftauchenden Probleme, Form gewonnen haben. Dies ist eine Erklärung dafür, daß seine Schlüsse nicht immer in vollem Einklang miteinander stehen. Wie wenig man von Bevölkerungsverhältnissen wußte, geht deut- lich aus seinem Buche hervor. Er erwähnt die Schätzung eines Mannes von „eminenter Reputation“, wonach London im Jahre 1661 2 Mil- lionen Einwohner gehabt hätte, eine Zahl, die erst spät im 19. Jahr- hundert erreicht wurde. Es war eine recht verbreitete Auf- fassung, daß innerhalb der Bevölkerung mehr als drei Frauen auf jeden Mann entfielen, daß jedem Regierungswechsel Pestseuchen folgten und daß die Bewegungen des Mondes den Gesundheits- zustand beeinflußten. 21. Wie erwähnt, war das Material recht unvollkommen; aber Graunt versteht, es kritisch auszunutzen. Er ist mit den großen Mängeln der Geburtenstatistik namentlich seit Mitte des Jahrhunderts im reinen. In den Verzeichnissen über Todesfälle fehlten Katholiken und Nonkonformisten, die auf ihrem eigenen Friedhof beigesetzt wurden. Es gab Krankheiten, die nicht immer als Todesursache ge- nannt wurden; insbesondere mißtraut Graunt den Angaben über Todesfälle nach „französischen Pocken“ (Syphilis); und er versucht zu zeigen, daß in Pestjahren viele Todesfälle vorkommen, die anderen Ursachen zugeschrieben werden, in Wirklichkeit aber durch die Pest verursacht sind. Ganz natürlich fühlt Graunt sich sehr überrascht durch die Regelmäßigkeit der Zahlen auf vielen Gebieten, und diese Regel- mäßigkeit wird eines der Grundmotive des Buches. Er sucht zu beweisen, daß die relative Anzahl von Todesfällen nach chronischen Krankheiten, Unglücksfällen und Selbstmord konstant ist, während epidemische Krankheiten unregelmäßig auftreten. Man darf sich nicht darüber wundern, daß er sich infolge seiner Auffassung über die große Regelmäßigkeit verleiten läßt, auf Grundlage einiger von einer einzelnen Landgemeinde erhaltenen statistischen Beobachtungs- ergebnisse (Pettys Geburtsort Romsey) weitgehende Schlüsse zu ziehen. Das Material enthielt keine Altersangaben. Nur eine Minderzahl von Toten wurde auf der Todesursachenliste als „alt“ rubriziert. 25 Graunt ist sich über die Bedeutung dieses Ausdrucks im unklaren; er schwankt zwischen 60 und 70 Jahren, benutzt jedoch die Zahl nicht. Dagegen sucht er bei einer Untersuchung der Todesursachen festzustellen, wieviele Menschen vor Erreichung des 6. Lebens- jahres sterben. Während der 20 Jahre, 1629—1636 und 1647—1658, starben insgesamt ungefähr 229000 Menschen. Unter Auslassung von 16000 Sterbefällen infolge Pest findet er, daß etwa 71000 Todes- fälle durch Kinderkrankheiten verursacht werden; ferner waren 12000 an Blattern, Masern und anderen Krankheiten gestorben, also an Krankheiten, die auch Erwachsene befallen können; er nimmt an, daß die Hälfte dieser Toten nicht das 6. Lebensjahr erreicht habe. Das Resultat ist demnach, daß 36 Proz. der Todesfälle vor dem 6. Lebensjahre eintreten. Und dies Ergebnis stimmt nicht schlecht mit späteren Beobachtungen überein. Geringeres Glück war seinem Versuch beschieden, den Rest der Sterbefälle nach Altersgruppen zu verteilen. Dies geschieht nämlich ganz willkürlich nach sehr schneller Progression. Im 16. Lebensjahr sollten von 100 Geborenen nur noch 40, im 26. Jahr nur 25 und im 46. Jahr nur 10 usw. am Leben sein. Selbst wenn man etwas über die Altersgruppierung gewußt hätte, so würde man doch keineswegs auf Grund des vorliegenden Materials haben berechnen können, wie viele von 100 Neugeborenen nach und nach noch am Leben wären (eine Überlebenstafel), da ja die Bevölkerung stark wuchs und der jährliche Zuwachs zu berück- sichtigen war. Aber wie wenig nun auch die Zahlen mit der Wirk- lichkeit übereinstimmten, so muß man doch diesen ersten bahn- brechenden Anfang zu einer Sterblichkeitsstatistik bewundern. Recht interessant ist der Versuch Graunts, die Einwohnerzahl Londons festzustellen. Er geht von einer normalen jährlichen An- zahl Kindtaufen von 12000 aus, einer Zahl, die einer Anzahl von 24000 gebärfähigen Frauen („Teeming-Women“) entspricht. Die Anzahl von Familien wird seiner Ansicht nach dann 48000 sein; setzt man für jede 8 Mitglieder, nämlich Mann, Frau, 3 Kinder und 3 Dienstboten, so ergibt sich eine Bevölkerung von 384000 Seelen. Dieses Ergebnis stimmt mit den Resultaten einer auf Grundlage einiger Kirchspiele angestellten Untersuchung überein; für diese Kirchspiele konstatierte Graunt 3 Sterbefälle jährlich auf je 11 Fa- milien, und da die Normale der Todesfälle in London 13000 ist, kommt er wieder zu ungefähr 48 000 Familien. Innerhalb der Mauern wohnen etwa 12000 Familien, und ein Studium der Karte Londons läßt die dreifache Zahl außerhalb der Mauern vermuten, womit man 26 wiederum zu 48000 Familien gelangt. Auf diesem langen Umwege kommt er also zu einem Resultat; seine Nachfolger wählen in der Regel den kürzeren Weg, eine gewisse Verhältniszahl für Sterbefälle ‘oder Geburten) vorauszusetzen. Eine jährliche Sterblichkeit von 3,4 Proz. würde rund 380000 Einwohner ergeben; da eine solche Sterblichkeit vermutlich den Tatsachen recht gut entspricht, mag Graunt einigermaßen richtig geschätzt haben. Dagegen waren seine Berechnungen der Altersgruppierung un- klar. Er wünscht die Zahl der wehrhaften Männer (zwischen 16 und 56 Jahren) festzustellen. Nach seiner oben erwähnten mittels Schätzung gewonnenen Verteilung sollten von 100 Neugeborenen 40 im 16. Lebensjahre und 6 im 56. Jahre noch am Leben sein. Der Unterschied ist 34, und er meint nun, daß diese Zahl die relative Anzahl von Personen des gegebenen Alters angibt. Er sieht nicht, Jaß er die Anzahl der Todesfälle, nicht aber die Anzahl der dem Tode ausgesetzt gewesenen Personen gefunden hat. Er hätte fol- yendermaßen schließen können: zwischen 26 und 36 ‚Jahren ist die Zahl von 25 auf 16 gesunken; durchschnittlich sind also in jeder der 10 Altersklassen 20,5 dem Tode ausgesetzt gewesen; für je 100 Neugeborene müßten demnach 205 Personen zwischen 26 und 36 Jahren sein; auf diesem Wege fortsetzend, würde man finden, daß as für je 100 Neugeborene 740 Personen zwischen 16 und 56 Jahren gab und in der gesamten Bevölkerung (sämtlichen Altersklassen) 1822, Einer jährlichen Zahl Geburten und Todesfälle von 13000 würde eine Einwohnerzahl von 237000 entsprechen, also viel weniger als nach obiger Schätzung; diese niedrige Zahl hätte wohl Graunt zur Re- vision seiner Sterbetafel veranlassen können. Graunt stellt auch interessante Betrachtungen über das Verhältnis zwischen Knaben- und Mädchengeburten an und knüpft daran — allerdings nicht gerade klar — Bemerkungen über die Sterblichkeit beider Geschlechter; trotz der augenscheinlichen Mängel der Graunt- schen Untersuchungen darf man doch sagen, daß diese ersten Ver- suche der Behandlung eines bevölkerungsstatistischen Materials von siner Initiative und‘ Frische im Anfassen der vorliegenden Probleme zeugen, die Graunt stets einen Ehrenplatz in der Geschichte der Sta- jistik sichern werden. 23. Petty, Graunts Freund, war ein begabter Mann, der sich von bescheidenen Verhältnissen zu bedeutendem Wohlstand und an- yesehener sozialer Stellung (1661 ward er geadelt) emporgearbeitet hatte. Wie bereits erwähnt, waren es vorzugsweise Fragen politischer Natur, die ihn interessierten, während er sich weniger mit den 2 Grauntschen Problemen befaßte und die Forschungsresultate Graunts ohne Nachprüfung direkt ausnutzte. Starke Einbildungskraft kenn- zeichnet seine Schriften. Seine Untersuchung über die Einwohner- zahl Londons?) ist eines der vielen Beispiele hierfür: Zuerst sucht er die Zahl der Häuser Londons festzustellen. Die große Feuers- brunst im Jahre 1666 legte 13200 Häuser in Asche; auf der rela- tiven Anzahl von Todesfällen dieses zerstörten Stadtteils fußend, gelangt Petty zu dem Resultat, daß die 13200 ein Fünftel sämtlicher Häuser Londons ausmachten. Demnach solle es im Jahre 1666 in London 66000 Häuser geben; und da nun die Anzahl der Sterbefälle von 1666—1686 im Verhältnis 4:3 gewachsen sei, ergebe sich, unter der Voraussetzung eines entsprechenden Zuwachses, eine Häuserzahl von etwa 88000. Beim Studium der Karte Londons gelangt Petty zu einem ähnlichen Resultat, indem danach im Jahre 1682 etwa 84000 Häuser vorhanden sein sollten. Da nun seiner Meinung nach die Einwohnerzahl Londons sich im Laufe von 40 Jahren verdoppeln müsse, veranschlagt er den Zuwachs im Laufe von 4 Jahren auf 10 Proz., um demnach für das Jahr 1686 zu einer Häuserzahl von 92400 zu gelangen. Eine rationellere Berechnung auf Grundlage der Hypothese über die Verdoppelung während der 40 Jahre hätte übrigens die Zahl etwas verkleinert, so daß er damit seiner ersten Schätzung näher gekommen wäre. Seine Veranschlagung der Einwohnerzahl fußt jedoch nicht auf diesen Berechnungen. Er stellt für Dublins 6400 Häuser 29325 Feuerstellen fest, und den 388000 Feuerstellen Londons würden — nach einer nicht ganz genauen Berechnung — demnach 87000 Häuser entsprechen. Ähnliche Berechnungen mit Bristol würden 123000 ergeben, und Petty ist jetzt mit der Mittel- zahl von 105000, die den Mitteilungen des Hearth Office genau ent- spricht, zufrieden. Rechnet man nun durchschnittlich auf jede Fa- milie 6 Personen, 10 Proz. der Häuser zu 2 Familien, den Rest zu 1 Familie, dann wäre die gesamte Einwohnerzahl etwa 695000. Fast ein gleiches Resultat erhält man, wenn man die Sterblichkeit in einem Normaljahre zu !/s ansetzt und die durchschnittliche An- zahl von Sterbefällen, nämlich von 1684—1685 23212, als Ausgangs- punkt nimmt; hierbei ergibt sich die Zahl 696 360. Schließlich setzt Petty voraus, daß ein Fünftel der Bevölkerung in Pestjahren drauf- gehe. Da im Jahre 1665 etwa 98000 an der Pest starben, müsse die damalige Einwohnerzahl 490000 und 20 Jahre später vermutlich ein Drittel mehr, also 653000 sein. Solche Berechnungen enthalten Five essays in Political Arithmetic (1687), siehe Hull a. a. O. S. 533{. 28 so viele Zwischenglieder, daß die Schlußergebnisse bei Änderungen der Voraussetzungen sehr stark variieren können. In einer anderen Abhandlung!) berührt er die Frage der Ver- doppelungsperiode. Auf dem Lande stirbt jährlich 1 von 50, und 24 Geburten kommen auf je 23 Sterbefälle. Er rechnet damit, daß dies im Laufe von 1150 Jahren eine Verdoppelung der Bevölkerung ergebe. Wenn die Sterblichkeit */3g ist und 5 Geburten auf je 4 Todesfälle kommen, ist der jährliche Geburtenüberschuß 1 auf je 120, and die Verdoppelungsperiode sollte dann 120 Jahre sein (in Wirk- lichkeit würde man bei Anwendung der Formel über den Zinseszins 33 Jahre bekommen). Für Petty gilt es nun, zu einem Durchschnittsergebnis zu ge- 'angen. Bei einer Sterblichkeit von !/,, auf dem Lande und !/39 in London rechnet er mit !/,, als der Normalen für Stadt und Land zu- sammengenommen. Für die Geburten hat er die oben erwähnten Quotienten ?/,3 und 5/,; hieraus bildet er, etwas willkürlich, !%/ als Normale. Der natürliche jährliche Zuwachs solle somit !/;;9 und die Verdoppelungsperiode 360 Jahre sein (Zinseszinsrechnung würde etwa 250 Jahre ergeben). Da nun die Einwohnerzahl Londons sich in 40 Jahren verdoppele, müsse sie anno 1800 über 5 Millionen sein, und außerhalb der Stadt müßten 4 Millionen leben. Wenn dieser Punkt erreicht sei, würde London stagnieren. Petty betrachtet eine Verdoppelung im Laufe von 10 Jahren als physiologisch möglich, aine Hypothese, die bekanntlich über 100 Jahre später von Malthus yenutzt ward. Auf dem ganzen Erdenball leben nach Petty 320 Millionen Menschen. Er stellt nun darüber Betrachtungen an, wie die Bevöl- kerung der Erde seit der Sintflut gewachsen sein könne bei einer anfänglichen Verdoppelung in 10 Jahren und später in längerer und längerer Zeit. Zu Mose Zeiten sei die Gesamtbevölkerung der Erde \6 Millionen gewesen. 23. Während Graunt und Petty mathematischer Strenge ent- behrten, war dies nicht mit dem berühmten englischen Astronomen Edm. Halley (1656—1742) der Fall; er brachte die politische Arithmetik durch seine Untersuchungen über die Bevölkerungs- verhältnisse der Stadt Breslau ein beträchtliches Stück vorwärts. {n Breslau hatte man lange schon periodische Verzeichnisse über Geburten und Todesfälle geführt und konnte demnach die Entwicklung seit der Mitte des 16. Jahrhunderts verfolgen. Ein 1) a. a. O0. 8. 460£. 20 Pfarrer, Caspar Neumann (1648 —1715), hatte sich etwas mit diesem Material beschäftigt !). Mit seinen Untersuchungen verfolgte er das Ziel, „schöne Anmerkungen göttlicher Providenz über unser Leben und Tod“ zu gewinnen und „vielerlei Aberglauben desto besser aus der Erfahrung“ zu widerlegen. So ging z. B. aus seinen Beobachtungen hervor, daß die Mondphasen für die Gesundheit un- schädlich seien und daß die „klimakterischen“ Jahre nur einen ge- ringen Einfluß haben könnten. Weniger klar waren seine Unter- suchungen über die klimakterischen Wochen; es handelt sich hier um die sogenannten septenarii und nonarii, Kinder im 1. Lebens- jahre, deren in Wochen ausgedrücktes Alter durch 7 oder 9 teil- bar ist. Die Arbeit Neumanns ist an und für sich nicht ohne Verdienst, das benutzte Material sollte jedoch in der Hand Halleys noch weit reichere Ausbeute geben. Neumanns Arbeiten gelangten zur Royal Society in London, womöglich durch die Vermittlung von Leibnitz; es entstand dann ein Briefwechsel, welcher Halley die Mitteilung der Beobachtungen in der von ihm gewünschten Form ermöglichte. Das Resultat war jene berühmte Abhandlung ?), die Halley in den Philo- sophical Transactions of the Royal Society of London des Jahres 1693 ‚mit späterer Beilage) veröffentlichte. Hierin behandelte er das Material für die 5 Jahre 1687—1691 mit einer ganz eigenartigen Klarheit und Schärfe. Unglücklicherweise verstanden seine Nach- folger nicht immer die von ihm gelösten Probleme, so daß seine Abhandlung nicht den ihr zukommenden Einfluß ausübte. Halley scheint auf der Voraussetzung einer einigermaßen kon- stanten Bevölkerung zu fußen. Er hat sich vielleicht vorgestellt, daß der kleine Geburtenüberschuß durch die Militäraushebungen aufgewogen werde. Die Zahlen behandelt er mit einer ge- wissen Freiheit; so nimmt er die am Christ-Church-Hospital in London gemachten Beobachtungen zu Hilfe, und durch kleine Ver- änderungen an den Zahlen bringt er den Geburtenüberschuß zum Verschwinden. 24. Er stellt sich nun die Aufgabe, die Einwohnerzahl Breslaus, und zwar nach Altersklassen verteilt, zu finden. Die Listen um- ’) J. Grätzer: Edmund Halley und Caspar Neumann, 1883. °) An estimate of the degrees of the mortality of mankind drawn from curious tables of the births and funerals of the city of Breslau. Siehe auch R. Böckh: Halley als Statistiker im Bulletin de Institut international de Sta- tistique, Tome VII, 1893 und Westergaard, Die Lehre von der Mortalität, 2, Aufl., 1901. 8. 34 £. — 30 fFaßten die „Augsburgschen Konfessionsverwandten“ der Stadt und enthielten 5869 Todesfälle und 6193 Geburten. Durchschnittlich wurden jährlich 1238 geboren; weiter starben 348 im 1. Lebensjahre. Wenn diese Zahlen normal sind, müssen demnach jährlich 890 Kinder den 1. Geburtstag erreichen. Aber wieviele Kinder unter einem Lebensjahr werden dann an einem gegebenen Tage eines Jahres, z. B. am 31. Dezember, vorhanden sein? Die zu suchende Zahl ist offenbar zrößer als 890, indem ein Teil der 0—1jährigen Kinder im folgenden Kalenderjahr sterben wird. Feststellungen hierüber hat Halley auf jeden Fall fürs Jahr 1691 gehabt. Von den 1218 in diesem Jahre geborenen starben 226 im Laufe des Geburtsjahres, so daß bei Jahres- schluß 992 am Leben waren. Diese Zahl hat er dann auf 1000 ab- yerundet; und er geht also davon aus, daß Breslau 1000 Kinder unter einem Jahre zählte. Danach berechnet er — wie erwähnt, mit etwas freier Ausnutzung der Zahlen — wieviele 1—2jährige, 2—3jährige usw. existieren, um so die Zusammensetzung der Bres- lauer Bevölkerung nach Altersklassen zu konstruieren. Alles in allem fand er, daß die Einwohnerzahl 34 000 sein müsse, und dies stimmt ganz gut mit Resultaten nach anderen be- völkerungsstatistischen Quellen Breslaus überein. Die Idee der Sonderung in solche, die im Laufe des Geburts- jahres und solche, die überhaupt vor Erreichung des 1. Geburtstages sterben, ist trotz des anscheinend einfachen Gedankenganges von Jen älteren Statistikern nicht immer verstanden worden. Die Nachfolger Halleys faßten in der Regel das Verhältnis so auf, als ob die 1000 Einjährigen entweder neu geboren oder gerade den 1. Geburtstag erreicht hätten. Für die rein praktische Aufgabe der Bestimmung einer Einwohnerzahl würde ein solcher Fehler übrigens ohne wesentliche Bedeutung sein, vielleicht nur 1 Proz. der Zahl ausmachen. Daß Halley aber in diese Frage hat eindringen können, ist ein Beweis für seine große Geistesschärfe. 25. Er zeigt uns ferner, daß die gefundene Altersgruppierung auch die Sterblichkeit angibt, indem man aus den Zahlen ersieht, wie 1000 Personen zwischen 0 und 1 Jahr allmählich hinsterben» Und wiederum folgen weitreichende Schlüsse hinsichtlich der Ver- wendbarkeit der Zahlen. So will er z. B. das wahrscheinliche Lebensalter (das Alter, in dem die Hälfte der Geborenen verstorben sind), die Zahl wehrhafter Männer (indem er davon ausgeht, daß as wenigstens ebensoviele Männer wie Frauen gebe) oder die Zahl yzebärfähiger Frauen und zuguterletzt Lebensversicherungs- prämien für ein, zwei oder mehrere Leben berechnen. In diesem z letztgenannten Punkte ward der geniale Forscher allerdings auch nicht verstanden. Es entstanden zu Halleys Lebzeiten verschiedene Lebensversicherungsgesellschaften, sie waren jedoch technisch sehr un- vollkommen, und außerdem wußte das Publikum auch kaum zwischen Lebensversicherung und Hazardspiel zu unterscheiden. Übrigens ist es sehr die Frage, ob Halleys Tafel einer Lebens- versicherungsgesellschaft die ausreichend feste Grundlage gegeben hätte. Zwar darf man im großen und ganzen wohl davon aus- gehen, daß Halleys Zahlen, jedenfalls für eine längere Periode des Lebens, nicht besonders viel von der tatsächlichen Sterblichkeit in Breslau zu jener Zeit abwichen, und er war sicher der Wahrheit viel näher als Graunt. Aber in dem betreffenden Zeitraum war die Sterblichkeit in Breslau ungewöhnlich gering; es gab kein Pestjahr, und zweifellos raffte ebensowohl hier wie in London die Pest sonst oft ungeheuer viele Menschen dahin; so starben z. B. allein im Jahre 1633 13231, wahrscheinlich zwei Fünftel der Bevölkerung! Und wenn nun auch nicht gerade so große Katastrophen eintrafen, so konnte doch die Sterblichkeit oft recht erheblich sein. In den zehn auf die von Halley untersuchte Periode folgenden Jahren starben z. B. 2000 mehr als getauft wurden. 26. Der Weg lag nun einer Weiterentwicklung der politischen Arithmetik offen. Solche Entwicklung konnte teils mit der Be- handlung ökonomischer, teils mit der Untersuchung bevöl- kerungsstatistischer Probleme geschehen. Die ökonomische Statistik ward besonders von Gregory King (1648—1712) und Sir Charles d’Avenant (oder Davenant, 1656—1714) gepflegt. King, dem von amtswegen Register über Steuern und über Ein- nahmen und Ausgaben des Staates zur Verfügung standen, hatte im Jahre 1696 sein Werk: Natural and Political Observations and Conclusions upon the State and Condition of England vollendet. Dies Werk, das zahlreiche numerische Angaben enthielt, ward nicht veröffentlicht, doch teilweise dank einer von Davenant geschriebenen Abhandlung zugänglich !). Davenant ging hinsichtlich des statistischen Materials dieselben Wege wie King, indem er in seiner Beamteneigen- schaft, erst als Akzisenkommissar, später als Generalinspektor für die Ein- und Ausfuhr, die Gelegenheit hatte, sich seine zahlen- mäßigen Unterlagen zu verschaffen. *) Essay upon the probable methods of making a people gainers in the balance of trade, 1699. Eine Gesamtausgabe der Schriften Davenants ist von Sir Charles Whitworth (1771) besorgt worden 39 King scheint mit großem Ernst die Aufgabe der Bestimmung der Größe der Bevölkerung Englands aufgenommen zu haben. Er kam zu dem Resultat, daß England mit seinen 1,3 Millionen Häusern 51 Millionen Einwohner habe. Die Normale der Geburten sei L90 000, der Todesfälle etwa 170000, aber der normale jährliche Geburtenüberschuß sei im 17. Jahrhundert auf einen Bevölkerungs- zuwachs von nur 9000 reduziert worden, da durchschnittlich 4000 an der Pest, 3500 im Kriege und 2500 auf dem Meere stürben, während 1000 in die Kolonien auswanderten. Er macht einen kühnen Versuch, die Teilung nach Altersklassen zu finden, wie er auch seine Vermutung über die Gliederung nach Beruf, Verbrauch und Ein- kommen, über die Ernte und die sonstige landwirtschaftliche Pro- duktion aufstellt. Die berühmte, so oft von Preistheoretikern zi- tierte King-Davenantsche Skala für die Abhängigkeit der Getreide- preise von der Ernte möge in diesem Zusammenhang erwähnt werden. Eine wirklich numerische Grundlage hat diese Skala jedoch nicht; sie beruht sicherlich im wesentlichen auf Schätzung. Davenant referiert die Kingschen Berechnungen, indem er selbst etwas hinzufügt und versucht, eine Theorie der politischen Arith- metik zu entwickeln. Er kritisiert die Methoden und Resultate vettys; Petty habe sich z. B. hinsichtlich der Kräfte Frankreichs in die Irre führen lassen. Gleichzeitig gibt Davenant jedoch zu, daß der politische Arithmetiker überhaupt auf Schätzung angewiesen sei; man könne ganz gut die wahrscheinliche Einwohnerzahl Frank- reichs veranschlagen, wenn man z. B. die Einwohnerzahl Englands, die Bodenfläche Frankreichs, die Lebensweise der Bevölkerung kenne und andere Verhältnisse in Betracht ziehe. Ebenso könne man bei einem Vergleich zwischen holländischen und englischen Zuständen von den Einnahmen Englands aus dem Handel mit dem Auslande auf diejenigen Hollands schließen, indem man Fleiß und Genügsamkeit der Holländer, die verschiedenen Handelszweige, die Plätze, mit denen sie Handel treiben und den Umfang ihrer Schiffahrt berück- sichtige. Ob es gelte, einem Lande Steuereinnahmen zu verschaffen, oder ob es die Beurteilung der Frage gelte, wie lange ein Land die Unkosten eines Krieges zu ertragen vermöge, man könne dieselbe Methode gebrauchen; unter Berücksichtigung der Verschiedenheiten könne man Schlüsse von einem gut bekannten Lande auf ein anderes ziehen. Davenant versucht jedoch keine tiefergehende Theorie auf- zustellen; er berührt nicht die Frage, wie denn solche Schätzungen im einzelnen auszuführen und welche Grenzen der Genauigkeit der gewonnenen Resultate gezogen seien. Dennoch aber zeugt die Art 33 und Weise, wie er sein Material anfaßt, von recht guten Kritiker- eigenschaften, so z. B. hinsichtlich der handelsstatistischen Dar- legungen. Der Gedanke einer Volkszählung lag ihm noch fern. Er wollte mehr indirekte Methoden verfolgen. Die Feuerstellensteuer sollte die Feststellung der Anzahl von Familien ermöglichen, oder er ver- suchte, nach gebührender Revision, auf der Statistik von Gebühren bei Trauungen, Geburten und Todesfällen seine Ergebnisse auf- zubauen. 27. Fast gleichzeitig mit der Wirksamkeit Davenants fällt in Frankreich der Versuch des berühmten Vauban (1633—1707), die französischen Verhältnisse zu beleuchten. Seine Schrift, Projet d’une dixme royale, erschien im Jahre 1707, lag jedoch bereits 1699 als fertiges Manuskript vor. Das Buch enthält manche interessanten Schätzungen über die Wirkungen des von Vauban vorgeschlagenen Steuersystems, ferner einen ebenso interessanten Versuch, vermittelst Studiums verschiedener Karten die Bodenfläche Frankreichs festzu- stellen. Die Unsicherheit erhellt daraus, daß die höchste Schätzung 23 Proz. über der niedrigsten liegt. Mit verschiedenen Hypothesen kommt er zu dem Ergebnis, daß Frankreich rund gerechnet 20 Milli- onen Menschen zähle, viel weniger, als unter glücklichen Verhält- nissen dort leben könnten. Von großem Interesse ist der dringende Vorschlag Vaubans, unmittelbare, amtliche statistische Erhebungen vorzunehmen. Er wünscht z. B. eine Religionsstatistik, eine Statistik über Ausländer und öffentliche Gebäude. In seinem Vertrauen auf solche offizielle Statistik ist er seinen Zeitgenossen weit voraus. 28. In der folgenden Zeit fließen die französischen Beiträge zur politischen Arithmetik nur spärlich; aber in der letzten Hälfte des Jahrhunderts erscheinen eine Reihe interessanter Arbeiten. Vor allem sucht man die Einwohnerzahl des Staates festzustellen. Hierbei ist die Methode so ungefähr die, Geburtenhäufigkeit, Sterb- lichkeit oder Eheschließungsfrequenz einzelner Gegenden zu be- stimmen und hiervon auf Grundlage der Anzahl dieser Vorgänge auf die Bevölkerung des ganzen Landes zu schließen; und man ward sich darüber klar, daß die Zahl der Geburten als die regelmäßigste die beste Grundlage abgebe. Im Anschluß hieran wurden Repräsen- tativzählungen benutzt, um die Verteilung nach Alter, Geschlecht und Zivilstand zu finden. Die hinsichtlich der Einwohnerzahl ge- wonnenen Resultate müssen im großen und ganzen als einigermaßen Westergaard und Nybolle, Theorie der Statistik, 2. Aufl 9 +. zuverlässig angenommen werden, volle Zuverlässigkeit konnte jedoch erst mit der von Laplace (1749—1827) empfohlenen Methode er- reicht werden. Bereits im Jahre 1786 veröffentlichte Laplace eine Abhandlung über Geburten, Eheschließungen und Todesfälle in Paris, in der er vorschlug, die Einwohnerzahl auf Grundlage der Geburten- häufigkeit in einem Teile des Landes und auf Basis der gesamten Anzahl von Geburten zu berechnen, und er untersuchte die Wahr- scheinlichkeit für .eine Abweichung des gefundenen Resultats von der wahren Volkszahl. Die Verwirklichung seines Vorschlages be- yann, nachdem sich die französische Regierung zur Beschaffung statistischen Materials für die Feststellung der Einwohnerzahl be- veit erklärt hatte. In seiner im Jahre 1812 erschienenen 7Zheorie analytique des probabilites behandelt er diese Frage. In 30 ‚über das ganze Land verteilten Departements wurden solche Gemeinden ausgewählt, bei denen man auf die Intelligenz und den Eifer ies Maire sich verlassen konnte, und am 22. September 1802 ward die Bevölkerung dieser Gemeinden gezählt (insgesamt etwas über 2 Millionen). Er hatte schon im Jahre 1801 eine Zählung der Bevölkerung des ganzen Landes versucht, die Resultate dieser Zäh- lung wurden jedoch mit Mißtrauen betrachtet. Für den Zeitraum vom 22. September 1799 bis 22. September 1802 (nach der Zeit- rechnung der Republik begann das Jahr gerade mit dem 22. Sept.) wurde dann auch die Zahl der Geburten festgestellt, und es ergab sich eine relative jährliche Geburtenfrequenz von etwa 100 auf je 2835 Menschen. Unter der Voraussetzung, daß Frankreich jährlich L Million Geburten hat, was nach der Laplaceschen Auffassung der Wahrheit sehr nahe kommt, ergibt sich eine Bevölkerung von 28,35 Millionen Seelen. Der Schlußstein der Untersuchung wäre eine Er- klärung gewesen darüber, wie sich die Zahlen der einzelnen Ge- meinden um eins oder mehrere Durchschnittsergebnisse gruppierten, indem man dann die Grenzen der der Methode vielleicht anhaftenden Ungenauigkeit zu berechnen hätte. Aber die Laplacesche Me- thode bezeichnet durchaus einen absoluten Fortschritt. Man darf sich nicht darüber wundern, daß Laplace die Aufgabe durch die Voraussetzung einer konstanten Einwohnerzahl vereinfachte. Der Zuwachs war so klein, daß man mit der Benutzung der obigen drei- jährigen Periode — anstatt einer Periode mit dem Zählungstage als Mittelpunkt — keinen großen Fehler beging. 29. Einen eigenartigen Beitrag zur politischen Arithmetik ver- lankt man dem berühmten französischen Chemiker Lavoisier 35 (geb. 1743, guillotiniert 1794), welcher gelegentlich auf diese Pro- bleme einging!). Unter Bezugnahme auf einen früheren Verfasser geht Lavoisier von einer 25 Millionen zählenden Bevölkerung aus, die er — als ein „premier apercu“ — schätzungsweise nach Erwerbs- zweigen verteilt. Seine Hauptaufgabe ist dann die Berechnung des Verbrauchs und der Produktion der Bevölkerung. Er ge- winnt auf Grundlage von Hypothesen über den Durchschnittsver- brauch einen Überblick über die Getreideproduktion. Wo es sich um notwendige Waren wie Lebensmittel handele, sei eine solche Schätzung seines Erachtens im großen und ganzen zuverlässig. Unter Berücksichtigung der verschiedenen Bevölkerungsklassen veranschlagt er den gesamten Getreidekonsum auf 14000 Millionen livres pesant. Ein mit Ochsen bespannter Pflug werde, nach eigenen Erfahrungen und nach Untersuchungen in verschiedenen Provinzen, ungefähr 10000 livres entsprechen und werde 60 arpents kultivieren können, während die entsprechenden Zahlen für einen mit Pferden bespannten Pflug 27500 livres und 90 arpents (ca. 31 ha) seien. Er berechnet dann (indem er das Land in Gegenden mit überwiegenden Pferde- gespannen und solche mit Ochsenvorspann teilt) die Zahl der vor- handenen Pflüge und die Größe der Anbauflächen. Als Resultat ergibt sich: 1%, Mill. Pferde, 7 Mill. Stück Rindvieh, und etwa ?/s des französischen Bodens sei kultiviert. Letzteres Resultat über- raschte ihn, er stellt daher den Lesern eine Nachprüfung anheim. Ganz allgemein wünscht er eine unmittelbare Produktionsstatistik für die Landwirtschaft; habe man erst diese, dann würde man die ganze politische Ökonomie auf einer geringen Anzahl Seiten darstellen können, oder besser, diese Wissenschaft würde dann nicht mehr existieren, da sämtliche Probleme endlich gelöst seien. Solche Worte klingen etwas an physiokratische Gedankengänge an. 30. Als Lavoisier seine Abhandlung schrieb, war der Wunsch nach einer offiziellen Statistik bereits teilweise für Schweden erfüllt. Lange schon hatte in diesem Lande die Geistlichkeit die Pflicht gehabt, Kirchspielsregister mit vollständigen Verzeichnissen der Ge- meindemitglieder, der Trauungen, Geburten und Todesfälle, der zu- und abwandernden Personen zu führen. Dieses Material wurde die Grundlage der schwedischen Bevölkerungsstatistik und ist es noch heute. Wie in vielen anderen Ländern war die geringe Bevölke- rungsdichte ein großes Übel für das von Mißernten und Seuchen ı) De la richesse territoriale du Royaume de France, 1791. a ga JIU heimgesuchte Land; ganz besonders empfand man dies nach dem unglücklichen Kriege gegen Rußland (1741—1743), und der Wunsch, Klarheit über die Bevölkerungsverhältnisse zu erhalten, war daher recht natürlich. Der Mathematiker Pehr Elvius (1710—1749), der im Jahre 1744 Sekretär der neugestifteten schwedischen Aka- Ademie der Wissenschaften geworden war, übernahm zwecks Berech- nung der Einwohnerzahl die Bearbeitung der Listen über Geburten und Todesfälle des gesamten Königreichs. Das Ergebnis war ein Bericht (1746), den die Akademie dem Reichstag übersandte und Jjer vermutlich dazu beigetragen hat, das Gesetz vom 3. Februar 1748 über das „Tabellenwerk“, welches 1749 in Kraft treten sollte, zu schaffen ?). Elvius’ Bericht fußte auf recht mangelhaftem Material, den- noch aber dürfte das Resultat seiner Berechnungen einigermaßen der Wirklichkeit entsprechen. Bezeichnend war es, daß der Bericht nicht veröffentlicht wurde; es waren Staatsgeheimnisse. Die reich- lich freie Behandlung seiner Beobachtungen läßt eine ganz genaue Rekonstruktion seiner Berechnungen nicht zu, wenn auch die Methode xlar zutage tritt. Elvius nimmt 70000 als die normale jährliche Anzahl von Todesfällen an. Diese Zahl verteilt er nach Alters- klassen auf der Grundlage von Feststellungen aus gewissen Teilen des Reiches. Von den 70000 waren ungefähr ein Drittel unter 3 und etwa 29300 unter 10 Jahren. Will man dasselbe Endergebnis wie Elvius gewinnen, dann kann man voraussetzen, daß 21300 vor Vollendung des 3. Lebensjahres und 8000 zwischen 3 und 10 Jahren starben; 70000 Neugeborene würden dann insgesamt 1,5 - (70000 + 48700) = ca. 178 000 Jahre vor dem 3. Geburtstage und 3,5 - (48 700 + 40700) = 313000 zwischen 3 und 10 Jahren zubringen. Ins- yesamt erhält Elvius also 491000 Lebensjahre, und diese Zahl ist unter der Voraussetzung einer konstanten Bevölkerung mit der An- zahl lebender Personen unter 10 Jahren identisch. Für den folgenden Teil des Lebens gebraucht er Altersklassen von 10 Jahren. Alles in allem findet er für Schweden und Finland zusammen 2097000; dies weicht wenig von der Zahl ab, die man einige Jahre später bei direkter Beobachtung fand. Wie man sieht, entspricht die Methode der Halleyschen. Nach dem Gesetz vom 3. Februar 1748 sollte jeder Pastor jähr- 1) Der Bericht ist abgedruckt in August Hjelt, Det svenska tabellverkets uppkomst, Helsingfors 1900. 377 lich für seine Pfarre eine Zusammenstellung der Trauungen, Ge- burten und Todesfälle sowie die Feststellung der Gesamtbevölkerung vornehmen. Die Ausarbeitung einer Generaltabelle ward einem Komitee anvertraut, zu dessen Mitgliedern namentlich der Astronom Per Wargentin (1717—1783) zählte; einige Jahre später ward eine permanente Tabellenkommission gebildet. Deren Berichte wurden geheim gehalten, die Bearbeitungsergebnisse jedoch in den Schriften der Akademie abgedruckt‘). Es war ein recht kompliziertes System von Fragebogen, die von den Pastoren auszufüllen waren. Für jeden Kalendermonat sollten Aufzeichnungen erfolgen über Taufen ehelicher wie unehe- licher Kinder, nach Geschlecht getrennt, über Trauungen und Zahl der durch den Tod eines der Gatten aufgelösten Ehen, über Todes- fälle unter Teilung nach Geschlecht für Kinder unter 10 Jahren, im übrigen mit Sonderung zwischen Verheirateten und Unver- heirateten; ferner wurden Mitteilungen über Totgeburten und Viel- geburten verlangt. Ein Schema gab die Verteilung der Verstorbenen nach Alter, Geschlecht und Todesursache. Von einem modernen Standpunkte aus war die Nomenklatur freilich mangelhaft, aber die gewonnenen Ergebnisse haben natürlich bedeutendes historisches Interesse. Nach dem ersten Bericht (1749) entfallen 12 Proz. sämt- licher Todesfälle auf Pocken und Masern, 6 auf Scharlach, 5 auf Keuchhusten; das sind Zahlen, die unsere heutigen vielfach übersteigen. Außer der Beschaffung des Materials sollte die Einwohnerzahl (hierbei Sonderung nach Alter, Geschlecht, Zivilstand, Rang und Erwerb) und die Anzahl von Haushaltungen usw. festgestellt werden. In den Städten fiel ein Teil der mit der Führung der Bevöl- kerungslisten verbundenen Arbeit dem Magistrat zu, in der Haupt- sache aber trugen die Pastoren die Bürde. Sie beklagten sich denn auch bitterlich über die große Arbeit, erhielten jedoch als einzige Erleichterung nur die, daß die Bevölkerungslisten nur alle 3 Jahre ‘später alle 5 Jahre) abzuschließen seien. Nach Elvius’ frühem Tode im Jahre 1749 ward Wargentin Sekretär der Akademie der Wissenschaften und nahm einige Jahre rege an der Bearbeitung des statistischen Materials teil. Von seinen Arbeiten möge eine Abhandlung aus dem Jahre 1766 mit Sterbe- tafeln für die 9 Jahre 1755—1763 erwähnt werden. Er gibt z. B. ?) August Hjelt, De första officiela relationerna om svenska tabellverket ären 1749—1757, Helsingfors 1899. 38 die Durchschnittszahl der Todesfälle von 1755—1757 in 21 Alters- klassen an und vergleicht diese Zahl mit der Einwohnerzahl im Jahre 1757, indem er die Frage stellt, wie groß die Zahl von Per- sonen sei, von denen jährlich eine sterbe. Die Volkszahl stammte vermutlich vom Schlusse des Jahres, und wenn die Bevölkerung in ler Zunahme gewesen ist, ist die Sterblichkeit etwas unterschätzt worden. Wargentin setzte seine Untersuchungen auf diesem Gebiete nicht weiter fort; er berechnete somit keine Dekrementtafel oder mittlere Lebensdauer und scheint sich nicht für statistische Fragen theoretischer Natur interessiert zu haben. Er hat jedoch mit seinen Sterbetafeln die Statistik entschieden bereichert. Beispielsweise sei angeführt, daß man einen Überblick über den Unterschied in der Sterblichkeit beider Geschlechter gewann. Man hat Wargentin vor- geworfen, nicht ganz die Halleysche Methode verstanden zu haben; jazu berechtigt die erwähnte Abhandlung jedoch kaum, und solcher Mangel wiegt nur wenig im Vergleich mit seinen Verdiensten um die Statistik. 31. Ungefähr gleichzeitig mit diesen‘ Fortschritten in Schweden yeschahen bedeutungsvolle Versuche in Holland. Hier florierten Leibrenten und Tontinen, ein sehr interessantes Studienmaterial. Struyck (1687—1769) veröffentlichte im Jahre 1740 selbständige Sterbetafeln für Männer und Frauen, in denen er ganz rationell ainigen Jahrgängen von Leibrentenkäufern von Jahrfünft zu Jahr- fünft folgte. Er untersuchte auch die Sterblichkeit während längerer Seereisen, beleuchtete die Theorie der klimakterischen Jahre, be- rechnete die Sterblichkeit für Wöchnerinnen und zeigte die große Sterblichkeit bei Zwillingen auf. Er war sich klar über die Halleysche Methode und betrachtete selbst eine Gruppe von Kindertodesfällen a1ach Geburtsjahren. Die Studien Kerssebooms (1691—1771) über Leibrenten- material (1737—1748) sind ebenfalls von Bedeutung. Wenn er frei- lich den Unterschied in den Lebensaussichten für Männer und Frauen untersuchen will und dabei die mittlere Lebensdauer ohne Beachtung der Sterblichkeit der einzelnen Altersklassen berechnet, oder wenn er zur Feststellung der Einwohnerzahl Londons eine Verteilung der Todesfälle nach Alter vornimmt, so sind zwar seine Methoden nicht immer unanfechtbar; sein Verdienst ist aber trotzdem sehr erheblich. Seine Schlüsse sind im allgemeinen vollkommen korrekt, und seine Verwendung des. Leibrentenmaterials zur Aufstellung von Über- lebenstafeln zeugt von Klarheit und Schärfe. 30 Fast gleichzeitig wirkte Deparcieux (1703—1768) in Frank- reich. Sein berühmter Essat sur les probabilites de la duree de la vie humaine erschien im Jahre 1746. Er beschäftigte sich teils mit den Resultaten von zwei noch nicht ausgestorbenen Ton- tinen, vollständig korrekt berechnend, wie viele Personen dem Tode ausgesetzt gewesen seien. Daß andere Beobachtungsreihen ganz ab- geschlossen waren, vereinfachte die Aufgabe wesentlich. So unter- suchte er Sterbelisten der Benediktinermönche, die in der Periode von 1607—1669 im Alter von 17—25 Jahren ins Kloster traten und im Jahre 1745 vollständig ausgestorben waren. Das Ma- terial wird für die ganze Periode geschlossen behandelt. Es wäre eine nur geringe technische Mehrarbeit gewesen, die Beobachtungs- reihen in Perioden zu zerlegen und dann für jede Periode die An- zahl von Personen festzustellen, die in jedem Altersjahr dem Tode ausgesetzt waren. Zu jener Zeit bevorzugte man oft ungeteilte Be- obachtungsreihen, weil man kein Auge hatte für die überaus großen Verschiebungen in der Sterblichkeit von einer Periode zur anderen. Für das Studium der Geschichte der Sterblichkeit ist eine Tafel wie die für die Benediktinermönche berechnete von großer Wichtigkeit. Deparcieux hat auch verschiedene unvollkommene Tafeln mitgeteilt, die übrigens mit geringer Mehrarbeit technisch unangreifbar hätten gemacht werden können. Um schnell die mittlere Lebensdauer berechnen zu können, schlägt Deparcieux eine recht unvollkommene Methode vor, die noch ein paar Menschenalter leben sollte. Er geht davon aus, daß die mittlere Lebensdauer größer sei als der Quotient, den man durch Division der Volkszahl mit der jährlichen Geburtenzahl erhalte. Versuche man dagegen eine entsprechende Berechnung mit Todesfällen, dann würde man als Ausdruck für die mittlere Lebensdauer eine allzu große Zahl erhalten. Deshalb müsse man als Nenner die Durchschnittszahl aus Todesfällen und Geburten benutzen. Allerdings war die Unsicher- heit solcher Methode damals lange nicht so groß wie heutzutage, da die Geburtenzahl sehr oft der Anzahl von Sterbefällen un- gefähr gleich kam; trotz solcher Mängel aber darf gesagt werden, daß der Sterblichkeitsstatistik eine rationelle Grundlage geschaffen war. Auch in anderen Ländern erschienen verdienstvolle Arbeiten über dieses Gebiet, so in England; und man machte große Fort- schritte in den Versicherungsberechnungen. In dieser Beziehung soll für Dänemark der Mathematiker Tetens (1738—1807) erwähnt werden, dessen „Einleitung zur Berechnung der Leibrenten und An- 40 wartschaften“ (1785—1786) eine verdienstvolle Arbeit ist; er ging aber bei der Wahl der Sterbetafeln nicht gerade kritisch vor. 32. Wer sich einen Überblick über den Stand der Statistik um die Mitte des 18. Jahrhunderts verschaffen will, mag das von J. P. Süßmilch (1707—1767, gestorben als Pastor in Berlin) veröffent- lichte berühmte Werk „Die göttliche Ordnung in den Veränderungen des menschlichen Geschlechts, aus der Geburt, dem Tode und der Fortpflanzung desselben erwiesen“ zur Hand nehmen. Dies Werk er- schien zum erstenmal im Jahre 1741, die zweite, stark erweiterte Auflage 1761. Das Buch kann als ein Hauptwerk der statistischen Literatur des 18. Jahrhunderts betrachtet werden und ist eine reiche Quelle für alle, die sich mit der Entwicklungsgeschichte der Statistik befassen. Süßmilch sammelte sein Material mit großem Eifer, davon zeugt unter anderem sein Briefwechsel mit Wargentin. Nach Süß- milchs Tode besorgte sein Schwiegersohn Baumann eine Neu- ausgabe; er fügte einen dritten Teil (1775—76) hinzu. Süßmilchs Theorie offenbart sich bereits im Titel des Werkes. Auf allen Gebieten erkennt er eine göttliche Ordnung. Die vielen Arten von Krankheiten: Pocken, Masern usw., „alle diese Feinde les menschlichen Lebens haben ihre abgesteckte Gränzen, und stehen ınter der Lenkung der unsichtbaren Hand des Unendlichen, vermöge welcher sie ihre gesetzte Anzahl zu dem in jeden Alter geordneten Maass des Todes abliefern müssen“ !). Diese göttliche Ordnung sei veständig und allgemein. „So war die Dauer des Lebens schon vor 3000 Jahren, und zwar im Orient, eben so, wie sie noch jetzt ist. So wie die Menschen in Deutschland geboren werden, leben und sterben: eben so geschiehts in Finnland, Schweden, Engelland, Hol- land und Frankreich“ ?), „So gar die Kinder, so todt zur Welt kommen, die Zwillingsgeburten und die sogenannten Unglücksfälle, haben ihre gewisse Zahlen und Verhältnisse zum Ganzen“ %. Er gibt allerdings zu, daß Abweichungen von diesen feststehenden Zahlen, z. B. in Seuchen- jahren, vorkommen; sie vermögen aber jedenfalls nicht den Haupt- eindruck der Regelmäßigkeit zu stören. Daher schreibt er denn auch bezüglich der auf verschiedenen Erfahrungen fußenden Sterblichkeit: „Nimmer war ich mir dergleichen Harmonie zwischen den Closter- ljeuten in Paris und unsern brandenburgischen Bauern vermuthen. ') Göttliche Ordnung, 4. Ausgabe, 2. Teil, S. 288, Berlin 1775. ?) ebenda, 1. Teil, S. 51. 3) ebenda, 1. Teil, S. 51. 11 Ich staunte, da ich sie entdeckte, und ein ausnehmendes Vergnügen über die göttliche Ordnung war die Belohnung meiner Mühe“ 1). Nach modernen Begriffen ist diese Harmonie allerdings nicht groß- Von 100 21 jährigen Mönchen starben nach Süßmilchs Aufstellungen binnen 10 Jahren ungefähr 8, von 100 Brandenburgern etwa 11. Mittels 4 Tafeln berechnet er die durchschnittliche Kindersterblich- keit im 2. Lebensjahre; die kleinste dieser Zahlen ist 49 von 1000, die größte 104. Dennoch wagt man zu behaupten, daß Süßmilch, vom Standpunkt seiner Zeit aus betrachtet, vollständig Recht hatte, War ja doch der Verlauf der Sterblichkeit nach Altersklassen fest- gelegt, ihre Form überall dieselbe, obzwar die Dimensionen vYver- schieden sein konnten. Kein Wunder, daß man ob dieser Überein- stimmung die Variationen nicht berücksichtigte oder besser der Nachwelt die Bestimmung solcher Variationen überließ. Wer sollte in Wirklichkeit vorauswissen können, daß die Sterblichkeit in allen Ländern im Alter von 5—15 Jahren so verschwindend klein ist, daß sie dann langsam steigt, so daß eine graphische Darstellung in großen Zügen so gut wie überall dieselbe Form ergab? Ihrer Bewunderung für die „göttliche Ordnung“ haben denn auch spätere Statistiker, obwohl mit anderen Worten, Ausdruck ver- liehen. Nur werden die statistischen Phänomene meistens als „Natur- gesetze“ erwähnt, nämlich als „Budget der Gefängnisse, Galeeren und Schaffotte“. Heißt es bei Süßmilch: „Ein jedes Alter liefert beständig einen Zins zum Maß der Sterblichkeit“, so redet Quetelet, wie weiter unten dargestellt wird, im 19. Jahrhundert genau dieselbe Sprache. Es war ganz natürlich, daß Süßmilch die gefundenen Sterbe- tafeln als typisch für alle Zeitalter ansah; „die gleiche Dauer des Lebens“ ist ihm ein Axiom, doch auch dieses Axiom wird man spät im 19. Jahrhundert wiederfinden. Von diesem Standpunkt aus behandelt Süßmilch nun die einzelnen Gegenstände, welche zu damaligen Zeiten statistisch beleuchtet werden konnten. Er beschäftigt sich z. B. mit dem Verhältnis zwischen Mädchen- und Knabengeburten und zeigt, daß selbst in so abgelegenen Gegenden wie Trankebar und Batavia das Verhältnis so ungefähr dasselbe sei wie in Europa; und er betont die Bedeutung des Über- gewichts der Knabengeburten für das Gleichgewicht der Geschlechter, auf die größere Knabensterblichkeit hinweisend. Als ein Verdienst Süßmilchs kann auch hervorgehoben werden, *) Göttliche Ordnung, 4. Ausg. 2. Teil, S. 295. 42 daß er umsichtig die Genauigkeit der statistischen Beobachtungen nachprüft. Er macht darauf aufmerksam, daß in den Städten ein erheblicher Teil der Verstorbenen Zugewanderte seien. Er bespricht eine höchst interessante Doppelzählung der bürgerlichen Bevölkerung Berlins im Jahre 1747, wo zuerst die Polizei und 8 Tage später die königlichen Beamten eine Zählung vornahmen; diese Zählungen er- gaben nur sehr geringe Unterschiede. Er bewies die Ungenauigkeit der Altersangaben, und deshalb häufen sich die Zahlen bei den runden Altersjahren, so daß also der Glaube an klimakterische Jahre leicht entstehen konnte. Aus den vielen zerstreuten Beobachtungen sucht Süßmilch einen allgemeinen Sterblichkeitsquotient zu bestimmen und ähnlich das Verhältnis der Eheschließungen und Geburten zur Volkszahl fest- zustellen. Er glaubt aus den Zahlen ersehen zu können, daß die Sterblichkeit in den Städten größer sei als auf dem Lande, was allerdings richtig ist, aber ohne Berücksichtigung der Altersverteilung nicht bewiesen werden kann. Wir haben hier eines der zahlreichen Beispiele in der Geschichte der Statistik von einer richtigen Anti- zipation auf Grundlage eines unvollkommenen Materials. Süßmilch macht auch den Versuch, das Verhältnis der Geburten zu den be- stehenden Ehen zu bestimmen, wozu nur äußerst dürftige statistische Ermittelungen vorhanden waren. Auf Grund dieser Untersuchungen nun stellt Süßmilch Berech- nungen über die Zunahme und Verdoppelungszeit der Bevölkerung an, in einem Abschnitt, welcher durch einige von Kuler angestellte, später von Malthus in seiner Bevölkerungstheorie besprochene Be- rechnungen bekannt geworden ist. Er sucht ferner das überaus Jürftige Material zur Bestimmung der Bevölkerung der Erde zu verwerten, wozu nur sehr wenige eigentliche Volkszählungen vor- lagen. Die Methode kommt meist darauf hinaus, daß er berechnet, wie viele Menschen in dem betreffenden Lande unter Voraussetzung einer gewissen allgemeinen Bevölkerungsdichtigkeit leben würden, und daß er diese Zahlen mit dem vergleicht, was man über den Kulturzustand, die Wohlstandsverhältnisse usw. der Bevölkerung wußte. Für Spanien fußt er auf einer Zählung der Familien, für Portugal nimmt er eine entsprechende Dichtigkeit an; Polen und Litauen sollten nach der Durchschnittsberechnung 40 Millionen Ein- wohner zählen, aber auf Grund der kümmerlichen Zustände des Landes: der großen Wälder, Sümpfe und Moräste, der unsicheren Zustände für die Pächter, der niedrigen Getreidepreise, des 43 Mangels an Fabriken usw. schätzt er die tatsächliche Bevölkerung nur auf ein Drittel jener möglichen. Ein großer Teil des Werkes wird von der Bevölkerungs- politik eingenommen. Nach dieser soll sich der Regent, um sein Land volkreich, glücklich, mächtig und reich zu machen, bemühen, die Zahl der Eheschließungen und die eheliche Fruchtbarkeit zu ver- größern, die Eingeborenen im Lande zu halten und Fremde herein- zulocken — also die gewöhnliche merkantilistische Bevölkerungs- politik zu treiben. Er behandelt auch die alten römischen Agrar- gesetze, untersucht den Nutzen der Fabriken, die Schädlichkeit des Luxus usw. Von einer statistischen Behandlung dieser Fragen ist aber kaum zu reden. Süßmilch beschäftigt sich selbstverständlich ausführlich mit der Sterblichkeitsstatistik. Was die Todesursachen anbetrifft, so hatte er hierfür im wesentlichen nur die Londoner Listen zur Ver- fügung und zur Beurteilung des Einflusses des Alters auf die Todes- ursachen überhaupt kein Material, Süßmilchs Sterbetafel hat seinerzeit eine bedeutende Rolle gespielt, wenn sie auch sehr unvollkommen war; diese Unvoll- kommenheit erklärt sich teilweise aus seiner Auffassung der Sterb- lichkeit, die typisch ist und sich überall geltend macht. Süßmilch geht zuerst darauf aus, eine Tafel für die Landbevölkerung und für ausgelesene Personen zu berechnen. Er berechnet z. B. eine Sterbe- tafel, indem er bloß für ein brandenburgisches Kirchspiel die Todesfälle nach dem Alter der Verstorbenen gruppiert; die Bevölke- rung scheint übrigens keineswegs stationär gewesen zu sein, und die erwähnte Berechnung ist somit nicht zu verantworten. Daß 1072 Todesfälle auf 1437 Getaufte fallen, erhöht das Gefühl der Unsicher- heit. Eine andere Tafel gilt 10 brandenburgischen Kirchspielen mit 4—5mal so vielen Sterbefällen. Ferner benutzt er 2 Tabellen über Sterbefälle in Schweden, die eine für „6 gute Provinzen“, die zweite für „andere epidemische Provinzen“. Aus diesen 4 Tafeln berechnet Süßmilch den Durchschnitt: Wenn z. B. unter 1000 Todesfällen jeweils 49, 59, 100 und 104 auf das 2. Lebensjahr fallen, nimmt er ganz einfach 78 als Zahl der auf dieses Alter kommenden Sterbefälle an. Diese Tafel nun wird für das 20. und die höheren Altersjahre durch 3 Deparcieuxsche Tafeln für Benediktinermönche, Nonnen und Ton- tinenmitglieder ergänzt. In den Tafeln für Mönche und Nonnen wird die Verteilung von 523 Todesfällen angegeben, in den auf Ton- tinen bezüglichen von 537. während nach den 4 deutschen und 44 schwedischen Tafeln durchschnittlich 521 auf das Alter über 20 Jahre fallen. Diesen Unterschied läßt Süßmilch ganz außer Betracht; die Deparcieuxschen Tafeln behandelt er überhaupt etwas frei. Während diese Zusammenstellung sich von seiner Auffassung der 7 Tafeln als Beobachtungen über dieselbe Größe aus rechtfertigen läßt, gilt das gleiche weniger von seiner entsprechenden Übersicht für Stadt und Land, da Süßmilch selbst auf den hier hinsichtlich der Sterblichkeit vorliegenden Unterschied aufmerksam gemacht hat. Er berechnet seine Haupttafel aus drei Tafeln, von denen eine die Landbezirke, eine die kleineren und eine die größeren Städte um- “aßt, indem er den Durchschnitt aus diesen Tafeln bildet... Die da- malige Landbevölkerung sollte also nur !/ der Gesamtvolkszahl ausgemacht haben. Daß eine solche Verteilung der Bevölkerung zu der Zeit nicht den Tatsachen entsprach, bedarf kaum der Erwähnung. Auf die gefundene Haupttafel, welche keine einjährigen Alters- klassen enthielt, wandte Süßmilch ein rohes Ausgleichsverfahren an, indem er, gestützt auf Tafeln mit einjährigen Intervallen, die Zahlen ler Haupttafel „proportionierte“, Süßmilch wollte seine Sterbetafel als Ausdruck für die Sterb- lichkeit in einem durchschnittlichen europäischen Lande auffassen. Dies läßt sich kaum machen, auch nicht, nachdem Baumann einige Fehler berichtigt hatte. Die Sterblichkeit in den jüngeren Jahren, die nach dem Säuglingsalter kommen, ist möglicherweise etwas übertrieben; das gleiche gilt vielleicht auch für die älteren Jahrgänge; etwas Sicheres läßt sich hierüber jedoch nur schwierig aussagen. Übrigens bringt Baumann in seinem Ergänzungsband interessante Beobachtungen, z. B. über die Sterblichkeit der außer- 3helich Geborenen; im großen und ganzen aber blieb die Berechnung ınverändert. 30. Einen wichtigen Beitrag zur Fortbildung der Statistik lieferte der Schweizer Daniel Bernoulli (1700—1782)!%. Er stellte sich die Aufgabe, die Wirkung der Impfung gegen die Pocken — zine der brennendsten Fragen jener Zeit — zu untersuchen. Dabei benutzt er ein ganz neues Prinzip hinsichtlich der Bearbeitung von Beobachtungen, die sogenannte kontinuierliche Methode; er setzt nämlich voraus, daß sich die Zahlen nicht sprungweise, sondern ganz allmählich mit unendlich kleinen Teilen und in un- 1) Essai d’une nouvelle analyse de la mortalite causee par la petite verole, et les avantages de l’inoculation pour la prevenir (Histoire de l'acad. royale des seiences, ann6e 1760, Paris 1766). 45 endlich kleinen Zeitintervallen verändern. Dadurch wird die An- wendung der Differential- und Integralrechnung ermöglicht, was eine große Vereinfachung der Aufgaben bedeutet. Leider aber ward diese geniale Arbeit nur wenig beachtet; die Methode scheint die Folgezeit nicht beeinflußt zu haben, erst im 19. Jahrhundert kam sie zu ihrem Recht. Daß Daniel Bernoulli auch Fehler begehen konnte, vermag sein Verdienst um die Statistik keineswegs zu verkleinern. Kin Fehler wars, daß er die Halleysche Tafel so auffaßte, als ob sie mit 1000 im Alter von einem Jahre anfange und daß er dann willkürlich die Geburtenzahl, die den Ausgangspunkt bilden sollte, auf 1300 er- höhte. Ein solcher Fehlgriff ist jedoch ebenso verzeihlich wie die Unklarheit, welche den von ihm in die Wahrscheinlichkeitsrechnung eingeführten Begriffen „moralisches Vermögen“ und „moralische Hoffnung“ anhaftet. Durch die Formulierung solcher Begriffe er- weist er sich in Wirklichkeit als Vorläufer der modernen Grenz- wertlehre. Von Bernoullis Zeitgenossen richtete namentlich der fran- zösische Mathematiker d’Alembert scharfe Angriffe gegen B.s Ab- handlung, ohne jedoch tiefer in die Materie eingedrungen zu sein. 34. Die politische Arithmetik hatte in mancher Beziehung Be- rührungspunkte mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welche im Laufe des 19. Jahrhunderts eine gewisse Vollkommenheit erreichte. Anscheinend bedeutungslose Spielaufgaben veranlaßten interessante mathematische Untersuchungen, die die Entwicklung der Statistik ungemein beeinflußten. Die ersten Anläufe zu dieser Disziplin wurden in Italien und Frankreich gemacht, und als Pioniere sind besonders zwei berühmte Italiener zu erwähnen: Cardan (1501—1576) und Galilei (1564—1642). Ersterer hat eine kleine Abhandlung: De Ludo Aleae geschrieben, worin er berechnet, welche Chancen die verschiedenen Würfe mit Würfeln haben. Ähnliche Aufgaben stellte sich Galilei. Ein Spieler hatte beobachtet, daß, wenn man mit 3 Würfeln spielte, 10 Augen häufiger geworfen würden als 9, und Galilei bewies, daß auf 25 Würfe, welche 9 Augen gäben, 27 Würfe der anderen Art kämen. Diese Berechnung kann man leicht nach- prüfen. Die eigentliche Grundlage für die Wahrscheinlichkeitsrechnung wurde jedoch von Pascal (1623—1662) und Fermat (1601—1665) gegeben. Kine seinerzeit bekannte Persönlichkeit, Chevalier (später Marquis) de Mere, der selbst, wie es scheint, Dilettant war. stellte 7 im Jahre 1654 Pascal verschiedene Spielaufgaben, und Pascal stand in dieser Angelegenheit mit Fermat im Briefwechsel!). Eine der Aufgaben war z. B. die, wie Spieler bei vorzeitigem Abbruch des Spieles sich in den Einsatz teilen sollten. Als einfaches Beispiel kann folgendes angeführt werden: Von zwei gleich tüchtigen Spielern hat jeder einen Einsatz von 32 Pistolen (Louisdors) gemacht. Der, welcher zuerst drei Points bekommt, hat gewonnen. Nachdem nun der eine Spieler schon zwei Points, der andere dagegen nur einen be- kommen hat, werden sie darüber einig, das Spiel abzubrechen. Nach Pascals Lösung wird der erste Spieler, wenn er in der nächsten Runde einen Point erhält, das Spiel gewinnen und auf 64 Pistolen Forderung stellen können; wenn der Partner jedoch 1 Point erhält, stehen sie gleich und jeder kann 32 Pistolen verlangen. In jedem Falle ist also der erste Spieler zu 32 Pistolen berechtigt, während er die übrigen 32 ebensogut gewinnen wie verlieren kann; ihm kommen daher 48, dem Partner 16 zu. In der Sprache der Wahr- scheinlichkeitsrechnung würde man die Aufgabe wie folgt lösen: Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist !/, für den Spieler, der ainen Point gewonnen hat; denn die Wahrscheinlichkeit dafür, nach einem Wurf 2 Points zu haben, ist !/,, und dafür, im nächsten Wurf wieder einen Point zu gewinnen, ebenfalls !/,, und nur wenn beide diese Begebenheiten eintreffen, wird er das Spiel gewonnen haben; er soll dann beim Abbruch des Spieles !/, des Einsatzes oder 16 Pistolen haben, während der Gegner die übrigen 48 erhält. Diese Aufgaben geben nun Pascal und Fermat die Gelegenheit, sich mit verschiedenen mehr oder weniger schwierigen Fragen zu beschäftigen; aber sie bemühten sich kaum, ihre Gedanken zu ver- breiten; namentlich Pascals Interesse ward von ganz anderen Unter- suchungen in Anspruch genommen. Und da nun Newton und Leibniz die Differentialrechnung erfanden und damit den Mathe- matikern ein ungeheures Tätigkeitsfeld eröffneten, ward die Auf- merksamkeit derart von den erwähnten Problemen abgelenkt, daß ungefähr 50 Jahre verstrichen, ehe man sich wieder mit Energie auf lie Wahrscheinlichkeitsrechnung warf ?). Ein besonders wichtiger Fortschritt wurde von Jacob Ber- noulli (1654—1705) gemacht, der derselben Familie wie Daniel 1) Dieser Briefwechsel ist zum größten Teil bewahrt. Siehe Oeuvres de Blaise Pascal publiges par Leon Brunschvigg et Pierre Boutroux, 111, 1908, S. 369—431, wo auch Fermats Briefe abgedruckt sind. 2) Siehe Todhunter, History of the Theory of Probability, 1865, 8. 21. Bernoulli angehörte. Diese Familie hat nämlich eine Reihe aus- gezeichneter Mathematiker hervorgebracht und hat besonders in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine große Rolle gespielt. Sein Werk Ars conjectandi, das nicht ganz vollendet wurde, er- schien 1713, acht Jahre nach dem Tode des Verfassers, nachdem einige Mathematiker der Familie sich vergebens angestrengt hatten, es zu vollenden. In diesem Werk ist das berühmte Bernoullische Theorem enthalten, welches in moderner Form als „Gesetz der großen Zahlen“ die Grundlage für die Theorie der Statistik bildet. Bernoulli zeigt, daß, je größer die Anzahl von Versuchen, desto größer die Wahr- scheinlichkeit dafür ist, daß die Abweichung zwischen der faktischen Häufigkeit der betreffenden Begebenheit und der Wahrscheinlichkeit für diese Begebenheit innerhalb ganz bestimmter Grenzen liegt, und daß man durch Vergrößerung der Anzahl von Versuchen die Grenzen nach Belieben einengen kann?!). Die Untersuchung war rein theo- retischer Art; es fehlte noch ein Nachweis dafür, daß diese Be- rechnungen mit den tatsächlichen Verhältnissen übereinstimmten. Man ging in jener Zeit in der Regel davon aus, daß die Begeben- heiten nach theoretisch aufgefundenen Gesetzen eintreffen würden. Dieser Lehrsatz gab Bernoulli Veranlassung zu tiefsinnigen Be- trachtungen im Anschluß an die Philosophie Platos: Könnte man die Beobachtungen ins Unendliche fortsetzen, dann würde man zum Schluß alles mit vollkommener Sicherheit berechnen und die Gesetzmäßigkeit der Zufälligkeiten erkennen können; Platos Lehre über die Wieder- kehr aller Dinge nach Verlauf unzähliger Jahrhunderte stimme mit liesem Resultat überein (a. a. O. S. 239). Eine Reihe Mathematiker faßten allmählich die Wahrscheinlich- keitsrechnung an, die ungemein viele Aufgaben darbot, und zwar solche, die scharfsinnige Analysen erforderten. Am meisten be- schäftigten sie sich im Geiste Pascals und Fermats mit einer Reihe von Aufgaben, bei welchen man die Aussichten dafür, daß gewisse Er- eignisse eintreffen würden, berechnen sollte. Der französische Mathe- matiker Abraham de Moivre (1667—1754) ging auch auf das Bernoulli-sche Problem ein, das er auf eine ebenso geniale wie frucht- bringende Art und Weise behandelte. Somit war also eine sorgfältig ausgebildete wissenschaftliche Diszi- plin an scheinbar unbedeutenden Aufgaben entwickelt worden. Aller- dings wurde sie nicht von allen gutgeheißen und sie entbehrte Ja, wie 1) Ars conjectandi, Pars Quarta, S. 227 ff. ACC erwähnt, noch zum größten Teil der Bestätigung durch die Erfahrung. Speziell der oben erwähnte große französische Mathematiker d’Alembert (1717—1783) gehörte der Opposition an!), während Euler als Verteidiger auftrat. D’Alembert wollte z. B. behaupten, daß, wenn eine Münze mehreremale Avers gezeigt habe, die Wahr- scheinlichkeit dafür, bei einem neuen Wurf wieder Avers zu be- kommen, geringer sein müsse, als Revers zu erhalten. In dieser Be- ziehung war d’Alembert offenbar im Einklang mit dem unmittel- baren Eindruck jedes Spielers. Derjenige, welcher in der Zahlen- ‚otterie beobachtet hatte, daß eine Zahl lange nicht gezogen worden sei, würde bei seinem Einsatz gerade zur Wahl dieser Zahl neigen, und zahlreiche, die Lotterieliteratur betreffende Broschüren mit unfehlbaren Anweisungen fürs Spiel deuten zur Genüge auf die Verbreitung derartiger Anschauungen hin. Euler verteidigte mit großer Klarheit mit apriorischen Gründen die entgegengesetzte Ansicht. Es versteht sich von selbst, daß man sich nur schwerlich eine Wirkung wie die, welche d’Alembert sich vorstellte, denken konnte, indem dann die Ziehungen in der Zahlenlotterie, obzwar sie mit langen Zwischenräumen vor sich gingen, als gewissermaßen miteinander in Verbindung stehend gedacht werden mußten. Anders steht die Sache indes da, wo wie beim Würfelwurf das Spiel in verhältnismäßig kurzer Zeit beendigt wird. Hier könnte man sich vielleicht denken, daß sich gewisse Muskelbewegungen sozusagen automatisch wiederholten und somit einen gewissen Rhythmus der Spielergebnisse hervorriefen. Trotz der Gedankenklarheit, welche d’Alembert auf anderen Ge- bieten besaß, glückte es ihm hier nicht, in den Kern der Sache hin- einzudringen, und seine Kritik, die keineswegs ganz ohne fruchtbare Zlemente war, kam daher im großen und ganzen zu keiner Be- deutung. Die meisten Mathematiker, die sich mit diesem Problem befaßten, schlossen sich der apriorischen Auffassung an, so daß es lange Zeiten hindurch nicht die Bedeutung erlangte, die es hätte haben können. D’Alembert deutet an (a. a. 0. XIV), man könne Versuche zur Nachprüfung der Resultate der Wahrscheinlichkeitsrechnung anstellen. Er selbst hat jedoch, soviel man weiß, nie diese Ver- suche unternommen. Hätte man diesen Faden aufgegriffen, so hätte man vielleicht schon damals den bedeutungsvollen Schritt getan, die Hauptsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung nachzuprüfen. ı) Röflexions sur le Caleul des Probabilite&s, Opuscules II, 176L. AC, Glänzend gefördert ward die Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Laplace (1749—1827), der ihr eine Reihe meisterlicher Abhandlungen widmete und zuletzt eine Gesamtdarstellung seiner Theorie gab, welche noch heutigentags als das Hervorragendste innerhalb dieser Disziplin bezeichnet werden kann (7heorie analytique des probabilites, 1812). Hieran schließt sich sein Essat philosophique sur le calcul des probabilites (1814) an, worin er versucht, die Theorie ohne Ver- wendung der mathematischen Zeichensprache darzustellen. Laplace beschäftigt sich unter anderem auch mit Untersuchungen über die Chancen der verschiedenen Ergebnisse bei Abhörung von Zeugen, bei Rechtssprüchen und Abstimmungen, mit Fragen, welche später Poisson (1781—1840) aufnahm und zum Gegenstand ausführlicher Untersuchungen machte und deren Ergebnisse in seinen Recherches sur les probabilites des jugements (1837) veröffentlicht sind, einem Werke, das zugleich eine allgemeine Darstellung der Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung enthält und in dem das Bernoullische Theorem auf den Fall erweitert wird, wo zwei oder mehrere Wahr- scheinlichkeitswerte vorliegen. 35. Eine weitere wichtige Aufgabe, welche namentlich für die Physik und Astronomie von Bedeutung wurde, galt der Verwertung einer Reihe von verschiedenen Beobachtungen, z. B. desselben Ge- stirns. Diese Aufgabe beschäftigte einige Mathematiker und führte zur Empfehlung der Methode der kleinsten Quadrate, wo- nach man ganz einfach als gemeinsamen Ausdruck für mehrere Be- obachtungen die Zahl wählen müsse, deren Abweichungen von den Beobachtungen eine möglichst kleine Quadratsumme ergeben würde. Die Methode wurde namentlich von dem berühmten Mathematiker Gauss (1777—1855) entwickelt; er hat als erster diese Methode mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung verknüpft. Seine erste Arbeit über diesen Gegenstand erschien im Jahre 18095. Diese Untersuchungen waren eine notwendige Bedingung für die Entwicklung einer wissenschaftlichen Theorie der Statistik. Leider entbehrte die Wahrscheinlichkeitsrechnung, wie oben aus- einandergesetzt, lange einer umfassenderen erfahrungsmäßigen Unter- lage. Zwischen ihr und der Statistik bestand so gut wie keine Ver- bindung. Der Begriff Wahrscheinlichkeit wurde rein abstrakt de- finiert und in verwickelten, rein mathematischen Untersuchungen verwendet, ohne daß man sich darum kümmerte, ob die gefundenen !) Theoria motus corporum coelestium ; u. a. zugänglich in Bertrands Über- setzung (Methode des moindres carre6s, Paris 1885). Westergaard und Nybe@lle, Theorie der Statistik, 2. Aufl. 50 mathematischen Gesetze mit den Erfahrungen übereinstimmten. Selbst die Beobachtungen beim Spiel und dergleichen, welche von jedermann zu machen waren, wurden nur vereinzelt herangezogen, Andernfalls würden die Mathematiker sicherlich gelernt haben, ihre Resultate in solche Formen zu kleiden, daß sie den Statistikern leichter zugänglich geworden wären. Wie die Verhältnisse lagen, kam die Wahrscheinlichkeitsrechnung zwar den Naturwissenschaften, aber nur in geringem Grade den sozialen Wissenschaften zugute. Zu Anfang des 19. Jahrhunderts waren manche Bausteine zu einer wissenschaftlichen Statistik gesammelt. Noch fehlte allerdings viel, und besonders hatten die einzelnen Richtungen in der Regel noch nicht gelernt, einander zu verstehen und sich gegenseitig zu beeinflussen. Das statistische Beobachtungsmaterial war wenig um- lassend und wenig befriedigend; erst der folgenden Zeit sollte es vorbehalten sein, die reichen Quellen der offiziellen Statistik zu er- schließen. Und erst nachdem allmählich dieses Beobachtungsmaterial erhoben war, konnte eine fruchtbare Entwicklung der Technik und der theoretischen Behandlung der Aufgaben erwartet werden. C. Die moderne Statistik. 36. Wie auf so vielen anderen Gebieten, so ist auch für die Statistik das 19. Jahrhundert eine wahre Revolutionsperiode. Wenn man die Siebenmeilenschritte beobachtet, welche die einzelnen sta- tistischen Disziplinen in unseren Tagen gemacht haben, wird man fast daran zweifeln, überhaupt eine zusammenhängende Darstellung dieser Bewegungen geben zu können, die oft fast sprungweise vor sich zu gehen scheinen. Es gilt dies allerdings nicht für die ersten drei Jahrzehnte des 19. Jahrhunderts, die am besten nur als Vorbereitungszeit aufzu- fassen sind. Erst die Zeit ums Jahr 1830 bezeichnet den eigentlichen Wendepunkt. Vor dieser Zeit hatte die Statistik im wesentlichen das alte überlieferte Gepräge; noch lesen die Universitätsprofessoren, getreu der Tradition, über Statistik als Staatenkunde; noch sind die numerischen Tatsachen zum Teil Staatsgeheimnisse. Einen Augenblick schien es, als ob man mit dem neuen Staaten- leben beim Übergang zum 19. Jahrhundert einen ganz anderen Ent- wicklungsgang hätte erwarten können. Die nordamerikanischen Freistaaten z. B. hatten in der Unionsverfassung als Grundlage für die Wahlen regelmäßig zu wiederholende Volkszählungen festgesetzt, deren erste denn auch im Jahre 1790 stattfand. Frankreich erhielt 1796 ein statistisches Bureau, und für 1801 ward eine Volkszählurg befohlen; in Großbritannien hatte man bereits 1753 eine allgemeine Volkszählung beschlossen, die jedoch erst 1801 stattfand; im gleichen Jahre ward auch eine Volkszählung in Dänemark, Norwegen und Island abgehalten, wo jedoch bereits früher schon Zählungen durch- geführt worden waren, so 1769 und 1787 in Dänemark; in Nor- wegen hatte man schon im Jahre 1662 alle Männer über 12 Jahre gezählt und auf Island ward 1703 eine reguläre Volkszählung ver- anstaltet. Das schwedische Tabellenwerk ist oben erwähnt worden. In Preußen trat ein statistisches Bureau im Jahre 1805 ins Leben. Aber der Umschwung kam bald. In den Kriegswirren und unter der darauf folgenden Reaktion konnte eine amtliche Statistik nur schwerlich gedeihen. Bereits im Jahre 1806 ward dem preußischen statistischen Bureau verboten, Mitteilungen über Staatsfinanzen, Geldinstitute und Privateigentum zu bringen, und Napoleon verbot gleichzeitig im großen und ganzen statistische Veröffentlichungen über französische Verhältnisse. Die Volkszählung in Frankreich im Jahre 1801 scheint übrigens nur sehr wenig geglückt zu sein, und mit den für 1806 und 1811 geplanten Zählungen wurde kaum Ernst gemacht. Wie wenig statistisches Beobachtungsmaterial man in Wirk- lichkeit zu sammeln vermochte, sieht man aus der statistischen Zeitschrift (Annales de Statistique), welche seit 1802 unter den Auspizien der französischen Regierung erschien. Allerdings enthält diese Zeitschrift einen Teil numerische Tatsachen, aber nur wenig Statistik in des Wortes moderner Bedeutung; der Hauptinhalt be- steht in Beschreibungen der einzelnen Departements. Eine ungeheure Langsamkeit der Bearbeitung der Beobachtungen charakterisiert häufig diese Periode. Die Bearbeitung der dänischen Volkszählung von 1787 war zwar 1791 so weit fertig, daß eine aus- führliche — übrigens nicht veröffentlichte — Darstellung gegeben werden konnte, aber ergänzende Tabellen waren erst im Jahre 1798 vollendet. Die Bearbeitung der Volkszählung des Jahres 1801 ward dem im Jahre 1797 errichteten Tabellenkontor übertragen. Sie scheint anfangs nur äußerst geringe Fortschritte gemacht zu haben; erst 1810 konnte das Kontor den baldigen Abschluß der Arbeit ver- künden, und vorläufige Ergebnisse kommen nun ab und zu der Öffentlichkeit zur Kenntnis. Der tatsächliche Abschluß der Be- arbeitung aber scheint erst viel später stattgefunden zu haben, und 5% ein vollständiger Bericht erschien erst im Jahre 1835 in Verbindung mit einer Darstellung der Volkszählung des Jahres 1834%). 37. Aber trotz allem ist diese Periode keineswegs ohne Interesse, und es können auch einige Namen, die für die Statistik von Be- deutung sind, angeführt werden, Der schwedische Astronom Ni- cander nahm die Arbeit Wargentins auf und berichtigte seine Resultate. In England machte die Sterblichkeitsstatistik gute Fort- schritte, so namentlich gefördert durch ein Werk von J. Milne ‘1776—1851), das besonders durch die Carlisle-Tafel bekannt ist, welche eine Zeitlang eine Rolle innerhalb der Lebensversicherung spielte ?). Die Geschichte dieser Tafel wirft ein Licht auf die Schwierig- keiten, welche man in jenen Zeiten zu überwinden hatte. In dem kleinen Orte Carlisle hatte ein Arzt, John Heysham, sich sehr für die Bevölkerungsstatistik interessiert und unter än- lerem Listen über Geburten, Trauungen und Krankheiten geführt. L797 veröffentlichte er seine Beobachtungen der zwei Volkszählungen der Jahre 1780 und 1787 und über 1840 Todesfälle in der Periode von 1779—1787. Dieses Material ward von Milne zur Untersuchung zufgenommen. Er benutzte es für seine Tafel und zwar nach einem weitläufigen und umsichtigen Briefwechsel mit Heysham, um die Be- obachtungen so genau und so gleichartig wie nur irgend möglich zu machen. Es war bei dieser Tafel ein Fortschritt, daß Milne, um die Anzahl der Lebenden, die dem Tode ausgesetzt gewesen waren, zu finden, zwei Volkszählungen benutzte. Allerdings waren seine Ausgleichung der Sterbetafel und seine Interpolationen recht un- vollkommen; aber diese Art Mängel hatte er mit andern gemein, und sie hinderten nicht die praktische Verwendbarkeit der Tafel. 38. Einer weit feineren mathematischen Analyse begegnet man in Duvillards (1755—1832) außerordentlich interessanten Unter- suchungen über die Einwirkung der Pockenkrankheit auf die Sterblichkeit. Durillard hatte von 1805—1815 die Leitung der französischen Bevölkerungsstatistik.‘ Seine Arbeit, die sich würdig Daniel Bernoullis oben erwähnter Untersuchung anreiht, ist leider nur wenig bekannt; nur die von ihm als Ausgangspunkt benutzte Sterbetafel, der er übrigens keine selbständige Bedeutung bei- ') Holck, Dansk Statistiks Historie 1800—1850,7 Kobenhavn 1901, S. 44 und 150 ff. 3 Milne, A treatise on the valuation of annuities and assurances, 1815. Vgl. Henry Lonsdale, The life of John Heysham, M. D. and his Corre- spondance with Mr. Joshua Milne relative to the Carlisle Bili of Mortality, 1870. 53 legte, ist häufig zitiert und abgedruckt und von den meisten, die überhaupt Duvillards Arbeit erwähnen, als die Hauptsache aufgefaßt worden. Wie Daniel Bernoulli, benutzt auch er mit Vorteil in ele- ganten Formeln die kontinuierliche Methode‘). Auf Grundlage von Beobachtungen über Pockenkrankheiten und die von diesen verursachten Todesfälle fragt er, welche Wirkung ein eventuelles Verschwinden dieser Krankheit haben würde. Seine Analyse ist wie die Bernoullis durchweg vollständig korrekt, aber seine Voraussetzungen sind verwickelter und seine Formeln daher weniger einfach. Er teilt die Bevölkerung, welche er als Berech- nungsgrundlage voraussetzt, in verschiedene Gruppen, in solche, die nach der Hypothese nie von Pocken betroffen werden, solche, die an dieser Krankheit sterben und solche, die die Pocken überstehen und später anderen Krankheiten unterliegen werden; und endlich rechnet er aus, wie die Altersgruppierung der Bevölkerung werden würde, wenn die Pocken vollständig ausgetilgt werden könnten. Seine Gedanken wurden kaum verstanden und die allgemeine Auffassung war vorderhand gegen seine Resultate. Nach der herr- schenden Bevölkerungstheorie, so wie sie von Malthus geformt worden war, war es zwar möglich, eine Krankheit wie die Pocken auszurotten, aber zu guter Letzt würden dann nur andere Krankheiten an ihre Stelle treten; die Sterblichkeit sei also konstant?). So sagt auch der französische Nationalökonom J. B. Say, daß, wenn der Tod die eine Tür geschlossen finde, öffne er nur gleich eine andere; die ärztliche Kunst rette den einen, während sie den anderen zum Tode verurteile. Diese Anschauung über eine konstante Sterblich- keit ist wohl auch die Grundlage für die zahlreichen Versuche, die Abhängigkeit der Sterblichkeit vom Alter durch eine mathematische Formel auszudrücken; solche Bestrebungen treten deutlich in den 20er und 30er Jahren hervor. In erster Linie kann auf Grund ihrer Einfachheit eine von Gompertz aufgestellte Formel (1825) erwähnt werden, die später von Makeham (1860) geändert wurde; in der so geänderten Form hat sie für das Versicherungswesen eine bedeutende Rolle gespielt. Von Bedeutung, wenn auch ebenfalls fast unbeachtet, waren die Arbeiten des ausgezeichneten Mathematikers Fourier (1768 —1830). *) Analyse et tableaux de Vinfluence de la petite v6&role sur la mortalite. Paris 1806. °) Malthus, An essay on the principle of population, 3. Ausgabe 1806, II, 5. 361ff. 54 Im Jahre 1817 hatte man für die Stadt Paris eine regelmäßige Sta- tistik eingerichtet, eine Institution, zu der Fourier in Beziehung trat. Er führte mehrere Untersuchungen durch, teils über die Be- wegung der Bevölkerung (1821)*), teils über die aus den Beobach- ‚ungen abgeleiteten Durchschnittszahlen (1826 und 1829). Diese Ar- beiten bezeichnen den ersten Versuch einer Theorie des Bevölke- rungswechsels, da er nicht allein Geburten und Todesfälle berück- sichtigte, sondern auch den Einfluß der Ein- und Auswanderungen vor Augen hatte. 39. Die genannten Arbeiten in den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts bilden das Präludium zur folgenden reichen Ent- wicklung. Nach der Julirevolution scheinen mit einem Schlage viele Hindernisse für eine offizielle Statistik verschwunden zu sein. Im Jahre 1833 wurde in Frankreich ein statistisches Bureau, in England 1832 eine statistische Abteilung im Board of Trade und 1836 ein General Register Office errichtet; letzteres war der Aus- gangspunkt der folgenden Blüte der englischen Bevölkerungsstatistik. Will. Farr (1807—1883), der ein Menschenalter hindurch die sta- tistische Arbeit dieser Institution leitete, verstand schnell der eng- 'ischen Bevölkerungsstatistik Ansehen zu verschaffen 2). Auch in Deutschland wurden große Fortschritte gemacht. Die Gründung des Zollvereins machte die Abhaltung regelmäßiger Volkszählungen zur Notwendigkeit, das bayrische statistische Bureau wurde 1834 umgebildet, vorläufig sollten jedoch keine Mitteilungen veröffentlicht werden. Dieses Bureau wurde viele Jahre von dem angesehenen Nationalökonomen Hermann geleitet. Im Königreich Sachsen entstand 1831 ein statistischer Verein, welchen die Regierung zur Vornahme statistischer Untersuchungen bevollmächtigte. E. Engel ‘1821—1896) leitete eine Zeitlang das sächsische statistische Bureau; später erhielt er einen Ruf als Leiter der preußischen Statistik nach Berlin, wo er einen bedeutenden Einfluß auf die Regierungsstatistik ausübte. {n Belgien ward im Jahre 1841 eine Commission cen- trale de statistique gebildet, deren Seele der belgische Astronom und Statistiker Ad. Quetelet (179% 6—1874) war. In‘ Italien 1) Recherches statistiques sur la Ville de Paris et le Departement de la Seine, Anne 1821, vgl. Knapp, Theorie des Bevölkerungs-Wechsels, 1874, S. 78{ff. ”) Seine Arbeiten sind in einem Sammelwerk aufgenommen: Vital Statistics, A memorial volume of selections from the reports and writings of Will. Farr. Edited by Noel A. Humphreys, 1885. 55 wurde die amtliche Statistik im Jahre 1861 organisiert und seit 1872 von Bodio geleitet. In den nordamerikanischen Freistaaten sam- melte sich das Interesse im wesentlichen um die alle Jahrzehnte abgehaltenen Volkszählungen. Hinsichtlich Skandinaviens kann bemerkt werden, daß Dänemark 1834 eine Tabellenkommission er- hielt, die mit nicht geringem Eifer arbeitete, während 1837 in Nor- wegen ein statistisches Bureau errichtet wurde; Schweden baute be- züglich des Bevölkerungswesens auf dem System des 18. Jahrhunderts weiter, während die Statistik auf anderen Gebieten verschiedenen Organen überlassen war. Eine Schwierigkeit lag darin, daß man für eine Zentralisation der Statistik nur wenig Sorge trug. Schweden ist in dieser Be- ziehung ein Beispiel; in Frankreich gab es, außer dem eigentlichen statistischen Bureau, ein Bureau für Bergwerksstatistik und ein anderes für Rechtsstatistik; wie oben erwähnt, hatte in England die Bevölkerungsstatistik ihr eigenes Zentrum, während das Board of Trade die Handelsstatistik pflegen sollte. Charakteristisch für diese Zeit ist die Gründung statistischer Vereine. Von diesen erlangte die 1834 in London gestiftete sta- tistische Gesellschaft die größte Bedeutung; die American Statistical Association ward 1839 gegründet. Verschiedene Zeitschriften wirkten für die Entwicklung der Statistik. Eine wahre Begeisterung für numerische Tatsachen hatte die gesamte gelehrte Welt ergriffen. Etwas später trat ein anderes Phänomen auf, das in wesent- lichem Grade zur Förderung des Interesses für die Statistik beitrug; es waren dies die internationalen statistischen Kon- gresse, welche der Initiative Quetelets ihre Entstehung verdankten. Der erste dieser Kongresse fand 1853 in Brüssel statt; später folgten eine Reihe anderer, ebenso wie statistische Fragen auch auf anderen Kongressen, z. B. für Hygiene und Demographie, erörtert wurden. 1885 trat in London die internationale statistische Gesellschaft ins Leben (Institut international de statistique), die als Sammelpunkt für statistische Fachinteressen eine bedeutende Rolle gespielt hat. 40. Es versteht sich von selbst, daß man nicht erwarten kann, daß all diese unter solch starker Begeisterung zustande gekommenen Untersuchungen auf rationellen Prinzipien fußten. Ganz im Gegen- teil erschien eine Menge von Arbeiten mit leicht erkauften und schlecht unterbauten Resultaten. Mehrere Verfasser jener Zeit zeichnen sich mehr durch Fruchtbarkeit als durch Gründlichkeit aus. Namentlich bot allmählich die Medizinalstatistik, auf Grund 56 der fehlerhaften bis weit ins 19. Jahrhundert hinein verwendeten Methoden, ein Bild der Verwirrung. Zur Bestimmung der Ein- wirkung des Berufes auf die Sterblichkeit fußte man z. B. auf Be- obachtungen über Patienten eines Hospitals, also auf einem Material, das vollständig aus seinem Zusammenhang mit anderen Verhältnissen gerissen war, oder man zählte die Todesfälle innerhalb eines Er- werbszweiges in den einzelnen Altersgruppen, um dann das Durch- schnittsalter auszurechnen, oder man betrachtete die Altersverteilung in einer Bevölkerungsgruppe, ohne an den Einfluß der Wanderungen oder des Geburtenüberschusses zu denken. Ein großes Zerrbild war das Ergebnis all dieser Untersuchungen, selbst wenn man die gleichen Wege dazu einschlug; bald wurde behauptet, die Statistik zeige, daß Schneider kürzer als Schuster lebten, bald war es umgekehrt; aller- hand Behauptungen entbehrten, wie sich bei späteren rationellen Jntersuchungen herausstellte, denn auch jeglicher Grundlage, so z. B. die Behauptung eines Verfassers, die Lebensdauer der höheren Ge- sellschaftsklassen Englands sei kürzer als die der durchschnittlichen Bevölkerung. Daß man oft mit ganz außerordentlich kleinen Zahlen operierte, machte die Verwirrung vollständig. Erst allmählich glückte es, und namentlich bei der amtlichen englischen Bevölkerungsstatistik, Ordnung in dieses Chaos zu bringen. Es ist eins der Verdienste Will. Farrs, im Anschluß an die Volkszählung Untersuchungen über lie Sterblichkeit innerhalb verschiedener Berufe in Gang gesetzt zu haben. Hierbei ergaben sich gewisse Hauptzüge, während im übrigen zahlreiche Ursachen, auf die man früher sehr viel Gewicht gelegt aatte, als relativ unbedeutend aufgefaßt werden mußten. Bei dem sich so vollziehenden starken Umschwung war es ganz natürlich, daß manche statistischen Verfasser in vorausgefaßten Mei- aungen befangen waren. Man kann sagen: wie die Quantitätstheorien in der Nationalökonomie Verbreitung fanden, so ging es auch in der Statistik. Man hatte oft die Aufmerksamkeit zu sehr auf das Ty- pische, das Feststehende gelenkt, während man das ewig Ver- änderliche im Leben und Treiben der menschlichen Gesellschaft ibersah. Und wenn man mit so großer Begeisterung die inter- nationalen statistischen Kongresse um die Mitte des vorigen Jahr- nunderts begrüßte, so hängt das in einigem Grade mit dieser Auf- fassung zusammen, indem man mehr an die Gleichartigkeit als an die Verschiedenheiten des Zahlenmaterials in den verschiedenen Ländern dachte. Ebenso wie man sich bei einem Studium Süßmilchs ein Bild 537 vom Stande der Statistik um die Mitte des 18. Jahrhunderts zu schaffen vermag, ebenso kann man, ein Jahrhundert vorwärts schreitend, sich an den belgischen Astronom und Statistiker Ad. Quetelet!) halten, welcher eine zentrale Stellung in der Statistik dieser Periode einnahm, wenn er auch hinsichtlich mathematischer Begabung und Schärfe vor Fourier und Laplace zu- rücksteht. 41. Quetelet hat eine vielseitige und fruchtbare schriftstellerische Wirksamkeit entfaltet; Astronomie und Meteorologie haben ihn stark in Anspruch genommen, und er hat eine stattliche Reihe von Ar- beiten über Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung herausgegeben. Seine Hauptwerke auf den letzterwähnten Gebieten beginnen mit seinen Untersuchungen „über den Menschen“ (Sur lhomme et le developpement de ses facultes, 1835) ?). Später folgen manche andere und zahlreiche Abhandlungen und Notizen. Jedoch bezeichnet diese umfangreiche Produktion nicht fortgesetzte Neuschöpfung. Zum großen Teile hat sich Quetelet in diesen Arbeiten wiederholt. Längere Stücke späterer Arbeiten bestehen oft aus Stellen, welche fast wört- lich früheren Monographien entnommen sind. Die Notizen hat er zu monographischen Abhandlungen gesammelt, und diese dienten wiederum als Grundlage für die größeren Werke. Bereits vor der Veröffentlichung der Schrift „Sur l’homme“ hatte er seine Haupt- theorien entwickelt, und er war nur wenig zur Änderung dieser ge- neigt. Längst veraltete, oft schon zur Zeit des Erscheinens wertlose Schriften werden mit sonderbarer Beharrlichkeit immer aufs neue zitiert. Ein im Jahre 18535 erlittener Schlaganfall, der seine Pro- duktivität ungemein beeinträchtigte, erklärt diesen Stillstand?) zum Teil. Wie ein Jahrhundert vorher Süßmilch, so gibt auch Quetelet seine Hauptgesichtspunkte bereits im Titel seiner Werke. Wie Süßmilch überall in den Lebensäußerungen der Menschheit eine gött- *) Hinsichtlich der Tätigkeit Quetelets kann u. a. auf J. Lottin verwiesen werden: Quetelet, Statisticien et Sociologue, 1912, und auf Frank H. Hankins: Ad. Quetelet as Statistician, 1908, ferner auf Knapp: Bericht über die Schriften Quetelets in Jahrb. f. N. u. St. XVII], 1871, S. 169 u. 343. ’) Im Jahre 1836 erschien ein Nachdruck als Zeugnis von dem Aufsehen, das das Buch erregt hatte, und 1869 eine Neuausgabe unter dem Titel: Physique Sociale. Außerdem mag erwähnt werden: Lettres sur la theorie des probabilites (1846), Du systeme social et les lois qui le regissent (1848) und schließlich Anthro- pometrie ou mesure des differentes faculte&s de l’homme (1871). s) Hankins, a. a. O0. 8. 31. m SS liche Ordnung erkannte, so will Quetelet aus seiner naturwissen- schaftlichen Vorbildung heraus überall physische Gesetze erkennen. Er liebt es überhaupt, seine Bilder und Gleichnisse den Naturwissen- schaften zu entlehnen. Er spricht von einer Physik der Gesell- schaft, von perturbierenden Einflüssen, von einem Schwer- punkte der Gesellschaft, um welchen deren Elemente oszillieren. Solange diese Gleichnisse nur als beredte Darstellungsform aufzufassen sind, ist nichts dagegen einzuwenden; es geht aber Quetelet, wie so vielen anderen in der Geschichte der Sozialwissenschaften, er wird von seinen Vergleichen gefesselt und legt zu viel in sie hinein. Wenn z3r „Sur ’homme“ mit den Worten beginnt: „Die Geburt, die Ent- wicklung und der Tod des Menschen erfolgen nach gewissen Ge- setzen“, dann denkt er sich diese Gesetze als wirkliche Naturgesetze, die nur eines Newton harren, um enthüllt zu werden. Durch perturbierende (zufällige) Einflüsse sollen Veränderungen in den Wir- kungen der natürlichen Ursachen bewirkt werden, z. B. eine Ver- längerung der mittleren Lebensdauer infolge von Verbesserungen der Wohnungs- und Wohlstandsverhältnisse, aber diese Perturbationen sollen bei einer ersten Untersuchung ganz außer Betracht bleiben können. Die Wahrheit dürfte dagegen die sein, daß „das Gesetz der großen Zahlen“ sich sozusagen in lauter perturbierende Ursachen auf- löst, wodurch man auf immer neue Teilungen des Materials hin- gedrängt wird. Die ungeheure Abnahme der Geburtenhäufigkeit in vielen Ländern und die Verlängerung der mittleren Lebensdauer in unseren Tagen sind hierfür beredte Zeugnisse. Nicht nur will Quetelet die statistischen Gesetze auf die ein- zelnen Gruppen der Menschen anwenden, sondern er betrachtet auch das Volk als Individuum innerhalb der ganzen Menschheit und sucht dann Gesetze zu finden, nach welchen die Völker sich ent- wickeln, leben und absterben; um die mittlere Lebensdauer der Staaten zu berechnen, vergleicht er übrigens ganz heterogene Tatsachen und scheut sich nicht, rein mythische Ereignisse zur Bestimmung der diesbezüglichen Zahlen heranzuziehen. N Die naturalistische Auffassung Quetelets erklärt mehrere Äuße- rungen über die Kriminalstatistik: „Es gibt ein Budget, das mit einer schauerlichen Regelmäßigkeit bezahlt wird, nämlich das der Gefängnisse, der Galeeren und Schaffotte.“ „Es gibt eine Abgabe, die der Mensch regelmäßiger bezahlt als diejenige, welche er der Natur oder dem Staatsgesetze entrichtet, es ist diejenige, die er dem Verbrechen zollt.“ Es sei die Gesellschaft, welche die Keime aller 59 Verbrechen berge; „sie ist es gewissermaßen, die diese Verbrechen vorbereitet, und der Schuldige nichts als das Werkzeug, das sie voll- führt.“ Daher solle man die Menschen bessern „durch Verbesserung der gesellschaftlichen Einrichtungen, der Sitten und Gebräuche, durch bessere Aufklärung“ usw.!) Oben ist auf die Übereinstimmung zwischen diesen Bemerkungen des Naturalisten Quetelet und des Theologen Süßmilch hingewiesen worden 2). Wie bemerkt, will Quetelet den Schwerpunkt der Gesellschaft bestimmen, was die Hauptaufgabe der sozialen Physik sein solle. Dieser Schwerpunkt ist der berühmte „Durchschnittsmensch“ (’homme moyen), ein fingiertes Wesen, bei dem alle Vorgänge den für die ganze Gesellschaft anzunehmenden mittleren Ergebnissen ent- sprechen. Solange dieses fingierte Wesen nur als Rechnungseinheit zu betrachten ist, ist dies mit den Grundsätzen der Statistik wohl vereinbar, da sich die Statistik ja beständig mit Durchschnitten be- schäftigt; aber Quetelet läßt sich ständig dazu verleiten, den Durch- schnittsmenschen mit Fleisch und Blut auszustatten. So kann ‚er nicht umhin, in unlösliche Widersprüche zu geraten. Gesetzt z. B. den Fall, daß man bei einer Reihe von Menschen am Körper drei Linien gemessen hat, die ein rechtwinkliges Dreieck bilden, und daß man nun das entsprechende Dreieck beim Durchschnittsmenschen zu bestimmen wünsche, so wird sich in der Regel zeigen, daß diese drei Durchschnitte kein rechtwinkliges Dreieck ergeben. Wenn diese Größen bei den beobachteten Menschen proportional sind, was im allgemeinen nicht der Fall ist, dann wird ein rechtwinkliges Dreieck entstehen, sonst in der Regel nicht. Eine wirkliche Be- deutung für die Physiologie wie für die Kunst wird der Durchschnitts- mensch daher kaum erlangen; nur die einzelnen Durchschnittsgrößen, aber nicht die Verbindungen zwischen ihnen, können als typisch betrachtet werden. Dieser Durchschnittsmensch aber müsse nach Quetelet die ideale Schönheit besitzen, er müsse der Typus sein, nach welchem sozusagen die Natur alle Menschen mit wechselndem Glück gebildet habe; das Studium des Durchschnittsmenschen würde daher große Bedeutung für die Kunst haben. Ein Mensch z. B., dessen Arm nur um !/,o länger als gewöhnlich sei, würde jedermann als mißgestaltet erscheinen. Die Unhaltbarkeit dieser Theorie springt übrigens ins Auge, auch » Vgl. „Sur l’homme“, deutsch von Riecke, 1838, S. 6—7. Siehe auch Oettingen, Die Moralstatistik, 3. Ausg. 1882, S. 23. 30 wenn man ganz davon absieht, daß ein Mensch aus sämtlichen Durchschnittseigenschaften nicht konstruiert werden kann. Ein Durchschnittsprofil würde wahrscheinlich von idealer Schönheit weit antfernt sein; bei der Mehrzahl der Menschen weichen die körper- lichen Eigenschaften nach derselben Seite von der Schönheit ab ‘runde Schultern, flacher Brustkasten, Warzen und Gewächse }). Wie der physische Durchschnittsmensch für Quetelet das Schön- heitsideal darstellte, so war der moralische Durchschnittsmensch [nhaber der idealen geistigen Kraft und repräsentierte das Ideal des Guten, trotz seines mittleren Hanges zum Verbrechen. Der Durch- schnittsmensch ist nach ihm von allen leidenschaftlichen Exzessen gleich weit entfernt, stellt also den goldenen Mittelweg dar (Systeme social, S. 273). Übrigens ist Quetelet in diesem Punkte oberflächlich; eine eigentliche Beweisführung sucht man vergeblich. Jener Durch- schnittsmensch, welcher in sich alle Eigenschaften eines Volkes vereinigt, wird zugleich ein „homme superieur“; er ist der Schwer- punkt, um den sich das ganze System bewegt (Systeme social S. 281). 12. Der Standpunkt Quetelets tritt auch deutlich in seiner Auf- fassung des Typischen zutage. Er glaubte, der Typus sei im ganzen konstant. Der Schönheitstypus solle keinen größeren Ver- änderungen unterliegen; nur die Grenzen der Abweichungen vom Durchschnitt würden unter günstigen Verhältnissen enger, wodurch lie Zahl der schönen Menschen also wachsen würde. Die Sterb- lichkeit war seiner Auffassung nach ebenfalls im wesentlichen die- selbe wie im Altertum. Wenn auch die Kunst der Ärzte. an ein- zelnen Punkten siege, werde dies nur den Reichen zugute kommen, während die Armen dafür um so kürzere Zeit zu leben hätten. Er stellt sich hier also auf denselben Standpunkt, den früher Malthus und J. B. Say vertraten. Im übrigen hatte er nur wenig Material für statistische Untersuchungen über die Bewegung der Sterblichkeit zur Verfügung. Er glaubt, einen Beweis für obige Behauptung in ler Zusammenstellung des Todesalters von 60 berühmten Männern aus verschiedenen Zeitaltern zu finden; weil 5 dieser großen Männer im Alter von 35 bis 40 Jahren starben, schloß er, daß dieses Alter für Menschen mit zu wirksamer KEinbildungskraft gefährlich sei ‘yeritablement fatal, Anthropometrie S. 380 f£.). Auf die Unzulänglich- ‘) Vgl. Held, Adam Smith und Quetelet, Jahrb. f. Nat. u. Stat., IX, 1867, S, 276. Siehe auch Westergaard, Teorien om Gennemspitsmennesket in Nor- disk Tidsskrift, 1884, ferner Axel Holck, Quetelet og Kunsten in National- dkonomisk Forenings Festskrift, 1897. 61 keit solcher Beweisführung braucht heute, wo man über weit bessere Beobachtungen verfügt, nicht hingewiesen zu werden. Die Sterblichkeits- und Trauungsquotienten sollen nach Quetelet als typische Eigenschaften des Durchschnittsmenschen zu betrachten sein. Eine einfache Probe wird uns zeigen, daß dieses keineswegs zutrifft. Wenn man z. B. für eine Periode die Heiratswahrschein- lichkeit für beide Geschlechter und die einzelnen Altersklassen be- rechnet hat, kann man auf dieser Grundlage für ein einzelnes Jahr ein „Budget“ der Eheschließungen aufstellen. Es wird sich dann in der Regel, auf Grund der fortwährenden Verschiebungen inner- halb der Bevölkerung, zeigen, daß sich die Zahl der Trauungen ver- schieden ergibt, je nachdem man die Zahl der Bräute oder der Bräutigame berechnet. Es müssen sich also notwendigerweise die Wahrscheinlichkeitswerte mit den Verschiebungen innerhalb der Bevölkerung ändern; lägen feste, unveränderliche Naturgesetze vor, würden solche Verschiebungen nicht denkbar sein. Übrigens ist schon deshalb die Theorie des Durchschnittsmenschen nicht anwendbar, weil eine Verhältniszahl wie der Sterblichkeits- quotient überhaupt nicht als Eigenschaft eines einzelnen Menschen betrachtet werden kann. Beträgt die Sterblichkeit 2 Proz. der Be- völkerung, so besagt dies nur soviel, daß unter 100 zwei sterben werden; von 100 Durchschnittsmenschen, welche also alle genau dieselben Eigenschaften hätten, würden aber alle gleichzeitig vom Tode betroffen werden oder alle am Leben bleiben. Unklar ist auch der Queteletsche Begriff einer tendance au mariage. In Wirklichkeit ist die Heiratsfrequenz ein kombinierter Ausdruck, ein Ausdruck nämlich sowohl für die Häufigkeit des Sieges der Menschen über die sich der Verehelichung entgegen- stellenden Schwierigkeiten als auch für den Wunsch, verheiratet zu werden. Quetelet unterscheidet allerdings eine scheinbare von einer wirklichen Zuneigung zur Ehe (Systeme social, S. 77 ff.); man könne zur Ehe geneigt sein, ohne jemals verheiratet zu werden, ebenso wie ein Spieler, trotz guter Chancen zu gewinnen, doch ständig verlieren kann. Wenn man mit großen Zahlen operierte, würde sich jedoch, wie er meint, der Unterschied ausgleichen; kurz und gut, er hat für den eigentlichen Kern der Sache kein Auge gehabt. 43. Auf dem Gebiete des rein Physischen, wo es sich um die Anthropometrie handelte, dürften die Verdienste Quetelets am unbestreitbarsten sein. Hier hat er interessante und anregende 62 Untersuchungen angestellt und hat die Anwendbarkeit der Wahr- scheinlichkeitsrechnung auf diese Disziplin, namentlich in bezug auf die Körpergröße, erkannt. Allerdings verleitete ihn seine Grund- anschauung auch hier zur Überschätzung der Ergebnisse; ganz natürlich glaubte er, ein physiologisches Gesetz für das Wachstum des Menschen gefunden zu haben, wo es sich auf jeden Fall zum Teil um die Wirkungen einer Auswahl handeln könnte. Gesetzt den Fall, man habe direkte Messungen an einer großen Zahl von Indi- viduen in verschiedenen Altersklassen vorgenommen und es ergebe sich dann z. B., daß die durchschnittliche Größe erst ihr Maximum im Alter von 25—30 Jahre erreicht und nach Erreichung des 50. Lebensjahres abzunehmen beginnt, welche Bedeutung hat dann liese Tatsache? Es liegt anscheinend die Möglichkeit vor, daß z. B. ler Tod eine Anzahl schwächlicher Personen unter Normalgröße im Alter zwischen 20 und 30 Jahren hingerafft hat. Bevor man ıntersucht hat, ob die Körpergröße der Verstorbenen der der Lebenden sntspricht oder ob sie wenigstens ohne nennenswerten Einfluß auf las Gleichmaß ist, kann von einem physiologischen Gesetz für das. Wachstum keine Rede sein. Anders, wenn man einer Anzahl Per- sonen von der Wiege bis zum Grabe folgen könnte, anstatt wie hier für jede neue Altersklasse eine neue Anzahl Individuen zu nehmen. Geringere Bedeutung hat Quetelet für die Entwicklung der Sterblichkeitsstatistik gehabt. Teils lag ihm auch hier zu sehr das Typische im Sinne, als daß er auf die vielen Abweichungen vom Durchschnitt hätte aufmerksam werden können, teils stand er zu sehr im Banne schon damals veralteter Methoden. Die außer- ordentliche Beweglichkeit der Bevölkerung, die höchst ungleiche Zusammensetzung nach Gesellschaftsschichten usw. scheinen ihm verborgen geblieben zu sein. Oft begnügt sich Quetelet auch mit summarischen Sterblichkeitsquotienten, wo die verschiedene Alters- verteilung unzweifelhaft einen Einfluß ausüben mußte. In dem Werke „Sur ”’homme“ beschäftigt er sich ausführlich mit dem Gleichgewicht der beiden Geschlechter, bezüg- lich dessen Hofacker in Deutschland und Sadler in England ihre Hypothese aufgestellt hatten. Hiernach solle das Alter der Eltern in der Weise eine Rolle spielen, daß, wenn der Mann älter sei als die Frau, mehr Knaben als Mädchen geboren würden, und umgekehrt. Wenn also z. B. in Kriegszeiten die Reihe der Männer gelichtet werde und nur verhältnismäßig wenig junge Männer er- 55 halten blieben, würde die Natur durch Mehrung der Knabengeburten das Gleichgewicht der Geschlechter wiederherstellen; und ent- sprechend würde die Natur beim Mangel an jungen Frauen aus- gleichend wirken. Es glückte Quetelet jedoch nicht, das entscheidende Wort zu sprechen, da er nicht die Kriterien der Wahrscheinlich- keitsrechnung anwendete; er bedauert nur im allgemeinen den ge- ringen Umfang des Materials. 44. Quetelet interessierte sich sehr für die sogenannte Moral- statistik; dieser Ausdruck ist zuerst von A. M. Guerry in seinem Essai sur la statistique morale de la France, 1833, angewandt worden. Wie die politischen Arithmetiker des 18. Jahrhunderts hatte auch Quetelet die große Regelmäßigkeit auf diesem Gebiete vor Augen. Er behauptete sogar, daß Ereignisse, welche vom menschlichen Willen abhängig seien, regelmäßiger eintreffen würden als solche, die aus- schließlich physischen Ursachen zuzuschreiben seien. Der Weise werde in allen seinen Handlungen sehr wenig vom Durchschnitt abweichen; nur bei Menschen, die blind ihren Leidenschaften folgen, könnten unberechenbare Abweichungen vom Durchschnitt vor- kommen. Je mehr die menschliche Willensfreiheit herrsche, desto regelmäßiger müßten sich die Ereignisse gestalten und desto enger werde der Spielraum der zufälligen Ursachen. Quetelet hat jedoch nie untersucht, ob die moralstatistischen Beobachtungen diese Theorie bestätigen. Als er zum ersten Mal die Lehre vom Budget der Ge- fängnisse und Galeeren aufstellte, hatte er nur die Erfahrungen dreier Jahre zu Gebote, und als „Sur l’homme“ erschien, erstreckte sich sein — übrigens nicht einmal gleichartiges — Material nur über 6 Jahre. Wenn Quetelet mit Hilfe der Wahrscheinlichkeits- rechnung seine Theorien einer erfahrungsmäßigen Prüfung unter- worfen hätte, würde er selbst die Unrichtigkeit vieler seiner Be- hauptungen erkannt haben. Wie er eine tendance au mariage berechnen wollte, so hat er auch eine Theorie von einem Hang zum Verbrechen (pen- chant au crime) aufgestellt. Er sucht die Laufbahn des Verbrechers zu beschreiben. Der Hang zum Diebstahl solle sich in frühem Alter durch Diebstahl im Heime, später durch Diebstahl anderswo be- kunden, bis er, genährt durch den Drang des Verbrechers danach, seine Manneskraft zu erproben, in Gewalttätigkeit und Mord auf offener Straße ausartet, während die letzte Stufe der Verbrecher- laufbahn sich durch Hinterlist kennzeichne, welche gewissermaßen an die Stelle der physischen Kraft trete, indem der Verbrecher als 64 Fälscher auftrete und seine Feinde im Dunkeln zu treffen suche usw. Erst seit der modernen Entwicklung der Kriminalstatistik, die heutzu- tage über zahlreiche Individualbeobachtungen verfügt, war man dazu imstande zu untersuchen, in welchem Umfang dieselben Personen, die in ihrer Jugend Diebstahl begangen haben, sich später als Fälscher oder Meuchelmörder erwiesen haben. Auf ähnlicher Stufe Jlürften Quetelets Betrachtungen über die mit dem Alter {fort- schreitende Entwicklung poetischer Begabung stehen. 45. Daß dieser interessante Verfasser so ausführlich gewürdigt wurde, liegt darin, daß er überhaupt ein getreues Abbild seiner Zeit ist; viele seiner Fachgenossen standen entweder unter seinem Ein- {[lusse, oder sie waren selbständig zur gleichen Anschauung gelangt. Seine naturalistische Statistik hatte etwas Blendendes und verschaffte ihm viele Anhänger, So war der englische Geschichtsschreiber Buckle von diesen Ideen ergriffen, und Ad. Wagner bekannte sich in seiner Jugendschrift: Die Gesetzmäßigkeit in den scheinbar willkürlichen menschlichen Handlungen (1864) zu dem Dogma der großen Regelmäßigkeit. Er denkt sich ein Märchenland (a. a. O. 3. 44 ff.), in welchem für jedes Jahr im voraus gesetzlich festgelegt wird, „wie viele Paare heirathen dürfen, welche Altersclassen unter einander heirathen, wie viel junge Mädchen alte Männer ... be- zommen ... Das Loos bestimmt alsdann unter den einzelnen Ge- schlechtern, Alters-, Civilstands- Berufsclassen, die Einzelnen in der gesetzlichen Zahl, welche sich heirathen sollen. Ein anderes Gesetz der Staatsgewalt normiert im Voraus die Zahl derjenigen Personen, welche ihrem Leben in dem nächsten Jahre durch Selbst- mord ein Ende zu machen haben ... Ein drittes Gesetz . . . setzt in ähnlicher Weise fest, wie viele und welche Verbrechen im nächsten Jahre begangen werden sollen... und auch hier entscheidet dann das Loos wieder über den Einzelnen . .., welcher das Verbrechen zu begehen und dafür zu leiden hat... Am Schlusse jedes Jahres .. findet sich ..., daß die Gesetze in der vorgeschriebenen Weise erfüllt wurden, zwar sind mitunter ganz kleine Abweichungen Vor- gekommen ..., aber das wird dadurch wieder gutgemacht, daß in dem ‚Budget der vorzunehmenden Handlungen‘ für das nächste Jahr das Plus oder Minus auf die nächste Jahresrechnung übertragen... wird ...“ Diese merkwürdige Ordnung vollzieht sich nun von selbst in der heutigen Gesellschaft, infolge der natürlichen Organi- sation derselben, mit einer Regelmäßigkeit, „welche wir nirgends bei der Befolgung eines menschlichen Gesetzes beobachten“, es ist 65 „ein dem Einzelnen unfühlbares Gesetz der Natur zur Ausführung gelangt.“ Man kann vielleicht sagen, daß in gewisser Beziehung die anthropologisch-kriminalistische Schule, die namentlich in Italien Anhänger hatte, das Erbe Quetelets angetreten hat. Nicht zum mindesten gilt dies von Lombroso (1836—1909) mit seinem Werk L’uomo delinquente (1871—1876). Er sucht zu zeigen, daß das Ver- brechen als „notwendige Naturerscheinung“ zu betrachten ist, daß der Verbrecher gewisse „typische Rasseneigentümlichkeiten“ hat, die an den Mongolen erinnern und sich morphologisch im Schädel- und Gesichtsbau, im Haarwuchs usw. aussprechen. Diese Theorien wurden einer im ganzen beistimmenden Kritik von Ferri unter- worfen, welcher namentlich zu beweisen suchte, daß die vielen Merk- male, welche Lombroso sämtlichen Verbrechern zugeschrieben hatte, nur einzelnen Gruppen derselben, wie Räubern und Raubmördern, zukämen. Diese naturalistische Schule verneint die Willensfreiheit und betrachtet die Auffassung der positiven Philosophie über diese Frage als durch die Statistik bestätigt. Das Strafrecht wird dann einfach als eine „notwendige Konsequenz des der menschlichen Gesellschaft zustehenden Rechtes der Selbstbehauptung“ begründet, und das Schwer- gewicht muß auf vorbeugende Maßregeln, wie die Bekämpfung der Trunksucht, die Überwachung der Prostitution und den Schutz der Arbeiter, gelegt werden. Als Statistiker waren die Mitglieder dieser Schule im wesent- lichen nur Dilettanten. Lombrosos anthropologisches Material hat wegen des ihm fehlenden statistischen Verständnisses oft nur geringe Beweiskraft. Die Zahlen sind vielfach so klein, daß die Kriterien der Wahrscheinlichkeitsrechnung keine Anwendung finden können. Lombroso teilt z. B. die Ergebnisse einer Untersuchung über 50 Sträf- linge mit, welche bei 8 Proz. (also im ganzen 4 Individuen) Stra- bismus, bei 1 Proz. flache Stirn ergabl). Seine statistischen Be- trachtungen über die Vitalität der Sträflinge waren völlig wertlos. Die naturalistische Auffassung begegnete lebhaftem Widerstande, nicht zum mindesten von seiten deutscher Statistiker. Zu diesen gehörte der Theologe Alex v. Oettingen, dessen großes Werk „Die Moralstatistik“?) oben genannt wurde und als Kompendium ') Vgl. die französische Ausgabe des L’uomo delinquente: L’homme erimi- nel, 1887, S. 320 ff. °) Erste Ausgabe 1868 —1873, die dritte 1882. Westergaard und Nybolle, Theorie der Statistik, 2. Aulfl. 66 der ganzen diesbezüglichen Literatur fast eine ähnliche Rolle spielt wie Süßmilchs „Göttliche Ordnung“. Oettingen, der aus der Moral- statistik statt einer Sozialphysik eine Sozialethik entwickeln will, betrachtet den Menschen als persönlich freies Wesen, welches aber zugleich als Glied der Gesellschaft an dem „geistig sittlichen Ge- meinleben“ teilnimmt und unter dem Einflusse „geistig wie sittlich hemmender oder fördernder Kulturmächte“ !) steht. Trotz aller An- strengung, wirklichkeitsgetreue Resultate zu erreichen, gelang ihm lies nicht immer, und daran war die Unvollkommenheit seiner Me- ;hoden schuld. Besonders ums Jahr 1870 wurde die Frage der Willensfreiheit im Lichte der Statistik lebhaft diskutiert, ohne daß ibrigens eine endgültige Abklärung dieses Problems gelang ?%). 46. Außer den genannten Richtungen könnte man auch von ainer soziologischen Behandlung der statistischen Beobachtungen reden und als Vertreter hierfür G. v. Mayr nennen, der in seinem 1895 begonnenen Werk „Statistik und Gesellschaftslehre“ mit un- geheurem Fleiß das gesamte statistische Wissen unserer Zeit zu sammeln und zu beherrschen verstand. Zahlreiche deutsche Statistiker naben sich um ihn gesammelt®. Unter demselben Gesichtswinkel wie Mayr und seine Schüler kann der Norweger Eilert Sundt “1817—1875) betrachtet werden, dessen recht umfangreiche und eigenartige Produktion erheblich früher als Mayrs Werk vorlag. Dieses soziologische Interesse hat auch die vielen Untersuchungen beherrscht, durch die man in unseren Tagen die statistischen Beob- achtungen entschwundener Zeiten gesammelt und bearbeitet hat, ein Material, das in den verschiedenen Archiven zu finden ist, aber früher zum großen Teil nicht zugänglich war. Das gilt nicht nur von Studien der Bevölkerungsverhältnisse, wodurch unser Wissen über diese Frage bedeutend erweitert wurde, sondern auch von Ge- bieten ökonomischer und sozialer Natur (Löhne, Preise, Landwirt- schaft usw.), so daß ein bedeutendes Material zur Beleuchtung des konomischen und sozialen Lebens früherer Jahrhunderte zuwege zebracht worden ist. Während der letzten Jahrzehnte hat die amtliche Statistik ungemein große Fortschritte gemacht, so daß die Statistiker jetzt viel festeren Boden unter den Füßen haben als seinerzeit Quetelet, ‘') a. a. O. 3. Ausg., S. 39. *) Kaufmann, Theorien und Methoden der Statistik, Jena 1913, S. 161. ’) Vgl. z. B. die von Fr. Zahn redigierte Festschrift zu v. Mayrs 70. Geburts- ‚age: Die Statistik in Deutschland (1911). 67 und seine Zeitgenossen. Die statistischen Bureaus der verschiedenen Länder sowie andere statistische Institutionen arbeiteten mit stets größerem Zielbewußtsein an der Beschaffung möglichst genauen und klaren Tatsachenmaterials, gestützt durch eine hochentwickelte Technik (elektrische Zählmaschinen, Rechenmaschinen usw.), und durch das wachsende Zutrauen der Bevölkerung zum Statistiker, Nicht unwesentlich trugen die kommunal-statistischen Bu- reaus, die hier und dort errichtet wurden und an denen einige der bekanntesten Statistiker wirkten, zu dieser Entwicklung bei. Die Be- wegung zur Errichtung solcher Lokalbureaus stammt hauptsächlich aus den 60er Jahren. Als eins der hervorragendsten mag das im Jahre 1862 in Berlin errichtete Bureau (seit 1882 das statistische Amt der Stadt Berlin) erwähnt werden. Auch die Entwicklung der Arbeiterstatistik verdient eine Erwähnung; sie wurde gefördert teils durch neue Abteilungen der statistischen Bureaus, teils durch selbständige Institutionen wie das im Jahre 1869 in Massachusetts errichtete Bureau of Labor, das in der ganzen Union viele Nachahmungen fand. 17. Die internationalen Bestrebungen zur gemeinsamen Bearbeitung einzelner Aufgaben können ebenfalls in diesem Zu- sammenhang berührt werden. Eine Zeitlang mußte hier auf Grund des Weltkrieges die Arbeit ruhen, sie hat aber jetzt wieder aufge- nommen werden können, teils im Anschluß an den Völkerbund in Genf (z. B. eine Health Section), teils auch unabhängig von diesem; so ist 1905 das internationale Landwirtschaftsinstitut in Rom ge- stiftet worden, und als Ableger der internationalen statistischen Gesellschaft ist im Jahre 1913 das internationale statistische Bureau mit Sitz im Haag ins Leben getreten. Es würde sehr schwer sein, die Fortschritte auf dem Gebiete der amtlichen Statistik im einzelnen geschichtlich zu be- leuchten, und besonders schwierig wäre es, die Schilderung mit be- stimmten Namen zu verknüpfen. Viele der verdienstvollsten Arbeiten innerhalb der amtlichen Statistik sind anonym, so daß es nicht leicht sein würde, den Anteil der einzelnen Verfasser an dem Fortschritte anzugeben. Man kann jedoch unleugbar ein ständig wachsendes Be- streben nach Feststellung der Fehlerquellen und nach Beschaffung möglichst klaren und unzweideutigen Materials bemerken. Damit ist hinsichtlich der Sterblichkeitsstatistik die frühere Unsicherheit zum großen Teil verschwunden und nicht zum mindesten hinsichtlich der Sterblichkeit nach Erwerbszweigen. Auch die Kriminalstatistik 68 hat große Fortschritte gemacht, namentlich seitdem man hier und Jort auf die Behandlung der Einzelfälle gekommen war und so ge- rade zur Klärung der Frage des Rückfalls beitrug. Die Wirtschafts- statistik, die erhebliche Schwierigkeiten zu überwinden hatte, Jarf ebenfalls als durchaus fortschrittlich bezeichnet werden. 48. Ohne Kampf sind diese Resultate nicht erreicht worden. Man kann sozusagen die Geschichte der Statistik an dem Zutrauen verfolgen, welches mehrere Generationen den Volkszählungen als brauchbarem Mittel zur Erforschung der Bevölkerungsverhältnisse zollten. Bei den politischen Arithmetikern des 18. Jahrhunderts ge- nossen sie dies, wie erwähnt, oft nur in geringem Maße, und noch im 19. Jahrhundert begegnet man sehr kräftig bekundetem Miß- trauen. Wo es die Aufstellung einer Sterbetafel galt, suchte man oft die Volkszählungen zu umgehen. Hermann, der, ‚wie ben gesagt, eine Reihe von Jahre hindurch die bayerische Statistik leitete, wollte eine Sterbetafel in der Weise anfertigen, daß er Jahr für Jahr eine Generation von der Wiege bis zum Grabe behandelte wobei er auf Geburten und Todesfälle aufbaute und zur Berichti- zung die Militäraushebungen mit in Betracht zog. Kin interessanter Versuch, die Militäraushebungen zur Verbesserung des Beob- achtungsmaterials zu benutzen, wurde 1838—1839 in Frankreich von Demonferrand unternommen. Ein belgischer Mathematiker suchte auf Grundlage von Sterbelisten für Belgien für die Zeit von 1841—1850 eine Sterbetafel zu berechnen, indem er einen gewissen Bevölkerungszuwachs voraussetzte. Bei der Wahl eines solchen konnte man natürlich verschiedene Wege gehen. Es muß sehr schwer gewesen sein, diese Verhältnisse klar zu durchdenken; denn ain zweiter Belgier, der Statistiker Heuschling, wollte ganz einfach den Geburtenüberschuß dadurch berücksichtigen, daß er ihn pro rata auf die Todesfälle innerhalb der einzelnen Altersgruppen verteilte, Er sah nicht, daß er bei Benutzung der so gefundenen Zahlen für die Berechnung einer Dekrementtafel zu genau denselben Resultaten gelangte, wie wenn er gar nicht diese pro rata-Berechnung Vvorge- nommen hätte. Daß Heuschling auf diesen Denkfehler nicht aufmerksam wurde, liegt jedenfalls wohl daran, daß er bei seiner Berechnung vom Li. Lebensjahr absah; in der folgenden Diskussion (1854), an der sich auch Quetelet beteiligte, war Heuschling der Unterlegene, und zwar nicht ohne Bitterkeit, da er namentlich einen seiner Gegner des Plagiats beschuldigte. Mittlerweile siegte die Volkszählung in der amtlichen Statistik. 69 Will. Farr berechnete im Jahre 1843 eine Sterbetafel für England und Wales auf Grundlage von Todesfällen des Jahres 1841 und der Volkszählung des gleichen Jahres. Später folgte eine Tafel, welche auf den Sterblichkeitserfahrungen der Jahre 1838—1844 fußte, und 1864 endlich erschien in einem stattlichen Band Life Table Nr. 3 mit zahlreichen Formeln und Hilfstafeln; durch diese Formeln und Tafeln hoffte er seine Arbeit für Zwecke der Lebensversicherung verwendet zu sehen, doch vergebens. Diese Tafel gründete sich auf Todesfälle während der 17 Jahre von 1838—1854 und auf die Volks- zählungen der Jahre 1841 und 1851. In Dänemark behandelte E. Fenger mit Umsicht die Sterblichkeit in Dänemark von 1835 bis 1839; er benutzte hierbei die Volkszählungen der Jahre 1834 und 1840. Die Zeit war jetzt auch reif für eine theoretische Behandlung Jer Fragen, die durch die Volkszahl und ihre Verschiebungen auf- geworfen wurden. Namentlich in Deutschland machte man Fort- schritte; hier können mehrere zwischen 1868 und 1875 erschienene Arbeiten von G. F, Knapp, G. Zeuner und W. Lexis hervorge- hoben werden; die beiden letztgenannten Forscher benutzten mit Vorteil stereometrische Darstellungsmethoden. KEin praktisches Er- gebnis dieser Bestrebungen, einen Einblick in die Bewegungen der Bevölkerung zu gewinnen, war namentlich die in betreff der Kinder- sterblichkeit gewonnene Klarheit. Wenn jedes Kind, welches stirbt, mit Alter, Geburts- und Todesjahr registriert wird, sind rationelle Berechnungen der Lebensaussichten, von Wanderungen und Ver- schiebungen von einer Gesellschaftsklasse zur anderen abgesehen, möglich. 49. Hand in Hand nun mit der großen Entwicklung innerhalb der amtlichen Statistik gingen die Bestrebungen, welche von seiten der Lebensversicherungsgesellschaften namentlich zur Beschaffung zuverlässiger Sterbetafeln entfaltet wurden. Diese Ge- sellschaften werden gewöhnlich nicht über ein so großes Beob- achtungsmaterial verfügen können wie die amtliche Statistik; was jedoch an Umfang fehlte, das ersetzten Gleichartigkeit und Ge- nauigkeit, da die Gesellschaften mit Hilfe ihrer Bücher jeden ein- zelnen Versicherten genau vom Augenblick seines Eintritts an bis zu seinem Austritt oder Tod beobachten können. Unter Anwendung stets feinerer Technik wurde dieses Material für eine Reihe von Sterblichkeitsuntersuchungen benutzt, die von großer Bedeutung für das Lebensversicherungswesen wurden. 1829 gab John Finlaison 70 einen offiziellen Bericht über die an Staatsleibrentenempfängern in England gewonnenen Sterblichkeitserfahrungen heraus; einige Jahre später folgte ein Bericht der alten englischen Lebensversicherungs- gesellschaft Equitable, und 1843 erschien eine 17 englische Lebensversicherungsgesellschaften umfassende gemeinsame Sterblich- keitsuntersuchung. Damit war man einen großen Schritt vorwärts gekommen. Ein Problem, welches man damals nur streifen konnte, das aber bei späteren Untersuchungen eine Hauptrolle gespielt hat, war die Bestimmung des Einflusses, den die Dauer der Versicherung auf die Sterblichkeit hat; vor allem galt es, die Sterb- lichkeit kurz nach Abschluß der Versicherung zu finden. Jetzt folgte eine Reihe von Untersuchungen, so ein gemeinsamer Bericht, welcher 1899—1903 herauskam und auf den Erfahrungen englischer Gesellschaften von 1863—1893 beruhte: 1883 erschien eine ent- sprechende Untersuchung in Deutschland, die mehreren deutschen Gesellschaften ihre Entstehung verdankte. Gleichzeitig bearbeiteten auch viele einzelne Versicherungsgesellschaften selbständig ihre Er- fahrungen, so die angesehene Gothaer Lebensversicherungsbank. Man hatte bei diesen Untersuchungen besonders den normalen Lebensverlauf vor Augen; jedoch verfolgten unter anderem die skandinavischen Gesellschaften nach einem im Jahre 1898 gefaßten Beschlusse die Aufgabe, die Sterblichkeit für den unter dem Durchschnitt liegenden Lebensablauf zu bestimmen. Etwas ähnliches gilt hinsichtlich der im Jahre 1903 von 34 amerikanischen Lebensversicherungsgesellschaften herausgegebenen Massenuntersu- chung, die allerdings nicht als ganz geglückt bezeichnet werden kann. 1912—1914 wurde ein nordamerikanischer Allgemeinbericht (Medico - Actuarial Mortality Investigation) vom Standpunkte der Versicherungsärzte aus abgegeben. Ein Problem, das besonders bei der Berechnung von Sterbe- jafeln Bedeutung erhielt, war die Ausgleichung; damit befaßten sich viele Mathematiker, die auf die bestmögliche Art und Weise zufällige Unebenheiten zu beseitigen suchten, um so ein wahrheits- getreueres Bild der tatsächlichen Verhältnisse zu gewinnen. Auf Jiesem Gebiete haben sich die dänischen Mathematiker Opper- mann, Thiele und Gram bedeutende Verdienste erworben. Thiele hat u. a. auf die Sterbetafeln der skandinavischen Lebensversicherungs- yesellschaften das Ausgleichsverfahren angewandt. Auch K. Pear- son und seine Schüler haben sich mit dem Ausgleichungsproblem beschäftigt. 71 Damit waren jedoch die statistischen Aufgaben des Versiche- rungswesens keineswegs erschöpft. In England hatte schon im 18. Jahrhundert das Krankenkassenwesen Bedeutung erlangt, und der Philosoph Richard Price hatte einen interessanten Ver- such unternommen, die Abhängigkeit der Kränklichkeit vom Alter festzustellen, indem er diese in ein gewisses Verhältnis zur Sterb- lichkeit setzte. Das 19. Jahrhundert brachte nun eine Reihe inter- essanter Ergebnisse, z. B. mehrere Berichte des großen Kranken- kassenordens The Manchester Unity of Odd Fellows, und eine vom Staatskontor für die englischen Friendly Societies bearbeitete Krankenkassenstatistik. In Deutschland erschien 1910 ein ausführ- licher Bericht über die Krankheits- und Sterblichkeitsverhältnisse der Ortskrankenkasse für Leipzig und Umgegend. Das Material zum Studium der Invaliditätsstatistik ist namentlich Deutschen zu verdanken. Die erste Grundlage für diese Art Untersuchungen gaben Beobachtungen über das Personal der deutschen Eisenbahnverwaltung ab; die ersten Resultate erschienen im Jahre 1876, später folgten Untersuchungen über Bergarbeiter und in diesem Jahrhundert endlich offizielle Mitteilungen über die deutsche Alters- und Invaliditätsversicherung. Der Medizinalstatistik hafteten lange bedeutende Mängel an; oft waren die Verfasser dazu unfähig, das bunte und gewöhn- lich bruchstückartige Material der Krankheits- und Todesursachen- statistik mit erforderlicher Kritik zu sichten und zu bearbeiten. In dieser Beziehung aber hat das 20. Jahrhundert einen wesentlichen Fortschritt gebracht, indem viele der Verfasser jetzt bestrebt sind, die Fallgruben, in denen ihre Vorgänger vielfach verunglückten, zu vermeiden und andererseits die Hilfsmittel, welche ihnen die Theorie der Statistik darbietet, zu benutzen. 50. Ein Mangel war es, daß lange nur eine geringe Verbindung zwischen den Pflegern der Wahrscheinlichkeitsrechnung und den Vertretern der praktischen Statistik bestand. Oben wurde erwähnt, daß die Wahrscheinlichkeitsrechnung schon zu An- fang des vorigen Jahrhunderts eine hohe Entwicklungsstufe erreicht hatte. Eine Vervollständigung der Wahrscheinlichkeitsrechnung ver- dankt man Poisson mit seinem früher genannten Buche: Recherches sur la probabilite des jugements, 1837. Nunmehr wurde es möglich, die zufälligen Abweichungen von den gefundenen statistischen Werten zu beurteilen unter der Voraussetzung, die man allerdings viel später erst gründlich untersuchte, daß sich die Beobachtungen im 72 großen und ganzen nach der Theorie der Wahrscheinlichkeitsrech- 1ung richteten. Mit der Behandlung der Aufgabe durch Poisson bekam man z. B. ein einfaches Mittel zur Lösung der Frage in die Hand, inwieweit zwei Berufszweige, von denen man Mitgliederzahl und Zahl der Todesfälle kennt, einen typischen Unterschied hin- sichtlich der Sterblichkeit aufweisen. Damals aber konnte man noch kaum an die Anwendung solcher Formeln denken. Ein einzelner Statistiker, Gavarret, welcher im Jahre 1840 eine Medizinal- statistik herausgab*!), suchte zwar die Hauptsätze der Wahrschein- lichkeitsrechnung populär darzustellen, wobei er Beispiele einer Be- weisführung für ihre Verwendbarkeit in der Statistik gab; dieser Versuch wurde jedoch kaum beachtet, und einige Jahre später suchte ein Verfasser im Journal of Statistical Society zu beweisen, daß „die Formeln des Mathematikers“ nur eine sehr beschränkte Ver- wendung in der Statistik finden könnten. Die in der Praxis stehenden Statistiker dieser Periode begnügten sich damit, höchstens mit einigermaßen großen Zahlen zu rechnen, in der Hoffnung, daß „das Gesetz der großen Zahl“ auf diese Weise ganz von selbst zur Geltung kommen werde, und nicht zum mindesten schien man in England die betreffenden Resultate zu ignorieren. Dennoch aber war gerade England dasjenige Land, wo solche Untersuchungen gegen Ende des Jahrhunderts zu Ehren und An- sehen gelangen sollten. Bereits im Jahre 1872 hatte Woolhouse in einer lesenswerten Abhandlung (On the Philosophy of Statistics, Ass. Mag. XVII, 1872) seine Vertrautheit mit der Frage gezeigt. Im folgenden Jahrzehnt trat Edgeworth (1845—1926) für die Benutzung der Wahrscheinlichkeitsrechnung?) in die Schranken. Damit war eine entscheidende Wendung in der englischen statisti- schen Literatur eingetreten, wovon namentlich das Journal of the Royal Statistical Society Zeugnis ablegt. In Deutschland gab W. Lexis 1877 einen gewichtigen Beitrag, besonders durch die Beleuchtung der Abweichung im Verhältnis zwischen Knaben- und Mädchengeburten, womit er unmittelbar eine Verbindung zwischen den Erfahrungen und der Wahrscheinlichkeitsrechnung herstellte 3). Das Erblichkeitsproblem gab, namentlich in England, zu tiefgehenden statistischen Untersuchungen Veranlassung. Mit großem Eifer war diese Frage von Francis Galton (1822—1911), dem ') Prineipes generaux de statistique medicale. ?) Methods of Statistics. Jubilee Vol. of the Stat. Society, 1885. ) Zur Theorie der Massenerscheinungen in der menschlichen Gesellschaft. 73 Vetter Ch. Darwins, ‘behandelt worden, welcher am Mathematiker Karl Pearson einen tatkräftigen Mitarbeiter hatte. Pearson gründete in Verbindung mit Galton die Zeitschrift „Biometrika“, die 1901 als Sammelpunkt für Erörterungen über diese Art Fragen zum erstenmal erschien. 1884 hatte Galton ein anthropometrisches Laboratorium gegründet, später eine „Research Fellowship“ in „Natio- nal Eugenics“ zu London; und 1907 trat „The Francis Galton Eugenic Laboratory“ in Tätigkeit. Galtons testamentarische Dispositionen ermöglichten eine Erweiterung dieser Einrichtung. Pearson untersuchte unter verschiedenen Voraussetzungen ein- gehend die Formen für die Abweichung vom Mittelwert statistischer Beobachtungen und behandelte überhaupt mit unermüdlichem Eifer die mathematischen Probleme, welche die gesamten Untersuchungen mit sich führten. Von anderen Mathematikern, die sich um die Entwicklung der theoretischen Statistik in England verdient gemacht haben, können A. Bowley und G. Udny Yule erwähnt werden. Auf der Suche nach den Ursachenverbindungen zwischen ver- schiedenen Zahlenreihen kam man auf die von dem französischen Astronomen Bravais (1811—1863) im „Jahre 1846 aufgestellte Korrelationstheorie, die jetzt stark ausgebaut wurde und sich die Aufmerksamkeit einer Menge Mathematiker zuzog, teils in England und Nordamerika, teils aber auch allmählich in verschiedenen anderen Ländern. Hier können die Zeitschrift der nordamerikanischen Ge- sellschaft und verschiedene Zeitschriften in Europa, wie das 1920 von dem italienischen Statistiker Gini gestiftete „Metron“ er- wähnt werden. Viele der Untersuchungen, die nicht allein über das Erblichkeitsproblem, sondern auch über andere Fragen vorgenommen wurden, standen im Zeichen der Korrelationstheorie. Diese Theorie enthält in gewisser Beziehung keine anderen Prinzipien als die in älteren Zeiten auf der Wahrscheinlichkeitsrechnung fußenden Ver- gleichungsmethoden, ist aber dennoch als selbständiges Werkzeug im Dienste der Statistik betrachtet worden. Als ungünstiges Moment darf vielleicht angeführt werden, daß noch auf manchen Punkten die Zusammenarbeit versagt, so daß verschiedene Forscher in allzu hohem Grade isoliert arbeiten und somit die Ausbeute der intensiven Arbeit verkleinert wird; und ganz besonders darf man wohl sagen, daß bei vielen ein gewisser Mangel an Wirklichkeitssinn vorliegt. 51. Schließlich sei bemerkt, daß man nicht zum mindesten in Nordamerika in den letzten 20 Jahren sich stark auf das Studium der Wirtschaftsstatistik gelegt hat, die ebenso wie die Erb- 74 lichkeitsprobleme unter mathematische Behandlung genommen worden ist. Es sind gerade die periodischen Bewegungen in den öko- nomischen Phänomenen, auf welche sich die Aufmerksamkeit lenkte, teils die Perioden innerhalb eines Kalenderjahres, teils Perioden längerer Dauer. Man sucht dabei die Lehre von den Krisen, den guten und schlechten Zeiten zu unterbauen und womöglich Material zur Voraussage der Ereignisse im Wirtschaftsleben zu gewinnen. Mehrere Universitäten haben tatkräftig solche Untersuchungen, deren Ziel das „Business Forecasting“ ist, aufgenommen, und verschiedene Nationalökonomen und Statistiker sind eifrig mit solchen Problemen beschäftigt, so z. B. H. L. Moore und Warren M. Persons. Es handelt sich teils um Erhebung, Sichtung und Bearbeitung des Materials, teils darum, Formeln aufzufinden, welche bei den Unter- suchungen verwandt werden, Periodogramme, die normale periodische Bewegungen angeben können; man wird somit dazu imstande sein, lie Abweichungen der Beobachtungen von solchen Werten zu messen und näheren Erwägungen zu unterziehen. Da diese Untersuchungen zurzeit so jung sind, dürfte es noch verfrüht sein, eine Beurteilung zu versuchen. Sie haben jedenfalls die Wirkung gehabt, daß die gesamte Wirtschaftsstatistik jetzt viel rationeller behandelt wird als früher. Es versteht sich von selbst, laß die Entwicklung auf diesem Gebiete so besonders kräftig ge- wesen ist, weil heutzutage das Arbeitstempo überhaupt weit rascher ist als einst, und diese Untersuchungen haben den großen Vorteil gehabt, auf den theoretischen Fortschritten bauen zu können, welche auf anderen Gebieten der Statistik, besonders innerhalb der Be- völkerungsstatistik, gemacht worden sind. 52. Vergleicht man den Zustand und die Lebensbedingungen der Statistik zu Anfang des 20. Jahrhunderts mit den entsprechenden Verhältnissen zu Beginn des 19. Jahrhunderts, kann man nicht um- hin, die ungeheuren Fortschritte, die diese Disziplin gezeitigt hat, bewundernd anzuerkennen. Wo man früher unsicher im Dunkeln umhertastete, da arbeitet man jetzt zielbewußt in schnellem Tempo; wo man in alten Tagen nur mit Mühe und häufig auf Umwegen sich das notwendige und oft sehr karge Material beschaffen konnte, Ja steht jetzt eine außerordentlich große Fülle von Beobachtungen — ein wahres embarras de richesses — zur Verfügung. Es steht somit das Horoskop der Statistik heute weit günstiger als damals, and im Spiegel des bereits Geleisteten wagt man, der statistischen Forschung eine glückliche Zukunft zu prophezeien. 75 II. Kapitel. Beschaffung und Bearbeitung der Massen- beobachtungen. 53. Wie in der Einleitung erwähnt, ist es für die Statistik charakteristisch, daß sie mit Massenbeobachtungen operiert; welche Massen hier in Betracht kommen, ist ganz abhängig vom Gegen- stand und Zweck der Untersuchung; aber selbst wenn man, wie es im folgenden beabsichtigt ist, sich im wesentlichen auf die Statistik der menschlichen Gesellschaft beschränkt, können die beobachteten Massen nach Art und Natur sich sehr weit voneinander unter- scheiden und brauchen keineswegs nur solche zu sein, mit denen man sich besonders in der Bevölkerungsstatistik beschäftigt, näm- lich Massen, die sich aus menschlichen Individuen zusammensetzen. In der Handelsstatistik z. B. wird die Masse der umgesetzten Waren oder Menge und Wert der Zirkulationsmittel, in der Produktions- statistik die Masse der produzierten Waren oder der Produktions- mittel, in der Statistik der Erwerbszweige die Zahl der Betriebe beobachtet und so fort. Die beobachtete Masse sucht man zu definieren oder muß man zu definieren suchen durch eine begriffsmäßige Abgrenzung darüber, welche Individuen zur Masse gehören und welche nicht. Formell kann diese Abgrenzung gar leicht sein, die Praxis aber weist fast immer Fälle auf, welche Zweifel erwecken, ob eine größere oder kleinere Anzahl von Individuen mit zur Masse gehört oder nicht. In einem so einfachen Falle wie dem, wo die zu beobachtende Masse sämtliche Personen umfaßt, welche z. B. in Dänemark im Laufe eines gegebenen Kalenderjahres gestorben sind, und wo die Kennzeichen des Todes nicht zweifelhaft zu sein brauchen, kann in einzelnen Fällen die Bestimmung von Zeit und Ort des Eintretens des Todes (angeschwemmte Leichen, Sterbefälle auf Reisen, Selbst- mordfälle usw.) entweder garnicht vorgenommen werden oder zweifel- haft sein. Die formelle (begriffsmäßige) Abgrenzung indes kann auch an Mängeln leiden. Schwierigkeiten, die daher stammen, trifft man schon in der Geburtsstatistik an, wo der Begriff lebendgeboren nicht überall und zu allen Zeiten gleich aufgefaßt wird, sondern 76 sich natürlich um so stärker geltend macht, je mehr die Begriffe differenziert werden. Beispiele hierfür geben die folgenden Aus- Führungen. ö4. Ist es indessen auf irgendeine Art und Weise abgemacht, welche Individuen zur Masse gehören, dann mißt man ihren Umfang ladurch, daß man die Zahl der Individuen, aus denen sie zusammen- gesetzt ist, angibt. Bei manchen Aufgaben wird man oft Ver- anlassung haben, zwischen verschiedenen Arten von Individuen zu unterscheiden, entweder für ganz bestimmte Zwecke oder um im allgemeinen ein Bild von der Zusammensetzung der Masse zu geben. Das, was hierbei geschieht, ist indes nichts anderes als eine Ab- grenzung neuer Massen, die schon in der ursprünglich betrachteten enthalten sind; und insofern liegt keine Veranlassung vor, zwischen der Abgrenzung einer Masse überhaupt und ihrer Teilung in andere Massen zu unterscheiden. 55. Wenn eine Masse in neue Gruppen zerlegt wird, geschieht dies nämlich ganz einfach damit, daß dem Begriff, der die zu einer Gruppe gehörenden Individuen definiert, eins oder mehrere Kenn- zeichen zugelegt werden neben den Merkmalen, welche zuerst die Masse abgrenzten; hierdurch erweitert sich der Inhalt des Begriffes, während der Umfang der Masse abnimmt. Die ergänzenden Kenn- zeichen (Einteilungsgründe) können höchst verschiedener Art sein. Hier soll besonders der Unterschied hervorgehoben werden zwischen Einteilungsgründen, die sich zahlenmäßig ausdrücken lassen (Eigen- schaften, welche gemessen oder gezählt werden können) und quan- titativ genannt werden können und solchen Einteilungsgründen, die sich jedenfalls nicht unmittelbar auf diese Weise ausdrücken jassen und als qualitativ bezeichnet werden können. Beispiele quantitativer Einteilungsgründe sind: die Geburtsnummer geborener Kinder, der Zeitpunkt des Eintretens eines Ereignisses, die Anzahl der Kronblätter und Staubgefäße bei Blumen, die Körpergröße von Rekruten oder andere Körpermaße, Alter oder Einkommen von Personen usw.; dagegen sind KEinteilungsgründe wie Geschlecht, Zivilstand, Erwerb, Enthaltsamkeit, Haar- oder Augenfarbe und Todesursache qualitativ. Man kann auch zwischen Einteilungsgründen, die nicht eine Masse in mehr als eine gewisse endliche Anzahl von Gruppenteilen, and Einteilungsgründen, die gegebenenfalls die Betrachtung einer unbegrenzten Anzahl von Gruppen veranlassen können, unterscheiden ; letztgenannte kann man als kontinuierlich bezeichnen. 4 Nur bei einer quantitativen Einteilung kann davon die Rede sein, den Einteilungsgrund als kontinuierlich anzusehen (Beispiele hierfür sind: Alter, Einkommen, Körpergröße, Zeitpunkt für das Eintreten eines Ereignisses usw.). Aber bei weitem nicht alle quan- titativen Einteilungsgründe können unmittelbar als kontinuierlich angesprochen werden. Bei der zahlenmäßigen Charakterisierung ge- wisser Eigenschaften (Kennzeichen) hat man z. B. nur für gewisse diskret gelegene (d. h. nicht kontinuierliche), in der Regel ganze Zahlen, Verwendung; beispielsweise wird man, wenn man einem Beutel mit weißen und roten Kugeln solche entnimmt, nie eine gebrochene An- zahl von Kugeln der verschiedenen Farben erhalten können; dasselbe gilt bei der Beobachtung der Geburtsnummern geborener Kinder, der Anzahl von Kronblättern bei Blumen und der Anzahl von Flossen- strahlen bei Fischen usw. Im folgenden wird dazu Gelegenheit sein, auf die praktische Seite der Frage einzugehen, wie weit ein Einteilungsgrund quali- tatiy oder quantitativ oder vielleicht kontinuierlich ist; aber schon an dieser Stelle soll besonders bemerkt werden, daß die Grenze zwischen diesen verschiedenen Arten tatsächlich sehr fließend ist, und zuguterletzt ist es in vielen Fällen eine Frage der Zweckmäßigkeit, wieweit man einen Einteilungsgrund als zur einen oder zur anderen Art gehörig betrachten will oder behandeln kann. Dies gilt besonders hinsichtlich der Frage, ob ein quantitativer Einteilungsgrund kon- tinuierlich ist oder nicht. Eine Einteilung nach einem kontinuier- lichen Kennzeichen wie dem Alter führt nicht notwendigerweise mit sich, daß man unendlich viele und unendlich kleine Altersinter- valle betrachtet, was bei der praktischen Durchführung auch nicht möglich ist; aber bei manchen Aufgaben kann man eine außerordent- liche Vereinfachung und Anschaulichkeit des Resultats erreichen, wenn man direkt oder bei passender Umschreibung die Differenzial- rechnung mit ihren kontinuierlichen Einteilungsgründen verwendet. Da die vorliegende Darstellung keine Kenntnis der Infinitesimal- rechnung voraussetzt, wird indessen weder hierauf noch auf den Kreis der im Anschluß daran entstehenden besonderen Probleme ein- gegangen werden. Was von der Grenze zwischen quantitativen und kontinuier- lichen Einteilungsgründen gilt, gilt bis zu einem gewissen Grade auch von der Grenze zwischen qualitativen und quantitativen Ein- teilungsgründen; in vielen Fällen (z. B. bei einer Teilung nach Ge- Schlecht, Zivilstand, Todesursache usw.) gibt es überhaupt keine 78 Möglichkeit, auf natürliche Art und Weise das betreffende Kenn- zeichen (Einteilungsgrund) durch eine einzelne Zahl auszudrücken. Auf der anderen Seite bietet die zahlenmäßige Ausdrucksweise in gewissen Verbindungen so große Vorteile, daß man, wo die Mög- lichkeit ihrer Benutzung überhaupt zuwege gebracht werden kann, unbedenklich Umschreibungen anwendet, obgleich sich dadurch oft der Ausdruck für die Beobachtung erheblich von der Beobachtung selbst entfernt. Als Beispiel hierfür kann die Umschreibung ainer Reihe von Examensleistungen in ein einzelnes Durchschnitts- prädikat erwähnt werden. Eine notwendige Bedingung für die Durchführbarkeit ist es jedoch, daß die betreffenden Beobachtungen sich in einer gewissen, nicht willkürlichen Reihenfolge ordnen lassen; als zweites Beispiel kann daher auch die Einteilung nach Farbe angeführt werden, welches Kennzeichen man oft un- mittelbar als qualitativ auffassen wird. Da die Farbe indes als Ausdruck für Licht von einer bestimmten Wellenlänge angesprochen werden kann, werden Farben sich in einer gewissen, durch das Sonnenspektrum gegebenen Reihenfolge anordnen und daher auch wiedergeben lassen entweder durch eine zahlenmäßige Angabe der eigentlichen Wellenlänge oder durch Zahlen, die durch diese aus- yedrückt werden. In einem folgenden Kapitel wird ein Versuch, auf ganz anderem Wege die Augenfarbe zahlenmäßig zu bestimmen, erwähnt werden, ein Versuch, der indes auch auf der Tatsache fußt, daß die Farben sich in einer im voraus gegebenen natürlichen Reihen- folge ordnen lassen. 56. Während hier nicht näher darauf eingegangen werden soll, wie die statistischen Beobachtungen überhaupt vorgenommen werden können oder müssen, wie man sie am besten einsammelt und wieder- zibt?), ist doch im allgemeinen zu bemerken, daß die Beantwortung Jieser Frage im wesentlichen teils von dem mit der Beschaffung der Beobachtungen verfolgten Zweck, teils von den oft sehr wechseln- den Bedingungen, unter denen Beobachtungen überhaupt beschafft werden können, abhängig ist. Da es, wie oben erwähnt, besonders die Vorgänge in der menschlichen Gesellschaft sind, welche uns hier interessieren, werden die Beobachtungen, die im folgenden den Gegenstand der Erörterung bilden sollen, zur Hauptsache, wenn nicht gar ausschließlich, solche sein, die im Interesse der geordneten ı) Siehe hierüber z. B. G. Jahn, Statistikkens Teknik og Metode, Kristiania 1990. 7“ Gesellschaften und ihrer Organe angestellt werden, und die heutzu- tage großenteils eingesammelt und öffentlich zugänglich gemacht werden, entweder von den durch Staaten oder Gemeinden errichteten statistischen Instituten oder von anderen Administrationszweigen der Gesellschaften. Von gewissen ganz speziellen Beobachtungen abgesehen, welche für die Ausübung der Gesellschaftsleitung von direkter Bedeutung sind, dienen die von der amtlichen Statistik ge- gebenen Aufschlüsse in erster Linie zur Beschreibung der Zustände in der Gesellschaft und der Kräfte, welche diese verursachen. Im übrigen liegt sowohl aus älterer wie aus neuerer Zeit eine Menge von Material vor, das von anderen Institutionen (z. B. Versiche- rungsgesellschaften, Krankenkassen usw.) entweder geradezu in gleicher Absicht oder zu speziellen Zwecken eingesammelt worden ist, aber sich nichtsdestoweniger zur Beleuchtung gewisser Verhältnisse inner- halb der Gesellschaft eignet. Im großen und ganzen hat in unseren Tagen die amtliche Statistik in weit höherem Maße als früher die gesamte Bevölkerung als Mitarbeiter gewonnen. Früher wehrte sich die Bevölkerung vielfach gegen die Einsammlung statistischer Beobachtungen; in jeder Volkszählung sah sie ein Mittel in der Hand der Regierung zum Herauspressen der Steuern. Dieses Vorurteil, das teils durch die in jenen Zeiten übliche Verheimlichung der Resultate ver- schuldet war, dürfte nunmehr fast überall verschwunden sein ?). Die Folge ist denn auch die, daß viele Aufgaben, die früher fast für unlösbar galten (selbst eine so einfache wie die Feststellung der Einwohnerzahl einer Gesellschaft durch eine Zählung), jetzt ver- hältnismäßig leicht lösbar sind; dies gilt nicht nur hinsichtlich der Volkszählungen, sondern auch in bezug auf die Erhebung des Materials zur Arbeiterstatistik, zur Verbrauchsstatistik usw. 5%. Wenn man die Erhebung so veranstaltet, daß die ganze Bevölkerung oder große Kreise derselben zu Mitarbeitern heran- gezogen werden, dürfen die gestellten Fragen nicht ebenso ver- wickelt sein, wie wenn ein ganz enger Kreis von Personen Beob- achtungen anstellt; es ist daher notwendig, die gestellten Fragen so einfach zu formulieren, daß sie so wenig wie möglich zu Mißver- ständnissen Veranlassung geben, und daß somit am meisten Aussicht vorhanden ist, genaue Beantwortungen zu erzielen. !) Siehe hierüber z. B. Det statistiske Departement 1896—1920, Kobenhavn 1920, S. 20—29 30) Die Geschichte der Volkszählungen ist in dieser Beziehung iehrreich !). In älteren Zeiten kümmerte man sich häufig nur wenig darum, die Volkszahl an einen einzelnen bestimmten Tag zu knüpfen. Noch im Jahre 1801 wurde für Dänemark vorgeschrieben, daß die Landbevölkerung sich am 1. Februar, einem Sonntag, beim Pastor melden sollte; könnte man nicht an diesem Tage die Aufzeichnungen beenden, dann müßte der Pastor auch die folgenden Sonntage ausnutzen. Heutzutage strebt man immer danach, die Volkszählung auf einen ainzelnen Tag zu begrenzen, indem man voraussetzt, daß die Personen, welche vor einem bestimmten Zeitpunkt gestorben, und die, welche nach diesem Zeitpunkt geboren sind, nicht mitgezählt werden. Faktisch wird man jedoch kleine Fehler kaum vermeiden können, und es dürfte schwierig sein, eine Volkszählung an einem einzelnen Tage voll und ganz durchzuführen, In einem modernen Kulturstaat, wo nur wenige Tage zur Durch- führung einer Volkszählung gebraucht werden, werden die unsteten Bevölkerungselemente in der Regel nur geringe Aussicht und auch keine große Veranlassung dazu haben, sich der Zählung zu entziehen. Einige Vagabunden werden vielleicht übersehen, einzelne, die gerade umziehen, vielleicht zweimal gezählt werden; Personen, welche un- mittelbar nach dem Zähltage sterben, werden vielleicht nicht auf die Liste kommen; aber die ganze Hauptmasse wird ohne Schwierigkeit zefunden und registriert werden. Die eigenartige schwedische Bevölkerungsstatistik hat die Mittel zu einer diesbezüglichen Kon- trolle. Diese Statistik beruht hauptsächlich auf gemeindeweisen Verzeichnissen der Einwohner und ausführlichen Berechnungen über lie Volkszahl aller 10 Jahre; außerdem werden jetzt auch Volks- zählungen vorgenommen. Die sich aus diesen beiden Quellen her- leitenden Zahlen lassen sich überraschend gut miteinander in Über- einstimmung bringen. Anläßlich einer Neubearbeitung des Volks- zählungsmaterials der Landgemeinden Fünens zwecks Berechnung der Sterblichkeit in den verschiedenen Gesellschaftsklassen, ergab sich ebenfalls nur ein unbedeutender Unterschied von höchstens ),4 Promille ?). Bei der Wahl des Zählungstages (Stichtages) wünscht man in unserer Zeit einen Tag zu finden, an dem möglichst viele zu ı) Über Methoden und Technik der Volkszählungen siehe u. a. A. Kauf- mann, a. a. O. 8. 313 ff. 2?) Rubin und Westergaard, Landbefolkningens Dodelighed i Fyens Stift, 1886, S. 20 H. MX Hause sind, z. B. wie im Deutschen Reiche den 1. Dezember; durch Zu- und Abschreibung kann man dann mit dem Zählungsresultat als Ausgangspunkt einigermaßen genau die Volkszahl am 1. Januar be- stimmen, und man erhält dann wahrscheinlich diese Zahl genauer, als wenn man den 31. Dezember oder 1. Januar als Zählungstag genommen hätte. Anders verhält es sich mit einer gewerblichen Betriebszählung; hier wird eine Sommerzählung bessere Bedingungen für Vollständigkeit abgeben als eine Winterzählung. Man unterscheidet in der Bevölkerungsstatistik zwischen der anwesenden (faktischen), der rechtlichen und der ansäs- sigen Bevölkerung usw. In der Regel wird man in unseren Tagen die faktische (ortsanwesende) Bevölkerung zum Ausgangspunkt wählen, um die größtmögliche Genauigkeit zu erreichen. Es zeigt sich indes recht häufig, daß zeitweilig abwesende Personen in dem Hausstand mitgerechnet werden, wo sie ihr Heim haben, und so viel- leicht doppelt gezählt werden. Die Grenze für den hierbei ent- stehenden Fehler ist für Deutschland 4000001). Es entsteht somit die Frage, ob man es doch nicht zu guter Letzt vorziehen solle, die orts- ansässige Bevölkerung als Ausgangspunkt in der Demographie zu nehmen anstatt der faktischen. Übrigens versteht es sich von selbst, daß die Frage nach der vorliegenden Aufgabe entschieden werden muß. Wo es die Versorgung einer Stadt mit Lebensmitteln gilt, würde man vorzugsweise nach der faktischen Bevölkerung fragen; bei der Berechnung von Sterbetafeln wäre es vorzuziehen, die orts- ansässige Bevölkerung und die auf sie entfallenden Todesfälle in Erfahrung zu bringen. Wenn die Beobachtungen — was der Fall sein muß, wo es sich um Massenbeobachtungen handelt — von einem sehr großen Kreis von Personen gemacht werden, welche nicht vorher eingeübt oder in umfangreichem Grade belehrt werden können, muß man überhaupt damit rechnen, daß die Originalbeobachtungen fehlerhaft ausfallen können und es auch oft sind, was entscheidend sein kann, wenn man den Unterschied zwischen den Verhältnissen innerhalb zweier oder mehrerer Gruppen zu erklären sucht. 58. Mitunter fehlen gewisse Angaben ganz, so z. B. die Alters- angabe, und es entsteht dann die Frage, wie man solche Fälle behandeln kann. In der Regel ist diese Art Mängel übrigens be- deutungslos. In Berlin wurden im Jahre 1910 im ganzen unter ” Beukemann, in der Festschrift für von Mayr, a. a. O. S. 203. Westergaard und Nybeile, Theorie der Statistik, 2. Aufl. T 82 2,07 Millionen nur 419 Personen gezählt, für die kein Alter an- gegeben war. Diese 419 Personen verteilten sich zwar nicht regel- mäßig wie die gesamte Bevölkerung nach Zivilstand (für 51 Personen fehlte Mitteilung hierüber); aber die Verteilung war doch so, daß man ohne Bedenken Personen, bei denen Angaben über Zivilstand fehlten, pro rata gemäß der Verteilung der bekannten Fälle in der betreffenden Klasse oder nach der Anzahl von Personen mit Alters- angabe verteilen würde. Und danach würde man wieder die ge- fundene Zahl unbestimmter Fälle pro rata nach Alter verteilen, falls man nicht vorzieht, diese Zahl ganz außer acht zu lassen, was man ebenfalls in den meisten Fällen ohne ein ernstlicheres Bedenken tun könnte. Anders stellt sich die Frage da, wo es sich um die Genauigkeit der Altersgliederung handelt, teils auf Grund der Anhäufung bei den runden Jahreszahlen, teils daher, daß das Alter systematisch zu hoch oder zu niedrig angegeben wurde. Wenn ein Kind wenige Tage oder Wochen nach dem Zählungstage 1 Jahr erreicht, wird man ganz natürlich das Kind als 1jährig angeben. Im Greisenalter werden viele aus Stolz über ihr hohes Alter dieses noch erhöhen, während jüngere Jahrgänge sich vielleicht zu allzu niedrigen An- gaben verleiten lassen. Hinzu kommt Geneigtheit zum Gebrauch runder Altersjahre. Diese Fehlerquelle kann man bekämpfen, in- lem man nicht direkt nach Alter, sondern nach Geburtsjahr und ‚tag fragt. Alle Fehler lassen sich hierdurch jedoch nicht beseitigen. Viele Menschen wissen ihr Geburtsjahr nicht genau, und man gibt vielleicht in der Regel nicht systematisch das Geburtsjahr zu hoch der zu niedrig an, sondern ist zur Wahl runder Zahlen geneigt. Eine bei der im Februar 1890 abgehaltenen Volkszählung für die Kopenhagener Vorstadt Sundbyerne gemachte Stichprobe ergab das Resultat, daß 988 Personen sowohl Alter, als Geburtsjahr und Geburts- tag angegeben hatten. Bei 1/3 dieser Fälle stimmten die Angaben nicht überein. Durchschnittlich lag das mitgeteilte Alter 0,2 Jahre höher als das nach dem angegebenen Geburtsjahr zu berechnende. Zu hoch wurde das Alter besonders häufig angegeben, wenn die betref- fende Person kurz nach der Zählung Geburtstag hatte. Eine ge- wollte Unterschätzung des Alters scheint dagegen nur selten vor- yekommen zu sein. Für Livland hat eine Nachforschung über Ver- storbene erwiesen, daß das Alter durchschnittlich etwa 4 Monate zu hoch angegeben. war. In Norwegen zeigte sich, daß in sehr hohem Alter die Über- 83 treibungen etwas größer waren, und die Möglichkeit liegt nahe, daß man, wo die Volksbildung nicht mit der norwegischen auf gleicher Höhe steht, auf größere Abweichungen gefaßt sein muß; man Vver- gleiche nur die Mitteilungen gewisser Länder über ihre große An- zahl Hundertjähriger ?). Was die Anhäufung um die runden Altersjahre betrifft, wird man die folgenden Zahlen für Dänemark aus den Jahren 1911 und 1921 (ohne Nordschleswig) als typisches Beispiel auffassen können: \ LEI ‚011 Volkszahl 16.1 Auf 1000 in der betreffenden Generation Geborene entfielen 1911 1921 nn TYLT- A 1€ DD 230 23 908 mt 20021 79 12 27 402 27 195 25 872 4f'z 447 >46 195 523 511 481 472 Die Verhältniszahlen sind auf Grundlage der Geburtenzahl in der betreffenden Generation ausgerechnet, und die Anzahl der 50jährigen erweist sich sowohl absolut wie relativ größer als die Zahlen für die benachbarten Jahre. Beim Vergleich mit der 50 Jahre früher geborenen Anzahl Personen kann man selbstverständlich weder die Wanderungen noch die verschiedene Vitalität der Jahrgänge be- rücksichtigen; doch darf man wohl in der Regel davon ausgehen, daß eine gewisse Regelmäßigkeit in diesen Verhältnissen herrschen wird. Erweist es sich nun als unmöglich, diese Art Fehler durch Stichproben zu beseitigen, dann ist eine Ausgleichung (welche Aufgabe weiter unten behandelt werden wird) oder eine Zu- sammenfassung der Zahlen in größeren Altersklassen zu empfehlen. Es ist hierbei vorzuziehen, die runden Altersjahre in die Mitte des Intervalls zu legen, also z. B. die Bevölkerung in Altersgruppen 48—52, 53—57 Jahre usw. zu teilen, oder, falls man 10jährige Klassen bevorzugt, 45—54, 55—64 Jahre usw. Ein ähnliches Beispiel aus der Heiratsstatistik Australiens für ı) Westergaard, Die Lehre von der Mortalität, 2. Ausgabe, Jena 1901, x. 130 if 84. die Jahre 1908—1914 mag im Anschluß hieran erwähnt werden !): Ganz junge Brautleute und besonders die Bräute geben bei der Trauung oft ihr Alter zu hoch an. Dies geht nicht nur aus Un- regelmäßigkeiten in der Altersgruppierung der Getrauten, wie wir es oben sahen, hervor, sondern auch aus Vergleichungen mit den Zahlen der Geburtsstatistik für Geborene, deren Mütter den be- treffenden Jahrgängen angehören. Durch Korrektion der Zahlen mit Hilfe der Geburtsstatistik gelangt man beispielsweise zu folgendem Resultat: Nach Mit- . Heiratsalter teilungen der en Braut 18 Jahre 13 246 19. 18 140 20 20 231 21 ; 32 673 Zusammen: 84 290 59. Das hier Angeführte mahnt zur Vorsicht bei jeder sta- :istischen Untersuchung. Fehlerquellen bei Altersgruppierungen sind selbstverständlich nur ein einzelnes Beispiel der großen Schwierig- keiten, denen man überall begegnet, wo es gilt, ein einigermaßen zuverlässiges Material zu beschaffen. Wo man anfaßt, wird man auf solche Schwierigkeiten stoßen. So z. B. bei der Einteilung der Bevölkerung nach Zivilstand und Beruf, Was die erste Teilung anbetrifft, so ist die Beantwortung schon mit der Frage gegeben; aber Geschiedene oder getrennt Lebende werden sich nichts desto- weniger häufig als verheiratet oder als im Witwen- oder Witwerstande lebend registrieren lassen; Personen in freier Ehe werden sich als ver- heiratet bezeichnen usw. Sondert man dagegen nach Erwerbszweigen, Jann können die Angaben der Zählerlisten nicht in derselben Weise den tatsächlichen Zusammenhang decken; sowohl bei der Beantwortung der Fragen wie unter der Bearbeitung wird es schwierig sein, zwischen selbständigen Personen und Hilfspersonal oder zwischen aktiven Personen und solchen, die nicht mehr arbeiten, zu unterscheiden ?). Etwas ganz Ähnliches gilt in zahlreichen anderen Fällen, wo die Grenzen fließend sind, z. B. bei Beobachtungen über Haar- und ‘\ G. H. Knibbs, The mathematical theory of population, Census of the Commonwealth of Australia, App. A, Melbourne 1917, S. 193—194. ?) Vgl. z. B die Verhandlungen bei der 13. nordischen statistischen Tagung in Kristiania (jetzt Oslo) 1924 (Kristiania 1924). 35 Augenfarbe, indem der eine Untersuchende die Farben anders als der andere beurteilt. In einem folgenden Kapitel werden Beispiele dafür gegeben werden, wie sich diese Art Schwierigkeiten mehr oder weniger überwinden lassen. Die Volkszählung scheint in der Regel ein brauchbares Material abzugeben. Dasselbe gilt hinsichtlich des Ma- terials über die Bewegungen der Bevölkerung, besonders da, wo Eheschließungen, Geburten und Todesfälle in Registrierungsbureaus aufgezeichnet werden; wo man z. B. die Anzahl der Sterbefälle nach zwei Quellen finden kann (Kirchenbücher, Registrierungsbureaus usw.), wird sich gewöhnlich eine ausreichende Übereinstimmung er- geben. Hinsichtlich der Zuverlässigkeit der Zahlen wird man hier, wie überall in der wissenschaftlichen Welt, sich beruhigen lassen, wenn sämtliche Beobachtungsreihen ein System ausmachen. Die Einzelheiten weisen dann nämlich einen inneren Zusammenhang auf, welcher darauf deutet, daß die tatsächlich vorliegenden Mängel und Fehler zu guter Letzt doch nicht die Hauptlinien stören und daher nicht den Forscher daran hindern, ein richtiges Bild der zu unter- zuchenden Gesellschaft zu gewinnen. 60. Hier kann nun die Bemerkung eingeschoben werden, daß positive Verfälschungen des Materials zwar möglich sind und daß man daher trotz allem doch noch Trugschlüssen ausgesetzt sein wird. Ein sehr interessanter Fall dieser Art war die Fälschung eines Materials zur Beleuchtung der Wirkung der Schutzimpfung gegen die Pocken; sie ward von Körösy entdeckt. Ein Bahnarzt, Keller, hatte im Jahre 1872 und später Mitteilungen veröffentlicht, welche deswegen großes Aufsehen erregten, weil unwiderleglich dar- aus hervorzugehen schien, daß die Geimpften häufiger an Pocken stürben als die Nichtgeimpften. Unter der damaligen heftigen Diskussion für und wider die Vakzination mußte diese Untersuchung schwer ins Gewicht fallen. Das Material ward, wahrscheinlich von Keller selbst, vernichtet; aber nach Kellers Tode gelang es Körösy, teil- weise die Listen zu rekonstruieren, und es zeigte sich dann, daß die Zahlen systematisch zugunsten der Antivakzination gefälscht worden waren. Ein vom 9. internationalen medizinischen Kongreß einge- setztes Untersuchungskomitee gab im Jahre 1887 einen Bericht ab, welcher vollständig die Berichte Körösys bestätigte ?). Aller Wahrscheinlichkeit nach ist dies ein recht alleinstehender ) Körösy, Kritik der Vaccinations-Statistik, Berlin 1889, S. 71 ff. 36 Fall. Aber daß die Fälschung zuletzt ans Licht kam, ist ein Be- weis für die Zuverlässigkeit der statistischen Beobachtungsreihen im allgemeinen. Die Zahlen sind häufig unvollkommen, und man setzt sich oft Trugschlüssen aus; aber die bewußte Fälschung hat ihr Korrektiv darin, daß nicht alle Beobachtungsreihen dem Fälscher zugänglich sind. Gerade die überraschenden Schlüsse auf Grundlage irgendeiner Statistik müssen eine ernste Aufforderung anthalten, Beobachtungen zur Bestätigung oder zur Kritik der be- haupteten Resultate anzustellen. Und selbst da, wo ein positiver Beweis der Fälschung nicht glücken sollte, würde man wenigstens Jas verfälschte Beobachtungsmaterial durch zahlreiche Untersuchungen sinkreisen und dadurch als sehr wahrscheinlich hinstellen können, Jaß eine Fälschung geschehen sei. Wie oben bemerkt, liegt die Garantie für die statistischen Ergebnisse gerade darin, daß sie ein System bilden; enthält dies etwas, was zu den übrigen Ergeb- nissen in Widerspruch steht, dann wird ganz natürlich das Miß- trauen erweckt und neue Untersuchungen werden angestellt, bis man in der betreffenden Frage zur sicheren Lösung gelangt. 61. Wo es sich um wirtschaftliche Verhältnisse handelt, können andere Fehlerquellen vorliegen. Vergleicht man z. B. die Handelsstatistik zweier Länder, die gegenseitigen Warenaustausch haben, dann wird man bald auf so viele Schwierigkeiten stoßen, daß man wohl nie mit einem ganz einwandfreien Material zu rechnen wagen kann. Beispielsweise seien nach der offiziellen Statistik Schwedens, Norwegens und Dänemarks für das Jahr 1913 die Wertzahlen (in 1000 Kr.) für die Ein- und Ausfuhr einander gegenübergestellt : Statistik des Ausfuhrlandes Einfuhrlandes 534 034 46 328 70 650 71 104 26 682 25 928 9181 8755 / 83 51 810 „19 300 28 347 Schweden nach Norwegen » „ Dänemark Norwegen nach Schweden ” „ Dänemark Dänemark nach Schweden . „ Norwegen . Wie man sieht, stimmen die Zahlen nicht gerade glänzend überein; auch bei einer Betrachtung der einzelnen Waren werden sich viele Abweichungen ergeben. Ein besseres Resultat hat man In Bayern erreicht, indem man für einige Jahre mit Hilfe der amerikanischen Konsulate und Exportfirmen eine Statistik über den Anteil Bayerns an der Ausfuhr der Vereinigten Staaten beschafft hat. Die Über- einstimmung mit der Reichsstatistik ist befriedigend *). ') C. Meisinger, Handels- und Schiffahrtsstatistik, in der Festschrift {ür v. Mayr, a. a. O0. S. 271. 87 Alle skandinavischen Länder haben eine „ungünstige“ Handels- bilanz — sie weisen einen erheblichen Unterschied zwischen Ein- und Ausfuhr auf, und es ist zweifelhaft, ob man unter Berücksich- tigung des Frachtenverdienstes der Handelsflotte und anderer Ein- nahmen in größerem Umfange in der Praxis zu einer klareren Handelsbilanz gelangen kann. Logisch sollte in der Statistik des Ausfuhrlandes der Wert der Exportware mit all den Ausgaben, welche das Ausfuhrland trägt, belastet werden, und in gleicher Weise sollten Transportunkosten, die aufs Einfuhrland entfallen, vom Ein- fuhrwert abgezogen werden; eine solche Ordnung läßt sich jedoch nur sehr schwer durchführen. 62. Was nun die weitere Bearbeitung des Materials anbetrifft, so ging man namentlich früher im allgemeinen den Weg, daß die verschiedenen Lokalbehörden, denen die Einsammlung oblag, auch das empfangene Material bearbeiteten und erst dann die Resultate an die Institution weitersandten, der die Sammlung und möglicher- weise die Veröffentlichung anvertraut war, Es ist jedoch in der Regel vorzuziehen, nach der Erhebung der rein elementaren Tat- sachen die ganze Bearbeitung in einem Zentralinstitut durchzuführen, selbst wo das Material auf den ersten Augenschein überwältigend groß erscheinen sollte, und dies wird denn auch allmählich immer all- gemeiner anerkannt. Wo die Bearbeitung zentralisiert ist, ist auch ständig das Material zu neuen Untersuchungen verfügbar. Während der Bearbeitung kann es sich oft als wünschenswert herausstellen, neue Einteilungen zu wählen, um irgendeiner Ursache nachsnüren zu können, und dies läßt sich jedenfalls am leichtesten da durchführen, wo Zentralisation ist. Für die Beantwortung dieser Frage ist übrigens auch die Größe des Landes von Bedeutung; in einem kleinen Lande wird sich die Zentralisation leichter durchführen und anders formen lassen als in einem großen Reiche. Um eine solch genaue Untersuchung jeder auftauchenden Ur- sache vornehmen zu können, muß man danach streben, die Statistik soviel wie möglich zu individualisieren, so daß man für jede Einheit über detaillierte Aufschlüsse verfügt. Dies geschieht am leichtesten mit Hilfe von Zählkarten, indem jede Person oder jeder Gegenstand der Zählung eine besondere Karte hat, auf der die betreffenden Einzelheiten vermerkt sind. Dies ist gewöhnlich Listen vorzuziehen, da Listen eine beschwerliche, mit wiederholten Aufzählungen verbundene Bearbeitung erfordern. Gilt dies z. B. von einer Volkszählung, so wird man sehr leicht durch eine einfache Ordnung der Zählkarten die Anzahl von Personen jedes Geschlechts 38 oder Alters usw., nach Zivilstand, Erwerb, Aufenthalts- und Geburts- ort usw. finden können. Erweist es sich z. B. als notwendig, einen bestimmten Erwerbszweig zu spezialisieren, so läßt sich eine solche Einteilung ohne Schwierigkeit aufs neue vornehmen. Natürlich kann man sich auch ohne Zählkarten helfen; jedoch werden die Manipulationen dann in der Regel viel mehr Zeit beanspruchen. Nicht bloß in der amtlichen Statistik werden Zählkarten von Nutzen sein, sie haben auch auf anderen Gebieten Anwendung gefunden, nicht zum mindesten bei den Sterblichkeitsuntersuchungen der Lebens- versicherungsgesellschaften. Die elektrische Maschine hat im Laufe der letzten Jahr- zehnte besonders viel zur Verwendung von Zählkarten beigetragen. Die zu zählenden Tatsachen werden durch die an bestimmten Stellen gestochenen Löcher bezeichnet und die Additionen rein automatisch ausgeführt, indem sich durch die Löcher ein elektrischer Stromkreis schließt und bei jedem Loch eine Einheit gezählt wird ?). 63. Von der Frage der Zentralisation oder Dezentralisation sehr verschieden ist ein anderes Problem, welches eine Untersuchung darüber, ob eine statistische Untersuchung ein größeres oder zleineres Gebiet umfassen soll, verlangt. Zwei Motive stehen ainander hier gegenüber. Auf der einen Seite wünscht man um- fangreiches Material, um so das Gesetz der großen Zahlen erfüllt zu sehen. Auf der anderen Seite wird man sich viel besser ins Material vertiefen können, wenn man nur ein begrenztes Gebiet zur Unter- suchung‘ hat. Diese zwei Gesichtspunkte sind jedoch keineswegs immer unvereinbar. Hat man erst gründliche Lokaluntersuchungen gemacht, welche sämtliche Besonderheiten berücksichtigen, so läßt es sich verantworten, die Zahlen zusammenzuschlagen. Es ist höchst interessant zu erfahren, wie groß der gesamte Geburtenüberschuß Europas ist, wieviele Personen auswandern usw., oder wie groß die Weltproduktion einer Ware ist; es ist sehr lehrreich zu berechnen, wieviele Menschen in Europa in einem gewissen Alter sterben werden gemäß den in jedem Lande geltenden Sterblichkeits- und Bevölkerungsverhältnissen; aber eine gemeinsame Sterblich- keitstafel würde nichts bedeuten, da die Wahrscheinlichkeit des Sterbens von Land zu Land außerordentlich stark wechselt. Die internationale Statistik wird, mit anderen Worten, sehr nützlich 1) Über die Zählmaschinen vgl. Blaschke, Vorlesungen über mathematische Statistik, 1906, S. 257 £f. 39 sein können, wenn sie auf gründlichen Lokaluntersuchungen fußt, während eine unkritisch durchgeführte vergleichende Statistik wert- los sein würde, 64. Im Zusammenhang hiermit können die gelegentlich im Vor- hergehenden berührten Stichproben und KRepräsentativzählungen (englisch: „sampling“) näher erwähnt werden. Entweder weil man aus irgendeinem Grunde geradezu das Beobachtungsgebiet zu be- grenzen wünscht, oder weil es in der Praxis undurchführbar oder ganz unmöglich ist, die Beobachtungen auf das ganze Gebiet, wo man überhaupt nur Beobachtungen der betreffenden Art machen kann, auszudehnen, begrenzt man entweder die Bearbeitung nur auf einen Teil des vorliegenden Materials oder sogar schon die Beob- achtung auf einen Teil der Beobachtungsmöglichkeiten. Tatsächlich handelt es sich immer um so etwas, wenn man auf Grund der Erfahrungen in einer gewissen Gruppe (welche zeitlich, räumlich oder auf andere Weise bestimmt sein kann) über den Verlauf eines Vorgangs in einer anderen Gruppe Schlüsse ziehen oder Voraus- berechnungen anstellen will, beispielsweise an anderer Stelle oder zu anderer Zeit (speziell in der Zukunft). So berechnet eine Ver- sicherungsgesellschaft auf Grund vorausgehender Erfahrungen Prä- mien, die vielleicht für längere Zeit gelten sollen; zahlreiche andere Beispiele bilden die Aufgaben, mit denen sich die Pfleger der poli- tischen Arithmetik (s. im vorigen Kapitel) befaßten. Auf Grund dessen, daß die Totalität, welche die betreffende Untersuchung repräsentieren sollte, sich nie von solchen Gesichts- punkten aus abgrenzen läßt, wird jetzt allerdings fast jegliche Statistik in höherem oder geringerem Grade repräsentativ. Es ist daher praktisch, den Begriff begrenzen zu können, beispielsweise so, wie es das Internationale statistische Institut empfohlen hat, in einer Weise, die sich gerade ebenfalls auf die Existenz einer wohl abgegrenzten Totalität stützt !). 65. Zur Beleuchtung der Repräsentativzählung soll ein der dänischen Erntestatistik entnommenes Beispiel angeführt werden. Diese Statistik kommt so zustande, daß jährlich die kommunalen Behörden gefragt werden, wieviel durchschnittlich von”den einzelnen Kornsorten auf einer gegebenen Anbaufläche geerntet worden ist. Im Jahre 1901 nun wurde eine Erhebung über die Bodenbenutzung *) Vgl. hierüber Adolph Jensen, The representative method, Nordisk statistisk Tidskrift, Bd. 4, Stockholm 1925, S. 481 f.; s. auch Bull. de ]’ Inst. intern. de Stat., t. XXIII. 1. livr. Roma 1926. 90 veranstaltet, aber bei der Ausarbeitung der Erntestatistik für das Jahr 1901 war nur ein Teil dieses Materials bearbeitet. Da man nun vorziehen mußte, auf den neuen Zahlen zu fußen anstatt auf der letzten vollendeten Anbauflächenstatistik (fürs Jahr 1896), verfiel man auf den Ausweg, für den größten Teil des Landes jede fünfte Gemeinde als Repräsentant ihrer Umgebung anzunehmen. Für die ausgewählten Gemeinden berechnete man das Ernteergebnis auf Grundlage der Arealzählungen von 1896 und 1901; das Verhältnis zwischen den so gefundenen Zahlen wurde als für die gesamte Ernte geltend betrachtet. Man konnte also, unter Zugrundelegung der Anbauflächenverteilung von 1896 und unter Berücksichtigung der Repräsentativzahlen von 1901, zu einer Erntestatistik gelangen, die aller Wahrscheinlichkeit nach der Wahrheit näher kam, als wenn man nur die Arealzahlen von 1896 angewandt hätte. Nach der vollständigen Bearbeitung des Materials hat man die bei der betreffenden Berechnung sich ergebenden Abweichungen feststellen können; siehe untenstehende Zahlen inach Tonnen Land ’1 dänische Tonne =— 0,5516 ha) !): Berechnetes Areal 23129 492 817 514 353 784. 404 271.197 99 172 267 083 51 154 909 083 Grß Zusammen: 3412 392 35% Faktisches Areal 23 655 194 039 510 088 7x4 314 258 675 98 079 4 (MN Weizen Roggen Gerste Hafer Mengkorn Kartoffeln Rüben Andere Ackerfrüchte Heu dd, Differenz in Prozent der faktischen Zahlen 42 83 J,0 1,8 1 2,5 2,8 X6 75 Im ganzen stimmen die Zahlen also verhältnismäßig recht gut iberein; nur hinsichtlich des Mengkorns ist der Unterschied be- Jeutend. Für die gesamte benutzte Anbaufläche macht der Unter- schied nur !, Proz. aus. Da die landwirtschaftliche Produktion in Dänemark sehr großen Verschiebungen ausgesetzt gewesen ist, wird man sich nicht mit der Anbaufläche des Jahres 1896 oder mit den Verschiebungen von 1888 bis 1896 als Ausgangspunkt begnügen zönnen. Besonders gilt für den Weizen, daß die planmäßig be- nutzten Flächen im Jahre 1901 ungefähr 74000 Tonnen Land aus- machten; da aber der Winter 1900—1901 für die Weizenfrucht sehr ‘\ Hosten i Danmark i Aaret 1902, Statistiske Meddelelser, 4. R. Bd. 13, 1903. 01 verhängnisvoll war, mußten große Flächen umgepflügt werden, so daß zuletzt in Wirklichkeit nur noch 23000 Tonnen Weizenland übrig blieben. Die mit Roggen bestellte Fläche war 1888 ca. 509 000, 1896 dagegen 527000; man sollte daher auch für 1901 einen Zuwachs erwarten, aber das Gegenteil war der Fall. Und umgekehrt stellte es sich für die Gerste. Das Mengkorn wies außerordentlich große Verschiebungen auf, und auch bei den Rüben war jegliche Voraus- berechnung auf Grund des ungeheuren Zuwachses auf diesem Ge- biet ausgeschlossen. 66. Umfassende Untersuchungen im Hinblick auf diese Frage wurden auch in Norwegen, namentlich von A. N. Kir‘), angestellt. In Verbindung mit der Diskussion über die Invaliditätsversicherung wurden einer Anzahl Personen mehrere Fragen gestellt, z. B. über Beruf, Einnahmen, Ausgaben, Krankentage, Invalidität und die Ur- sache derselben, ferner über Zivilstand, die Zahl lebender und ver- storbener Kinder usw. Es wurden 20000 Fragebogen auf die Städte, 80000 auf die Landgemeinden verteilt. Die Hauptstadt erhielt 6350 Fragebogen, während im übrigen von den 61 Städten 13 als Re- präsentanten der Stadtbevölkerung ausgewählt wurden. Von 100 Straßen in Kristiania mit höchstens 100 Einwohnern nahm man 5 heraus und zählte deren männliche Bevölkerung. Der nächsten Straßenkategorie (101—500 Einwohner in jeder Straße) wurden 10 Proz. entnommen und die Einwohner jedes zweiten Hauses ge- zählt. Von den Straßen mit 501—1000 Einwohnern wählte man !/, und zählte hier die Einwohner jedes fünften Hauses; schließlich wurde den volkreichsten Straßen die Hälfte entnommen und hier in jedem zehnten Hause gezählt. Auf ähnliche Weise, jedoch nach einem einfacheren System, ging man in den Städten der Provinz vor. Die Landgemeinden wurden nach der Hauptbeschäftigung der Bevölkerung geordnet; man wählte hier eine passende Anzahl, insgesamt etwas mehr als !,; jede dieser Gemeinden erhielt dann eine Anzahl Frage- bogen, welche sich nach der Größe und anderen Verhältnissen rich- tete, und man nahm eine sorgfältige Verteilung der Häuser, die zum Gegenstand der Zählung gemacht werden sollten, vor. Eine andere Repräsentativzählung ging darauf aus, über die Ein- kommensverhältnisse der Bevölkerung Klarheit zu gewinnen. Hier wurden 127 Landgemeinden und 23 Städte ausgewählt: danach be- 1) Siehe u. a. Observations et experiences concernant les de&nombrements re- presentatifs, Bull. de ]l’Inst. Intern. de Stat., IX, 1893. I” *rachtete man Männer der Altersjahre 17, 22, 27, 32 usw. als Gegen- stand der Untersuchung, welche somit ungefähr !/, der betreffenden arwachsenen männlichen Bevölkerung betraf. Unter diesen Männern nahm man endlich diejenigen heraus, deren Namen mit gewissen Anfangsbuchstaben begannen. Durchschnittlich wurden die Ein- kommens- und Vermögensverhältnisse für 33 pro Mille der männlichen Stadtbevölkerung und 16 pro Mille der Landbevölkerung erläutert. Das Resultat war im ganzen befriedigend. Unter 1000 Personen in den Landbezirken befanden sich nach einer die Gesamtbevölkerung um- fassenden Zählung 239 Bauern, nach der Repräsentativzählung 237. Für Fischer waren die entsprechenden Zahlen beziehungsweise 83 und 74, für Landarbeiter 251 und 232, für Handwerker bei beiden Zählungen 82; in den Städten waren nach beiden Methoden 48 pro Mille Beamte, 252 und 249 gehörten dem Handwerk an, 121 und 1831 waren Fabrikarbeiter, 65 und 66 Kaufleute usw. Gewisse größere Unterschiede gab es jedoch auch, z. B. für die Matrosen 55 und 76 pro Mille nach beiden Zählungen. Zur Erklärung der Unterschiede wird man Sselbstverständlich zum großen Teil auf Zufälligkeiten hinweisen. Wenn im ganzen nur 10800 gezählt werden, kommt man um eine verhältnismäßig be- deutende Unsicherheit nicht herum. Jedoch wird man nicht alle Ab- weichungen auf diese Weise erklären können. Jedenfalls aber darf man behaupten, in groben Umrissen ein richtiges Bild hervorgebracht zu haben. Bei der vorliegenden Aufgabe war es übrigens nicht speziell die Verteilung der Bevölkerung nach Gesellschaftsklassen, die festgelegt werden sollte, sondern die Einkommensverhältnisse; es ist also von antergeordneter Bedeutung, ob man gerade in einer gewissen Gesell- schaftsklasse verhältnismäßig viele Mitglieder gefunden hat, wenn man aur die Einkommensverhältnisse innerhalb dieser Klasse richtig be- stimmt. Die Gliederung nach Beruf ist schier ein Prüfstein für die Zuverlässigkeit des gesamten Materials, es liegt jedoch nicht außerhalb des Bereichs der Möglichkeiten, daß die Verteilung nach Beruf weniger korrekt als die nach Einkommen ausgefallen ist. 67. Nicht zum mindesten für die Wirtschaftsstatistik kann die repräsentative Methode von großer Bedeutung sein. Als Beispiel kann die Menge der innerhalb eines gewissen Zeitraumes von Kühen, Ziegen oder Schafen abgegebenen Milch und des hier- von zur Herstellung von Butter und Käse verwendeten Teiles an- geführt werden. Man wählt also z. B. eine Anzahl von Probekühen 93 in einem Gebiet, das als typisch angenommen werden kann; durch Beobachtung dieser sucht man die Milchproduktion für das ganze Land zu finden, indem das Vieh in so viele Gruppen wie möglich klassi- fiziert wird gemäß den Verhältnissen, welche das größere oder kleinere Milchquantum bedingen. Für die einzelnen, den Gegenstand der Untersuchung bildenden Kühe stellt man in der Regel die Milch- menge durch Probemelkung fest. Etwas Ähnliches gilt, wenn man die Produktivität ge- wisser landwirtschaftlicher Betriebe, z. B. den Unter- schied zwischen größeren und kleineren Betrieben, festzustellen sucht. Es wird hier häufig vorzuziehen sein, eine Anzahl von ausgewählten Wirtschaften zu untersuchen, anstatt eine Massenuntersuchung für sämtliche Wirtschaften vorzunehmen; denn die Verhältnisse können überaus bunt und verwickelt sein, und bei genauer Beobachtung einzelner Betriebe wird man daher leichter verhängnisvolle Fehler vermeiden können als da, wo man eine große Anzahl Betriebe vor sich hat und sich daher zum Teil vielleicht mit Schätzung be- gnügen muß. Ein weiteres Beispiel ist die Feststellung der Holz- masse eines Waldes. Die Methoden müssen im wesentlichen darauf beruhen, daß man auf einer oder mehreren Probeflächen eine ausreichende Anzahl von Probebäumen fällt und für diese die Holzmasse mißt. Von den so gewonnenen Beobachtungen aus können Schlüsse hinsichtlich der gesamten Probeflächen und von hier aus wieder auf den ganzen Wald gezogen werden. Es gilt dann ferner, einen Überblick über die Unsicherheit!) zu ge- winnen; im folgenden wird übrigens Gelegenheit sein, zu dieser Frage zurückzukehren. Die repräsentative Methode wird auch von Bedeutung sein können bei der Frage des Nationaleinkommens und des Na- tionalvermögens?), sowohl bei einer Untersuchung der Ver- mögensgegenstände und Einnahmequellen (die „objektive“ Methode) wie bei der Betrachtung der Verhältnisse der einzelnen Individuen (die „subjektive“ Methode). 1) Siehe J. P. Gram, Om Beregning af en Bevoxnings Masse ved Hjalp af Provetraer, in Tidsskrift for Skovbrug, Kbh. 1883, und H. Prytz, Vedmassefak- torer, in Tidsskrift for Skovvaesen 1889. Tilvextundersogelser, ebenda, 1891. ?) Siehe Fr. Fellner, L’&valuation de la richesse nationale, in Bull. de l’Inst. Intern. de Stat. XIII, 2, 1902, und Bleicher, Die Bedeutung der Statistik in der Praxis, in der Festschrift für v. Mayr a. a. O0. I. 1911. 8S. 135. 94 68. Hat’ man nun die Beobachtungen bearbeitet, so entsteht zum Schluß die Frage nach der Form für die Darstellung der ge- wonnenen; Beobachtungen. Die Zahlen sind ja die eigentliche Sprache des Statistikers; der geschulte Statistiker wird in der Regel mit Leichtigkeit in einer Tabelle die wichtigsten Eigentümlichkeiten des vorliegenden Materials ablesen können. Für einen nicht ge- schulten Statistiker kann eine graphische Darstellung ein nützliches Anschauungsmittel sein, und wenn man die Resultate der Statistik populär darstellen will, scheint die Anwendung der graphischen Dar- stellung überhaupt berechtigt zu sein. Kin Beispiel hierfür ist die Vergleichung der Militärstärke verschiedener Länder, wenn man zur Darstellung Soldaten verschiedener Größe zeichnet. Doch auch für wissenschaftliche Zwecke können graphische Darstellungen be- rechtigt sein und namentlich überall da, wo ihre Anschaulichkeit die ler Tabellen übertrifft. Vor allem sind hier die Kartogramme zu erwähnen, Land- karten, auf denen verschiedene statistische Verhältnisse in ähnlicher Weise wie geologische, geodätische und andere Verhältnisse ange- deutet werden. Der Nutzen dieser Darstellungsweise, die überall da angewandt werden kann, wo die geographische Lage eine Rolle spielt, ist unmittelbar einleuchtend. Will man z. B. die Volksdichte einer Reihe von Landesteilen veranschaulichen, so kann man dies durch lie Bezeichnung der verschiedenen Dichtigkeitsgrade mittels ver- schiedener Farben erreichen, oder man kann mehr oder weniger dicht schraffieren, je nachdem eine größere oder kleinere Volksdichte an- zedeutet werden soll. Natürlich werden hierdurch die statistischen "Tabellen nicht überflüssig, da man gewöhnlich kartographisch die Verhältnisse nur in groben Umrissen darstellen kann; genau so wie es für das gründ- 'iche Studium der Höhenverhältnisse eines Landes wünschenswert sein kann, neben den Karten die Höhenverzeichnisse zur Verfügung zu haben. Aber häufig kann man mit Hilfe einer kartographischen Skizze auf einen Blick Verhältnisse übersehen, die man mit großer Mühe aus den Tabellen ablesen müßte. Je näher die Verbindung zwischen der geographischen Lage und den zu untersuchenden Ver- hältnissen ist, desto mehr werden Kartogramme am Platze sein. Wenn man z. B. die Lichtstärke eines Leuchtturmes durch einen yrößeren oder kleineren Zirkelkreis mit dem Leuchtturm als Zentrum angibt, wird das ganze System solcher Kreise auf einer Karte eine unmittelbare Übersicht über die Beleuchtung der einzelnen Meeres- 95 teile geben; man wird mit einem einzigen Blick beurteilen können, ob ein gegebener Punkt durch einen oder mehrere Leuchttürme be- leuchtet wird oder nicht. Eine weitere wichtige Klasse graphischer Darstellungen sind die Kurven. So hat man z. B. oft die Veränderungen der Waren- preise oder der Kurse im Laufe der Zeit dadurch veranschaulicht, daß man die Zeit als Abszisse und die betrachtete Größe als Ordinate abtrug. Werden die dadurch gezeichneten Punkte durch Gerade verbunden, dann kann man oft schneller einen Überblick über die Bewegung gewinnen, als wenn man die Zahlen allein betrachtet. Wenn die abgesetzten Punkte hinlänglich dicht liegen, wird man auch eine kontinuierte (krumme) Kurve durch die Punkte legen können; dies gilt z. B., wenn man von Woche zu Woche die Kurse und von Stunde zu Stunde die Temperaturverhältnisse beob- achtet. Auch Tatsachen, die von der Zeit unabhängig sind, können sich auf diese Weise in ihren gegenseitigen Beziehungen darstellen lassen, z. B. die Abhängigkeit zwischen Häufigkeit und Größe der Abweichungen vom Durchschnitt, die Häufigkeit von Einkommen verschiedener Größe usw. Solche Kurven können oft die Bewegung in den Verhältnissen unmittelbar vor Augen treten lassen und da- durch den Gedanken stützen. Man wird bei einer Betrachtung vieler solcher Kurven vielleicht eine Gleichzeitigkeit der Bewegungen entdecken, die auf Grund der Unregelmäßigkeit der Zahlen nicht so schnell ans Licht treten kann, wenn man nur auf die Zahlen sieht. Nachher wird man dann diesen Zusammenhang unter Anwendung numerischer Aufstellungen studieren können. 69. Wie in der Einleitung entwickelt, besteht die Aufgabe der Statistik nicht allein darin, den Zustand und die Bewegungen einer gegebenen Beobachtungsmasse zu beschreiben, sondern auch in einer Erforschung der Ursachen dieser Verhältnisse. In Wellenbewegungen steigt oder fällt z. B. eine Volkszahl wie das Meer bei Ebbe und Flut; es gilt dann, diese Bewegungen zu bestimmen und den Ur- sachen auf die Spur zu kommen. Oder man fragt, wie häufig diese oder jene Eigenschaft in verschiedenen Bevölkerungsgruppen unter im übrigen gleichen Verhältnissen auftritt oder wie häufig dieses oder jenes Ereignis eintreffen wird. Wie schon oft hervorgehoben, kommt es in der Regel nicht darauf an, genaue numerische Verhältnisse festzustellen, sondern darauf, den Ursachen nachzuspüren. In dem wirtschaft- lichen und sozialen Leben einer Bevölkerung verschieben sich die 06 Zahlen beständig, so daß man nie erwarten kann, feststehende nume- rische Verhältnisse zur Untersuchung zu erhalten. Man muß damit zufrieden sein, daß die eine oder die andere wirkende Ursache in Erscheinung tritt. Gesetzt den Fall, man habe gefunden, daß irgend- ain Beruf der Gesundheit schädlich sei, diese Tatsache wäre dann für den Gesetzgeber und den Hygieniker ausreichend; von geringerer Bedeutung ist es, ob die betreffende Erhöhung der Sterblichkeit 20 der 30 Proz. ausmacht, wenn man nur weiß, daß es sich um einen jedeutenden, durch hygienische Mißstände hervorgerufenen Unter- schied handelt. Die folgenden ganz elementaren Betrachtungen über die Regelmäßigkeit in den statistischen Phänomenen, über Natur und Bedingungen solcher Regelmäßigkeit, werden Beispiele für die Methode statistischer Untersuchungen abgeben. Mit Rücksicht auf die großen Verschiebungen, welche der Krieg von 1914—1918 mit sich führte, ist das im folgenden benutzte Material auf die Vorkriegszeit be- zrenzt worden. 70. Als erstes Beispiel kann die Heiratsstatistik benutzt werden; man hat für Berlin!) folgende Zahlen: Periode ‚820—1829 ‚830—1839 ‚L840—1849 ‚850—1859 ‚860—1869 ‚870—1879 ‚880—1889 L85J)—1899 1900—1909 Zahl der Durch- MN geschlossenen schnittliche 1, den jährlich Ehen Bevölkerung verheiratet ‚9,9 8,5 18,2 19,5 22,7 24,3 21.1 21,7 21,5 Jährlich treten also ungefähr 2 Proz. der Bevölkerung in den Ehestand; aber es gibt erhebliche Abweichungen, namentlich zeigen sich ansehnliche Schwingungen für 1870—1879, ein Jahrzehnt, das an und für sich eine der interessantesten sozialökonomischen Perioden in neuerer Zeit ist. Von 21 pro Mille im Jahre 1871 steigt die Ehe- schließungsfrequenz auf 27 pro Mille im folgenden Jahre, und in den drei folgenden Jahren ist sie 28, 29 und 31 pro Mille, worauf sie 1876 auf 25 und 1877 auf 22 pro Mille fällt. Überhaupt steigt oder ı) Statistisches Jahrbuch der Stadt Berlin, 32. Jahrg., Berlin 1913, S. 4 u. 62. 97 fällt die jährliche Anzahl sehr erheblich. Während die Volkszahl in den drei Jahren 1907—1909 ungefähr konstant war, gestaltete sich die Anzahl eingegangener Ehen in dieser Zeit wie folgt: 23313, 21799 und 21209, d. h. 22,5, 21,2 und 20,7 pro Mille der Bevölke- rung traten in den Stand der Ehe. Man kann also keineswegs die Anzahl der geschlossenen Ehen mit besonders großer Genauigkeit vorausberechnen. Sieht man jedoch auf die einzelnen Elemente der Zahlenreihen, so wird man häufig eine größere Gleichmäßigkeit entdecken. So z. B. bei der Betrach- tung der Altersgliederung der betreffenden Personen. In den drei genannten Jahren gelten folgende Promillen (da die Zahlen abge- kürzt sind, kann die Summe nicht überall genau 1000 sein): | Männer | Frauen 1907 171908 1 500 ınter 20 Jahren 20—7 Jahre 25— 30—* 35— 40 — 45—. 50—t 55—60 50 Jahre u. darüber L m 285 AC2 # r 2. 1 Deutlich zeigt sich, daß diese Zahlen überhaupt eine größere Gleichmäßigkeit als die oben genannten Quotienten aufweisen. Man scheint also mit größerer Genauigkeit die Altersgliederung der Neuverheirateten als die absolute Anzahl gestifteter Ehen berechnen zu können. 71. Auch bei einer Betrachtung der Scheidungen wird man oft, trotz großer Unregelmäßigkeit in den absoluten Zahlen, durch Spaltung der Beobachtungen eine recht erhebliche Regelmäßigkeit erzielen können. Die Ursachen, welche die großen Schwingungen von einem Jahr zum anderen verursachen, wirken mit ungefähr gleicher Kraft überall. Untenstehende Zahlen sind lehrreich, da die Einführung des Bürgerlichen Gesetzbuches einen bedeutenden Niedergang in den Ehescheidungen bewirkte, während im Jahre 1899, unmittelbar bevor die neue Ordnung in Kraft trat, eine un- gewöhnlich große Anzahl zu beobachten war: Westergaard und Nybolle, Theorie der Statistik, 2. Autl. 98 Ehescheidungen in Berlin 1899—1908. Absolute Von 100 aufgelösten Ehen waren Zahlen evangelisch gemischt 1899 1 608 78 900 936 79 1901 984 1902 227 1903 269 1904 376 1905 421 L906 639 L907 781 1908 868 Zusammen: 14 109 Trotz der großen Abnahme der Ehescheidungen von 1899 bis L900 ist die relative Anzahl evangelischer und gemischter Ehen fast konstant. Auch die katholischen und jüdischen Ehen weisen eine verhältnismäßig große Gleichmäßigkeit auf. Ganz natürlich verursachte dagegen die neue Ordnung eine große Änderung in den angegebenen Scheidungsgründen. Im Jahre 1899 beruhte z. B. ein Drittel der Scheidungen auf dem Einverständnis der Gatten; dieser Grund tritt in den folgenden Jahren gar nicht mehr in die Er- scheinung. 72. Die Geburtsstatistik weist ähnliche Züge auf. Eine Spaltung des Materials in gewissen Richtungen ergibt eine be- jeutende Regelmäßigkeit. Überall kann man gewisse elementare Beobachtungen machen, So z. B., daß die Anzahl Knabengeburten größer ist als die der Mädchengeburten, daß Totgeburten unter Knaben häufiger sind als unter Mädchen, daß außerehe- liche Geburten häufiger mißglücken als eheliche. Dies bestätigt sich stets, wenn man ein ganzes Land oder einen größeren Teil eines Landes untersucht; nur dann, wenn die Beobachtungsreihen kleiner werden, entstehen Abweichungen; die Bedingungen für diese Abweichungen sollen später untersucht werden. In den letzten Jahrzehnten ist, wie bekannt, eine bedeutende Ab- nahme der Geburtenfrequenz eingetreten. In Berlin war während les größten Teiles des 19. Jahrhunderts die Frequenz im großen und ganzen konstant. Gewisse Wellenbewegungen können in Verbindung gebracht werden mit Schwingungen in der Anzahl der gestifteten Ehen; als gutes Beispiel sei hier gerade der Höhepunkt in den 70er Jahren erwähnt, wo die Geburtenfrequenz im Jahre 1876 (die Tot- gyeburten mitgerechnet) sogar bis auf 47 pro Mille gelangte. 1911 99 war die Zahl nur 22 pro Mille. Einen Überblick über die Verhält- nisse gewinnt man an der Hand folgender Tabelle: Periode 1820—182€ 1830—1839 1840—1849 1850—1859 1860—1869 1870—1879 1880—- 1889 1890—1899 1900 — 1909 Zahl der geborenen ‚JährlicheAnzahll| (Totgeburten mitgerechnet) Geburten in - pro Mille der Knaben Volkszahl 09 9 3" 62 746 80 580 26 291 296 302 242 853 261 865 263 875 4 , A 3A 2 ıl 16 A v nm v S DB 248 247 950 716 511 825 37 25.9 Von 1000 Geborenen waren Knaben d14 516 512 514 512 513 516 Die Zahlen weisen außerordentlich kräftige Bewegungen in der Geburtenfrequenz auf; man sieht jedoch, daß die Gliederung nach Geschlecht fast konstant ist. Ob wenige oder viele Kinder in der Ehe geboren werden, ist für das Gleichgewichtsverhältnis ziemlich gleichgültig. Auch das Abnehmen der Geburten hat ein gewisses Gepräge der Regelmäßigkeit. Man erhält z. B. 1881: 39,7 pro Mille, 1891: 33,6, 1901: 27,7 und 1911: 21,6, also einen Niedergang von 6 pro Mille in jedem Jahrzehnt. Im einzelnen ist diese Abwärtsbewegung jedoch wellenförmig gewesen; die Jahre 1904 und 1906 z. B. wiesen eine kleine Steigung dem Vorjahre gegenüber auf, Um andere Spaltungen des Materials zu probieren, kann man die Geborenen in eheliche und außereheliche gliedern: Periode L82JI- 182. 1Q&1, IE pl 4 Zahl der außerehe.‘ :. ‘“+ahorenaı" 65 6° 72 632 86 707 Kl Jährliche Apr") pr 4 ‘hir In Prozent der Ge- borenen ö,1 9 1 6 vo 5 4 149 16.9 Der Niedergang in der Geburtenzahl macht sich also auch hier geltend, jedoch in geringerem Grade als bei sämtlichen Geburten: daher wachsen die Prozentzahlen in den letzten Dezennien. — 100 — 73. Ein besonders interessantes Gebiet stellen die Totgeburten jar. Zu ihrer Beleuchtung diene die folgende tabellarische Übersicht: Periode 1820—1329 L830—1839 840—1849 ‚850—1859 „860—1869 ‚870—1879 880—1889 L890—1899 1900—1909 Zahl der Totge- borenen 2 y67 4516 5392 6879 ı 296 > 9492 ‚IR 34 SZ Davon außer- ahelich yeboren| 3 „52 752 ‚587 826 650 ff 3 A807 Von 100 Geborenen waren Tot- geburten Von 100 außerehelich Geborenen | waren Tot- geburten Von 1000 Totge- burten waren Knaben 7 ) 9 9 60 56 58 „59 52 Von 1000 außerehel. Cotgeburten waren Knaben ‘8 509 536 549 550 550 544 543 540 Die Zahlen zeigen uns eine gradweise Verbesserung der Ver- hältnisse, nur das letzte Jahrzehnt weist eine größere Frequenz der Totgeburten auf. Auf ganzer Linie zeigt sich, daß uneheliche Kinder von größeren Gefahren als die übrigen Kinder bedroht werden, und lie Bewegungen in der Totgeburtenfrequenz in den zwei Gruppen sind im ganzen parallel; wenn die Frequenz im ganzen sinkt, zeigt sich dasselbe bei den außerehelich Geborenen allein, und umgekehrt. Es erweist sich ebenfalls, daß das Geschlechtsverhältnis der Tot- yeborenen recht konstant ist und in der kleineren Gruppe etwas stärker variiert als es bei sämtlichen Totgeburten der Fall ist. Auch sieht man, daß das Risiko der Totgeburt erheblich größer für Knaben jals für Mädchen sein muß, da die Gliederung nach Ge- schlecht für die Totgeburten ganz anders aussieht als bei sämtlichen Geburten. Ferner ist es von Interesse, daß das Übergewicht der Knaben unter den außerehelich Totgeborenen weniger stark hervor- ;ritt als unter sämtlichen totgeborenen Kindern. Der nächste Schritt in der Untersuchung muß ganz natürlich der sein, nach der Gefahr der Totgeburt für jedes Geschlecht getrennt zu fragen, was übrigens in diesem Zusammenhang im wesentlichen nur zu Wieder- holungen führen würde. 74. Um auch ein Beispiel aus der Sterblichkeitsstatistik zu nehmen, kann man die Statistik für Berlin analog der obigen Weise bearbeiten und erhält folgende Zahlen: 101 Periode 1820—1829 1830—1839 1840—1849 L850—1859 1860—1869 1870—1879 1L880—1889 1890—1899 1900—1909 Männer 31 A960 LU RSG 50 510 5° 236 "390 961 ‚70.923 172 485 172 670 Zahl der Sterbefälle (ohne Totgeburten) Frauen Zusammen 757 - M6 36 556 "23480 ‚a1 271 ‚53 410 156 589 7 59 150 30 340 95 267 115.082 183 946 286 441 322 194 325 895 3920 259 Jährliche Zahl der Sterbefälle in pro Mille der Volks- zahl A en jr ar c 9 Sk 19,5 16.6 Von 1000 estorbenen waren Männer Idee 530 524 5329 334 530 529 524 Die Sterblichkeit ist also seit den 70er Jahren in raschem Niedergang gewesen, aber diese Bewegung änderte nicht das Ver- hältnis zwischen der Zahl verstorbener Männer und Frauen, welches beinahe konstant gewesen ist, Bei weiterer Bearbeitung dieses Materials wird man auf ähn- liche Weise andere Erfahrungen machen können. Dies gilt z. B., wenn man den Einfluß der Jahreszeiten untersucht. Man erhält hier eine Reihe von Jahren hindurch die tägliche Anzahl Todesfälle wie folgt (Totgeburten mitgerechnet): Tägliche Zahl der Sterbefälle (Totgeburten mitgerechnet) Jahr 1900 1901 1902 1903 1904 1905 1906 1907 1908 1909 1910 1911 Jan. ! Febr. 96 104 89 98 94 104 98 107 170 A] 98 11il 98 99 A fr | März 104 99 95 65 April 1 Mai Juni Juli a. Aug. x x fr % Y Sept. 104 a: RR 1 0b Okt. Nor. Dez 90 31 34 36 595 88 86 36 “7 96 90 99 0? 20 & 92 95 8x 90 Jahres- durch- schnitt 102 98 89 92 05 ) ) 92 87 93 Die Zahlen haben augenscheinlich ein Gepräge der Regelmäßig- keit. Im Januar bewegt sich die absolute Zahl der Sterbefälle zwischen 89 und 110, im Februar zwischen 90 und 111 usw. Einige Monate haben geringeren Spielraum, der November zwischen 86 und _ 102 99, der Juni zwischen 85 und 96. oIm Gegensatz hierzu tritt der Juli mit einem Spielraum zwischen 81 und 113 auf, der August hat sogar ein Minimum von 80 und ein Maximum von 130. Was ist nun Jie Ursache zu diesen relativ großen Abweichungen vom Durch- schnitt? Eine einfache Bearbeitung des Materials besteht in einer Aus- scheidung von Sterbefällen unter kleinen Kindern. Es er- yeben sich hierbei für die zwei Monate Juli und August folgende Zahlen: RR Jahr ‚900 901 902 903 1904 ‚G05 Es starben in Berlin durchschnittlich täglich (ohne Totgeburten) Juli __ August ___ unter | über unter über Tahr 1 Jahr|1 Jahr!1 Jahr Juli ] Auryust unter ' über ' unter Über i Jahr‘ . Jahr sl >hr Mm 3 7 | Ö 27 57 35 54 22 56 25 55 3 62 3 . 14 5 ) RS 65 ‘x Für die verstorbenen Übereinjährigen ist die Regelmäßigkeitgin den Sommermonaten dieselbe wie im übrigen Teil des Jahres; aber für die kleinen Kinder kann man außerordentlich große Schwin- zungen beobachten. Bei der Teilung der Beobachtungen in diese zwei Altersklassen wird man dann eine verhältnismäßig große Gleich- mäßigkeit für die eine Gruppe bekommen. Hinsichtlich der anderen Gruppe wird es sich verlohnen, die Zahlen mit leicht zugänglichen Beobachtungen, namentlich über Temperaturverhältnisse, zu vergleichen. Ein Blick auf die Zahlen wird uns darüber belehren, Jaß die Säuglingssterblichkeit sich in den erwähnten Monaten erhöht, wenn die Temperatur steigt, und umgekehrt. So lag z. B. die Juli- temperatur in den Jahren 1900 und 1901 sehr hoch, und gleich- zeitig erreichte die Sterblichkeit einen Höhepunkt; 1902 war die Julitemperatur dagegen niedrig USW. Wählt man die 6 Jahre mit höchster Monatstemperatur, dann wird man finden, daß die Durchschnittszahl von Sterbefällen unter Säug- ingen (unter 1 Jahr) in den heißen Jahren 36,5 war (Durchschnitts- temperatur 20,4), während man in den kalten Monaten nur 25,1 “Temperatur 17,7) hatte. Für den Monat August findet man bei siner Durchschnittstemperatur von 18,9 und 16,9 eine Sterblichkeit 103 von 57,7 und 29,4, so daß die Sterblichkeit in den günstigen Mo- naten nur halb so groß war wie in den ungünstigen. Es liegt außerhalb der Aufgabe, in diesem Kapitel diese Er- fahrungen weiter zu verfolgen; es ist hier ausreichend, auf das ele- mentare Resultat hinzuweisen, welches auch durch andere Beobach- tungsreihen bekräftigt wird: daß ein gewisser Zusammenhang zwischen Temperatur und Sterblichkeit besteht. Zur weiteren Klärung dieser Frage wird sich eine Zusammenstellung der Krankheitsursachen besonders der Verdauungskrankheiten, verlohnen. Hier sollen jedoch gleich zwei Bemerkungen gemacht werden. Zum ersten kann man natürlich die Sterblichkeit nicht unmittelbar aus der Tem- peratur berechnen. Im Juli, dem Monat mit der höchsten Durch- schnittstemperatur, ist die Sterblichkeit geringer als im August. Hier wie überall haben wir eine Kette von Ursachenkomplexen, welche die Veränderungen in der Sterblichkeit erklären. Es ist nur die für die Jahreszeit ungewöhnliche Temperatur, welche die vorliegenden schädlichen Momente erhöht. Zum zweiten wird eine Regel wie die gefundene auch nicht ohne Ausnahme gelten. So war z. B. der Monat Juli des Jahres 1911 verhältnismäßig heiß, er hatte aber eine moderate Sterblichkeit. Die Erhöhung der Monatstemperatur ist nicht die einzige denkbare Ursache zu einer Vergrößerung der Sterblich- keit. Übrigens wird eine tiefergehende Untersuchung dieses spe- ziellen Falles gerade die Regel bekräftigen. Im Juli 1911 trat die Wärmeerhöhung erst spät ein, zu Anfang war der Monat sogar kühl mit entsprechender geringer Sterblichkeit; nur die letzte Woche war ungemein heiß. Folgende Zahlen werden dies beleuchten: Die Woche endigte mit dem Durchschnittliche | A Temperatur Cr SIETDETAUE unter 1 Jahr 5 AL ud Als die Temperatur am Schlusse des Monats Juli stieg, begann auch die Sterblichkeit zu steigen. 104 Will man also Unregelmäßigkeiten im Ausdruck für die Sterblich- keit beseitigen, dann gilt es, das Material in viele Gruppen nach dem Alter zu teilen, die Temperaturverhältnisse zu be- rücksichtigen usw. Auch die meteorologischen Verhältnisse der anderen Jahreszeiten können einen Einfluß ausüben. Im Frühjahr wirkt z. B. eine größere Kälte auf die älteren Altersklassen ein, und wenn man so genau wie möglich alle solche Phänomene berücksich- tigt, wird die Aussicht, Regelmäßigkeit in den Zahlen zu erhalten, größer. Hier liegt in Wirklichkeit der Kern jeder statistischen "Untersuchung. Jede Unebenheit gibt zu neuer Behandlung des Ma- terials Veranlassung; trotz der Unebenheit werden gewisse Verhält- nisse da sein, welche sich konstant verhalten, so z. B. die Verteilung zwischen beiden Geschlechtern. Andere Verhältnisse aber werden Jurch ihre Unregelmäßigkeit auf besondere Ursachen hinweisen, die es dann weiter zu verfolgen gilt. 75. Häufig wird man erfahren, daß eine scheinbare Regelmäßig- veit tatsächlich die Wirkung vieler gleichzeitiger und gegeneinander wirkender Ursachen ist. In Dänemark war von 1896—1905 die Selbstmordfrequenz sowohl für unverheiratete wie verheiratete Männer 33 pro 100000. Aber teilt man nach Altersklassen, So findet man überall die größte Selbstmordfrequenz unter den Unverheirateten. Die scheinbare Übereinstimmung war also nur ein Resultat der ungleichen Altersgruppierung, da die Unverheirateten durchweg jünger sind und daher anscheinend eine verhältnismäßig geringere Selbstmordfrequenz erhalten, als der Fall sein würde, wenn sie die- selbe Altersgruppierung wie die Verheirateten hätten. Daher ist auch die Selbstmordfrequenz unter Witwern, welche durchschnittlich verhältnismäßig alt sind, im Vergleich mit Ehemännern größer als in dem Falle, wo man die Altersgruppierung berücksichtigen könnte. Um ein anderes Beispiel zu nehmen, kann man für England, für Stadt und Land, die Sterblichkeit an allen Ursachen über- haupt vergleichen. Einst war lange Zeit hindurch die Sterblichkeit sowohl in den Städten wie in den Landgemeinden ständig abnehmend, während sich die Sterblichkeit der gesamten Bevölkerung konstant verhielt. Die Ursache war die, daß die Stadtbevölkerung mit der größten Sterblichkeit am meisten gewachsen War. Zwei Ursachen hatten sich also gegenseitig aufgehoben: die hygienischen Fortschritte einerseits und die Veränderung der Verteilung zwischen Stadt und Land andererseits. In unseren Tagen ist die Bevölkerung ständig yzroßen Bewegungen unterworfen; desto notwendiger muß es daher 105 sein, das Material sorgfältig zu teilen, um die Wirkungen dieser Verschiebungen zu berücksichtigen. 76. Die hier angeführten Beispiele werden zur Beleuchtung der Methode statistischer Untersuchungen ausreichen. Zum ersten hat es sich gezeigt, daß allerdings eine Regelmäßig- keit in den Zahlen herrscht, aber diese Regelmäßigkeit ist nicht absolut, ganz im Gegenteil kommen oft bedeutende Abweichungen vor. Der Spielraum für die Abweichungen kann indes verkleinert werden, wenn man das Material in verschiedenen Rich- tungen bearbeitet, wirtschaftlich und politisch gleichartige Peri- oden auswählt und die Verschiebungen der Bevölkerung usw. be- rücksichtigt. Oder mit anderen Worten: Große Abweichungen vom Durchschnitt werden oft dazu verhelfen, die Anwesenheit gewisser Ur- sachen festzustellen; je weniger die Zahlen voneinander abweichen, desto schwieriger wird es sein, solche Ursachen statistisch zu be- leuchten, Eine Teilung und Bearbeitung des Materials ist besonders la notwendig, wo die Möglichkeit der Einwirkung zweier Ur- sachen vorliegt, wo z. B. zu vermuten ist, daß sowohl Zivilstand und Alter eine Rolle spielen. Allerdings kann man auch ohne eine solche Zerlegung des Materials oft zu feststehenden numerischen Resultaten gelangen, z. B. zu dem Ergebnis, daß die Witwer ver- hältnismäßig viele Selbstmörder zählen; ob dies aber allein der be- sonderen Altersgruppierung zuzuschreiben ist oder ob andere Ursachen wirken, läßt sich nicht ohne Spaltung des Materials entscheiden. Betrachtet man nun ferner statistische Reihen mehrerer Länder, so wird man oft sehen, daß die Zahlen von gemein- samen Ursachen beeinflußt werden. In vielen europäischen Ländern wird man Parallelbewegungen finden. So hatten z. B. im Jahre 1880 die meisten europäischen Länder eine besonders große Kindersterblichkeit, in manchen Ländern Europas hatte die Trauungs- frequenz von 1868—1869 ein Minimum, gegen Mitte der 70er Jahre einen Kulminationspunkt und 1879—1880 ein neues Minimum. Selbst- verständlich wird dies nicht die Gegenwart sehr kräftig wirkender besonderer Ursachen ausschließen. So war z. B. das Hungerjahr 1868 in Finnland durch eine ungeheure Sterblichkeit und eine niedrige Trauungsfrequenz charakterisiert. Im folgenden Jahre nahmen die Eheschließungen wieder zu; viele Trauungen, welche 1868 ausgesetzt wurden, scheinen 1869—1870 vollzogen worden zu sein; dadurch werden Abweichungen vom einen Jahr zum andern natürlich um so zrößer. 106 Wenn gemeinsame Ursachen sämtliche Bevölkerungsschichten beeinflussen, kann man oft von den statistischen Beobachtungen für ainzelne Jahre oder für einzelne Teile des Landes auf andere Gruppen schließen, selbst wenn die beobachteten Zahlen nicht gerade als ty- pisch bezeichnet werden können. Die Sterblichkeit nach Beruf läßt sich z. B. oft durch die Statistik eines einzelnen Jahres beleuchten, vorausgesetzt, daß man die Resultate nicht in genauer numerischer Form angeben will. Hat man nach sorgfältiger Bearbeitung des Materials und nach Isolierung der Ursachen ein Resultat für einen Beruf in einem Lande gefunden, dann darf man oft davon ausgehen, Jaß dieselben Ursachen in einem anderen Lande ein ähnliches Er- gebnis bewirken werden. Hat es sich in einem Lande erwiesen, daß Ehemänner eine geringere Selbstmordfrequenz haben als Witwer, so wird sich dies Resultat in der Regel für andere Länder wiederholen. Bisweilen kann man auch verwandte Gruppen betrachten. Wenn ungünstige Verhältnisse in einem Jahre die Sterblichkeit außerehelicher Kinder erhöhen, so wird man gewöhnlich auch größere Sterblichkeit unter den ehelichen Kindern erwarten können. Viele Resultate lassen sich, wie wir gesehen haben, vollständig elementar feststellen. Daß uneheliche Kinder größere Sterblichkeit haben als eheliche, daß Männer mehr zum Selbstmord neigen als Frauen, sind Beispiele hierfür. Sie beruhen auf Tatsachen, die so »ft wiederholt sind, daß man ganz unmittelbar von der Wahrheit überzeugt wird. 7%. Es entsteht indessen nun die Frage, wie lange man die ben geschilderte Aussonderung von Ursachen fortsetzen kann, ob der Spielraum für Abweichungen vom Durchschnitt ständig kleiner wird, wenn man das Material teilt, so daß also die Vorausberech- nungen genauer werden, oder ob man zuletzt einen Punkt erreicht, wo die Genauigkeit der Vorausberechnungen nicht erhöht werden kann. Es gilt also zu untersuchen, ob die Regelmäßigkeit auch zutage tritt, wenn man das Material sehr stark begrenzt, ob man z. B. eine sehr detaillierte Teilung nach Berufsklassen vornehmen kann, ohne sich dem auszusetzen, daß die individuellen Ursachen zu guter Letzt eine dominierende Rolle spielen. Solange man keinen Maßstab hat für den Spielraum dieser Ursachen, fehlt den Unter- suchungen der Schlußstein. Man kann vielleicht einzelne an der Oberfläche liegende Ursachen nachweisen, nicht aber die tiefer liegenden; es besteht also die Gefahr, daß man das Material nicht voll und ganz ausnutzen kann. Zur Auffindung eines solchen Maß- 107 stabes wird es sich verlohnen, einige einfachere Erfahrungen aus dem Glückspiel und ähnliche Beobachtungen zu erörtern, um danach zur Sozial- und Wirtschaftsstatistik zurückzukehren. Es läßt sich wohl denken, daß statistische Beobachtungsreihen weit verwickelterer Natur zu guter Letzt eine weit größere Regel- mäßigkeit aufweisen können, daß z. B. Gewohnheit oder andere Momente unter gewissen Verhältnissen eine fast konstante Trauungs- frequenz oder einen fast konstanten Konsum hervorrufen können. Die im vorigen Kapitel mitgeteilten Erfahrungen deuten jedoch nicht darauf hin, und es ist auf jeden Fall weit schwieriger, einen Überblick über die Ursachen, welche bei solchen Beobachtungen in Tätigkeit gewesen sind, zu gewinnen als bei den Glückspielen. LIJI. Kavitel. Das Exponentialgesetz. A. Die Regelmäßigkeit bei Glückspielerfahrungen. #8. Im Vorhergehenden ward bereits mehrmals erwähnt, daß die Regelmäßigkeit in den statistischen Phänomenen unter anderem eine Folge davon ist, daß die totale Wirkung der Ursachen auf eine große Anzahl von Individuen zum Gegenstand des Studiums gemacht wird. Will man untersuchen, welchen Einfluß die Zahl der Beobachtungen auf die statistischen Verhältnisse hat, so kann es daher nützlich sein, als Einleitung zu diesem Studium die Resul- tate solcher Massenbeobachtungen zu betrachten, denen möglichst einfache Bedingungen zugrunde liegen. Von solchen Beobachtungen liegt namentlich für Glückspiele — Lotterien, Würfelversuche usw. — ein umfangreiches Material vor, das für diesen Zweck wohl geeignet ist, da die menschliche Individualität so gut wie keinen Einfluß auf die Ergebnisse ausüben kann. 79. In der Einleitung ward ein solcher leicht übersehbarer Ver- such erwähnt!), nämlich der Versuch, einem Beutel verschieden ge- *) Vgl. hierzu Harald Westergaard, Die Grundzüge der Theorie der Statistik, 1. Ausg. Jena 1890, S. 22 ff., ferner Zur Theorie der Statistik, in Jahrb. f. Nat. u. Statistik, N. F. Bd. X, Jena 1885, S. 1. — In einer Abhandlung (Sur Vappre- ciation des documents statistiques etc.) im Bull. de la Commission centrale de Statistique, Tome II, Bruxelles 1845, S. 239, hat Quetelet die Resultate ähn- licher Kugelversuche mitgeteilt. 108 färbte Kugeln zu entnehmen. Im Beutel befanden sich gleich viele weiße und rote, aber im übrigen völlig gleiche Kugeln. Nach der Ziehung einer Kugel ward die Farbe (w oder r) notiert, und bevor eine neue Kugel gezogen wurde, ward die herausgenommene Kugel in den Beutel zurückgelegt, worauf eine sorgfältige Mischung sämtlicher Kugeln erfolgte. Das Experiment wurde 10000 Male wiederholt, und die wechselnden Resultate hinsichtlich der bei jeder ainzelnen Ziehung erzielten Farbe kann man sich leicht in einer Reihe wie in der folgenden niedergeschrieben denken, WWIWITWWIITWILTWITTWWITWI 000000009 welche man sich also als 10000 Buchstaben enthaltend vorstellen muß, Insgesamt ward weiß 5011 Male und rot 4989 Male gezogen; insofern ist die Zahl jeder Farbe ungefähr die gleiche. Die Frage ist indes die, ob diese Abweichung von gerade der Hälfte jeder Art als groß oder klein angesehen werden kann, oder mit anderen Worten, welche Abweichungen überhaupt zu erwarten sind, wenn man eine gegebene Anzahl Male zieht, und ob sich diese Ab- weichungen verändern, wenn die Anzahl der Male, in denen man im ganzen zieht, vergrößert oder verkleinert wird, und dann wie. Stellt man sich — wie es bei der Untersuchung dieser und jer folgenden Ziehungsresultate beabsichtigt ist — auf einen rein ampirischen Standpunkt, so muß man, um zu Erfahrungen über die Größe der Abweichungen zu gelangen, die Versuche viele Male wiederholen. Anstatt immer und immer wieder 10000 Ziehungen vorzunehmen, kann man die vorliegende Beobachtungsreihe z. B. in der Weise benutzen, daß man sie in Gruppen von je 100 Ziehungen zerlegt; in jeder solchen Gruppe sollte unserer Erwartung nach das Verhältnis zwischen rot und weiß nicht viel von 50 w und 50 r abweichen. Von den 10000 Beobachtungen kann man nun 100 Gruppen zu je 100 Buchstaben bilden, und es zeigte sich bei einer Aufzählung, daß inur 9 der 100 Gruppen gerade 50 w und 50 r ergaben, während sich in 11 der 100 Gruppen 49 w und 51 r, in 551 w und 49 r usw. befanden. Das Resultat der Aufzählung 'n sämtlichen 100 Gruppen ist im übrigen aus der Tabelle 1 er- sichtlich. Schon aus dieser Tabelle kann man einige Erfahrungen darüber yewinnen, wie es gehen wird, wenn man aus einem Beutel mit oyleich vielen weißen und roten und im übrigen auch möglichst 109 Tabelle 1 Von sämtlichen 100 Gruppen ergaben: weiße Kugeln “) weiße Kugeln gleichartigen Kugeln in der oben beschriebenen Weise 100 Male zieht. Trotzdem jeder einzelne Zug anscheinend unter ganz gleichen Bedingungen stattfindet, erhält man keineswegs bei jedem Zuge das gleiche Resultat (also die ganze Zeit entweder weiß oder rot); in keiner der 100 Versuchsreihen hat man auch nur annähernd er- reicht, lauter rote oder lauter weiße Kugeln zu erhalten; rot und weiß wechselt auf eine ganz unberechenbare Weise durch jede Ver- suchsreihe (Gruppe). Wie die Resultate von Zug zu Zug wechseln, variieren auch die Ergebnisse von Versuchsreihe zu Versuchsreihe; obwohl auch die Umstände, die für eine Reihe (Gruppe) von 100 Ziehungen das Resultat entscheiden, anscheinend von Gruppe zu Gruppe gleich sind, erhält man auch hier nicht nur annähernd jedesmal dasselbe Ergebnis; wie erwähnt, sind es verhältnismäßig wenige — ins- gesamt 9 — der 100 Gruppen, welche gerade 50 w und 50 r auf- weisen; die Abweichung von diesem Resultat, das genau dem Inhalt des Beutels entspricht, ist also weitaus am allgemeinsten. Aus Tab. 1 wie aus Fig. 1, S. 111 (in der die Zahlen der hier in Betracht kommenden weißen Kugeln als Abszissen und die entsprechende Anzahl Gruppen als Ordinaten abgetragen sind) wird andererseits hervorgehen, daß namentlich die geringeren Abweichungen häufig, Abweichungen von 10 zu je 15 dagegen schon selten sind, und daß größere Abweichungen faktisch gar nicht vorkommen. Ist es somit klar, daß eine genaue Vorausberechnung der Zahl weißer und roter Kugeln, die sich bei einer Versuchsreihe von 100 Ziehungen ergeben wird, nicht möglich ist, so scheint es schon aus den in der Tabelle 1 ausgedrückten Erfahrungen hervorzugehen, daß man mit absolut überwiegender Sicherheit vorhersagen kann, daß die Zahl der weißen Kugeln zwischen 35 und 65 liegen wird, —. 110 laß, mit anderen Worten, höchstens von einer Abweichung von 15 von dem Resultat die Rede sein kann, welches genau dem ent- spräche, daß im Beutel gleich viele rote und weiße Kugeln seien. Eine absolute Gewähr hierfür hat man allerdings nicht; aus der Tabelle geht z. B. hervor, daß die eine der 100 Gruppen 34 weiße Kugelm aufweist, und wenn man die Beobachtungsreihe durch neue Versuche erweiterte und somit Erfahrungsdaten für zwei, drei oder mehrere Hunderte von Gruppen zu je 100 Beobachtungen er- hielte, dann wäre es ja möglich, noch größere Abweichungen zu finden. Indessen kommt man bei einer Betrachtung der in der Tabelle. 1 vorliegenden Erfahrungen nicht um den Eindruck herum, daß der allergrößte Teil der bei einer Erweiterung des Er- fahrungsmaterials hinzukommenden neuen Gruppen geringere — teils sehr viel geringere — Abweichungen aufweisen würde; mit anderen Worten, die Menge von Gruppen mit geringeren Abweichungen als die schon konstatierten im Verhältnis zur Menge von Gruppen mit größeren Abweichungen würde dadurch in jedem Fall sehr groß werden, weil man bei den erneuten Anstrengungen zur Erweiterung des Erfahrungsmaterials genötigt wäre, sich sozusagen durch große Mengen von Gruppen (ständig von je 100 Ziehungen) hindurch- zuschleppen, ehe es glückte, eine Gruppe von 100 Ziehungen zu finden, in der die Zahl der weißen Kugeln um mehr als 16 von 50 “weniger als 34 oder mehr als 66) abwiche. 80. Wie es sich hiermit verhält, darüber kann uns das vor- liegende Erfahrungsmaterial natürlich nicht belehren, Die Haupt- sache ist vorläufig auch die, die Anhäufung um den „Durchschnitt“ herum zu bemerken, welche in der Tabelle 1 zum Ausdruck kommt und dann auch mit aller Deutlichkeit aus Fig. 1 hervorgeht. Es wird hierbei von Interesse sein, nicht nur den Spielraum von 35 bis 65 (inklusive) hervorzuheben, innerhalb dessen so gut wie alle vetrachteten Gruppen fallen, sondern auch ganz im allgemeinen zu untersuchen, wieviele der 100 Gruppen innerhalb des Spielraums anderer Größen fallen — deutlicher ausgedrückt, zu untersuchen, auf welche Weise der innerhalb eines gegebenen Spielraums fallende Prozentteil der sämtlichen 100 Gruppen anwächst, wenn allmählich dieser Spielraum größer und größer gemacht wird. Es ist aus dem Vorhergehenden ersichtlich, daß man desto größere Sicherheit erzielt, je größere Abweichungen man duldet. Bei dieser Art der Aufgabenstellung wird allerdings kein Unter- schied zwischen positiven und negativen Abweichungen gemacht; 117 + daß das Resultat einer Versuchsreihe von 100 Ziehungen „innerhalb des Spielraums 7 fällt“, besagt also weiter nichts, als daß man da- durch eine Anzahl weißer Kugeln erhalten hat, die entweder 47, 48, 49, 50, 51, 52 oder 53 ist. Man könnte natürlich auch im beson- deren untersuchen, wieviele der Gruppen entweder positive oder negative Abweichungen aufweisen, die nach beiden Seiten kleiner als oder gleich 3 sind, also Gruppen mit 51, 52 oder 53 weißen Kugeln gegenüber Gruppen mit 47, 48, 49 weißen Kugeln. Eine Betrachtung von Tabelle 1 uri1 Wi- 1 zeigt indes, daß die Ver- DO 35 50 Fig. 1. 7m” „l RI - 55 60 65 Sa teilung der Gruppen um den Durchschnitt herum ziemlich sym- metrisch ist; Abweichungen derselben Größe, aber mit entgegen- gesetzten Vorzeichen, sind in den Hauptzügen gleich häufig, jeden- falls mit einer solchen Annäherung, daß man nicht aus dem vor- liegenden Erfahrungsmaterial größere Einsicht zu gewinnen erwarten kann, wenn man zwischen Abweichungen mit entgegengesetzten Vorzeichen, aber im übrigen von gleicher Größe, unterschiede. Zu- gunsten dieser Hypothese spricht vorläufig auch die Art und Weise, in der die Versuchsresultate zuwegegebracht wurden, unter anderem der Umstand, daß im Beutel gleich viele rote und weiße Kugeln _—. 112 gewesen sind; wie es im folgenden des näheren bewiesen werden wird, ist dieser Umstand nicht allein entscheidend, da man eine ganz ähnliche Tendenz zur Symmetrie auch in solchen Fällen wird bemerken können, wo der Inhalt des Beutels eine ganz andere Zu- sammensetzung gehabt hat. Stellt man nun fest, wieviele der Gruppen, die, wie wir uns kurz ausdrückten, innerhalb des Spielraums der Größen 1, 3, 5, 7 usw. fallen, so ergeben sich folgende Zahlen: Tabelle 2. [nnerhalb des Zahl der Spielraums Gruppen ) a x 6 29 31 33 39 99 99 00 Auch aus dieser Tabelle geht hervor, wie außerordentlich stark die Anhäufung um das spezielle Ergebnis: 50 w +50 r faktisch ist. Wenn auch dies Resultat verhältnismäßig selten eintrifft, so braucht man andererseits nicht viele verschiedene Ergebnisse als gleichwertig zu einer Einheit zusammenzufassen, um Sammlungen einzelner spezieller Versuchsresultate zu erhalten, welche verhältnismäßig häufig vorkommen; unterscheidet man somit nicht zwischen Versuchs- cesultaten von 49, 50 und 51 weißen Kugeln, so wird sich ergeben, laß in 25 der 100 Gruppen die Abweichung höchstens 1 war; in 40 der Gruppen betrug die Abweichung in derselben Weise höch- stens 2; in 95 der Gruppen war die Abweichung höchstens 10, so daß man, bevor eine Versuchsreihe von 100 Ziehungen begonnen wird, fast mit Sicherheit darauf rechnen kann, eine Zahl weißer Kugeln, die höchstens um 10 von 50 abweicht, zu erhalten. Überhaupt wird sich herausstellen, daß, je größere Spielräume man zuläßt, desto mehr Gruppen innerhalb des betrachteten Spiel- 11? raums fallen, und daß Spielräumen einer gewissen Größe ein be- stimmter Anteil (Prozentteil) der gesamten Anzahl Gruppen ent- spricht, ein Prozentsatz, der also gleichzeitig mit dem Spielraum wächst. 81. Vom Gesichtspunkte der Statistik aus knüpft sich das Interesse nun in allererster Linie daran, wie die hier gewonnenen Erfahrungen Stich halten werden, wenn man, anstatt wie bisher Gruppen zu je 100 Beobachtungen (Ziehungen), Gruppen mit einer anderen Zahl von Beobachtungen betrachtet. Beschränkt man sich zuerst darauf, Gruppen von z. B. 200 Be- obachtungen zu betrachten, so wird man natürlich erwarten, daß solche Gruppen ebenso wie Gruppen zu je 100 Beobachtungen un- gefähr gleich viele weiße und rote Kugeln zeigen, und daß man also bei Wiederholung der Versuche eine wechselnde Anzahl weißer Kugeln erhält, die jetzt fortwährend um 100 herum schwingt. Die Frage ist indes die, wie große Abweichungen jetzt erwartet werden können, insbesondere ob die Anhäufung um das Durchschnitts- ergebnis 100 w + 100 r schwächer, ebenso stark oder stärker werden wird als im obigen Beispiel. Während bei der Untersuchung der Gruppen mit 100 Beob- achtungen jedenfalls die Möglichkeit vorhanden war, daß Ab- weichungen von einer Größe bis 50 von dem erwarteten Resultat vorkommen konnten, wird bei Gruppen zu je 200 Beobachtungen die Möglichkeit für Abweichungen vorliegen, welche sich ganz bis auf 100 belaufen können. Es wäre daher denkbar, daß eine Untersuchung der Versuchsresultate, wenn für jede Gruppe 200 Beobachtungen vorlägen, im ganzen weiter nichts erwiese, als daß alle Dimensionen sozusagen verdoppelt seien, daß z. B. die Spielräume, innerhalb welcher jetzt 10, 20, 30 usw. Proz. der Gruppen fallen, durchweg nur in doppelter Größe der früheren auftreten werden. Andererseits ist zu erinnern, daß der Versuch, bei welchem 200 Kugeln anstatt 100 gezogen werden, auch die Möglichkeit birgt, daß der beim Pas- sieren der hundertsten Ziehung faktisch erzielte Überschuß oder Fehl- betrag an weißen Kugeln ganz oder teilweise im Laufe der übrigen 100 Ziehungen ausgeglichen werden kann, so daß die Abweichungen nicht ganz doppelt so groß, durchgehends vielleicht nicht größer als beim Versuch mit 100 Ziehungen pro Gruppe, werden. Es ist nun sehr leicht, diese Frage auf Grundlage des vor- liegenden Beobachtungsmaterials zu untersuchen; teilt man nämlich das Material in Gruppen zu je 200 Beobachtungen ein, so kann Westergaard und Nybolie, Theorie der Statistik, 2. Aull. — 114 genau so wie früher festgestellt werden, wieviele der dann ent- stehenden 50 Gruppen gerade 100 w + 100 r aufweisen und wieviele auf der einen Seite 101, 102, 103 usw., auf der anderen 99, 98, 97 usw. weiße Kugeln ergeben. Berechnet man nunmehr genau wie Früher, wieviele der 50 Gruppen jetzt innerhalb der Spielräume 1, 3, 5, 7 usw. fallen, so kommt man zu folgendem Resultat: Tabelle 3. Innerhalb des| Zahl der | Innerhalb des | Zahl der Spielraums Gruppen Spielraums Gruppen „» 6 18 48 48 „9 >55 35 49 30 Aus dieser Tabelle geht hervor, daß ebenso wie bei Gruppen mit 100 Beobachtungen auch hier eine starke Anhäufung um den Durchschnitt vorliegt, der hier 100 ist; da sämtliche Gruppen inner- halb des Spielraumes 35 fallen, weicht keines der 50 Resultate mehr als 17 von 100 ab, d. h. daß keine Gruppe weniger weiße Kugeln als 83 und mehr als 117 aufweist. Die Zusammenballung ist jedoch nicht so stark wie früher; man muß ganz auf Spielraum 9 hinaus, um innerhalb dessen die 48 Proz. der 50 Gruppen (nämlich 24) zu sammeln, während schon die Hälfte (nämlich 50) der Gruppen mit 100 Beobachtungen innerhalb des Spielraums 7 fiel; vergleiche im übrigen folgende Tabelle 4, in der die Größe derjenigen Spielräume Tabelle 4. Prozentsatz ler Gesamtzahl der Gruppen Entsprechende Größe der Spielräume bei Gruppen mit ‚00 Beob- achtungen 200 Beob- achtungen Das Verhältnis zwischen ent- sprechenden Spielräumen 7 23 u 5 el ‚A +5 7! 115 verglichen wird, innerhalb deren unter beiden Versuchsarten beziehungs- weise 25, 40, 50, 70, 85 und 95 Proz. der Gruppen gefallen sind. Die Zahlen der beiden ersten Kolonnen sind, wie wir sehen, nur ein Auszug aus der Tabelle 2; zur Vergleichung kann die Fiktion angewandt werden, daß man nicht nur mit Spielräumen 1, 3, 5 USW., sondern auch mit Spielräumen jeder beliebigen gebrochenen Größe rechnen kann; dadurch wird es möglich, auch bei der Verteilung von Gruppen zu je 200 Beobachtungen mit Spielräumen zu rechnen, welche gerade 25, 40, 50 usw. Proz. sämtlicher Gruppen entsprechen, obwohl die Tabelle 3 nicht unmittelbar darüber Aufklärung gibt, welches diese Spielräume sind. Wenn man also berechnen will, innerhalb welchen Spielraumes 40 Proz. der 50 Gruppen (was 20 Gruppen ergibt) fallen, so wird sich zeigen, daß dieser Spielraum von einer Größe sein muß, die zwischen 5 (innerhalb dessen 15 Gruppen fallen) und 7 (innerhalb dessen 21 fallen) und also 7 am nächsten liegt. Mittels folgender einfachen Interpolation, wo 15 Gruppen dem Spielraum 5. 20 ” »” ” »1 . ZZ entsprechen, berechnet man, wie in der Tabelle 4 angegeben, x = 6,7; nach den in der Tabelle 3 mitgeteilten Erfahrungen kann man damit rechnen, daß innerhalb dieses Spielraumes von 6,7 die 20, d. h. 40 Proz. der hier betrachteten 50 Gruppen, liegen werden. Auf ähnliche Weise lassen sich die übrigen in Kolonne 3 der Tabelle 4 ange- führten Spielräume berechnen. In der vierten Kolonne hat man Schließlich das Verhältnis zwischen der Größe entsprechender Spiel- räume berechnet, und es geht aus diesen Verhältnissen hervor, daß die Spielräume, innerhalb deren ein gegebener Prozentsatz der Gruppen fällt, etwas größer sind bei Gruppen mit 200 als bei Gruppen mit 100 Beobachtungen, jedoch keineswegs doppelt so groß; das Verhältnis ist somit nicht 2, aber doch fast konstant, einerlei welcher Prozent- satz betrachtet wird, und ungefähr gleich 1,3. 82. Versucht man genau in derselben Weise die Anhäufung bei Gruppen zu 300, 400 usw. zu untersuchen, dann wird man ganz ähn- lichen Verhältnissen begegnen wie bei den oben erwähnten Gruppen zu je 100 und 200 Beobachtungen. Große Abweichungen von dem er- warteten durchschnittlichen Resultat sind selten, kleine jedoch häufig. Im besonderen findet man, daß die Spielräume, innerhalb deren ein gegebener Prozentsatz der Gruppe fällt, mit wachsender Anzahl von ] 116 Beobachtungen in einer Gruppe wachsen, jedoch nicht im selben Verhältnis wie die Zahl der Beobachtungen. Nennt man den Spiel- raum, innerhalb dessen bei Gruppen mit 100 Beobachtungen P Proz. sämtlicher Gruppen fallen, s, dann liegen bei Gruppen zu je 200 Be- »bachtungen P Proz. der Gruppen innerhalb eines Spielraumes von sa. 1,3-s, gleichgültig, wie groß P ist; in ähnlicher Weise findet man bei Gruppen zu je 400 und 800 Beobachtungen, daß P Proz. Jieser Gruppen innerhalb von Spielräumen der jeweiligen Größen 2,1-s and 2,8-s, also von Spielräumen, die bei weitem nicht je 4 und 8mal so groß sind. Die gefundenen Verhältniszahlen verhalten sich da- zegen sehr annähernd wie /2=1,4, V/4=2,0 und V8=28; und, wie es im folgenden weiter bewiesen werden wird, kann man auch erwarten, daß, wenn die Anzahl von Beobachtungen r Male größer wird, der Spielraum, innerhalb dessen dann P Proz. fallen, ohne Rücksicht auf die Größe von P ungefähr Vr Male so groß wird. Setzt man beispielsweise die Verteilung mit 100 Ziehungen als bekannt voraus, dann fallen, wie bereits weiter oben festgestellt worden ist, 25 Proz. dieser Art Gruppen innerhalb des Spielraums 3; Dei Versuchen mit Gruppen zu 500 Ziehungen kann man dann rechnen, daß 25 Proz. dieser neuen Gruppen innerhalb eines Spiel- raums von 3 V5=—6,7 fallen werden; genau so kann man damit ‚echnen, daß 40 Proz. der Gruppen mit 500 Beobachtungen innerhalb des Spielraums von 5 V5=11,2 liegen, da 40 Proz. der Gruppen zu 100 Beobachtungen, wie schon erwähnt, innerhalb eines Spielraums 7zon 5 usw. fallen. Aufgabe 1. Aus einem Beutel mit roten und weißen Kugeln wurde 40000mal yezogen; bei der Zerlegung der Ziehungsresultate in 100 Gruppen zu je 400 Be- obachtungen fand man, daß 7 Gruppen innerhalb eines Spielraums von 1 fielen, 3 'J 3 31 43 4 33 71 78 34 39 J3 95 { 9 ” AA » a Ad Berechne, wie diese Verteilung ausgefallen wäre, wenn man statt dessen die Ziehungsresultate in 400 Gruppen zu je 100 Beobachtungen zerlegt hätte! 117 83. Das mit diesen Erfahrungen gefundene Gesetz, daß die Spielräume, innerhalb deren ein gegebener Prozentteil der Gruppen fallen wird, sich wie die Quadratwurzel aus der Anzahl der Be- obachtungen in einer Gruppe verhalten, kann kurz als das Quadrat- wurzelgesetz bezeichnet werden. Zur Nachprüfung der Gültig- keit dieses Gesetzes wird eine Untersuchung ganz neuer Erfahrungen nützlich sein, nämlich solcher, bei denen sich nicht wie in dem be- reits behandelten Falle gleichviel rote und weiße Kugeln im Beutel befinden. Gibt man diese Forderung auf, so kann man indes ebenso gut z. B. die aus der Lotterie vorliegenden Resultate be- nutzen; als ein Beispiel für diese Art Versuche seien zuerst die Ergebnisse aus 1440 Ziehungen der alten Kopenhagener Zahlenlotterie erwähnt. Es liegt ein Bericht über 1455 Ziehungen vor; aus rein praktischen Gründen aber wird hier von den letzten 15 abgesehen. Über die nähere Einrichtung der Lotterie sei im übrigen nur bemerkt, daß bei jeder Ziehung insgesamt 5 unter 90 Zahlen gezogen wurden. Das Resultat aus einer Ziehung kann wiedergegeben werden, indem man die 90 Zahlen so aufschreibt, daß die 5 Zahlen, welche in der betreffenden Ziehung gezogen wurden, gestrichen oder z. B. durch X ersetzt werden. 1, 2, 3, X, 5 KR RE Xi. 90. Die sämtlichen 1440 Ziehungen entsprechenden Zahlenreihen kann man sich nun z. B. unter einander aufgeschrieben denken. Das sich hierbei ergebende Schema wird dann 1440-90 = 129600 Zahlen (Beobachtungen) enthalten, von denen in jeder Reihe 5 gestrichen oder durch X ersetzt sind, insgesamt 5-1440 = 7200 Beobachtungen; stellt man sich ferner vor, daß diese 7200 abgekreuzten Zahlen den Buchstaben w (weiß) im oben betrachteten Kugelversuch, die übrigen 129 600 — 7200 = 122400 nicht abgekreuzten Zahlen dagegen dem Buchstaben r (rot) entsprechen, so wird man erkennen, es hier mit Be- obachtungen zu tun zu haben, wo nur !/,g der Beobachtungen auf „weiß“, !7/,; auf „rot“ lauten; es liegt also ein ganz anderes Ver- hältnis vor als bei den Kugelversuchen, wo ca. die Hälfte der Be- obachtungen jeweilig auf weiß und rot lautete. Betrachtet man nun als Gruppen diejenigen Kolonnen des Sche- mas, welche teils von den Ziffern 1, teils von den Ziffern 2 usw. gebildet werden, so werden die 129 600 Beobachtungen in 90 Gruppen zu je 1440 Beobachtungen eingeteilt. Man wird erwarten, daß in jeder dieser Gruppen durchschnittlich 80 (nämlich Yıs 1440 = 80) der Beobachtungen abgekreuzt sind, ebenso wie man bei den Kugel- 118 versuchen erwartete, daß !/2-100 = 50 der Beobachtungen in jeder Gruppe auf weiß lauteten. Wie bei den Kugelversuchen sind es je- doch auch hier äußerst wenige der 90 Gruppen, welche gerade 80 abgekreuzte Ziffern aufweisen, nämlich insgesamt nur 5, während verhältnismäßig viele Gruppen geringere Abweichungen ergeben, d. h. sine Anzahl abgekreuzter Ziffern, welche nahe bei 80 liegt. Für sämtliche 90 Gruppen ist das Resultat aus der folgenden Tabelle 5 arsichtlich: Tabelle 5. Verteilung der Gruppen nach der Zahl abgekreuzter Ziffern. Gruppe 81 Ziffern 5 Gruppen Gruppen 92 t 3 3 \5 ° a1 1 ) 59 z » ” » ” Ö » ” ” ” f :* 76 a. BB 9 Ro? j FF“ Yu 1 0U Die Tabelle zeigt ebenso wie die Tabelle 1 eine bedeutende An- häufung um das erwartete Resultat: 80 abgekreuzte Ziffern in jeder Gruppe; wenn auch die Möglichkeit einer Abweichung nach der einen Seite bis auf 80 (was dem Umstand entspricht, daß nicht eine einzige der 1440 Ziffern in einer Gruppe abgekreuzt war) und nach der anderen Seite bis auf 1360 (was dem Umstand entspricht, daß sämtliche 1440 Ziffern der Gruppe abgekreuzt waren) vorlag, übersteigen die größten der vorkommenden Abweichungen nicht die Zahl 20; und diese größten Abweichungen sind gegenüber den häufig eintreffenden kleineren Abweichungen sogar relativ selten. In der starken An- häufung um den Durchschnitt muß man auch die Ursache dafür suchen, daß die Symmetrie in der Verteilung recht gut hervortritt. Aus der Tabelle 5 kann man somit folgende Zusammenfassung bilden, welche das Vorkommen von jeweils negativen und positiven Ab- 119 weichungen (vom Durchschnitt 80) einer Größe bis zu 10 und einer Größe über 10 zeigt: Abweichungen < 1 Abweichungen von —1 bis Abweichung 0 . . .. Abweichungen von + 1 bis Abweichungen tn 5 Gruppen + ? Da, wie erwähnt, die Möglichkeit für weit größere positive als für negative Abweichungen hätte vorliegen können, wäre vielleicht zu erwarten, daß in der tatsächlichen Verteilung bedeutend größere positive als negative Abweichungen vorkämen; die Anhäufung ist indes so stark, daß nicht einmal die verhältnismäßig begrenzten Möglichkeiten negativer Abweichungen aktuell geworden sind; daß ohne jegliche Voraussetzung behauptet werden konnte, es läge die Möglichkeit für weit größere positive als für negative Abweichungen vor, ist somit ohne Bedeutung. Wie in der Tabelle 2 kann man deshalb auch jetzt zur Beleuch- tung der Anhäufung positive und negative Abweichungen zusammen- fassen und auf Grund der in der Tabelle 5 gegebenen Verteilung feststellen, wieviele der 90 Gruppen innerhalb der Spielräume 1, 3, 5, 7 usw. fallen. Das Resultat wird dann folgendes: Tabelle 6. . ! Spielraum Zahl der Gruppen N Spielraum “:) Zahl der Gruppen R Aus der Tabelle geht z. B. hervor, daß 50 Proz. der 90 Gruppen, d. h. 45, innerhalb des Spielraums 13 fallen. Bei den Kugelversuchen lagen 50 Proz. der Gruppen innerhalb des Spielraums 7; aber diese Gruppen hatten auch nur 100 Beobachtungen, während wir es hier mit 1440 zu tun haben. Nach dem Quadratwurzelgesetz sollten die Spielräume ebenfalls größer sein, nämlich V14,40mal = 3,8mal so groß, so daß 50 Proz. der hier betrachteten Gruppen diesem Gesetz nach innerhalb eines Spielraums von 7-V144 — 26.6 fallen sollten. Man 120 hat indes tatsächlich den Spielraum 13 gefunden; zu diesem offen- baren Widerspruch kehren wir gleich wieder zurück. Wenn man in ähnlicher Weise wie bei den Kugelversuchen durch Interpolation in der Tabelle 6 die Spielräume bestimmt, inner- halb deren 25, 40, 50 usw. Proz. der 90 Gruppen fallen, findet man im ganzen folgende Zahlen: Tabelle 7. a Prozentsatz von Gruppen 0 70 35 J5 Entsprechende Spielräume faktisch berechnet 19 5 14,4- 77,8 y144 16P /14,4 20,6 "14,4 — 41,7 V14,4 = 56,9 21 V14,4=79,7 +5 25,3 340 Verhältnis zwischen faktischen und erechneten Spiel- Träumen 0,42 9,50 0,49 7,43 0,44 0.43 In der Tabelle sind zugleich die Spielräume angegeben, zu denen lie Anwendung des Quadratwurzelgesetzes führt, nämlich die, welche /14,4mal so groß sind wie die Spielräume, welche nach den anläß- lich der Kugelversuche gemachten Erfahrungen den angeführten Prozenten entsprechen. Es wird einleuchten, daß nicht bloß der den 50 Proz. der Gruppen entsprechende Spielraum bedeutend ge- ringer ist, als erwartet, sondern daß die berechneten Spielräme sämt- ‘ich mit ca. 0,46 multipliziert werden müssen, um die faktischen zu zrgeben. 84. Teilt man jede der betrachteten Gruppen in zwei gleich zroße Teile, so erhält man anstatt 90 Gruppen zu je 1440 Beobach- zungen 180 Gruppen zu je 720 Beobachtungen; diese 180 Gruppen Kann man nun ganz in derselben Weise behandeln; man kann unter- suchen, wieviele von ihnen jetzt gerade 40 abgekreuzte Ziffern aufweisen, wieviele auf der anderen Seite 39, 38, 37 usw. und wie- viele 41, 42, 43 usw. ergeben. Mittels der auf diese Weise aufge- stellten Verteilungstabelle kann man demnächst wie früher bei ein- facher Aufsummierung eine Tabelle herstellen, welche angibt, wieviele der 180 Gruppen innerhalb der Spielräume 1, 3, 5, 7 usw. fallen, and durch Interpolation in dieser Tabelle kann man wiederum finden, innerhalb welcher Spielräume jetzt 25, 40, 50 usw. Proz. der 180 Gruppen fallen. 121 Vergleicht man die auf diese Weise bestimmten Spielräume mit denen, welche nach dem Quadratwurzelgesetz den bei den Kugel- versuchen festgestellten Spielräumen (3 V7,2, 5 V7,2, 7V7,2 usw.) ent- sprechen sollten, so findet man aufs neue, daß diese letzten Spielräume, ebenso wie die oben erwähnten, alle mit 0,46 multipliziert werden müssen, um die faktischen zu ergeben. Andererseits müssen also die Spielräume, welche oben für die Gruppen mit 1440 Beobachtungen gefunden wurden, ca. /2mal so groß sein wie die, welche für Gruppen mit 720 Beobachtungen gelten. Genau entsprechende Verhältnisse wird man finden, wenn man z. B. die ursprünglichen Gruppen von je 1440 Beobachtungen durch 5 teilte und somit 540 Gruppen von je 240 Beobachtungen erhielte. Die Spielräume, welche man dann den Kugelversuchen gemäß er- warten sollte (nämlich 3 2,4, 5 V2,4 usw.), müssen wieder mit ca. 0,46 multipliziert werden, um die faktischen zu ergeben, während ein Ver- gleich mit den Spielräumen, welche die Gruppen mit 1440 und 720 Beobachtungen ergeben, bekräftigt, daß diese Spielräume jeweilig V6 und V3mal so groß sind wie die neuen Spielräume für Gruppen mit 240 Beobachtungen. Das Resultat hieraus scheint zu sein, daß die Gültigkeit des Quadratwurzelgesetzes dadurch bedingt ist, daß nur die Zahl der Beobachtungen einer Gruppe verändert wird, während man keinerlei Bekräftigung für die Richtigkeit des Gesetzes erhält, wenn man die Resultate aus den Kugelversuchen und der Zahlenlotterie vergleicht, bei welchem Vergleich sich nicht bloß die Zahl der Beobachtungen jeder Gruppe, sondern auch die Häufigkeit, mit der „weiß“ und „rot“, Gewinn oder Nicht-Gewinn vorkommt, verändert hat. 85. Zwecks weiteren Studiums können als Beispiel die Ergeb- nisse aus den 6 Ziehungen der dänischen Klassenlotterie vom Ok- tober 1887 bis März 1888 angeführt werden. Nach dem Plan wurden unter 75000 Losen 12000 Gewinne gezogen; dies besagt, daß auf 16 Proz. der Lose ein Gewinn entfiel. Teilt man nun die 75000 Lose in 750 Gruppen zu je 100 Losen, so wird man erwarten, daß durchschnittlich 16 Gewinne auf jede Gruppe fallen; genau 16 Ge- winne wiesen jedoch nur die 83 der 750 Gruppen auf, und zählt man auf, wieviele einerseits 15, 14, 13 usw., wieviele andererseits 17, 18, 19 usw. Gewinne hatten, so kommt man im ganzen zu folgendem Resultat: 122 Tabelle 8. Die Verteilung der Gruppen nach der Zahl der Gewinne. 5 Gewinne 2 Gruppen ' 18 Gewinne 64 Gruppen 3 3 ) 7 6» MN Über die Symmetrie dieser Verteilung und über die Anhäufung ım den Durchschnitt können hier genau dieselben Bemerkungen wie »ben bei der Verteilung in der Tabelle 5 gemacht werden. Kine Feststellung, wieviel Gruppen innerhalb der Spielräume 1, 3, 5, 7 usW. fallen, ergibt folgendes Resultat: Tabelle 9. A Zahl der | Le Zahl der Spielräume Gruppen Spielräume Gruppen 83 710 222 728 353 (41 {54 746 548 749 626 749 678 750 Durch Interpolation in dieser Tabelle kann man ferner fest- stellen, innerhalb welcher Spielräume sich 25, 40, 50 usw. Proz. der 750 Gruppen bewegen, und gelangt dann zu folgendem Ergebnis: Tabelle 10. Prozentteil ler Gruppen 55 Proz. 85 35 Entsprechende Spiel- räume faktisch berechnet 4 4 3,5 11,4 15.3 ; Zi} Verhältnis zwischen faktischen und be- rechneten Spiel- räumen + 180 0,77 0,78 0,76 0.73 Da die Zahl der Beobachtungen hier wie bei den Kugelversuchen LOO0 ist, hätte man, wenn diese Anzahl allein die Größe der Spiel- 123 räume bestimmte, dieselben Spielräume wie bei den Kugelversuchen erwarten sollen, welche Spielräume in der Tabelle als „berechnet“ angeführt sind. Man sieht jedoch, daß diese Spielräume mit ca. 0,75 multipliziert werden müssen, um die faktischen zu ergeben. Legt man die betrachteten 750 Gruppen zu je 100 Beobachtungen zu zweien zusammen, was 375 Gruppen zu je 200 Beobachtungen ergibt, und untersucht man aufs neue, innerhalb welcher Spielräume jetzt 25, 40, 50 usw. Proz. der 375 Gruppen fallen, so wird man wiederum finden, daß diese Spielräume nur ca. 0,75 der nach den Kugelversucherfahrungen berechneten, nämlich 3V2,5V2, 7YV2 usw., ausmachen, dagegen aber fast genau V2mal so groß wie die in der Tabelle 10 angeführten faktischen Spielräume für Klassenlotterie- Gruppen zu je 100 Beobachtungen sind. Dieses Resultat entspricht ganz dem oben bei der Betrachtung der Zahlenlotterieergebnisse gefundenen; vergleicht man die faktisch auftretenden mit denjenigen Spielräumen, welche man bei Benutzung des Quadratwurzelgesetzes nach den bei den Kugelversuchen ge- machten Erfahrungen erwarten sollte, dann werden die Spielräume zu klein; vergleicht man sie jedoch mit den Spielräumen, welche mit einer bloßen neuen Gruppenteilung und folglich einer neuen Anzahl von Beobachtungen in einer Gruppe entstehen, dann scheint das Quadratwurzelgesetz zu gelten. 86. Es muß hiernach klar sein, daß die Größe der Spielräume wohl von der Zahl der Beobachtungen abhängt, aber nicht allein durch diese Zahl bestimmt wird. Andererseits scheint aus den her- vorgehobenen Erfahrungsdaten hervorzugehen, daß sich — außer der Zahl der Beobachtungen einer Gruppe — keine anderen Momente geltend machen als das Verhältnis zwischen weiß und rot, Gewinn oder Nicht-Gewinn, welches in jedem der drei benutzten Beispiele verschie- den war. Denn bei der Untersuchung der Resultate der Zahlenlotterie fand man, daß das Verhältnis zwischen den faktischen Spielräumen und den mittels des Quadratwurzelgesetzes in Verbindung mit den Kugelversucherfahrungen berechneten Spielräumen unverändert bleibt, nämlich 0,46, gleichgültig, ob die Zahl der Beobachtungen einer Gruppe 1440, 720 oder 240 war, während das Verhältnis sich dem Wert 1 sehr annäherte, wenn man sich darauf beschränkte, das Quadratwurzelgesetz auf Spielräume anzuwenden, welche nur ver- schieden waren, weil sich die Zahl der Beobachtungen einer Gruppe änderte. Zu einem ganz ähnlichen Resultat gelangte man bei der 124 Untersuchung der Klassenlotterieerfahrungen, da das Verhältnis zwischen den faktisch gefundenen Spielräumen und den mittels des Quadratwurzelgesetzes in Verbindung mit den Kugelversucherfah- rungen berechneten Spielräumen hier 0,75 ergab, ohne Rücksicht auf die Anzahl der Beobachtungen einer Gruppe. Wird im allgemeinen der Bruchteil von Beobachtungen, der auf weiß — bzw. Gewinn — lautet, mit p, und derjenige Bruchteil, der auf rot — bzw. Niete — lautet, mit q bezeichnet, so hat man es in den 3 Beispielen mit folgenden Werten für p und q zu tun vyehabt: p-—+O0 pP q Kugelversuch a, U Zahlenlotterie Un un Klassenlotterie 0,16 0,84 Bezeichnet man ferner die Anzahl Beobachtungen einer Gruppe mit n, dann kann man — nach den aus den hier behandelten Versuchs- vesultaten gewonnenen Erfahrungen — nunmehr dem Quadratwurzel- gesetz den allgemeinen Ausdruck geben, daß der Spielraum, innerhalb Jessen P Proz. der betrachteten Gruppen fallen, die Größe s = F(P) -£(p) -/n hat, wobei F(P) und f(p) Größen bezeichnen, welche nur von der je- weiligen Größe der Werte P und p abhängen; wenn man ausschließ- lich die Versuche betrachtet, bei denen p (Verhältnis zwischen weiß ınd rot) unverändert bleibt, besagt die Formel nichts anderes, als Jaß die Spielräume, innerhalb deren P Proz. der Gruppen fallen, sich wie V/n verhalten. Wenn man andererseits bestimmen kann, auf welche Weise F(P) und f(p) mit P und p varlieren, und man also, wenn P und p gegebene Werte haben, angeben kann, wie groß F(P) und f(p) sind, kann man auch im voraus bei jeder beliebigen Art von Versuchen (bei gegebenem p) angeben, innerhalb welchen Spielraums der eine oder der andere — gleichgültig welcher — Prozentsatz (P) von Gruppen mit einer gegebenen Zahl von Beobach- sungen (n) fallen wird, 87. Hinsichtlich der Art und Weise, in der der Faktor f(p) variiert, wenn p sich verändert, ist zuerst zu bemerken, daß p immer ain positiver, echter Bruch ist, d. h. stets zwischen 0 und 1 liegt; ferner ersieht man auch leicht, daß f(p) die gleiche Reihe von Werten durchlaufen muß, wenn p, vom Werte 0,5 aus gemessen, entweder größer oder kleiner wird. Wenn man Z. B. für die Zahlenlotterie wüßte, wieviele der 1440 Ziffern in jeder der 90 Gruppen nicht L25 abgekreuzt wären, hätte man es mit Beobachtungen zu tun gehabt, von denen !’/,3 auf „weiß“ lauteten, im Gegensatz zu früher, wo !/,s „weiß“ ergaben. Man würde dann !’/,3-1440 = 1360 nicht abge- kreuzte Ziffern in jeder Gruppe erwartet haben anstatt wie früher 31440 = 80; und stellte man fest, wieviele Gruppen gerade 1360 nicht abgekreuzte Ziffern ausweisen, dann würde man natürlich genau die 5 finden, welche gerade 80 abgekreuzte Ziffern enthalten. Die Zahl der 1361 nicht abgekreuzte Ziffern enthaltenden Gruppen wird in gleicher Weise gerade die 5 sein, welche 79 abgekreuzte ent- halten usw. Sowohl die Tabelle, welche unter solchen Umständen zeigen sollte, wie sich die 90 Gruppen nach der Zahl nicht abge- kreuzter Ziffern verteilten, wie die Tabelle, welche zu zeigen hatte, wieviele der 90 Gruppen sich innerhalb der Spielräume 1, 3, 5, 7 usw. bewegten, würden somit genau den oben $ 83 mitgeteilten Tabellen 53 und 6 entsprechen; die in der Tabelle 7 angeführten Spielräume würden daher auch dieselben werden, und man würde also für den Faktor f(p) den Wert 0,46 finden, gleichgültig, ob p= Yıs oder p= 1/3. Ebenso würde man, wenn man bei der Untersuchung der Klassenlotterieerfahrungen „Gewinn“ gegen „Niete“ umtauschte, Beobachtungen erhalten, von denen der Bruchteil 1— 0,16 = 0,84 auf „Gewinn“ lauten würde; man erhält somit in sämtlichen Fällen den gleichen Wert für den Faktor f(p); es ist hierbei gleichgültig, ob Beobachtungen, bei denen die relative Frequenz von „weiß“ p oder solche, bei denen diese Frequenz q = 1 — p aus- macht, betrachtet werden; f(p) muß daher eine symmetrische Funktion von p und q sein, beispielsweise von der Form (pa)“ oder V(pq)® oder pr +” usw.; solche Ausdrücke haben alle die Eigenschaft, daß sie ihren Wert unverändert bewahren, selbst wenn die Werte von p und q umge- tauscht werden („symmetrisch“ sind). Da man, praktisch gesprochen, außer den oben angeführten sym- metrischen Ausdrücken beliebig viele andere ähnlicher Art nieder- Schreiben könnte, würde es eine recht schwierige Sache sein, allein auf Grundlage solcher rein empirischer Daten, welche im Vorher- gehenden benutzt worden sind, festzustellen, von welchem Abhängig- keitsverhältnis hier die Rede sei. Dagegen kann man sehr leicht mit Hilfe der bisher betrachteten Tabellen die Bestätigung erhalten, daß der Ausdruck, zu dem man auf anderem Wege gelangt ist, nämlich 126 f(p) = Vpd— pp) = pw jedenfalls ganz gut benutzt werden kann. Dies besagt, daß die Spielräume, innerhalb deren P Prozent der Abweichungen (Gruppen) fallen, proportional sind, nicht nur mit Yn (worauf das Quadrat- wurzelgesetz in seiner ersten Formulierung lautete), sondern auch mit /pa, so daß die Spielräume also im ganzen als Proportionale jes Wertes aufgefaßt werden können, den Ynpq in jeder einzelnen Versuchsart haben wird. Für die drei benutzten Beispiele findet man nun folgende Werte für Vnpa: ; Tabelle 11. Zahl der Beobachtungen pro Gruppe Relative | yYnpgq= Frequenz ap (1) 2 Kugelversuche 100 Zahlenlotterie 1440 Klassenlotterie 100 = 0.500 | Ve =. 56 116/ == 0,160 5,0 8,7 37 Mit den Zahlen der letzten Kolonne sollten also die Spiel- räume, innerhalb deren in den drei Beispielen ein gegebener Prozent- satz von Gruppen fällt, proportional sein. Die Spielräume, inner- halb deren sich in diesen Beispielen jeweils 25, 40, 50 usw. Proz. der Gruppen bewegten, wären jetzt folgende (vgl. die Tabellen 2, 7 und 10): Kugelversuche Zahlenlotterie Klassenlotterie 25 Proz. 4,9 2,4 40 9,4 11 50 : 13,0 5,4 70 11 17,8 8,5 35 15 25,3 * 11,4 95 21 34,0 15,3 and dividiert man die Zahlen dieser 3 Kolonnen mit bzw. u = 5,0 Ua — 8,7 U — 3,7 30 erhält man die angeführten Spielräume in folgender Form: Tabelle 12. Kugelversuche Zahlenlotterie Klassenlotterie 0,6 4, 6 ug 9,7 Mg LA “YA 1,1 ug u Up 15 44 4, 49 2,3 Mg * 49 3,1 U io 12 443 25 Proz. 10 X 2” I 35 Id 127 Da die einem gegebenen Prozentsatz von Gruppen entsprechenden Koeffizienten in dieser Tabelle ziemlich gleich sind, scheint diese Berechnung bekräftigen zu können, 1) daß der Spielraum, innerhalb dessen P Prozent der Gruppen fallen, nur in den drei Beispielen von verschiedener Größe ist, weil n, p und q nicht in allen Beispielen gleichen Wert haben, 2) daß die betrachteten Spielräume dem Werte Ynpq proportional sind, der in jedem der drei Beispiele seinen speziellen Wert an- nimmt, und 3) daß die Spielräume zahlenmäßig stets die gleichen bleiben werden, wenn man, anstatt ihre Größe in absolutem Maß (Anzahl von Kugeln, Anzahl von Ziffern mit Gewinn usw.) anzugeben, diese mit der Größe Ynpq als Einheit (d. h. die absolute Größe der Spiel- räume im Verhältnis zur Größe Ynpq) bezeichnet. Die Größe Ynpq müßte daher eigentlich z. B. mit dem Aus- druck: Einheit für Abweichungen, Fehlereinheit oder ähnlich be- zeichnet werden. Es würde jedoch unpraktisch sein, einen neuen Namen einzuführen, da lange schon so gut wie sämtliche Autoren den Ausdruck „mittlerer Fehler“ oder „mittlere Abweichung“ benutzt haben, der daher auch im folgenden angewandt werden wird, wenn er auch keineswegs bezeichnend ist; man muß sich z. B. davor hüten, den mittleren Fehler als einen Durchschnitt der numerischen Größe der Abweichungen anzusehen. Insofern bei näherer Untersuchung dargetan werden kann, daß Jieses Resultat jedenfalls in der Praxis eine ausreichend gute An- näherung ergibt, scheinen die Abweichungen also, welche bei mehr- maliger Wiederholung eines Versuches entstehen können, von einem gewissen „Gesetz“ beherrscht zu sein. Kann man nicht in der ein- zelnen Versuchsreihe genau vorhersagen, wie das Ergebnis werden wird, so scheint es doch andererseits im Bereich der Möglichkeiten zu liegen, teils ein gemeinschaftliches Resultat zu berechnen, um welches die Einzelresultate einer größeren Anzahl Versuchsreihen schwingen werden, teils zu berechnen, ein wie großer Teil der in diesen Versuchsreihen entstehenden Abweichungen kleiner als eine willkürlich gewählte, im voraus gegebene Größe wird. Da Yn langsamer als n wächst, geht aus der Art und Weise, in welcher eine solche Berechnung vorzunehmen ist, hervor, daß die Ab- weichungen, obgleich sie absolut genommen mit der Zahl der Ver- suche in jeder Versuchsreihe wachsen, relativ kleiner und kleiner 28 im Verhältnis zur Anzahl von Versuchen in jeder Versuchsreihe) werden. 88. Da die Übereinstimmung zwischen den in der Tabelle 12 berechneten Koeffizienten, worauf die hier vermutete „Gesetzmäßig- zeit“ gegründet ist, nicht absolut, sondern nur mit einer gewissen Annäherung gefunden ist, so kann man natürlich gleich die Frage auf- werfen, ob es möglich ist, ganz genaue oder jedenfalls bessere Werte für die in der Tabelle angeführten Koeffizienten zu finden; diese Frage wird im folgenden behandelt werden. Aus einer näheren Untersuchung wird hervorgehen, in welchem Sinne man die Frage bejahend beantworten kann; diese Untersuchung wird auch die Natur des Zusammenhangs beleuchten, welcher zwischen den in der Tabelle 12 angeführten Prozentsätzen von Gruppen und den ent- sprechenden Koeffizienten besteht, wodurch es zugleich möglich wird anzugeben, welche Koeffizienten, F(P), nicht nur den in der Tabelle 12 speziell benutzten 6 Prozent, sondern überhaupt jedem beliebigen Bruchteil von Gruppen entsprechen. Die in dem Vorhergehenden angestellten Untersuchungen können über diese weitergehenden Fragen keinen näheren Bescheid geben. Zur vorläufigen Orientierung kann man sich hier darauf beschränken, Jie in der Tabelle 12 z. B. für die Kugelversuche gefundenen Koeffizienten zu benutzen, und man kann dann die erzielten Re- sultate folgendermaßen zusammenfassen: Wenn man zu wiederholten Malen, z. B. N Male, n Versuche ’N Gruppen zu je n Beobachtungen) anstellt, deren Resultat jedes- mal entweder A oder B (rot oder weiß, Gewinn oder Niete usw.) wird, so daß der Bruchteil aus sämtlichen N -n Versuchen, welche das Resultat A ergeben haben, p ist, während der übrigbleibende Bruchteil 1—p = q als Resultat B ergeben hat, wird sich die in jeder Gruppe vorkommende Anzahl von Begebenheiten A und B, um pn mal A an mal B Dewegen. Die N Abweichungen von diesem durchschnittlichen Resultat werden verschiedener Größe sein, und man kann damit rechnen, daß 25 Proz. der Abweichungen innerhalb eines Spielraumes von 08 u „WM „14 u ” 2,2 U 3,0 4 12 u g 35 L29 fallen, wo u = Vnpq = Ynp (1—>p), welche Größe bekannt ist, wenn man n und p kennt. Wenn sich „eine Abweichung innerhalb des Spielraums s be- wegt“, kann sie höchstens von der Größe !4s sein. Man drückt daher auch oft obiges Resultat folgendermaßen aus: Tabelle 13. 25 Proz. der Abweichungen sind kleiner als 0,3 u 40 2” ” ” AR u 0 u x 3. »” 953 & ie Abweichungen, welche größer sind als das Zwei- oder Drei- fache des mittleren Fehlers (uw), werden außerordentlich selten sein. Als Beispiel der Anwendung hierauf sei erwähnt, daß man, wenn in der oben beschriebenen Weise viele Male 10000 Kugeln einem Beutel mit gleichvielen weißen und roten Kugeln entnommen werden, erwarten kann, in 95 Proz. der Male eine Anzahl weißer Kugeln zu erhalten, welche höchstens 2,1 uw von 5000 abweicht. Da man hier = V10000-1/ +1, = 50 hat, wird 2,1 u = 105; man kann also vor Beginn der Ziehungen der 10000 Kugeln recht sicher sein, daß die sich ergebende Zahl weißer Kugeln zwischen 5000 — 100 = 4900 und 5000 + 100 = 5100 liegen wird; die Abweichungen sind somit im Verhältnis zu denen, die man vollkommen voraussetzungslos vielleicht erwarten würde, nicht besonders groß!). Die Abweichung um 11, die faktisch das Resultat der Versuchsreihe wurde, welche im Vorhergehenden be- nutzt worden ist, und bei welcher man, wie im $ 79 erwähnt, 5011 weiße Kugeln erhielt, muß als eine ganz unbedeutende Abweichung angesehen werden; dies geht daraus hervor, daß nur 25 Proz. einer größeren Anzahl Versuchsreihen von 10000 Ziehungen Abweichungen ergeben haben würden, die kleiner wären als 0,3:4u = 0,3.50 = 15, und daß also ein noch kleinerer Prozentsatz der Versuchsreihen Abweichungen ergeben haben würde, welche kleiner, speziell kleiner als 11, wären. *) Vgl. die Bemerkungen in der Einleitung auf S. 5 und 7. Westergaard und Nybe@lle, Theorie der Statistik, 2. Aufl. 130 — Aufgabe 2. Einem Beutel mit 63 weißen 'und 28 roten Kugeln werden in gewöhnlicher Weise 676 Kugeln entnommen. Wieviele weiße Kugeln sind zu erwarten? Wenn man sich eine größere Anzahl Gruppen von je 676 Kugeln gezogen denkt, dann ist festzustellen, innerhalb welcher Spielräume 25, 40, 50 usw. Proz. dieser Gruppen fallen werden. Aufgabe 3. Man schüttele sorgfältig eine Schachtel mit 720 Würfeln und ontleere 'sie auf einen Tisch. Wieviele „Sechsen“ darf man erwarten? Kann man mit Billigkeit erwarten, daß die wirkliche Anzahl nicht mehr als 10 von der Berechnung abweicht? Innerhalb welcher Grenzen wird sich überhaupt die Anzahl der „Sechsen“ bewegen ? 89, Bevor wir dazu übergehen, auf anderem. Wege die Natur des in der Tabelle 13 angedeuteten „Gesetzes“ zu studieren, soll noch ein Beispiel für die Anwendbarkeit des Gesetzes in kompli- zierteren Fällen gegeben werden. In den vorhergehenden Beispielen hat es sich die ganze Zeit um Versuche gehandelt, bei welchen die Abweichungen, welche in jedem einzelnen Falle untersucht wurden — wie man kurz sagt — „den gleichen mittleren Fehler hatten“. Daß man auch das gefundene Gesetz bestätigt sehen kann, wenn man es auf einmal mit Abweichungen verschiedener mittlerer Fehler zu tun hat, indem man dies berücksichtigt, kann durch folgendes Beispiel gezeigt werden, wobei es sich um einige von Buffon u.a. angestellte Versuche über Avers und Revers mit einer geworfenen Münze handelt!). Bei jedem Versuch ward so lange geworfen, bis die Münze Avers zeigte, und dies wurde 2048mal wiederholt. Die Versuchsanordnung wird vielleicht deutlicher, wenn man sich denkt, daß 2048 Personen auf einmal, jede mit ihrer Münze, werfen; die Personen, welche gleich beim ersten Wurf Avers er- halten, treten zurück und beteiligen sich nicht mehr, während die übrigen aufs neue mit ihrer Münze werfen; diejenigen von diesen, welche nunmehr Avers erhalten, treten darauf zurück, während die, welche noch nicht Avers bekommen haben, weiterwerfen müssen; das wird solange fortgesetzt, bis alle Avers geworfen haben. Diese Ver- suchsreihe wurde insgesamt 4mal wiederholt. Es ist klar, daß man in jeder Versuchsreihe erwartet, daß ungefähr 1024 Personen gleich veim ersten Wurf Avers werfen, während ungefähr 1024 Personen am zweiten Wurf teilnehmen müssen; es ist jedoch ebenfalls klar, 4 Siehe u. a. Makeham, On the laws of sickness and invalidism. Assurance Magazine, XVI, 1872. 151] daß die Zahl derer, welche faktisch beim ersten Wurf Avers er- halten, nicht gerade 1024 zu sein braucht; nach den im Vorher- gehenden gemachten Erfahrungen wird eine größere oder kleinere Abweichung von 1024 gerade erwartet werden können; als Maß dafür, wie große Abweichungen erwartet werden können, dient der mittlere Fehler, der hier V2048.1,.1, = V512 = 22,63 wird. In derselben Weise wird die Anzahl von Personen, welche beim zweiten Wurf Avers erhalten, in die Nähe von 512 fallen, indem man damit rechnen kann, daß !/, der 2048 Personen zum ersten Mal im 2. Wurf Avers erhalten, während dies bei den %, nicht der Fall ist (weil sie entweder beim 1. Wurf Avers erhielten oder erst später erhalten werden). Als Maß dafür, wie große Abweichungen von den 512 erwartet werden können, dient hier der mittlere Fehler V2048-1/, 3/4 = V384 = 19,60, und so kann fortgesetzt werden. In der folgenden Tabelle 14 ist die faktische Anzahl von Personen angeführt, die in jeder der 4 Versuchsreihen nach dem 1.,, 2. 3. Wurf usw. zum erstenmal Avers erhielten. Zugleich findet sich in Kolonne (5) die entsprechende erwartete Zahl der Personen und in Kolonne (6) der mittlere Fehler für die Abweichungen, welche die faktischen Zahlen der Kolonnen 1—4 der erwarteten Anzahl in Kolonne (5) gegenüber aufweisen. Tabelle 14. Faktische Anzahl in Versuchs- reihe Nr. Erwartete Anzahl Mittlere Abweichung Fı W „97 L0,95 7,87 761 ‚98 582 1.99 Man kann jetzt untersuchen, wie groß die Abweichungen von der erwarteten Anzahl gewesen sind, indem man die Zahlen in Kolonne (5) von den Zahlen in Kolonne 1—4 subtrahiert. Hierbei ergeben sich folgende 36 Differenzen: 392 Größe der Abweichungen in Versuchsreihe N Mittlere Abweichung 22,63 "9,60 14,97 "0,95 7,87 561 98 82 „99 Unmittelbar geht hieraus hervor — in Übereinstimmung mit früheren Feststellungen — daß gerade das durchschnittlich Erwartete oin Resultat ist, das verhältnismäßig selten eintrifft. Nur 2 der 36 Differenzen lauten auf 0. Warum die Zahl kleiner Abweichungen so groß und die Zahl großer Abweichungen So klein ist, wie sie sein sollte, ob also die Verteilung der Abweichungen überhaupt mit einiger Annäherung dem „Gesetze“ folgt, dem in der Tabelle 13 Ausdruck verliehen wurde, ist dagegen eine Frage, die durch bloße Größensortierung der 36 Abweichungen nicht unmittelbar entschieden werden kann. Wie ein Blick auf die Differenzen zeigen wird, sind die Ab- weichungen mit den größten mittleren Abweichungen durchweg am größten. Die aufgeworfene Frage kann daher nur so beantwortet werden, daß man sämtliche 36 Differenzen nicht in absolutem Maß, wie sie gefunden sind, sondern mit ihren entsprechenden mittleren Fehlern als Einheit ausdrückt; so kann die Abweichung 37 z. B,, wenn sie durch ihre entsprechende mittlere Abweichung von 22,63 geteilt wird, als 1,63 u geschrieben werden, da 37 : 22,63 =1,63 ist. Wird nun diese Umrechnung vorgenommen, dann erhält man folgendes Verzeichnis der 36 Differenzen: 163 u 0,92 u 1,60 u 82 u 02 u 58 u u u u 1,06 u 126 u 3 X Au du u U U“ . 1 Ku a n ‘Yu Lu 17 u u ar 4 U 0,66 u — 1,63 4 0,73 u 18 u 38 u Bu A u 4 JU U Untersucht man hier, wieviele dieser umgerechneten Ab- weichungen numerisch kleiner als 0,3 4, wieviele kleiner als 0,5 u 133 usw. sind (vgl. die Koeffizienten der Tabelle 13), dann gelangt man zu folgender Übersicht: Maximale Zahl der Abweichungen Abweichung faktisch nach der Tabelle 13 0,3 u 0,5 u 7 u iM \w „1 “ ix 1& 25 31 3. Nach der Tabelle 13 würde man erwarten, daß 25 Proz. der 36 Abweichungen (d. h. 9) kleiner als 0,3 u usw. wie angeführt seien, und die Übereinstimmung, welche diese Zahlen aufweisen, scheint unverkennbar zu sein; selbst wenn sie auch nicht mathe- matisch genau ist, so ist es doch deutlich, daß kleine und große Ab- weichungen ungefähr ebenso zahlreich auftreten wie in den früher behandelten Beispielen. Ohne im voraus mit der Art und Weise, in der Versuche dieser Art auszufallen pflegen, vertraut zu sein, würde man vielleicht dazu geneigt gewesen sein, weit größere Ab- weichungen zu erwarten; viele Spieler haben bei der Abmachung darüber, wie groß bei jedem einzelnen Spiel der Einsatz sein müsse, die Anschauung vertreten, daß, wenn z. B. eine Münze viele Male hintereinander Revers gezeigt habe, die Chancen dafür, daß sie Avers zeige, steigen; wenn solches der Fall wäre, würde die Zahl größerer Abweichungen allem Anschein nach erheblich wachsen (vgl. S. 48). 90. Auf die hier berührte Frage zurückzukommen, wird im fol- genden Gelegenheit sein. Nach den jetzt betrachteten Beispielen zu urteilen, sieht es vorläufig aus, als ob viele Gebiete vom selben „Statistischen Gesetz“ beherrscht werden, und als ob man unter An- wendung des hier auf rein empirischem Wege gefundenen Maßstabes für die Größe der Abweichungen (des mittleren Fehlers) annähernd berechnen kann, wie die Verteilung der Abweichungen nach der Größe ausfallen wird. Es würde nun leicht sein, neue Beobachtungen ähnlicher Art zu den bereits mitgeteilten hinzuzufügen. Hierzu liegt jedoch kaum eine Veranlassung vor, weil sich das vorliegende Buch hauptsächlich dafür interessiert, durch Betrachtung der Phänomene in der menschlichen Gesellschaft eine Bekräftigung und eventuell eine Erweiterung der schon gewonnenen Einsicht zu erzielen. Daß es in großem Umfange möglich ist, zu einer solchen Bestätigung zu gelangen, wird aus —. 134 einem folgenden Kapitel erhellen; da, wie bereits oben hervorgehoben, das gefundene „Gesetz“ und der sich daran knüpfende Begriff des mittleren Fehlers bisher nur annähernd bestimmt wurde, wollen wir uns jedoch vorher u. a. die Aufgabe stellen, auf anderem Wege zu siner genaueren Präzisierung teils des eigentlichen Gesetzes, teils der Bedingungen, unter denen das Gesetz Gültigkeit hat, zu-gelangen. B. Die Hauptsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 91. Aus den obigen Beispielen über die Resultate von Glück- spielen und ähnlichen Erfahrungen ging hervor, daß man unter ge- wissen Bedingungen annähernd vorausberechnen kann, wieviele Begebenheiten der einen oder der anderen Art bei einer gegebenen Versuchsordnung eintreffen werden. Die Zahlen schwingen zwar, jedoch um einen festen Durchschnittspunkt und innerhalb gewisser Grenzen. Die Abweichungen verteilen sich ungefähr symmetrisch am den Durchschnittspunkt und gruppieren sich im übrigen bei allen Versuchsreihen fast genau in gleicher Weise; es gibt viel kleinere Abweichungen und wenig größere, so daß man vorderhand ein recht zutes Bild der Verteilung erhält, wenn man bloß bestimmt hat, inner- aalb welcher Grenzen der eine oder der andere Bruchteil, z. B. */s ler Abweichungen, fallen wird. Wie im folgenden dargelegt werden soll, bestätigen sich diese Resultate nun auf vielen anderen Gebieten menschlicher Betätigung, besonders sobald man gewisse Ursachen wie Alter, Geschlecht usw. isoliert; wenn auch die Grenzen für die Abweichungen selbst nach einer solchen Isolation von Ursachen weitere sind als bei den Glück- spielen, so kann man doch in der Regel gewisse Ursachen angeben, welche sich allerdings oft einer näheren numerischen Behandlung entziehen, von denen man aber trotzdem behaupten darf, daß ihre [solation, falls sie möglich wäre, die Abweichungen verkleinern, und Jaß sich dabei eine Tendenz auf die für Glückspiele geltende Ver- teilung hin zeigen würde. Als Folge davon, daß man in der Statistik gerade von einer Menge von Ursachen absieht, welche in Wirklichkeit ein Phänomen beeinflussen, deren Wirkungen aber mit irgend einer Begründung als sich ungefähr gegenseitig aufhebend betrachtet werden können, geschieht es oft, daß man eine ganz einzelne Eigenschaft oder ein einzelnes Kennzeichen eines beobachteten Phänomens zum Gegen- stand der Forschung macht; man interessiert sich dabei nur dafür, ob die Eigenschaft oder das Kennzeichen vorkommt oder nicht. Bei- 135 spiel hierfür sind die oben behandelten Glückspiele; bei den Kugel- versuchen notierte man die Farbe der gezogenen Kugel, schenkte jedoch den übrigen möglichen besonderen Eigenschaften (Gewicht, Form, Oberflächenbeschaffenheit, dem Platz im Beutel vor der Ziehung usw.) keine Aufmerksamkeit. Etwas ganz Ähnliches geht beim Stu- dium anderer statistischer Phänomene vor sich; selbst wenn man bei der Untersuchung der Ursachen, die das Geschlecht der ge- borenen Kinder bestimmen, das Beobachtungsmaterial in Gruppen teilt, welche als den verschiedenen wirkenden Ursachen entsprechend angenommen werden, wird in jeder einzelnen Gruppe die Aufmerksam- keit auf ein bestimmtes Kennzeichen, nämlich das Geschlecht, ein- gestellt, während von den übrigen individuellen Verschiedenheiten zwischen den in der einzelnen Gruppe zusammengefaßten Kindern abgesehen wird. Ebenso geht es — um ein anderes Beispiel zu nehmen — bei der Untersuchung der Sterblichkeit; man kann das Beobachtungsmaterial in viele Gruppen, nach Alter, Geschlecht, Beruf usw., zerlegen, aber bei jeder einzelnen mittelst solcher Kennzeichen ausgeschiedenen Gruppe stellt man keine andere Frage als die eine: tot oder nicht tot. Versuche oder Beobachtungen dieser Art werden oft als alternativ bezeichnet. Es hat sich ferner erwiesen — wie es ausführlich im Kapitel II erwähnt wurde — daß die statistische Regelmäßigkeit in zahlreichen der uns hier interessierenden Fälle sich in einer ausgeprägten Pro- portionalität zwischen der Zahl sämtlicher Beobachtungen und der Zahl solcher zu erkennen gibt, welche die Eigenschaft oder das Kennzeichen ausweisen, deren Vorkommen zu untersuchen ist; es liegt daher nahe, die genannten zwei Zahlen zueinander ins Ver- hältnis zu setzen, indem man einen Bruch berechnet, der durch seine Größe angibt, ein wie großer Teil sämtlicher Beobachtungen das be- treffende Kennzeichen aufgewiesen hat. Ein solcher Bruch heißt relative Häufigkeit des Kennzeichens. Als Beispiel hierfür sei erwähnt, daß die relative Häufigkeit weißer Kugeln in dem oben behandelten Kugelversuch 1005 = 0,5011 war. Im Jahre 1920 kamen in Dänemark insgesamt 80227 lebendgeborene und totge- borene Kinder zur Welt, von denen 41064 Knaben waren; die rela- tive Häufigkeit von Knaben — die Sexualproportion — war also +1 064 = 0,51 usw 80 227 ) " Wenn die relative Häufigkeit einer Begebenheit (Kennzeichen) — 136 sich um irgendeinen „Normalwert“ und innerhalb enger Grenzen analog mit den Glückspielerfahrungen bewegt, bezeichnet man diesen rzermuteten Normalwert als die Wahrscheinlichkeit der Be- gebenheit. Zur Anwendung des Begriffes Wahrscheinlichkeit be- rechtigt allein die Erfahrung, daß sich die Zahlen um einen festen Wert bewegen; wenn dies nicht der Fall ist, kann auch von einer Wahrscheinlichkeit keine Rede sein. 92, Es ist kaum möglich, eine befriedigendere Definition dieses grundlegenden Begriffes zu geben. Dahinzielende Bestrebungen *ührten schon in einem sehr frühen Stadium der Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Scheidung zwischen sogenannten „apriorischen“ und „aposteriorischen“ Wahrscheinlichkeiten. Der Unterschied zwischen diesen sollte, wie die Bezeichnung es andeutet, der sein, daß die Größe der apriorischen Wahrscheinlichkeit im voraus durch rein logische Operationen, ohne Benutzung von Er- fahrungsdaten, also bevor solche vorliegen, festgestellt werden könne, während man erst auf dem Wege der Erfahrung etwas über die Größe der aposteriorischen Wahrscheinlichkeit erführe; letztere kann jaher genau so definiert werden wie das, was wir oben schlecht ınd recht eine Wahrscheinlichkeit nannten und muß auch als genau Jasselbe angesprochen werden. Dagegen hat man zur Definierung der apriorischen Wahrscheinlichkeit erst den Begriff „gleich mög- liche Fälle“ einführen müssen: von der Vorstellung der Existenz solcher Fälle ausgehend stößt indes die Definition der apriorischen Wahrscheinlichkeit nicht auf Schwierigkeiten. Wenn unter m gleich möglichen Fällen g das Kennzeichen (Ereignis) A, die übrigen Fälle Jagegen andere Kennzeichen, B, haben, versteht man unter der apriorischen Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ganz einfach den Bruch &. m Wenn man beispielsweise mit einer Münze wirft, erwartet man im allgemeinen wohl gleichviel Male Revers und Avers, oder mit anderen Worten: Revers und Avers sind gleich möglich. Fragt man daher nach der Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Münzwurf Avers zu bekommen, dann gilt die Fragestellung nur der einen der 2 gleich möglichen Fälle, so daß die Wahrscheinlichkeit, Avers zu erhalten, nur !/, ist. Hat man ferner einen Beutel mit 5 weißen und 5 roten, aber sonst gleichen Kugeln, so kann man, nach sorgfältiger Mischung der Kugeln, bei der Entnahme einer Kugel damit rechnen, daß die gleiche Möglichkeit für die Ziehung einer jeden der 10 Kugeln L37 vorliegt; hier hat man es also mit 10 gleich möglichen Fällen, von denen nur die 5 eine weiße Kugel ergeben, zu tun; die Wahrschein- lichkeit, bei Ziehungen eine weiße Kugel zu erhalten, ist daher hier 0 also ebenfalls = 0,5. In mehr zusammengesetzten Aufgaben, bei denen die in dem Zähler und Nenner eingesetzten Zahlen sehr groß werden, kann es oft rein praktisch recht schwierig sein, die Größe einer apriorischen Wahrscheinlichkeit zu bestimmen; rein prinzipielle Schwierigkeiten verursacht diese Aufgabe jedoch nicht, wenn nur erst festgestellt wird, welche Fälle gleich möglich sind; daß zwei oder mehrere Fälle gleich möglich sind, ist indessen nichts anderes als eine Umschrei- bung der Behauptung, daß die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens dieser Fälle von gleicher Größe ist; dies wird jedoch weiter besagen, daß die Definition einer apriorischen Wahrscheinlichkeit die vor- herige Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffes selber voraussetzt. 93. Wenn man daher überhaupt von der Wahrscheinlichkeit des Eintreffens eines Ereignisses (A) spricht und deren Größe auf p veranschlagen zu können glaubt, dann ist dies nur ein anderer und kürzerer Ausdruck für die Behauptung, daß, wenn eine Anzahl von Versuchsreihen, jede von n Versuchen, angestellt wird. und n aus- reichend groß ist, l. die Zahl der Male, in denen das Ereignis A dann ein- trifft, sich von Versuchsreihe zu Versuchsreihe um pn bewegt, und 2. die Abweichungen, welche die einzelnen Versuchsreihen aufweisen, wenn sie mit dem mittleren Fehler Ynpq als Einheit um- gerechnet (gemessen) werden, sich jedenfalls mit einer gewissen An- näherung symmetrisch analog der Tabelle 13 verteilen. Es erhellt aus der Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffes, daß die Größe einer Wahrscheinlichkeit nie exakt bestimmt werden kann: denn selbst da, wo viele gut durchgeführte Beobachtungen zur Feststellung der Wahrscheinlichkeit vorliegen, wird man die oben erwähnten Bedingungen für die Möglichkeit einer Wahrschein- lichkeit und ihrer Größe dadurch erfüllt sehen, daß man der Wahr- scheinlichkeit viele verschiedene Werte (in mathematischem Sinne) gibt; die Definition schließt indessen nicht aus — wie es im fol- genden gezeigt werden soll — daß sich sehr viele Fälle finden lassen, in denen es möglich ist, von Wahrscheinlichkeit zu reden und die Größe der Wahrscheinlichkeit mit zulänglicher Genauigkeit zu be- stimmen. 138 94. Wenn nun, wie oben bewiesen, der Begriff der „apriorischen Wahrscheinlichkeit“ ohne Bedeutung ist für die Definition des eigentlichen Wahrscheinlichkeitsbegriffes, so ist er andererseits vor- züglich in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu verwenden, Ad. h. in der Lehre darüber, unter welchen Bedingungen und in welcher Weise man von gegebenen Wahrscheinlichkeiten aus die Wahrscheinlichkeit anderer Ereignisse berechnen kann; dies hat gerade darin seine Ursache, daß es sich hierbei weder um eine exX- perimentelle Bestimmung der Größe der Wahrscheinlichkeiten handelt, welche man zum Ausgangspunkt nimmt, noch um eine experimentelle Kontrolle der Resultate (Wahrscheinlichkeiten), zu denen man ge- langt; dieser Seite der Sache hat sich die Statistik anzunehmen. Es ist daher auch nicht merkwürdig, daß man bei der Lösung der konkreten Aufgabe in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ebenso oft davon ausgeht, daß die und die Fälle gleich möglich sind, wie davon, daß die und die Ereignisse die und die gegebene Wahrschein- lichkeit haben. Es handelt sich hier nur um eine verschiedene Aus- drucksweise. Man darf sich vor allem z. B. dadurch nicht irre- führen lassen, daß sogar gegeneinander spielende Personen ohne nähere Nachprüfung beide davon ausgehen, daß die und die Fälle zleich wahrscheinlich sind. Dieser Umstand kann nur ein Ausdruck für die Anschauung sein, daß der dabei begangene Fehler so klein ist, daß sich eine nähere Untersuchung der Richtigkeit der ge- machten Voraussetzung nicht zu verlohnen scheint. Werfen wir beispielsweise die Frage auf, mit wie großer Wahr- scheinlichkeit ein Whistspieler eine gegebene Karte erhält, wenn las Kartengeben nach den Voraussetzungen, unter denen man über- haupt Whist spielt, so vor sich geht, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Person eine bestimmte Karte erhält, dieselbe ist, einerlei von welchen der 4 am Spiele beteiligten Personen die Rede ist; es liegen dann 4 gleich mögliche Fälle vor, jedoch ist es nur einmal möglich, daß die betrachtete Person die betreffende Karte er- hält, und die Wahrscheinlichkeit ist dann apriorisch als !/, fest- gestellt. In Wirklichkeit kann eine nähere Untersuchung erst ent- scheiden, inwieweit es überhaupt möglich ist, das Kartengeben so einzurichten, daß es Hand und Fuß hat zu sagen, alle 4 Personen hätten die gleiche Wahrscheinlichkeit dafür, die betreffende Karte zu erhalten, und ob es deshalb überhaupt einen Sinn hat, von den Fällen, wo das Kartengeben nicht die benutzte Voraussetzung erfüllt, abzusehen. 139 In ähnlicher Weise geht es z. B. beim Würfeln; hat man eine Vermutung darüber, daß der Würfel falsch ist, dann gibt es zur Ent- oder Bekräftigung kein anderes Mittel als vor dem Spiel den Würfel zu versuchen; rechnet man mit einer Wahrscheinlichkeit von !/; für einen gegebenen Wurf, so sieht man von der Möglichkeit einer Fälschung des Würfels ab; ob es jedoch überhaupt möglich ist, einen Würfel zu konstruieren oder sich nur einen Würfel vorzustellen, der „gar nicht falsch ist“, das ist eine ganz andere Frage, die zwar untersucht, jedoch nicht entschieden werden kann. Dagegen läßt sich untersuchen, ob der Fehler, den man begeht, wenn man mit einer Wahrscheinlichkeit von gerade !/; rechnet, so groß ist, daß diese Rechenmethode als unzulässig betrachtet werden muß. Aufgabe 4. Der Astronom R. Wolff hat einige umfangreiche Würfel- versuche unternommen ?). U. a. ward 20000 Male mit zwei verschiedenen Würfeln, einem roten und einem weißen, geworfen; das Resultat war folgendes : Weißer Würfel Roter Würfel 3246 Male 3407 Male ZZ 20.000 Male Kann man nach diesen Versuchen damit rechnen, daß jede der 6 Würfel- seiten die gleiche Möglichkeit hat, nach oben zu liegen zu kommen ? Wie wäre die Antwort auf diese Frage, wenn man nach den 4500 ersten Würfen aufgehört und damit folgendes Resultat erhalten hätte: Eine ] "3 wurde mon Roter Würfel 763 Male 798 725 682 765 _ Lt 067 zus. 4500 Male 4500 Male 95. Wenn man davon ausgeht, daß gewisse Fälle gleich mög- lich sind, ist es oft eine ungemein leichte Sache, die Wahrschein- lichkeit dafür zu finden, daß andere Ereignisse eintreffen werden. Zur Beleuchtung dessen seien einige Beispiele angeführt. Wie groß ist bei einem Wurf mit zwei Münzen die Wahrscheinlichkeit dafür, daß wenigstens eine der l) R. Wolff, Drei Mitteilungen über neue Würfelversuche. Naturforsch. Gesellschaft in Zürich, Bd. 26, 27, Zürich 1881—83. 140 Münzen Avers zeigt, wenn die Wahrscheinlichkeit, Avers zu erhalten bei einem Wurf mit einer der Münzen !% ist. Es sind 4 verschiedene Ergebnisse möglich, nämlich folgende 1 Kombinationen: AA — AR-— RA — RR Da gegeben ist, daß für jede Münze die gleiche Möglichkeit vorliegt, A oder R zu zeigen, müssen auch die 4 angeführten Kom- binationen gleich möglich sein, d. h. dieselbe Wahrscheinlichkeit haben; da in 3 derselben wenigstens eine der Münzen A zeigt, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit %4. Wie groß ist bei einem Wurf mit zwei Würfeln die Wahrscheinlichkeit dafür, eine gegebene Summe von Augen zu erhalten, wenn für beide Würfel die Mög- \ichkeit, daß jede der Würfelseiten nach oben zeigt, lieselbe ist? Bei einem Wurfe mit dem einen der Würfel liegen 6 gleich mögliche Fälle vor; ohne Rücksicht darauf, was der eine Würfel ergibt, werden beim Wurf mit dem zweiten ebenfalls 6 gleich mög- liche Fälle sein; im ganzen werden es also 36 gleich mögliche Fälle, die folgende Summen aufweisen: 4 5 ö 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 5 7 8 9 10 ? Q 9 10 11 zZ 1 8 9 10 .y Von diesen 36 Summen lauten beispielsweise 4 auf 5; die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Wurf mit zwei solchen Würfeln insgesamt 5 Augen zu erhalten, wird daher */s; = 1!/o. Als Gesamt- resultat ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit für die Summe 2 gleich */446 Summe 7 gleich %/,g 5 22 ze 2” S 2” 4% R 2” 4 86 LE 19 ” 3 36 ” ” Jb0 ” 1 ” a 0 ” > 36 ” * ” W 36 93 12 “ UL Da 21 der 36 Summen auf 7 oder mehr als 7 lauten, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, wenigstens 7 Augen zu erhalten, 2 / oe. Aufgabe 5. Welche verschiedenen Summen von Augen kann man ins- gesamt erhalten, wenn man mit 3 Würfeln wirft? Die Würfel als „gleich gut“ vorausgesetzt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, jede dieser Summen 141 zu bekommen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Summe zu er- halten, die höchstens 8 ist? Aufgabe 6. Unter der Voraussetzung, daß man bei der Ziehung einer einzelnen Karte aus einem Spiel von 52 Blättern die gleiche Möglichkeit für die Ziehung jeder beliebigen Karte hat, ist festzustellen, wie groß die Wahrscheinlich- keit dafür ist 1) Herzen As, 2) einen Karo, 3) eine schwarze Farbe zu erhalten. 96. Wenn ausdrücklich gegeben ist, welche Fälle als gleich möglich angesehen werden können, dann macht die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, wie gesagt, keine prinzipiellen Schwierigkeiten, weil es hierbei lediglich darauf ankommt, festzustellen, wieviele gleichmögliche Fälle überhaupt vorliegen können, worauf diese Fälle hinauslaufen und wieviele, wie man so sagt, „günstig sind“, d. h. unter die Kategorie fallen, deren Wahrscheinlichkeit erfragt ward. Indes braucht man nicht zu sehr komplizierten Aufgaben zu greifen, bevor die Zahl sowohl gleich möglicher wie gleich günstiger Fälle sehr stark anschwillt, jedenfalls so stark, daß es allzu schwierig wird, aufzunotieren, worauf die einzelnen gleichmöglichen Fälle hinausgehen und somit die günstigen Fälle abzulesen. In solchen Fällen muß man zu anderen Hilfsmitteln greifen, besonders zur Kombinationslehre, welche überhaupt für die Wahrscheinlichkeits- rechnung eine große Rolle spielt. Einige wenige der wichtigsten Sätze dieser Lehre, welche für das Verständnis des Folgenden aus- reichen werden, sind daher im Anhang entwickelt, auf den hier verwiesen wird. Mit Hilfe dieser Sätze kann man zahlreiche andere Aufgaben lösen. Als typisches Beispiel einer solchen Aufgabe sei folgendes gegeben: Ein Beutel enthält W weißeund R rote, insgesamt K Kugeln; dem Beutel werden auf einmal eine Hand- vollk (k<K) Kugeln entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß w dieser Kugeln weiß und r=k—w rot sind? Die k Kugeln können unter den K Kugeln auf insgesamt (5) verschiedenen Weisen ausgewählt werden; sind die Kugeln vor der Ziehung sorgfältig gemischt worden, kann man damit rechnen, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, eine gegebene Auswahl aus K zu erhalten, für jede der (X) Kombinationen die gleiche ist; die Zahl 142 BE der gleichmöglichen Fälle ist also (5): da man w weiße Kugeln auf (7) und r rote auf (7) Weisen erhalten kann, und da sich jededer (W) Kombinationen mit jeder der (®) Kombinationen verbinden jäßt, so wird die Anzahl Fälle der (X) gleich möglichen, welche gerade w weiße und r rote Kugeln enthält, (7) x (3), so daß die ge- suchte Wahrscheinlichkeit (3) () (X) st. Es sei bemerkt, daß es natürlich ohne Unterschied ist, ob man, anstatt sämtliche k Kugeln auf einmal zu nehmen, diese gruppen- der einzelweise zieht, bis man sämtliche k Kugeln gezogen hat, wenn man hierbei nur nicht die entnommenen Kugeln vor der Fortsetzung der Ziehung in den Beutel zurücklegt. In diesem Punkte unterscheidet sich die gegenwärtige Aufgabe von derjenigen, welche wir bereits in den 88 79ff. behandelt haben und zu der wir weiter unten wieder zurückkehren; bei dieser Aufgabe war die Voraussetzung die, daß die Kugeln einzeln gezogen und in den Beutel zurückgelegt würden, bevor die nächste Ziehung stattfände. Ein Beispiel der Anwendung ist es, die Wahrscheinlichkeit dafür zu finden, daß ein Whistspieler beim Kartengeben x Asse (0<x=<A4) erhält. Der Beutel enthält hier 4 „weiße Kugeln“ (die 4 Asse) und 48 „rote Kugeln“ (die 48 übrigen Karten); die Wahr- scheinlichkeit dafür, daß eine Handvoll von 13 Karten x Asse enthält, wird dann (2) was z. B. mit x==1 gibt __41 X 481X 181X 391 _ 4-13-87-88-39 _ 04988 Di “117531 X121X361X521 49-50.51:52 Im ganzen erhält man für 0,3038 N 4388 „2135 10413 0,0026 Das Wahrscheinlichste ist also, daß man 1 As erhält, und nur 4—5 Proz. der Kartenempfänger werden mehr als 2 Asse be- kommen. Aufgabe 7. Finde die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einer Ziehung in der Zahlenlotterie (bei welcher auf einmal 5 Zahlen unter den Zahlen 1 bis 90 gezogen werden) zu ziehen 1) eine einzelne, näher bezeichnete Ziffer, 2) beziehungsweise 0, 1, 2, 3, 4 und 5 einstellige Zahlen. 97. Bei vielen Aufgaben in der Wahrscheinlichkeitsrechnung handelt es sich um zwei näher angegebene Begebenheiten A und B, deren Vorkommen oder Nichtvorkommen man besonders zu unter- suchen wünscht. Die Gesamtzahl möglicher Fälle muß dann in 4 Teile aufgelöst werden können, nämlich in die, in denen jeweilig beide Begebenheiten A und B, nur die eine (A) oder nur die andere (B) oder keine von beiden vorkommen. Beispielsweise konnten in Eng- land— Wales in einer gewissen Periode bei 837 von 1000 Ehe- schließungen beide Brautleute ihre Namen schreiben, während in 72 Fällen nur der Bräutigam, in 57 nur die Braut und in 34 keine der Parteien schreiben konnte. Bezeichnet man durch „A“, daß der Bräutigam, und mit „B“, daß die Braut des Schreibens kundig war, erhält man also in diesem Beispiel, daß sowohl A wie B in 837 Fällen eintraf A, aber nicht B, , %2 B, aber nicht A, „ 57 , v weder A noch B, 344 , » zus. 1000 Fälle Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Bräutigam schreiben konnte (resp. nicht schreiben konnte), ist hiernach 837 +72 _ 57 +34 _ 1000 = 0,909 (resp. 1006 = 0,091), und die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Braut schreiben (resp. nicht schreiben) konnte, wird 837457 _ 724+34 __ 1000 == 0,894 (resp. "1000 ==> 0,106). Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß allein der Bräutigam (resp. die Braut) schreiben konnte, wird natürlich kleiner, nämlich 0,072 144 resp. 0,057), weil die Fälle, in denen der andere Teil schreiben konnte, ausscheiden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß nur der oder die eine der Getrauten (aber gleichgültig welcher Teil) schreiben konnte, wird lagegen 72+57 _ 1000 = 0129, während die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zum mindesten einer der eine der Brautleute schreiben konnte, 837 +72 +57 _ 1000 = 0,966 wird. Und schließlich wird die Wahrscheinlichkeit dafür, daß beide Gatten (resp. keiner derselben) schreiben konnten, 0,837 (resp. 0,034). Aufgabe 8. Wenn zwei näher bezeichnete Karten eines Spieles von 52 Blättern mit A und B bezeichnet werden, ist die Wahrscheinlichkeit dafür zu finden, unter insgesamt 13 Karten zu erhalten: 1. die Karte A, 2. von den Karten A und B allein die Karte A (resp. B), 3. nur eine der Karten A und B, gleichgültig welche, 4, wenigstens eine der Karten A und B, 5. beide Karten A und B, 6. keine der Karten A und B. 98, Nehmen wir im allgemeinen an, daß sowohl A und B in a Fällen eintreffen, A, aber nicht B , b „ eintrifft, B, aber nicht A, c© » weder A noch B,„d ” zus. 8 Fälle and daß im folgenden bedeutet: p,: die Wahrscheinlichkeit dafür, daß A eintrifft, 92: die Wahrscheinlichkeit dafür, daß B eintrifft, pz: die Wahrscheinlichkeit dafür, daß wenigstens eine der Be- gebenheiten A und B eintrifft, pa: die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sowohl A wie B eintrifft. Wie im vorhergehenden Beispiel erhält man dann unmittelbar folgenden Ausdruck für diese vier Wahrscheinlichkeiten: Le Pı Ar? Pa — © D= Ark p= © Aus diesen Ausdrücken folgt, daß Pı + Dr = D3 + Da L45 oder daß Ps = D_ + PD — Da Wenn man also die Wahrscheinlichkeit (p,) dafür kennt, daß ein gewisses Ereignis (A), und die Wahrscheinlichkeit (p,) dafür, daß eine andere Begebenheit (B) eintrifft, und die Wahrscheinlich- keit (p.) dafür, daß beide Ereignisse auf einmal eintreffen, dann kann man ohne Feststellung der Anzahl „möglicher“ und „günstiger“ Fälle gleich die Wahrscheinlichkeit (ps) dafür, daß wenigstens eine der Begebenheiten A oder B eintreffen wird, als Differenz zwischen (pı + p2) und pa finden. Beispiel: Einem Spiel von 52 Karten entnehme man eine Karte; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß diese Karte ein As oder ein Karo wird? Die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung eines Asses ist !/,3 und eines Karo !/,; da die Wahrscheinlichkeit dafür, Karo-As zu erhalten, !/, ist, ergibt sich die gesuchte Wahrschein- lichkeit als 1 1 1 16 13 * 159 55 = 0,308. Obige Relation läßt sich auch auf die Fälle erweitern, in denen es sich nicht nur um zwei Ereignisse (A und B), sondern um eine beliebige Zahl von Ereignissen handelt: hat man es hierbei jedoch mit einer größeren Anzahl Begebenheiten zu tun, so wird die Formel im allgemeinen recht kompliziert, so daß ihre Anwendung nicht gerade praktisch ist. Dagegen ist sie unter einer gewissen Voraussetzung sehr einfach, selbst wenn es sich um mehr als zwei Ereignisse handelt; daher wird auch in der recht umfangreichen Gruppe von Fällen, wo die Erfüllung dieser Voraussetzung eintrifft oder mit gutem Grunde erwartet werden kann, die Formel am häufigsten angewandt. Worauf diese Voraussetzung hinausläuft, das sieht man am deutlichsten, wenn man sich beim obigen Schema und bei den Formeln denkt, daß a =0 ist, d.h. daß Fälle, in denen die Begebenheiten A und B auf einmal eintreffen, überhaupt nicht möglich sind; es handelt sich hier um Ereignisse, die sich gegenseitig ausschließen; anstatt nach der Wahrscheinlichkeit dafür zu fragen, daß wenigstens eine der Begebenheiten A und B eintrifft (ps), kann man sich dann darauf beschränken, nach der Wahrscheinlichkeit dafür zu fragen, daß entweder Ereignis A oder Ereignis B eintrifft, und Westergaard und Nyb@lle, Theorie der Statistik, 2. Aufl. 1} 146 da pw bei dieser Art von Ereignissen gleich Q wird, ergibt sich hier ganz einfach die gesuchte Wahrscheinlichkeit als Ps = Dı + Pe- Hat man es mit mehr als zwei Ereignissen zu tun, und ist auch hier die Voraussetzung, daß sich alle einander gegenseitig aus- schließen, erfüllt, so wird die Wahrscheinlichkeit dafür, daß entweder jas erste oder das zweite oder das dritte usw. Ereignis eintrifft, auch dann ganz einfach gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten ir das Eintreffen der einzelnen betrachteten Begebenheiten („Die Entweder—oder-Regel“). Wenn sich z. B. 60 Proz. der Selbstmörder erhängen und 30 Proz. artränken, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich ein Selbst- mörder entweder erhängt oder ertränkt hat, 90 Proz., da voraus- yesetzt wird, daß eine Kombination dieser Entleibungsarten nicht möglich ist. Geht ein Mann eine Unglücksversicherung gegen Todes- fall oder Invalidität ein, und ist die Wahrscheinlichkeit, tödlich zu verunglücken, p,, und die Wahrscheinlichkeit, durch Unglücksfall [nvalide zu werden, p,, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß lie Versicherungsgesellschaft die Versicherungssumme zu entrichten hat, pı-}P2, da man nicht auf einmal tödlich verunglücken und Invalide werden kann. Schließlich sei hier bemerkt, daß, wenn ein Versuch n verschie- Jene Ergebnisse zeitigen kann, welche sich gegenseitig ausschließen, die Summe der Wahrscheinlichkeiten für jede dieser Begebenheiten 1 sein wird. Ist speziell die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens eines Ereignisses p, dann wird die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens der übrigen möglichen Ereignisse 1— pp sein. 99, Führt man nun ferner ein ji. die Wahrscheinlichkeit p; dafür, daß A eintreffen wird, nach- lem das Ereignis B faktisch eingetroffen ist, und 2. die Wahrscheinlichkeit p; dafür, daß B eintreffen wird, nach- jem das Ereignis A faktisch eingetroffen ist, dann findet man, daß — 3 und A, Di De a + b’ jenn wenn B tatsächlich eingetroffen ist, fallen. in der Zahl gleich möglicher Fälle die b-+d aus, in welchen B nicht eintrifft; es oleiben nur a-+c gleich mögliche Fälle übrig, und in den a von diesen ist es der Fall, daß das Ereignis A ebenfalls eintrifft; bei einer entsprechenden Betrachtung findet man Pe. 147 Aus diesen Ausdrücken und aus den Ausdrücken für p,, p2 und Pa geht hervor, daß a P2* Ds = Pı "Pe = Pa Wenn man also die Wahrscheinlichkeit (p,) für das Eintreffen einer gewissen Begebenheit A kennt und die Wahrscheinlichkeit (pe) dafür, daß, wenn A faktisch eingetroffen ist, auch eine andere Be- gebenheit B eintreffen wird, dann kann man ohne Feststellung „MÖög- licher“ und „günstiger“ Fälle gleich die Wahrscheinlichkeit (pa) dafür, daß beide Ereignisse A und B eintreffen, als das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten p, und p; finden; genau so ergibt sich ps als das Produkt der Wahrscheinlichkeiten p, und p;. Beispiel: Aus einem 52 Blätter zählenden Spiele werden 2 Karten gezogen; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die erste Karte ein As und die zweite ein Karo wird? Die Wahrscheinlich- keit dafür, daß die erste Karte Karo-As ist, beträgt ze: wenn diese Begebenheit eintrifft, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die nächste Karte ein Karo wird, = die Wahrscheinlichkeit, erst Karo- As und darauf eine andere Karo- Karte zu erhalten, ist also BateT Dies Ereignis, deren Wahrscheinlichkeit erfragt wird, kann indes auch in anderer Weise eintreffen, nämlich dadurch, daß man erst eins der übrigen 3 Asse erhält. Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Zug eine von diesen zu ziehen, ist Cs geschieht dies, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die nächste Karte ein Karo wird, ST die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Versuch auf diese Weise NR . . 3 13 glücken wird, wird demnach 52° 51° Da man mit diesen beiden Methoden keinen Unterschied ge- macht hat und sie sich gegenseitig ausschließen, handelt es sich also darum, die Wahrscheinlichkeit dafür zu finden, daß der Versuch entweder auf die eine oder auf die andere Art und Weise glückt; die gesuchte Wahrscheinlichkeit wird dann die Summe der gefun- denen Wahrscheinlichkeiten, nämlich 112,3 .18_ 51 _1 52 51°52 51 52.51 5” —>—— 148 was sich auch bei einer Aufzeichnung sämtlicher möglicher und gün- stiger Fälle ergäbe. [n diesem Beispiel rührt die Schwierigkeit, welche damit ver- bunden sein kann, eine Wahrscheinlichkeit als das Produkt zweier anderer zu finden, von der Tatsache her, daß sich die Wahrschein- lichkeit dafür, eine Karo- Karte im zweiten Zug zu erhalten, ver- schieden stellt, je nachdem die zuerst gezogene Karte ein Karo-As oder eins der übrigen Asse ist, und es handelt sich hier um eine ganz allgemein vorkommende Schwierigkeit. Beispielsweise findet man nach der dänischen Heiratsstatistik der Jahre 1916—20 1, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Bräutigam, der nicht früher ver- heiratet gewesen ist, bei der Trauung 30 bis 35 Jahre alt ist, ca. 7,15 ausmacht; die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Alter der Braut zwischen 20 und 25 Jahren liegt, bestimmt man ganz analog auf ca. 0,51; hat man jedoch allein die Bräute, welche sich mit 30- bis 35jährigen Männern verheiraten, vor Augen, dann wird die Wahr- scheinlichkeit dafür, daß die Braut zwischen 20 und 25 Jahren ist, nur ca. 0,36, so daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Getrauten ein Mann zwischen 30 und 35 Jahren und eine Frau zwischen 20 und 25 Jahren sind, ca. 0,15-0,36 = ca. 0,054 ist; dasselbe Resultat wird arreicht, wenn man von einer Wahrscheinlichkeit von 0,51 dafür, daß die Braut im Alter zwischen 20 und 25 Jahren steht, ausgeht und diese Wahrscheinlichkeit mit der Wahrscheinlichkeit dafür, daß jer Bräutigam, wenn die Braut 20 bis 95 Jahre alt ist, selbst im Alter von 30 bis 35 Jahren steht, multipliziert; diese letzte Wahr- scheinlichkeit ist nur ca. 0,106, und es ergibt sich auch in dieser Weise die gesuchte Wahrscheinlichkeit als 0,51-0,106 == 0,054. Ebenso wie beim Additionstheorem findet sich indes eine um- fangreiche Gruppe von Fällen, in denen das Multiplikationstheorem 'eicht anzuwenden ist, nämlich die Fälle, in denen die Wahrschein- lichkeit für das Eintreffen ’des Ereignisses B entweder unverändert ist oder mit Billigkeit als unverändert erwartet werden kann, einerlei ob das Ereignis A im voraus eingetroffen ist oder nicht. In diesem Falle ergibt sich also De = De oder = A, hieraus folgt indes nach der Lehre von den Proportionen, daß auch 1) Vgl. Statistisk Tabelveerk, 5. Rk. Litra A, Nr. 15: Agteskaber, Fodte og Dode i 1916—20, Kobenhavn 1924, S. 19% L45 +7? = Dy) sodaß die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens der Begebenheit A dann auch unverändert dieselbe bleibt, einerlei, ob das Ereignis B im voraus eingetroffen ist oder nicht. Die betrachtete Eigenschaft ist, wie hieraus hervorgeht, reziprok; Ereignisse, deren Wahr- scheinlichkeiten diese Eigenschaft besitzen, heißen gegenseitig unabhängig (unkorreliert), und auf solche Ereignisse findet das Multiplikationstheorem! am leichtesten Anwendung; man erhält also folgenden Satz, der leicht auf eine willkürliche Anzahl Be- gebenheiten ausgedehnt werden kann: Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zwei voneinander unab- hängige Ereignisse auf einmal in einem Versuche eintreffen, d. h. die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sowohl das eine als auch das andere eintrifft, ist gleich dem Produkt aus den Wahrscheinlichkeiten dafür, daß jedes einzelne Ereignis, für sich betrachtet, eintreffen wird („Die Sowohl als auch-Regel“). Geht man beispielsweise bei einem Wurf mit zwei Würfeln davon aus, daß die Wahrscheinlichkeit, „eine Sechs“ zu erhalten, für beide Würfel '!/4 ist, ohne Rücksicht darauf, was der andere zeigt, dann wird die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sowohl der eine als auch der andere Würfel „eine Sechs“ ergibt, !+!/s = 146; die Ant- wort fällt natürlich ebenso aus, wenn man nur einen Würfel hat, mit dem zweimal geworfen und die Wahrscheinlichkeit erfragt wird dafür, sowohl im ersten als auch im zweiten Wurf „eine Sechs“ zu erhalten; Voraussetzung ist, daß man hier ebenfalls damit rechnen kann, daß die Wahrscheinlichkeit, daß der Würfel beim zweiten Wurf „eine Sechs“ ergibt, unverändert !/; ist wie beim ersten Wurf, einerlei ob beim ersten Wurf „Sechs“ oder „Nicht-Sechs“ geworfen wurde. md „73 Aufgabe 9. Finde die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einem Wurf mit einem Würfel zu erhalten 1. „Sechs‘“ beim ersten Wurf, 2, „Sechs“ beim dritten Wurf, 3. „Sechs“ zum erstenmal beim dritten Wurf, 4. „Sechs“ frühestens beim dritten Wurf. 100. Wann kann man indes damit rechnen, daß die Voraussetzung einer solchen Unabhängigkeit vorliegt? Welche Ereignisse können als gegenseitig unabhängig und welche nicht als solche angesprochen werden? Diese Frage hat einen ganz ähnlichen Charakter wie die 150 ben behandelte, wo nach Fällen, die als gleich möglich betrachtet werden können, gefragt wurde. In sehr vielen Fällen wird man die gegenseitige Unabhängigkeit der Ereignisse als dermaßen sicher an- sehen, daß sich eine nähere Untersuchung nicht zu verlohnen scheint; man wird daher apriorisch so verfahren, als ob die Ereignisse un- abhängig seien; in anderen Fällen kann sich die Sache ganz umge- kehrt verhalten, und in sämtlichen Fällen vermag in Wirklichkeit aur die Erfahrung die Frage zu beantworten. Es ist z. B. lediglich Erfahrungssache, daß die Wahrscheinlich- veit der Erkrankung an Masern eine ganz verschiedene ist, je nach- Jem es sich um Menschen handelt, welche diese Krankheit nie oder solche, die sie bereits früher gehabt haben. Im allgemeinen heißt es, Masern bekäme man nur einmal; der Sinn dieser Redensart kann nur der sein, daß, während die Wahrscheinlichkeit, die Masern zu bekommen, das erste Mal sehr groß ist (haben ja doch fast alle diese Krankheit gehabt), z. B. 0,9, sie z. B. nur 0,001 dafür beträgt, daß man im Laufe absehbarer Zeit zum zweitenmal diese Krankheit bekommt. In ganz entgegengesetzter Richtung geht es in anderen Fällen, z. B. wenn es sich um Krankheiten, welche zum Wieder- kommen ‘neigen, handelt. Aus dem oben ($ 97) betrachteten Beispiel über die Schreibfähigkeit der Getrauten ersah man, daß die Wahr- scheinlichkeit dafür, daß ein Bräutigam nicht schreiben konnte, 9,091 war, während sie für die Braut 0,106 betrug. Das Produkt dieser beiden Wahrscheinlichkeiten, 0,091-0,106 = 0,010, gibt indes nicht die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß sowohl Braut wie Bräu- tigam nicht zu schreiben vermögen, welche Währscheinlichkeit 0,034 betrug. In einem solchen Mangel an Übereinstimmung liegt eine Aufforderung zur Erforschung der wirkenden Ursachen; in diesem Beispiel ist die Erklärung sehr naheliegend: die Ungebildeten suchen sich natürlich gegenseitig. Analog geht es in allen Fällen; eine nähere Untersuchung nur kann bestätigen, ob die betrachteten Ereignisse als gegenseitig un- abhängig (unkorreliert) angesehen werden können oder nicht. Und eine solche Untersuchung wird nicht weiter geführt werden können als zu ainer Entscheidung darüber, ob die Begebenheiten mit ausreichen;- der Annäherung als gegenseitig unabhängig betrachtet werden können, entsprechend der rein empirischen Untersuchung darüber, ob man gewisse Fälle als gleich möglich ansehen darf. Dies gilt in Wirk- lichkeit allen Ereignissen, zu guter Letzt auch solchen, von denen man im voraus erwartet, daß sie unkorreliert sind, da sich kein Grund 151 für die Annahme findet, daß ein „Band“ sie verknüpfe. Beispiele hierfür geben die beim Glückspiel und bei ähnlichen Beobachtungen vorkommenden Ereignisse. Das Entgegengesetzte kann aber auch stattfinden, d. h. die mit vermeintlich gutem Recht vermutete Gegenwart eines „Bandes“ hat nicht nachgewiesen werden können. Man wird z. B. eine ganze Literatur über Vorschläge zu Methoden sammeln können, mit deren Hilfe man unfehlbar in Lotterien und ähnlichen Spielen gewinnen werde, „Systeme“, die darauf hinausgehen, bei „Rouge et Noir“ und ähnlichen Spielen die Bank zu sprengen oder jedenfalls eine sichere Einnahme zu erreichen. Die Begründung solcher Behauptungen nimmt mehr oder weniger deutlich ihren Ausgangspunkt in der Vor- stellung, daß die Regelmäßigkeit statistischer Beobachtungen nur dadurch zu erklären ist, daß in irgendeiner Weise gewisse Ab- hängigkeiten zwischen den betrachteten Ereignissen bestehen; solche Abhängigkeiten liegen, wie oben erwähnt, sicherlich in vielen Fällen vor; wie wir jedoch im folgenden sehen werden, steht oder fällt die statistische Regelmäßigkeit keineswegs mit der Voraussetzung hier- über, da beispielsweise die Regelmäßigkeit, der wir bei der Be- trachtung der oben behandelten Glückspielresultate Ausdruck ver- liehen, gerade unter der Voraussetzung, daß keine solche Abhängigkeit vorhanden ist, wiedergefunden werden kann. Die Auffassung, daß solche Abhängigkeiten existieren müßten, ist auch gelegentlich von vielen, u. a. wie oben erwähnt ($ 34) von d’Alembert gestützt worden. Dieser behauptete, daß, wenn eine Münze im Laufe zweier oder mehrerer Würfe Avers ergeben habe, die Wahrscheinlichkeit für Avers nächstes Mal kleiner als !/, sein müsse. Ob etwas solches nun tatsächlich stattfindet, müssen die Erfahrungen lehren; die Frage ist für Münzversuche im Vorhergehenden (vgl. die Er- wähnung des Buffonschen Versuches $ 89) vorläufig dahin ent- schieden worden, daß eine solche Verbindung nicht vorhanden zu sein scheint. Daß die statistische Regelmäßigkeit ohne eine An- nahme wie die d’Alembertsche bekannt und erklärt werden kann, hindert indes, wie wir gesehen haben, nicht, daß Abhängigkeiten zwischen Ereignissen, deren Vorkommen untersucht wird, bestehen können. Es ist daher von Bedeutung, hierauf zu achten, wenn man sich mit dem gleichzeitigen Vorkommen zweier oder mehrerer Be- gebenheiten beschäftigt. Hinsichtlich der Glückspiele sollen unten nur einige Beispiele für die Untersuchung der Haltbarkeit der d’Alembertschen Behauptung gegeben werden: aber darüber hinaus 152 wird man in der Statistik häufig auf dieses Problem stoßen, welches Jer eigentliche Gegenstand: der Korrelationslehre ist. Bevor wir zur wichtigsten Anwendung der im Vorhergehenden entwickelten Sätze über Addition und Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten ibergehen, sollen hier noch einige einfachere Beispiele für die An- wendung dieser Sätze angeführt werden. 101. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine gegebene Ziffer wenigstens einmal im Laufe zweieraufeinanderfolgender Ziehungen in der Zahlen- lotterie gezogen wird? Die Wahrscheinlichkeit dafür, in der einzelnen Ziehung eine yegebene Ziffer zu erhalten, ist !g (vgl. Aufgabe 7). Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit erfragt wird, kann nun auf drei ver- schiedene Weisen eintreffen, welche sich gegenseitig ausschließen, indem nämlich die Ziffer entweder nur in erster Ziehung oder nur in der zweiten oder in beiden herauskommt; die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen jedes dieser Ereignisse ist jeweils !/,s - 17/8 und 7/.g + 1/18 und !/3 + !ıs, und die gesuchte Wahrscheinlichkeit wird Jaher die Summe dieser 3 Größen sein, nämlich: 117,17 1 a! 1 17 {818 "1818 " 18 18 18 (1 +75) = 0108 Bei Aufgaben dieser Art, bei welchen alle möglichen Ergebnisse Jes Versuches mit Ausnahme des einen (in diesem Falle das Re- sultat, daß man die gewünschte Ziffer weder in erster noch in zweiter Ziehung erhält) günstig sind, ist es in der Regel leichter, zuerst die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen dieses einen Er- gebnisses zu suchen. Angenommen, diese Wahrscheinlichkeit sei P, dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 1—P. In der hier be- Yandelten Aufgabe ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die ge- wünschte Ziffer sowohl bei der ersten wie bei der zweiten Ziehung ausbleibt, (!7/,3)%, und für die gesuchte Wahrscheinlichkeit findet man daher auch bei dieser Betrachtung den Wert 17\? 17\? 17 17 1 17 1 (1 = (= (145) (1-)= +3) Ferner muß man sich vor der Annahme hüten, daß die Ziffer, wenn sie wenigstens einmal im Laufe zweier Ziehungen fallen muß, antweder in erster oder zweiter Ziehung gezogen werde, und daß die gesuchte Wahrscheinlichkeit daher als die Summe aus !/,3 +78 vefunden werden könne; denn die zwei Ereignisse, deren ent- 152 sprechende Wahrscheinlichkeit in dieser Summe enthalten ist, schließen sich nicht aus. Stellte man dagegen die Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die gegebene Ziffer einmal und nur einmal im Laufe zweier Ziehungen herauskommt? dann wird die Antwort lauten: N! 17 1818 "1818 162 — °105 Fragt man nach der Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Ereignis wenigstens 1mal im Laufe einer willkür- lichen Anzahl von n Versuchen eintrifft, wo die Wahrscheinlichkeit, daß das Ereignis in jedem ein- zelnen Versuch eintrifft, gleich p ist, dann wird die Wahrscheinlichkeit, daß die Begebenheit überhaupt nicht in einem der n Versuche eintrifft, (1—p)" und die Wahrscheinlichkeit, daß das Ereignis wenigstens lmal eintrifft, deshalb 1— (1—p)* Beispielsweise ist bei einem Wurf mit 6 Würfeln die Wahr- scheinlichkeit, daß wenigstens einer derselben eine „Sechs“ zeigt, /5 6 15625 31031 | = 1— 76656 46656 0005 Aufgabe 10. Wie groß ist bei einem Wurf mit 2 Würfeln die Wahr- scheinlichkeit dafür, daß beide Würfel eine „Sechs“ ergeben ? Finde die Wahrscheinlichkeit dafür, daß man bei 25 Würfen mit zwei solchen Würfeln wenigstens einmal 2 Sechsen auf einmal erhält. Aufgabe 11. 13 Personen, alle am selben Tage geboren, feiern ihren 50. Geburtstag durch eine Mittagsgesellschaft. Wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine 50jährige Person im Laufe eines Jahres stirbt, gleich 0,01 gesetzt wird, ist die Wahrscheinlichkeit zu finden, daß wenigstens einer der An- wesenden im Laufe eines Jahres stirbt. 6 102. Man spricht oft davon, daß man „erwartet“, daß !/; der be- nutzten Würfel z. B. Sechs ergeben. Mit diesem Ausdruck ist — wie es auch aus dem Vorhergehenden erhellt — nichts anderes gemeint, als daß die Zahl der „eine Sechs“ ausweisenden Würfel um Mn schwingen wird, wenn man den Versuch viele Male wiederholt; am aller- wenigsten besagt diese Redewendung, daß man in der überwiegenden Anzahl der Fälle erwarten werde, daß gerade !/; n Würfel „eine Sechs“ ergäben. Was hier über das Ergebnis „Sechs“ gesagt ist, das gilt natürlich auch bei jedem der übrigen 5 Resultate. Beispielsweise wird bei einem Wurf mit 6 Würfeln die Wahrscheinlichkeit dafür, daß jeder Würfel eine verschiedene Anzahl Augen ausweist, recht 154 klein sein. Sie ist leicht zu bestimmen; denn die Zahl der gleich- möglichen Fälle wird 6° = 46656, und da die 6 Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5 und 6 auf 1-2-3-4-5-6 Weisen permutiert werden können, ergibt sich die Anzahl günstiger Fälle als 720 und die Wahrscheinlichkeit also als 61 720 Y 6° = 16656 = 0,0154. Spielt man mit mehr als 6 Würfeln, dann müssen notwendiger- weise einige der Würfel die gleiche Anzahl Augen ergeben, und je zrößer die Anzahl, desto größer wird die Wahrscheinlichkeit da- für, daß im faktischen Resultat keines der 6 verschiedenen Ergeb- nisse, welche ein Würfel geben kann, mangelt. Während es bei ler gegenwärtigen Darstellung zu weit führen würde, teils näher diese — im übrigen einleuchtende — Behauptung, teils überhaupt einige ler mit dem hier Angedeuteten!) in Verbindung stehenden Pro- bleme zu verfolgen, soll doch bemerkt werden, daß die Untersuchung der Frage überaus leicht ist, wenn es nur zwei mögliche Resultate ‘alternative Versuche) und nicht, wie beim Würfelspiel, 6 ver- schiedene gibt. Wirft man z. B. mit n Münzen, dann wird die Wahr- scheinlichkeit dafür, daß sie alle Avers zeigen, (1,)* und daß sie Revers zeigen, ebenfalls (!/,)* sein; da diese beiden Fälle sich gegen- zeitig und auch jeden der übrigen möglichen Fälle ausschließen, welche alle günstig sind, so wird die Wahrscheinlichkeit, daß es beim Werfen mit n Münzen sowohl Avers wie Revers zeigende gibt, P = 1—(14)t— (1) = 1— (1), was für n “” bt n n = x re» USW. Damit ist darüber nichts entschieden, wievielmal die einzelnen Ereignisse A und B gerade in einer Versuchsreihe von n Versuchen vorkommen werden. Indes würde es hier von Interesse sein Zu untersuchen, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, eine Anzahl 1) Wenn man den Inhalt einer Schachtel mit m Würfeln ausschüttet, wird hier — ohne Beweis — angeführt, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich anter den m Würfeln wenigstens 1 Einer, 1 Zweier usw. und wenigstens 1 Sechser Defindet, _(6\(6\r (6\(5\7" (6 (4) 6 2) (8) (2)- (1) (4) Pa= (6) (e)-(3)(5) + (1) (6) -(3) (&)+(2) (6) kl (3) ist, was, wie oben gefunden, für m = 6 den Wert P, = 0,0154 ergibt, während P,, — 0.4378, P,. = 0,7847, Po, = 0,9254 und P,4 = 0,9748 ist. 155 A-Begebenheiten (r) und eine Anzahl B-Begebenheiten (n—r), welche in der Nähe „der erwarteten“ Anzahl (pn) liegen, zu erhalten, um die im vorigen Abschnitt beschriebene Anhäufung um den „Durch- schnitt“ beurteilen zu können, welche dortselbst auf rein empirischem Wege untersucht wurde. Es handelte sich bei allen Beispielen gerade um solche alternative Versuche, von denen hier die Rede ist, da fest- gestellt wurde, wie häufig z. B. rot und weiß in Versuchsreihen von 100, 200 oder mehr Beobachtungen vorkamen; während man hier- bei ganz von der Reihenfolge, in der sich rot und weiß im Laufe der Versuchsreihe einfanden, absah, richtete sich die Aufmerksamkeit namentlich auf das scheinbar vorliegende Gesetz, nach welchem kleine und große Abweichungen eintrafen. C. Das Binomial- und Exponentialgesetz. 103. Nach der obigen Darstellung nun gehen wir an folgende Aufgabe heran. Wenn n Versuche angestellt werden, von denen jeder nur eins der Ergebnisse A oder B haben kann (alternative Versuche), und die Wahrscheinlichkeit im einzelnen Versuch das Ergebnis A zu bekommen, immer gleich p, und die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis B also immer q = 1—p ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, daß man im Laufe der n Versuche insgesamt r Begebenheiten A und (n—r) Begebenheiten B erhält, vorausgesetzt, daß von der Zeitfolge der Ereignisse ganz abgesehen wird? Werden die r A und die (n—r) B in beliebiger Reihenfolge aufgeschrieben, ohne Rücksicht auf die sonstige tatsächliche Reihen- folge, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die r A und die (n—r) B gerade in der angegebenen Folge eintreffen, Pr 4° 7" Die Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen nun, in denen die cr A und die (n—r) B verzeichnet werden können, ist (2 ) vgl. den Anhang; und da diese (?) Reihenfolgen sich gegenseitig aus- schließen, wird die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die r A und die (n—r) B eintreffen, entweder in der ersten, in der zweiten, in der üritten usw.... in der (2)ten dieser Reihenfolgen 53€ S, = pragt— + prat—t +..... p“d”—" (insgesamt (7) Summanden), woraus folgt, daß N s, = | 5) . | Setzt man nach und nach in diesen Ausdruck r=0, r=1, r=—2,usw.....T=N ein, so findet man die Wäahrscheinlichkeit dafür, jaß das Ereignis A in einer Versuchsreihe von n Beobachtungen jeweilig 0, 1, 2, 3 .... n mal eintrifft. Es ist bemerkenswert, daß die (n + 1) Wahrscheinlichkeiten, welche man auf diese Weise fest- stellen kann, gerade die (n +1) Glieder werden, die man nach dem Newtonschen Binomialtheorem erhalten wird, wenn man die Potenz (p + q)® entwickelt; da p + q = 1, erhält man also SS +85 +S...... +S3a = 1. Dies stimmt mit der Gewißheit überein, daß das Ereignis A in einer Versuchsreihe von n Beobachtungen entweder 0 mal oder ein- oder zweimal usw. .... oder nmal eintrifft, so daß die Wahr- scheinlichkeit dafür, daß die Begebenheit A irgend eine Anzahl von Malen eintrifft, 1 sein muß. Da die einzelnen Glieder in der Entwicklung der Potenz (p-Fq)* somit die hier gesuchten Wahrscheinlichkeiten angeben, wird der Ausdruck für S. im allgemeinen das Binomialgesetz oder das bi- nomiale Verteilungsgesetz genannt. Zur Beleuchtung der Eigenart dieses Gesetzes wird es praktisch sein, einige Beispiele zu petrachten. 104. Als erstes solcher Beispiele mögen die in den 88 79 f£. be- trachteten Kugelversuche wieder vorgenommen werden. Mit Hilfe dieser hat man die Voraussetzung, unter der das Binomialgesetz abgeleitet worden ist (nämlich daß die Wahrscheinlichkeit dafür, Jaß die zwei möglichen Begebenheiten, hier weiß und rot, in dem sinzelnen Versuche eintreffen, unverändert durch alle Versuche die- selbe bleibt), zu verwirklichen gesucht, indem nach jeder einzelnen Ziehung die entnommene Kugel in den Beutel zurückgelegt wird, bevor aufs neue gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeiten, p und g, bei den einzelnen Ziehungen bzw. weiß und rot zu erhalten, sollten dann, gleichviele weiße und rote Kugeln im Beutel vorausgesetzt, die ganze Zeit unverändert !/, zu *, sein; genau dasselbe gilt mit Versuchen, bei denen wie z. B. beim Buffonschen Münzversuch ($ 89) mit einer kleineren oder größeren Anzahl Münzen geworfen wird. 157 In untenstehender Tabelle 15 sind die Wahrscheinlichkeiten dafür angeführt, bei 20maligem Ziehen aus einem Beutel mit gleich- vielen weißen und roten Kugeln jeweils 0, 1, 2, 3 .... 20 weiße Kugeln (Kolonne a) zu erhalten. Außerdem gibt Kol. b an, wie groß die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten werden, wenn man sich vorstellt, daß der Beutel nicht gleichviele weiße und rote Kugeln, sondern % weiße (p= ?%) und %, rote (q = %) enthält. Tabelle .. AM u 0108 “462 1479 103696 07393 0,12013 016018 bi U,00004 0,00049 100309 ‚01235 03499 107465 ).12441 0,16588 0,17970 0.15974 N /g) 0,17620 6018 2013 7393 Yo J '/ (b) 0,11714 0,07099 103550 11456 185 29 Om Im ersten Falle wird man 10 weiße Kugeln erwarten; die Wahrscheinlichkeit dafür, daß gerade dies eintrifft, wird, /20\ ‘1 ‘20 *1.12.13.14-15-16-17-18-19-20 — 0.1762 \10/ \ + „7 38+4-:5-:6-7-8-9-.10.220 7 ) während die Wahrscheinlichkeit dafür, z. B. 13 weiße Kugeln zu erhalten, 20\(1\2° 14-15-16-17-18-19-.20 . (15) (3) 7 1-:2.3.4-.5-6-7.28 — 0,0799 ist. Im zweiten Falle wird man erwarten, daß %, der 20 Kugeln, d.h. 8, weiß werden, und die Wahrscheinlichkeit dafür, gerade 8 zu bekommen, wird (2) (5° 78112 13-14-15-16-17-.18-19-20-28.3122 0.1797 8/\5 v5) 2 1-2-.3.4-5-6-7-.8-.5%0 77% ) während die Wahrscheinlichkeit dafür, z. B. 13 weiße Kugeln zu erhalten, hier 20\ (2‘18 /3\7 14-15-.16-17-18-19-20-213.37 , (3) (3) (3) 7 E70. 8.4-5.6.7.50 A146 wird, Während die Wahrscheinlichkeiten in Kolonne a eine um Sy symmetrisch liegende Reihe ergeben, liegen die Wahrscheinlichkeiten in Kolonne b nur annähernd symmetrisch um S;. In beiden Fällen sind die Wahrscheinlichkeiten, die erwartete Anzahl weißer Kugeln oder eine Zahl, welche nur unwesentlich von der erwarteten ab- 158 weicht, zu erhalten, verhältnismäßig groß. Als Ausdruck für die Anhäufung, welche wir hier wiederfinden, kann man in gewöhnlicher Weise aus Tabelle 15 die Wahrscheinlichkeiten dafür errechnen, daß das Resultat innerhalb der Spielräume 1, 3, 5 .... fallen wird, wie untenstehende Tabelle 16 zeigt: Tabelle 16. Spielräume J d 3 (a) 17,620 Proz. 19,656 73,682 838.468 95,860 08 818 8 {b) 17,970 Proz. 50,532 14,687 ‚,, 39,251 96,300 938,991 Man kann die Stärke der aus dieser ‚Tabelle hervorgehenden Anhäufung mit den Resultaten vergleichen, die oben auf empirischem Wege bei den Kugelversuchen gewonnen wurden; wenn man nämlich Jurch Interpolation in der Tabelle 16 die den Wahrscheinlichkeiten 25, 40, 50, 70, 85 und 95 Proz. entsprechenden Spielräume bestimmt, findet man für diese folgende Zahlen: 25 Proz. 10» © 2 »” 27 (a) i 46 240 3.03 469 6,53 8.77 (b) 1,43 235 2,97 4,61 6,41 863 Da nun die mittleren Fehler der Abweichungen bei diesen beiden Arten von Versuchen jeweils u = V20-3-3 = V5,0 = 2,236 und us = V20-2.} = )48 = 2,191 betragen, erhält man, wenn die angeführten Spielräume mit diesen mittleren Fehlern gemessen werden, folgende Zahlen (Kolonne a und b); die entsprechenden bei den Kugelversuchen gewonnenen Resul- tate sind zum Vergleich daneben gestellt (Kolonne c). bh 25 Proz. W 30 1 2 0,6 ie / c 06 u TH u DA 30 Pe ;y 4 Uo 4 A Die beiden Reihen (a und b) der theoretisch bestimmten Zahlen stimmen hiernach ganz gut mit den beobachteten (c) überein; die Wahrscheinlichkeiten dafür, daß die Zahl der weißen Kugeln innerhalb 159 gegebener Grenzen liegt, entsprechen also recht genau den durch Erfahrung gewonnenen Zahlen, und es kann hervorgehoben werden, daß diese Übereinstimmung Wirklichkeit ist, trotzdem die theoreti- sche Bestimmung auf der Voraussetzung fußt, daß keinerlei Ab- hängigkeit zwischen der Wahrscheinlichkeit dafür, in der einzelnen Ziehung (Wurf) weiß (Avers) zu erhalten und dem tatsächlichen Er- gebnis der unmittelbar voraufgehenden Ziehungen (Würfe), besteht. Bei der Ableitung ist man, wie oben hervorgehoben, gerade davon aus- gegangen, daß die Wahrscheinlichkeit, weiß (Avers) zu erhalten, im einzelnen Versuche immer dieselbe ist. Zur Erklärung der An- häufung um ein durch die näheren Umstände des Spiels (n und p) bestimmtes typisches Resultat ist es also keineswegs in diesem Falle notwendig, zu der früher erwähnten, u. a. von d’Alembert prakti- sierten Annahme zu greifen, daß die statistische Regelmäßigkeit nicht zustandekommen könne, ohne daß sich die Wahrscheinlichkeit für weiß (Avers) auf irgend eine Weise von Versuch zu Versuch ändere, so daß dadurch eine Ausgleichung geschehe. Aufgabe 12. Finde die Wahrscheinlichkeiten dafür, daß bei einem Wurf mit 12 Würfeln jeweils 0, 1, 2, 3 usw. 12 der Würfel eine Sechs ergeben. 105. Zur weiteren Beleuchtung der Frage hinsichlich Form und Verwendbarkeit des Binomialgesetzes sollen nur die im Vorher- gehenden ($S$ 79—85) behandelten Glückspiele (Kugelversuche, Zahlenlotterie und Klassenlotterie) betrachtet werden. Bei den Kugelversuchen war n= 100 p=q= %. Bei der Zahlenlotterie war n = 1440 p = Yıs und q = 17/4. Bei der Klassenlotterie war a = 100 p = 0,16 und q = 0,84. Es ist hiernach leicht, die rein formellen Ausdrücke für die Wahrscheinlichkeiten aufzuschreiben,um eine gegebene Zahl „günstiger“ und „ungünstiger“ Ereignisse in einer Gruppe mit n Beobachtungen zu erhalten; diese Wahrscheinlichkeiten sind jeweils: x ve“ ‚10 V\T 7 Us, ı 0,167 + 0,84100— Ey \18, z—— 160 Versucht man indes, aus diesen Größen ohne besondere Hilfs- mittel und für näher angegebene Werte von r die Größe der Wahr- scheinlichkeiten zu berechnen, dann wird man auf eine rein praktische Schwierigkeit stoßen: es ist nämlich die Größe der in die Ausdrücke zingehenden Binomialkoeffizienten für die recht großen Werte von n und r, von denen hier die Rede ist, zu berechnen. Will man so die Wahrscheinlichkeiten dafür, gerade die er- wartete Anzahl günstiger Begebenheiten, bzw. 50, 80 und 16 zu er- halten, berechnen, so erfordert dies die Berechnung der Größe des Binomialkoeffizienten (10°) (5°) (1) 50 und 80 und 16) was wenigstens für die beiden ersten Koeffizienten selbst mit An- wendung von Logarithmen sehr umständlich sein und daher viel Zeit erfordern würde, wenn man nicht Tabellen hätte, aus welchen hervorgeht, wie groß n! für einen gegebenen Wert von n ist. Da n! sehr schnell mit n wächst, so geben solche Tabellen 1) für größere Werte von n nicht den eigentlichen Wert von n!, sondern den Logarithmus n! an. Aus einer solchen Tabelle findet man z. B. iog. 1001 == 157,9700 und log. 501! = 64.4831, so daß man für die Wahrscheinlichkeit & (A) m era 50 7 \50/\2/ 501-501. 2100 so = 0,07958 erhält. Ist erst eine einzelne der in Betracht kommenden Wahrschein- lichkeiten gefunden, dann ist die Feststellung der übrigen ein Leichtes; bildet man nämlich das Verhältnis f, zwischen zwei auf- sinanderfolgenden Wahrscheinlichkeiten S,; und Sr +1, So ergibt sich aus den Ausdrücken für diese Wahrscheinlichkeiten, daß fi — BSı+1 _D—F.2 T Sr; r+1 q' Hat man festgestellt, daß S;o = 0.07958, dann folgt daraus für cr = 50, daß 100—50 4 Sa == 501 ° T . 0,07958 . 0,07958 = 0,07808. 1) Siehe C. F. Degen, Tabularum enneas (Havniae 1824) und K. Pearson, Tables for statisticians and biometricians, Cambridge 1914. 161 Auf diese Weise nun kann man sämtliche Wahrscheinlichkeiten Sr, Qr und P, berechnen; es erweist sich hierbei, daß diese Wahr- scheinlichkeiten für die Werte von r sehr klein werden, welche mehr als z. B. das Dreifache des mittleren Fehlers von „dem Er- warteten“ abweichen, also im Beispiel mit 1) den Kugelversuchen mehr als ungefähr 15 von 50, 2) der Zahlenlotterie # © » 27 „ 80, 3) der Klassenlotterie » » 11 „ 16, wie es auch aus der Tabelle 17 hervorgeht, in der ein Teil der den ver- schiedenen Abweichungen von der erwarteten Anzahl entsprechenden Wahrscheinlichkeiten angeführt sind. Abweichung 7 A] Tabelle 17. Jr 2,00054 0,0292 YI035 LOB ‘9, 35 586 2038 .03215 J' 7995 071835 0, 353 0.031 ‘82 418 0397 „0824 I187 105674 ‚01819 00354 1)0N09 W x Wie in dem oben betrachteten Beispiel, so wird auch hier die Wahrscheinlichkeit dafür, gerade die erwartete Anzahl (Abweichung 0) zu erhalten, größer als die Wahrscheinlichkeit für eins der übrigen möglichen Resultate. Die Zahlenwerte S; bilden eine symmetrische Reihe, weil die Wahrscheinlichkeiten dafür, in den einzelnen Ziehungen bei den Kugelversuchen weiß oder rot zu bekommen, gleich groß (!/„) sind, während die Zahlenwerte O0. und P. nur mit einer gewissen Annäherung symmetrisch sind. Deutlich erhellt aus der Tabelle ebenfalls die starke Anhäufung um die Abweichung 0 (das „erwartete“ Resultat). Aus den voll- ständigen Tabellen über die Werte von S,, Q: und P; kann durch einfache Addition zur Beleuchtung der Stärke dieser Anhäufung die folgende Tabelle 18 gebildet werden, welche die Wahrscheinlich- keiten (Proz.) dafür angibt, daß das Resultat innerhalb von Spiel- räumen der Größe 1, 3, 5, 7 usw. fällt. Diese Prozente sind in der Kolonne a aufgezeichnet, während die entsprechenden empirischen Westergaard und Nybille, Theorie der Statistik, 2. Aultl. 152 Tabelle 18. Spielräume | Kugelversuche | Zahlenlotterie | Klassenlotterie A“ SL 7 8) (a) A © © CC (b) 9} 2 19 (a) . nn Al , 3 1 3 94 96 (b) { 93 97 a) +A V „) 98 99 1 7 ) ) d 99 Prozente nach den Tabellen 2, 6 und 9 in Kolonne b verzeichnet sind. Die Übereinstimmung zwischen den theoretischen und 3 den empirischen Zahlen zeigt hier wie in den vorigen Beispielen, daß sich die Anhäufung um die erwartete Anzahl mit Leichtigkeit auch ganz ohne die Annahme erklären läßt, daß die Wahrscheinlichkeit Jafür, in der einzelnen Ziehung rot zu erhalten, größer sein müsse, wenn man eine oder mehrere Male vorher weiß erhalten hat, und umgekehrt. Ferner sei bemerkt, daß man, wenn man durch Interpolation in der Kolonne a die den Wahrscheinlichkeiten 25, 40, 50, 70, 85 und 95 Proz. entsprechenden Spielräume berechnet und diese Spielräume mit dem mittleren Fehler für die Abweichungen in jedem der drei verschiedenen Versuche (vgl. $ 87) mißt, folgende in Kolonne a der Tabelle 19 angeführten Spielräume findet; aus Kolonne b ersieht man die auf dem Wege der Erfahrung bereits in der Tabelle 12 (8 87) berechneten Spielräume. 25 Proz. *M 2 N 0 35 95 . Tabelle 19. Kugelversuche Zahlenlotterie b 64 u, 1 X u X 1 "m a 0,64 dp 1,05 44, 1,35 {4 > 7 Ho Ren 0,6 to 1,1 4, 1,5 Ko 2,0 Ha 2,9 wg 39 44, 3.92 Klassenlotterie X h 7,64 Ko 0,7 3 1,06 Me 1,1 U3 1,35 Kg 1,5 M3 2,09 Hg 2,3 Ha 89 Me 3,1 Me 3,93 Ma 4,2 Hz A — 163 Die Übereinstimmung zwischen den Zahlen der Kol. a (den theo- retischen) und denen der Kol. b (den erfahrungsmäßigen) ist natür- lich nur ein anderer Ausdruck für die bereits in Tabelle 18 fest- gestellte; man wird außerdem bemerken, daß die 3 Reihen theore- tischer Zahlen für die 3 verschiedenen Versuche fast gleich sind. Damit haben wir eine Bekräftigung der Vermutung, welche durch die teilweise Übereinstimmung zwischen den Zahlen der Tabelle 12 veranlaßt wurde und die darauf hinausging, daß die Häufigkeit, in der Abweichungen verschiedener Größe auftreten, einem gewissen Ge- setz zu folgen scheint. 106. Bevor wir darauf weiter eingehen, wird es jedoch not- wendig sein, die Allgemeingültigkeit der durch die hier betrachteten Beispiele gewonnenen Resultate zu untersuchen. Zu dem Zweck können wir das oben erwähnte Verhältnis f. zwischen zwei auf- einanderfolgenden Wahrscheinlichkeiten S, und S, +1 betrachten, für welches Verhältnis {.— S. +1 _. Nn- S; r +1 VD war. Wenn r= 0, erhält f, den Wert 9 =n- Er und wenn "= 1n—1, bekommt das Verhältnis den Wert f. _ı1 >. a da 8 einen von r's Größe unabhängigen (konstanten) Wert hat, wird also fo > in —1, und es geht aus dem Ausdruck für das Verhältnis f, hervor, daß dies ständig kleiner wird, da allmählich r von 0 bis n — 1 anwächst. daß also >fi>f>ft........0... >11 Ob sich in der Reihe der (n + 1) Wahrscheinlichkeiten S, zwei gleich große oder annähernd gleich große Wahrscheinlichkeiten finden, kann jetzt dadurch festgestellt werden, daß man untersucht, ob es unter den hier betrachteten n Verhältnissen solche gibt, die größer als 1 und solche, die kleiner als 1 sind. Dies kann nur der Fall sein, wenn 1 fa— n a< 1, ‚ ist nur erfüllt, wenn ] n a+1 SP> SFT) gleichzeitig wird dann auch die andere Bedingung erfüllt: 11* 164 I FI SI Se n +1’ In diesem Falle gibt es in der Reihe der Werte für f, eine Stelle, wo f. seine Stellung von > 1 zu < 1 wechselt; in speziellen Fällen cann eins der Verhältnisse f, gerade den Wert 1 annehmen; im allgemeinen aber erhält man also den größten Wert für S., wenn man gleichzeitig hat: S; Sr +1 > ES Se 1 und S. < 1, n—r+1 n—r also wenn PS > 1 und I ah welche Bedingungen sich leicht verändern lassen in np —q<,r<DD+ PD Der Unterschied zwischen diesen Grenzen ist gerade 1; wenn Jie Grenzen nicht ausnahmsweise zwei aufeinander folgende Zahlen werden (in welchem Falle eins der Verhältnisse f, gerade == 1 wird, sodaß es zwei aufeinanderfolgende Wahrscheinlichkeiten von S, gibt, die gleich groß und größer als die übrigen sind), muß die Bedingung zerade eine ganz bestimmte Zahl, r, ergeben und zwar von der Eigen- schaft, daß die entsprechende Wahrscheinlichkeit, S., größer als irgend eine der übrigen n Wahrscheinlichkeiten ist. Da sich die Größe np immer zwischen den Grenzen np—q und np +p be- wegt, zwischen denen r liegen soll, muß r, wenn np selbst eine yanze Zahl ist, gerade gleich np oder sonst eine der zwei ganzen Zahlen sein, zwischen welchen np liegt. Da np das, was wir oben mehrmals „die erwartete Anzahl Fälle“ genannt haben, angibt, ist Jas Resultat also folgendes: Das wahrscheinlichste aller denkbaren Ergebnisse ist dasjenige, in welchem die Begebenheit A die erwartete Anzahl Male eintrifft. Wie es u. a. aus den oben durchgerechneten Beispielen erhellt, be- sagt dies keineswegs, daß es „überwiegend wahrscheinlich“ ist, daß die Begebenheit A pn Male eintrifft; die maximale Wahrscheinlich- keit kann ganz im Gegenteil sehr klein werden, da sie kleiner and kleiner wird bei allmählich vergrößertem n. Wird 10000 mal aus einem Beutel mit gleichviel weißen und roten Kugeln gezogen, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, gerade 5000 jeder Art zu er- halten, natürlich kleiner als die Wahrscheinlichkeit, -wenn nur 10 Kugeln gezogen werden, gerade 5 jeder Art zu erhalten. 165 Da wir stets nur die Fälle betrachtet haben, in denen n a+1SPSE—1 ist, und da die mit wachsendem r ständig abnehmende Reihe von Verhältnissen fo, fj, f2...... fı-ı daher einmal den Wert 1 passiert, so finden wir indes nicht bloß, daß im allgemeinen nur eine (ausnahmsweise zwei) der n + 1 Wahrscheinlichkeiten &%, Sı, Say 0.0.0.0. Sr...,. Sa größer als alle übrigen ist, sondern auch, daß diese Reihe von Wahrscheinlichkeiten, während r von 0 bis n wächst, zu wachsen beginnen und ein Maximum erreichen muß, um danach abzunehmen. Anders verhält es sich dagegen in den extremen Fällen, wo 1 u n—+1 oder p > DD in denen p also (wenn n einigermaßen groß, z. B. 20, 50, 100 usw.) entweder sehr klein (nahe 0) oder sehr groß (nahe 1) ist. Dann wird die Reihe der (n + 1) Wahrscheinlichkeiten So, Sız Sa se0 Spesen entweder ständig abnehmend oder ständig anwachsend sein. Zu diesen Fällen werden wir später zurückkehren (vgl. $ 117); es sei jedoch bemerkt, daß man sich, wenn p einen im voraus gegebenen Wert hat, ohne Rücksicht darauf, wie klein oder wie groß dieser Wert auch ist, immer die Anzahl der Versuche (n) so groß vor- stellen kann, daß die Bedingung N a+1 °PS 5+1 dadurch erfüllt wird, sodaß die Reihe der (n + 1) Wahrschein- lichkeiten So, Si, Se Se Sy jedenfalls wenn n ausreichend groß ist, in kleinerem oder größerem Grade „normale“ Form annehmen, d. h. mit sehr kleinen Werten beginnen, auf ein Maximum anwachsen und danach wieder ab- nehmen muß, selbst wenn p und damit q nahe bei 0 oder nahe bei 1 liegt. Aufgabe 13. 50 Gewinne sind auf 100 Personen zu verteilen; ein Gewinn soll immer dem zufallen, dessen Name aus einem Beutel mit 100 Namenzetteln — einem für jede an der Ziehung teilnehmende Person — gezogen wird; ein gezogener Zettel ist stets vor Beginn der nächsten Ziehung in den Beutel zurück- zulegen. Wieviele Personen dürfen 0, 1, 2... usw. Gewinne erwarten ? -— 166 10%. Aus den hier angeführten Bemerkungen wie aus den im Vorhergehenden betrachteten Beispielen geht hervor, daß die Form Jes Binomialgesetzes zwar davon abhängig ist, welche Werte für die Größe n und p in den Ausdruck n S; == () p“ qq" 3ingesetzt werden, daß aber das Verteilungsgesetz namentlich für größere Werte von n gegen eine gewisse feste Form tendiert. Was hiermit gemeint ist, und welches diese Form ist, davon wird man einen recht deutlichen Eindruck gewinnen, wenn man sich in einem rechtwinkligen Koordinatensystem die Abweichung (r — np) als Abszisse mit dem mittleren Fehler Vnpq als Einheit und die entsprechenden Werte von Sr als Ordinate mit dem rezi- proken Werte = des mittleren Fehlers als Einheit abgesetzt denkt; man hat also zuerst die Größe x— PL — np Ynpa für alle Werte von r, von r=0 bis r=n, und danach für dieselben Werte von r —— /n > v = YVnpd (2) p‘ zu berechnen und die entsprechenden Werte von X und y als Abszisse und Ordinate abtragen. In den folgenden Figuren 2 und 3 ist dies für zwei der im Vorhergehenden betrachteten Beispiele Jurchgeführt worden, in denen n und p waren 1) n= 20, p- 5 =} vgl. Tabelle 15 9)ın=—20, + Lediglich die eingezeichneten, getrennt liegenden Ordinaten zommen hierbei in Betracht, während die in die Figuren eingezeich- neten punktierten Kurven weiter unten besprochen werden. . u (24 3\". (5\24— Aufgabe 14. Berechne die Wahrscheinlichkeiten (?) . (3) . (2) j and trage sie in ein Koordinatensystem ein, Aufgabe 15. Trage die in der Tabelle 17 angeführten Wahrscheinlich- keiten in ein Koordinatensystem ein und vergleiche die entstandene Figur mit den Figuren 2 und 3. 167 108, Daes nicht ohne Anwendung weitgehender mathematischer Hilfsmittel möglich sein wird, im allgemeinen näher zu beleuchten, in welchem Grade sich die hier beschriebene Tendenz des Bino- L' 1 „>; mialgesetzes, sich einer gewissen festen Form zu nähern, geltend macht, wollen wir uns hier mit der Bemerkung begnügen, daß man in verschiedener Weise dem Ausdruck für S, andere Formen geben kann, aus denen hervorgeht, daß die Punkte, welche man in der oben beschriebenen Weise zur Beleuchtung der Form der Verteilung 168 in ein Koordinatensystem eintragen kann, sich allmählich mit wachsen- dem n mehr und mehr dem nähern, auf eine Kurve zu fallen von der Gleichung — Px = — An © uVY 2x welche also die Grenzform angibt, der alle Binomialverteilungen zu- streben. {n diesem Ausdruck bedeutet w den mittleren Fehler Ynpq, z lie auch als Faktor für die Bestimmung der Länge der Kreisperi- pherie bekannte irrationale Zahl: ca. 31/, oder 3,1416. Die Bezeich- nung e wird als Ausdruck für die Grundzahl in den sogenannten „natürlichen Logarithmen“ benutzt, welche Grundzahl wie m eine irrationale Zahl und ungefähr 2,7183 ist. Schließlich bedeutet x, wie oben, die Größe der Abweichung im Verhältnis zum mittleren Fehler r —np X = —— Ynpa Aus dem Ausdruck für P, folgt, daß Po = u a = Yan nDE' zir andere Werte von x erhält man also x? P.— he 72 x? and da € 2 <1 sowohl für positive wie für negative Werte 7zon x muß sein, wenn x verschieden von O ist, und zwar um So kleiner, je zrößer x ist. Da ferner e —* ** denselben Wert für Werte von x annimmt, welche zahlenmäßig gleich groß sind, aber entgegen- yesetzte Vorzeichen haben, so muß P, in gleicher Weise abnehmen, wenn x von 0 aufwärts anwächst und wenn X von 0 aus abwärts sich verkleinert. Trägt man, wie oben, x als Abszisse und die den verschiedenen Werten von x entsprechenden Werte von P, als Ordinate ab, so erhält man also eine um die x = 0 entsprechende Ordinate sym- metrische Kurve. Die charakteristische Form dieser Kurven ist aus den punk- vierten Kurven der Figuren 2 und 3 ersichtlich. Man hat diese Kurven in ihrer Vollständigkeit als kontinuierte wiederzugeben ver- PP. < Po 166 sucht, ohne Rücksicht darauf, daß vorläufig hier nur die Punkte der Kurven, welche ganzen Werten von r entsprechen (die ganz aus- gezogenen Ordinaten), in Betracht kommen. Die Kurven werden im allgemeinen als Exponentialkurven bezeichnet, weil x als Exponent im Ausdruck für P, enthalten ist. 109. Das Binomialgesetz nähert sich in den meisten Fällen recht schnell der hier betrachteten Grenzform. Dies will mit an- deren Worten sagen, daß n im allgemeinen nicht zu besonders großen Werten anzuwachsen braucht, bevor man die Werte, welche die Exponentialformel gibt, als Annäherungswerte für die Werte, welche die Binomialformel geben würde, benutzen kann. An diese Eigenschaft des Binomialgesetzes knüpft sich ein bedeutendes In- teresse; denn des Binomialgesetz kann, wie oben hervorgehoben, bei praktischer Verwendung recht umständlich sein, sobald n größere Werte annimmt, und es ist auf jeden Fall viel bequemer, mit der Ex- ponentialformel zu rechnen. Da man bei praktischen Anwendungen nur ausnahmsweise die erfragten Wahrscheinlichkeiten mit mehr als zwei oder drei Dezimalen zu berechnen wünscht, wird es natürlich gleich- gültig sein, ob man die genaueren Werte nach dem Binomialgesetz oder die annähernden nach dem Exponentialgesetz benutzt, solange der Unterschied nur in den Dezimalen (4, 5, usw.), für die man sich Nicht interessiert, zum Ausdruck kommt. Während das Binomialgesetz symmetrisch ist. wenn pP = dq = ist es unsymmetrisch, wenn p verschieden von q ist; in Figur 2 und 3 kennzeichnet sich dieses Verhältnis durch die verschiedene Weise, in der sich die Exponentialkurve zwischen den abgesetzten Punkten bewegt, welche durch ihren Abstand von der Abszissenachse die Größe der Wahrscheinlichkeiten nach dem Binomialgesetz angeben. In Fig. 2 geschieht dies ganz symmetrisch; wenn die Exponen- tialkurve z. B. größeren Wert als das Binomialgesetz für die Ab- weichung + 2 ergibt, gibt sie auch größeren Wert für die Ab- weichung — 2; das Umgekehrte findet dagegen in Figur 3 statt. Wie aus den Figuren 2 und 3 hervorgeht, ist die Übereinstim- mung zwischen dem Binomial- und dem Exponentialgesetz in den zwei Beispielen, in denen n keinen größeren Wert als 20 hat, be- reits so gut, daß die Genauigkeit, mit der gezeichnet werden kann, nur gerade zur Kennzeichnung der Nichtübereinstimmung aus- reicht. Noch schwieriger würde es sein, mit Hilfe einer Figur die Übereinstimmung in Fällen zu untersuchen, wo n größer ist. 170 Die Unterschiede, welche beide Gesetze dann aufwiesen, würden sich kaum in einer Figur wiedergeben lassen. Zur Beleuchtung der Genauigkeit, mit der das Exponentialgesetz das Binomialgesetz wieder- geben kann, sollen daher hier einige zahlenmäßige Beispiele ange- führt werden. 110. In der folgenden Tabelle 20 ist die Wahrscheinlichkeit für einige verschiedene Abweichungen in dem Falle, wo das Bino- mialgesetz symmetrisch ist (p= q = !/), teils für n =— 36, teils für a = 100, berechnet. Wenn n = 36, wird die Wahrscheinlichkeit dafür, gerade 18 von jedem der zwei möglichen Ausfälle des alternativen Versuchs zu erhalten, sowohl nach dem Binomial- wie nach dem Exponential- gesetz gleich 0,132. Für eine Abweichung von dem Erwarteten, z. B. von der Größe 3, gibt das Exponentialgesetz danach 0,080, während man nach dem Binomialgesetz 0,081 erhält usw.. Tabelle 20. Ab- wei- ] ;hung Wahrscheinlichkeit nach dem n — 36 Binomial- | Exponential- gesetz 1 gesetz x» 25 081 ‚018 0.0014 900008 zz J n 1: A Ab- wei- chung ' n = 100 Wahrscheinlichkeit nach dem Binomial- | gesetz Exponential- gesetz ‚796 Ja 280 3.485 0,0108 9,0009 0000023 0,0797 0,0781 0,0484 0,0109 0,0009 0.000027 Wenn n = 100 (Kugelversuche), wird die Wahrscheinlichkeit, die erwartete Anzahl (50) zu erhalten, wie oben berechnet (Tabelle 18), 0,0796, während sie nach dem Exponentialgesetz 0,0797 ergibt. Die Wahrscheinlichkeit für 40 weiße Kugeln (eine Abweichung von 10) beträgt nach dem Exponentialgesetz 0,0109, während das Bi- aomialgesetz 0,0108 ergibt, und so fort. Aus einem Vergleich der Zahlen der Tabelle 20 erhellt, daß die vorgefundenen Unterschiede ohne praktische Bedeutung sind, und so- bald n den Wert 100 übersteigt, wird der Unterschied noch kleiner. 111. Die Tabelle 21 gibt zur Vergleichung eine ähnliche Be- rechnung für Fälle, in denen das Binomialgesetz unsymmetrisch ist; hier ist p = !o und q = Yo. ._„ | Für solch einen verhältnismäßig kleinen Wert von p kann man nicht erwarten, daß die zwei Berechnungsmethoden eine besonders gute Übereinstimmung ergeben, es sei denn, daß n größere Werte an- nimmt; in den zwei Beispielen der Tabelle 21 ist daher mit n = 100 und n = 1000 gerechnet. Im Gegensatz zur Tabelle 20 sind die Wahrscheinlichkeiten für positive und negative Abweichungen ge- trennt angeführt; da das Exponentialgesetz in allen Fällen symmetrisch ist, bilden die nach dieser Formel berechneten Wahrscheinlichkeiten allerdings eine symmetrische Reihe; da aber das Binomialgesetz un- symmetrisch ist, erhält man hier keine symmetrische Reihe für die nach dieser Formel berechneten Wahrscheinlichkeiten. Tabelle 21, Ab- wel- chung —0 Wahrscheinlichkeit nach dem Binomial- gesetz Exponential- gesetz 52 52 20 74 „x „7026 ).0002 B 3089 018 0,901. O0.UUCu: Ah.” wei- chung Wahrscheinlichkeit nach dem 3inomial yesetz WFxponential- ryesetz 16cm) 8 16 AA H182 04.205 1182 A1 0% 160 U AARAL .9i Wie man bereits im voraus wissen konnte, kann das symmetrische Exponentialgesetz natürlich nicht dieselben Werte wie das unsym- metrische Binomialgesetz ergeben; die Abweichungen sind jedoch nicht so groß, daß die symmetrische Form praktisch unbrauchbar wird; namentlich geht hervor, daß die Summe der Wahrscheinlich- keiten für zwei numerisch gleich große Abweichungen ungefähr dieselbe ist, ob man die Asymmetrie berücksichtigt oder nicht. Dieses Verhältnis hat namentlich unter Berücksichtigung des Um- standes Interesse, daß man, gerade wenn n eine große oder eine sehr große Zahl ist, im allgemeinen nie nach der Wahrscheinlichkeit dafür fragen wird, eine einzelne näher bezeichnete Zahl von Begebenheiten zu erhalten, sondern bloß nach der Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Abweichung nicht über eine gegebene Größe hinausreicht; da diese Wahrscheinlichkeit, welche im Vorhergehenden als Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Resultat innerhalb eines gegebenen Spielraumes fällt, bezeichnet wurde, die Summe einer Reihe von Wahrscheinlichkeiten — 172 oder (vgl. Fig. 2 und 3) die Summe einer Reihe symmetrisch gelegener Ordinaten ist, so wird der Fehler, welcher durch Benutzung der sym- metrischen an Stelle der unsymmetrischen Verteilung begangen wird, außerdem noch ganz erheblich reduziert. Da man durch Anwendung des Exponentialgesetzes zugleich erreichen kann, daß sich solche Summen aus einer Reihe von Wahrscheinlichkeiten leicht in der unten angegebenen Weise feststellen lassen, ohne daß man die einzelnen Addenden zu berechnen braucht, tritt der Vorteil des Exponential- zesetzes noch deutlicher in die Erscheinung. 112. Die Möglichkeit, die Summe aus einer Reihe äquidistanter Ordinaten in der Exponentialkurve, ohne Berechnung der einzelnen Ordinaten, finden zu können, beruht darauf, daß diese Kurve als kontinuierte Kurve berechnet und gezeichnet werden kann. Während jie Stücke der Kurve, welche in den Intervallen zwischen den ganzen Werten von r entsprechenden Ordinaten liegen, keine direkte Be- deutung haben als Annäherungswerte zum Binomialgesetz, so kann man doch unter Benutzung dieser Stücke auf folgende Weise eine ganz erhebliche Erleichterung der Berechnungen erzielen: In untenstehender Figur 4 gibt A B die der Abweichung 2 ent- sprechende Ordinate (Wahrscheinlichkeit) in der Exponentialkurve an. Deren Größe könnte mit Hilfe der Formel 2 —_ 1_e —3 (2) P, uV2z U zefunden werden. Trägt man indes vom Fußpunkt A nach beiden Seiten die Stücke AM =AN == !% ab und errichtet man die Ordinaten MC und ND in den dadurch bestimmten Punkten M und N, so werden diese beiden Ordinaten in Verbindung mit der Abszissenachse und der Kurve ine Fläche begrenzen, welche annähernd gleich der Fläche des Recht- ecks ist, das als Grundlinie MN =1 und als Höhe AB hat; da die Grundlinie 1 ist, wird die Fläche gleich der Höhe sein, und man kann also mit Annäherung die Ordinate A B durch die Fläche MCDN arsetzen; wird nun z. B. die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Resultat innerhalb des Spielraums 5 fällt, also die Summe der Wahr- scheinlichkeiten P_ +P_-, + +P; + P7 gesucht, dann kann man sich die hierzu passenden 5 Ordinaten einzeln nach der Reihe gegen einen Flächenstreifen umgetauscht vorstellen. Da die 5 Streifen, zusammengelegt, die ganze zwischen der Kurve 173 und der Abszissenachse und den zwei Ordinaten EF und ND ge- legene Fläche ausfüllen, gibt diese durch ihre Größe die gesuchte Summe der 5 Ordinaten an. Diese Fläche ist indes allein durch die Form der Kurve und die Breite der Fläche bestimmt, obwohl sie sich nicht durch elementare Hilfsmittel berechnen läßt. Da die Form der Kurve bekannt ist, kann man indes ein- für allemal eine Tabelle berechnen, welche die Größe der Flächen angibt, die abgegrenzt E E 5 Fig. A A 19 +3 +4 +0 +, werden, wenn man die Stücke ON = OE nach beiden Seiten vom Anfangspunkte O aus absetzt und in den hierdurch bestimmten Punkten Ordinaten errichtet. Werden diese Stücke nicht durch ihre absolute Größe a = Maximalabweichung (im gewählten Beispiel 2!/%), sondern dagegen durch ihre Größe im Verhältnis zum mittleren Fehler (uw) und wird diese relative Größe wie oben mit vr 7 bezeichnet, dann werden die in untenstehender Tabelle 22 einer Reihe verschiedener Werte von x entsprechenden Flächengrößen, verwandt werden können, welchen mittleren Fehler man auch immer haben möge, und sie werden bei den meisten Verwendungen ausreichen!). Für Werte von x, welche nicht in der Tabelle angeführt sind, lassen sich die entsprechenden Flächen leicht durch Interpolation finden. ‘) Eine sehr ausführliche Tabelle über die Ordinaten der Exponentialkurve wie über deren Flächen findet man in N. R. J orgensen, Undersogelser over Fre- quensflader og Korrelation. Kobenhavn 1916, Tabel V. 8. 177 € 174 + 2,00 ‚01 7,05 0,10 20 7,30 40 9,50 0,60 3,70 0,80 7,90 1,00 210 20 30 ı 40 Tabelle 22, Die Flächen des Exponentialgesetzes J,UUVUU ),008 ),040 080 „159 236 311 ),383 A451 516 7576 332 ).683 1729 9,770 0,806 0,838 .JU 50 ‚70 80 90 “0 0 220 2,30 2,40 2,50 2,60 2,80 3.00 5,50 +00 2.866 0,890 911 ),928 0,943 0,954 ),964 0,972 2,979 984 0,988 0.991 0,995 0,9973 0,9995 0.99994 pP 113. Um die Übereinstimmung zwischen den Resultaten, welche die Benutzung der Tabelle 22 ergibt, und den Resultaten, welche die Jirekte Anwendung der Binomialformel ergeben würde, zu unter- suchen, können wir zu den in den Tabellen 20 und 21 betrachteten Beispielen zurückkehren. Wenn wir dann nach Wahrscheinlich- zeiten fragen, welche sich als Summen solcher Wahrscheinlichkeiten für näher angegebene Einzel-Abweichungen finden lassen, wovon diese Tabellen eine Auswahl jgeben, wird gleichzeitig hervorgehen, zuf welche Weise diese Summen mit Hilfe der Tabelle 22 festgestellt werden können. Fragt man beispielsweise in dem in der Tabelle 20 berührten Fall, wo n = 36, p = 4 = Te) nach der Wahrscheinlichkeit da- für, daß die Abweichung höchstens 1 ist, d. h. nach der Wahrscheinlich- keit dafür, daß das Resultat innerhalb des Spielraums 3 fällt, oder nach der Wahrscheinlichkeit dafür, als Ergebnis entweder 17, 18 oder 19 zu bekommen, dann ist diese Wahrscheinlichkeit nach dem Binomialgesetz 17 - Sıs + Sı= 0,125 + 0,132 + ©, 125 = 0, 382. Werden die diesen 3 Wahrscheinlichkeiten entsprechenden 3 Ordi- aaten in der Exponentialkurve gegen die 3 entsprechenden Flächen- streifen umgetauscht, dann werden diese innerhalb einer Maximal- abweichung nach jeder Seite von a = %, = 1,5 liegen. Da der mitilere Fehler 3 ist, wird x = - = 1 —0,5; und aus der 175 Tabelle 22 geht hervor, daß die dem entsprechende Fläche (Wahr- scheinlichkeit) P= 0,383, also sehr annähernd die gleiche ist. Ana- log stellt man die übrigen in der Tabelle 23 angeführten Werte fest. Tabelle 23. Spiel- räume }: . anrscheinlichkeit nach dem 3inomial gesetz Exponential- gesetz 11 U.za9 1.756 u. 69 0.998 Spiel- £ume 2 Wahrscheinlichkeit nach dem "“nomia: gesetz Exponential- gesetz Mac® I,729 0.963 0,998 080 2,236 0,729 0,964 0.998 Beispielsweise wird die Wahrscheinlichkeit dafür, gerade die erwartete Anzahl zu bekommen, gleich der Wahrscheinlichkeit sein, daß sie innerhalb des Spielraums 1 fällt. Diesem Spielraum ent- spricht a = te welches, mit dem mittleren Fehler gemessen, x = g gibt; durch Interpolation in der Tabelle 22 ergibt diese Größe wieder P = 0,133. In dem anderen Beispiel, wo n = 100, wird u = 5, und hier entspricht dem Spielraum 1 ein Wert von x = 0,1, welcher sofort P = 0,080 ergibt. Im großen und ganzen wird man die Über- einstimmung als befriedigend bezeichnen können. Fragt man bei den in der Tabelle 21 erwähnten Nichtsymmetrischen Fällen, wo p= 1,4 q= %,0 und n bzw. 100 und 1000 ist, nach der Wahrscheinlichkeit dafür, gerade die erwartete Anzahl 10 und 100 zu bekommen, dann muß der Abstand a = Lhier mit den mittleren Fehlern F100 + 1,0 + %0 =38 und V1000 - Yo: Yıo = 310 = ca. 9,5 gemessen werden. Man erhält dadurch folgende Werte von X, 1 0,5 1 — Y — - und X zz A == = 0,053, 6 3VY10 60 V10 deren entsprechende Werte für P aus der Tabelle 22 abgelesen werden können. Der erste dieser Werte gibt, wie bereits im vorigen Bei- Spiel festgestellt, P = 0,133, während der zweite durch Interpolation 176 P = 0,042 ergibt. Die teils nach dem Binomialgesetz, teils nach der Tabelle 22 berechneten Wahrscheinlichkeiten dafür, daß das Resultat innerhalb einer Reihe von Spielräumen verschiedener Größe fällt, gehen im übrigen aus der folgenden Tabelle 24 hervor. Tabelle 24. Spiel- aume | 9 9 un =— 100 . Wahrscheinlichkeit nach dem Binomial- |! Exponential- gesetz gesetz » 9.133 0,583 0,756 0,866 0,998 150 ‚870 0.998 Spiel- räume | n = 1000 ' Wahrscheinlichkeit nach dem Binomial- | Exponential- gesetz gesetz 42 26 32 ‚395 0.969 0,042 0.126 0,732 0,897 0.969 Man sieht also, daß so ungefähr dasselbe Resultat herauskommt, einerlei, ob das Binomial- oder das Exponentialgesetz benutzt wird; welch bedeutende Ersparnis an rechnerischer Arbeit die Anwendung des letzteren bedeutet, geht klar hervor, wenn man z. B. die in der Tabelle 24 angegebenen Wahrscheinlichkeiten dafür, daß die Ab- weichung innerhalb eines größeren Spielraums, z. B. im Beispiel n = 1000 innerhalb des Spielraums 21, fallen, nachrechnet. Während die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit nach dem Exponential- gesetz nur die einfache Bestimmung von X = rn = 0,35 V10 — 1,107 und eine darauffolgende Interpolation für diesen Wert von x in der Tabelle 22 erfordert, verlangt eine direkte Berechnung nach dem Binomialgesetz, daß man zuerst die schwierige Berechnung der ainzelnen 21 Wahrscheinlichkeiten Sao, Say; Soz +... Sioo +++ Sıo9) 3110, welche als Addenten in die gesuchte Wahrscheinlichkeit ein- gehen, ausführt. 114. Es ist von Wichtigkeit zu bemerken, daß man nach der Tabelle 22 nicht bloß die einem gegebenen Werte x entsprechende Wahrscheinlichkeit P feststellen, sondern auch den umgekehrten Weg gehen kann; dies praktisch auszunutzen, dazu wird im folgenden oft Gelegenheit sein. Bei der Behandlung der Glückspielerfahrungen wurden z. B. mehrere Male die Spielräume gesucht, innerhalb deren 25, 40, 50, 70, 85 und 95%, der Gruppen fielen, d. h. die Spielräume, welche mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,250, 0,400 ..... 0,950 getroffen wurden. Die Größe dieser Spielräume im Verhältnis zu 177 dem mittleren Fehler des betreffenden Versuchs läßt sich leicht durch einfache Interpolation an der Hand der Tabelle 22 feststellen, und das Ergebnis ist folgendes: Spielräume = 2xu ” a7 9 An 8 964 2.638 u L,U50 u 350 4 ZU RB u 3.928 u Die Übereinstimmung zwischen diesen Zahlen und den in den Tabellen 12, 13 und 19 mitgeteilten ist unverkennbar, und die im S 88 gestellte Frage kann somit jetzt mit einem Hinweis auf Tabelle 22 beantwortet werden. 115. Zur weiteren Übung in der Benutzung der Tabelle 22 sei ein anderes Beispiel angeführt, woraus zugleich hervorgehen wird, daß sich nicht nur solche Flächen (Wahrscheinlichkeiten), welche durch symmetrisch gelegene Ordinaten abgegrenzt werden, aus Tabelle 22 finden lassen, sondern daß man mit Hilfe dieser Tabelle in der Lage ist, die Größe der durch jede beliebige Ordinate abgegrenzten Flächen und somit die solchen Flächen entsprechenden Wahrscheinlich- keiten zu finden. Denken wir uns, die Glückspielerfahrungen könnten auf Sterb- lichkeitsbeobachtungen angewandt werden; zwar ist das eine An- nahme, deren Berechtigung erst in einem folgenden Kapitel unter- sucht werden wird. Die Sterblichkeit für Neugeborene sei im ersten Lebensjahre !/,,, d. h. die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Kind vor Vollendung des ersten Lebensjahres stirbt, sei !/,9 — von 10000 Neugeborenen sterben nämlich durchschnittlich im ersten Lebens- jahre 1000, während 9000 den ersten Geburtstag erleben. Fragt man nun nach der Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Anzahl Kinder, welche unter 10000 Neugeborenen ihren ersten Geburtstag erleben, wenigstens 8900 und höchstens 9100 wird, so handelt es sich darum, die Summe von 201 Ordinaten (Wahrscheinlichkeiten) in der Ex- ponentialkurve zu finden, Tauscht man diese 201 Ordinaten gegen ihre entsprechenden Flächenstreifen um, dann wird man eine gesammelte Fläche erhalten, welche zwischen zwei Ordinaten liegt, deren Ab- stand a von der mittleren Ordinate 100 !/, ist; wird dieser Abstand mit dem mittleren Fehler, der hier / 10000 + Yo = 30 beträgt, gemessen, so erhält man x = a Westergaard und Nybe le, Theorie der Statistik, 2. Aufl. 178 — 3,35, welchem Resultat P = 0,9986 entspricht. Sollten sich also in einer besonderen Gruppe von Kindern mehr als 9100 Überlebende ergeben, würde es recht wahrscheinlich sein, daß eine nicht zufällige Ursache so ihr Spiel getrieben hätte. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß gerade 9000 Kinder am Leben sind, ließe sich mit Hilfe der Formel (vgl. $ 108): Po — Anz An 0,013 bestimmen. uV2x 30V 2x Es ist indes leichter, diese Wahrscheinlichkeit als die Fläche zwischen zwei im Abstande } von der mittleren Ordinate gelegenen Ordinaten zu bestimmen; man erhält dann für x = A 03 = L u 30 60 — 0,017 und hieraus wieder, durch Interpolation in der Tabelle 22, Po = 0,013. Wie groß ist ferner die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die An- zahl der Sterbefälle größer als 1000, aber nicht größer als 1030 ist? Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich als die Summe aus P 1001 + P 1002 + ....... P 1030. Die diesen 30 Wahrscheinlichkeiten entsprechenden Flächen- streifen werden ganz die Fläche ausfüllen, welche zwischen den auf derselben Seite der mittleren Ordinate im Abstande von a = 5 und a = 301 von dieser entfernt gelegenen Ordi- naten liegt. a = > macht x = 0,017 und P, = 0,013, a = 301, jagegen x = 1,017 und PP, = 0,691, und die gesuchte Fläche ist demnach die Hälfte des Unterschieds P, — P,, d. h. 0,339. Wo es sich um die Summe sovieler Wahrscheinlichkeiten wie hier han- delt, begeht man nur einen geringen Fehler, wenn man den Flächen- streifen zwischen a = 30 und a = 30,5 gegen den zwischen a==0 und a = 0,5 gelegenen Streifen umtauscht, also wenn man rechnet, als ob die gesuchte Wahrscheinlichkeit die Hälfte der a = 30 ent- sprechenden Fläche sei, wobei sich leicht und deutlich als Resultat 0,341 herausschält. Fragt man nach der Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Zahl der Sterbefälle gerade 1030 wird, so könnte die entsprechende Ordinate wieder berechnet werden mit Hilfe der Formel: — 1 Don = ar 07 0,008. 179 Es ist jedoch viel leichter, zuerst aus der Tabelle 22 teils die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Anzahl innerhalb des Maximal- abstandes a = 29,5 fällt, welches x = 0,983 und P, = 0,674 er- gibt, teils die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Zahl innerhalb des Maximalabstandes a = 30,5 fällt, was wie oben erwähnt x — 1,017 und P, = 0,691 gibt, zu bestimmen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann die Hälfte des Unterschieds P, — P,, d. h. 0,008. 116. Es ist klar, daß man, wenn sich die hier gewonnenen Resultate (speziell Tabelle 22) auf ein statistisches Material anwenden lassen, ein sehr einfaches Mittel zur Hand hat zu entscheiden, ob festgestellte Unterschiede etwa besonderen — nicht zufälligen — Ursachen zuzuschreiben sind oder nicht. Da sich die Abweichungen, welche — im gegenwärtigen Sinne — zufälligen Ursachen zugeschrieben werden können, äußerst selten auf mehr als das Drei- oder das Vier- fache des mittleren Fehlers belaufen werden, ist es höchst wahr- scheinlich, daß Abweichungen, wenn sie diese Größe erreichen — oder darüber hinausreichen —, dem Umstande zu verdanken sind, daß sich die wirkenden Ursachen verändert haben und daß man bei Wieder- holung der Versuche aufs neue eine „große“ Abweichung in gleicher Richtung feststellen wird. Und jeder Schluß, welcher auf Ab- weichungen fußt, die kleiner sind als das Drei- oder Vierfache des mittleren Fehlers, muß im allgemeinen als unzulänglich begründet abgewiesen werden können. Natürlich muß zuerst eine eingehendere Untersuchung zeigen, ob das Exponentialgesetz mit den Erfahrungen aus der Sozial- und Wirtschaftsstatistik übereinstimmt. Für solche Untersuchungen ist es von Bedeutung, über noch mehr Sätze der Wahrscheinlichkeitslehre verfügen zu können; solche Sätze werden daher im folgenden behandelt werden. Aufgabe 16. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einem Wurf mit 64 Münzen die Anzahl Münzen, welche Avers zeigen, höchstens 10 von dem erwarteten Ergebnis abweicht? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß mehr als erwartet Avers ergeben? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit da- für, daß wenigstens 40 Avers zeigen ? Aufgabe 17. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einem Wurf mit 180 Würfeln wenigstens 40 dieser eine Sechs ergeben ? Aufgabe 18. Verteile 1000 Abweichungen nach einem Exponentialgesetz mit einem mittleren Fehler von erstens 2, zweitens 5, Aufgabe 19. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einem Wurf mit 3 Würfeln wenigstens einer eine Sechs ergibt? Wenn dies eintrifft, ge winnt A, sonst B. A und B setzen jedesmal 10 Pfennig, und der Gewinner er- hält den ganzen Einsatz. Mit welchem Verlust muß A im Laufe von 60 Spielen e_- 180 "Würfen) rechnen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß A nicht mehr als 50 Pfennig im Laufe der 60 Spiele (Würfe) verloren hat? Aufgabe 20. Wenn man nach den Erfahrungen Dänemarks aus den Jahren 1911—15 die Wahrscheinlichkeit, daß bei einer Geburt ein Knabe zur Welt kommt, mit 0,513 ansetzt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Zahl der im Jahre 1916 geborenen Knaben mehr als 400 von der er- warteten abweicht, wenn 1916 in Dänemark insgesamt 73368 Kinder geboren wurden ? 117. Es erhellt aus dem Vorhergehenden, daß die Tendenz des Binomialgesetzes, eine gewisse feste „Normalform“ anzunehmen, desto jeutlicher hervortritt, je größer n ist. Die Größe von n erhält namentlich Bedeutung in den Fällen, wo sich der Wert von p von 5 entfernt (sich 0 oder 1 nähert). Für p = ST und p = 5 gibt die Exponentialkurve, wie es aus Figur 2 und 3 hervorgeht, bereits mit einem Werte für n = 20 eine ganz gute Vorstellung vom Charakter des Binomialgesetzes; wenn dagegen p, wie in der Zahlenlotterie, !/,3, aber n ständig nicht größer als 20 wäre, SO würde, wie man sich leicht überzeugen kann, die Annäherung ans Binomialgesetz keineswegs groß sein, während das Anwachsen von n auf 1440 bewirkt, daß die Annäherung in praxi durchaus befriedigend wird. Da es somit in einigen Fällen möglich ist, das Binomial- durch jJas Exponentialgesetz zu ersetzen, selbst wenn n nicht größer als wa 20 ist, während man in anderen Fällen auf viel größere Werte von n hinauf muß, so erhebt sich die Frage, wann man dann über- haupt mit dem Exponential- anstatt mit dem Binomialgesetz rechnen kann. Die Antwort hierauf hängt von der bei diesem Umtausch gewünschten Genauigkeit ab ; wird von den Annäherungswerten, welche Jas Exponentialgesetz faktisch ergibt, verlangt, daß sie in vielen der arsten Dezimalen mit den nach dem Binomialgesetz ermittelten Werten jbereinstimmen sollen, dann kann ein Umtausch nur stattfinden, wenn n groß und erheblich größer ist, als wenn verlangt wird, daß Jie Übereinstimmung nur für die ersten Dezimalen vorhanden sein soll, z. B. so, daß die Wahrscheinlichkeiten, in ganzen Prozenten ‘Hundertsteln) ausgedrückt, nach beiden Formeln dieselben werden. Es liegt hier keine Veranlassung vor, sich weiter in diese Frage zu vertiefen; ob eine Wahrscheinlichkeit z. B. 0,971 oder 0,979 ist, wird bei den meisten praktischen Anwendungen ganz gleichgültig sein. Einen gewissen Überblick darüber, wann man mit einem Um- tausch der beiden Gesetze mit Vorsicht verfahren soll, erhält man jedoch mittels einer Betrachtung der oben ($ 106) angeführten Bedingungen Lo N D “© „ ZA N dafür, daß die Reihe der Wahrscheinlichkeiten, S,, nach dem Bi- nomialgesetz berechnet, nicht eine ständig abnehmende oder ständig wachsende Reihe bildet. Da es sich in dieser Verbindung um solche Fälle handelt, in denen p und q nicht nahe an !/ liegen, es im übrigen aber gleichgülti gist, ob p oder ob q nahe bei 0 liegt, können wir uns auf eine Betrachtung des Falles beschränken, wo p nahe bei 0 (q nahe bei 1) liegt. Die oben angeführte Bedingung wird dann jedenfalls immer erfüllt sein, wenn pn > 1 und daher auch, wenn npq > 1 ist. Wenn also der mittlere Fehler in einer binomialen Verteilung größer als 1 ist, wird die Reihe der (n + 1) Wahrscheinlichkeiten nie beständig abnehmen können. Selbst wenn dies keineswegs be- sagt, daß das Binomial- durch das Exponentialgesetz ersetzt werden kann, so liegt doch hierin schon ein Fingerzeig, der, wenn sich der mittlere Fehler 1 nähert, zur Vorsicht mahnt. Hinsichtlich der Be- lehrung darüber, wie sehr man sich in dieser Beziehung einem mitt- leren Fehler von 1 zu nähern wagt, kann auf die im Vorhergehenden durchgerechneten Beispiele verwiesen werden; die mittleren F ehler, mit denen man es hier zu tun hatte, waren von der Größe von ca. 2,2 an aufwärts; im allgemeinen kann man rechnen, daß die in den betrachteten Beispielen bewiesene Übereinstimmung jedenfalls vor- liegt, wenn die „mittlere Zahl“ np und der mittlere Fehler Yapq nicht unter jeweils etwa 10 und ca. 3 hinuntergehen. 118. In manchen Fällen ist die Wahrscheinlichkeit p gerade sehr klein, z. B. wenn von Sterblichkeit, Kriminalität und ähnl. die Rede ist. In solchen Fällen wird der mittlere Fehler, Ynpg, nur wenig kleiner sein als die Quadratwurzel der „erwarteten“ Anzahl, d.h. Ynp, weil q dann fast = 1 ist. Wenn beispielsweise die Sterblich- keit in einem Jahre !/,„ beträgt und 10000 Menschen beobachtet werden, dann ist Ynpq = 30, aber Yap = V1000 = 31,6; einerlei, ob man mit der einen oder der andern dieser Zahlen als Maßstab für die Größe der Abweichungen rechnet, stets wird man finden, —- 182 daß Abweichungen von mehr als 100 nur äußerst selten eintreffen werden. Eine Sterblichheit von !/,o ist übrigens so hoch, daß man sie nur bei Säuglingen und Greisen beobachtet; eine lange Periode Jes Lebens hindurch ist die Sterblichkeit noch kleiner als ein paar Prozent. Eine andere Anwendung dieses besonderen Falles kann man vor- aehmen, wenn man zwar die Wahrscheinlichkeit p als sehr klein vermuten kann, im übrigen jedoch keine zuverlässige Bestimmung von p hat, während pn als bekannt vorausgesetzt wird. Weiß man z. B., daß durchschnittlich jährlich 900 (pn = 900) Personen wegen irgend eines Verbrechens verurteilt werden, dann ergibt sich ein un- yefährer mittlerer Fehler von Y900 = 30; schon bei einer solchen ungefähren Bewertung des mittleren Fehlers bekommt man einen Ein- iruck davon, von welchen Abweichungen die Rede sein kann wenn jaran erinnert wird, daß die Werte 900 und 30 für bzw. np und Vnpq als so groß bezeichnet werden können, daß die Übereinstim- mung zwischen Binomial- und Exponentialgesetz nicht gefährdet ist, weil von kleinen Werten von p die Rede ist. 119. Aus obiger Darstellung folgt: wenn man n Versuche mit alternativen Resultaten (A und B) anstellt und wenn diese Be- yebenheiten die während der ganzen Versuchsreihe konstanten und bekannten Wahrscheinlichkeiten p und q (p + dq = 1), daß sie in dem einzelnen Versuche eintreffen, haben, dann ist unter sämt- lichen möglichen Ergebnissen der n Versuche dasjenige Resultat am wahrscheinlichsten, in welchem A np Male, Bnq »„ eintrifft, and die Wahrscheinlichkeit, daß gerade dieses Ergebnis eintrifft, ist Pa zn 0 3 Yan npd also bei einer großen Zahl von Versuchen äußerst klein; für andere mögliche Ergebnisse ist die Wahrscheinlichkeit noch kleiner. Fragt man daher nicht nach der Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Begebenheit A eine näher angegebene Anzahl Male eintrifft, sondern nach der Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Anzahl (g) der Ereignisse A. zwischen gegebene Grenzen fällt, dann ergibt sich, daß die Wahrscheinlichkeit, daß g zwischen die Grenzen np —x Vnpqg < g <np + x Vnpq, 83 d. h. innerhalb des Spielraumes 2 x VYnpq fällt, von der Größe x abhängig ist in der in der Tabelle 22 angegebenen Weise, Betrachtet man anstelle der Anzahl g die relative Häufigkeit x in der die Begebenheit A eingetroffen ist, dann ergibt sich, daß sich die obigen Ausführungen auch wie folgt ausdrücken lassen: Die Wahrscheinlichkeit, daß die relative Häufigkeit, > zwischen die Grenzen 3/2 <8 Ve D <«V% n <p-+ X T fällt, hängt von x in der in der Tabelle 22 angegebenen Weise ab. Führt man also die Größe Va als mittleren Fehler für die relative Häufigkeit ein, d. h., benutzt man diese Größe als Maßstab für die Abweichungen, welche die relative Häufigkeit der bekannten Wahrscheinlichkeit p gegenüber aufweisen kann, so läßt sich die Tabelle 22 unverändert zur Feststellung der Wahrscheinlichkeit dafür benutzen, daß die bei einer Versuchsreihe bestimmte relative Häufigkeit, mit der die Begebenheiten A oder B eintreffen, zwischen gegebene Grenzen (innerhalb eines gegebenen Spielraums) fällt. Beispielsweise wird der mittlere Fehler der relativen Häufig- keit, in der die Anzahl weißer Kugeln eintrifft, wenn man n Male aus einem Beutel mit gleichvielen weißen und roten Kugeln zieht, sein. 2. Va Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die relative Häufigkeit in einer solchen Versuchsreihe zwischen die Grenzen 3 — aund + + a fällt, findet man daher durch Berechnung von X =—2aVn. n wonach die gesuchte Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle 22 als der diesem Wert von x entsprechende Wert von P hervorgeht. Wie zroß ist z. B. die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die relative Häufig- 184 keit weißer Kugeln bei 10000 Ziehungen zwischen die Grenzen 0,49 und 0,51 fällt? IL Ar ora- 00, Da u= % Vi = 500 °8 wird x = = 200 - 0,01 = 2; die Wahrscheinlichkeit ist also P = 0,954. Diese Methode ist in Wirklichkeit mit derjenigen identisch, bei welcher man die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt, Jaß man in einer Versuchsreihe von 10000 Ziehungen eine Anzahl weißer Kugeln zwischen den Grenzen 4900 und 5100 erhält, d. h. lie Wahrscheinlichkeit dafür, daß sie innerhalb des Spielraumes 200 fällt. Da der mittlere Fehler hier V10000 - }- +} = 50 und a = 100 ist, wird X = = Te — 2, und man erhält daher wie oben P — 0.954, 120. Sind p und q gegeben (Kugelversuche, Münzversuche, Würfelspiele usw.), dann wird einer gegebenen Zahl von Versuchen, n, eine gewisse Wahrscheinlichkeit P ‚dafür entsprechen, daß das Ergebnis höchstens a von dem erwarteten abweicht; n und a be- stimmen mit anderen Worten P analog dem vorhergehenden Bei- spiel. Indes kann man sich auch n und P als gegeben denken und hierdurch die diesen Werten von n und P entsprechende Maximal- abweichung a finden, oder a und P als gegeben denken und n finden. Betrachtet man beispielsweise aufs neue die Kugelversuche, für welche D = dd = z ist, dann kann man fragen, mit welchem Spielraum zu rechnen ist, um mit einer Wahrscheinlichkeit von P = 0,9975 erwarten zu, können, daß die Zahl der weißen Kugeln im Laufe von 2500 Ziehungen nicht außerhalb dieses Spielraums fällt. Da u = Y2500-4}-1 = 25 ist, wird x = x = ag} kennte man a, um Jann in der Tabelle 22 die x = 5x entsprechende Wahrscheinlichkeit zu suchen, so müßte man P==0,9975 finden; Ze wäre dann ungefähr 3, also a = 75; fragt man also nach der Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Zahl der weißen Kugeln zwischen den Grenzen 1250 — 75 — 1175 und 1250 + 75 = 1325 fällt, so ergibt sich sehr annähernd 185 0,9975. Schließlich könnte man fragen: Wie viele Male soll man aus dem Beutel ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9975 erwarten zu können, daß die Anzahl weißer Kugeln nicht mehr als 30 von dem erwartungsmäßigen Ergebnis abweicht? Hier wird 30 — 3, woraus folgt, daß z Falls es möglich ist (was es in praxi allerdings oft nur schwer- lich sein wird), die Grundbedingungen (daß sich die Wahrscheinlich- keiten p und q unter der ganzen Versuchsreihe nicht verändern) auch in solchen Fällen, in denen der Umfang der Versuchsreihe nach einem großzügigen Maßstab erweitert wird, festzuhalten, dann wird es stets möglich sein, n so groß zu machen, daß die Wahrschein- lichkeit dafür, daß die bei n Versuchen gefundene relative Häufig- keit zwischen im voraus angegebene Grenzen fällt, so nahe an 1 (Gewißheit), wie es sein soll, herankommt, selbst wenn die gezogenen Grenzen sehr eng sind. Man kann beispielsweise fragen: Wie viele Male soll man mit einem Würfel werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99994 erwarten zu können, daß die relative Häufigkeit der Begebenheit Avers zwischen den Grenzen 0,498 und 0,502 fällt? Mit anderen Worten: daß die faktische relative Häufigkeit nicht mehr als 0,002 von der Wahrscheinlichkeit 2, in dem ein- zeinen Wurfe Avers zu bekommen, abweicht? Ist die gesuchte Anzahl n, dann wird der mittlere Fehler für die Abweichung der relativen Häufigkeit von Z wie oben erwähnt, Y'n 1 5 Va? und da die Maximalabweichung a hier 0,002 ist, wird x = = = 0,004 Vn, welcher Wert von x nach der Tabelle 22 für P das Resultat 0,99994 ergeben muß. Man hat also X = 0,004 nn = 4. woraus folgt, daß n = 1000 000. Aufgabe 21. Wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Person im Laufe eines Jahres stirbt, gleich 15 °/o gesetzt wird, dann ist die Wahrscheinlich- — 186 veit dafür zu finden, daß die jährliche Anzahl Sterbefälle 1. im ganzen Lande (3 Millionen Menschen), 2. in einer Gemeinde von 2000 Einwohnern nicht mehr als 1%, von dem erwarteten Ergebnis abweicht. Aufgabe 22. Mit wieviel Würfeln soll man werfen, um mit einer Wahr- scheinlichkeit von 0,9995 erwarten zu können, daß die Anzahl Würfel, welche keine Sechs ergibt, eine Abweichung von der erwarteten Zahl aufweist, welche zleiner als 5%, dieser Zahl ist? 121. In den im Vorhergehenden behandelten Aufgaben haben wir uns nur mit dem einfachen Falle beschäftigt, wo die Wahr- scheinlichkeit dafür, daß die Begebenheit A eintrifft, von Versuch zu Versuch unverändert dieselbe war. In der Praxis wird diese V oraus- setzung selten zutreffen, wenn man die Versuchsreihe auf größere Gruppen von Beobachtungen ausdehnt. Beispielsweise ist die mensch- liche Sterblichkeit auf den verschiedenen Altersstufen sehr ver- schieden, so daß man, wenn größere Altersgruppen oder Personen jedes möglichen Alters beobachtet werden, nicht mit einer für alle Personen gemeinsamen Sterblichkeit rechnen kann. Auch bei anderen Teilungen (z. B. nach Geschlecht) machen sich solche Unterschiede geltend. Es gilt überhaupt bei allen Anwendungen in der statistischen Praxis, diesem Verhältnis Aufmerksamkeit zu schenken. Wir können uns zu Anfang darauf beschränken, den Fall zu betrachten, in dem eine Bevölkerungsgruppe von 100000 Menschen nur in zwei Gruppen (z. B. 80000 und 20000 Personen) zerlegt zu werden braucht, so daß man damit rechnen kann, daß die Sterblich- keit für sämtliche 80000 in der einen Gruppe 1% und für sämt- liche 20000 in der andern Gruppe 10% ist; die durchschnittliche Anzahl Sterbefälle wird dann Ü 10 100 80000 + 160 20000 = 2800. Die Frage ist nun wie früher die, welche Abweichungen er- wartet und wie häufig Abweichungen verschiedener Größe eintreffen werden; es ist hierbei zu erinnern, daß sich z. B. die Abweichung O0 als Resultat ergeben kann, nicht bloß auf Grund dessen, daß jede ler einzelnen Gruppen die Abweichung O0 (gerade 800 und 2000 Sterbefälle) aufweist, sondern auch infolge vieler anderer Kombi- nationen wie z. B. 801 + 1999 = 2800 799 + 2001 = 2800 802 + 1998 =— 2800 798 + 2002 = 2800 USW. 187 In ähnlicher Weise kann man sich jede andere Abweichung sehr verschiedenartig zustande gekommen denken, und so kann bisweilen wie in dem hervorgehobenen Falle eine Ausgleichung erzielt werden, so daß sich die Abweichungen in den zwei betrachteten Gruppen ganz oder in anderen Fällen teilweise aufheben; das Entgegengesetzte kann jedoch auch stattfinden, nämlich dann, wenn die Abweichungen nach derselben Seite gehen. Die Aufgabe dreht sich somit darum, das Gesamtresultat aller dieser Möglichkeiten zu finden. In welcher Weise sich dies machen läßt, das wird aus dem Folgenden erhellen wo mit größerer Ausführlichkeit, die Eigenschaften der Verteilungs- gesetze und einige wichtige Sätze über solche Gesetze behandelt werden sollen. D. Eindimensionale Verteilungen. 1223. Wenn eine Größe x den einen oder den anderen‘ von ins- gesamt n verschiedenen Werten Xi, X, X3 00000 Xr 0000. Xn annehmen kann und man die Wahrscheinlichkeiten Pız P2y P3 ++. Pr... Pan dafür, daß x jeden dieser Werte annimmt, kennt, dann sagt man der Kürze halber, daß das Verteilungsgesetz für die zu- fällig variierende (eindimensionale) Größe x bekannt ist. Da hier vorausgesetzt ist, daß x keine andern als die angeführten Werte annehmen kann, muß man erhalten: Zp=Ppi+R +B-... + =1. In dem Vorhergehenden sind verschiedene Beispiele für zufällig variierende Größen betrachtet worden, deren entsprechendes Ver- teilungsgesetz — allerdings nur durch Annahme — als bekannt ge- dacht wurde. Ein Würfel kann keine anderen Augen als x = 1,% =2 % = 3, x, = 4, x; = 5 %=6 ergeben, und wenn man damit rechnen kann, daß er nur unmerkbar falsch ist, dann werden die Wahrscheinlichkeiten dafür, daß er eins dieser Resultate zeigt, Di —= Do = Da = Dı = Dr = 04 = 1 sein 6 Y wo Sp = Dı + 9 + PD + Pa + Ps + Di = Analog kann man die Anzahl weißer Kugeln, welche man er- hält, wenn man in n Malen einem Beutel mit W_ weißen und R roten insgesamt K Kugeln entnimmt, als eine zufällig varilierende 188 Größe betrachten. Die Werte, welche x hier annehmen kann, sind sämtliche ganzen Zahlen von 0 bis n; wie groß die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten Do, Dıy Da ++. Pn werden, das hängt indes, wie wir (8 96 und $ 103) gesehen haben, davon ab, ob die entnom- mene Kugel wieder (ungebundene Beobachtungen) oder nicht wieder (gebundene Beobachtungen) vor einer nächsten Ziehung in den Beutel zurückgelegt wird. Die bei nur einer Ziehung erhaltene Anzahl weißer Kugeln zönnen wir besonders betrachten; x kann hier nur die Werte xzı = 0 und x, = 1 annehmen, und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten dürften dann in beiden Fällen mit RB ndm=1-m= x vezeichnet werden können. Ein Verteilungsgesetz für eine zufällig varlierende Größe braucht jedoch keineswegs damit bekannt zu sein, daß man wie in den oben- stehenden Beispielen einen mathematischen Ausdruck für die x, ent- sprechende Wahrscheinlichkeit pr besitzt. Es kann oft die Lösung irgendeiner Aufgabe erleichtern, einen solchen Ausdruck zur Ver- fügung zu haben, und es steht denn auch dem nichts im Wege, wie hinsichtlich des Binomialgesetzes im Vorhergehenden erwähnt wurde, das Verteilungsgesetz durch einen mathematischen Ausdruck anzugeben, welcher entweder genau gewissen Vorausseszungen über das Gesetz entspricht oder dies mit ausreichend guter Annäherung ‘ein Beispiel ist das Exponentialgesetz) darstellt. Manche Aufgaben verlangen andererseits nicht mit Notwendigkeit eine solche Um- schreibung, und in allen Fällen kann man sich das Gesetz ebenso- yut tabellarisch dargestellt denken, wenn eine Tabelle für jeden nöglichen Wert von x die entsprechende Wahrscheinlichkeit angibt. 123. Ist für eine zufällig varlierende Größe x das Verteilungs- gesetz bekannt, dann kann man ferner das, was im allgemeinen als „mathematische Hoffnung“ dieser Größe bezeichnet wird, bestimmen ; für diesen wichtigen Begriff !) ziehen wir jedoch im folgenden kurz Jie Bezeichnung „Erwartung“ vor. Wie wir weiter unten sehen werden, stimmt dieser Begriff mit dem überein, was im Vorhergehenden gelegentlich „erwartete Anzahl“, „erwartungsmäßiges Ergebnis“, „Durchschnitt“ usw. genannt wurde. 1) Franz.: esperance mathematique, Engl.: mathematical expectation. 189 Im folgenden wird es jedoch praktisch sein, hierfür einen fest- stehenden Ausdruck zu haben; für die Erwartung für x wird ferner auch stets das Zeichen E (x) verwandt. E (x) wird unmittelbar aus dem bekannten Verteilungsgesetz gefunden, indem man jeden Wert x. den x annehmen kann, mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit pr. multipliziert und die Pro- dukte addiert; man bekommt dann EX) = HAIR Feed X Fee ia. Es sei bemerkt, daß E (x) sich nach der Definition nur bei be- kanntem Verteilungsgesetz finden läßt, daß ferner E (x) selbst eine Konstante ist, d. h. eine Größe, welche (im Gegensatz zu x) nicht mit gewissen Wahrscheinlichkeiten verschiedene Werte annehmen kann. Beispielsweise wird die Erwartung für die Anzahl von Augen beim Wurf mit einem Würfel 1 1 1 1 1 1 BE@=E 1+5 2+€ 36 445 5+€ . 6 = 3,5. Zieht man Kugeln aus einem Beutel mit weißen und roten Kugeln, von denen der Bruchteil p weiß, der Rest (q = 1 — p) rot ist, dann wird die Erwartung für die Zahl weißer Kugeln in einer einzelnen Ziehung in gleicher Weise EX) =0-aqa+1-p=»X ein Ergebnis, von dem wir weiter unten Gebrauch machen werden Aufgabe 23. Berechne die Größe der Erwartung in den zwei in der Tabelle 15 (8 104) behandelten Fällen, in denen 20 Kugeln Beuteln entnommen werden, deren Kugeln zur Hälfte und zu zwei Fünfteln weiß sind und wo x die Zahl der im Laufe der 20 Ziehungen erhaltenen weißen Kugeln bedeutet, 124. Die Zahl selber, durch welche die Größe von x aus- gedrückt wird, braucht nicht unter allen Verhältnissen dieselbe zu sein. Körpergröße oder -gewicht, Temperatur, Preise usw. können alle in verschiedenen Einheiten angegeben werden; aber nicht nur die Einheit kann verschieden und zuguterletzt willkürlich ge- wählt werden; auch wenn man zahlenmäßig die Schwankungen, denen die beobachteten Größen unterworfen sein können, ausdrückt, kann der Ausgangspunkt („Nullpunkt“) willkürlich und mehr oder weniger praktisch gewählt werden. Veränderungen in der Tem- peratur lassen sich als Abweichung der Temperatur vom Gefrier- punkt („die eigentliche Temperatur“), jedoch auch als Abweichung der Temperatur von einem beliebigen anderen Ausgangspunkt (Beisp.: das Fahrenheitsche Thermometer) ablesen, und dasselbe finden wir 190 bei jeder zahlenmäßigen Angabe wieder, auch wenn es sich dabei um die Schwankungen handelt, welche durch Veränderungen in der Sterblichkeit, im Preisniveau usw. usw. verursacht werden, Es ist daher unmittelbar einleuchtend, daß, wenn k eine Konstante be- zeichnet, die Größen x + k (oder x — k) und k + x auch zufällig variierende Größen sein werden, deren Verteilungsgesetze mit dem Gesetz für x identisch sein müssen, und daß Ex + ©) = E(x) + k E(k-x)= k- E(x). 125. Da E (x) selbst eine Konstante ist, deren Wert im fol- zenden der Kürze halber mit s, (vgl. unten) bezeichnet werden wird, kann man hier besonders den Fall; wo k= E (x) = sı, betrachten. Die zufällig varilerende Größe a= x -— E (x = X-— 8) ım welche es sich dann handelt, wird als Abweichung bezeichnet, and aus obiger Gleichung ‚geht hervor, daß die Abweichung Jie Erwartung Null hat; denn es ist E (a) = E(x— 8) =E@x —-s=0 Betrachtet man mehr im allgemeinen die Potenzen der Ab- weichungen, also a* = (X — 8,)“, so werden auch diese Größen zufällig variierende Größen mit dem gleichen Verteilungsgesetz wie x sein; ihr Verteilungsgesetz ist also mit dem bekannten Gesetz für x gegeben. Unter dieser Voraussetzung kann man analog mit der Erwartung für E (x) die Erwartung E (a*) finden mit Hilfe der Formel: na = E(a*)= 3 pr (X — 8) =D Ki —8)* +P 8) H--s- + pr (Zr — 81) *+..... Du (Xa — S1)*- Die hierbei bestimmten Zahlen, deren Größe von &« abhängen and im folgenden mit ma bezeichnet werden, werden, analog der -ationellen Mechanik, Momente des Verteilungsgesetzes 1, 2., 3.....&«. Ordnung) genannt. Sie spielen in der Statistik sine bedeutende Rolle, namentlich zur Charakterisierung der Be- schaffenheit allgemein vorkommender Verteilungsgesetze (vgl. das Kapitel über Interpolation und Ausgleichung). Wie soeben bewiesen, wird m, = E (a) = 0, während m., wenn « eine gerade Zahl ist, stets positiv sein muß, weil sämtliche Addenden dann positiv sind. Ist «x eine ungerade Zahl größer als 1, Jann wird es dagegen von der Beschaffenheit!des Verteilungsgesetzes 191 abhängen, ob m. positiv oder negativ wird; hier wollen wir uns vor- läufig nur mit dem 1. und 2. Moment (m, und m,;) befassen. Während m, immer gleich Null, ist m,, wie erwähnt, stets posi- tiv. Die Quadratwurzel aus dieser Größe, V/m,, wird Dispersion oder Streuung des Verteilungsgesetzes!) genannt, und da im folgenden andauernd von diesem wichtigen Begriffe Gebrauch gemacht werden wird, führen wir für diese Größe die Bezeichnung U ein: u=Vm,. Auch diesen Begriff haben wir in Wirklichkeit bereits kennen gelernt, nämlich bei der Erwähnung des Binomialgesetzes und seiner Grenzform, des Exponentialgesetzes. In dem besonderen Falle, wo das Verteilungsgesetz binomial ist, wird nämlich, wie wir im fol- genden sehen werden, die Streuung gleich der in Verbindung mit dem Binomialgesetz auf anderem Wege eingeführten Größe, welche wir als mittleren Fehler, «, bezeichneten, weshalb wir auch hier die Streuung u nennen. 1%6. Wenn man statt der Potenzen der Abweichungen a=X— 8, die Potenzen der Differenz zwischen x und einer ganz will- kürlichen Konstante k, also b= x —k und der Erwartung für solche Potenzen, E (b*), betrachtet, erhält man eine neue Reihe von Momenten; um sie von anderen Momenten zu unterscheiden, muß man ausdrücklich die Größe von k, durch welche sie bestimmt werden, angeben. Sie werden im allgemeinen „Momente um k‘ yenannt. Zur Bezeichnung der Momente 1. und 2. Ordnung um die will- kürlich gewählte Zahl k wollen wir im folgenden untenstehende Bezeichnungen benutzen: Mi = E(x—k) = Sp: (<r —k) = pp; (Zi — |) + m (x — k) -- Ppı x —kK)+...... ınd M, = E((x —k) 7) = Spr (X —\k)? = p; (x, — k)?! + po (zz — k)? +PBı (x —k)!+..... Ist im speziellen k=0, dann werden die diesem Werte von k ent- sprechenden Momente (die Momente um Null) oft Potenzsummen zenannt. Für die Potenzsummen 1. und 2. Ordnung benutzen wir ‚m folgenden die Bezeichnungen E(x)= Xpr x (vgl. oben S. 190) 2 \X . TU Dr x2, Engl. : standard of deviation, Franz.: &cart quadratique. 192 Für „die Momente der Abweichungen“, d. h. die Momente um 3 = E @x) ist. bereits die Bezeichnung m. eingeführt, wir haben lann m, = 0 — 2 mM, = U”, wo wu die Streuung ausdrückt. 127. Zwischen diesen verschiedenen Momenten gibt es ein- fache Relationen, mit Hilfe deren man, sobald die Momente um eine yegebene Zahl bekannt sind, die Momente um jede beliebige andere Zahl finden kann. So erhält man z. B. aus b = x — k unmittelbar Mi = E0®)= E® -k= 85 —k Und da ferner b? = (x — k)! = x? — 2kx + k? ist und sich die Erwartung für eine Summe mehrerer Glieder stets als Summe der Erwartungen für die einzelnen Glieder (vgl. unten die S8 132 und 138) finden läßt, wird M, = E(b7) = E(x) — 2kE(x) + k? MM, = & — 2ksı + k?= 5 — 8? + (81 — k)* Kennt man die Potenzsummen, sı und s,, so ergeben sich die Momente um k als Mi = 85 —k . Me af da Für k = 0 erhält man natürlich M; = sı und M, = SS. Setzt man dagegen k = sı, so ergeben sich die Momente der Abweichungen m = —s5=0 ; He besser BD) woraus folgt, daß die Streuung w= Vs —sı? 27 (Io). Kennt man die Momente M, und M, um k, dann findet man aus denselben Gleichungen, wenn man sie hinsichtlich s, und s löst, daß MM x s, = M, + = Mo ME A age woraus sich wiederum m, und m, ergeben als m = 0 Mm, = & — 5? = a — sodaß auch u=VM,—Mi....... | 93 Da der Wert von k, „um“ den die Momente M, und M, be- rechnet gedacht sind, nicht in diese Formel eingeht, so folgt daraus, daß, wenn die Streuung für die zufällig variierende Größe x gleich u ist, dann auch die Streuung für x + c (wo c eine willkürliche Kon- stante ist) gleich % sein wird. Dies geht auch unmittelbar aus dem oben, $ 124, Entwickelten hervor, woraus ebenfalls folgt, daß die Größe (c-x), wenn x die Potenzsummen s, und s, hat, die Potenz- zummen cs, und c?s, und daher eine Streuung, welche c Male so groß wie die Streuung für x ist, haben wird, da Vc?s — (c8,)? = Ys — 8% = Ge. Dagegen kann man nicht unmittelbar M,, M,, sı und s lurch m, und m, finden, denn m, ist in allen Fällen = 0. Kennt man indes außer m, zugleich die Erwartung E (x) für x, d.h. 3, dann erhält man aus den hier entwickelten Formeln Ss = m + 8;? \ s—k Rn (LID. Mo = m, + (sı — k)? | Die letzte Formel zeigt, wie sich M, (dessen Wert von der Größe von k abhängt) mit k verändert. Es geht aus der Formel hervor, laß M, beliebig groß werden kann, wenn nur k ausreichend ver- schieden von s, gewählt wird; dagegen kann Mz; nie kleiner als m, werden. Wenn k = s,, ist M; = m,; aber wenn k zz S,, ist M, stets > m,. . Entsprechende Relationen existieren natürlich für Momente dritter und höherer Ordnung und können selbstverständlich analog den gegen- wärtigen Methoden durch Berechnung der Erwartung E (b*), wo b= X— k, festgestellt werden. Hier sind nur die Relationen für Mo- mente erster und zweiter Ordnung entwickelt, da es vorläufig die sind, deren wir im folgenden bedürfen. Als Beispiel für die Anwendung der Formel sei folgendes an- zeführt: Ein Beutel enthält 10 Täfelchen; auf dem einen steht 986, auf zweien 987, auf dreien 988 und auf dem Rest 989, im übrigen sind sie sonst gleich. Wenn x die bei einer Ziehung erhaltene Zahl be- deutet, kann x einen der Werte 986; 987; 988; 989 annehmen, und nimmt man im Hinblick auf den Inhalt des Beutels an, daß die Wahrscheinlichkeiten, jede dieser Zahlen zu ziehen, jeweils zu Westergaard und Nybo@lle, Theorie der Statistik, 2. Autl. 13 u ——— 194 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 angesetzt werden kann, dann sind die Erwartung E(x) und die Streuung u zu finden. Wählt man k = 987 und betrachtet man statt x die Differenz b = x — 987, dann kann b die Werte — 1,0, 1 und 2 annehmen. Für das erste Moment um 987 erhält man dann: M=E0)=-—1-:01+0-0,22+1-03+2-04 = 1,0, während man für das 2. Moment um 987 bekommt M, = E(b) =(—1)?-01-+0?.0,2+1?- 0,3 +2? - 0,4=2,0. Man stellt am leichtesten diese Berechnung tabellarisch, wie folgt, auf: x bp b?p 986 -% 0,1 987 0 0,0 988 3 0,3 989 08 1,6 Zusammen : M, = 10 M, = 2,0 Die Zahlen in der Kolonne bp ergeben sich durch Multiplikation der Zahlen der Kol. b mit denen der Kol. p und die Zahlen der Kol. b?p durch Multiplikation der Zahlen der Kol. b mit denen der Kol. bp. Hieraus folgt nun gleich E(x) = 8; = Mi +k= 1 + 987 = 988 und u = VM,—M?=/2-1=1 Durch Berechnung der Momente um eine Zahl, welche in der Nähe sämtlicher Werte, welche x annehmen kann, liegt, erzielt man Jie am leichtesten ausführbaren Berechnungen. Wünscht man neben s, auch s, zu kennen, dann ergibt sich diese®%Größe aus (III) Ss = m + 8,2 Da m, = u? = 1, wird s = 1 +- 988? = 976145. Alle Größen M,, Mo, Sy 52, m, (= 0), m, und u sind hiermit bestimmt; sucht man nun z. B. die Momente um 980, ist k = 980, und infolge (Ia) und (III) ist M, = 8; — k = 988 — 980 = 8 M, = u? + My? = 1 + 8? = 65, während sich beispielsweise als Momente um 700 ergeben: M, = 8; — k = 988 — 700 = 288 M, = u? + Mi? = 1 + 288? = 82945 3 und so fort. 195 Selbst in diesem sehr einfachen Beispiel bietet die Anwendung der hier entwickelten Formeln eine bedeutende Vereinfachung der Rechenarbeit. In andern, weniger einfachen Fällen kann es prak- tisch unausführbar werden, die Berechnungen ohne diese Hilfe durch- zuführen. Aufgabe 24. Berechne erst die Momente M, und M, um 3, demnächst die Potenzsummen s, (die Erwartung) und s, sowie die Momente der Abweichungen und die Streuung, wenn x die Anzahl Augen bedeutet, welche man mit einem nur unmerkbar falschen Würfel erhält. Wie groß werden die Momente 3. und 4. Ordnung der Abweichungen? Aufgabe 25. Berechne Erwartung und Streuung in den zwei in der Aufgabe 23 und der Tabelle 15 erwähnten Fällen, indem zuerst die Momente um die Zahl 9 festgestellt werden. Untersuche, in welcher Weise das Moment M, um k mit dem Werte k variiert. Aufgabe 26. Wenn x die Zahl der weißen Kugeln (0 oder 1) bedeutet, welche man bei einer einzelnen Ziehung aus einem Beutel mit weißen und roten Kugeln, von denen der Bruchteil p weiß ist, bekommt, dann ist die Erwartung, wie oben ($ 123) angeführt, p; wie groß wird die Streuung? 128. Wenn die zufällig variierende Größe x das Resultat einer Reihe von n hintereinander vorgenommenen, unabhängigen, alter- nativen Versuchen, wie z. B. die im Vorhergehenden behandelten Glückspiel-Erfahrungen, angibt, dann wird das Verteilungsgesetz, wie wir gesehen haben, binomial (mit Annäherung exponential) sein; l. h. die Wahrscheinlichkeit, daß x der n Versuche ein „günstiges“ Resultat gibt, ist = (?) X yD—X Px x PA wo 0< “ ale Es ließe sich nun mit Hilfe dieses Ausdrucks für Px und des Newtonschen Binomialtheorems direkt nachweisen (vgl. den Anhang), laß man für das Binomialgesetz E (x) = ss, = np bekommt und daß u* = E ((x — np)?) = npaqa ist. Da diese Ergebnisse im folgenden ($$ 138 und 149) in weit sinfacherer Weise erzielt werden können, wollen wir uns hier auf die Bemerkung beschränken, daß die Erwartung und Streuung beim bi- nomialen (und damit beim exponentialen) Verteilungsgesetz also ge- nau demjenigen entspricht, was wir oben „die erwartete Anzahl“ und den „mittleren Fehler“ genannt haben; und mit Hilfe dieser beiden Größen und der Tabelle 22 konnten wir sofort die Wahr- scheinlichkeit dafür angeben, daß das Ergebnis aus einer Versuchs- 13* 196 reihe eine Abweichung ergab, welche kleiner als eine gegebene Größe war (d.h. innerhalb eines gegebenen Spielraums fiel). Eine ähnliche Bedeutung nun kann im allgemeinen den Begriffen Erwartung und Streuung beigelegt werden, auch wenn das Ver- teilungsgesetz nicht binomial (exponential) ist. Die Wahrscheinlich- keit dafür, daß eine Abweichung kleiner als eine gegebene Größe ist, hängt allerdings von der Form des Verteilungsgesetzes ab und cann nicht angegeben werden, ohne daß das Verteilungsgesetz ge- yeben ist. Trotzdem kann man feststellen, wie groß die Wahr- scheinlichkeit für eine Abweichung, welche kleiner ist als ein ge- zebenes Vielfaches der Streuung, z um m indesten sein muß, gleich- gültig, von welchem Verteilungsgesetz die Rede ist. Man lasse die zufällig varlierende Größe x mit den Wahr- scheinlichkeiten ° Pau Des Pas ++ +04 +« «+ Dn lie Werte Xi) Xay X8 0004404 + « Xn annehmen. Die Erwartung wird dann sein E(x) = 3 X: pr = Sı- Betrachtet man das Quadrat der Abweichungen a? = (x— 81)”, dann wird diese zufällig variierende Größe demselben Verteilungs- gesetz folgen, da die Wahrscheinlichkeit dafür, daß a? die Werte a? = (x — 8)% 4? = (2 — 8)? ... 80% = (Xn — 8)? annimmt, auch Pıs P2, Ps - ++ + Dun wird. Wenn wir uns hier die Numerierung so vorgenommen denken, laß a1? < 8,2 < 8s?..., < an? ist, wird das Quadrat der Streuung u? — Ela = X D:r ar? = Mr ;ine Zahl sein, deren Größe zwischen a,” und an? liegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Abweichung, a, NU- merisch kleiner als das »fache der Streuung ist, wird nunmehr die- selbe sein wie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß a? < v? w* ist, und von der Größe von v abhängen.‘ Beschränken wir uns vorläufig auf eine Betrachtung der Werte von », welche größer als 1 sind, dann wird »* u? > a,? sein, da pw” > a? ist; sehen wir vorläufig auch von den Fällen ab, wo » so yroß ist, daß »? u? größer als das größte (an?) der Quadrate der Ab- 197 weichungen ist, dann wird »v? uw? also wie u? zwischen den Grenzen a! und an? liegen und daher die Reihe der Quadrate ay%, &2?... an? in zwei Teile zerlegen, so daß a <a <a H<V! u? v3 U? < dir? Zip? .000.0.0. Anl Hieraus folgt indes nach dem Satze über die Addition der Wahr- scheinlichkeiten, daß die Wahrscheinlichkeit P dafür, daß das Er- zebnis eine der Abweichungen, welche kleiner als » - wu sind, sein wird: P= pi + +P8-0-00.0.0 024 während PBi+1 + Di+4+a + 000000, Da = ist. Wie groß P wird, ließe sich hieraus finden, wenn das Ver- ;eilungsgesetz bekannt wäre. Die Gleichung, durch die u? = m, bestimmt wird, kann jetzt, wie folgt, ausgedrückt werden: ub= (pa? + pc + ...... Dial) + (Pi if? +00. Por an 3. Ersetzt man hier die in der zweiten Klammer enthaltenen Quadrate a;?;;, a%pıpa ..... 81? (welche sämtlich > »? #?) durch v” u*, während die erste Klammer (deren Inhalt > 0 ist) ausgelassen wird, dann ergibt sich, daß u* > vu? Dir + Dip + ist, oder daß ist. . > v2 (1 P) Selbst wenn die genaue Größe von P ohne Kenntnis der Form des Verteilungsgesetzes nicht berechnet werden kann. folgt aus dieser Ungleichheit, daß man auf jeden Fall pP ı bekommt, vv wenn, wie soeben vorausgesetzt. < w2 an? ,. u? 1st. Von diesen letzten Bedingungen kann man jedoch absehen; ist 1 nämlich »? < 1, wird 1 — 7 <0, und da P nicht negativ werden 198 kann, ist auch in diesem Falle P > 1 4 ve ri ist ferner v? u? > an? ya) ? so gibt P die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung an, welche kleiner ist als die größte erdenkliche; P muß dann = 1 sein, in welchem Falle man auch P> 1 — a bekommt, Ohne daß man berücksichtigt, mit welchem Verteilungsgesetz man es zu tun hat, ist somit die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die zufällig variierende Größe von der Erwartung mit einem Betrag, welcher kleiner ist als » Male die Dispersion, abweicht, in jedem Falle größer als 1 — I 129. Diesen ganz elementaren Satz, der vom russischen Sta- tistiker Tchebycheff (1867) stammt, werden wir später auf einen wichtigen Fall anwenden. Aus der folgenden Tabelle 25 über die Werte von l — En (Kolonne a) für einige Werte von v geht her- vor, daß Ergebnisse, welche von der Erwartung eine Abweichung von mehr als dem Vier- bis Fünffachen der Dispersion aufweisen, sehr selten sein werden. Tabelle 25. An 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4.) 1,5 5.0 a) 0,556 0,750 0,840 0,889 0,918 0,938 0,951 0.960 ’b) 0,866 0,954 0,988 0,9973 0.9995 099994 Zum Vergleich ist (in Kolonne b) nach der Tabelle 22 die Wahr- scheinlichkeit S, dafür angeführt, daß ein Ergebnis, welches dem „Exponentialgesetz folgt“, weniger als das »-Fache des mittleren Fehlers von der Erwartung abweicht. Diese Wahrscheinlichkeiten sind natürlich größer als die entsprechenden in der Kolonne a an- geführten Zahlen. Hätte man S, nach anderen Verteilungsgesetzen be- rechnet, dann wäre man zu anderen Werten von S, gelangt, zu Werten, welche entweder größer oder kleiner als die nach dem Exponential- yesetz gefundenen sein könnten, welche jedoch unter keiner Voraus- 199 setzung hinsichtlich der Form des Verteilungsgesetzes kleiner als lie in der Kolonne a aufgezeichneten Zahlen hätten ausfallen können. Aufgabe 27. Eine Zahl nehme mit der gleichen Wahrscheinlichkeit jeden der Werte 1, 2, 3... 98, 99 (sämtliche ganzen Zahlen von 1 bis 99) und keine anderen an. Finde die Erwartung und die Streuung. Zur Erleichterung der Be- , . n(n+1)(2n+1) rechnung sei bemerkt, daß die Summe der n ersten Quadratzahlen ——— - ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, welches weniger von der Erwartung als das 1l}fache der Dispersion abweicht? 130. Es ist zu bemerken, daß man nach dem oben Entwickelten notwendigerweise das Verteilungsgesetz kennen muß, um die Größe der Erwartung und der Streuung berechnen zu können; auf der ınderen Seite ist eine solche Kenntnis auch ausreichend. Wenn das Verteilungsgesetz speziell binomial (oder exponential) und mit be- kanntem n und p gegeben ist, erhält man, wie im $ 128 erwähnt, sofort, ohne erst die Momente zu berechnen. E (x) = sı = np ınd u = Ynpq Dagegen kann man nicht, wenn s, und w durch die Momente vgl. $ 153) eines numerisch gegebenen Verteilungsgesetzes bestimmt sind, n und p aus diesen Gleichungen berechnen, selbst dann nicht, wenn es gegeben ist, daß die einer Reihe äquidistanter Werte von & entsprechenden Wahrscheinlichkeiten binomial sind; denn die im Binomialgesetz „r günstigen Ereignissen unter n Begebenheiten“ ent- sprechende Wahrscheinlichkeit N (2) pa braucht nicht mit Notwendigkeit für x = r gegeben zu sein bloß durch eine Änderung des Nullpunktes und der Einheit derjenigen Zahlen, durch welche die Größe x ihren Ausdruck erhält, wird pr; für x = ar + b (wo a und b Konstanten sind) gegeben sein; und statt durch Berechnung der Momente des Verteilungsgesetzes Ss, = E (x) = np und u? = npq zu erhalten, bekommt man dann s, = E (x) = anp + b und uw? = a?npgq, und aus diesen Gleichungen lassen sich n und p nicht finden, ohne laß auch a und b gegeben sind. Kennt man dagegen zugleich die Mo- mente dritter und höherer Ordnung, so können auch a und b bestimmt 200 und eine Revision, ob die gegebenen numerischen Wahrscheinlich- keiten auch binomial sind, vorgenommen werden. Auf diese Frage wollen wir hier jedoch nicht näher eingehen ; während oben gezeigt wurde, wie sich die Momente (speziell die Erwartung und die Streuung) durch ganz elementare Mittel finden lassen, wenn das Verteilungsgesetz bekannt ist, handelt die hier vorliegende Frage darüber, inwieweit man aus den Momenten das Verteilungsgesetz finden kann, eine Frage, welche entweder rein mathematischer Natur ist (im allgemeinen auch zugleich mehr als elementare Hilfsmittel beansprucht) oder — wenn die numerische Angabe des Verteilungsgesetzes nur als annähernde (nicht exakte) Angabe vorliegt — in den Abschnitt über Ausgleichung und Inter- polation gehört. 131. Da das Exponentialgesetz, wie wir im folgenden sehen werden, in auffallend vielen Beobachtungsreihen jedenfalls als vor- läufiger Ausdruck für das Verteilungsgesetz wird gelten können, verlohnt es sich wohl, bereits an dieser Stelle das, was oben gezeigt wurde, zu bemerken, nämlich daß die Erwartung (s,) und die Streuung (u) dieses Gesetz vollständig definieren (vgl. die Tabelle 22 und die Zahlen S, in der Tabelle 25); und selbst wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein zufälliges Ergebnis innerhalb eines gegebenen Spiel- raums fällt, nur recht mäßig durch die in Kolonne b der Tabelle 25 angeführten Wahrscheinlichkeiten (Exponentialgesetz) ausgedrückt wird, wird man doch stets so viel wissen können, daß sie nie kleiner als die in der Kolonne a angeführten Zahlen ausfallen kann. Wie mehrmals hervorgehoben, ist die Erwartung unter den mög- lichen nicht ein Resultat, welches besonders häufig erwartet werden kann; das Allgemeine wird sogar sein, daß E(x) eine Zahl wird, die gar nicht mit einer der Zahlen xX,, X ...-. Xn, für welche das Verteilungsgesetz gilt, zusammenfällt. Die Erwartung ist beispiels- weise bei einem Würfelwurf 34, ein Resultat mit der Wahrscheinlich- keit Null. Der Nutzen der Begriffe der Erwartung und Streuung beruht dagegen auf den teilweise ganz elementaren Eigenschaften dieser Größen und besonders auf den Eigenschaften derjenigen Abweichungen (a), deren Summe gleich Null und deren Quadratsumme kleiner ist als die Quadratsumme der Abweichungen von einer beliebigen an- deren Zahl. Diese letztgenannte Eigenschaft hat einer Ausgleichungs- methode (Methode der kleinsten Quadrate) den Namen gegeben. 201 welche in einem späteren Abschnitt behandelt werden wird und aamentlich für die Meßtechnik von Bedeutung geworden ist. Aufgabe 28. Eine Druckseite von 40 Zeilen enthält insgesamt 400 Worte; wie groß kann höchstens die Wahrscheinlichkeit dafür sein, daß eine Zeile mehr ais 12 Worte enthält? 132. Hinsichtlich des Begriffes Erwartung ist schließlich Fol- gendes zu bemerken: wenn auch die Erwartung eine Zahl ist, welche wie andere Zahlen in Rechenoperationen eingehen kann, so ist es loch eine Frage, in welchem Umfange das so gewonnene Resultat sich als Erwartung für irgendeine andere zufällig variierende Größe auslegen läßt. Im folgenden werden wir sehen, daß die Erwartung z. B. für eine Summe von zwei oder mehreren zufällig variierenden Größen stets als Summe der Erwartungen der einzelnen Größen ge- funden werden kann, daß also unbedingt E(x + y + zz) = E(x) + E (y) + E(z) ist. Dagegen kann man nicht unbedingt die Erwartung für das Produkt x - y als das Produkt aus E (x) und E (y) finden. Ein Beispiel hierfür haben wir im Vorhergehenden (wenn x = y und also x -y = x”) im Moment zweiter Ordnung um Null, in der Potenzsumme s;, = E(x”’), welche nicht E(x)- E(x) = si? wird; es ergibt sich dagegen ($ 127, III), daß Ss = 8,? + wu? oder E (x’) = (E (z))? + wm? ist. Unter welcher Bedingung E(x - y) gleich E(x)- E(y) werden kann, das wird aus dem Folgenden (vgl. $ 147) erhellen. E, Zweidimensionale Verteilungen. (Korrelationstheorie.) 133. In der Statistik wird man sich häufig mit zufällig vari- ierenden Größen, welche von anderen ähnlichen abhängig sind, zu befassen haben. Ein paar einfache Beispiele hat man in der Summe und der Differenz zweier zufällig variierender Größen x und y: X=x+yund Y=<X-—9)J; aber die Ausdrücke können natürlich viel zusammengesetzter werden der können viel mehr Größen als die zwei: x und y umfassen. An- fangs beschränken wir uns jedoch darauf, solche Fälle zu betrachten, in welchen nicht davon die Rede ist, mehr als die zwei Größen x ınd y zu berücksichtigen. Denkt man sich die Verteilungsgesetze für x und y gegeben, dann ist sofort eine naheliegende Frage die, wie in diesem Fall die Ver- 202 teilungsgesetze für x-+y, x-—y oder für andere aus x und y ZU- sammengesetzte Ausdrücke bestimmt werden können; wie das Fol- gende indes lehren wird, sind diese Verteilungsgesetze im allgemeinen garnicht allein durch die Verteilungsgesetze für die Komponenten x und y bestimmt und können daher auch nicht gefunden werden, solange nicht mehr vorausgesetzt oder nicht mehr gegeben ist. Es ist da- her notwendig, auf diese Frage näher einzugehen. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, daß x die Werte Xi, X, Xg +... Xi... +++ Xn, annimmt, seien bzw. Pıs Ps Pa ++ << Di---<-+ Pr, und die Wahrscheinlichkeiten dafür, daß y die Werte Yır Yar Ya 0444 Viren + Ym annimmt, seien bzw. dıy de, 983 +++. + Cj+ + «++ Im- Ferner möge die Wahrscheinlichkeit dafür, daß x; bei der Bil- dung der Summe x + y (oder eines anderen Ausdrucks aus x und y) mit y; zusammentrifft (wo x; und y; unter denen, welche x und y annehmen können, willkürliche, aber gegebene Werte sind), mit P (i, j) bezeichnet sein. Von dieser Art Wahrscheinlichkeiten gibt es insgesamt m -n, da jeder der n Werte, welche x annehmen kann, mit jedem der m Werte, die y annehmen kann, zusammentreffen kann. Kennt man die Wahrscheinlichkeit, P (i, j), daß x; mit y; zusammentrifft, dann sagt man der Kürze halber, das Verteilungsgesetz für das zufällig variierende zweidimensionale Zahlenpaar (x, y) sei bekannt. Wie es hinsichtlich des eindimensionalen Verteilungsgesetzes (d. h. des Verteilungsgesetzes für eine zufällig varlierende, ein- dimensionale Größe) der Fall war, kann auch das zweidimensionale Verteilungsgesetz eventuell dadurch bekannt sein, daß man für P (i, j) einen mathematischen Ausdruck besitzt, in welchen i und j (oder x; und y;) eingehen, so daß die einem gegebenen Wertepaar X; und y; entsprechende Wahrscheinlichkeit daraus berechnet werden kann. Ein solcher Ausdruck für P(i, j) heißt eine Korrelations- formel. Aber wie das eindimensionale Verteilungsgesetz durch eine Tabelle gegeben sein kann und nicht mit Notwendigkeit durch eine Formel gegeben sein braucht, so läßt. sich auch das ZzWei- dimensionale Verteilungsgesetz in allen Fällen tabellarisch gegeben denken. Eine solche Korrelationstabelle muß dann zwei Ein- 203 gänge haben; als Beispiel sei untenstehende Tabelle 26 angeführt, welche nach einigen von Davenport!) vorgenommenen Zählungen Mitteilungen über die Zahl der sogenannten Müllerschen Drüsen an den Vorderbeinen des Schweines gibt. Die Zahlen (P(i, j)) der Ta- belle zeigen, wieviele Prozent sämtlicher (2000) untersuchten Tiere x Drüsen im rechten und y Drüsen im linken Vorderbein hatten. Tabelle 26. Müllersche Drüsen bei den Schweinen. Zus. pi 24 nn v U as . 13 Alf; 5 5 5 5 3 zus. q; | OO. "e, $ De Sl ya 21.45| 14.751 7 2 a I Ch) A Aral. "A Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Tier z. B. am rechten Bein 3 Drüsen hatte, ist nach dieser Tabelle p; = 0,2185; dafür, daß zin Tier 5 Drüsen am linken Bein hat, ist sie q; = 0,1475, während sie dafür, daß dasselbe Tier am rechten Bein 3 und am linken 5 Drüsen hat, P (3,5) = 0,0140 ist. Für die Summe der in einer Reihe oder in einer Kolonne an- geführten Wahrscheinlichkeiten erhält man nach dem Satze über die Addition der Wahrscheinlichkeiten jeweils p; und q;, wie angeführt in den Summa-Kolonnen rechts und unten, d. h. jedes der eindimen- sionalen Verteilungsgesetze für jeweils x und y. Diese Verteilungs- zesetze werden als marginale Verteilungen bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeiten, welche in der x; entsprechenden Reihe der in der y; entsprechenden Kolonne verzeichnet sind, können als ein durch x; (resp. y;) bedingtes (eindimensionales) Verteilungsgesetz detrachtet werden. Dividiert man nämlich sämtliche Wahrscheinlich- keiten in einer solchen Reihe (oder Kolonne) mit p; (resp. a;), So wird ihre Summe gleich 1. Als Wert der durch x; bedingten Wahrscheinlichkeit q;(i) dafür y; zu erhalten, erhält man also \\ Statistical methods, II. edit., London 1904. 204 ; PCG,)j q; (1) = A und als die durch y; bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, x; zu erhalten, pi 6) ai Die hier eingeführte Ausdrucksweise ist nur eine andere Form des Satzes über die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten in dem Falle, wo es sich um das Produkt von nur zwei Wahrscheinlich- keiten handelt: denn die Wahrscheinlichkeit P (i, j) dafür, daß xi mit yı zusammentrifft, wird nach benanntem Satze entweder pi + q;(i) oder q; + p:(D), welche Größen beide das Resultat P (i, j) ergeben. 134. Wie im $ 99 erwähnt, ist der Satz über die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten besonders dann verwendbar, wenn man mit x und y als Unabhängigen rechnen kann, d. h. wenn q;(i) nicht durch i bedingt und daher unverändert gleich der marginalen Wahr- scheinlichkeit q; ist, ohne Rücksicht darauf, von welcher Reihe (von welchen Wert x: von x) die Rede ist; pi (j) muß dann auch trotz j gleich der marginalen Wahrscheinlichkeit pi, d. h. P (i, j) = Di + q; Sein. In diesem Falle, in welchem x und y als unkorreliert be- zeichnet werden, ist der Inhalt der ganzen Korrelationstabelle also allein durch die Kenntnis der marginalen Verteilungen im voraus bestimmt, und die Tabelle enthält nichts anderes als was bereits mit diesen Verteilungen gegeben ist. Zufällig varlierende Größen sind indes nicht immer unkorreliert, und die Wahrscheinlichkeit dafür, daß x; mit y; zusammentrifft, ist dann nicht nur mit den marginalen Verteilungen, d. h. den Ver- teilungsgesetzen (pi und a;) für x und y gegeben. Beispielsweise wird, wie es aus der Tabelle 26 hervorgeht, das Produkt pz * ds = 0,2185 - 0,1475 = 0,0322 nicht die Wahrscheinlichkeit dafür an- geben, daß dasselbe Tier gerade 3 Drüsen am rechten und 5 am linken Beine hat, da die Wahrscheinlichkeit a; erfahrungsgemäß (besonders wenn es sich um Tiere mit 3 Drüsen am rechten Bein handelt) zu einem anderen (durch die Anzahl Drüsen am rechten Bein bedingten) Werte qs (3) = 105 = 0,0641 angesetzt werden 3 muß. als wenn sämtliche Tiere in Frage kämen. Welches denn dieser N 205 bedingte Wert ist, hängt dagegen von den betrachteten Größen ab und ist — wie oben gezeigt — mit der Korrelation zwischen diesen gegeben. Ein anderes, klassisches Beispiel korrelierter Größen hat man im Alter des Bräutigams und der Braut zur Zeit der Heirat. Alle Erfahrungen zeigen übereinstimmend, daß die Bräute, welche sich mit jungen Bräutigamen verheiraten, durchweg jünger sind als diejenigen, deren Auserwählte älter sind (vgl. auch $ 99 und 8 100). Wenn es in den folgenden Betrachtungen heißt, „daß die Kor- relation bekannt ist“, dann wollen wir uns vorstellen, daß man die vollständige Korrelationstabelle kennt, d. h. sämtliche m -n Wahr- scheinlichkeiten P (i, j). Sie kann entweder mit einer Tabelle oder damit gegeben sein, daß man sich von den benutzten Voraus- setzungen aus die Korrelationsformel, aus der sich die Korrelations- tabelle dann berechnen läßt, beschaffen kann. Aufgabe 29. Einem Beutel mit 7 weißen und 5 roten Kugeln werden zuerst auf einmal 4 Kugeln entnommen. Die Zahl der hierbei erhaltenen weißen Kugeln heißt x. Von den übrigen 8 zieht man dann weiter 4 Kugeln, jetzt aber so, daß eine gezogene Kugel jedesmal vor einer nächsten Ziehung in den Beutel zurückgelegt wird. Die Zahl der hierbei erhaltenen weißen Kugeln heißt y. Finde die Korrelation zwischen x und y, d. h. die Wahrscheinlichkeit dafür, im ersten Zuge x weiße und im Laufe der 4 folgenden Ziehungen y weiße Kugeln zu erhalten. 135. Betrachtet man nun irgendeinen Ausdruck u (x, y), dessen Größe nur von derjenigen von x und y abhängig ist (X+yJ, x—y, X-Jy usw.), so lassen sich in diesem Ausdruck insgesamt m -n ver- schiedene Wertepaare (x;, y;) für x und y einsetzen, und jedem Paare entspricht nach der Korrelationstabelle eine gewisse Wahrscheinlich- keit Pl, j) und ein gewisser Wert des Ausdruckes u (x, y). Sind all die m +n Werte, welche in dieser Weise für u (X, y) vorliegen, untereinander verschieden, so kann die zufällig variierende Größe also insgesamt N=m-n verschiedene Werte U, Us, U 0000000001 UN annehmen, und die Wahrscheinlichkeiten dafür, daß u einen ge- gebenen dieser Werte annimmt, werden dann geradezu die ent- sprechenden N Werte von Pi, j). Werden dagegen einige der N Werte für u gruppenweise gleich zroß, dann wird die Zahl der verschiedenen Werte, welche n dann annehmen kann, kleiner als N, z. B. M. Die Wahrscheinlichkeit Jafür, daß u einen gegebenen von den M verschiedenen Werten, welche in diesem Falle im ganzen vorkommen werden, annimmt, wird indes, infolge des Satzes über die Addition der Wahrscheinlich- 206 keiten, dann die Summe aller derjenigen Wahrscheinlichkeiten P(i, j), welche nach der Korrelationstabelle den Wertepaaren (Xi, Yı), welche den gleichen Wert für u (x, y) ergeben, entsprechen, so daß also die Kenntnis der Korrelation zwischen x und y auch in diesem Falle die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt, daß u (x, y) einen gegebenen der M verschiedenen Werte annimmt. Wir gelangen also zu folgendem Satze: Um das Ver- teilungsgesetz für eine durch zwei zufällig varlierende Größen x und y bestimmte Größe u (x, y) zu finden, ist es notwendig, aber auch ausreichend, die Korrelation zwischen x und y zu kennen. Aufgabe 30. x und y bezeichnen die Anzahl Müllerscher Drüsen an jeweils rechten und linken Vorderbeinen der Schweine (vgl. 8 133); es ist zu unter- suchen, welche Werte u, = x + y und u, =X—Yy überhaupt annehmen können, und mit Hilfe der Korrelationstabelle für x und y (Tabelle 26) das Verteilungs- gesetz für die Totale der Drüsen (u,) am selben Tiere und das Verteilungsgesetz für den Unterschied (u,) zwischen der Zahl der Drüsen am rechten und linken Beine zu finden. 136. Wenn wir uns ständig die Korrelation zwischen X und y als gegeben denken und uns damit nach vorstehendem Satze auch das Verteilungsgesetz für irgendeinen Ausdruck u (x, y) als bekannt vorstellen können, dann können wir nunmehr auch von der Er- wartung E(u) für u (x, y) reden; ist nämlich das Verteilungsgesetz für u bekannt, dann läßt sich E (u) unmittelbar mit Hilfe der Defini- tion der Erwartung finden. Indes kann man ebensogut E (u) wie die Summe der m + n Produkte u(z, y) PG 3) oder, wie wir kurz schreiben können, Eu = u-PGj bestimmen. Hieraus folgt, daß die Erwartung E (u) für irgendeinen durch x und y bestimmten Ausdruck u (x, y) im allgemeinen ebensowenig wie das Verteilungsgesetz für u ohne Kenntnis der Korrelation zwischen x und y festgestellt werden kann. Aufgabe 31. Finde mit Hilfe der Korrelationstabelle (Tabelle 26) das Verteilungsgesetz für das Produkt u= X + V und danach bei dieser Verteilung die Erwartung E (u). 137. Indes gibt es hiervon eine wichtige Ausnahme; ist näm- lich u(x, y) ein „Polynomium ersten Grades“ von x und y, d. h. daß u (x, y) = a + bx + 0y, wo a, b und c Konstanten sind, also Zahlen, deren Wert nicht von x und y abhängt, so wird der Wert von E (u) allein durch E (x) 207 und E (y), also ohne Kenntnis der Korrelation zwischen: x und y bestimmt werden können, da E (x) und E (y) sich allein mit Hilfe ler marginalen Verteilungen feststellen lassen. Wird zuerst der einfache Fall betrachtet, wo u (x, y) = X + Y, dann hat man, um E(x+y) zu finden, sämtliche n - m Summen Xi + y;) mit ihren entsprechenden Wahrscheinlichkeiten P (i, j) zu multiplizieren und die Resultate zu addieren. Dies kann geschehen, indem zuerst die Summe Aausden m-n Produkten x P (i, ) ınd danach die Summe B aus den m - n Produkten Yi® P G, ) gefunden und dann A und B zusammengelegt werden. Da nun die Summe aller Wahrscheinlichkeiten P (i, j), welche in der Korrelationstabelle in derselben Reihe stehen, ohne Rücksicht auf die Beschaffenheit der Korrelation gleich p; (vgl. das Obige) ist und dem gleichen Werte von x: entspricht, werden die einer solchen Reihe in der Korrelationstabelle entsprechenden Produkte x; P (i, j) die Summe X; Di erhalten. Für die Summe A bekommt man also A = 3 xp: = E (x). Bei einer ganz entsprechenden Betrachtung ergibt sich, daß B=Zy;i q=E(y) so daß Ex+y)=A+B=E(x)—+E(y) wird. Bei der Ableitung dieses Satzes ist nichts hinsichtlich der Kor- relation zwischen den Größen x und y vorausgesetzt worden. Der Satz läßt sich daher auch unmittelbar auf eine willkürliche endliche Zahl von Addenden erweitern. Denn aus (X +y +2) = E((x + y) + z)) = E(x + y) + E(z) folgt, daß E (x + y + z) = E (x) + E(y) + E(z), and so kann man fortfahren. Erinnert man sich nun, daß, wie oben erwähnt, E(k-x)=Kk. E(x), 208 wo k eine Konstante ist, so erhält man demnach folgenden all- gemeinen Satz: Die mehrgliedrige Größe X—atbrkHey+dz-—..... wo a, b, c und d gegebene Zahlenkoeffizienten, während x, y und z zufällig variierende Größen sind, ist selbst eine zufällig variierende Größe, deren Verteilungsgesetz nicht ohne weiteres mit den Ver- teilungsgesetzen für x, y und z gegeben und daher im allgemeinen unbekannt ist, wenn nichts anderes vorausgesetzt oder gegeben ist: die Erwartung für X ist jedoch ohne Rücksicht hierauf E(X)=a+b-Elz)+c-E(y)+d-E(@z)..... 138. Um ein Beispiel für die Anwendung dieses Satzes zu geben, können wir zu dem oben ($ 123) behandelten Falle zurück- kehren, wo x die Anzahl weißer Kugeln (0 oder 1) bedeutet, welche man bei einer einzelnen Ziehung aus einem Beutel mit weißen und roten Kugeln erhält, von denen der Bruchteil p weiß, der Rest 1—p=d rot ist. Wir fanden hier, daß E (x) = p. Fragt man, wie groß die Erwartung ist, wenn x die Zahl der bei n Ziehungen erhaltenen weißen Kugeln bedeutet, dann ist die Antwort infolge des‘ gefundenen Satzes E (X) = np, also diejenige Zahl, um welche die Resultate aus wiederholten Versuchsreihen schwingen werden ($ 119); denn die zufällig varlierende Größe, von der hier die Rede ist. ist X=xy tz. Am wo x, die Zahl der im ersten Zuge erhaltenen weißen Kugeln (0 oder 1), x, die Zahl der bei der zweiten Ziehung erhaltenen (0 oder 1) usw. bedeutet. Man erhält also EX)=p+?+p+...-.. + p(n Addenden) = np. Diese Antwort ist dieselbe, einerlei, ob die entnommenen Kugeln nach jedem Zuge vor einer nächsten Ziehung in den Beutel zurück- gelegt werden oder nicht (eventuell stellt man sich auch die Kugeln als auf einmal hintereinander gezogen vor). Wollte man die erfragte Erwartung direkt mit Hilfe der De- finition finden, so müßte man zwischen den vielen verschiedenen Arten, auf die sich die Kugeln ziehen ließen, unterscheiden. Die Grenzfälle bilden hier die zwei Fälle ($8 96 und 103), in denen die Wahrscheinlichkeit dafür, gerade r weiße Kugeln !zu erhalten, wie im Vorhergehenden erwähnt, jeweils - al 20 ME ID }p . ınd st. Aus diesen Ausdrücken kann man allerdings finden, daß E (x)= 3r-pr=np Ex) = Zr-z =2p. Es ist indes nicht bloß leichter, den gefundenen Satz anzu- wenden, sondern das Resultat np kann außerdem ohne jegliche Voraussetzung darüber gewonnen werden, in welcher Weise die Werte, welche die einzelnen Addenden in der Summe = Fe + Xn annehmen, als voneinander abhängig (korreliert) gedacht werden zönnen. Ein weiteres Beispiel ist die bereits im S 127 gezeigte Anwendung. Aufgabe 32. Finde mit Hilfe der marginalen Verteilungen in der Tabelle 26 die Erwartungen für die Anzahl von Müllerschen Drüsen, getrennt fürs rechte und linke Vorderbein, E (x) und E (y) und danach die Erwartung für die Gesamt- zahl der Drüsen jedes Tieres, und weise nach, daß das Resultat mit demjenigen, welches bei direkter Benutzung des in der Aufgabe 30 erwähnten Verteilungs- gesetzes für u, = x + y gefunden wird, übereinstimmt. Weise bei dem in der Aufgabe 31 gewonnenen Resultat nach, daß E (x - y) lagegen nicht als E (x) - E (y) gefunden werden kann. Aufgabe 33. Wenn x die Gesamtzahl der bei einem Wurf mit n guten Würfeln erhaltenen Augen bedeutet, ist die Erwartung E (x) zu finden. Aufgabe 34. Aus einer Tabelle, welche die Verteilung der Getrauten nach dem Heiratsalter des Bräutigams und der Braut angibt, sind die relativen Fre- Juenzen für Bräutigame und Bräute in verschiedenen Altersklassen zu berechnen, Während die gefundenen Häufigkeiten als Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit jenutzt werden, daß ein Bräutigam resp. eine Braut ein’ gegebenes Alter hat. sind lie Erwartungen festzustellen für l. das Alter des Bräutigams, 2. das Alter der Braut, 3. den Altersdurchschnitt der Getrauten, kt, den Altersunterschied zwischen Bräutizam und Braut. 139. Die Erwartung E(x-y) für das Produkt x - y läßt sich lagegen im allgemeinen nicht ohne Kenntnis der Korrelation zwischen <t und y (vgl. Aufgabe 32) finden. Dasselbe gilt natürlich hinsicht- Westergaard und Nyboelle, Theorie der Statistik, 2. Autl. 210 "Az — lich der Erwartung für das Produkt (x — k) (y — c), wo k und c willkürliche Konstanten sind, und für das Produkt der Potenzen von (x — k) und (y — ©), also z. B. hinsichtlich der Erwartung E (x —})*- (y— 0) d. h. der Größen Mag = 3 (xi — k)* (yıi— 0° + PG, }). Diese Größen heißen Momente der Korrelation um k und c; ist entweder ß oder « gleich Null, so werden diese Momente gerade gleich den Momenten der marginalen Verteilungen um jeweils k und c, und diese können natürlich ohne Kenntnis der Korrelation bestimmt werden. Man nennt sie oft kurz marginale Momente um k (resp. c) zum Unterschied von den gemischten Momenten um k und c, die man erhält, wenn sowohl « und 8 größer als Null sind, und welche nicht ohne Kenntnis der Korrelation bestimmt werden können. Wie bei den eindimensionalen Verteilungsgesetzen spielen die Momente des zweidimensionalen Verteilungsgesetzes eine bedeutende Rolle in der Statistik. Dies gilt namentlich hinsichtlich der Momente der Abweichungen, d. h. der Momente um die Erwartungen sı = E(x) und t; = E(y), welche Momente mit Mas = 3 (zı — sı)* (yı— t)“ + PGO, 3) bezeichnet werden, und hinsichtlich der Potenzsummen des zweidimensionalen Verteilungsgesetzes, d. h. der Momente um k=0 und c=— 0, welche mit se =3x1-yf PO) bezeichnet werden, und von denen wir im folgenden der Kürze halber sıo mit s, und so, mit t, benennen. Wie bei dem eindimensionalen Verteilungsgesetz, So bestehen zwischen diesen verschiedenen Arten von Momenten gewisse Re- lationen, welche es ermöglichen, die Momente um ein beliebiges Zahlenpaar zu finden, sobald die Momente um ein gegebenes Zahlen- paar bekannt sind. Für die marginalen Momente sind diese Re- lationen natürlich dieselben, welche oben für jedes eindimensionale Verteilungsgesetz entwickelt sind, und für die gemischten Momente findet man diese Relationen in genau entsprechender Weise, indem man (x — k)* (y — c)* ausrechnet, das erhaltene Polynomium mit P (i, j) multipliziert und die Produkte addiert. 211 140. Beschränken wir uns hier darauf, die 5 Momente 1. oder 2. Ordnung, nämlich My M,o Mi: Moe zu betrachten, so sind die 4 von diesen marginal und nur eins ist zemischt. Von den zwischen den Momenten bestehenden Relationen brauchen wir uns daher nur mit dem gemischten Moment 2. Ord- aung zu befassen, welches, wie folgt, gefunden wird: Mu = E((x— |) (y—c)= Z(x—k) (5 —0)-PG j). Da nun (X—k) (y— cc) = 7”v— 0X — ky +kc, Moı wird Mu = E(x, y) — c E(x) — kE(y) + ke. Man hat also Mi = 81 — cs, — kt, +kc, welches auch folgendermaßen geschrieben werden kann: Mu= Su —8Si cc h+8— KG —0)........ (Ta). Hieraus läßt sich M,, finden, wenn die Potenz- Summen (die Momente um 0,0) bekannt sind: für k=0 und = 0 ergibt sich natürlich Mı: = S1- Wird k==s8, und c==t, gesetzt, dann erhält man die Momente der Abweichungen, für m; also OD = Si — Sch ee .... (Ib). Sind dagegen die Momente um k und c bekannt, so findet man aus derselben Gleichung, indem diese hinsichtlich S11 gelöst wird, daß 51 = Mi — My Ma + (My +) (Ma +0).... (IIa), la Mia= Si —k und Mn = bt — C, woraus wiederum Du = Mir — Mi Ma-......... (Ib) folgt. Obgleich die Größe von My, M,o und M,;1 von k und c ab- hängig ist, gehen k und c gar nicht in diese Formel ein. Sie hat also genau dieselbe Eigenschaft wie diejenige (IIc), welche bei der °indimensionalen Verteilung für HU’ = m, = M, — M;? zefunden wurde, Man bekommt daher auch hier denselben Wert ‘ür m,,, einerlei, ob man die Korrelation zwischen X und y oder zwischen x+Kk und y—+c betrachtet; man sagt kurz, daß mı,; 11* 212 unabhängig vom Nullpunkt ist für die Zahlen, welche die Größe von x und y angeben. 141. Werden statt x und y die Größen kx und cy (wo k und c Konstanten sind) betrachtet, so erhält man für m, eine Zahl, welche kc Male so groß ist; dagegen wird der sogenannte Korrela- tionskoeffizient, welcher durch r— Au U; Mo bestimmt wird, wo 41 und u, die Streuungen in den marginalen Verteilungen sind, seinen Wert unverändert durch diese Änderung behalten, da auch das Produkt 4, + MM dabei kc Male so groß wird. Der Korrelationskoeffizient r ist somit unabhängig sowohl vom Nullpunkt wie von der Einheit derjenigen Zahlen, durch welche die Größe von x und y ausgedrückt wird. Er kann positiv oder negativ sein, sein numerischer Wert kann jedoch niemals größer als 1 sein. Hinsichtlich der 3 Momente zweiter Ordnung, Moos Mıy, Moz läßt sich nämlich beweisen, daß Mo * Moz — mM? > 0 ist, woraus folgt, daß = mn“ — An) <1. UL“ * U Mo * Moz Denkt man sich, um dies einzusehen, sämtliche m-:n= N Wahrscheinlichkeiten P (i, j) fortlaufend von 1 bis N numeriert, so erhält man m = Pi: a,” Mo — SP; bi? m = 3P; ai bi, wo a; und b; die Abweichungen a=zı—s8s, und b = yı—t bezeichnen. Die Summe derjenigen zwei Glieder im Produkt m,o - moz, welche man teils durch Multiplikation des Gliedes Nummer i in m, mit Glied Nr. j in mo, teils durch Multiplikation des Gliedes Nummer j in ma mit Glied Nr. i in mo, erhält, wird nun Pi P; (ai? b;? + a;” bi”), während die Summe der zwei entsprechenden Glieder in m * 92 P: P; a: b; a; bi; ergibt. 213 Die Differenz zwischen m,2 - mo und m? wird also aus Gliedern zusammengesetzt werden können, welche alle die Form P; P; (ai b; — a: bj)? haben, und da keins dieser Glieder negativ werden kann, muß Moog * Mo — m? =0 sein. Es wäre denkbar, daß alle Glieder P; P; (ai bj — a; bi)? gleich Null würden, also r? = 1 wäre. Dies kann indes nur dann ge- schehen, wenn sämtliche Abweichungen a; und b; proportional sind, also wenn yYıi— tt =K- (zi— s;) ist, und es würde dann einem gegebenen Werte von x; von x nur ein Wert von y, nämlich yı=t; + Kk (x; — sı) entsprechen, und die durch x; bedingte Wahrscheinlichkeit, y; zu erhalten, müßte dann 1 sein; hieraus folgt wiederum, daß die Wahrscheinlichkeit, x; und yı=-t, +Kk (xi —s,) (die marginalen Verteilungen) zu er- halten, dieselbe sein muß, und daß es sich nicht länger um Größen, welche im eigentlichen Sinne korreliert sind, sondern um lineär voneinander abhängige Größen handelt. Es ist der Mühe wert zu bemerken, daß wir bereits im Vorher- zehenden ($ 124) von diesem speziellen Falle Gebrauch gemacht haben, indem wir bemerkten, daß das Verteilungsgesetz für die Größen x + Kk und c-x und damit auch für cx -+ k dasselbe wie für x sein müsse. Für solche lineär voneinander abhängige Größen wird der Korrelationskoeffizient + 1 sein, je nachdem c positiv der negativ ist. Da die Bedingung dafür, daß r? = 1, nach dem Vorhergehenden auch notwendig ist, wird der numerische Wert von Korrelationskoeffizienten für Größen, welche zwar direkt, jedoch nicht lineär voneinander abhängig sind, nicht gleich 1 werden können. Als Beispiel solcher Größen können die zufällig variierende Größe x und die im Vorhergehenden betrachteten Potenzen der Abweichungen X — 8,)* erwähnt werden, welche Größen direkt voneinander ab- hängig sind und dasselbe Verteilungsgesetz haben, deren ent- sprechender Korrelationskoeffizient jedoch numerisch kleiner als 1 werden muß. Daß der Korrelationskoeffizient kleiner als 1 ist, schließt also aus, daß x und y lineär abhängig sind, nicht aber, daß sie in anderer Weise direkt voneinander abhängig sein können. 142. Hinsichtlich des Korrelationskoeffizienten gilt ferner, daß er gleich Null wird, wenn x und y unkorreliert sind; unter dieser Voraussetzung kann man nämlich beweisen. daß 214 Mıı > My ” Mey) folglich m = My; — Mu Mo = 0 und damit auch r = 0 ist. Da man in diesem Falle PG, j) = Di * dj hat und M,, daher die Summe der n - m Addenden pi+ Q; (Xi — ©) (yi — 0) ist, so kann man diese Summe finden, indem zuerst alle den einzelnen Reihen der Korrelationstabelle entsprechenden Glieder und danach diese Resultate addiert werden. Bei den Gliedern, welche einer Reihe in der Korrelationstabelle entsprechen, kann indes pi (Xi — k) aus der Klammer genommen werden, und da die Summe der m Glieder in dieser Klammer Sai (yı— 0) = Mo wird, ergibt die Summe der Glieder in einer Reihe Mo + Du (Zi — |). Werden diese Resultate aus jeder Reihe addiert, dann erhält man My = My 3pi (zi— k) = My Mo: Es muß bemerkt werden, daß die Bedingung, daß x und y un- korreliert sind, zwar dazu genügt zu bewirken, daß der Kor- relationskoeffizient = 0 wird, daß sie jedoch nicht notwendig ist, so daß also der umgekehrte Satz nicht unbedingt richtig ist. Man kann daher nicht aus dem Umstande allein, daß my = 0 und damit r = 0 ist, im allgemeinen darauf schließen, daß x und y unkorreliert sind (vgl. 8 145). 143. Dagegen kann man in einer weit wichtigeren Verbindung vom Korrelationskoeffizienten Gebrauch machen. Angenommen, wir kennen für zwei korrelierte Größen x und y die Streuungen u, und 4 in den marginalen Verteilungen sowie den Korrelationskoef- fizienten r. Man kann dann folgendermaßen die Streuung u im Verteilungsgesetz für u = x + y finden: Da die Erwartung für u E (u) = E (x) +E(Y) = + 4; wird die Abweichung ; a = (x — 8) + (y — &) und ihr Quadrat also Rz — A y— +2 (x — 8) (Y— t1). 215 Als Erwartung für diese Größe erhält man also E(a%= M- = Mo + Mor + 2m. ;. Da nun Mag = Noa = Wo? und My = TU Lo, wird u = Yu? + ug? + Qu Wi. Wenn wir uns vergegenwärtigen, daß die Streuung für k-x gleich dem k-fachen der Streuung für x ist, und daß r seinen Wert unverändert behält, selbst wenn x und y mit willkürlichen Kon- stanten multipliziert werden, so erhält man hieraus das mehr all- zemeine Resultat, daß die Streuung für das Polynomium erster Ord- ıung u=ax-+by-+c, u = Ya? u,?+ib? wu? + 2 abr u, u wird. Um die Streuung im Verteilungsgesetz für u=ax+by-+c zu finden, braucht man also keine andere Kenntnis der Korrelation zwischen x und y als die mit dem Werte von r gegebene. 144. Die gefundene Formel dient nun nicht bloß dazu, w zu finden, wenn /4,, 4, und r gegeben sind; ist die Korrelationstabelle zegeben, so kann man, wie oben bemerkt, aus dieser Tabelle direkt das Verteilungsgesetz z. B. für u = x -+y finden. Bestimmt man nun in gewöhnlicher Weise die Streuung wu in diesem Verteilungs- zesetz sowie die Streuungen 4, und u, in den marginalen Ver- teilungen, so bekommt man den Koeffizienten r aus der Formel H ua? + ZUG Lo, — 1.3? —A4 Hg ergibt, woraus man weiter schließt, daß Dr = 410 = 3 (U? — 44? — 827). 51 =D TS Mu= 84 — St + (81 — 5) (ti — 0). Diese Methode wird im allgemeinen zur Bestimmung des Kor- relationskoeffizienten und der gemischten Momente die bequemste sein, da diese Größen sich dadurch wie die marginalen Momente allein durch die Bestimmung der Momente in einfachen, eindimen- sionalen Verteilungen finden lassen. Aufgabe 35. Bestimme mit Hilfe der Streuung in den marginalen Ver- ‚eilungen und im Verteilungsgesetz für (x + y) in dem in der Tabelle 26 ge- nannten Falle den Korrelationskoeffizienten für die bei der Tabelle gegebene 216 Korrelation. Finde danach mit Hilfe von r die Streuung im Verteilungsgesetz für die Differenz 2x — J. Aufgabe 36. Wenn man unter x und y jeweils das Alter des Bräutigams und der Braut am Zeitpunkte der Trauung versteht, hat man nach dänischen Erfahrungen!) in den fünf Jahren 1911—15 eine Erwartung für x von 29,0 Jahren für y von 25,7 „, während die Streuung im Verteilungsgesetz für x... 7,45 Jahre für y... 6,10 „ wird. Wenn man nach denselben Erfahrungen feststellt, wie sich die getrauten Paare nach Altersunterschied (x—y) zwischen Bräutigam und Braut verteilen, dann findet man, daß die Streuung im Verteilungsgesetz für (x — y) 6,02 Jahre wird; wie groß ist hiernach der Korrelationskoeffizient für die Korrelation zwischen x und y? Wie groß wird die Erwartung für den Durchschnitt aus dem Alter von Bräutigam und Braut, und wie groß wird die Streuung im Verteilungsgesetz für diesen Durchschnitt? 145. Wenn x und y korreliert sind, können die durch die ver- schiedenen möglichen Werte von x, resp. von y bedingten Ver- teilungsgesetze für y, resp. x, nämlich q;(i) resp. pi(j), welche durch die Wahrscheinlichkeiten in den verschiedenen Reihen resp. Kolonnen der Korrelationstabelle dargestellt werden, nicht alle gleich sein; sie müßten in dem Falle nämlich alle der marginalen Verteilung für y resp. x analog sein, und x und y wären dann un- korreliert. Diese bedingten Verteilungsgesetze können denn auch im allgemeinen nicht Momente untereinander gemeinsam und speziell nicht mit den Marginalverteilungen gemein haben. Da wir uns hier darauf beschränkt haben, allein die Momente erster Ordnung (speziell die Erwartung) und zweiter Ordnung (speziell das Quadrat der Streu- ung) zu betrachten, so muß erwähnt werden, daß die Verschiedenheit der bedingten Verteilungsgesetze nicht mit N otwendigkeit die Ver- schiedenheit ihrer Momente erster und zweiter Ordnung mit sich führt, selbst wenn dies auch das Gewöhnliche sein wird; wie es sich denken läßt, daß die untereinander verschieden bedingten Ver- teilungsgesetze wohl dieselbe Erwartung, aber verschiedene Streuung geben können, ist es auch denkbar, daß sie alle sowohl gleiche Erwartung als auch gleiche Streuung ergeben und daß die Ver- schiedenheiten erst dann merkbar werden, wenn man die Momente höherer Ordnung berechnet. v0) Statistisk Tabelvzerk, Litra A Nr. 13. Agteskaber, Fodte og Dode 217 Die Momente der bedingten Verteilungsgesetze können wir kurz als die bedingten Momente bezeichnen. Wir beschränken uns hier darauf, allein die durch y; und x; bedingten Erwartungen s; (j) und t, (1) für x und y zu betrachten. Werden nach und nach die Xız Kay Xg » » 0 + Kiss as An entsprechenden bedingten Ewartungen für y 0, 40, .... 400)... tn) berechnet und zusammengehörende Werte von x; und t, (i) in ein rechtwinkliges Koordinatensystem bzw. als Abszissen und Ordinaten eingetragen, dann erhält man eine Reihe von (insgesamt n) Punkten; falls x und y unkorreliert wären, würde t,(i) für alle Werte x; den- selben Wert bekommen (konstant sein), und die entsprechenden Punkte würden dann alle auf derselben mit der Abszissenachse pa- rallelen (wagerechten) Geraden liegen. Wie oben bemerkt, kann dies in speziellen Fällen das Resultat werden, auch wenn x und y korreliert sind; gewöhnlich werden jedoch dann die Punkte in verschiedener Höhe über der Abszissenachse liegen. Hat man die Korrelation durch 2>ine Korrelationsformel ausgedrückt, dann läßt sich die Gleichung für die Kurve finden, auf der alle n Punkte gelegen sind. Diese Kurve heißt die Regressionskurve für x; indem umgekehrt die y; entsprechenden bedingten Erwartungen s; (j) berechnet und y; und 5, (D) nun bzw. als Ordinate und Abszisse abgetragen werden, kann man die Regressionskurve für y berechnen. Aufgabe 37. Finde die Regressionskurven für x und y aus der in der Tabelle 26 gegebenen Relation zwischen x und y. Die Regressionskurven werden in vielen Fällen gerade Linien sein oder mit hinlänglicher Annäherung als Geraden betrachtet werden können; man spricht dann von einer Korrelation mit geradliniger Regression, welche in mancher Beziehung einfacher als eine Kor- relation mit krummliniger Regression zu behandeln ist. Ein besonders einfaches Beispiel der Korrelation mit geradliniger Regression hat man, wenn sämtliche bedingten Verteilungsgesetze pi (j) und q; (i) entweder Exponentialgesetze sind oder mit Annäherung als exponentiell betrachtet werden können, in welchem Falle man von einer normalen Korrelation spricht. Wenn die Korrelation nor- mal ist, wird die Kenntnis der Größe des Korrelationskoeffizienten sowie der marginalen Verteilungen (welche dann selber Exponential- gesetze werden) allein zur Bestimmung der ganzen Korrelations- 218 tabelle ausreichen, wenn r=0, dann kann man ebenfalls schließen, daß x und y unkorreliert sind (vgl. $ 142); in anderen Fällen muß entweder eine normale Korrelation vorausgesetzt werden, oder es muß mehr gegeben sein, falls man die Korrelation kennen soll. 146. Auf diese Verhältnisse wie auf eine weitere Beschreibung der Lehre über die Korrelation für zwei oder mehr Größen dürfte es hier nicht notwendig sein einzugehen. Überhaupt sind bei der Korrelationstheorie keine Prinzipien eingeführt worden, die nicht im voraus die Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung bildeten. Wenn sich zwei Größen x und y nach genügend umfangreichen Er- fahrungen als korreliert erweisen, wird dieses Verhältnis im all- gemeinen darauf deuten, daß unter den Ursachen, welche den Aus- fall der einzelnen Beobachtungen beeinflussen, ein größerer oder kleinerer Teil sein wird, welcher beiden Beobachtungsreihen gemein ist.. Die Möglichkeit, die Art dieser Ursachen feststellen zu können, gestaltet sich bei Korrelationsuntersuchungen im wesentlichen so wie bei anderen Untersuchungsformen. Oft wird man nicht im Zweifel sein; aber mitunter kann man es höchstens wahrscheinlich machen; daß gewisse unbekannte Ursachen zur Erzielung der gefundenen Resultate mitwirken müssen. Eine große Menge von Aufgaben kann oder muß außerdem be- handelt werden, ohne daß anscheinend direkt von der Lehre der Korrelation Gebrauch gemacht wird. Speziell sei bemerkt, daß der Korrelationskoeffizient, wie erwähnt, nur ausnahmsweise die Kor- relation zwischen zwei Größen vollständig beschreiben kann, und es wird dann oft leichter oder sogar besser sein, sich zur Korrelations- tabelle selber zu halten und durch die Mittel, welche zu dem Zweck beschafft werden können, direkt zu untersuchen, wie sich Z. B. die bedingten Verteilungsgesetze, welche durch die Reihen und Kolonnen der Korrelationstabelle hergestellt werden, verändern, wenn ent- weder x; oder y; sich verändern. Dies bleibt sogar der einzig mög- liche Weg, wenn z.B. die eine der Eigenschaften oder das eine der Kennzeichen, für welche x und y Ausdrücke sind, überhaupt nicht zahlenmäßig ausgedrückt werden können. Teilt man z.B. die im Laufe von fünf Jahren verheirateten Frauen (außer nach dem Alter bei der Trauung) nach dem Zivilstand des Bräutigams vor der Trauung statt nach dem Alter des Bräutigams im Augen- blick der Trauung, dann wird die Wahrscheinlichkeit, daß die Braut ein gegebenes Alter y hat, (ebenso wie früher vom Alter des Bräutigams) jetzt davon abhängig Sein, ob der Bräutigam „bisher 219 — ınverheiratet“ oder „vorher verheiratet“ ist, ohne daß man in solchem Falle dieser Abhängigkeit in derselben Weise wie bei einer Teilung nach dem Alter des Bräutigams Ausdruck verleihen kann. Während es daher, wie bereits oben ($ 100) betont, von Bedeutung ist, darauf aufmerksam zu sein, ob zwei oder mehrere Begebenheiten korreliert sind, und auf die Möglichkeit, dies nachweisen und den Ursachen dazu nachspüren zu können, achtzugeben, kann es sehr verschiedene Wege geben, auf denen man die Lösung dieser Aufgaben versuchen 7ann. F. Unkorrelierte Größen. 147. Die wesentlichste Bedeutung des Korrelationskoeffizienten liegt nach Obenstehendem darin, daß man keiner anderen Kenntnis der Korrelation als der durch den Korrelationskoeffizienten aus- gedrückten bedarf, wenn man die Erwartung s,, für das Produkt der beiden korrelierten Größen x und y oder die Streuung u im Verteilungsgesetz für ein Polynomium ersten Gradesaus x und y u=2ax + by -+c) berechnen will. Während sich die Erwartung für ein solches Polynomium ohne irgendwelche Kenntnis zur Korrelation ($ 137) finden läßt, ergibt sich, wie oben ($ 144) er- wiesen, daß Ex: )Y)=S1=D4 +8, 4 = 46 + SEAT und ($ 143) daß man für die Streuung im Verteilungsgesetz für u arhält: u? = a’? + bay? + Zabruy us. Es geht hieraus hervor, daß, wenn r==0, die Erwartung für das Produkt xy ganz einfach das Produkt aus der Erwartung E(x) = s, für x und der Erwartung E(y)=t, für y ist, ferner daß die Streuung im Verteilungsgesetz für u = ax + by u=V at? + b?u,? wird. Speziell sei bemerkt, daß die Streuung für die Summe x + y und für die Differenz x — y in diesem Falle genau die gleiche wird. nämlich u= Yan? + po? Aufgabe 38, Man hat zwei Beutel, A und B, mit weißen und roten Kugeln; in A ist die Hälfte, in B sind zwei Drittel der Kugeln weiß. A werden 3, B 6 Kugeln entnommen, und zwar so, daß eine gezogene Kugel nach No- ierung der Farbe vor der nächsten Ziehung in den Beutel zurückgelegt wird. Die Zahl der A entnommenen weißen Kugeln heißt x, die Zahl der B entnom- 220 — menen y. Unter der Voraussetzung, daß x und y unkorreliert sind, ist eine Tabelle zu berechnen, welche für alle möglichen Werte von x und y die Wahr- scheinlichkeit dafür angibt, x weiße Kugeln aus A und y weiße Kugeln aus B zu bekommen. Stelle danach die Verteilungsgesetze für (y + x) und (y — x) auf und beweise, daß sie gleich sein müssen. 148. Hat man eine vielgliedrige Größe X=axz+by+62+...-. wo X, y z usw. zufällig varlierende Größen sind, welche ganz oder annähernd als voneinander unabhängig betrachtet werden können, so folgt aus dem Vorhergehenden, daß X selber eine zufällig vari- jerende Größe sein wird mit der Erwartung E(X)=a-E@ +b-E+CcC: EZ) ...0.0.0000409 während die Streuung im Verteilungsgesetz für x sein wird: u= Ya? + bu? + Au? + . Ver WO Mı, Ma, Es + + +. die Streuung im Verteilungsgesetz für jeweils X, Y, Zz sind. Ist speziell a=b=c....= 1, so daß X=x+Jy+z+..- so ergibt sich, daß die Streuung im Verteilungsgesetz für eine Summe von zufällig und voneinander unabhängig variierenden Größen u = Yaz? + wm? + us? ..... Wird. 149. Mit Hilfe dieser Formeln kann man auch sofort die Er- wartung und Streuung für eine Summe oder ein Polynomium mit willkürlich vielen Gliedern finden, wenn die entsprechenden Größen für jedes dieser Glieder bekannt sind und die Glieder als von- einander unabhängig betrachtet werden können; der mit den De- finitionen Ss, = E(X)= 3X;P, und u? = 3(X, — 8)? Pi angewiesene direkte Weg verlangt dagegen, daß das Verteilungs:- gesetz, P;, für X zuerst bestimmt wird. Diese Bestimmung ist, selbst in dem hier betrachteten Falle, wo sämtliche Glieder als unkorreliert gedacht sind, in der Regel sehr beschwerlich und erfordert meist mathematische Hilfsmittel, welche nicht als elementar bezeichnet werden können. Da wir im folgenden zu dieser Frage zurückkehren ($ 166 ff.), so seien hier vorläufig nur die Verteilungsgesetze für eine Summe von Größen betrachtet, deren jede einem Binomialgesetz, d. h. den Verteilungsgesetzen folgt, die bei den Erfahrungen aus den Glückspielen, welche im Vorher- gehenden ausführlich behandelt worden sind, gefunden wurden. 221 Bezeichnet x die Anzahl weißer Kugeln (0 oder 1), welche man erhält, wenn 1 Mal aus einem Beutel mit pN weißen und qN roten Kugeln gezogen wird, so nimmt x mit den Wahrscheinlichkeiten P: 7 Pı = PD die Werte X; — 0 1 Xa — an, und die Erwartung für x wird, wie oben ($ 123) gezeigt, E (x) = p. Die Abweichungen werden hiernach a=0—p=-—Pp ud 4 =1—p=4q, so daß man zur Bestimmung der Streuung m, = E(a)= 31? -q + a?-p = pDg, also u = Vm, = Vpq erhält (vgl. Aufg. 26). Zieht man nun n Male (wirft mit n Münzen, Würfeln usw.) und nennt man die Anzahl weißer Kugeln, welche man insgesamt erhält, X. dann wird, wie oben ($ 138) erwähnt, TFT X X. entweder 0 oder 1 ist, so daß E (X) = np. Denkt man sich jede gezogene Kugel vor einer nächsten Ziehung in den Beutel zurückgelegt, so daß die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu erhalten, von Versuch zu Versuch unverändert pP ist, dann wird die Streuung im Verteilungsgesetz für X u=)|pq- + pq... (n Add.) = Ynpa. Da die Streuung in dem binomialen Verteilungsgesetz, wie bereits oben ($ 128) erwähnt, genau dieselbe wie der mittlere Fehler dieses Verteilungsgesetzes ist, so wird im folgenden — in Übereinstimmung mit dem auf diesem Gebiete üblichen Sprachgebrauch — denn auch nicht zwischen den Ausdrücken Streuung und mittlerer Fehler (vgl. S5 125) unterschieden werden. Es sei bemerkt, daß das auf empirischem Wege gefundene Quadratwurzelgesetz (vgl. $ 82) eine einfache Folge aus dem Satze über den mittleren Fehler (Streuung) im Verteilungsgesetze für eine Summe zufällig und unabhängig voneinander variierender Größen ist. Werden nämlich zwei Gruppen zu je n Beobachtungen zu einer Gruppe vereinigt, dann wird das Verteilungsgesetz für die Zahl der zünstigen Ereignisse in einer solchen Gruppe den mittleren Fehler 222 Yapa + npa = V2-Vnpq erhalten, welches also nicht zwei, sondern nur V2 Male und V3, V4 usw. Male, wenn 3, 4 oder mehr Gruppen zusammengelegt werden. Bei der Behandlung von Glückspielen wurde ferner festgestellt, daß man, wenn die Abweichungen mit dem mittleren Fehler ge- messen wurden, stets denselben Prozentsatz von Gruppen innerhalb eines gegebenen Spielraums fand, einerlei welche Werte n, p und q auch hatten, und daß dieser Prozentsatz im allgemeinen mit guter Annäherung durch das Exponentialgesetz (Tabelle 22) bestimmt werden konnte. Dieses Resultat kann daher jetzt in folgendem wichtigen Satze ausgedrückt werden: Wenn x exponentiell um die Erwartung s,' mit einem mittleren Fehler von u; und y exponentiell um die Erwartung sı” mit dem mittleren Fehler wu schwingt, dann wird, wenn X und y als un- korreliert betrachtet werden können, X -+Y exponentiell um Ss, = sı' + sı" mit einem mittleren Fehler von u — Yıı? + u? schwingen, und x — y wird ebenfalls exponentiell um d = 8ı' — s,” mit dem- selben mittleren Fehler schwingen. 150. Als Beispiel einer Anwendung dieses Satzes geben wir unsere obigen ($ 121) Betrachtungen, wo eine Bevölkerungsgruppe von 100000 Personen in zwei Gruppen, in eine von 80000 mit einer Sterblichkeit von 1 Proz. und in eine andere von 20000 mit einer Sterblichkeit von 10 Proz. zerlegt werden konnte; bezeichnet man die Zahl der Sterbefälle in jeder dieser Gruppen mit x und y, dann werden x und y um s,’ = 800 und s;” = 2000 mit einem mittleren Fehler von der Größe — 99 11/700 — 9 _ ZA [800 100 * V 792 und u, = V 2000 - 76 =V 1800. schwingen. Die gesamte Zahl der Sterbefälle (x + y) wird also um S, — 81” + 8” = 2800 mit einem mittleren Fehler von u = | 792 + 1800 = 50,9 schwingen. In diesem Beispiel ist der gefundene mittlere Fehler nicht viel kleiner als der, welchen man bei einer rein summarischen Be- rechnung finden würde, nämlich 100000 - 0.028 - 0.972 = 52,2. 293 Dieses Verhältnis hängt damit zusammen, daß die hier be- trachteten Ereignisse auch nach der Zerlegung in zwei Gruppen Jlurch kleine Wahrscheinlichkeiten charakterisiert sind, und es geht lann bei Anwendung des soeben gefundenen Satzes wie in dem oben ($ 118) beschriebenen Falle, wo nur eine einzelne Gruppe vorlag, jaß der mittlere Fehler annähernd gleich der Quadratwurzel aus der erwarteten Anzahl ist. Aufgabe 39. Man hat zwei Beutel, von denen A gleichviele weiße und rote Kugeln, B dagegen 9 weiße und 4 rote enthält; aus A werden in gewöhn- ıicher Weise 36 Kugeln und aus B 78 Kugeln gezogen. Welche Anzahl weißer Kugeln kann insgesamt erwartet werden? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, gerade diese Zahl zu erhalten? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens 70 weiße Kugeln zu bekommen? Aufgabe 40. Einem Beutel mit gleichviel weißen und roten Kugeln ent- nimmt A 84 Kugeln, und aus einem anderen mit 4mal sovielen roten als weißen Kugeln zieht B 175 Kugeln. Finde die Wahrscheinlichkeit dafür, daß B wenigstens bensoviele weiße Kugeln wie A erhält. Als Beispiel einer anderen Anwendung kann man sich eine Be- völkerungsgruppe von 100000 erwachsenen, unverheirateten Männern aach dem Alter in 4 Teile zerlegt denken, so daß die Heiratsfrequenz ınter den 10000 jüngsten 50 Proz., unter den 20000 der folgenden Altersklassen 35 Proz. und unter den 30000 der nächsten Klasse 20 Proz. ist, während sie für die übrigen 40000 praktisch gleich Null ist. Die Zahl der Trauungen in jeder der Gruppen wird dann um folgende Anzahl mit mittleren Fehlern, deren Größe zugleich an- geführt ist, schwingen: Erwartete Anzahl Trauungen Mittlere Fler a V 11850 = ca. 109. Unter Voraussetzung der Anwendbarkeit des Satzes auf diesen Fall kann man also mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,994 erwarten, laß die Gesamtzahl der Trauungen um nicht mehr als etwa 300 von 18000 abweichen wird; rechnete man summarisch mit einer Heirats- frequenz von 0,18, so würde sich als mittlerer Fehler V 100000 - 0,18 - 0,82 — V 14760 = ca. 121 ergeben, und die entsprechende Wahrscheinlichkeit würde dann kleiner werden. Zusammen 18000 92924 Je mehr man auf Kosten der anderen Gruppen die Gruppe, in der keiner sich verheiraten will, vergrößern kann, mit desto größerer Sicherheit lassen sich Schlüsse ziehen. Könnte man z. B. die erste Gruppe auf 6000, die zweite auf 10000 und die dritte ebenfalls auf 10000 reduzieren, so würden die Heiratsfrequenzen bzw. auf 5000 __ 5 7000 _ 7 6000 6 6000 — 6 10000 10’ 10000 10 erhöht und der mittlere Fehler etwa 73 werden, also erheblich kleiner als der oben berechnete. Aufgabe 41. Unter 500 Selbstmördern seien 400 Männer und 100 Frauen. Bei einer Erhängungsfrequenz von */; bei Männern und %; bei Frauen ist die Wahrscheinlichkeit zu finden, daß die Zahl der erhängten Selbstmörder zwischen 350 und 400 liegt. Wenn sich die faktische Zahl der Erhängten als bzw. 304 Männer und 50 Frauen ergibt, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, Abweichungen von einer durch diese faktische Zahl bestimmten Größe, teils für jedes Geschlecht für sich, +eils für beide Geschlechter zusammengenommen, zu finden. G. Empirische Frequenzen. 151. Im Vorhergehenden haben wir ständig Verteilungsgesetze und Wahrscheinlichkeiten betrachtet, welche als bekannt und ge- geben gedacht waren. Wie des näheren oben entwickelt wurde, ist die Anwendung solcher apriorischer Zahlen verhältnismäßig begrenzt, da es nur bei den einfachsten Spielaufgaben im voraus möglich ist, die Chancen zu beurteilen, und selbst dann ist die Anwendung apriorischer Wahrscheinlichkeiten zuguterletzt durch irgendeine Voraussetzung oder dadurch bedingt, daß Versuchsergebnisse er- wiesen haben, daß die apriorische Bewertung mit genügender An- näherung mit den Erfahrungen übereinstimmt. Sobald man indes zu den Fragen übergeht, welche wirklich der Statistik zur Behandlung vorliegen, dann verhält sich die Sache im allgemeinen anders; es ist gewöhnlicherweise nicht allein untunlich, vorderhand z. B. die Aussichten für eine Knabengeburt, für Tod, Heirat usw. abzuschätzen, welche Wahrscheinlichkeiten sämtlich durch Beobachtung festgestellt werden müssen, weil man hier nicht im voraus die Bedingungen des „Spiels“ kennt, sondern es wird ferner auch im allgemeinen notwendig sein, anläßlich derselben Beobachtungen zu untersuchen, ob die Bedingungen, von der Wahr- scheinlichkeit eines gegebenen Ereignisses reden zu können, über- haupt vorhanden sind (vgl. $ 91). Hat man nun durch Beobachtung gefunden, daß z. B. die 29, Sterblichkeit in einer Bevölkerungsgruppe 15°%.o (0,015), und daß sie in einer anderen 20%, (0,020) ist, dann wird man nach den Ursachen dieses Unterschiedes fragen; daß solche vorliegen, ist ja gegeben, auf Grund ihrer Mannigfaltigkeit aber ist keine Lösung möglich, wenn die Frage in dieser Allgemeinheit gestellt wird. Sie kann dagegen viel fruchtbarer gestellt werden, wenn man analog mit den Erfahrungen aus den Glückspielen zwischen „wesentlichen“ und „zufälligen“ Ursachen (Gemeinursachen und Individualursachen) unterscheidet. Erhält man nach Ziehungen aus zwei Beuteln mit weißen und roten Kugeln eine verschiedene relative Häufigkeit weißer Kugeln, z. B. 15 und 20% .o, So kann dies ein verschiedenes Mischungsverhältnis in den Beuteln bedeuten, braucht es jedoch nicht mit Notwendigkeit zu besagen. Wie wir im Vorhergehenden gesehen haben, kann ein solcher Unterschied das Ergebnis werden, selbst wenn weiße und rote Kugeln im selben Verhältnis in beiden Beuteln gemischt sind; sind gleichviele rote und weiße Kugeln vorhanden, so kann man als Resultat von Versuchsreihen von 100 Beobachtungen bald eine Frequenz von 0,40, bald eine von 0,60 haben. Daß es trotzdem möglich werden kann, Schlüsse Äber mögliche Verschiedenheiten hinsichtlich des Mischungsverhält- nisses in den Beuteln zu ziehen, beruht auf dem eigenartigen Ver- hältnis, daß die Spielräume, innerhalb deren die relative Häufigkeit mit einer festen gegebenen Wahrscheinlichkeit fallen wird, desto enger sein müssen, je umfangreicher die Versuchsreihe gemacht wird. Verlangt man, daß man zum mindesten den Wert P als Ausdruck /ür die Wahrscheinlichkeit erhält, daß die bei einer Versuchsreihe von N Beobachtungen konstatierte relative Häufigkeit weißer Kugeln nicht mehr als a vom Bruchteil p von weißen Kugeln im Beutel abweicht, so entspricht nach der Tabelle 22 dem gegebenen Werte von P ein gewisser Wert von und da der mittlere Fehler der bei N Versuchen gefundenen relativen Häufigkeit Va ist, wird man, damit die Wahrscheinlichkeit min- ljestens P werden kann, die Relation bekommen a / Ypq X. Vestergaard und Nybelle, Theorie der Statistik, 2. Aufl. 226 Hieraus folgt indes die Relation ax V welche sich mit wachsendem N verkleinert. Dieses Verhältnis kann kurz in der Weise ausgedrückt werden: wenn die Anzahl der Versuche größer und größer gemacht wird, vermag ein möglicherweise vorliegender Unterschied zwischen dem Mischungsverhältnis in zwei Beuteln mit stets geringerer Wahr- scheinlichkeit sich hinter den zufälligen Abweichungen zu verbergen, welche vermutlich immer in der einzelnen Beobachtungsreihe auf- treten können. So braucht man z. B. nicht viele Versuche mit 2 Beuteln, in denen der Bruchteil weißer Kugeln z. B. bzw. 1/3 und 3/. ist, anzustellen, um mit überwiegender Wahrscheinlichkeit kon- statieren zu können, daß das Mischungsverhältnis in diesen Beuteln verschieden sein muß, während es, wenn das Mischungsverhältnis in den zwei Beuteln nicht sehr verschieden ist, notwendig sein kann, umfassende Versuche zu unternehmen, bevor sich der Unterschied überhaupt erkennen läßt, — von der Anzahl von Versuchen, welche notwendig ist, um mit überwiegender Wahrscheinlichkeit das tatsächliche Vorhandensein der Unterschiede konstatieren zu können. gar nicht zu reden. 152. Im folgenden wird dieses Problem in größerer Allgemein- heit besprochen werden; die Betrachtungsweise gegenüber dem oben behandelten Spezialfall ist nichtsdestoweniger typisch für alle stati- stischen Untersuchungsmethoden. Kann man davon ausgehen — Was allerdings nur eine nähere Untersuchung zu bekräftigen imstande ist —, daß es überhaupt einen Sinn hat, von der Wahrscheinlich- keit einer gewissen Begebenheit A (vgl. $ 93) zu reden, so Ver- arsacht die Feststellung, ob der Unterschied zwischen den in zwei verschiedenen Gruppen vorgefundenen relativen Häufigkeiten von A auf wesentliche Unterschiede zwischen den in diesen zwei Gruppen wirkenden Ursachen zurückzuführen ist, keine andere Schwierigkeit — die im Vorhergehenden entwickelten Hilfsmittel vorausgesetzt — als die, welche davon herrührt, daß faktisch beobachtete Frequenzen mit größerem oder kleinerem Betrage von den typischen Werten ab- weichen. Um wieviel es sich hier drehen kann, das läßt sich mif Hilfe des mittleren Fehlers u — Vm messen; ersetzt man jedoch hier vd und q durch die faktisch gefundenen, im allgemeinen nicht 207 genau typisch relativen Frequenzen, so wird der hierbei für u ge- :undene Wert ebenfalls im allgemeinen mit einem Fehler behaftet werden. Handelt es sich indes nur darum, Werte zu finden, welche vermutlich nur äußerst selten überschritten werden, so wird dieser Fehler dennoch meist untergeordneter Bedeutung sein. Ersetzt man nämlich p durch p + & und demgemäß q durch Q—8 so wird sich a LA "1 in u = | Das annähernde Resultat hieraus is' 5a, l1fn—7 pa 10a—pe 22 Ypoh N 2 uN und da man mit überwiegender Wahrscheinlichkeit damit rechnen 2 — \ zann, daß z. B. |e|<4 u, wird der Fehler kleiner als 8 werden; wenn N und p beispielsweise bzw. 10000 und 0,2 sind, wu also = 0,004 ist, so ergibt diese Größe = 0,00012, sodaß 0.00388 <u' < 0,00412. Weiter unten kehren wir, wie erwähnt, zu dieser Frage zurück ; rechnen wir vorläufig damit, daß der mittlere Fehler einer bei N; Beobachtungen gefundenen relativen Frequenz Pı gleich Van gesetzt 1 werden kann, während die relative Häufigkeit nach nz? Beobachtungen in einer anderen Gruppe p, (Wo p; > p») war, dann wird der mittlere Wehler am Unterschiede p,—p> gleich |, P- + Pad sein, und wenn die 2 Differenz (p, — pa) 3 bis 4 oder mehr Male größer als diese Größe ist, wird die Wahrscheinlichkeit, daß sich pı bei neuen, genügend um- fangreichen, unter den gleichen Bedingungen vorgenommenen Ver- suchen kleiner als p, erweisen sollte, sehr gering sein; man muß daher annehmen, daß sich in der einen Gruppe Ursachen geltend machen, welche nicht in der anderen vorhanden sind. Es ist natür- lich möglich, daß der bei den faktisch vorgenommenen Beobach- tungen gefundene Unterschied p,—p, zwischen den relativen Fre- juenzen bei weiteren Versuchen entweder größer oder kleiner werden kann; aber da die Wahrscheinlichkeit, daß die Differenz Pı— hierbei unter Null sollte sinken können (pz wäre dann größer als 15* 298 pı), als sehr klein betrachtet werden muß, so deutet das Resultat darauf hin, daß die Verhältnisse in den zwei Gruppen tatsächlich verschieden liegen; ist der Unterschied jedoch kleiner als das 2- bis 3fache des mittleren Fehlers, dann hat man nur geringe Gewähr da- für, daß erneute Versuche nicht das entgegengesetzte Resultat er- geben, so daß also die Frage unents chieden bleibt. Dies letzt- genannte Fazit drückt man oft So aus, daß das vorliegende Beobach- tungsmaterial nicht dazu ausreicht, für das Vorhandensein eines vermuteten Unterschiedes den Beweis zu führen. Als Beispiel denke man sich, daß in zwei Gruppen neu- geborener Kinder zu je 10000 die Zahl der im ersten Lebensjahre eingetretenen Sterbefälle gezählt und dabei festgestellt worden ist, daß in der einen Gruppe 1100, in der anderen 900 starben. Die Differenz zwischen den gefundenen relativen Häufigkeiten wird hier 0,11 — 0,09 = 0,02, und der mittlere Fehler an dieser Differenz er- gibt sich als 011-089 0,09- 0,91 _ Ve + 770,000 — 0.0042. Der Unterschied liegt also zwischen dem 4- und 5fachen des mittleren Fehlers, und die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die erste Gruppe unter wesentlich ungesunderen Verhältnissen als die zweite lebt, ist somit sehr groß. Aufgabe 42. Der Oberarzt Carl Permin hat die Wirkungen der Serum- behandlung auf Tetanus*) (Wundstarrkrampf) untersucht. Von 199 Patienten, welche nicht mit Serum behandelt wurden, genasen 42; aber von 189 mit Serum behandelten wurden 80 geheilt. Ist dies Material groß genug, um es als wahrscheinlich hinzustellen. daß die Serumbehandlung in der gewollten Richtung wirkt? Aufgabe 43. Von den in den Jahren 1921 und 1923 in Dänemark ge- borenen 40466 bzw. 38430 Knaben starben Vor Vollendung des ersten Lebens- jahres 3552 bzw. 3585. Kann man daraus schließen, daß die Knabensterblichkeit im Jahre 1923 wesentlich größer war als 1921? 153. Wie aus dem Folgenden hervorgehen wird, läßt sich die in den oben gegebenen Beispielen benutzte Betrachtungsweise in überaus vielen Fällen verwenden, auch wenn es sich nicht gerade um die Häufigkeit bei alternativen Versuchen handelt; es wird jedoch notwendig sein, zuerst in größerer Allgemeinheit die Folgen dessen zu untersuchen, daß man mit beobachteten Zahlen operiert. Als Beispiel können wir die oben in der Tabelle 1 angegebene Verteilung der Resultate aus den Kugelversuchen benutzen. Hierbei 7 5 Carl Permin., Tetanusstudier (Diss.), Kobenhavn 1912, S. 117. 2929 wollen wir uns vorläufig denken, daß die einzige vorliegende Auf- Klärung diejenige über die Ziehungsresultate ist, worüber die Tabelle Bescheid gibt, während nichts darüber gegeben ist, daß diese Resul- tate durch Zerlegung einer Reihe von Beobachtungen mit alternativem Ergebnis in Gruppen zu je 100 Beobachtungen zustande gekommen sind, und daß sich gleichviele weiße und rote Kugeln im Beutel be- fanden. Es ist klar, daß ergänzende Aufschlüsse dieser Art in zleinerem oder größerem Umfange vorliegen können; welchen Nutzen man dann aus solchen Daten (oder Annahmen) ziehen kann, das ist indes eine besondere Frage, deren Beantwortung davon abhängig ist, zu welchem Zwecke eine Bearbeitung des Beobachtungsmaterials vorgenommen wird. Nennt man nun das im einzelnen Versuche erzielte Resultat o und benutzt man die faktisch gefundenen relativen Häufigkeiten als Ausdruck für das Verteilungsgesetz, dann kann man genau in derselben Weise wie im obigen Beispiel des 5 127 die Erwartung E(o) für o und die Streuung im Verteilungs- gesetze berechnen. Da diese Aufgabe überaus häufig in der Statistik „vorkommt, wird die Berechnung hier so, wie sie sich am leichtesten vornehmen äßt, wiedergegeben (vgl. Tabelle 27, S. 230)1). Wie am Beispiel im $ 127 gezeigt wurde, kann man den Um- fang der Berechnungen dadurch stark reduzieren, daß man damit anfängt, die Momente um eine Zahl in der Nähe der Stelle, wo sich lie Beobachtungen anhäufen, zu suchen. Als solche Zahl ist 49 ge- wählt worden; während in der ersten Kolonne der Wert der Be- öbachtungen o angeführt ist, weist daher Kolonne 2 die Ab- weichungen b=0o—49 auf. In Kolonne 3 sind nach der Tabelle 1 die bei den Beobachtungen gefundenen absoluten Häufigkeiten p angeführt; da die Summe dieser Frequenzen (die Gesamtzahl der Gruppen) gleich 100 ist, wären sie alle durch 100 zu dividieren; nit Rücksicht auf die Berechnung der Erwartung und Streuung ist es jedoch nicht notwendig, zuerst diese Divisionen vorzunehmen. Wenn die Summe der Häufigkeiten nicht 1, sondern N ist, führt dies Verhältnis nichts anderes mit sich, als daß die dann gefundenen *') Das Rechenschema kann, wie wir sehen werden, auch auf die Berechnung von Momenten 3. oder höherer Ordnung ausgedehnt werden; aber besonders bei mehr umfassenden Beobachtungsreihen wird sich die Benutzung anderer Rechen- Schemata verlohnen (siehe z. B. J. F. Steffensen, Matematisk Jagttagelseslere Kobenhavn 1923, 8 11, Seite 88 f). 230 Tabelle 27. 0 | b=0—49 | . :) » Y 7 2 ) 3 L „3 HA Zus. 5 3 (4) 5 —17 3 50 16 Fr ‘) ) 2 Ce) nr X bp 154 +. 265 UL b?.p (5) 225 100 162 128 98 108 75 64 45 24 BR J 20 90 64 200 108 245 256 324 144 169 196 2859 Momente Nmal so groß wie sonst ausfallen, weshalb man ebensogut die Division durch N zuletzt vornehmen kann, was im allgemeinen weniger Berechnungen dieser Art erfordert. In Kolonne 4 sind die Werte der Produkte bp und in Kol. 5 die Werte von b?-.p berechnet, welche sich durch Multiplikation der Zahlen (b) der Kol. 2 mit den Zahlen (bp) der Kol. 4 ergeben. Wenn wie hier einige der Abweichungen b negativ, andere positiv sind, dann werden die entsprechenden Zahlen in Kolonne 4 jeweils negativ und positiv ausfallen, die Zahlen der Kolonnen 3 und 5 dagegen posi- tiv, was bei der Addition der Zahlen in diesen Kolonnen, deren Summe zu unterst in der Tabelle angeführt sind, zu erinnern ist. Für die Momente um 49 erhält man also 111 2859 M; = 100 = 1,11 M, = 700 28,99. Hieraus folgt dann, daß E(0o)= 8, =M; + 49 = 50,11 u— VM,—M? = 727,358 =5,23. 231 während man, hätte die Verteilung den Voraussetzungen genau ent- sprochen (n==100, p=q: ",), E(0o)=50 und u =5 bekommen hätte. Aufgabe 44. Finde auf Grund der in der Tabelle 5 angeführten beob- achteten Zahlen den Durchschnitt und den mittleren Fehler in der Verteilung der behandelten Gruppen nach der Zahl der abgekreuzten Ziffern und vergleiche lie gefundenen Zahlen mit den theoretischen. Aufgabe 45. Dieselbe Aufgabe für die in der Tabelle 8 betrachteten Be- obachtungen. 154. Bezüglich der Ursachen zur gefundenen Übereinstimmung nun kann man allerdings darauf hinweisen, daß die Umstände, unter denen die Beobachtungen faktisch vorgenommen worden sind, viel- leicht nicht — trotz aller Mühe — mit den Voraussetzungen ganz \m Einklang gewesen sind, welche dazu führen, daß E(o)=: 50 und u=5 wird. Man darf indes eins nicht vergessen: selbst wenn man sich diese Fehlerquelle fortdächte und nur davon ausginge, daß die beobachtete Größe o einem bestimmten — obgleich unbekannten — Verteilungsgesetz folge (d.h. daß o mit gewissen konstanten Wahrscheinlichkeiten p,, Pay Ps -.... die Werte X,, X, Xa .... aD- jehme), könnte man nicht einmal erwarten, daß die Werte, welche man für M,, M,, E(o) und w usw. erhält, indem die unbekannten Wahrscheinlichkeiten durch die beobachteten relativen Häufigkeiten ersetzt werden, mit den Werten übereinstimmten, welche man finden würde, wenn die Versuche wiederholt würden, auch nicht mit den Werten, welche die Kenntnis des Verteilungsgesetzes ergäbe. Dieses Verhältnis hängt mit der oben ($ 93) besprochenen Un- bestimmtheit der Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffes zu- sammen und kann insofern kurz durch einen Hinweis auf die Erfahrung begründet werden, daß wiederholte Versuche, auf empirischem Wege die Größe einer Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, im all- gemeinen niemals übereinstimmende Resultate ergeben. Es lohnt sich jedoch, dieses Verhältnis näher zu untersuchen. Es kann nämlich bemerkt werden, daß die Größe, welche im benutzten Beispiel formell genau so bestimmt wurde, wie man die Erwartung fest- stellt, wenn das Verteilungsgesetz bekannt ist, nämlich die Erwartung E(o), für die wir E(0o) = s, = 50,11 erhielten, auch als das arithmetische Mittel g der 100 Beob- achtungen (0,, 00, 03 .... 000) aufgefaßt werden kann, d. h. daß 239 1 8 = 100 (© + 0% +0 + +++ ++ 0100) ist; hieraus folgt, daß g nicht als Konstante betrachtet werden kann, wie es mit der mittels des Verteilungsgesetzes für 0 definierten Erwartung E(o)==s, ($ 123) der Fall ist. Denn wenn man von jedem der in den Ausdruck für g eingehenden Addenden 0;, 02, 03 .... nichts anderes weiß, als daß sie mit gewissen Wahrscheinlichkeiten (pr) gewisse Werte (x,) annehmen, dann wird der Durchschnitt g selbst eine zufällig variierende Größe sein, welche mit gewissen Wahr- scheinlichkeiten gewisse Werte annimmt. Und man muß dem Rechnung tragen, daß es einer dieser Werte und nicht die dem Verteilungs- yesetze entsprechende Erwartung E(o)==s, ist, den man bestimmt erhält, wenn, wie in dem angeführten Beispiel, die unbekannten Wahr- scheinlichkeiten des Verteilungsgesetzes durch die beobachteten rela- tiven Häufigkeiten ersetzt werden und man danach die Berechnung anstellt, welche zur Erwartung geführt hätte, falls das Verteilungs- gesetz bekannt gewesen und benutzt worden wäre. Es ist daher auch notwendig, klar zu unterscheiden zwischen den Begriffen der „Erwartung“, welche, wie erwähnt, eine Konstante ist, und des „Durchschnitts“ einer gewissen Anzahl von Beobachtungen, welcher nach obigen Darstellungen als eine zufällig varlierende Größe be- trachtet werden muß. 155. Fragt man nun weiter, welchem Verteilungsgesetz der Durchschnitt g dann folgt, so ist daran zu erinnern, daß, selbst wenn man die Verteilungsgesetze kennte, denen die einzelnen in den Ausdruck 1 l 1 A NN eingehenden Beobachtungen folgen, damit das Verteilungsgesetz für g nicht ohne weiteres bestimmt sein würde ($ 135); denn die Beobach- tungen 01, 02, 03.....0n können in kleinerem oder größerem Grade korreliert sein. Dagegen kann man unter der bereits oben ge- machten Voraussetzung, daß alle Beobachtungen dem gleichen Verteilungsgesetze folgen, ohne Zuhilfenahme irgendwelcher anderen Voraussetzung einsehen, daß die Erwartung für g dieselbe wie die Erwartung für die Beobachtungen sein muß; denn aus g = (01 + 0 + 0 2.0... + ON) folgt (S$ 137), daß 233 E(g) = E00 +o+..... ‚+ on) = © +N - E(o)= E(o) ist. Dies bedeutet, daß die als Resultat aus wiederholten Beob- achtungsreihen erhaltenen arithmetischen Mittel gerade um die un- bekannte Erwartung schwingen werden. Es ist diese Eigenschaft des Durchschnitts, welche seine Verwendung als empirischen Re- präsentanten für die unbekannte Erwartung E(o) ermöglicht und welche kurz so ausgedrückt wird, daß g einen präsumptiven Wert für E(o) angibt. Durch die Anwendung dieser Bezeichnung bringt man zum Ausdruck, daß g zwar einen annähernden Wert für die Erwartung E(o) angibt, daß der Annäherungsgrad jedoch nicht derselben Art ist wie derjenige, von dem bei der Benutzung an- nähernder Werte gewöhnlich die Rede ist. Wenn man annähernd z. B. V2 = 1,414 setzt, ist der Annäherungsgrad (die Genauigkeit) ladurch angegeben, daß nur 3 Dezimalen mitgenommen sind; man weiß dann soviel über den Fehler, daß er in jedem Fall < 0,001 ist. Da ein präsumptiver Wert g für E(o) eine zufällig variierende Größe ist, kann seine Abweichung von E(o) verschiedene — mög- licherweise viele — Werte, darunter vielleicht den Wert Null (g zerade gleich E(o)), annehmen, ohne daß man imstande ist zu ent- scheiden, von welcher der möglichen Abweichungen die Rede ist. In obigem Beispiel fanden wir g = 50,11; mit diesem Annäherungs- wert ist indes nichts darüber mitgeteilt, daß der Fehler < 0,01 ist, d. h. man sollte 50,10 < E(o) < 50,12 erhalten. Der Genauigkeitsgrad bei einer präsumptiven Bewertung der Erwartung E(o) kann dagegen durch den mittleren Fehler im Ver- teilungsgesetz für das arithmetische Mittel angegeben werden. Kann man davon ausgehen, daß alle Beobachtungen 0,, 02, 08 ...... ON nicht bloß dem gleichen Verteilungsgesetz folgen, sondern zugleich Resultate voneinander unabhängiger Versuche sind, so folgt aus dem Ausdruck 1 1 1 = °ı tz he N ©») daß der mittlere Fehler ww, im Verteilungsgesetz für den Durch- schnitt g ($ 148) L 1 . y Ni (4 + RM? +...... (N Add.) wird, WO 4, im unbekannten Verteilungsgesetz für die einzelnen Beob- achtungen o der mittlere Fehler ist; man bekommt also Us == 23 MM u = 2 YN Selbst wenn u, — ebenso wie E(o) — unbekannt ist, folgt aus dieser Relation eine sehr wichtige Eigenschaft des Durch- schnitts g, welche diese Größe als präsumptiven Wert für E(o) be- sonders verwendbar macht. Fragt man nach der Wahrscheinlichkeit P dafür, daß die Abweichung g — E(o) nicht größer ist als eine gegebene Größe a, so hat man nämlich, ohne Rücksicht darauf, welchem Verteilungsgesetz die Beobachtungen 0 und der Durch- schnitt g folgt, in jedem Fall (vgl. $ 128) P>1-— A a aVN ya A Ho A; so da Bß P>1 — ML { ‚N ist. Wenn es möglich ist, die benutzten Voraussetzungen festzuhalten (daß die Beobachtungen 0 demselben Verteilungsgesetze folgen und voneinander unabhängig sein sollen), auch wenn die Anzahl (N) der Beobachtungen sehr groß genommen wird, dann ersieht man hieraus, daß die Wahrscheinlichkeit, daß der bei stets wachsender Zahl von Beobachtungen bestimmte Durchschnitt g höchstens mit einem willkürlich gewählten, aber gegebenen Betrage a von der ge- suchten Erwartung E(o) abweicht, sich 1 nähern muß, je größer N wird, wie klein auch a gewählt sein mag. („Das Gesetz der großen Zahl“.) Falls die Beobachtungen alternative Versuche betreffen, die mit konstanten, aber unbekannten Wahrscheinlichkeiten p und q jeder für sich entweder die Antwort 1 oder 0 (günstig oder ungünstig) geben, dann gibt der Durchschnitt g von N solchen Beobachtungen die relative Häufigkeit an, in der die Anzahl günstiger Begeben- heiten eingetroffen ist, und da das Verteilungsgesetz für g binomial oder mit Annäherung exponential wird, kann man in diesem Falle eine schärfere Bestimmung der Wahrscheinlichkeit P an der Hand der Tabelle 22 als mittels der Tchebycheffschen Ungleichheit erhalten. Aber da der mittlere Fehler im Verteilungsgesetz für g wie bisher _ 4 1/24 wird, Ua — UN VS 235 so ergibt sich, wie bereits oben ($ 151) erwähnt, das gleiche Re- sultat, nämlich daß die einem gegebenen Wert von a entsprechende Wahrscheinlichkeit P sich mit wachsendem N der 1 nähert, oder daß der einem gegebenen Wert von P entsprechende Wert von a mit wachsendem N kleiner und kleiner wird. Der letztgenannte speziellere Satz geht, wie oben ($ 34) erwähnt, auf Jacob Bernoulli zurück (Ars conjectandi, etwa von 1680—85 ausgearbeitet, jedoch erst 1713, 8 Jahre nach dem Tode des Ver- fassers, veröffentlicht), weshalb er denn auch als Bernoullisches Theorem bezeichnet wird. Bernoulli machte bei seiner Beweis- führung jedoch keinen Gebrauch von dem Exponentialgesetz als Annäherungsformel für das Binomialgesetz; diese Methode verdankt man Laplace (Theorie analytique des probabilites, 1812). Später ist der Satz verschiedentlich erweitert worden, zuerst von Poisson 1837), welcher alternative Versuche mit variierenden Wahrschein- lichkeiten betrachtete und dem Satze den Namen „Gesetz der zroßen Zahl“ verlieh, später von Tchebycheff, Markoff u. a, deren Beiträge den Satz erweiterten, so daß er nicht nur Beobachtungen mit mehr als zwei möglichen Ergebnissen, sondern auch solchen, welche nicht alle derselben Verteilungsregel folgen, ja — unter gewissen Bedingungen — sogar Beobachtungen, die nicht voneinander unabhängig sind, gilt. Mit Rücksicht auf das Folgende wird es indes nicht notwendig sein, hierauf einzugehen. Wir werden unten Beispiele dafür sehen, daß das Verteilungsgesetz für ein Polynomium, speziell für das Polynomium Yo == z { 1 1 Fu FR FON dazu neigen wird, mit Annäherung exponentielle Form anzunehmen, selbst wenn die einzelnen Glieder nicht binomialen oder exponentialen Verteilungsgesetzen folgen, wenn nur das Polynomium genügend viele Glieder enthält. Diese Eigenschaft ist somit für die alternativen Versuche nichts Charakteristisches, aber eine Eigenschaft, welche im wesentlichen mit der Zahl der Glieder zusammenhängt und von dieser bedingt ist. Selbst wenn man, falls das Verteilungsgesetz für die Beobachtungen unbekannt ist, sich einen annähernden Aus- üruck für den mittleren Fehler 42 im Verteilungsgesetze für das arithmetische Mittel verschaffen kann, wird auch die Anwendung der Tabelle 22 in der Regel einen schärferen Ausdruck für die Genauigkeit ergeben, welche man bei der präsumptiven Setzung E (0) 236 =— g erzielt, als wenn man die Tchebycheffsche Ungleichheit an- wendete, deren Aussage mit Notwendigkeit leerer werden muß, weil hier keinerlei Voraussetzung hinsichtlich der Form des Verteilungs- gesetzes gemacht ist. 156. Während aus dem Vorhergehenden zwar erhellt, daß der mittlere Fehler des Durchschnitts _—_ AM U YN mit wachsendem N stets kleiner wird und 4%, sich dabei konstant verhält, kann man 42 nicht aus der Formel finden, solange 4,1 — der mittlere Fehler in dem Verteilungsgesetz, welchem die Beobach- tungen folgen — nicht bekannt ist. Hinsichtlich 44 gilt indes dasselbe wie für die Erwartung E (0). Beide Größen sind unbekannt, solange das Verteilungsgesetz für die Beobachtungen nicht bekannt ist. Und der Wert, welcher im Bei- spiel (Tabelle 27) für u gefunden wurde (5,23), indem die Wahr- scheinlichkeiten des Verteilungsgesetzes gegen die faktisch ge- fundenen relativen Häufigkeiten umgetauscht wurden, hat dieselbe Eigenschaft wie der Durchschnitt g, nämlich die, daß er eine ZU- fällig varlierende Größe ist; wird er direkt durch die 100 Beob- achtungen ausgedrückt, so erhält man nämlich Wo 02+.......00%-— g? und im allgemeinen, wenn die Zahl der Beobachtungen N ist, u? == Z0i2 — g* Ebensowenig wie sich das Verteilungsgesetz für g aus dem Ausdruck für g bestimmen ließ, läßt sich auch das Verteilungs- gesetz für u? nicht aus obigem Ausdruck für u? feststellen; setzt man dagegen wie oben voraus, daß alle N Beobachtungen demselben Verteilungsgesetz folgen und Resultate voneinander unabhängiger Versuche sind, so kann man, analog dem Falle für g, die Erwartung für u? suchen, für welche Größe man unmittelbar E(u?) = x SE(0?) — E(g) = E(o0®) — E(g*) erhält. Erinnert man sich nun, daß die Erwartung für 0° E(0?) = (E(o))? + 4? war ($ 127, IID), wo 4 der mittlere Fehler im Verteilungsgesetz für o und daher 2 E(g?) = (E(o))? + %- ist, 237 weil E(g) = E(o) und die zweite Potenz des mittleren Fehlers im Ver- 2 teilungsgesetz für g gemäß obiger Darstellung x ist, dann erhält man also 2 ii E(un = 4? — CE = N Lu Während die bei wiederholten Versuchsreihen zu je N Beobach- tungen bestimmten Durchschnitte g um die Erwartung E(o) schwingen werden, werden die Werte, welche man dadurch für u? erhält, nicht um die Potenz u? des mittleren Fehlers im Verteilungsgesetz für die Beobachtungen, sondern um Zahlen schwingen, welche kleiner sind, nämlich — 4a?; da die faktische Quadratsumme der Ab- weichungen von g kleiner ist als die faktische Quadratsumme der Abweichungen von einer beliebigen anderen Zahl, und man bei der im Beispiel angewiesenen Methode gerade die Abweichungen von y mißt, welche im allgemeinen Z E(o) sind, so ist auch zu er- warten, daß man sich dem aussetzt, eine zu kleine Quadratsumme zu erhalten; selbst wenn die Fehlerquelle in speziellen Fällen dadurch aufgehoben gedacht wird, daß die benutzten relativen Häufigkeiten in der Weise von den Wahrscheinlichkeiten, welche sie vertreten, abweichen, daß u? > u? ist, so kann man damit rechnen, daß die auf empirischem Wege gefundene Potenz des mittleren Fehlers u? um eine kleinere Zahl als u? schwingen wird; um wieviel es sich hier handelt, geht aus der gefundenen Formel hervor, nach welcher das Quadrat 444? des gesuchten mittleren Fehlers N — E(u?) wird. Benutzt man die faktisch gefundene Potenz des mittleren Fehlers u” als präsumptiven Wert für E(w?®), so wird also and das Quadrat & den Durchschnitt & LM 14. u? Ö2s mittleren Fehlers im Verteilungsgesetz für CL. is — 1° 7“ bi W Wenn man wie in dem Beispiel der Tabelle 27 die Quadrat- summe der Abweichungen als 2859 berechnet hat, so erhält man demnach 238 nd = 28,88, so daß Uı = V 28,88 = 5,37 ist. Man ersieht hieraus, was übrigens auch naheliegt, daß es, wenn N eine einigermaßen große Zahl ist, keinen größeren Unterschied macht, ob man die Quadratsumme der Abweichungen durch die An- zahl N der Abweichungen oder durch N—1 dividiert. In der Meß- technik, wo man genötigt sein kann, mit wenigen Messungen zu arbeiten, muß man daher meist dies berücksichtigen, während das Resultat bei den meisten von den in der Sozial- und Wirtschafts- statistik zur Behandlung gelangenden Verhältnissen nur unmerkbar dadurch beeinflußt wird, ob man den Divisor N oder N—1 ge- braucht. ur 157. Dagegen bietet das Ergebnis ein bedeutendes prin- zipielles Interesse als Beispiel dafür, wie man beim Rechnen mit präsumptiven Zahlen sich nicht ohne weiteres, darauf verlassen kann, daß man den präsumptiven Wert eines Ausdrucks, welcher von einer oder mehreren andern zufällig variierenden Größen abhängig ist, da- durch findet, daß man in diesen Ausdruck geradezu die präsump- tiven Werte für diese Größen einsetzt. Dies ist eine Folge davon, daß, wenn man mit Hilfe eines Beobachtungsmaterials eine präsumptive Bewertung einer Größe vornimmt, diese Bewertung, wie oben erwiesen, vom Begriffe der Erwartung abhängt; und die Erwartung für einen von einer oder mehreren anderen Größen abhängigen Ausdruck kann im allgemeinen nicht dadurch gefunden werden, daß man in diesem Ausdruck die einzelnen Größen durch deren Erwartungen ersetzt. Wenn es sich um die Erwartung für eine Summe oder ein Poly- nomium handelt, kann man, wie oben ($137) gezeigt, ohne weiteres eine solche Substitution benutzen; in anderen Fällen aber darf man nicht unbedingt damit rechnen. Es kann daher auch hier ein Anlaß sein, darauf hinzuweisen, daß, wenn man wie oben E(u?) = 28,88 fest- stellte, hieraus in Wirklichkeit nich t folgt, daß E(u)= VE(u?) = 5,37 ist, da man nicht damit rechnen kann, daß E(V/x) = VEG) ist, sondern daß man im Gegenteil E(Vx) < VE(x) bekommt. Wie groß der Unterschied ist, das beruht in diesem wie in allen anderen Fällen auf dem Verteilungsgesetz für X, besonders auf dem mittleren Fehler in diesem Verteilungsgesetz. 23G Auf eine nähere Klärung dieser Fragen, wie etwa auf die Be- stimmung des mittleren Fehlers im Verteilungsgesetz für die zu- :ällig varlierende Größe u, wollen wir hier nicht weiter eingehen, ım so weniger, als die hierbei in Betracht kommenden Unterschiede wie in den oben angeführten Beispielen so auch für die Mehrzahl ler im folgenden behandelten Fälle ohne größere praktische Be- deutung sein werden. 158. Kehren wir zu unserm Ausgangspunkt (dem Beispiel der Tabelle 27) zurück, so geht aus den obigen Bemerkungen, falls be- züglich der Beobachtungen o nichts anderes als die in der Tabelle über die 100 Versuche gegebene Statistik vorliegt, folgendes Resultat hervor: Für die Erwartung o muß das arithmetische Mittel 50,11 aus sämtlichen 100 Beobachtungen gesetzt werden; zur Beurteilung der Genauigkeit dieses Resultats weiß man, daß der mittlere Fehler des Durchschnitts gleich 5,3 —— = 0,53 V 100 gesetzt werden kann. Über die Wahrscheinlichkeit, daß die bei der Statistik der Ta- delle 27 vorgenommene präsumptive Bewertung von E(o) nicht mehr als a von E(o) abweicht, kann danach die Tabelle 25 aussagen; beispielsweise wird die Wahrscheinlichkeit dafür, daß g — E(o) <1,06 ist, jedenfalls größer als 0,75 sein, da 1,06 . 0,53 2 ist. Wenn man nach einer Betrachtung von Figur 1 ($79) die Übereinstimmung mit den in den Figuren 2 und 3 ($ 108) gezeich- neten Exponentialkurven für so gut hält, daß man das Verteilungs- zesetz für 0 als exponentiell annehmen kann, so wird auch das Ver- teilungsgesetz für g exponentiell sein; die Wahrscheinlichkeit dafür, daß g—E(o) < 1,06 ist, läßt sich dann aus der Tabelle 22 als den x==2 entsprechenden Wert von P feststellen, welcher 0,954 ergibt. Aufgabe 46. Finde den Durchschnitt und den mittleren Fehler in der Verteilung nach dem Besteuerungsprozent x und nach dem Veranlagungs- prozent vy für 10 dänische Städte sowie den Korrelationskoeffizienten für x 240 und y. Nach Statistisk Aarbog 1926 gestalten sich x und y für die 10 kleinsten dänischen Städte, wie folgt?!): 7 y 1) 7,2 1} 10,0 6) 5,7 6) 6,0 2)61 2) 7,0 7) 5,2 7) 68 3) 8,3 3) 10,3 8) 8,3 8) 10,5 4) 7,7 4) 10,0 , 9) 4,5 9) 5,0 5) 5,6 5) 5,7 | 10) 4,6 10) 5,5 Aufgabe 47. In den Jahren 1899—1908 war die Regenmenge x (in mm; und die Zufuhr (in cbm) von Wasser y zum Reservoir der schwedischen Stadt Lund folgende: 3 y . £ y 1899 511 258 000 1904 563 266 000 1900 661 708 000 1905 607 562 000 1901 597 426 000 1906 576 422.000 1902 541 304.000 1907 530 521 000 1903 663 762000 | 1908 719 522.000 Finde auf Grund dieser Zahlen den Ausdruck für den Durchschnitt und den mittleren Fehler in der Verteilung der Kalenderjahre nach Regenmenge (x' und Wasserzufuhr (y) sowie den Korrelationskoeffizienten für x und y. 159. Das oben Angeführte läßt sich nun auch auf den Fall, wo die beobachtete Größe nur zwei verschiedene Werte (a und b) annehmen kann, d. h. also auf alternative Versuche, anwenden. Hat man N Beobachtungen, von denen M und der Rest (N — M) jeweils b und a ergeben haben, so findet man für die Potenzsummen (die Momente um Null) sı und s, die Ergebnisse vH ME ap aN — M) + b’M 5 = — —— N Setzt man der Kürze halber die faktisch gefundenen relativen Häufigkeiten M M—N N Pı Und ———z— = dı; so muß die Erwartung g = 8, = bp, + adı gesetzt werden, während man für den vermuteten Wert des mitt- leren Fehlers w im Verteilungsgesetz für die Beobachtungen 1) Besteuerungsprozent, dänisch .Skatteprocent“, gleich dem Verhältnis zwischen Steuersoll und dem faktischen Einkommen der Steuerzahler; Ver- anlagungsprozent, dänisch „Ligningsprocent“, gleich dem Verhältnis zwischen Steuersoll und dem steuerpflichtigen Einkommen (d. h. faktischem Einkommen nach gesetzmäßigen Abzügen oder Zuschlägen bei den einzelnen Veranlagungen) DL und für den mittleren Fehler - 7 5) In dı 3 \Unrsgesetz für g findet. 160. Die Bestimmung des Durchschnitts und dessen mittleren Fehlers auf Grund von Beobachtungen mit alternativem Ergeb- nis bildet ein Beispiel der empirischen Bestimmung einer Wahr- scheinlichkeit; setzt man a=0 (0 günstigen Ergebnissen ent- sprechend) und b = 1 (1 günstigen Resultat entsprechend), so findet man aus obenstehenden Formeln als präsumptiven Wert für die Wahrscheinlichkeit dafür, in einem Versuche ein günstiges Er- gebnis zu erlangen, während man für den mittleren 7 K erhält. Ist N so groß, daß es gleichgültig ist, ob man durch N oder N —1 dividiert, so findet man den oben ($ 152) benutzten Ausdruck für den mittleren Fehler für Dı- Betrachtet man beispielsweise eine der in Tabelle 27 behandelten Gruppen von je 100 Beobachtungen, z.B. eine derjenigen, welche 40 weiße Kugeln (und also 60 rote) ergeben haben, so findet man aus liesen Beobachtungen, daß pP: = 0,40, 240 NEM =0049 ist. 39 Man kann also mit eineran Gewißheit grenzenden Wahrscheinlich- keit rechnen, daß das Mischungsverhältnis im Beutel so beschaffen ist, daß der Bruchteil weißer Kugeln innerhalb der Grenzen 0,40 — 3 - 0,049 = 0,253 < p < 0,547 — 0.40 +3 - 0,049 liegt. Nimmt man sämtliche 10000 Beobachtungen, von denen 5011 weiß (also 4989 rot) ergeben haben, so findet man Pı = 0,5011 und ‚4989 % = 0,005 9999 Westergaard und Nybelle, Theorie der Statistik, 2. Aufl. 24 ZZ und hieraus wiederum 0,501 — 3 - 0,005 = 0,486 <p < 0,516 = 0,501 + 3 + 0,005, also eine weit schärfere Bestimmung. Ob man hiernach p gleich 0,49 oder gleich 0,50 oder 0,51 (vgl. & 93) setzt, das ist eine ganz untergeordnete Frage im Vergleich mit derjenigen, inwieweit es überhaupt einen Sinn hat zu sagen, laß eine gewisse feste Wahrscheinlichkeit dafür, bei einer Ziehung das Resultat weiß zu erhalten, vorliegt. 161. Die Bedingung hierfür ist, wie im $ 93 in Verbindung mit der Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffes bemerkt war, daß die relativen Frequenzen, welche man: bei wiederholten empirischen Bestimmungen von p erhält, sich jedenfalls mit Annäherung um einen Normalwert exponentiell gruppieren. Wenn man die 10000 Beobachtungen in 100 Gruppen zu je 100 Beobachtungen zerlegt, so liefert jede Gruppe ihren Wert für p; da diese Werte alle 745 der in der Tabelle 27 angeführten Beobachtungen sind, gibt Figur 1 auch eine Vorstellung davon, wie sich diese 100 relativen Häufig- keiten verteilen. W. Lexis!) hat ein summarisches Kriterium für die Güte der Annäherung aufzustellen versucht, indem er die faktische Streuung wu’ in der Verteilung der Häufigkeiten mit der Größe des Bernoullischen mittleren Fehlers uw” verglich; wenn man insgesamt N Beobachtungen und bei diesen einen präsumptiven Wert p für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gefunden hat, und wenn man die N Beobachtungen in r Gruppen von je n Beobachtnngen (N=r-n) teilt, so sollten sich die r relativen Häufigkeiten pı, Pr -- +++ Dr welche diese Gruppen liefern, exponentiell um p mit einem mittleren Fehler, nach der Formel 7 pP (1 — p) n (dem Bernoullischen mittleren Fehler) berechnet, gruppieren. Diese Formel gibt im Beispiel mit den Kugelversuchen 0,5011 + 0,4989 9 ___ Aa 8 AT TE u 100 0.0025. Sucht man die Streuung in der faktischen Verteilung der rt rela- tiven Häufigkeiten nach der Formel ‚ 1 B— U zZ 2 u = = (Spi? rp?), 1) 8. z. B. W. Lexis, Zur Theorie der Bevölkerungs- und Moralstatistik, Jen? 1903, Kap. V und VIII. Ve dt 243 welche für die Kugelversuche , 0,2736 ; u? = 799 = 0,002763 ergibt, so sollte man denselben Wert finden, so daß man in Lexis’ Fall — für den Divergenzkoeffizienten Q — u’? arhielte, während man für die Kugelversuche faktisch Q = 0008500 = 1,105 feststellt. Aus der Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffs folgt un- mittelbar, daß, wenn r wiederholte Reihen zu je n alternativen Ver- suchen angestellt werden, bei denen die Wahrscheinlichkeit für „günstig“ einen gewissen festen Wert hat, sich die Verteilung der v relativen Häufigkeiten einem Exponentialgesetz nähern und „normale Dispersion“ zeigen wird, weil sich uw’ unter diesen Voraussetzungen u” nähert. Da diese Bedingung notwendig, aber nicht ausreichend ist, so ist der umgekehrte Satz jedoch nicht unbedingt richtig, und man kann also, wie Bortkiewicz bemerkt hat, von dem Umstand, laß Q?=1 ist, nicht ohne weiteres schließen, daß Versuche mit einer gewissen konstanten Wahrscheinlichkeit vorliegen ?). Q2?.ist ferner eine zufällig variierende Größe; wie Tschuprow gezeigt hat, tritt es daher nur unter gewissen Bedingungen ein, daß sich lie Erwartung E(Q?) für Q? dem Wert 1 nähert, wenn Zähler und Nenner in Q? allmählich gleich groß werden; es ist überhaupt kaum möglich, allein auf Grund eines empirischen Zahlenmaterials (also nicht ohne weitere Voraussetzungen apriorischer Art) endgültig festzulegen, ob sich die näheren Umstände bei den betrachteten Versuchen durch eine einzelne Wahrscheinlichkeit charakterisieren lassen oder nicht. Diese Frage hängt mit der Frage der Definition des Wahr- scheinlichkeitsbegriffes überhaupt zusammen ; es handelt sich in Wirk- lichkeit um dasselbe, was oben ($ 152) berührt wurde, nämlich darum, inwieweit es möglich ist zu erkennen, ob ein bei zwei oder mehr 1) L.v. Bortkiewiecz, Kritische Betrachtungen zur theoretischen Statistik, |. Artikel, Jahrb. f. Nat. u. Stat. 3, Folge Bd. VIII, 1894, und Homogeneität und Stabilität in der Statistik, Skandinavisk Aktuarietidskrift, Bd. I, Uppsala 1918. Ferner A, Tschuprow, Zur Theorie der Stabilität statistischer Reihen, Skand. Akt. Bd. 1, 1918 und Ist die normale Stabilität empirisch nachweisbar ? Nordisk stat Cidskrift, Bd. I, Stockholm 1922. 244 Beobachtungsreihen vorgefundener Unterschied zwischen den relativen Häufigkeiten für diese Reihen „zufälligen Ursachen“ oder wesent- lichen Unterschieden zwischen den wirkenden Ursachen zuzuschreiben ist; es wird daher hier genügen hervorzuheben, was oben bemerkt ist, daß, wenn sich der Unterschied zwischen den relativen Häufig- keiten auf das Vielfache des mittleren Fehlers für diesen Unter- schied beläuft, man annehmen muß, daß die näheren Umstände, welche die verschiedenen Ergebnisse bedingt haben, nicht als im wesentlichen dieselben betrachtet und daher nicht durch eine einzelne Wahrscheinlichkeit charakterisiert werden können. Aufgabe 48. Auf Grund der in der Aufgabe 4 mitgeteilten Zahlen ist die Größe der Wahrscheinlichkeit dafür zu bewerten, bei einem Wurf mit den betrachteten Würfeln eine Sechs zu erhalten. Aufgabe 49. Aus einem Beutel mit weißen und roten Kugeln zieht man zu wiederholten Malen, und zwar so, daß jede entnommene Kugel vor der nächsten Ziehung in den Beutel zurückgelegt wird. Wenn man dem Beutel anfühlen kann, daß er insgesamt 7 Kugeln enthält, dann ist festzustellen, wieviele Male man wenigstens ziehen muß, um mit einiger Sicherheit entscheiden zu können, wieviele der im Beutel enthaltenen Kugeln weiß und wieviele rot sind. 162. Da die relative Häufigkeit nur eine spezielle Art von Durchschnitten, nämlich Durchschnitte bei alternativen Versuchen, ist, werden wir sehen, daß das Problem, wozu die Frage der em- pirischen Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit Veranlassung gibt, auch bei der empirischen (statistischen) Bestimmung von Durch- schnitten von Beobachtnngen, welche mehr als zwei Werte annehmen können, entsteht; das Problem kann daher auch in größerer Allgemeinheit zu der Frage formuliert werden, in welchem Umfange es möglich ist zu erkennen, ob ein bei zwei (oder mehr) Beobachtungsreihen vorgefundener Unterschied zwischen den Durch- schnitten für diese Reihen auf „zufällige“ Ursachen zurückzuführen ist oder zu der Annahme zwingt, daß sich in einer Gruppe Ursachen geltend machen, welche der zweiten (den übrigen) fehlen. Nun ist die Bedingung dafür, daß eine faktisch vorgefundene relative Häufig- keit als Ausdruck für eine Wahrscheinlichkeit angesprochen werden kann, die, daß eine Teilung des Beobachtungsmaterials in mehrere Gruppen keine andere Wirkung verursacht, als daß sich die Durch- schnitte (Häufigkeiten), welche man jetzt für jede der Gruppen fest- stellt, jedenfalls annähernd exponentiell um einen gewissen „Normal- wert“ verteilen und sich nicht voneinander durch Beträge unter- scheiden, welche den mittleren Fehler der Differenzen viele Male übersteigen. In derselben Weise muß das Kennzeichen dafür. daß Da sich unter den ein gegebenes Phänomen beherrschenden Ursachen nur eine einzelne wesentliche Ursache findet, während die übrigen als zufällig betrachtet werden müssen, dies sein, daß eine Teilung des Materials Gruppen ergibt, deren Durchschnitte sich mit An- näherung exponentiell um einen gewissen Normalwert verteilen und sich nicht voneinander durch Beträge unterscheiden, welche ein Vielfaches des mittleren Fehlers der Differenz sind. Wenn es da- gegen bei einer Einteilung, welche nach individuellen Kenn- zeichen vorgenommen werden kann (vgl. z. B. 8 186), umge- kehrt möglich ist, Gruppen hervorzubringen, deren Durchschnitte wesentlich voneinander abweichen, dann muß angenommen werden, daß sich in der einen Gruppe Ursachen geltend machen, welche nicht in einer anderen vorhanden sind. Welches diese Ursachen sind, wird dann zu einer neuen Frage, über die man in einigen Fällen nicht im Zweifel zu sein braucht, während es in anderen notwendig sein wird, zu diesem Zweck neue Untersuchungen und Beobachtungen anzustellen. Aufgabe 50. In der Geburtsklinik des Reichshospitals in Kopenhagen wurde untersucht, ob die Behandlung der nährenden Mütter mit einem Spezial- präparat „O0“ das Wachstum (Gewichtzunahme) vom 3. bis zum 10. Tage fördere. In 208 Fällen, in denen die Mutter mit diesem Präparat behandelt wurde, voetrug die durchschnittliche Gewichtzunahme 150,2 g; die 208 Gewichtzunahmen verteilten sich nach der Größe ungefähr exponentiell mit einem mittleren Fehler von 98,4 g um diesen Durchschnitt. In 420 Fällen, in denen keine O-Behandlung stattfand, war die durch- schnittliche Gewichtzunahme 139,4 g. Diese 420 Beobachtungen verteilten sich ebenfalls annähernd exponentiell um den Durchschnitt mit einem mittleren Fehler von 92,0 g. Kann man auf Grund dieser Beobachtungen schließen, daß die O-Behand- lung in der ersten Woche die Gewichtzunahme fördert ? 163. Hinsichtlich der Richtigkeit der hier angestellten Be- trachtungsweise ist zu bemerken, daß sich dafür weder Beweise noch Gegenbeweise erbringen lassen. Dadurch, daß man in der an- gegebenen Weise die Größe eines vorgefundenen Unterschiedes ent- scheidend dafür sein läßt, ob man den Unterschied als groß genug zur Begründung des Vorhandenseins von besonderen Ursachen in der einen Gruppe ansehen will, und daß man im übrigen erklärt, der Unterschied sei „Zufälligkeiten“ zuzuschreiben, wird nur eine zewisse Abgrenzung des Begriffes „zufällig“ herbeigeführt; was hierbei als zufällig betrachtet wird, braucht natürlich nicht damit übereinzustimmen, was man in anderen Verbindungen mit diesem Ausdruck bezeichnet. Weiter unten soll hierfür ein Beispiel gegeben 246 werden. Das für die Brauchbarkeit der Definition Entscheidende ist dagegen, ob die Art und Weise der Betrachtung fruchtbar ist. Dies hängt davon ab, in welchem Umfange es durch passende Ein- teilungen des Beobachtungsmaterials möglich wird, Gruppen von Beobachtungen auszuscheiden, in denen sich — in Übereinstimmung mit den einfachsten Voraussetzungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung — nur eine einzelne vorherrschende Ursache geltend macht und in denen sich die Beobachtungen vermutlich exponentiell um einen der ausgeschiedenen Ursache entsprechenden typischen Durchschnitt verteilen. Beispiele zur Beleuchtung der Möglichkeit hierfür sind im folgenden Kapitel behandelt. 164. Nun ist es allerdings eine Tatsache, daß man nicht immer diese einfache Frequenzverteilung vorfinden wird, ja daß die Beob- achtungen von einer solchen Beschaffenheit sein können, daß das Verteilungsgesetz überhaupt nicht exponentiell werden kann. Auf Grund der Regel darüber, auf welchen Sonntag der Ostertag fällt, kann man sich beispielsweise nicht vorstellen, daß eine Verteilung der Ostertage einer ‚längeren Jahresreihe nach dem Datum eine exponentielle Verteilung wird geben können. Ein anderes Beispiel kann den Resultaten des Scheibenschießens entnommen werden. Werden die Schüsse nach dem Abstand zwischen dem Treffpunkt und dem Zentrum der Scheibe verteilt, so wird man allerdings finden, daß sich diese Punkte in einem gewissen Abstande vom Zentrum stark anhäufen. Aber die Verteilung muß notwendigerweise schief werden, da kein Abstand kleiner als O0 sein kann; beobachtet man dagegen die Verteilung der Schüsse nach dem Abstande des Einschlages von einem Diameter der Scheibe, so wird man finden, daß sich die Schüsse mit großer Annäherung exponentiell um den Abstand 0 ver- teilen, so daß man den mittleren Fehler dieser Verteilung als Maß- stab der Schießsicherheit!) benutzeu kann. Im allgemeinen wird das Interesse, welches sich ans Studium anderer Verteilungsgesetze als der exponentiellen, jm besonderen schiefer Verteilungsgesetze, knüpft, in einer formulierten Theorie über den Ursachenzusammenhang zwischen gewissen Phänomenen be- gründet sein. Daß sich die Ostertage nicht exponentiell verteilen können, hängt z. B. mit unserer Anschauung darüber zusammen, daß der erste Vollmond nach der Frühijahrs-Tag- und Nachtgleiche (welcher 1) Siehe z. B. C. G. Andr, Bestemmelsen af Skudsikkerheden ved Skydning mod verticale Skiver. Tidsskrift for Krigsvaesen, 2. Aargang, Kobenhavn 1856, 5. 46 247 das Eintreffen des Ostertags angibt) mit gleicher Wahrschein- lichkeit auf einen beliebigen andern Tag in einem uugefähr vier Wochen umspannenden Zeitraum wird fallen können. Genau so Sührt es die Voraussetzung über die Verteilung der Einschläge nach dem Abstand von einem Diameter einer Schießscheibe geradezu mit sich, daß die Verteilung der Schüsse nach ihrem Abstand vom Zentrum so ausfällt, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, im Abstande x zu treffen, wird, was eine schiefe Verteilungskurve ergeben muß. In solchen und anderen ähnlichen Fällen, in denen man eine Vermutung hinsichtlich des Zusammenhangs hat, nimmt die Unter- suchung, ob die Beobachtungen die Vermutung bekräftigen, die Form einer Ausgleichungsaufgabe an (vgl. das Kapitel über Interpolation und Ausgleichung), bei deren Lösung es sich gerade darum handelt, zu entscheiden, inwieweit bei der zur Nachprüfung aufgestellten Theorie auf alle solchen Umstände (Ursachen) gebührende Rück- sicht genommen ist, welche im Rahmen der verwandten Beobachtungs- methode als wesentlich angesehen werden müssen; und ohne Rück- sicht darauf, welche Ausgleichungsmethode man hierbei benutzt, stützt sich die Entscheidung hierüber, wie oben, in mehr oder weniger ıusgeprägtem Grade auf die Vorstellung, daß die Verteilung nach der Größe der bei der Ausgleichung bestimmten Abweichungen zwischen der Theorie und den Beobachtungen (welche Abweichungen hier als „Fehler“ bezeichnet werden) jedenfalls mit Annäherung ty- pische Form annehmen muß. 165. Bei außerordentlich vielen statistischen Untersuchungen über das Leben der menschlichen Gesellschaft handelt es sich in- des in geringerem Grade darum, die Haltbarkeit der Annahme eines gegebenen (vermuteten) Zusammenhanges nachzuprüfen, als um eine Nachspürung des Ursachenzusammenhanges überhaupt; und sofern dies der Zweck ist, kann man nach den obigen Bemerkungen die Untersuchung im allgemeinen nicht in einem Punkte unterbrechen, in dem man zwar zu einer Verteilung gelangt ist, welche nach über- einstimmenden Erfahrungen als in sich selber ruhend und insofern als typisch erscheinen könnte, jedoch nicht als exponentiell betrachtet werden kann. Jedenfalls wird das Vorhandensein von mehr als einem Maximum im Verteilungsgesetz ein untrügliches Zeugnis dafür ab- legen, daß unter den Ursachen, welche das Beobachtungsergebnis im x \2 P(x) = 2x m (3X a 248 einzelnen Falle entscheiden, mehr als eine sein wird, welche vor- herrschend ist, und bloß eine größere oder kleinere Asymmetrie in der Verteilungskurve wird einer solchen Vermutung Raum geben. In welchem Grade es glücken kann, hinlänglich gute Beobachtungen zu beschaffen und die Teilungslinien zu finden, welche die bei der einzelnen Beobachtung wirksam gewesenen Ursachen charakterisieren, das beruht natürlich auf der Einsicht des Statistikers in die betreffende Frage ınd — wie auch sonst oft — auf einer glücklichen Wahl bei der Teilung des Materials. 166. Daß das Exponentialgesetz nun — wenn das Beobachtungs- material in passender Weise eingeteilt wird — in so auffallend vielen Beobachtungsreihen als Ausdruck für das Verteilungsgesetz wird gelten können, ist eine Tatsache, deren tiefere Begründung schwierig genug sein kann, da die Bedingungen, unter denen die Beobachtungen gemacht werden, so ungemein verschieden sein können: Es soll daher hier nicht versucht werden, eine allgemeine Erklärung für dieses Phänomen zu geben. Zur Beleuchtung der Frage ist jedoch folgende Bemerkung nicht ohne Bedeutung: sofern die Größe O, welche zum Gegenstand der Beobachtung gemacht wird, als eine Summe von genügend vielen Ad- denden gelten kann, von denen jeder für sich als zufällig varlierende Größe betrachtet wird, muß das Verteilungsgesetz für O zur An- nahme exponentieller Form neigen. Dies haben wir im Vorhergehenden in den einfacheren Fällen zu bestätigen versucht, wo sämtliche Addenden als entweder bi- nomiellen oder exponentiellen Verteilungsgesetzen folgend gedacht wurden. Über diese Fälle hinaus wird die Bestimmung der genauen Form des Verteilungsgesetzes für eine Summe von vielen Addenden, deren einzelne Verteilungsgesetze bekannt sind, wie im $ 149 erwähnt, in der Regel beschwerlich sein und oft sehr komplizierte Ausdrücke er- geben. Sind die Addenden gegenseitig unabhängig, so kann man jedoch unter gewissen sehr allgemeinen Voraussetzungen über die Verteilungs- gesetze für die einzelnen Addenden beweisen, daß sich das Verteilungs- gesetz für O mit allmählichem Anwachsen der Zahl der voneinander unabhängigen Addenden 0;, 02, 03. ... mehr und mehr der exponen- tiellen Form nähern muß. Wenn die Erwartung und der mitt- lere Fehler im Verteilungsgesetz für o, gleich er und ur ist, so ergeben sich als die der Summe 0= 01-706 -70 ..- entsprechenden Größen 246 E(O) = u= Su, und es hängt dann im wesentlichen nur von der Anzahl der Glieder ab, mit wie guter Annäherung man die Tabelle 22 (das Exponential- gesetz) wird benutzen können, um die Wahrscheinlichkeit dafür zu finden, daß 0 — E(0) < w-v (wo v eine willkürlich gegebene Zahl) ist; dagegen spielen die besonderen Formen, welche die Verteilungs- zesetze für 0,, 0,, 08 .... haben möchten, und speziell die binomiale Form dieser Verteilungsgesetze eine geringere Rolle. Selbst wenn das Exponentialgesetz oben als Grenzform für das Binomialgesetz abgeleitet ist, ist die Tendenz, diese Grenzform anzunehmen, wie früher ($ 155) erwähnt, nichts für die binomialen Verteilungsgesetze Charakteristisches, sondern eine Tendenz, welche für Polynomien mit vielen, zufällig variierenden Gliedern charakteristisch ist, Da der Beweis hierfür indes um- fassende mathematische Hilfsmittel verlangt, wollen wir uns an dieser Stelle auf ein paar Beispiele beschränken. 167%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Gesamtzahl der bei einem Wurf mit n guten Würfeln erhaltenen Augen innerhalb gegebener Grenzen fällt? Wenn n=1 ist, kann man 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 Augen bekommen; die Wahrscheinlichkeit eines jeden dieser Ausfälle wird gleich 1, gesetzt. Ist n=2, so haben wir bereits oben ($ 95) die Wahrscheinlichkeit dafür, eine der Summen 2—12 zu erhalten, gefunden. Wenn n=3 ist, kann man die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zwei Würfel, welche zusammen x Augen aufweisen, mit einer Würfel- seite, welche y Augen ergibt, zusammentreffen, dadurch finden, daß man die für n = 2 ermittelten Wahrscheinlichkeiten mit !/, multipliziert. Die Resultate kann man in eine Korrelationstabelle (vgl. 8 95) eintragen und in dieser die Wahr- scheinlichkeiten für alle Zusammentreffen von x und y, deren Summe eine ge- zebene wird, aufsuchen und addieren; dabei findet man folgende (in 216-teln an- zegebene) Wahrscheinlichkeiten: Die Wahrscheinlichkeit der Summe *-mme 3t Z7 ‚<& 91 + UJ ) 27 Multiplizieren wir nun diese Wahrscheinlichkeiten mit den Wahrscheinlich- keiten dafür, daß ein 4. Würfel 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zeigt, so können die hierbei er- haltenen Wahrscheinlichkeiten aufs neue in eine Tabelle geschrieben werden, und die Wahrscheinlichkeit, daß 4 Würfel eine gegebene Summe aufweisen, läßt aich danach durch Addition ermitteln, und so kann man fortfahren. 9250 Daß sich die Verteilungsgesetze, zu denen man allmählich kommt, wie das Binomialgesetz sehr schnell der exponentiellen Form nähern, kann zahlenmäßig analog der in den 88 104 und 105 erfolgten Beschreibung für das Binomialgesetz nachgewiesen werden. Da die Erwartung und der mittlere Fehler im Verteilungs- gesetz für die bei Würfen mit 1 Würfel erhaltene Anzahl Augen 3,5 + 1/4 V 105 ergeben (vgl. Aufg. 24), werden Erwartung und mittlerer Fehler im Verteilungs gesetz für die Summe S der Anzahl der von n Würfeln ausgewiesenen Augen 35.n +14 V105n sein. . S—3,5n . Wird x == als Abszisse und die Wahrscheinlichkeit dafür, die A V105n ) Summe S zu erhalten, als Ordinate angesetzt (mit dem reziproken Wert des mittleren Fehlers als Einheit), so findet man für n=1, 2, 3, 4 und 8 die in Figur 5 abgebildeten Kurven, welche einen recht deutlichen Eindruck davon geben, daß sich das Verteilungsgesetz schnell der Gleichheit mit der Exponentialkurve nähert. Wenn beispielsweise n = 8 ist, wird die Erwartung E(S) = 28 und die Wahrscheinlichkeit, gerade diese Summe zu erhalten, gleich 0,0809; die Wahr- scheinlichkeit dafür, daß die Summe innerhalb des Spielraumes 3 fällt (die Wahr- scheinlichkeit, entweder die Summe 27 oder 28 oder 29 zu bekommen), wird 0,2397; im ganzen findet man folgende Tabelle über die Wahrscheinlichkeit I (in Prozent), daß S innerhalb gegebener Spielräume fällt: D 8,09 22,97 £ 99 “46 ‚29 34'908 a] 13 15 7 19 21 23 P 81,87 87,86 9223 95,26 97,26 0851 Wenn man in dieser Tabelle durch Interpolation die Spielräume ermittelt, innerhalb deren die Summe S mit den Wahrscheinlichkeiten 25, 40, 50, 70, 85 und 95%, fallen wird, und die gefundenen Spielräume mit dem mittleren Fehler im Verteilungsgesetz für S mißt, für welchen mittleren Fehler man u = 1!/; V840 — 4.83 erhält. so ergeben sich folgende Zahlen : P 25 9. AN 83 de 5 95 Faktische Verteilung "AN S5 u 7 u „Ju 1791 -= 371 u Exponentialgesetz 64 u 05 u 35 4 ‚7 u 2,89 u 203 Zum Vergleich sind in der letzten Kolonne die entsprechenden Werte vor s nach der Tabelle 22 (Exponentialgesetz) angeführt; hiernach ist 8 eine Anzahl deren Größe dazu ausreicht, das Verteilungsgesetz für die Gesamtzahl der Augen als expdonential zu betrachten: man kann daher. wenn es sich um die nach wu Pa rl) Ni ig Sa Fig. 6. 252 Würfen mit einer größeren Anzahl erhaltenen Summen handelt, das wirkliche Verteilungsgesetz gegen das Exponentialgesetz umtauschen, genau So, wie es mit dem Binomialgesetz der Fall war. Aufgabe 51. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einem Wurf mit 10 Würfeln eine Summe von Augen zu erhalten, welche höchstens um 5 von der erwarteten abweicht? Aufgabe 52. Ein Bote behält als Vergütung dafür, daß er einmal monat- lich einen Betrag von wechselnder Größe abholt, die Pfennige und liefert nur die Mark ab. Wenn die Zahl der Pfennige mit gleicher Wahrscheinlichkeit jeden Wert zwischen 1 und 99 annimmt, mit welcher Vergütung kann dann der Bote pro Monat rechnen? Finde die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Vergütung in einem einzelnen Monat nicht mehr als 10 Pfennig von der Erwartung abweicht. Finde die Wahrscheinlichkeit, daß die durchschnittliche monatliche Vergütung 1. nach Verlauf eines Jahres, 2.nach Verlauf von 5 Jahren nicht mehr ale 10 Pfennig von der Erwartung abweicht (vgl. Aufg. 27). 168. Da die Verteilung, welche in obigem Beispiel n = 1 (dem Verteilungs- gesetz für den einzelnen Addenden) entspricht, symmetrisch ist, werden ebenso wie beim Binomialgesetz alle Verteilungskurven symmetrisch. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, dann erreicht man erst bei größerer Gliederzahl eine entsprechend gute Übereinstimmung. Als Beispiel hierfür kann das im 8 127 behandelte gelten. Wie bei den Würfeln kann man durch fortgesetzte Multiplikation und Addition die Wahrscheinlichkeit dafür finden, daß die Summe der in n Ziehungen er- haltenen Zahlen einen gegebenen Wert hat. Vorausgesetzt wird, daß ein ge- zogenes Stäbchen vor der nächsten Ziehung in den Beutel zurückgelegt wird. Da die Erwartung in der einzelnen Ziehung 988 mit einem mittleren Fehler von 1 ist. wird die Erwartung für die Summe von n gezogenen Zahlen 988 n + V n ; N 3 S—988 nn x . sein; und trägt man wie oben % — 7% - als Abszisse und die entsprechende Wahrscheinlichkeit (multipliziert mit Ya) als Ordinate ab, so findet man für n=1, 2,3, 6 und 16 die in der Figur 6 abgebildeten Kurven; diese Kurven werden, wie erwähnt, nur mit Annäherung symmetrisch; im übrigen aber geht es hier wie mit dem Binomialgesetz (vgl. 8 111): je mehr Addenden in der Summe enthalten sind, desto bessere Übereinstimmung mit dem Exponentialgesetz erhält man. Wenn man für den Fall n = 16 analog dem vorigen Beispiel die Spiel- räume s, innerhalb deren die Summe S mit den Wahrscheinlichkeiten 25,40....% fallen wird, berechnet und diese Spielräume mit dem mittleren Fehler im Ver- teilungsgesetz für S mißt, für welchen mittleren Fehler man u = V16 = 4 erhält dann ergeben sich folgende Zahlen: Faktische Verteilung 2,58 = 0,64 u 4,25 = 1,06 u 5,46 = 1,26 u 3,37 = 2,9 u 11,57 = 2,89 u 1566 — 3.92 u r 25 40 50 ,, 70 „ 85 95 as 53 Auch hier ist die Annäherung so gut, daß man in den meisten Fällen eine genaue Bestimmung für die Wahrscheinlichkeit wird erhalten können dafür, daß die Summe einer größeren Anzahl von Addenden zwischen gegebene Grenzen fällt; man hat nur statt des genauen Verteilungsgesetzes die Tabelle 22 zu benutzen. Aufgabe 53. Ein Beutel enthält 5 Stäbchen; auf zweien steht 20 M ge- schrieben, auf den 3 übrigen 1 M; im übrigen aber sind sie gleichartig. Dem Beutel werden auf einmal 2 Stäbchen entnommen, und die Summe der darauf aotierten Beträge wird als Gewinn ausgezahlt; welchen Betrag kann man ge- winnen, und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, jeden der möglichen Beträge zu gewinnen? Wenn 1500 M für die Erlaubnis zur 100maligen Wiederholung des Spieles bezahlt werden, dann wird nach der Wahrscheinlichkeit dafür gefragt, die 100 Spiele ohne Verlust zu beendigen. 169. Zur Beleuchtung dessen, was oben ($ 163) hervorgehoben wurde, daß der beim Gesetz der großen Zahlen definierte „Zufälligkeitsbegriff“ nicht in allen Fällen damit zusammenzufallen braucht, was man in anderen Verbindungen unter „zufällig“ versteht, sei hier noch ein Beispiel angeführt. Hierzu kann das Roulettenspiel benutzt werden. Eine zirkelrunde Scheibe denkt man sich in 38 Sektoren geteilt, welche abwechselnd weiß und rot gefärbt sind und deren Größe zuerst inach einer Differenzreihe anwächst, danach in der- selben Weise abnimmt, wie es — der Umkreis ist in 200 „Grade“ eingeteilt ge- dacht — aus folgendem Schema hervorgeht: vTeLs rel Vi weil °C * Ne: ve“ Ww€E a cc Ar ot weiß vot reiß rot LO0O Ne‘ 155° weiß Die Scheibe denkt man sich in zweckmäßiger Weise auf einer senkrechten, leichtbeweglichen Achse angebracht und in schnelle Drehung versetzt. Da nun nicht allein die Hälfte der Sektoren weiß ist, sondern außerdem jedem weißen Sektor von einer gegebenen Größe ein roter Sektor derselben Größe entspricht, So daß — zusammengenommen — die eine Hälfte der ganzen Scheibe weiß. die __ = 254 andere rot gefärbt ist, so kann man mit */, als Ausdruck für die Wahrscheinlich: keit dafür rechnen, daß die Farbe, welche, wenn die Scheibe hält, einem festen Zeiger gegenübersteht, weiß ist. Werden die Versuche viele Male wiederholt, und notiert man die Farbe, auf welche der Zeiger hindeutet, bei jedem Anhalten der Scheibe, dann hat man auch Ursache dazu, eine Beobachtungsreihe zu erwarten, welche genau so ausfällt und aus der ganz dasselbe abgeleitet werden kann, wie es im $ 79 bei der Behandlung der Erfahrungen aus den Kugelversuchen der Fall war, und die wir mit den Worten charakterisieren können, daß es ein Zufall ist, ob die Scheibe bei rot oder weiß anhält. Denkt man sich dagegen, daß die Farbe jedesmal, wenn sich die Scheibe um einen gewissen konstanten Winkel gedreht hat, notiert wird, dann kann man jedesmal im, voraus angeben, ob man weiß oder rot erhält; jedenfalls anscheinend handelt es sich also nicht länger um Begebenheiten, welche zufällig und un- abhängig von den Ausfällen der vorhergehenden Ereignisse ein- treffen. Der hier hervortretende Unterschied bezieht sich jedoch eher auf die Übersichtlichkeit, mit welcher man das Resultat eines Versuches voraus- zuberechnen imstande ist. Wird die Farbe jedesmal, wenn sich die Scheibe gerade um 200 oder 100 „Grad“ gedreht hat, notiert, dann ist es überaus einfach, die Ergebnisse vorauszusagen. : Anders jedoch, wenn man die Farbe z. B. für je 61 „Grad“ abliest oder andere, namentlich größere Primzahlen wählt. Die Auf- gabe nimmt dann einen ähnlichen Charakter an, als ob es das Resultat in dem Falle der schnellen Rotation vorauszusagen gälte, d.h. die Resultate weiß und rot finden sich anscheinend zufällig ein. Für obiges Schema kann man leicht zu einem Resultat, z. B. für die ersten 100 Ablesungen gelangen. Beginnt man diese. wenn der Zeiger vor 0,5 „Grad“ steht, so findet man, daß 61,5 weiß ergibt 122,5 rot » 183,5 weiß ,, 9244. 5 vs 305,5 rot ergibt 366,5 weiß ,, 427,5 ” 4885 „7 usw., und diese Reihe von Beobachtungen wird ganz ähnliche Verhältnisse wie die bei den Kugelversuchen gefundenen ergeben. Aus den ersten 100 Resultaten wird man ersehen, daß 51 auf weiß und 49 auf rot Jauten. Weiß folgt auf weiß 94 Male und rot auf rot 26 Male. Weiß kommt dreimal hintereinander in 12, rot in 14 Fällen; dies entspricht ganz dem, was man nach dem Satze über die Multiplikation'von Wahrscheinlichkeiten unkorrelierter Begebenheiten erwarten sollte; man wird es somit wie bei den Kugelversuchen als „zufällig“ bezeichnen können, ob man in dem einzelnen Versuche das Resultat weiß oder rot erhält; beobachtet man dagegen die Summe vieler Versuchsreihen. so wird der Spielraum der Zufälligkeiten begrenzt. 170. In den hier betrachteten Beispielen haben wir der Einfach- heit halber angenommen, daß sämtliche Addenden demselben Ver- teilungsgesetz folgten; dies ist “indes, wie oben erwähnt, keine not- wendige Bedingung dafür, daß sich das Verteilungsgesetz der Summe der exponentiellen Form nähert; können die einzelnen Addenden ferner als voneinander unabhängig betrachtet werden, so folgt aus 255 der Weise, in der dann der mittlere Fehler im Verteilungsgesetz für die Summe durch den mittleren Fehler in den Verteilungsgesetzen der einzelnen Addenden ausgedrückt wird, daß auch der arithmetische Durchschnitt von Beobachtungen, welche einer Reihe verschiedener Verteilungsgesetze folgen, sich mit wachsender Wahrscheinlichkeit ler Erwartung für die Summe nähern wird, wenn die Zahl der Versuche zunimmt. Obwohl wir hier nicht näher auf diese erweiterten Formen für „das Gesetz der großen Zahlen“ eingehen wollen, ist es jedoch nicht ohne Interesse zu bemerken — was bereits oben, $ 155, an- gedeutet wurde —, daß auch dieses Gesetz nicht mit Notwendigkeit dadurch bedingt ist, daß die Addenden gegenseitig unabhängig sind; von der Art und Weise, in der die Abhängigkeit zustande kommt, wird es dann abhängen, teils, ob das Verteilungsgesetz für die Summe solcher korrelierten Addenden überhaupt sich der exponentiellen Form nähert, teils, welche Größe der mittlere Fehler dieses Verteilungs- gesetzes erhält, und ob der Durchschnitt solcher Beobachtungen dem Gesetz der großen Zahlen folgt. 171. Wie oben erwähnt, ist in der Statistik eine häufig vor- kommende und gleichzeitig eine der wichtigsten Aufgaben die, ent- scheiden zu können, ob ein vorgefundener Unterschied zwischen zwei durch eine gewisse Zahl von Beobachtungen bestimmten Durch- schnitten — hierunter speziell zwei relative Häufigkeiten — zu- fälligen oder wesentlichen Ursachen zuzuschreiben ist. Allerdings läßt sich die Grenze zwischen diesen Gruppen von Ursachen nicht mit voller Genauigkeit festlegen; bei vielen Phänomenen in der menschlichen Gesellschaft jedoch kann man mit genügender An- näherung die genannte Unterscheidung vornehmen und den Zu- sammenhang zwischen den betreffenden Beobachtungen zahlenmäßig zum Ausdruck bringen. Unter der Voraussetzung, daß gerade die gleichen Umstände zu anderer Zeit, an anderem Ort und in einer anderen Gruppe für das betrachtete Phänomen entscheidend sein werden, wird man denn auch mit Annäherung manche Resultate vorausberechnen können; diese Seite der Sache war bis zu einem zewissen Grade der Hauptzweck der politischen Arithmetik. Wer sich durch Berechnungen dieser Art einen Ausdruck für die erzielte Genauigkeit zu verschaffen sucht, wird indes wieder auf die Schwierigkeit stoßen, welche in einem anderen Zusammenhange oben ($ 151) erwähnt wurde und daher rührt, daß man im allgemeinen nit beobachteten Zahlen operiert. Wer sich nur auf dem Wege der 256 Beobachtung eine zahlenmäßige Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit p verschaffen kann, der muß denn auch damit rechnen, daß die einer Vorausberechnung anhaftende Unsicherheit größer werden muß als diejenige, mit der man bei vorher bekanntem p rechnen muß. 172. Zwecks näherer Untersuchung, um wieviel es sich hier handelt, kann man sich vorstellen, daß in gewöhnlicher Weise (unter Zurücklegung) einem Beutel mit weißen und roten Kugeln im Mischungsverhältnis p:q (p + a =1) Kugeln entnommen werden. Nehmen wir an, daß zuerst K, Kugeln gezogen werden, daß die Zahl der hierbei erhaltenen weißen Kugeln H, ist, und daß danach K, Kugeln, wobei man das Resultat H, weiße Kugeln erhält, entnommen werden. Die Verteilungsgesetze für H, und H, werden binomial (mit Annäherung exponential) ausfallen und folgende Erwartungen und mittlere Fehler haben: für Hı: p-Kı und V Kıpq für H»: p-K, und VK, pda. Wenn man indes nicht p kennt, sondern auf Grund der ersten K, Beobachtungen diese Wahrscheinlichkeit zu —_HAı Pı1 _ K;ı ansetzt, so wird die Erwartung im Verteilungsgesetz für H, gleich K;,- En gesetzt, so daß die Abweichung, statt zu x=p-K,-—H, bewertet zu werden, — H, KH Y KR. wird. Dabei wird die Erwartung für y allerdings Null, ebenso wie E(x), da K + E(H;) — E(H;) A, — — 90. K;ı pK; pK, () ist, wie auch das Verteilungsgesetz für y exponentiell wird ebenso wie das Verteilungsgesetz für x; während jedoch das Quadrat des mittleren Fehlers im letzteren Verteilungsgesetz, wie oben gesagt, E (x’) = K,pq wird, ergibt sich als Quadrat des mittleren Fehlers im Verteilungs- gesetz für y 257 u3= E( 2 (X 3 == y” = 2) .s K Ee K (X) ı Pd 2 Pd, da man sich H, und H, als gegenseitig unabhängig denken kann: ünd somit ist u? = K,pq (1 + R)- In diesem Ausdruck sind p und q unbekannt; aber berück- sichtigt man, daß das Quadrat des mittleren Fehlers im Verteilungs- zesetz für die bei den K, ersten Versuchen gefundene relative Häufigkeit (p;) P9 _ _ DıQL_ K,; K, ist (vgl. $ 156), so wird u? =— K; (K; + K,) Ku * Beispiel: Im Jahre 1915 wurden in Dänemark 70192 Kinder lebend ge- boren, davon waren 35 982 Knaben; wie viele der im Laufe der fünf Jahre 1916 —20 in Dänemark lebendgeborenen 361322 Kinder können hiernach als Knaben ge- rechnet werden ? Die Sexualproportion (die Wahrscheinlichkeit für eine Knabengeburt) wird nach Erfahrungen aus dem Jahre 1915 35 982 70192 = 0,5126. Man kann dann damit rechnen, daß von den in der Periode 1916—20 Ge- Jorenen 331322 pp, — 185 221 Knaben sein werden. Der mittlere Fehler is) vo pıd 367 322 . (361322 + 70 192) + EL, d. h. u — 745, so daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die wirkliche Anzahl bei- 3pielsweise innerhalb der Grenzen 185221 — 3 u = 182 986 185221 + 3 u = 187456 fällt, gemäß der Tabelle 22 gleich 0,9973 wird. Tatsächlich war die Zahl 185299. Aufgabe 54. Einem Beutel mit N Kugeln, von denen einige weiß, andere rot sind, entnehme man eine Handvoll von n (n < N) Kugeln; es wird sich da- vei ergeben, daß p,.n weiß sind. Berechne, wieviele der übrigen Kugeln und 3ämtlicher N Kugeln hiernach als weiß anzunehmen sind, und gib an, mit welcher Sicherheit sich diese Berechnung vornehmen läßt. 173. Die im $ 172 betrachtete Aufgabe ist nur ein spezieller Fall der folgenden Aufgabe, bei deren Lösung wir die Summe Westergaard und Nybolle, Theorie der Statistik, 2. Autl. * 258 O0, = 01 + 02 +08 ....... On betrachten und wo die Summanden nicht gebunden sind, mit ge- wissen Wahrscheinlichkeiten einen von nur zwei verschiedenen Werten (0 und 1) anzunehmen, aber mit gewissen Wahrscheinlichkeiten einen unter beliebig vielen Werten annehmen können. Es wird jetzt wie früher vorausgesetzt, daß das Verteilungsgesetz für alle Summanden dasselbe ist; und wir geben diesem Verteilungsgesetz die Erwartung e und den mittleren Fehler u. Sind e und 4 bekannt, so werden sich die Werte, welche die Summe O0, von N Addenden annehmen kann, exponentiell mit der Erwartung N-e und dem mittleren Fehler uVN verteilen; wenn man dagegen bei n Beobachtungen als präsumptiven Wert für e das arithmetische Mittel e; = 10: gefunden hat und daraus schließt, daß die Summe von N Addenden Ne, wird, so findet man die Ab- weichung y=N- ej — Os. Das Verteilungsgesetz für y muß mit Annäherung ein Exponential- gesetz sein; es bekommt wie das Verteilungsgesetz für x=N-e—0 die Erwartung Null; da jedoch e, und O, wie früher als voneinander unabhängig betrachtet werden, wird das Quadrat des mittleren Fehlers im Verteilungsgesetz für y nicht u? - N, sondern dagegen 2 u? = N 4 Nu? = Nu? (1 + N) welche Größe, wenn n= Kı, N=K, und u?==pq ist, das oben gefundene Resultat gibt. Wenn man für den Mittelwert des Quadrats der Abweichunger zwischen den n Beobachtungen und dem Durchschnitte e, aus diesen (dem empirischen mittleren Fehler) wu? gefunden hat, dann kann mar wie früher damit rechnen, daß Mal n n—1 ist, und erhält also uU? — AS — N (N + n) A —1” Beispiel: Nach der Viehzählung in Dänemark im Jahre 1909 belief sich die Zahl der Kühe unter 10 Jahren in 18 zerstreut liegenden Kirchspielen des Kreises Svendborgz insgesamt auf 12.200: jedes dieser Kirchspiele hatte also durch 259 schnittlich 678 Stück, und der mittlere Fehler in der Verteilung dieser 18 Kirch- spiele betrug 338. Wie viele Kühe unter 10 Jahren darf man hiernach in den übrigen 72 Kirchspielen des Kreises!) vermuten, und wie zuverlässig läßt sich diese Berechnung durchführen ? Da N =72 und e, = 678 ist, so erhält man als Anzahl der Kühe in den übrigen 72 Kirchspielen N .e, = 72.678 = 48800, sodaß die Gesamtzahl der Kühe des Kreises auf 61000 veranschlagt werden kann. Als mittleren Fehler für diese Bestimmung erhält man: 78 0 PS] 2507124 = 6600, u? 338? , % warm) so daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die faktische Zahl innerhalb der Grenzen 61000 — 3 u, == 41 000 und 61000 +3 u, = 81000 fällt, nach der Tabelle 25 jedenfalls größer als 0,889 ist und nach dem Exponential- gesetz 0,9973 sein sollte. Tatsächlich war die Zahl 67838. Diese Berechnung ist somit ziemlich unsicher; wenn man da- zegen außer dem im Beispiel Gegebenen zugleich über eine voll- ständige Erhebung des Kuhbestandes sämtlicher Gemeinden zu einem /rüheren Zeitpunkte, z. B. über die Ergebnisse der im Jahre 1898 abgehaltenen Zählung verfügt, wird man diese Kenntnis für eine genauere Berechnung ausnutzen können, indem man statt des eigent- lichen Kuhbestandes der 18 Kirchspiele entweder die Differenz zwischen dem Bestande der Jahre 1898 und 1909 (vgl. Aufgabe 55) oder das Verhältnis zwischen den Beständen dieser Jahre (den pro- zentischen Zuwachs), vgl. 8 174, betrachtet. Aufgabe 55. Für 18 zerstreut liegende Kirchspiele im Kreise Svendborg verteilten sich die Differenzen zwischen der Anzahl von Kühen unter 10 Jahren ‘898 und 1909 um den Durchschnitt 146 mit einem mittleren Fehler von 89. Mit welchem Bestandzuwachs von 1898 bis 1909 kann man rechnen 1. für die 72 übrigen Kirchspiele des Kreises, 2, für den ganzen Kreis? Berechne, wieviele Kühe unter 10 Jahren hiernach im Jahre 1909 vermutlich im ganzen Kreise Svend- voorg gewesen sind, weun der Bestand im Jahre 1898 sich auf 63418 belief, und gib an, mit welcher Sicherheit sich diese Berechnung vornehmen läßt. Aufgabe 56. Ein rechteckiges Feld von 50 m Länge und 30 m Breite st in 15 Quadrate zu je 10X10 m geteilt, und in der Mitte eines jeden ein Regenmesser aufgestellt, dessen Grundfläche ein Quadrat von 10 cm Seitenlänge st. Nach einem Gewitterregen werden den 15 Messern folgende Regenmengen abgelesen: "nm 25mm 21 mm 9 ıdi ‚’ Pa ‚7 19 h Von den Inselchen Lyo und Avernako sowie von den winzigen Land- zemeinden Nyborg, St. Jorgens und Faaborg ist hier abgesehen. 260 — Berechne, wieviele hl Regen nach diesen Messungen vermutlich dem Felde zugeführt werden, und gib an, mit welcher Sicherheit diese Berechnung vor- genommen werden kann. Von Meßfehlern beim Ablesen der Messer ist ab- gesehen. 17/4. Von den zwei im vorigen Paragraphen genannten Möglich- keiten wird die letztere am besten die Voraussetzung darüber er- füllen, daß das Verteilungsgesetz für alle Beobachtungen dasselbe sein soll. Bezeichnet man die gegebene und bekannte Viehzahl nach der älteren Zählung im Kirchspiel Nr. i mit a; und den Zuwachs, mit dem a; zu multiplizieren. ist, um den Viehbestand des Jahres 1909 zu ergeben, mit o:, dann nimmt der Ausdruck für den ge- samten Viehbestand in N Kirchspielen die Form eines Polynomiums O0 = 3,01 + 83,02 + 8308 + +... . anNON an. Wenn man nun im allgemeinen das Polynomium O0 = 01 82° 02 + .... 4 an“ On betrachtet, WO a, az, as .... gegebene Zahlenkoeffizienten, 0,, 0, 03... dagegen zufällig variierende Größen sind, welche dem gleichen Verteilungsgesetz init der Erwartung e und dem mittleren Fehler u folgen, dann wird das Verteilungsgesetz für O, die Erwartung E(O0)=e-4A4 und den mittleren Fehler u = 4 VB erhalten, wo der Kürze halbeı A=4 +8 +3 +.... + an B— a? H al2-tLHa24.,... + an? ist. Wenn man nun, nachdem auf dem Wege direkter Beobachtung aus 01, 02 ... On festgestellt ist, daß a 0, +8 00 +..... an‘ 0n= Qt wird, schließt. daß 0 e > = Ci, wo eı, eine zufällig variierende Größe mit dem mittleren Fehler £* YB ist und man daher für 0 = antı" 0On+1 7 An+2° On+2- ++ +++ AN+o * ON+n OO, = ee * C erhält. wo C=— an +1 T- an+2 ++ «os an+4-N ist, dann erhält man die Abweichung 261 y = €, . C— ©, welche ebenso wie xx=26:C—0 lie Erwartung Null hat; aber während man für den mittleren Fehler im Verteilungsgesetz für x den Wert uVD findet, wo D= dnt+ı? + &n+2?... . dn+NP ist, so findet man für den mittleren Fehler u, im Verteilungsgesetz für y, daß B ° 4?= C? 75 MH? + m? D = up {1 + A| Wenn alle Koeffizienten a,, a, a .... gleich groß und gleich a sind, so wird A=2-a3 B=n- a? C=N-a D=—VN- a? und demgemäß u? — (au)? « N(1 +2) übereinstimmend mit dem im 8 173 gefundenen Resultat. Falls sich dagegen die n Koeffizienten a +... an um den Durch- schnitt a mit dem mittleren Fehler « und die N Koeffizienten an+1 ++ am+N Sich um den Durchschnitt b mit dem mittleren Fehler 3 verteilen, wird A=na B = n(a? + «?) C=Nb D = N(b? + 87), ınd man erhält dann = N (2 89$1 - 1. : -- 1 “m 1 “ ll woraus aufs neue = u DU + S) folgt, wenn die Koeffizienten a, a... a und die Koeffizienten An+1-.... an+N die gleichen Durchschnitte und den mittleren Fehler (a = b und « = ß) haben, welche Bedingung oft annähernd erfüllt sein wird. Die Unterschiede, welche die Koeffizienten auf- weisen, werden ferner in manchen Verwendungen im Verhältnis 262 zur Größe der Koeffizienten klein sein, d. h. « und @ werden im Vergleich mit a und b klein sein, in welchem Falle man ebenfalls annähernd genau mit der einfachen Formel rechnen kann. In dem gefundenen Ausdruck für u? kennt man nun w* nicht: aber ebenso wie man präsumptiv eu A101 Ft 8202 to + +++ +++ AnOn e BEL — — = A setzt, kann man damit rechnen, daß A 1 1 2 2 . a0 . anOn ) + + €; ist. Die durchschnittliche Größe e, von 0;, 02, 03 .... On und der mittlere Fehler u? sind hierbei unter Berücksichtigung der verschiedenen Größe der Koeffizienten aı, a, as.... a; berechnet; wie gesagt, werden die Unterschiede zwischen diesen Koeffizienten in vielen Ver- wendungen ohne größere Bedeutung sein, so daß man mit guter An- näherung geradezu O4 +. 01 + 0a + 08 + e, — - . On „N Se 1 € £ und u? — = Soi* — a,% setzen kann. Beispiel: Nach der Viehzählung des Jahres 1898 verteilte sich die Zahl der unterzehnjährigen Kühe in 18 zerstreut gelegenen Kirchspielen im Kreise Svendborg um einen Durchschnitt von 514 mit einem mittleren Fehler von 275. Die entsprechenden Zahlen für die übrigen 72 Kirchspiele des Kreises betragen 613 + 292. Gemäß der 1909 abgehaltenen Viehzählung verteilten sich die Zu- wachsprozente von 1898 bis 1909 in den erstgenannten Kirchspielen um einen Durchschnitt von 25,6%, (e, = 1,256) mit einem mittleren Fehler von u — 0,108 Mit welcher Viehzahl muß man hiernach für's Jahr 1909 für die übrigen 7% Kirchspiele und für den ganzen Kreis rechnen. und mit welcher Sicherheit 1äßt sich diese Berechnung vornehmen ? Die Viehzahl des Jahres 1909 in den 72 Kirchspielen kann auf 72 . 613 - 1,256 — 55400 veranschlagt werden, und da die entsprechende Zahl für die 16 Kirchspiele 18 - 514 - 1,256 = 11600 ist, ergibt sich ein Viehbestand für den gauzen Kreis im Jahre 1909 von 67000, während er, wie im $ 173 erwähnt, faktisch 67838 betrug. Zur Feststellung des mittleren Fehlers im Verteilungsgesetz für diese zwei berechneten Zahlen ist zu bemerken, daß 2 N ho 5) 1,286 \ \ — ? = 1+ zZ — Ta) Se a 1+ (£) 263 und daß man erhält also D=72. (b? + 8) = 72 . 461033 = 33194000, u? = 0,108? = 0,01166: 4,7 = 0,01166 - 33194 000 . 5,192 u, = V2010000 = 1418, während man, wenn ganz einfach der Faktor 5,192 durch 1 + A 5 ersetzt rürde. 4, = V1935000 = 1391 erhalten hätte. Der Umstand, daß man aus den Ergebnissen einer früheren Zählung hat Nutzen ziehen können, hat somit die Unsicherheit bedeutend vermindert. Mit einer Wahrscheinlichkeit, welche; jedenfalis größer als 0,899 ist und vermutlich in der Nähe von 1 liegt, kann man hiernach rechnen, daß die richtige Zahl innerhalb der Grenzen 67000 — 3 x, = 62800 und 67000 + 3 u, — 71200 liegt. Aufgabe 57, In 22 der 66 Landgemeinden des Kreises Maribo machten im Jahre 1921 die 15- bis 25jährigen Männer von der männlichen Bevölkerung der ganzen Gemeinde Bruchteile aus, welche sich um 0,1744 mit einem mittleren Fehler von 0,015 verteilten. Wenn sich diese 22 Gemeinden nach der Zahl der Männer sämtlicher Altersklassen um den Durchschnitt 679 mit einem mittleren Fehler von 355 und die übrigen 44 Gemeinden sich um den Durchschnitt 673 mit einem mittleren Fehler von 310 verteilten, so ist die Zahl der 1921 im Kreise Maribo be- Ändlichen 15- bis 25jährigen Männer zu berechnen und anzugeben, mit welcher Sicherheit die Berechnung durchgeführt werden kann. 175. Man kann sich im Gegensatz zu der oben im $ 172 be- handelten Aufgabe denken, daß man bei Ziehungen aus einem Beutel lie Zahl der entnommenen weißen Kugeln, jedoch nicht die Anzahl ler gesamten Ziehungen ermittelt hat und daß man teils auf Grund ler vorgenommenen Aufzählung, teils auf Grund einer im voraus auf dem Wege der Erfahrung beschafften Kenntnis des Mischungs- verhältnisses im Beutel eine Berechnung über die Anzahl der Ziehungen und über die Sicherheit vornehmen kann, mit der sich ine solche Berechnung durchführen läßt. Diese Aufgabe kann folgendermaßen angefaßt werden: Das Ver- hältnis zwischen der Anzahl von weißen und roten Kugeln denkt man sich wie gewöhnlich mit p und q (p + q= 1) bezeichnet. Zieht man so lange aus einem Beutel, bis man n weiße Kugeln erhalten hat, dann läßt sich nach der Wahrscheinlichkeit p,, daß gerade r Male T=n) gezogen worden ist, fragen. Bezüglich der Feststellung von Dr ist zu bemerken, daß die n-te gezogene weiße Kugel die Versuchs- 264 reihe abschließt, einerlei, in welcher Ordnung die ersten (n— 1) weißen Kugeln gezogen worden sind. Die gesuchte Wahrscheinlich- keit ist daher die Wahrscheinlichkeit dafür, in den ersten (r— 1) Ziehungen (n— 1) weiße Kugeln und in der r-ten Ziehung weiß zu erhalten: die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens dieser zwei Be- gebenheiten ist ' T— 1} n—1 ar—n " v(I7; pP q und p'=P, woraus folgt, daß ' " r—1 Dr = + D'= pt | _y) Id wo r=n. Ist im besonderen n==1, so wird die Wahrscheinlichkeit, daß sich weiß zum erstenmal im x-ten Zug (x = 1) zeigt, Px = pa*7). Für eine Größe x, welche diesem letzteren Verteilungsgesetze folgt, kann man leicht die Erwartung als Eix= pP und einen mittleren Fehler im Verteilungsgesetz von _V4 u V:: feststellen *). Betrachtet man danach die Summe = Xi X 30.0 004044 Xn aus der Anzahl von Malen, xX,, X, Xs, ..., Welche man ziehen muß, um die erste, die . zweite usw. und die n-te weiße Kugel zu erhalten. so wird sich als Erwartung für ı n E(r)=- (r) D und als mittlerer Fehler im Verteilungsgesetz prfür r 1 — u = Van = — Ynq D D ergeben. Ist nun so lange aus einem Beutel gezogen worden, bis man H; weiße Kugeln erhalten hat, und hat man zur Erreichung dieses Resnul- 1) Vergl. den Anhang. 265 tats K, Male ziehen müssen und in einer Reihe von K, neuen Versuchen H; weiße Kugeln erhalten, und wird nun daraus geschlossen, daß H, HE, K, Male zezogen worden ist, dann begeht man den Fehler H X — = K; — K,, wo die Erwartung für x __H, — _H, Hi H,_ E(x) = A, Kı) E(K,) = HL‘ DD 0, so daß der mittlere Fehler im Verteilungsgesetz für x also wird: H,\’Haa ,Hq_H q ( H ) 2) — u2— (=2) ZA — 24 —2 E(x?= u (E-) p? + D? D? LTE) In diesen ersten Ausdruck gehen p und q als unbekannte Größen ein; setzt man auf Grund der Resultate der ersten Versuchsreihe Kı—H a= h 1 so erhält man X, — H;) Hy AL —+ H. 2) Beispiel: Von 1916—20 wurden in Dänemark 361322 lebende Kinder zeboren, von denen 185299 Knaben waren. Mit wieviel lebendgeborenen Kindern kann man danach für das Jahr 1915 rechnen, wenn in diesem Jahre 35 982 lebende Knaben geboren wurden? Die Sexualproportion ist nach den Erfahrungen 1916—20 185299 Pı = 3613595 = 0,5128, Die Zahl der lebendgeborenen Kinder im Jahre 1915 kann hiernach zu 35982 35982 B= 0.5128 185989 * 961322 = 70163 angesetzt werden. Das Quadrat des mittleren Fehlers wird bei dieser Bestimmung 281292 35982 . 176023 | 35982 En {1 185299) So daß u = Y 79593 = 282 ist und die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die wirkliche Anzahl der im Jahre 1915 lebendgeborenen Kinder innerhalb der Grenzen B—3 u =69347 B +3 u = 70979 liegt, nahe 1 liegen muß. Tatsächlich betrug die Zahl 70192. 266 — Aufgabe 58. Eine mit Würfeln gefüllte Schachtel (wobei die Würfel als un- merkbar falsch angenommen werden) wird sorgfältig geschüttelt und ihr Inhalt auf einen Tisch gekippt. Welchen Schluß kann man hinsichtlich der Zahl der Würfel aus dem Umstand folgern, daß 80 der Würfel Sechs ergaben? 176. Während die Reihe statistischer Probleme, zu der eine weitere Verallgemeinerung der im $ 175 behandelten Aufgabe An- laß geben kann, an dieser Stelle nicht weiter vertieft werden soll; ist hinsichtlich der in den 88 172—175 behandelten Aufgaben zu bemerken, daß sie in praxi bei Repräsentativzählungen verwandt werden können, wenn man mit Sorgfalt so gut wie möglich die Stichproben so auswählt, daß annähernd damit gerechnet werden kann, daß das Verteilungsgesetz für die Summanden in O0, = 0; +0... + On dasselbe wie für die Summanden in 0, = 02+1- 7 On+2--.-. 0n+N ist. Schließlich kann man sich oft vergewissern, daß der Ausschnitt dieselben Durchschnittseigenschaften wie die '"Totalmasse hat; man wird dann vor eine Reihe neuer Aufgaben gestellt !). 1V. Kapitel. Die Anwendung des Exponentialgesetzes. A. Allgemeine Bemerkungen, 17%. Wir bemerkten bereits oben ($ 166), daß das Exponential- gesetz bei vielen Beobachtungsreihen jedenfalls als vorläufiger Aus- druck für die Frequenzverteilung wird gelten können. Sofern die beobachtete Größe :als Summe vieler Addenden aufgefaßt werden kann, geht aus dem im $ 166 Entwickelten hervor, daß sich die Frequenzverteilung in größerem oder kleinerem Grade der exponen- tiellen Form nähern wird, auch wenn die einzelnen Summanden Ver- teilungsgesetzen folgen, welche nicht exponentiell sind (Beispiel hier- für ist die Binomialformel); dieses Verhältnis hat u. a. zur Auf- stellung der sogenannten Elementarfehlerhypothese Ver- anlassung gegeben, mit deren Hilfe man nicht nur das häufige Vor- kommen von Freauenzkurven. welche dem Exponentialgesetz ähneln. 1) Vgl. A. L. Bowley, Measurement of the precision attained in sampling. Bulletin de lInstitut International de Statistique. Tome 22. Roma 1926; ferne Adolph Jensen (vgl. Fußnote 1 auf S. 89). 267 sondern auch gewisse jedenfalls scheinbare Abweichungen von dieser Form zu erklären gesucht hat; man ging hierbei davon aus, daß sich die beobachtete Größe aus einer Anzahl von Größen zusammen- setzt, welche gewissen einfachen Verteilungsgesetzen folgen. Wie aus den im folgenden zu besprechenden Beispielen hervorgehen wird und bereits im $ 165 erwähnt wurde, werden sich indes die meisten der in der Statistik entstehenden Fragen ohne Anwendung einer solchen Hypothese entscheiden lassen. Die Wirkung der über- wiegenden Menge der in der Regel sehr großen Anzahl von Ur- sachen, welche auf die sozialen Phänomene einwirken, läßt sich im allgemeinen in dem Sinne eliminieren, daß man bei passender Teilung des Materials oft schnell erreichen kann, daß sich die Wirkungen dieser Ursachen insofern gegenseitig aufheben, als sie nur eine bei einem gewissen Exponentialgesetz angegebene Unsicherheit ver- ursachen. Jedenfalls bis zu einem gewissen Punkt in der Unter- suchung kann man daher dieses Gesetz als die wissenschaftliche Grundlage der Statistik ansehen, selbst wenn man sich, wie oben ge- sagt, sehr leicht vorstellen kann, daß man in gewissen Spezialaufgaben und bei der weiteren Verfolgung eines Problems nicht immer das Exponentialgesetz als den einzig möglichen Ausdruck für die Wirkung der Individualursachen (der „zufälligen“ Ursachen) festhalten kann. Die Teilung des Materials, welche hiernach im Hinblick auf das Exponentialgesetz sollte vorgenommen werden können, wird andererseits sehr oft die für das betreffende Phänomen entscheiden- den Ursachen vollständig abtrennen können, sodaß die Wirkung jeder dieser Ursachen insofern klar ist. Selbst wenn es bei einer Be- arbeitung des Materials geglückt ist, das Exponentialgesetz in An- wendung zu bringen, mögen sich indes hinter dieser Übereinstim- mung Ursachen verbergen, welche noch von den Individualursachen auszuscheiden sind, deren Erfassung jedoch erst bei einer neuen Teilung des Materials oder bei ganz neuen Beobachtungen glückt. Zur Beleuchtung der Methode und der hier behandelten Fragen sollen in diesem Kapitel einige Beispiele der Anwendung des Exponential- gesetzes in der Anthropometrie, der Bevölkerungs- und Wirtschafts- statistik gegeben werden. B. Anthropometrische Messungen. 178. Auf Grund der italienischen Militärstatistik!) sei zunächst die Verteilung nach der Körpergröße erwähnt. In der folgenden Ta- " R. Livi,. Antropometria Militare, Roma 1898—1905. 268 Tabelle 28, Die Körpergröße italienischer Rekruten. a Hiervon waren aus Ganz Talien T On | ven edig | Körpergröße | Absolute Zahlen! Sardinien 4 Lu 150 4 R7 ‚53 7 202 2658 10219 11.907 14.085 15473 19 748 19 484 22 268 21 700 21 436 21 917 19 472 17 798 15 649 12 558 12 428 9276 7672 5 650 4 488 3818 2898 2.066 1522 1.005 714 414 298 184 129 113 424 524 716 910 1194 1407 1712 1869 1.934 2122 2.053 1.985 1797 1565 1612 1280 1134 861 745 611 592 405 306 6 10 131 488 541 508 518 630 577 584 516 469 450 300 262 178 143 105 74 8 1 '4 4 ) 1 5 t 163 1.54 LEN 165 a . ) 7 78 ‚79 5 81 ?2 ii 9 LT 85 86 97 4 1] 1 X > 19 "o 1 2 3 4 9 ] x 195 , . ; Zusammen 299 355 1000 98509 6687 belle 28 ist diese Verteilung teils für ganz Italien (insgesamt 299355 Gemessene), teils für Venedig und Sardinien (jeweils 28509 und 6687 Gemessene) mitgeteilt, Da die Körpergröße als eine kontinuierliche Größe aufzufassen 6 ist, jedoch nur mit einer gewissen Genauigkeit gemessen werden kann, muß die Methode in praxi die sein, daß man bei Messungen jede Person gewissen Höhenklassen zuweist, welche so abgegrenzt sind, daß man leicht entscheiden kann, ob der Betreffende zur einen oder zur anderen Klasse gehört. Diese Methode ist natürlich desto leichter anzuwenden, in je gröberen Zügen man die Klassen wählt; andererseits erfährt man natürlich mehr, wenn man weiß, daß die Körpergröße zwischen 162 und 163 anstatt zwischen 160 und 165 cm liegt; ohne Anwendung einer besonders verwickelten Meßtechnik kann man indes leicht entscheiden, ob eine Person zwischen 153,5 und 154,5, ob zwischen 154,5 und 155,5 cm usw. mißt. Auf diese Weise ist die Tabelle 28 aufgestellt; sie gibt in Wirklichkeit an, daß die Körpergröße für 202 der 299355 Gemessenen zwischen 153,5 und 154,5 cm und für 2658 zwischen 154,5 und 155,5 cm usw. lag, wenn auch dies in der Tabelle dadurch bezeichnet ist, daß 202 gerade 154 und 2658 gerade 155 cm maßen usw. Bei der weiteren Benutzung der Zahlen hat man freilich so zu rechnen, als ob sämtliche in einer Klasse angeführten Rekruten die- selbe Größe hätten, und hierzu benutzt man gerade im allgemeinen den Mittelpunkt zwischen den Klassengrenzen, d.h. man bezeichnet nicht nur eine Größenklasse mit 154 cm, sondern rechnet auch so, als ob alle 202 Personen gerade die Höhe von 154 cm usw. be- säßen. Man könnte natürlich versuchen, mit noch größerer Genauig- keit zu messen, würde jedoch dann wieder genau demselben Problem gegenübergestellt werden: welcher Größe alle diejenigen zuzurechnen seien, welche hierdurch z. B. in der Größenklasse 154,6—154,7 cm angeführt würden. Dieser anscheinenden Schwierigkeit begegnet man überall, wo es sich um die Beobachtung einer kontinuierlichen Größe handelt, und sie läßt sich, wie gesagt, nicht aufheben, sondern nur durch genauere Messung begrenzen. Die Schwierigkeit ist jedoch in den aller- meisten Fällen ausschließlich theoretischer Art, und es soll aus den oben ($ 55) genannten Ursachen hier nicht näher darauf eingegangen werden, gerade deshalb nicht, weil sie nur bei sehr grober Klassen- teilung (wenn die beobachteten Größen nur in ganz wenigen Gruppen untergebracht sind) eine praktische Rolle wird spielen können). 179. Wenn man in dieser Weise vorgeht, kann man aus den in der Tabelle gegebenen Daten die Summe Ss, und die Quadrat- Summe s, sämtlicher 299355 Beobachtungen finden und dabei wieder ') Siehe u. a. J. F. Steffensen, Matematisk Jagttagelseslere, Kobenhavn 1923, 8. 85 £. 2710 — die empirischen Werte für den Durchschnitt und den mittleren Fehler der Verteilung bestimmen, Die einfachste Berechnung ist jedoch die, daß man, wie in der Tabelle 27 ($ 153), zuerst die Momente um eine Zahl bestimmt, welche vermutlich in der Nähe des Durchschnitts liegen; wählt man als Nullpunkt 165 cm, so erhält man als Mo- mente M, und M, um 165 — 144 780 8468160 Mı=-—509855 = 0,5 und M,= 599355 28,29. Es ist hierbei ohne praktische Bedeutung, ob man bei der Be- stimmung von M, durch 299355 oder 299354 dividiert (vergl. $ 156). Hieraus nun findet man ($ 127, IIa und IIc), daß der Durch- schnitt g = 165 — 0,5 = 164,5 cm und der mittlere Fehler u = V28,29—0,5? = 5,3 cm ist. Ungefähr dasselbe Resultat ergibt sich, wenn man nach der Ta- belle 22 den mittleren Fehler als den Maximalabstand, innerhalb dessen ?/; (genauer 687%) der Messungen fallen, bestimmt. Es geht nämlich aus der Tabelle 28 hervor, daß 640% 0 (66 + 65 + 74 +72 +72 + 73 + 65 +59 +52 + 42) der Messungen weniger als 5 cm und 734 %% 9 (640 +52 + 42) weniger als 6 cm vom Durchschnitt abweichen. Durch Interpolation findet man dann, daß den 687 %/,o ein Maximalabstand von ca. 5,4 cm ent- spricht. Eine solche Übereinstimmung kann man natürlich nur erwarten, wenn die Verteilung (Tabelle 28) ziemlich nahe mit dem Exponential- gesetz (Tabelle 22) übereinstimmt. Wie gut dieses Gesetz die Ver- teilung darstellt, kann nun dadurch geprüft werden, daß man unter- sucht, teils wieviele %, der Messungen faktisch innerhalb gegebener Spielräume, teils wieviele nach der Tabelle 22 innerhalb derselben Spielräume fallen. Dies ist für die Spielräume von 4, 8, 12, 16 und 90 em in der folgenden Übersicht angeführt: Wehrpflichtige Exponentialformel Spielräume Relative Maximal- Wahr- Häufigkeit abweichung scheinlichkeit 0,282 0,37 0,289 0,532 0,73 0,535 0,734 1,10 0,729 0,878 1,47 0,859 0.955 1,83 0.931 an Daß 282%, der Messungen innerhalb des Spielraums von 4 cm fallen. bedeutet dasselbe wie daß 282 %,2 höchstens 2 cm vom Durch- 271 schnitt 164,5 cm abweichen, d. h. einen der Werte 163, 164, 165 und 166 haben: wie aus der Tabelle 28 hervorgeht, ist dies mit 72 +72 +73 + 65 = 282 0 sämtlicher Messungen der Fall. Analog findet man, daß 532 % 0 innerhalb des Spielraums von 8 cm fallen, d. h. höchstens 4 cm vom Durchschnitt abweichen, und so fort. Wird nun 5,3 cm als Ausdruck für den mittleren Fehler benutzt, so ersieht man andererseits aus der Tabelle 22, daß einem Werte > -53- 0,37 die Wahrscheinlichkeit P=0,289 und x = =33 0,73 der Wert P = 0,535 entspricht, und so fort gemäß ‘ 3 obiger Übersicht. Aus dieser Übersicht erhellt, daß das Exponentialgesetz die Ver- teilung nach Körpergröße recht gut darstellt. Hierbei ist jedoch die Asymmetrie nicht berücksichtigt worden, welche in der Tabelle 28 dadurch zum Ausdruck kommt, daß 468%, der Messungen kleiner und 532% derselben größer sind als der Durchschnitt. Ferner kann auch bemerkt werden, daß die faktische Verteilung die verschiedenen Meß- resultate kaum so stark um den Durchschnitt sammelt wie das Ex- ponentialgesetz. 180. Abweichungen dieser Art trifft man sehr allgemein, und sie deuten fast immer darauf hin, daß unter den Ursachen, welche für das einzelne Maß entscheidend gewesen sind (im gegenwärtigen Bei- spiel die Höhe der Person), zwei oder mehrere Hauptursachen sind, welche sich bei passender Teilung des Materials ausscheiden lassen. Weiter unten sollen die Folgen davon, daß zwei oder mehrere Typen zusammengefaßt werden, näher besprochen werden. An dieser Stelle sei bemerkt, daß die für sämtliche 299355 Rekruten benutzte Vertei- lung nach der Körpergröße gesondert für verschiedene geographische Gruppen, Altersgruppen usw. vorliegt, und es ist dann verhältnismäßig leicht zu untersuchen, ob die vorliegende Gruppenteilung die An- nahme, daß Gruppen mit typisch verschiedenem Durchschnitt zu- sammengefaßt worden sind, stützt. Daß dies der Fall ist, scheint bereits daraus hervorzugehen, daß die Durchschnittsgröße für Personen nach Landschaften, rund ge- rechnet, eine abnehmende Reihe von Nord nach Süd bildet. Zur Be- leuchtung der geographischen Verschiedenheiten ist in der Tabelle 28 die Verteilung der in Venedig und auf Sardinien gemessenen 272 jeweils 28509 und 6687 Personen mitgeteilt. Die Werte, welche man in der oben beschriebenen Weise für den Durchschnitt und den mittleren Fehler ableiten kann, sind für Venedig g, = 166,6 cm, 14 = V 30,470 = 5,5 cm für Sardinien g, = 161,9 cm, u = V19,185 = 4,4 cm. Gemäß dem im $ 155 Entwickelten findet man als Ausdruck für den mittleren Fehler der Durchschnitte die Werte UM 1/30,470 __ Us = 728509 = Ve 509 0,0327 Wo 9/19,185 _ = = =V = 0,0534. Da zur Bestimmung von g, mehr Messungen zur Verfügung standen als zur Bestimmung von g,, so findet man auch, daß der mittlere Fehler bei g, bedeutend kleiner als bei g, ist, obgleich sich die Messungen, durch die g, bestimmt wird, etwas stärkeı streuen als die für g, benutzten Faktoren. Hieraus folgert man dann weiter, daß der mittlere Fehler im Verteilungsgesetz für die Differenz der Durchschnitte g, und g, (RER a E00 sein muß, und da die eigentliche Differenz der ermittelten Durch- schnitte 4,7 cm ist, handelt es sich hier um einen Unterschied, welcheı das 70- bis 80fache des mittleren Fehlers ausmacht. Es muß somit als ganz unwahrscheinlich angesehen werden, daß der faktisch er- mittelte Unterschied der Durchschnitte verschwinden oder in ent- gegengesetzter Richtung gehen würde, falls sich die Messungen unter den gleichen Umständen wiederholen ließen. 181. Ganz entsprechende Betrachtungen ließen sich nun über diejenigen Verteilungen nach Körpergröße anstellen, welche man bei der gesonderten Betrachtung von Personen eines bestimmten Alters erhält, und man könnte sich dabei das höchst interessante Problem des Aufhörens des Wachstums beleuchtet denken; man wird jedoch, wenn man hierzu die Messungen des Militärs be- nutzt, auf die Schwierigkeiten stoßen, daß ein solches Material in dieser Beziehung nicht repräsentativ ist. Dies kommt hier da- durch zum Vorschein, daß die jüngeren Altersklassen durchweg eine größere Körperlänge als die älteren aufweisen, was seine ein- fache Erklärung in dem Umstand hat. daß die Wehrpflichtigen. 273 welche ihre Dienstzeit so früh wie möglich abzudienen wünschen, lie Erlaubnis haben, sich bereits im Alter von 17—18 Jahren zu melden und in überwiegendem Grade aus gesunden und daher auch in der Regel wohlgestalteten jungen Männern bestehen werden, während alle übrigen Wehrpflichtigen (der Hauptteil) die Pflicht haben, sich jedenfalls vor Erreichung eines gewissen Alters zu melden; diese Gruppe wird dann auch die weniger wohl gestalteten Personen um- fassen. Ähnliche Verhältnisse machen sich beispielsweise auch bei ler Beobachtung der Körpergröße dänischer Rekruten bemerkbar. Aufgabe 59. Nach den dänischen Sessionsresultaten für 1925 betrug die Durchschnittsgröße der 2757 untersuchten 19-jährigen 170,4 cm, während die Durch- schnittsgröße der 4037 21-jährigen Gestellungspflichtigen 169,1 cm war; wenn der mittlere Fehler in der Verteilung nach Körperhöhe in den zwei Gruppen zu jeweils 5,9 und 6,8 gesetzt werden kann, dann ist zu untersuchen, ob die angeführte Anzahl von Messungen zur Begründung einer Annahme darüber ausreicht, daß der ge- {undene Unterschied zwischen den zwei Altersgruppen nicht „zufällig“ ist. 182. Wir haben oben gesagt, daß die Weise, in der die faktische Verteilung der 299355 nach Körpergröße Gemessenen vom Exponentialgesetz abwich, im allgemeinen auf eine Vermischung von Beobachtungen in Grup- pen mit typisch verschiedener Durchschnitts- größe deutete. Selbst wenn es ohne weitere Hilfsmittel unmöglich ist, in größerer Allge- meinheit die Probleme anzufassen, welche bei einer solchen eventuellen Vermischung („com- pounding“) entstehen können, kann man doch andererseits leicht einfache Beispiele konstru- ieren, welche beleuchten können, in welcher Weise die Verteilungskurve ihre Form wechselt, wenn man Gruppen mischt, in denen sich die [ndividuen zwar exponentiell, jedoch um typisch verschiedene Durchschnitte verteilen. 183. Das einfachste Beispiel erhält man, wenn es sich um die Vermischung von zwei gleich großen Gruppen z. B. von je 1000 In- dividuen handelt, welche sich exponentiell jede um ihren Durchschnitt mit demselben mittleren Fehler verteilen. Dieser mittlere Fehler kann, wenn die Verteilung z. B. die Körpergröße betrifft, der Einfachheit halber zu 5 cm ange- Westergaard und Nvbo@lle, Theorie der Statistik, 2. Autl. 274 setzt werden. Die Verteilung geschieht dann nach der Tabelle 22, wie es aus der umstehenden Tabelle 29 erhellt, welche, von kleineren Abrundungsfehlern abgesehen, angibt, wieviele der 1000 Individuen gerade die Durchschnittsgröße (die Abweichung 0) und wieviele Ab- weichungen von 1, 2,3... cm aufweisen (vgl. Aufgabe 18). Mischt man nun zwei solche Gruppen, in denen die Verteilung um den Durchschnitt nicht nur exponentiell mit gleichem mitt- leren Fehler ist, sondern welche auch denselben Durchschnitt auf- weisen, so werden all die Zahlen, welche für sämtliche 2000 Indi- viduen als Ganzes genommen die Häufigkeit von Individuen angeben, deren Körpergröße mit einem bestimmten Betrage vom Durchschnitt abweichen, natür- lich nur doppelt so groß wie die in der Tabelle 29 angeführten und ihre Summe wird gleich 2000 werden. Anders geht es, wenn die Individuen beider Gruppen zwar um die Durchschnittsgröße in gleicher Weise wie in der Ta- belle 29 (exponentiell mit dem mittleren Fehler von 5 cm), aber innerhalb jeder Gruppe um die spezielle Durchschnittsgröße bei- der Gruppen, z. B. um die Durch- schnitte 164 und 166 cm, verteilt gedacht werden. Wie die Ver- teilung ausfallen wird, wenn zwei solche Gruppen gemischt werden, geht aus der Tabelle 30 hervor. Die Verteilung muß aufs neue symmetrisch werden, jetzt aber um den gemeinsamen Durchschnitt von 165 cm. Diese Verteilung kann natürlich nicht genau exponentiell werden, obgleich sie andererseits nicht viel vom Exponentialgesetz (vgl. Tabelle 31) abweicht: entfernt man indes die zwei Reihen von eX- Rn 275 ponentiellen Häufigkeiten mehr und mehr voneinander, so daß die Durchschnitte allmählich um 4, 6, 8 ... usw. cm voneinander ab- weichen, so erhält man eine Reihe von Verteilungen, welche sich zenau so wie die obigen finden lassen und sämtlich symmetrisch werden; die Größe des mittleren Fehlers dieser Verteilungen kann lenn auch leicht dadurch ermittelt werden, daß man die Abweichungen zur zweiten Potenz erhebt und addiert, wobei man folgende Werte findet: Abstand zwischen den Durehschnitten Der mittlere Fehler der entsprechenden Verteilungen m cm )aw00 000000 40V 25 = 5,00 3.. VY 2 = 5,10 ‚V29= 5,39 .„VM = 5,83 3... YAH= 640 0. V50= 7,07 2 "= 7,81 7 8,60 u 9,43 Y125 = 11,18 16 X. Da alle Verteilungen, wie gesagt, symmetrisch sind, kann man zur Untersuchung des Grades der Abweichung vom Exponential- gesetz damit anfangen, wie gewöhnlich in jeder einzelnen Verteilung aufzuzählen, wieviele der je 2000 Individuen innerhalb der Spiel- räume 1, 3,5, 7... usw. fallen (d. h. um höchstens 0,1,2,3,4...cm von dem beiden Gruppen gemeinsamen Durchschnitt abweichen). In den dadurch erhaltenen „Spielraumstabellen“ kann man analog dem bisherigen Verfahren auf dem Wege einfacher Interpolation finden, wieviele %%, der 2000 Individuen innerhalb der Spielräume fallen, welche im Exponentialgesetz 250, 400, 500, 700, 850 und 950 00, nämlich (vgl. S. 177) 250 oo 100 500 700 350 I60 . a 5 a2 64 u u 12 276 ergeben würden, wo &% der mittlere Fehler der betreffenden Ver- teilungen ist (vgl. obige Übersicht über diese Werte). Bei dieser Interpolation findet man dann folgende in der Tabelle 31 angeführten Promillen für jede der Verteilungen, welche man erhält, wenn die Durchschnitte für die zwei zusammengelegten Gruppen nach und nach um 0, 2, 4... cm voneinander verschoben gedacht werden. Tabelle 31. Spiel- | Abstand in cm zwischen den Durchschnitten der Gruppen räume 0 2 4 6 10 12 14 16 20 ) 2) ®& © 6@ © %) ®@® © CO 0,64 u 250 250 248 243 232 217 196 170 144 96 1,05 u 400 399 396 389 377 356 2328 296 2265 205 1,35 u | 500 498 496 490 476 456 428 399 371 312 2,07 u 700 698 698 691 682 671 660 2649 711 624 2,89 u | 850 848 847 844 844 848 851 858 866 88€ 293 u 950 949 948 952 956 960 978 974 980 98% Q Erinnert man sich, daß all diese Promillenverteilungen genau dieselben sein werden wie die in der Kolonne 1 angeführten, wenn alle Verteilungen exponentiell wären, so kann man durch einen Vergleich der Kolonne 1 mit den übrigen Kolonnen einen Einblick darein gewinnen, wie das Verteilungsgesetz in dem Maße seine Form ändert, wie sich die Durch- schnitte der zusammenzusetzenden Gruppen voneinander entfernen, Solange die Verschiebung nicht größer ist (Kolonne 2 und 3) als der mittlere Fehler (5 cm) der bei der Zusammensetzung benutzten Gruppen, weicht das Verteilungsgesetz für sämtliche 2000 Individuen, als Ganzes genommen, nicht stark vom Exponentialgesetz ab. Die Ab- weichungen sind insgesamt nicht größer, als daß sie sich wahrscheinlich der Aufmerksamkeit entziehen würden, sogar bei Glückspiel- erfahrungen und ähnlichen Versuchsreihen. Ist die Verschiebung zwischen den Durchschnitten der Gruppen auf das Doppelte des mittleren Fehlers in der Verteilung der Einzel- gruppen (Kolonne 6) angewachsen, so hat man noch eine gewisse, wenn auch nicht besonders gute Annäherung ans Exponentialgesetz: diese Verschiebung entspricht im übrigen, rund gerechnet, dem Unter- schied zwischen der Körpergröße bei Männern und Frauen, so daß die Gesamtverteilung zwei voneinander recht abweichende Gruppen umfaßt. Ist die Verschiebung größer, so wird die Anhäufung um den den beiden Gruppen gemeinsamen Durchschnitt stets kleiner und erheb- 277 lich kleiner als die Anhäufung um den Durchschnitt im Exponential- gesetz, Untenstehende Figur 7 veranschaulicht dies. Die oberste Kurve bildet das gewöhnliche Verteilungsgesetz (das Exponentialgesetz) ab ; lie zweite ist aus zwei solchen Kurven von einem dem mittleren Fehler (5 cm) entsprechenden Abstand der Höhenpunkte abgeleitet: ;c " "nunkten cm > »» I? F ar bezüglich der dritten gilt das gleiche, da der Abstand das Doppelte des mittleren Fehlers (10 cm) ausmacht, während die unterste sattel- förmige Kurve einen Abstand von 15 cm zwischen den Höhen- punkten hat. Die Kurve Nr. 2 ähnelt, wie man sieht, sehr der Ex- ponentialkurve, und selbst die dritte Kurve ähnelt dieser in einigem Grade. 184. Anders liegen die Dinge, wenn die zwei zusammengemischten Gruppen nicht gleich groß sind. Zur Beleuchtung dieses Falles kann man annehmen, daß 5000 Individuen, welche sich exponentiell mit dem mittleren Fehler von 5 cm um die Mittelgröße 160 cm verteilen, mit 1000 Individuen, welche sich ebenfalls exponentiell mit dem mitt- leren Fehler von 5 cm, aber um die Mittelhöhe 166 cm verteilen, ver- mischt werden. Mischt man zwei solche Gruppen zusammen, dann läßt sich das Verteilungsgesetz für sämtliche 6000 Individuen, wie in der folgenden Tabelle 32 gezeigt, finden. Da es hier nicht auf große Genauigkeit ankommt, kann man sich mit genügender Annäherung lie Verteilung der 5000 Individuen durch Multiplikation der oben in der Tabelle 29 angeführten Häufigkeiten mit 5 gefunden denken, — 208 — während man diese Frequenzen selber als Ausdruck für die Ver- teilung der 1000 Individuen benutzt. Da der den 6000 Individuen gemeinsame Durchschnitt hier 5 A Sn 161 cm 6 werden muß, so wird man bei der Betrachtung der Verteilung um diesen Durchschnitt bemerken, daß die Symmetrie verloren gegangen ist. Eine Körperhöhe gleich dem Durchschnitt selber (161 cm) weisen 437 der 6000, d. h. ca. 73° 0 (gegen 80 °%.o, wenn die Verteilung exponentiell gewesen wäre), und eine Größe unter 161 cm 2837 (473% 0) auf, wäh- rend die Höhe von 2726 Männern (454 %/,0) 161 cm übersteigt. Die Asymmetrie ist somit nicht stark ausgeprägt. Anderer- seits aber verursacht selbst eine verhältnismäßig kleine Gruppe, deren Durchschnitt stark von der Hauptmasse abweicht, stets eine solche Asymmetrie. 185. Die hier angeführten Beispiele dienen natürlich nur der einfachen Illustration. In Wirklichkeit kann man selten oder nie damit rechnen, daß die Zahl der zusammengemischten Typen nicht größer als zwei, wie in unseren bisherigen Beispielen vorausgesetzt, ist. Die Zusam- mensetzung der Gesellschaft ist in der Regel weit verwickelter. Selbst wenn eine Fortsetzung auf demselben Wege eine Erweite- rung der oben für zwei Typen gewonnenen Resultate ermöglichen würde, so wird man doch bereits in diesen Ergebnissen die Art der Abweichungen vom Exponential- nn 279 gesetz, welche oben ($ 180) für die Verteilung nach Körpergröße ge- [unden wurden, wiedererkennen können, und insoweit ist schon dabei Grund genug, die Aufmerksamkeit auf die Möglichkeit zu lenken, daß sämtliche 299355 gemessene Personen Gruppen mit typisch verschie- dener Durchschnittsgröße umfassen, ein Verhältnis, das auch bei der Betrachtung der Verteilung innerhalb eines Paares von — geographisch bestimmten — Gruppen bekräftigt wurde. Die oben benutzten Beobachtungen über die Körpergröße sollten nach dem Angeführten also umfangreich genug sein, es als über- wiegend wahrscheinlich hinzustellen, daß z. B. der Unterschied zwischen len Durchschnittsgrößen in Venedig und auf Sardinien nicht „zu- fälligen“ Ursachen zugeschrieben werden kann; während die eigent- liche Existenz gewisser entscheidender Gemeinursachen hiermit er- wiesen ist, ist es natürlich noch eine offene Frage, worauf der ge- fundene Unterschied in den Wachstumsbedingungen zuguterletzt be- ruht, d. h. welches diese Ursachen sind; diese Frage ist im wesent- lichen biologischer Art; sie läßt sich nicht lediglich durch eine Be- trachtung der benutzten Beobachtungen beantworten, sondern er- fordert ganz neue Beobachtungen, bei deren Behandlung man natür- lich aufs neue zu der Frage veranlaßt werden kann, ob sie umfang- reich genug sind zu entscheiden, ob dieses oder jenes Moment die Körpergröße wesentlich beeinflußt. 186. Unter den Momenten, welche hierbei in Betracht kommen können, spielt u. a. der Begriff der Erblichkeit eine wesentliche Rolle als Ausdruck für die Verschiedenheiten, welche auf Verschieden- heiten zwischen den Vorvätern der Individuen zurückgeführt werden gönnen. Auf diese Fragen können wir hier nicht näher eingehen; jedoch sei bemerkt, daß ihre rationelle Behandlung gerade zu Be- irachtungen obiger Art führt!); in Anknüpfung an diese soll daher hier eine eigenartige Aufgabe besprochen werden, welche von Galton herrührt und an der Hand der in den $$ 183—184 behandelten Bei- spielen beleuchtet werden kann. Das Galtonsche Problem läßt sich folgendermaßen schematisieren: Denken wir uns, eine Bevölkerung bestehe aus zwei gleich großen Gruppen, von denen jede ihre typische Körpergröße hat, um welche sich die Individuen der Gruppen ex- ponentiell verteilen, indem gewisse spezielle Verhältnisse innerhalb 1) Siehe hierüber W. Johannsen, Elemente der exakten Erblichkeitslehre, 3. Ausgabe. Jena 1926 (2. Ausg. Jena 1913). 280 der einen Gruppe für diese eine Durchschnittsgröße von beispiels- weise 164 cm im Gefolge haben, während gewisse Verhältnisse in der anderen z. B. eine durchschnittliche Körpergröße von 160 cm verursachen. Will man nun wie Galton untersuchen, inwieweit sich der Typus der Kinder mit der Auswahl der Eltern verschiebt und daher diese in zwei Gruppen, z. B. in eine, deren Größe unter dem der zanzen Bevölkerung gemeinsamen Durchschnitt von 162 cm, und eine, deren Größe über dieser Grenze liegt, teilen und danach die Körpergröße für die Nachkommen jeder dieser Gruppen unter- suchen, dann wird man finden, daß der Unterschied zwischen den Durchschnittsgrößen für. die zwei Gruppen von Kindern kleiner als der Unterschied zwischen den Durchschnittsgrößen für die beiden Elterngruppen ist. Diese Verkleinerung des Größenunterschiedes will Galton als eine Rückkehr (Regression) zum ursprünglichen Typus auffassen; man kann indes leicht einsehen, daß die beobachtete Ver- ringerung des Größenunterschiedes insofern formell ist, als sie sich vermutlich stets dann zeigt, wenn die Beobachtungen in der an- gegebenen Weise angestellt werden. Hat man nämlich kein anderes Kennzeichen als die Körpergröße, um große und kleine Eltern zu unterscheiden, so sind die hier in Be- tracht kommenden Größen zumeist nicht weiter voneinander ver- schieden, als daß unter den Eltern, welche faktisch kleiner als 162 cm sind, sehr wohl ein Teil sein kann, welcher — wenn man restlos sämtliche Kennzeichen des hohen Typus erfaßt hätte — dann als diesem und nicht dem kleineren Typus angehörig erkannt werden könnte, der jedoch aus Ursachen, die nichts mit dem Veranlagungs- gepräge zu tun haben, „zufällig“ nicht über die 162 cm hinaus ge- langt ist, während umgekehrt ein Teil der Eltern, welche faktisch größer als die 162 cm sind, in gleicher Weise als zum niedrigen Typus gehörig anzusprechen wäre. Die Folge davon, daß man also in Wirklichkeit vom Beginne des Versuches an dazu genötigt wird, die Typen etwas zu vermischen (nicht nach „reinen Linien“ arbeitet), ist die, daß sich die Kinder anscheinend kleiner Eltern in Wirklichkeit in zwei Gruppen teilen, teils in Kinder von tatsächlich kleinen Eltern, welche sich um die Durchschnittsgröße von 160 cm verteilen, teils in Kinder von nur anscheinend kleinen Eltern, welche — als Kinder von Eltern des höheren Typus — sich um 164 cm als Durchschnittsgröße verteilen, Dieses letztere Plus wird natürlich bewirken, daß die Durchschnitts- vröße der Kinder von anscheinend kleinen Eltern größer als 160 cm 281 wird, während umgekehrt die Nachkommen der anscheinend großen Eltern eine Durchschnittsgröße bekommen, welche etwas unter die L64 cm des höheren Typus hinabgedrückt wird, weil diese anscheinend aohen Eltern einen Teil mitumfassen, der in Wirklichkeit dem niedrigen Typus angehört und deren Kinder sich deshalb um den Durchschnitt von 160 cm verteilen werden. Der Unterschied zwischen den Durchschnittsgrößen der Kinder wird also schon aus dem Grunde verkleinert, daß man als Ausgangs- punkt nicht hat „reine Linien“ halten können. Das behandelte Bei- spiel kann überhaupt als Hinweis darauf dienen, daß man keinen Ausdruck für den wahren Sachverhalt erwarten darf, bevor man — vielleicht nach vielen vergeblichen Versuchen — dazu imstande ist, eine hinlänglich tiefgehende Teilung der Beobachtungen nach Ein- teilungsmerkmalen vorzunehmen, welche in selbständiger Weise die Typen charakterisieren können (vgl. $ 162). Man könnte sich die Möglichkeit denken, die im Beispiel gewählten zwei Typen bei einer Betrachtung der Verteilung der Nachkommenschaft nach Körper- zröße zu trennen; die eine dieser Verteilungen (die Kinder anscheinend <leiner Eltern) muß man sich nämlich zusammengesetzt denken aus einer gewissen Hauptgruppe des niedrigeren Typus und einer ge- wissen weniger umfangreichen Ergänzungsgruppe des höheren Typus, so daß die Verteilungen der Nachkommenschaft einer Dekomposition bessere Bedingungen böten als die der Eltern; wie oben hervor- gehoben, wird indes die Verteilung für eine Mischung von zwei Typen, von der jede für sich sich exponentiell verteilt, erst dann kenntlich vom Exponentialgesetz abweichen, wenn sich die Durch- Schnitte der zwei vermischten Typen voneinander mit Beträgen ınterscheiden, welche größer sind als das 1- bis 2fache des mittleren Fehlers in der Verteilung der Typen; dieses Verhältnis erschwert .n Wirklichkeit die Trennung der Verteilungen der Eltern wie der Kinder, weil es sich in der Regel um Verschiedenheiten handelt, welche bedeutend kleiner sind, und namentlich um Mischungen, in lenen eine größere Anzahl von Typen auftritt. 187. Auch die Statistik des Kopfindex (des Verhältnisses zwischen Breite und Länge des Kopfes) gibt ein interessantes Be- )bachtungsmaterial ab. Dem angeführten Werk über italienische Wehrpflichtige können die Zahlen der Tabelle 33 entnommen werden. Der Index ist in Hundertsteln (%) angegeben, und wie bei der Tabelle über die Körpergröße bedeutet beispielsweise „Index 77“ in Wirklichkeit einen Index, dessen Größe zwischen den Grenzen 0.765 282 Tabelle 33. Index 690 37 7) 2? 2” »” 27 32 18 Index °4 2” ” '7 »” 22 19 73 $ € a0 EB 3 17 7 39 ‘9 »3 3 b. N ) 22 33 “1 88 83 c 9 c Zusammen 1000 und 0,775 liegt. Berechnet man wie im $ 179 Durchschnitt und mittleren Fehler, so findet man g= 82,7° und u=4,79%%. Zwecks Vergleiches mit dem Exponentialgesetz kann man zu- erst durch Interpolation berechnen, wieviele %, der Beobachtungen in Intervallen fallen, welche symmetrisch um den gefundenen Durch- schnitt liegen, also außer in Intervallen von 82,2 bis 83,2 (welche man erhält, indem 0,5 nach beiden Seiten abgetragen wird) in sämt- lichen Intervallen 68,2—69,2—70,2 ..... 81,2—82,2—83,2 ..... 96,2—97,2—98,2. Wieviele %,, der Beobachtungen in diese Intervalle fallen, findet man am leichtesten, wenn man durch Summierung in der Tabelle 33 zuerst eine Tabelle bildet, aus der hervorgeht, wieviele %, der Be- obachtungen kleinere Indices als 68,5, 69,5, 70,5 .... usw. auf- wiesen, wie es die folgenden Zahlen andeuten: Index kleiner als 68,5 hatten 9% ” .. „5 .r " ” 2 IC 23 2 „7 5- 197 „B57 „ 656 Durch Interpolation in dieser Tabelle findet man beispielsweise folgende Zahlen: 283 — [ndex kleiner als 81,2 hatten 365 °/.o » a 2 bl 448 ” ‚2 532 ” 34.2 626 ., 30 daß aufs Intervall 81,2—82,2 33 °%, entfallen. „ „ 82,2—83,2 84 ,, 27 ” 83,2—84,2 94 is Hieraus folgt weiter, daß innerhalb des Spielraums 1 (82,2—83,2) 84 °/o liegen, 23 ” 9” 3 (81,2—84,2) 261 »” ” ınd so fort. Überhaupt kann man auf diese Weise folgende Tabelle finden: Wehrpflichtige Exponentialformel Spielräume Relative Maximal- Wahr- Häufigkeit abweichung scheinlichkeit 0,261 7.32 0,251 0,537 4 0,541 0,751 7 0,758 0,897 1,60 0,890 0.964 202 0.957 Wird 4,7 als Ausdruck für den mittleren Fehler benutzt, so findet man aus der Tabelle 22 die nach dem Exponentialgesetz den hier angeführten Spielräumen entsprechenden Wahrscheinlichkeiten, da beispielsweise dem Spielraum 3 der Maximalabstand a= 2 =15 entspricht, so daß x= 218 =— 0,32 den Wert P = 0,251 ergibt u. so fort. Wie man sieht, ist die Übereinstimmung mit dem Exponential- gesetz auch hier recht gut. Wenn man auf Grund der oben vor- zenommenen Summierung durch Interpolation bestimmt, wieviele %/,o der Beobachtungen Indices aufweisen, welche kleiner sind als der Durchschnitt 82,7, so findet man, daß 491 %,o der Beobachtungen anter dem Durchschnitt, also 509 %, über diesem Punkte liegen. Es scheint also einige Asymmetrie vorzuliegen, welche jedoch kaum von Belang sein kann. Wie wir bei der Betrachtung der Körpergröße sahen, wird man auch hinsichtlich des Kopfindex sehr große Verschieden- heiten von einem Landesteil zum andern beobachten können; bei- spielsweise ist der Durchschnittsindex am größten für Piemont (86). am kleinsten für Sardinien (77,5). 188, Lehrreich ist auch die Statistik des Körpergewichts. Für sämtliche 299355 Behandelten erhält man untenstehende Ver- zeilung: — 284 Canal. Tabelle 34 Körpergewicht 415—47 kg 48—50 51—53 54—56 57—59 60—62 53—65 56—68R B9— Zusammen Lı rn Us DR -x% 729 X’y 32 189 316 172 203 588 774 736 475 324 196 FA Q1 415( Daß 2%, ein Körpergewicht von 45—47 kg haben, bedeutet hier wie weiter oben, daß das Körpergewicht für 2%. innerhalb der Grenzen 44,5 und 47,5 kg lag usw. Um den Durchschnitt und den mittleren Fehler zu finden, kann man damit anfangen, die Momente z. B. um den Mittelpunkt (58 kg) der Gruppe 57—59 kg zu berechnen. Dies ist in der Tabelle in ähn- licher Weise wie in der Tabelle 27 gemacht worden, indem in der Kolonne „x“ 0 bei dieser Gruppe gesetzt wird und die übrigen Gruppen von diesem Punkte aus numeriert werden. Es ist dann ein Leichtes, durch Multiplikation die Kolonnen xy und x’?y zu bilden, wo y die Häufigkeiten sind. Man erhält dann durch Addition dieser Kolonnen M, = 0,732 und M, =4,150 und für den mittleren Fehler also u =V4,150 — 0,732? = / 3614 =1,9. Da man, wenn Gewichtsklassen zu je 3 kg mit 1, 2, 3 usw. numeriert werden, mit einer Gewichtseinheit von 3 kg rechnet, werden die gefundenen Werte für M,, und uw, wenn sie in Kilogramm ausgedrückt werden sollen, dreimal so groß, so daß sich als Durch- schnittsgewicht g=58 kg + 0,732 - 3 kg = 60,2 kg und als mittlerer Fehler u=19-3 kg=57 kg ergibt. Wenn man analog der obigen Betrachtung des Kopfindex durch Interpolation die Tabelle 34 so umrechnet. daß sie angibt, wieviele 285 9 der Beobachtungen in Gruppen zu je 3 kg fallen, welche sym- metrisch um das Durchschnittsgewicht (z. B. in Intervallen von 15,2—48,2 .... 57,2—60,2—63,2 kg) liegen, so wird man finden, jaß 531%, der Beobachtungen ein Körpergewicht, welches unter Jem Durchschnitt liegt, zeigen, d. h. daß die Verteilung eine ähn- liche Asymmetrie wie die Verteilung nach der Körpergrößejaufweist. Wenn die genannte Interpolation vorgenommen wird, kann man auch leicht die Quadratsumme getrennt für die 531 negativen und die 469 positiven Abweichungen berechnen und als Ausdruck für den mittleren Fehler jeweils 5,56 und 5,94 kg, also eine etwas größere Streuung nach oben als nach unten erhalten. Sieht man von dieser Schiefe ab und berechnet man den Maximal- abstand, innerhalb dessen ?%/3 (genauer 687%, vgl. Tabelle 22) der Beobachtungen fallen, so ergibt sich als Ausdruck für den mittleren Fehler der Wert 5,72 kg, also sehr annähernd derselbe wie der oben festgestellte. Man kann dann auch leicht folgende Übersicht zum Vergleich der faktischen Verteilung mit dem Exvnonentialgesetz auf- stellen : Wehrpflichtige Relative Häufigkeit 0,398 0,712 0,889 0,964 DD 987 Spielräume 2} Exponentialformel Maximal- Wahr- abweichung scheinlichkeit 0,397 0.706 ©, 884 0,964 ().991 Wie man sieht, ist die Übereinstimmung recht befriedigend; zum Teil hätte man die Unebenheiten durch eine komnliziertere Inter- Dolation entfernen können. Wenn man das Material in kleinere Gruppen einteilt, wird man den Ursachenverbindungen auf die Spur kommen können. Als Bei- spiel hierfür sei angeführt, daß ca. 15700 der 299000 Gemessenen als nicht dienstfähig nach Hause geschickt wurden (riformati). Ihr Durchschnittsgewicht war etwas kleiner als das der Gesamtheit, un- zefähr 58,8 kg, während der mittlere Fehler in der Verteilung mit 5,7 kg so ziemlich dem oben gefundenen entspricht. Der mittlere Fehler des bei diesen 15 700 Beobachtungen bestimmten Durchschnitts kann dann gleich FE To = 006 kg gesetzt werden; man kann daher auch mit großer Sicherheit schließen, daß das typische Körper- yzewicht der Nichtdienstfähigen kleiner als das für die ganze Masse m 286 — festgestellte ist. Andererseits hatten die Soldaten, welche im Dienste starben, ein den Durchschnitt etwas übersteigendes Gewicht, und auch hier scheint der mittlere Fehler klein genug zu sein, um einen sicheren Schluß zu erlauben. Dagegen kann man keinen typischen Unterschied zwischen den während der Dienstzeit Krankgemeldeten und den Nichtkrankgemeldeten finden; hier ist das Durchschnittsgewicht fast gleich. 189. Ungefähr analog verhält es sich mit den Beobachtungen über den Brustumfang. Über und unter einem Durchschnitt von 87 cm hat man 47 und 53%. Für sämtliche Beobachtungen kann man den mittleren Fehler zu 3,69 cm, für den untersten Teil allein zu 3,63, für den obersten zu 3,77 setzen. Unter Benutzung der Zahl 3,69 läßt sich folgende Tafel berechnen: Wehrpflichtige Exponentialformel „. _Relative Maximal- Wahr- Spielräume Häufigkeit abweichuug scheinlichkeit R 0,305 0,41 0,318 0,490 0,68 0,504 0,783 1,22 0,778 0,931 1,76 0,922 0,983 2.30 0,978 Auch hier würden die wenigsten zögern, das Exponentialgesetz auf die Beobachtungen anzuwenden. 190. Wie vorsichtig man indes bei Untersuchungen über anthro- pometrische Verhältnisse sein muß, das zeigt die Kombination mehrerer Eigenschaften. Wenn man z. B. den Kopfindex mit der Körper- größe vergleichen will, wird man aus dem italienischen Material die folgenden Zahlen ableiten können. Diese Zahlen sind allerdings nur annähernd, da die Gruppeneinteilung nicht sehr detailliert ist. Körpergröße Kopfindex unter 160 cm 82,0 160—165 ,, 82,4 165—170 ,, 82,8 über 170 ‚, 83.1 Aus diesen Zahlen möchte man vielleicht schließen, daß der Kopfindex etwas mit der Körpergröße wächst; teilt man jedoch die Beobachtungen nach geographischen Linien, so gewinnt man einen anderen Eindruck. Allerdings hat die sehr eigentümliche und, wie es scheint, verhältnismäßig unvermischte Bevölkerung Sardiniens dieses Gepräge, da der Kopfindex (durchschnittlich 77}) durch die vier Intervalle mit ungefähr 0,8 wächst, aber für Piemont (un- gefähr 86) erhält man eine entgegengesetzte Reihe mit einem Nieder- 287 gang von 0,3, und auf Sizilien (80) haben alle Gruppen fast die- selben Zahlen. Hat man in einem Teile eines Reiches aus ethnischen oder anderen Gründen eine wohlgewachsene Bevölkerung mit hohem Kopfindex, während in einem anderen Teil das Gegenteil der Fall ist, so wird es leicht geschehen können, daß die Zahlen für das ganze Reich mit zunehmender Körperhöhe wachsenden Kopfindex aufweisen; lies ist jedoch ein mehr formelles als reelles Verhältnis. Auch die Beobachtungen über Haarfarbe weisen in gleicher Richtung. Der kastanienbraunen Haarfarbe entspricht für das ganze Reich ein etwas größerer Kopfindex als der schwarzen. Dies zeigt sich auch für Sardinien allein, auf Sizilien gibt es jedoch gar keinen Unterschied, und in Piemont ist der Unterschied recht un- bedeutend. Wenn man hier den Ursachen auf die Spur kommen will, wird es also notwendig sein, eine tiefgehende Spaltung des Materials vorzunehmen, um über einigermaßen homogene Beobachtungen ver- Mügen zu können. Jedenfalls wird das hier Angeführte zeigen, daß man in der Anthropometrie weitreichende Analogien zur Wahrscheinlichkeits- rechnung hat und daß das Exponentialgesetz bei überaus vielen Ge- ‚egenheiten mit ausreichender Klarheit die Wirkung der Ursachen- zomplexe hervortreten läßt. Wie ein solcher Ursachenkomplex in seine Elemente aufgelöst werden muß, das ist indes eine Frage, welche bei näherer Untersuchung in jedem einzelnen Falle zu be- intworten ist. 191. Aus dem bereits Angeführten geht hervor, daß sich die anthropometrischen Beobachtungen einerseits häufig um einen Durch- schnittspunkt gruppieren, während andererseits wohl eine Verbindung zwischen zwei Größen, z. B. der Körpergröße und dem Kopfindex, festgestellt werden kann; diese Korrelation jedoch ist im ganzen recht schwach. Aus der einen Dimension wird man also nicht die übrigen berechnen können; der Mensch ist nicht in allen Richtungen nach einer bestimmten Form gebildet; kleine Menschen z. B. können einen sehr langen oder sehr breiten Kopf, großen Brustumfang usw. 3aben. Auf diesem Mangel an Proportionalität beruht das geniale Identifizierungssystem, welches 1881 zuerst von Alph. Ber- tillon (1853—1914) vorgeschlagen und danach von der Pariser Polizeipräfektur in die Praxis umgesetzt wurde; später ist es mit zroßem Vorteil in der ganzen Welt verwandt worden. Nach diesem System sollte eine verdächtige Person sofort in verschiedenen Rich- tungen gemessen, ferner von vorn und von der Seite photographiert DRQKQ werden, da gerade das Ohr ein vorzügliches individuelles Kennzeichen ist. Um sich das System klar zu machen, kann man sich 10000 Personen gemessen denken, welche nach der Länge des Kopfes in 10 Abteilungen geteilt werden, so daß durchschnittlich also 1000 in jeder Abteilung sind. Wenn dann jede Abteilung wieder nach der Fußlänge in 10 Unterabteilungen geteilt wird und diese wieder auf Grund der inneren Beinlänge rubriziert werden, dann hat man zuletzt in jeder Spezialgruppe durchschnittlich nur 7955 der Gemes- senen, hier also 10, welche ohne Schwierigkeit auseinander gehalten werden können, da man auch andere Kennzeichen wie Kopfbreite, Länge des Mittelfingers usw. in Betracht zieht. Wenn eine ver- dächtige Person nunmehr zu identifizieren ist, läßt sich sehr leicht feststellen, ob sie früher gemessen worden ist oder nicht. Je kleiner die Korrelation zwischen den Massen ist, desto leichter läßt sich diese Methode augenscheinlich anwenden. — Es sind selbstverständ- lich übrigens nur die Prinzipien der Methode, welche hier dargestellt worden sind; es ist hier nicht unsere Aufgabe, alle technischen Einzel- heiten zu beschreiben; in der letzten Zeit werden besonders Finger- abdrücke benutzt, da diese ebenfalls für die einzelnen Individuen charakteristisch sind. Die Anwendbarkeit der Methode ist in den späteren Jahren durch den dänischen Polizeibeamten Hakon Jor- gensen verbessert worden (telegraphische Fernidentifizierung). C. Bevölkerungsstatistische Anwendungen, 192. Eins derjenigen Zahlenverhältnisse, welche am frühesten die Aufmerksamkeit auf sich zu lenken vermochten, ist die Sexual- proportion; hierunter wird im folgenden stets der Bruchteil der Geborenen, welcher männlichen Geschlechts ist (das Knabenprozent), verstanden. Wie im $ 72 gesagt, hat die eigentliche Geburtenfrequenz stark varliert (wir kommen weiter unten darauf zurück), während die Schwankungen, denen die Verteilung der Geborenen nach Geschlecht unterworfen gewesen ist, im Vergleich hiermit ganz unbedeutend waren, vgl. die Tabelle auf S. 99. Um die aus dieser Tabelle für Jahrzehnt zu Jahrzehnt ersichtlichen Veränderungen in der Größe der Sexualproportion zu untersuchen, kann man z..B. die mittleren Fehler der für die einzelnen Jahrzehnte gefundenen Verhältniszahlen und danach den mittleren Fehler der Differenz zwischen je zwei von diesen berechnen. Für die Periode 1820—929 erhält man auf diese Weise 289 X == Dis —0,5146 mit einem mittleren Fehler 44, =— Va REM ana: 47823 z |/ 0,00000320 = 0,0018 und für die Periode 1830—39 &a = 93383 . 0,5121 - 0,4879 — 0,5121 mit einem mittleren Fehler 4, = VE = VC,00000268 = 0,0016. Hieraus folgt weiter, daß X, — 03 == 0,0025 mit einem mittleren Fehler von u=Vu? + 12? = V 0,00000588 = 0,0024 ist. Analog findet man die übrigen in der Tabelle 35 angeführten Zahlen. Tabelle 35. Sexual- aroportion 1820—29 2,5146 1830—39 0,5121 L840—40 0,5139 850—5° 2,5158 860—6" ),5124 1870—7° 0.5144 1880—8 0,5124 1890—99 0,5134 ‚900—09 0,5156 Keine dieser 8 Differenzen überschreitet die Grenzen des Mög- lichen, wenn das Exponentialgesetz Gültigkeit hat. Jedoch sind die größeren Abweichungen verhältnismäßig häufiger; es scheint daher möglich, bei der weiteren Bearbeitung des Materials besondere Ur- sachen zu finden, die diese Verteilung nach Geschlecht beeinflussen. Da aber die Annäherung ans Exponentialgesetz verhältnismäßig deut- lich ist, sind große Einwirkungen dieser Art jedoch nicht zu er- warten. Zur weiteren Nachprüfung der Übereinstimmung kann man dann lie Größe der Sexualproportion Jahr für Jahr untersuchen; diese Untersuchung ließe sich ganz unmittelbar wie im $ 161 vornehmen, falls die jährliche Geburtenziffer ganz oder annähernd konstant wäre oder falls man aus der Geburtenstatistik Perioden gleicher Geburten- nenge herausnehmen könnte. Da dies nicht möglich ist, muß man berücksichtigen, daß sich die jährliche Geburtenziffer bedeutend von Anfang bis Schluß der betrachteten Periode geändert hat; ums Jahr 1820 lag beispielsweise WVesterranard und Nvbolle. Theorie der Statistik, 2. Aufl. 19 Mittlerer Fehler der Differenz 9200 die jährliche Anzahl von Geburten um 7000, zu Beginn des 20. Jahr- hunderts jedoch um 50000. Während sämtlicher hier betrachteten 90 Jahre nun wurden insgesamt 2593228 Kinder, hiervon 1332543 Knaben, geboren. Die hieraus berechnete Sexualproportion ist 0,5139, und betrachtet man diese Zahl als fehlerfrei im Vergleich mit den für die einzelnen Kalenderjahre bei weit geringeren Geburtszahlen berechneten Sexual- verhältnissen, dann kann man in ähnlicher Weise wie im $& 89 ver- fahren, d.h. für jedes Jahr berechnen, wieviele Knabengeburten man erwartet haben würde, und den mittleren Fehler, mit dem die Ab- weichungen erwartungsgemäß eintreffen, feststellen. Z.B. wurden im Jahre 1830 8574 Kinder geboren ; man würde erwartet haben, daß 8574- 0,5139=4406 (mit einem mittleren Fehler von V8574 - 0,5139 - 0,4861 == 46,3) von diesen Knaben seien, während die faktische Zahl 4435 war; die Abweichung ist 29, mit dem mittleren Fehler gemessen also 0,627 u. Wenn diese Berechnung für sämtliche 90 Einzeljahre wieder- holt wird, entsteht die Frage, wie die Größengliederung dieser Ab- weichungen mit dem Exponentialgesetz übereinstimmt. Man gelangt zu folgendem Resultat, wo die nach dem Exponentialgesetz erwarteten Zahlen nach der Tabelle 22 berechnet sind: Zahl der Nach dem Abweichungen Faktisch Exponentialgesetz erwartet unter 0,5 u 29 345 10 u 59 615 “Xu 75 77,9 iR 88 85,9 „ Z5u 90 88,9 Nach diesen Resultaten scheint man das Exponentialgesetz auf diese Art Beobachtungen anwenden zu können. 193. Wie schwierig es ist, bei einer Teilung des Materials zu größeren Abweichungen von diesem Gesetz zu gelangen, das zeigt eine Behandlung der Beobachtungen nach dem Alter der Eltern. Gemäß der Hofacker-Sadlerschen Theorie sollte die Wahr- scheinlichkeit einer Knabengeburt größer werden, je mehr das Alter des Vaters das der Mutter übersteigt. Man erhält für Berlin für die Jahre 1907—09 folgende Zahlen für ehelich Geborene: Zahl der Geburten "jiervon Knaben- -eburten Der Vater 8 Jahre älter oder mehr 16 972 8798 22 El 3—7 ” »” 7 46 281 23.778 Die Eltern ungefähr gleichaltrig 48 271 924. 958 Der Vater 3 Jahre jünger oder mehr| 10645 5 491 Von 10000 Geborenen waren Knaben 5184 5138 5170 5158 Quadrat des mitt- leren Fehlers ı 1471 540 | 517 9346 201 Die Differenzen sind im Verhältnis zu den mittleren Fehlern nicht groß genug, um eine typische Ursache festzustellen; nur wenn man über eine weit umfassendere Beobachtungsreihe verfügte, welche nicht wesentlich kleinere Differenzen ergäbe, könnte man ein Resul- ‚at erreichen *). Genau dasselbe gilt, wenn man eine andere Teilung des Materials, nämlich nach der Geburtsnummer, versucht. Man wird dann für die Jahre 1907—09 folgende Tabelle (ehelich Geborener) erhalten: Geburts- nummer 4 1—6 7 und darüber ınhekannt Zusammen Zahl der Aeborenen 10 967 30 11 18 513 22.875 24€ LAG rn Hiervon Knaben 21 057 ‚5 964 9476 856 "46 RA 651.53 von 10000 Geborenen waren Knaben 11/0 165 5174 5.183 5136 3159 Quadrat des mittleren Fehlers 610 808 1 363 1 091 2762 Die Erstgeburten und die Gruppe von Kindern mit der Ge- yurtsnummer 4—6 weisen allerdings eine Differenz auf, aber der mittlere Fehler hat ungefähr dieselbe Größe, und man darf daher keine Schlüsse aus diesem Material ziehen. Eine Erklärung für dieses Verhältnis ist übrigens teilweise von Arthur Geißler?) gegeben worden, der u. a. die Ehen nach den verschiedenen Kombinationen hinsichtlich des Geschlechts der ge- borenen Kinder, in Ehen, in denen bisher nur Knaben, solche, in jenen bisher nur Mädchen, solche, in denen bisher sowohl Knaben wie Mädchen geboren worden waren, teilte: letztgenannte Ehen zer- fielen in Gruppen nach Knabenüberschuß (resp. Mädchenüberschuß) von 1, 2, 3 usw. In 197891 Ehen, in denen bisher nur Knaben geboren waren, war das nächste Kind in 102812 Fällen ein Knabe: hieraus erhält man die Sexualproportion 102818. 0,5195 mit dem mittleren Fehler / 0,00000 126. In 180620 Ehen. in denen bisher nur Mädchen geboren waren, 1) Vgl. hierzu S. D. Wicksell, Sex proportion and parental age in der Jahresschrift der Universität Lund, N. F. Avd. 2, Bd. 22, Nr. 6, Lund 1926. ?) Beiträge zur Frage des Geschlechtsverhältnisses der (jehorenen in der Zeitschrift des Kel. Sächsischen Stat. Bur.. 1889. A” 9992 war das nächste Kind in 91798 Fällen ein Knabe; hieraus folgt als Sexualproportion 91 798 en . nn 180.620 0,5082 mit einem mittleren Fehler von V 0,00000138. Der mittlere Fehler (0,0016) der Differenz ist vielemal kleiner als die Differenz (0,0113) selbst. Es gibt also Ehen, wo besondere Hindernisse dafür vorliegen, daß das eine oder das andere Geschlecht unter den Kindern repräsentiert wird, selbst wenn dieser Unter- schied an und für sich nicht gerade groß ist. Wenn dagegen zwar verhältnismäßig viele Knaben in einer Familie sind, diese jedoch ebenfalls Mädchen zählt, dann scheint bei der nächsten Geburt das entgegengesetzte Phänomen einzutreten: es zeigt sich dann eine Tendenz der Ausgleichung des Unterschieds. Dies erhellt aus folgender Übersicht: Es wurden mehr Knaben als Mädchen U der | geboren en Knabe mehr Knaben »” /„ 2 7} ” 2” 2» +‘ a, 111 455 62 403 33 069 16 285 13 502 62 856 über 4 39 2 | Es wurden mehr Mädchen als Knaben geboren i Mädchen mehr! L05 360 55 860 27 946 12 876 9311 50 133 £ über 4 .. 2 2» R) as Das nächste Kind war ein Knabe 36 056 31.115 16 476 7 992 6674 31 142 55 326 29 641 14 736 6 959 5 030 26 725 Sexual- | verhältnis 1,5031 5,4986 0,4982 0,4908 0,4943 0.4954 0,5251 0,5306 0,5273 0,5405 0,5402 0,5331 Quadrat des mittleren Fehlers 0.00000°25 401 756 1535 1851 308 0,000 00237 446 892 1929 2668 496 Wie man sieht, ist die Häufigkeit einer Knabengeburt verhält- nismäßig klein, wenn bereits mehrere Knaben geboren sind; sind umgekehrt verhältnismäßig viele Mädchen geboren, so wird nächstes- mal häufiger ein Knabe geboren. Der mittlere Fehler des Unter- schiedes zwischen den zwei Reihen liegt zwischen 0,002 und 0,007, während die Differenz zwischen 0,02 und 0,05 liegt. Dieses Phänomen erklärt zum Teil die Beständigkeit im Sexualverhältnis; dagegen ist natürlich nichts über die Art der wirkenden Ursachen entschieden. Aufgabe 60. Werden die oben genannten Ehen, in denen bisher nur Knaben (resp. Mädchen) geboren wurden. nach der Zahl der bisher geborenen 203 Knaben (resp. Mädchen) geteilt, dann findet man dadurch getrennt für jede der anten angeführten Gruppen folgende Zahlen zur Bestimmung der Größe der Sexualprovnortion bei der nächstfolgenden Geburt: F Mindestens Xnabe 7nahen Zahl der Geburten 7 je 82 +63 T BE Hiervon Knaben 2 ‘9 12 294 „371 v 037 3278 “ 335 5349 Mindestens AA an C „ AF Zahl der (Aeburten 1620 ‘1 41 46 142 203 207 Hiervon Knaben 31 798 3€ 02 14 674 5 915 2 340 909 254 Untersuche den Unterschied zwischen der Größe der Sexualproportion in solchen Gruppen, in denen bisher gleichviele Kinder geboren wurden 194, Den überall regelmäßig beobachteten Überschuß an Knaben faßte namentlich Süßmilch (vgl. $ 32) als Mittel dazu auf, trotz größerer Sterblichkeit der Knaben das Gleichgewicht zwischen den Geschlechtern im heiratsfähigen Alter herzustellen. Die Frage dieses Gleichgewichts ist indes nicht nur eine Frage von bevölkerungs- statistischem (und sozialökonomischem) Interesse, sondern enthält auch ein biologisches Problem, nämlich die Frage nach den ge- schlechtsbestimmenden Ursachen. Trotz des auf diesem Gebiete vorliegenden ungeheuer umfangreichen Beobachtungsmaterials!) ist es bisher der Statistik nur in geringem Grade geglückt, diese Frage zu beleuchten. Eine der Ursachen hierzu ist der erhebliche Unter- schied, welcher sich oft zwischen der registrierten Sexual- proportion und der wirklichen nachweisen läßt, d. h. derjenigen, welche für sämtliche zugrundegelegten Lebewesen gilt, sowohl für die, welche das Licht der Welt erblicken als auch für tot- geborene oder unvollkommen entwickelte; diese Sexualproportion ist vermutlich weit größer als diejenige, mit der man gewöhnlich zu rechnen pflegt (510 bis 515 °%). Namentlich Tschuprow hat die Auf- nerksamkeit auf obigen Unterschied der Sexualproportionen gelenkt ?). Aufgabe 61. In Paris wurden in den Jahren 1745—1784 insgesamt (70941 Kinder geboren, von denen 393386 Knaben waren. In London betrug die Geburtenzahl von 1664—1758 insgesamt 1436587, davon waren 737629 Knaben, Untersuche den Unterschied zwischen den durch diese Zahlen hestimmten Sexual- proportionen. \ Vgl. Wedervang, Om seksualproporsjonen ved fodselen, Oslo 1924. ‘) Al. A. Tschuprow, Zur Frage des sinkenden Knabenüberschusses ınter den ehelichen Geborenen, Bulletin de l’Institut internat. de Stat., T. XX, Wien 1915. Vel. auch S. D. Wicksell, a. a. O0. 294 195. Ist es auch oft schwierig, den wirkenden Ursachen auf die Spur zu kommen, so ist die Sache sehr einfach, wenn man die Geburten in Totgeburten und Lebendgeburten teilt. Es zeigte sich oben ($ 73), daß das Risiko für eine Totgeburt bedeutend größer bei Knaben- als bei Mädchengeburten ist, da die Sexual- proportion wesentlich größer unter Totgeborenen als unter Lebend- geborenen ist. Für die ganze Periode 1820—1909 ergeben sich folgende Zahlen: Von je 1000 Sexualverhältnis (°/,o) a sten T D N burt en Geborenen waren Geburten Totge- pP E totgeboren überhaupt burten Knaben 1.332 543 56 392 42 514 560 Mädchen 1.260 685 44 293 35 486 440 Zusammen 2593298 100 685 39 1000 1000 Wenn das Exponentialgesetz gilt, kann man also mit großer Sicherheit schließen, daß Knaben weit häufiger als Mädchen tot zur Welt kommen. Der Unterschied zwischen den zwei Verhältniszahlen (0,046) hat einen mittleren Fehler von ungefähr 0,0016, eine Größe, die im Vergleich zum Unterschied sehr klein ist. Zum Vergleich des Geschlechtsverhältnisses in den einzelnen Jahrzehnten kann man analog dem $ 192 die folgende Tabelle 36 aufstellen. Totgeburten 1820—29 3.967 1830—39 4516 1840—49 5 392 1850—59 6879 1860—69 11.296 1870—79 16 242 1880—89 17 628 1890—99 18 384 1900—09 18 381 Zusammen 100 6535 Tabelle 36. davon von je Differenz der Mittlerer Kuab en 1000 waren Verhältnis- Fehler des Knaben zahlen Unterschiedes Kom D f 36 P uU At 56 392 .. RB Wie man sieht, ist die Übereinstimmung recht gut. Wird 0,560 als Ausgangspunkt gewählt (vgl. $ 192), und werden alle Ab- weichungen von diesem Punkte für die 90 einzelnen Jahre in der Weise berechnet, daß man sie überall mit dem mittleren Fehler als Einheit mißt, so ergibt sich folgendes Resultat: 205 Zahl der Nach den Nach dem Abweichungen Beobachtungen Exponentialgesetz unter OR u 34,5 u ö1,5 ; 35,9 89,7 90.0 sämtlich. X _„Dweichungen V Die größte Abweichung lag etwas über 3 (im Jahre 1896). In Jer Nähe des Durchschnittspunktes liegen verhältnismäßig wenige Abweichungen, jedoch gleicht sich in etwas größerem Abstande der Unterschied aus, so daß man im großen und ganzen den mittleren Fehler als Maßstab anwenden darf. Übrigens wird sich bei der Be- trachtung kleinerer Perioden eine bessere Übereinstimmung ergeben. Z. B. kann innerhalb einer so langen Periode ein Unterschied in jer Abnahme der Sterblichkeit entstehen; vgl. folgende Zahlen: 1820—49 L850—79 880 —190y Zusammen Von 1000 Geburten waren Totgeburten Knaben Mädchen Überhaupt 47 43 35 20Q Der Niedergang in der Totgeburtenfrequenz ist größer bei Knaben als bei Mädchen, und der Durchschnittspunkt verschiebt sich daher ein klein wenig, was ja auch die Tabelle 36 andeutet. 196. Jede der im Vorhergehenden betrachteten Verhältniszahlen hat also ihr Zentrum, um welches sie schwingt. Dieses Zentrum (äßt sich nicht mit absoluter Genauigkeit feststellen (vgl. $ 93), bei den meisten praktischen Anwendungen ist die erzielte Genauigkeit jedoch vollständig ausreichend. Man kann also bezüglich des Sexual- verhältnisses Vorausberechnungen vornehmen und die Unsicherheit angeben, welche solchen Berechnungen anhaftet (vgl. $ 172 f.). Es ist indes nicht nur von Interesse, die Größe des Sexual- verhältnisses, sondern auch die absoluten Zahlen, beispielsweise die Zahl der Lebendgeburten und der Totgeburten vorausberechnen zu können. In dieser Beziehung stellt jedoch die Abnahme der Ge- burtenfrequenz eine Schwierigkeit in den Weg. In Berlin be- yinnt der Niedergang in den 70er Jahren. Auf Grund des deutsch- iranzösischen Krieges war die Zahl der Geburten des Jahres 1871 auf- fallend klein, danach aber stieg sie stark und erreichte ihren Höhe- dunkt 1876. von welchem Jahre an ständige Abnahme zu beobachten 296 ist. Aber selbst wenn man sich auf die Zeit vor 1871 beschränkt, wird man größere Unregelmäßigkeiten in dem summarischen Geburten- prozent beobachten, als mit dem Exponentialgesetz vereinbar ist. Weit regelmäßiger werden jedoch die Zahlen, wenn die außer- ehelich Geborenen ausgeschieden und die übrigen Geburten zu den bestehenden Ehen ins Verhältnis gesetzt werden. Selbst dann aber fallen die Schwingungen von Jahr zu Jahr im Vergleich mit dem mittleren Fehler viel zu groß aus. Vor allem gilt es dann, das Alter der Mutter zu berücksichtigen. Hier sei nur ein einzelnes Beispiel aus der dänischen Statistik für das Jahr 1880 an- geführt. In diesem Zeitpunkt konnte man (jedenfalls außerhalb der Hauptstadt) noch keinerlei Abnahme der Geburtenhäufigkeit be- merken. Wird nun auf Grund der Beobachtungen 1870—79 und unter Berücksichtigung der Altersgliederung der verheirateten Frauen die erwartete Anzahl von Geburten außerhalb der Stadt Kopenhagen berechnet, dann ergeben sich 50140 eheliche Geburten mit einem mittleren Fehler von ungefähr 200. Die faktische Zahl 50082 stimmt also mit dem erwarteten Ergebnis gut überein. Wäre nur eine summarische Berechnung vorgenommen worden, so hätte man eine im Vergleich zum mittleren Fehler weit größere Abweichung fest- vestellt. 19%. Nach der Bestimmung der Geburtenzahl von Jahr zu Jahr ist die Frage die, ob sich hinsichtlich der Totgeburtenfrequenz ähn- liche Untersuchungen vornehmen lasssen wie die oben bezüglich des Sexualverhältnisses der Geborenen angestellten. Man stößt hier auf die Schwierigkeit, welche die Definition des Begriffes Totgeburt mit sich führt. Einerseits kann von Aborten, welche vielleicht Tot- geburten zugerechnet werden, die Rede sein, und andererseits können Kinder, welche zwar geatmet, jedoch nur ganz kurz gelebt haben, fehlerhafterweise als totgeboren angegeben‘ worden sein. Man kann sich z. B. des Gedankens nicht erwehren, daß in Berlin im Jahre 1890 eine Änderung hinsichtlich der Auffassung des Begriffes Tot- geburt stattgefunden haben muß, da die Totgeburtenfrequenz auf einmal in ganz auffallendem Grade fiel. In einer kürzeren Reihe von Jahren lassen sich jedoch oft vereinzelte Unebenheiten be- obachten. Für die Jahre 1900—09 erhält man z. B. folgende Zahlen für Totgeburten in Prozenten sämtlicher Geburten: 1900 1901 1902 1903 1904. 3,56 3,46 3,57 3,53 361 1905 1906 1907 1908 1909 3,59 3,63 3,64 3.63 379 297 Mit einer Geburtenzahl von ungefähr 50000 wird der mittlere Fehler der Differenz zweier aufeinander folgender Werte der Tot- geburtenfrequenz etwa 0,0012 sein; man sieht, daß sich die Diffe- renzen überall innerhalb der Grenzen für die zufälligen Abweichungen halten. 198. Ebenso wie die Verteilung zwischen den beiden Ge- schlechtern dieselbe ist, einerlei ob die Geburtenhäufigkeit groß oder klein ist, so wird man auch bei einer Spaltung des Materials nach anderen Richtungen eine bedeutende Ausgleichung der Zahlen beobachten können; die wirkenden Ursachen üben also ihre Wirkung auf sämtliche Gruppen aus. Als Beispiel nehmen wir die Teilung der Geburten in eheliche und außereheliche. Be- arbeitet man z. B. das ganze Material für Berlin für die Jahre 1820—1909, so ergibt sich, daß 3,51 %, der ehelich Geborenen und 5,04 9% der außerehelich Geborenen totgeboren waren. Es ist also letztgenannte Zahl 72 %, größer als die erstere. Für die einzelnen Jahrzehnte findet man folgende Zahlen: Tabelle 37. 1820 — 2; 1830 —3* 1840—49 1850—59 L860— 69 1870—79 1880 —89 1890—99 L900.— 09 Überhaupt Ehelich Geborene davon totgeboren ' Anzahl 9 35 554 78553 065 «3372 1 90422 921 ‚10 599 437 476 1925 118 “Doc xß/ 1 1:)4r "92 7C 53 14.135 12816 120987 5 3 Außerehelich Geborene davon totgeboren Anzahl 9, Überhaupt 78 IM “38 52 52 87 7326 50 192 3568 14394 25 0, 7,3 1,9 4,6 48 5,5 4,9 5.1 Fr) A A nr „632 R6 7207 Vergrößert man die hier für die ehelich Geborenen angeführten Totgeburtenprozente um 72 %,, so ergibt sich eine Zahlenreihe von ıngefähr denselben Bewegungen wie bei den außerehelich Geborenen, ohne daß man jedoch zu einer deutlichen Übereinstimmung mit dem Exponentialgesetz gelangen kann. Zwecks einer näheren Unter- suchung der Bewegung in der Größe der Totgeburtenprozente wird es jedoch nicht allein wünschenswert sein, die Veränderung von Jahr zu Jahr zu betrachten, sondern auch verschiedene andere Ur- sachen, welche eine bedeutende Rolle spielen, in allererster Linie lie Geburtsnummer zu berücksichtigen (vgl. $ 348). Erst wenn man das Material nach diesen Richtungen hin bearbeitet hat, kann man mit einer Annäherung ans Gesetz rechnen. Daß keine Überein- 298 stimmung vorliegt, dürfte gerade ein Fingerzeig dafür sein, daß es möglich ist, kräftig wirkende Ursachen zu finden. Aufgabe 62. Finde den Korrelationskoeffizienten für die bei den 9 Paaren von Totgeburtenprozenten der Tabelle 37 gegebene Korrelation. 199. Von erheblich größerem praktischen Interesse ist es, die Sterblichkeitsstatistik bearbeiten zu können, sodaß zuletzt das Exponentialgesetz hervortritt; und kein Gebiet der Bevölkerungs- statistik ist wie dieser Zweig Gegenstand derartiger Untersuchungen gewesen. Im $ 74 wurde bereits erwähnt, daß die jährliche Anzahl von Todesfällen eine sehr variierende Größe ist; so sind denn auch die Sterblichkeitsquotienten oft Schwingungen ausgesetzt, welche die bei den Glückspielen festgestellten Grenzen weit überschreiten. Die Ursachen hierzu sind teils in sozialen (hygienischen und öko- nomischen), teils in meteorologischen Verhältnissen zu suchen. Als gemeinsamer Zug kann für die meisten modernen Kulturstaaten auch der allgemeine Niedergang hervorgehoben werden, dem die Sterblich- keit im letzten Halbjahrhundert unterworfen gewesen ist. Im $ 74 wurde die Berliner Statistik mit Hinblick auf die Ver- teilung der Sterbefälle nach Geschlecht behandelt. Betrachtet man hier die Abweichung von einem Jahr zum andern, so wird man finden, daß die Differenzen im Vergleich mit dem mittleren Fehler ziemlich groß sind. Hier darf jedoch nicht übersehen werden, daß sich die Geschlechtsgliederung im Laufe der Zeit ein ganz Teil ver- schoben hat. Der jetzige Frauenüberschuß ist, was Berlin anbetrifft, ein modernes Phänomen. Der Wendepunkt tritt erst in den 70er Jahren ein. Es ist daher kein Wunder, daß die Frauen mit wachsender Überzahl stets größeren Anteil an den Sterbefällen haben. Wenn man jedoch eine einzelne zehnjährige Periode wählt, ist eine größere Stabilität zu erwarten. Für die ‚Jahre 1900—09 ergibt sich z. B., wenn von den Totgeburten abgesehen wird, folgende in der Tabelle 38 angeführte Anzahl von Sterbefällen (siehe S. 299). Der mittlere Fehler der jährlichen Verhältniszahlen wird um 0,003 liegen, und man wird daher im großen und ganzen die Über- einstimmung mit dem Exponentialgesetz befriedigend finden. Jedoch muß man unweigerlich bemerken, daß die drei letzten Jahre z. B. eine verhältnismäßig geringere Anzahl Sterbefälle aufweisen als die drei ersten, und die Frage meldet sich, wie diese Verschiebung ent- standen ist. Wie oben bemerkt, kann sich die Gliederung der Bevölkerung nach Geschlecht bereits im Laufe eines Jahrzehnts soviel ändern, daß 299 WMänner “8710 7 923 175 55 ‚73 OR 9 374 32 190% ‚05 Zusammen 172 670 Tabelle 38. rauen 701 173 566 227 2 "46 ‚50 479 126 ‘39 {56 589 Zusammen A111 )96 1741 7 8382 2425 14 451 32 648 32 353 32 108 31714 329 259 Von je 1000 Sterbefällen waren männliche 328 526 526 5322 325 528 327 522 318 5321 301 man nicht von diesem Moment absehen kann. Ein Vergleich zwischen Jen Volkszählungsergebnissen der Jahre 1901 und 1910 wird teils ein Anwachsen des Frauenüberschusses, teils eine Abnahme der -elatiyven Anzahl von Säuglingen und eine Zunahme für die älteren Altersklassen ergeben. Eine Untersuchung der Sterblichkeitsverhält- nisse in den einzelnen Altersperioden würde jedoch zeigen, daß der Binfluß auf die Verhältniszahlen beider Geschlechter nicht besonders zroß sein kann. Ein Blick auf die Statistik über den Verlauf jer Entwicklung der Sterblichkeit wird dagegen eine andere, noch kräftiger wirkende Ursache aufzeigen. Während die Kindersterbe- fälle (d.h. die Todesfälle im Alter von 0—1 Jahr, ohne Totgeburten) im Jahre 1900 6,3 °%o der gesamten untereinjährigen Bevölkerung jetrafen, machten sie 1909 nur 3,5%, aus. Dagegen haben die äbrigen Sterbefälle nur von 12,7 bis auf 12,0 %, abgenommen. Man kann ajne bessere Überstimmung erzielen, wenn die Berechnung dieses Verhältnis berücksichtigt und die Altersklasse „unter ein Jahr“ und „über 1 Jahr“ gesondert betrachtet werden; für diese beiden Klassen ergeben sich dann {folgende Zahlen: 1900 1901 1902 1903 L904 1905 1906 1907 1908 1909 )berhaupt atarhen unter .Tahr 762 ‘25 „927 1452 783 - 50 J1ıl 3.295 3 250 2187 über Jahr “m >40 a = x AS 31 37 958 24 158 4 657 Hiervon waren Männer unter | über 1 Jahr | Jahr "505 183 )07 89 31 30 „53 + 661 4 689 1.067 \Y_— “AC 68 “BE 12 A475 2045 12213 12.093 19 538 Sexzualverhältnis unter Jahr über ı Jahr a 19 65 33 SE :62 568 566 6 all 512 d1ll 08 14 12 508 501 Z0R — 300 Der mittlere Fehler der hier berechneten 2 Reihen von Sexual- verhältnissen wird jeweils ca. 0,0051 und 0,0034, und man sieht sofort, daß die Schwingungen in den zwei Zahlenreihen sich mit Leichtigkeit mit den Glückspielerfahrungen in Einklang bringen lassen. Daß die durch die Tabelle 38 ausgedrückten Schwingungen zu einem wesentlichen Teil auf Änderungen in der Kindersterblich- keit beruhen, leuchtet ferner ein, wenn passende Normalwerte für das Sexualverhältnis in den zwei hier betrachteten Altersgruppen gewählt werden und bei der Berechnung eines für beide Altersklassen durchschnittlichen Sexualverhältnisses für das einzelne Jahr die spezielle Altersgliederung des Jahres berücksichtigt wird. Wählt man als Ausdruck für das Sexualverhältnis in den zwei Alters- klassen die für 1909 gefundenen Zahlen (566 und 508), so findet man natürlich für 1909 die in der Tabelle 38 angeführte Zahl (0,521) wieder, da 1187-0,566 + 24 657-0,508 __ 0,521: 7187 + 24 657 ER dagegen ergibt sich z. B. für das Jahr 1900 11762-0,566 + 23649-0,508 _ 0-97 11 768 + 23 649 TA also sehr annähernd eine der in der Tabelle 38 angeführten ent- spechende Zahl. Überhaupt erhält man folgende Zahlen: Faktisch Berechnet 1900 528 527 1901 526 527 1902 526 526 1903 522 525 1904 5925 5925 Faktisch Berechnet 1905 528 525 1906 527 524. | 1907 529 523 | 1908 518 523 1909 521 521 In den dem Jahrzehnt 1900—09 voraufgehenden Perioden lassen sich höchst eigenartige Verschiebungen beobachten; bis um das Jahr 1870 hatten die Männer regelmäßig das Übergewicht, und die Verteilung der Verstorbenen nach dem Alter varliert stark. Führt man für die Periode 1850—99 eine Berechnung wie die hier für 1900—09 vorgenommene durch, so ergeben sich, da man auch hier die Werte 0,566 und 0,508 als Ausdruck für das Sexualverhältnis in den zwei Altersgruppen benutzt, folgende Zahlen: 501 ‚850—59 860. 6C Ama rn LI 890 — 99 Durchschnittliche jährliche Anzahl Sterbefälle in %,, der Bevölkerung unter | über Jahr 1 Jahr U. dh Erwartete Verteilung nach Ceschlecht A A 28 Faktische Verteilung nach Geschlecht 524 529 534 530 R90Q Trotz der im Vergleich mit der Anzahl der verstorbenen Überein- jährigen großen Anzahl Sterbefälle unter Säuglingen im Jahrzehnt 1870—79 ist die Übereinstimmung gut. Dies ist dagegen nicht der Fall für die drei ersten Dezennien (1820—50); es ist für diese daher eine noch tiefer gehende Bearbeitung erforderlich. 200. Entsprechende Beobachtungen wird man oft anstellen können. Die Zahl der Todesfälle schwankt ganz außerordentlich von Jahr zu Jahr; nichtsdestoweniger aber ist das Sexualverhältnis, in kürzeren oder längeren Altersperioden, unverändert: die wirkenden Ursachen üben auf beide Geschlechter den gleichen Einfluß aus. Um ein Beispiel aus der dänischen Statistik zu nehmen, so kann die jährliche Anzahl von Sterbefällen (in Altersklassen von 5 Jahren) zwischen 25 und 45 Jahren in jedem der Jahre 1901—10 untersucht werden. Für die Männer bewegen sich die Zahlen zwischen 1753 ınd 1971, für die Frauen zwischen 1899 und 2065. In jedem der Jahre verteilten sich 1000 Sterbefälle auf die 4 benutzten Alters- klassen im übrigen wie folgt: 1901 1902 1903 L904 L905 L906 1907 u 1908 221) 1909 224 1910 | 223 Durchschn 92927 hre “nner IR CS ahra 38 224 220) - 40 Tahre 253 256 DAR 10—45 Jahre 35 297 20ß 25—30 Tahre 15 50 Franen Van Tahre 10 h TE 259 Di z46 \”44 “)—45 ıahre 76 65 267 258 760 45 54 263 265 246 260 Der mittlere Fehler im Verteilungsgesetz für die Abweichungen zwischen den angeführten Durchschnittswerten und den Häufigkeiten 302 der einzelnen Jahre liegt für sämtliche Abweichungen um 0,009 und 0,010. Das Doppelte dieser Größe erreicht man nur in 4 der sämtlichen 80 Gruppen, was mit dem Exponentialgesetz genau über- einstimmt. Im übrigen sind Abweichungen unter dem mittleren Fehler etwas seltener, Abweichungen vom 1- und 2-fachen des mitt- leren Fehlers etwas häufiger, als erwartet, aber im großen und ganzen ist die Annäherung an das Exponentialgesetz eine recht ‚gute. Wählt man andere Altersperioden, dann wird oft eine weitere Teilung des Materials erforderlich sein. Kinder unter 1 Jahr sind, wie oben $ 74 bewiesen wurde, in den Monaten August und Sep- tember in erheblichem Grade gewissen Gefahren ausgesetzt. Um eine größere Annäherung an das Exponentialgesetz zu erzielen, könnte man dann eine Gliederung der Jahre nach meteorologischen Verhältnissen versuchen. Für die Alten werden Frühjahr und Spät- winter unter ungünstigen meteorologischen Verhältnissen verhängnis- voll sein. Man kann die Resultate für die Altersperiode von 25—45 Jahren so ausdrücken, daß es in jedem Kalenderjahr ein neues Sterblichkeitsniveau gibt. Aber bei steter Beobachtung der Ab- weichungen von diesem Niveau findet man, daß sich diese inner- halb der Grenze der Zufälligkeiten halten. Kennt man das Niveau des betreffenden Jahres für sämtliche Sterbefälle in der Altersperiode, dann lassen sich die einzelnen Zahlen einigermaßen genau berechnen. Als Beispiel hierfür sei eine Untersuchung!) angeführt, welche ihren Ausgangspunkt in drei Sterbetafeln für Nord-Wales für die Jahrzehnte 1861—70, 1871—80 und 1881—90 hatte und auf eine Vergleichung der Größe der Sterblichkeit auf verschiedenen Alters- stufen für die 3 Jahrzehnte und für die 18 Regierungsbezirke in Nord-Wales hinausging. Für die Altersklasse 35—45 Jahre sollte das Sterblichkeitsniveau nach der Tafel für das erste Jahrzehnt, alle 18 Bezirke als Ganzes genommen, durchschnittlich um ca. 11% erhöht werden., um in Höhe mit dem Niveau für das zweite Jahr- zehnt zu gelangen. Für einen Bezirk nun war die Sterblichkeit im ersten Jahrzehnt durch 10,70%, im zweiten Jahrzehnt durch 13,08 %%o ausgedrückt. Erhöht man die 10,70 %%, um 11% ,, dann ergibt sich nur 11,78 %wo, also eine Abweichung von 1,30 °%»o. Berück- ij) Westergaard, Die Lehre von der Mortalität und Morbilität, 2. Ausg. Jena 1901, S, 198 £., wo zugleich (S. 195£.) eine von van Pesch vorgenommene Untersuchung der holländischen Sterblichkeitstafel für 1880—90 (Sterftetafels voor Neederland, 1897) besprochen wird, eine Untersuchung, die auch mit der Theorie eine gute Übereinstimmung erzielte. 303 sichtigt man die Volkszahl und die Anzahl von Sterbefällen im Distrikt, so findet man als Ausdruck für den mittleren Fehler dieser Abweichung 1,40%, So daß die gefundene Abweichung, . mit dem mittleren Fehler als Einheit gemessen, etwa 0,9% wird. Auf ähn- liche Weise muß die Sterblichkeit im dritten Jahrzehnt um ca. !/ erhöht werden, um ebenfalls die Höhe der Sterblichkeit im zweiten Jahrzehnt zu erreichen. Im selben Bezirk nun war die Sterblichkeit im dritten Jahrzehnt durch 10,09%, ausgedrückt, was, um !/g erhöht, 11,77% ergibt, ein Resultat, das dem Niveau im zweiten Jahrzehnt 13,08 %%) gegenüber eine Abweichung von 1,31 %.o aufweist. welches wiederum ca. 0,9 w ausmacht. Bei entsprechender Umrechnung beider Abweichungen für sämt- liche 18 Bezirke erhält man insgesamt 36 Abweichungen, die sich, mit den mittleren Fehlern als Einheit gemessen, nach der Größe, wie folgt, verteilen: [7 ter NR 4 L Faktisch Erwartet 12 13,8 11 10,8 10 9,8 3 16 Hier sind die erwarteten Zahlen nach der Tabelle 22 berechnet, und man sieht die deutliche Übereinstimmung zwischen Erfahrung und Berechnung. Auch für andere Altersklassen ließen sich mit gutem Resultat ähnliche Berechnungen vornehmen. Die Ursachen, welche eine erhöhte Sterblichkeit hervorrufen, wirken also gleich- zeitig mit ungefähr gleicher Stärke auf das ganze Gebiet ein, so daß mögliche Abweichungen in der Regel als zufällig aufgefaßt werden zönnen (s. weiter unten $ 341). Sehr oft wird allerdings eine Untersuchung dieser Art bedeutende Abweichungen vom Exponentialgesetz ergeben. Die größeren Städte z. B. werden Unregelmäßigkeiten hervorrufen, u. a. auf Grund hygi- anischer Maßnahmen, welche in der Regel nicht gleichzeitig in allen Städten durchgeführt werden. Eine Bearbeitung des Materials unter solchem Gesichtswinkel wird daher notwendig sein, bevor man auf Übereinstimmung mit der Theorie rechnen darf. Auch eine Bearbeitung der Statistik über die Sterblichkeit in verschiedenen Berufen hat, wie es scheint, Aussicht darauf, zu einer Übereinstimmung mit dem Exponentialgesetz zu führen. Führt man z. B. für 9 Berufszweige, welche von 1860—61 und 1871 in der englischen Bevölkerungsstatistik einigermaßen gleichartig behandelt wurden. für 5 Altersklassen zu je 10 Jahren, zwischen 25 und 75 za 304 Jahren, ähnliche Berechnungen wie die obigen aus, indem man das Sterblichkeitsniveau 1860—61 um so viel erhöht, wie die Sterblichkeit der gesamten Bevölkerung aufweist, dann werden sich die 45 Ab- weichungen zwischen der Sterblichkeit 1860—61 und 71 wie unten verteilen: Faktisch Erwartet 0—0,5 Male den mittleren Fehler 15 17,2 05—17 . 13,5 1,0—2, * 12,2 mehr als & 21 Zusammen 45,0 73 Auch hier kann man von einer recht guten Übereinstimmung sprechen. 201. Wenden wir uns nun den Trauungen zu, so haben wir aufs neue ein Gebiet, wo auf den ersten Augenschein die Unregel- mäßigkeit sehr groß ist, wo man jedoch nach einer einfachen Be- arbeitung des Materials mit Leichtigkeit eine Annäherung an das Exponentialgesetz erzielt. Wirtschaftliche und soziale Verhältnisse verschiedener Art üben hier einen bedeutenden Einfluß aus; bei einer Sonderung nach dem Alter der Braut oder des Bräutigams, nach Glaubensbekenntnis und Zivilstand wird man jedoch finden, daß diese Ursachen gleichmäßig wirken, so daß die Zahlen verhältnis- mäßig im selben Grade vergrößert oder verkleinert werden. Auch die Verteilung der Ehescheidungen nach dem Glaubensbekenntnis ist lehrreich. Man kann z. B. die im $ 71 enthaltene Tabelle näher bearbeiten, um dann zu folgenden Zahlen zu gelangen: 899 1900 1901 1902 1903 L904 1905 1906 1907 1908 Zusam. Zahl der | evan geinte | gemischte Ehescheidungen Then Ehen UN I36 984 27 260 R7F 49 21 722 769 c79 1 48 9 +q 7“ a n 14 109 u vol 2134 | Erwartete Zahlen |evangelische| gemischte Ehen Ehen fi 2 LA 7692 951 983 066 :01 mA) ‘% 14 152 190 196 213 220 254 276 289 92184 Pa 467 10931 Es erhellt, wie genau die berechneten Zahlen den faktischen folgen. Berechnet man unter Berücksichtigung der der Gesamtzahl 305 anhaftenden Unsicherheit den mittleren Fehler, dann wird sich heraus- stellen, daß von den 20 berechneten Zahlen 8 eine Abweichung von dem Ein- bis Zweifachen des mittleren Fehlers haben, während die übrigen Abweichungen unter dieser Größe liegen. Wie sehr sich die Zahl der Ehescheidungen von Jahr zu Jahr auch verändert, so ist dennoch die Verteilung nach der Art der aufgelösten Ehen un- gefähr konstant. Untersucht man nun, wie häufig Trauungen und Scheidungen jeder Art sind, dann wird sich z. B. ergeben, daß von den Eheschließungen der Jahre 1907—09 ungefähr 17!% gemischt, etwa 74%, rein evangelisch, 5%, rein katholisch und 3°, rein jüdisch waren. Dagegen hatte man für die Geschiedenen 78 %% rein evangelische Paare, 16°, gemischte Ehen, ungefähr 3°, rein jüdische und die gleiche Prozentzahl rein katholische Ehen. Nach diesen (allerdings sehr summarischen) Zahlen würde man zu dem Schluß neigen, daß die katholischen Ehen stabiler sind als die anderer Bekenntnisse. Auch eine Untersuchung hinsichtlich der Anzahl von Kindern in den aufgelösten Ehen dürfte voraussichtlich gewisse typisch wirkende Ursachen aufweisen. 202. Unter den Todesursachen nehmen die Selbstmorde eine eigenartige Stellung ein. Für Berlin hat man beispielsweise die in ler Tabelle 39 enthaltenen Zahlen: Tabelle 39. Zahl der Selbstmörder erhänet Hiervon haben sich ertränkt Männer! Frauen! Zus. Jahr Männer! Frauen! Zus Männer! Franen 2 ? „05 3 90 676 2 84 «18 726 O2? 3 28 90 ) | 1018 [3518 | 907 | 272 | 1179 | 281 | 140 | 224 Durchschnittlich waren unter 1000 Selbstmördern 289 Frauen; berechnet man mit dieser Zahl als Ausgangspunkt die erwartete Anzahl weiblicher Selbstmörder von Jahr zu Jahr, so ergibt sich folgendes Resultat: Zahl der weiblichen Selbstmörder Erfahrung Berechnung L907 183 196 L908 220 212 L909 207 204 L910 190 196 1911 218 210 Westergaard und Nvyboile, Theorie der Statistik, 2. Aufl. 1907 „008 ‚909 LO1C [9.1 Zusam. ‘ 3 x 7" — 306 Da der mittlere Fehler dieser berechneten Zahlen um 12 herum liegt, sieht man, daß die Zahlen überaus gut mit dem übereinstimmen, was man nach dem Exponentialgesetz erwarten mußte, während sich bei Hineinziehung älterer Beobachtungen eine kenntliche Verschiebung ergibt (für 1897—1906 findet man beispielsweise, daß durchschnitt- lich 263%, der Selbstmörder Frauen waren). Auch hinsichtlich der Art der Selbstmorde wird sich im großen und ganzen eine befriedigende Übereinstimmung ergeben, wenn man nicht eine zu lange Periode betrachtet. Für das Jahrfünft 1907—11 ist, wenn sich von Männern 363 °/,, erhängten und 114 % ertränkten von Frauen 267 °% 9 erhängten und 138 °%,g ertränkten, das Resultat folgendes: Erhängur: Erfah- rung Au2- Männer Ertränkung | h- rung Berech- Nung Frauen a Erhängung | Ertränkung Erfah- | Berech- Erfah- | Berech- rung | nung |! rung | nung 1907 + 178 54 +. 49 „3 ; 1908 | 190 0 Fo 61 59 | 31 | 3 1909 192 1 56 1] 50 | 55 97 29 1910 167 | 176 53 | 55 54 51 | 31 26 1911 180 | 184 62 58 53 58 98 30 Keine der Abweichungen kommt außerhalb des Gebietes der Zu- fälligkeiten zu liegen; auch hier kann man jedoch, wenn man weiter in die Vergangenheit zurückgeht, erhebliche Verschiebungen wahr- nehmen. Es läßt sich mit bedeutender Sicherheit aus den Zahlen der Schluß ziehen, daß die Neigung zum Sich-Erhängen bei männlichen Selbstmördern größer ist als bei weiblichen. Dagegen haben diese verhältnismäßig häufiger den Ertränkungstod gesucht als die Männer; der mittlere Fehler ist hier jedoch zu groß, um vollständig sichere Schlüsse zu ermöglichen. Geht man zur Periode 1897—1906 zurück, so wird man — mit etwas anderen Verhältniszahlen — hinlänglich viele Beobachtungen zur Verfügung haben, um den betreffenden Schluß ziehen können. - Aufgabe 63. Finde auf Grund der Zahlen in der Tabelle 39 einen Aus- druck für die Erhängungsfrequenz bei Männern und bei Frauen und den mitt- leren Fehler dieser Häufigkeiten. Wie groß ist der Unterschied zwischen diesen Häufigkeiten und der mittlere Fehler des Unterschiedes? ‚Dieselben Fragen für die Ertränkungsfrequenz. Aufgabe 64. In Dänemark begingen von 1897—1905 insgesamt 4276 Männer und 1200 Frauen Selbstmord, hiervon suchten den Ertränkungstod jeweils 334 307 und 331. Wie groß ist der Unterschied zwischen den Ertränkungsfrequenzen, die sich hieraus getrennt für Männer und Frauen berechnen lassen, und wie groß ist der mittlere Fehler des Unterschiedes ? Bei einer Betrachtung der Verteilung der Selbstmorde nach Jahreszeiten wird man eine regelmäßige Periode erkennen können. So ergibt z. B. eine Addition der Zahlen für die 5 Jahre 1906—10, daß 258 %0o auf das erste Vierteljahr, 272 auf das zweite und jeweils 244 und 226 %o auf die beiden letzten Quartale entfallen. Wie ge- wöhnlich, ist das Frühjahr in dieser Beziehung die schlimmste Zeit. Eine Untersuchung der Abweichungen der einzelnen Monate vom Durchschnitt des Jahrfünfts ergibt eine recht gute Harmonie mit lem Exponentialgesetz; man darf daher die gewöhnlichen Kriterien auf die Monatszahlen anwenden. Es bestätigt sich dann die Grund- annahme, daß die Selbstmordfrequenz im zweiten Quartal ihr Mazxi- mum erreicht, während das Minimum im letzten Teile des Jahres liegt. Man besitzt also hier ein Mittel, einen zuverlässigen Schluß zu ziehen. 203. Es lassen sich nun auch lehrreiche Beispiele auf einem Gebiete der menschlichen Willensäußerung wie dem der Verbrechen finden. Seit 1897 kann man in der dänischen Statistik die Rück- fälle der zum erstenmal Verurteilten verfolgen. Wir können uns hier darauf beschränken, nur diejenigen Rückfallsfrequenzen zu be- trachten, welche sich unmittelbar aus den Zahlen der in jedem Kalenderjahr „zum erstenmal Verurteilten“ und aus denjenigen von diesen, welche vor Ablauf desselben Jahres zum zweitenmal ver- urteilt wurden, ableiten lassen. Für reichsangehörige männliche „Ver- brecher-Anfänger“ hat man beispielsweise für die Jahre 1897—1915 folgende Zahlen (s. Tab. auf S. 308). In einem späteren Kapitel ($ 326) kehren wir in einer anderen Ver- bindung zu diesen Beobachtungen zurück. Es sei jedoch bereits hier bemerkt, daß die aufgeführten Rückfallsprozente nicht die Wahr- scheinlichkeit für einen Rückfall vor Ablauf eines Jahres nach der ersten Verurteilung angeben können. Von den 1539 im Jahre 1897 zum erstenmal Verurteilten werden einige so spät am Schlusse des Jahres verurteilt worden sein, daß ihr erster Rückfall im Jahre 1898 eintreffen kann, jedoch vor dem „Jahrestage ihrer ersten Aburteilung. Ferner können Verbrecher-Anfänger vor diesem Jahrestage sterben oder auswandern, ein Moment, das ebenfalls nicht berücksichtigt ist; und schließlich hat man auch die Dauer des ersten (jefängnisaufenthalts außer acht gelassen. obwohl die Strafverbüßung D0* 308 . Rückfälle | Für je 100 war EN Ber” | im selben | Rückfall zu HEADS Kalenderiahr verzeichnen 1897 1539 1898 1488 (899 1438 1900 1514 1901 427 1902 1376 1903 403 1904 411 1905 1672 1906 1422 L907 1487 1908 1465 1909 1470 1910 1654 1911 1682 1912 1532 1913 1729 1914 1619 1915 1885 Zusammen 29213 ie 8,51 7,33 6,40 7,53 6,45 6,54 6,49 7,37 7,72 5,20 5,45 5.19 8,67 5,93 6,18 5,61 5,09 a a2 GC. natürlich die Möglichkeit eines Rückfalls ganz außerordentlich ver- mindert. Nichtsdestoweniger haben die Zahlen ein deutliches Gepräge der Regelmäßigkeit. Jedoch wird man unweigerlich eine Abnahme in der Rückfallsfrequenz nach 1905 bemerken. Für die 9 ersten Jahre als Ganzes ergibt sich eine Rückfallshäufigkeit von 7,18 %,, für die letzten 10 Jahre dagegen nur 5,79 %, und untersucht man den mittleren Fehler der Differenz, so ist leicht ersichtlich, daß hier recht kräftige Ursachen haben einwirken müssen. Es kommt hier besonders das Vormundschaftsratsgesetz vom 14. April 1905 in Be- tracht, wonach Kinder unter 14 Jahren überhaupt nicht mehr und jugendliche Verbrecher von 14—18 Jahren in der Regel ebenfalls nicht bestraft werden, da das Gesetz die Möglichkeit eröffnet, für solche Personen Erziehung anzuwenden. Gerade für jugendliche Verbrecher ist die Rückfallsfrequenz groß. Es muß daher empfohlen werden, das Material in zwei Gruppen: 1897—1905 und 1906—15 zu teilen. "Tut man dies, so ergeben sich bei der Berechnung der erwarteten Anzahl von Rückfällen folgende Resultate (s. Tabelle auf S. 309) : Man ersieht leicht, daß die Zahlen leidlich mit dem Exponential- gesetz übereinstimmern. Für die ersten 9 Zahlen ist der mittlere Fehler ungefähr. 9, für die letzten ungefähr 8. Nach diesem Re- 1897 1898 1899 L900 1901 1902 1903 904 1905 > Rückfälle gemäß Beobachtung Berechnung +2 309 —— "m 006 007 8 x nn ‚415 Rückfälle gemäß Beobachtung Berechnung a) a7 89 ‚00 94 109 2 LOK sultat würde man kaum Bedenken tragen, die Wahrscheinlichkeits- rechnung auf dieses Material anzuwenden. Man kann dann die Beobachtungen in verschiedenen Richtungen spalten, um so wirkenden Ursachen auf die Spur zu kommen. Man kann z. B. im Alter bei der ersten Verurteilung seinen Ausgangs- punkt nehmen und gelangt dann zu folgenden Zahlen: Anzahl hiervon Rückfälle im ersten Jahre überhaupt | % unter | über unter ] über ‘ unter | über A Tahren!95 Tahren!95 Jahren 95 Tahren/25 Jahren/25 Jahren 7 568 2311 361 a8 274 3015 384 0 1258 3240 315 ‚ 4677 3770 82 14 y2 Zusammen: | 16877 | 12336 | 1442 | 433 1 85 | Für die Altersgruppe über 25 Jahre sind die Abweichungen nicht größer, als daß sie sich mit dem Exponentialgesetz vereinen {assen. Für jugendliche Verbrecher gilt dasselbe für die zwei ersten Perioden, während die letzten beiden Perioden ein ziemlich niedriges Prozent haben. Hier zeigen sich also die Wirkungen des Kinder- schutzgesetzes vom Jahre 1905. Man sieht, daß, wie oben gesagt, die jugendlichen Verbrecher verhältnismäßig weit häufiger im ersten Xalenderjahre „zurückfallen“ als die älteren. Auch hinsichtlich der Art des Verbrechens lassen sich inter- essante Zahlen finden. Die Sittlichkeitsverbrecher haben im ersten Kalenderjahr (wie überhaupt) nur ein kleines Rückfalls- prozent, während Diebe verhältnismäßig recht häufig erneute Ver- brechen begehen; die Notzüchtiger nehmen in dieser Beziehung eine Mittelstellune ein. 1897— 190° 1901—1905 1906— 1910 1911— 1915 _—. 310 — D. Die Wirtschaftsstatistik. 204. Wenden wir uns nun der Wirtschaftsstatistik zu, so begegnen uns hier große Schwierigkeiten. Zum ersten ist dieser Zweig der Statistik, trotz der ungeheuren Fortschritte der letzten Dezennien, im Vergleich mit der Bevölkerungsstatistik nur wenig entwickelt, und zweitens ist sie an und für sich weit verwickelterer Natur. Zu guter Letzt ist jedoch die Aufgabe dieselbe, nämlich wie oben die mannigfaltigen wirkenden Ursachen in zwei Hauptgruppen zu sammeln, teils solche Ursachen, welche einen kenntlichen Einfluß auf die sozialökonomischen Phänomene ausüben und daher so weit wie möglich jede für sich isoliert behandelt werden müssen, teils solche, die man als zufällig auffassen kann und deren Wirkung sich innerhalb gewisser verhältnismäßig enger Grenzen halten; diese Grenzen müssen dann, wie bei den Glückspielerfahrungen und den Erfahrungen in der Bevölkerungsstatistik studiert werden. In mancher Beziehung hat jedoch diese Aufgabe relativ bessere Aussichten auf eine fruchtbringende Lösung als bisher. Die Regel- mäßigkeit in den ökonomischen Phänomenen ist in unseren Tagen weit größer als einst, so z. B. hinsichtlich der Ernte, die sich jetzt oft nur auffallend wenig von Jahr zu Jahr verändert. Und z. T. wird das Studium der wirkenden Ursachen dadurch erleichtert, daß jetzt mehr als je die Welt ein Ganzes ist und viele Be- wegungen daher parallel sind. Lazard!) z. B. hat bei einer Ver- gleichung von deutscher und französischer Arbeitslosenstati- stik eine recht gute Übereinstimmung zwischen dem Risiko der Arbeitslosigkeit in den einzelnen Gewerbezweigen dieser beiden Länder festgestellt, so daß es im Bereich der Möglichkeiten zu liegen scheint, auf diesem Gebiete der Statistik ähnliche Gesetze wie in der Bevölkerungsstatistik anzuwenden. Betrachtet man, um ein verhältnismäßig einfaches Beispiel zu nehmen, die Verteilung der Einkommen oder Ergebnisse ent- sprechender Erhebungen (z. B. die Verteilung der Vermögen, der Erbfälle nach Größe), so wird sich in der Regel ergeben, daß diese Verteilungen sehr unsymmetrisch sind; die niedrigeren Einkommens- klassen sind meistens weit zahlreicher vertreten als die höheren. Als Beispiel möge die Einkommenverteilung der Versorger ?) in Däne- !) Le chömage et la profession, Paris 1909. . 2) Vgl. Statistisk Tabelverk Litra A Nr. 16, Folketellingen den 1. Februar 1921. Kobenhayn 1925. 311 mark auf Grund der Veranlagungen des Finanzjahres 1921—22 (im wesentlichen auf Grund der Einnahmen im ‚Jahre 1920) erwähnt werden. welche Verteilung aus der Tabelle 40 ersichtlich ist. Tabelle 40. Verteilung der Einkünfte des Jahres 1920. Gruppen von Ein- ) kommen ınter 1000 Kr. 1000— 1500 ,, 1 500— 2000 2000— 3000 3000— 4A 1000— BON 5° 0— N LO YA 20.000 - 50 00 ıher Zusammen Zahl der Ein- künfte Deren Gesamt- betrag ION) Kr \ „X LO6 771 ‚57 268 ‚38 732 89 961 48629 13 400 50707 9 66 282 L87 800 231 905 451 161 502 537 195.115 )37 155 373.111 ’39 105 Sn „09 054 396 | 8 84? Grenzen von Einkommen Zahl der Ein- künfte + \ über 0 Kr.! 1054 326 1000 „947555 1500 „790287 2000 „ 651555 3000 „ 461 594 4000 „ 312965 500 199 565 MM 38 788 IN 90 RS Deren Gesamt- betrag iM) Kr. 3 843 464 3.777.182 3 589 382 3357477 2.906 316 2403 779 ' 908 664 371 509 498 398 259 293 153 584. Außer den in dieser Tabelle enthaltenen 1054326 Versorgern, Jleren Einkommen bekannt war, wurden noch insgesamt etwa 470000 Versorger (ca. 230000 Männer und 240000 Frauen) mit unbekanntem Einkommen gezählt; da vermutlich jedenfalls der überwiegende Teil dieser Einkünfte sehr klein gewesen ist, so wird trotz des Mangels aus der Tabelle 40 hervorgehen, daß die Einkommenverteilung sehr ınsymmetrisch ist und äußerst geringe Ähnlichkeit mit dem Expo- nentialgesetz hat, und ganz ähnliche Formen nehmen die Verteilungen bei anderen entsprechenden Einkommenerhebungen an. Dieses Ver- hältnis hat dazu Veranlassung gegeben, besondere Gesetze für die Form der Einkommenverteilung aufzustellen und ihre Begründung zu versuchen; und hier hat das von Pareto vorgeschlagene Ge- setz eine ganz besondere Aufmerksamkeit erregt!). Nach Pareto sollte die Gesamtzahl der Personen (y), deren Einkommen mindestens von der Größe x war, mittels der Formel 1) Siehe unter neueren Abhandlungen: J.C. Stamp, A new illustration of Pareto’s law. Jonrn. Roval Stat. Saoe.. Vol. 77. 1914. 312 festgestellt werden können; k und a seien in dieser Formel von x unab- hängige Größen, die jedoch bestimmbar wären, so daß die Formel sehr annähernd einer gegebenen (beobachteten) Verteilung entspräche. Es läßt sich leicht nachweisen, daß das Gesetz Paretos nicht besonders gut mit den Beobachtungen übereinstimmt; man wird übrigens oft zu einer besseren Übereinstimmung gelangen, wenn man, anstatt die Zahl der Einkünfte über oder zwischen gegebenen Grenzen zu prüfen, das Gesetz an Einkommenmassen, welche von Einkünften über oder zwischen gegebenen Grenzen herrühren, an- zupassen versucht. Zur Beleuchtung dessen hat man in der Tabelle 40, außer den Zahlen der Kolonnen (1) und (2), welche die eigent- liche Einkommenverteilung betreffen, gleichzeitig mittels sukzessiver Aufsummierung von unten her aus den Zahlen der Kolonnen (1) und 2) berechnet, teils‘ wieviele der 1054326 Einkünfte größer als jeweils 100000, 50000, 20000 ... usw. Kronen waren (Kol. 3), teils ein wie großer Teil der gesamten Einkommenmasse (3843 Mill. Kr.) auf Einnahmen entfielen, welche größer waren als die benutzten Grenzen für Einkommengruppen (Kol. 4). Für die genannte Anpassung spräche vielleicht der Umstand, daß sich eine Person mit kleinem Einkommen in der Regel weit mehr anstrengen muß, eine gewisse Erhöhung der Einnahmen zu erzielen, als eine wohlhabende Person. Da Probleme dieser Art sich ohne Anwendung weitergehenderer mathematischer Hilfsmittel nur schwer verfolgen lassen, so sei hier nur bemerkt, daß, selbst wenn es vielleicht richtig ist, daß nur ein Bruchteil einer Gesellschafts- klasse unter der jetzigen Gesellschaftsordnung sich zu besseren Ver- hältnissen emporzuschwingen vermag, es doch andererseits wahr- scheinlich ist, daß jegliche Veränderung in den wirtschaftlichen Ver- hältnissen der Gesellschaft auch auf die Einkommenverteilung einen Einfluß ausüben wird; man kann somit nicht immer die sehr un- symmetrische Verteilung, auf die das Gesetz Paretos in erster Linie hinzielt, erwarten. Da die ausgeprägte Abweichung von der Form des Exponential- gesetzes, welche die Verteilung der Einkünfte aufweist, uns in Wirklichkeit einem ähnlichen Problem wie dem oben ($$ 183—184) in Verbindung mit den anthropometrischen Messungen besprochenen gegenüberstellt, so wird auch hier — wie sonst — die Spaltung des Materials in Gruppen zu empfehlen sein, welche jede für sich einigermaßen homogen sind. Hierzu wird um so mehr Veranlassung sein, da der Begriff des Einkommens im Gegensatz zu den meisten 313 anderen der im vorhergehenden behandelten Verhältnissen sehr häufig äußerst schlecht definiert ist, weshalb denn auch die auf das Ein- kommen bezüglichen Beobachtungen oft unzuverlässig und gruppen- weise mit systematischen Fehlern behaftet sind. 205. Versucht man indes eine Spaltung des Materials nach Gesellschaftsklassen, so wird man sehen, daß die Gesellschaft nicht so sehr wie ein „pyramidal“ aufgebautes, organisches Ganzes, sondern eher als ein Aggregat aus vielen einzelnen Gruppen, von denen jede ihrem Verteilungsgesetz folgt, aufgefaßt werden muß. Daß mittels einer solchen Spaltung tatsächlich Aussicht auf eine [Isolierung kräftig wirkender Ursachen ist, wenigstens wenn man über ausreichend gute und umfangreiche Beobachtungen verfügt, das wird bereits aus der Tabelle 41 erhellen, die einige Beispiele der Einkommenverteilung innerhalb verschiedener Berufe enthält: Tahelle 41. Gruppen von Einkommen unter 1000 Kr. L000— 1500 , L 500— 2 000 2000— 3 000 3 000— 405 1 000— 500 5 000—10 0 10 000—20 06 20 000—50 66 über RO 00 : Pa 7 | 1 © „gg - VE 3 Ss n 3 2848158 '258 A 55| 2 [22 398% 7 = x Sa hm N a: 3252531 %°3 25 SE 3% Hi SE 583923 .38 58 SE 351 = |Ss TR) © DE 1 reGRS8 S% X 3 4 +» <q MO | ä8 28 AN Sr Br nn Atze Männer! An nnerl Männer! Männer! Frauen 2 {22 207 Sr” Fa 3 “m NA 4 28 6 8 > 9 10 29 N >91 -20 ca CO) „dd {1 (WW) ur + Obwohl die vorliegenden Einkommenintervalle von höchst ver- schiedener Größe sind, so wird doch aus der Tabelle hervorgehen, laß bereits eine bloße Gliederung nach Beruf und Geschlecht eine [solierung verschiedener Gruppen ermöglicht, deren Verteilung nach Einkommen vollständig die der ganzen Bevölkerung eigentümliche Form verliert, welche oben (Tabelle 40) gefunden wurde, und sich allenfalls der Ähnlichkeit mit dem Exponentialgesetz in dem Grade nähert, wie eine deutliche Zusammenhäufung um ein typisches Durchschnittseinkommen und eine größere oder kleinere Streuung dach beiden Seiten statthat; selbst wenn die Asymmetrie in den Verteilungen noch größer ist als mit dem Exponentialgesetz verein- 314 bar, so ist doch andererseits zu erinnern, daß die angeführten Gruppen noch sehr zusammengesetzt sind. Aussicht auf Ausbeute hätte ebenfalls eine Scheidung zwischen verschiedenen Altersklassen und namentlich zwischen der Stadt- und Landbevölkerung. Da die Beobachtungen über die hier benutzten, von der Steuerveranlagung herrührenden Einnahmen vermutlich mit erheblichen Fehlern be- haftet sind (vgl. insbesondere die große Anzahl von Personen, deren Einkommen nicht bekannt ist), so wird es klarer sein, den Nutzen einer Spaltung wie der obigen an Hand eines anderen Beispiels zu beleuchten. 206. Hierzu kann eine Kopenhagener Lohnstatistik!) aus>dem Jahre 1909 benutzt werden, indem man alle solchen Arbeitergruppen ‘Erwerbszweige usw.), deren Einkommenverteilung bekannt ist, und welche insgesamt 6064 männliche und weibliche Arbeiter umfassen, herausnimmt; die Verteilung dieser Gruppen nach dem Einkommen erhellt aus folgender Übersicht: unter 100 Kr. 100—200 ,, 200—300 ,, 300—400 ,, 400—500 ,. 500— 600 600—700 ,, 700)—800 ,, 800—900) 7 9/ € 5 900—1000 Kr. 18 1000—1200 ,, 48 1200—1400 ,, 139 1400 —1600 ,, 167 LAIEN 119 180 4-7 77 über Z. , 16 Zusammen 1000 Die Verteilung ist sehr unregelmäßig; sie ergibt zwei Maximal- punkte, welche erheblich voneinander entfernt liegen, so daß von einer Annäherung an das Exponentialgesetz kaum die Rede sein kann. Wenn man indes die Arbeiter in Gruppen nach Geschlecht und Erwerbszweig einteilt und gesondert für jede einzelne der hier- bei entstandenen Gruppen die Einkommenverteilung betrachtet, dann findet man wie oben ($ 180), daß die einzelnen Gruppen sehr ver- schiedene Durchschnittspunkte haben. Wenn mittels einfacher linearer Interpolation in der Verteilung der Gruppen festgestellt wird, wieviele der Einkünfte Abweichungen aufwiesen, welche z. B. zwischen 0 und 100 Kr., 100 und 200 Kr. usw. lagen, und demnächst die Anzahl von positiven und negativen Abweichungen aufgezählt wird, dann erhält man folgende Zahlen: ı) Cordt Trap, Arbejdslonnen i Kobenhavn i Aaret 1909, Kebenhavn 1911. 315 i Ü Erwartet gemäß Abweichung | Unter dem Über dem | S Kr. Durchschnitt | Durchschnitt ‘dem Kxponential ü— 1 L00—200 200 — 300 300—400 100—500 306 — 600 X 70 a J— 299 m a (15 ? 1 > Zusammen Bei der Berechnung ist lediglich darauf Rücksicht genommen, daß jede Gruppe ihren speziellen Durchschnitt („moving average“) hat, dagegen nicht darauf, daß die einzelnen Gruppen auch Vver- schiedene Streuungen aufweisen können; berücksichtigt man auch dies, ist übrigens — namentlich bei umfangreicherem Material — Aussicht auf eine noch bessere Übereinstimmung. Der mittlere Fehler, berechnet aus der Quadratsumme der hier benutzten Ab- weichungen, beträgt 196 Kr. Die Ähnlichkeit mit dem Exponentialgesetz nun ist ziemlich deutlich. Für die Abweichungen unter 100 Kr. ist die erwartete Zahl etwas zu klein, für die folgenden Gruppen dagegen stimmen die Zahlen recht gut; später treten einige Abweichungen auf, die jedoch nur in geringem Grade das Gesamtbild stören. Es scheint also nicht unmöglich, ein Material dieser Art so zu bearbeiten, daß das Exponentialgesetz zur Anwendung kommen kann. Die einzelnen Gruppen von Arbeitern leben unter äußerst ver- schiedenen wirtschaftlichen Verhältnissen, in der Gruppierung um den Durchschnitt jedoch scheinen sie mit Annäherung der Exponential- formel zu folgen. Einige Arbeitergruppen in dem Kopenhagener Material ergeben aber Abweichungen, so z. B. die Gaswerks- arbeiter; möglicherweise bestehen sie aus mehreren Klassen mit einzelnen oder mehreren Durchschnittspunkten. Zerlegt man das Material in gelernte und ungelernte Arbeiter und Arbeiterinnen, so ergeben sich folgende Resultate (die Zahl der Beobachtungen in den drei Abteilungen ist 1179, 2286 und 2599, der mittlere Fehler jeweils 213, 202 und 180) [s. S. 316]: Daß die kleineren Abweichungen verhältnismäßig häufig sind, ‚äßt sich dadurch erklären, daß für die meisten Arbeiter Lohntarife relten. 316 Abweichungen Kr Gelernte ln _Ungelernte | Arbeiterinnen unter | über! sa lunter ] über‘ Dei dem Dureh-| x (dem Durch-' schnitt N schnitt unter | über’ dem Durech-'| schnitt 0—100 100—200 200—300 300-—400 400—500 500—600 über 600 U Zusammen | 541 | 459 | 500 ı 4 232 | 183 ‚148 | 102 | 91 | & 47 | 4R 1° &. 181 145 c 208 7 1 Ott” +09 999 222 118 213 154 87 34 10 > ) ‚ By I WUU ı 519 | 481 | 500 207. Es geht aus diesen Beispielen hervor, daß sich sehr große Abweichungen von dem Exponentialgesetz (Asymmetrie in der Ver- teilung, mehrere Maximalpunkte [„Puckel“] usw.) in der Regel durch das Vorhandensein durchgreifender Ursachen erklären lassen, welche bei passender Gruppenteilung .in höherem oder geringerem Grade isoliert werden können, was wiederum dazu beiträgt, daß sich die Verteilung exponentieller Form nähert. Der Unterschied, welcher hier zwischen Phänomenen des Wirtschaftslebens auftreten kann, und die oben bei den anthropometrischen Untersuchungen be- sprochenen Beobachtungen beschränken sich zumeist darauf, daß, während man bei diesen letzteren häufig mit Gruppen von einiger- maßen gleicher Größe rechnet, man, wenn es sich beispielsweise um die Untersuchung der Einkommenverteilung handelt, eher erwartet, daß die Größe der Gruppen mit wachsendem Einkommen abnimmt. Das hier hinsichtlich der Wirtschaftsstatistik Angeführte kann allerdings nur als Andeutungen aufgefaßt werden; andererseits aber zeigen solche in gleiche Richtung, da man überall größere oder kleinere Ähnlichkeiten mit den Phänomenen in der sozialen Statistik erkennen wird, so daß die Hauptaufgabe darin besteht, die sich hinter der Gesamtheit verbergenden Teilungslinien zu finden. 208. Um die in diesem Kapitel gewonnenen Erfahrungen zu rekapitulieren, kann man sagen, daß vermutlich nach einer gewöhn- lich recht einfachen Teilung des Materials eine verhältnismäßig gute Übereinstimmung mit dem Exponentialgesetz erzielt wird, selbst wenn diese Übereinstimmung oft genug erhebliche typische Ungleichheiten verschleiern kann, so daß es sich oft auch bei recht befriedigender Übereinstimmung mit dem Exponentialgesetz verlohnen wird, -noch tiefer zu schürfen, um mehr wirkende Ursachen 317 zu erfassen. Eine Bevölkerungsgruppe kann hinsichtlich der Sterbe- fälle eine Verteilung ergeben, die an und für sich zufriedenstellend scheint, d. h. welche statistische Schlüsse ermöglicht, sich jedoch dei näherer Untersuchung als aus verschiedenen Gruppen zusammen- gesetzt entpuppt, von denen jede ihre Verteilung, jede ihren Schwer- punkt hat. Viele Statistiker neigen dazu, den entgegengesetzten Weg einzuschlagen. Nach ihrer Betrachtung liegt es näher, die fak- tische Verteilung nach dem Einkommen einer Bevölkerung oder lie Verteilung der Betriebe, der Viehbestände usw. zu beobachten ınd dann Formeln aufzustellen, welche mit größtmöglicher Ge- nauigkeit die Gliederung wiedergeben. Die englische Schule z. B. hat manche meisterliche Versuche lieser Art angestellt. Man hat jedoch keinerlei Sicherheit dafür, daß sich die gefundene Form halten wird. Eine Verschiebung in Jen wirtschaftlichen Verhältnissen, in den äußeren Lebensbedingungen eines Volkes, wird auch die Einkommenverteilung beeinflussen. Es muß immer zugeraten werden, die betreffende Verteilung soviel wie möglich in ihre Komponenten aufzulösen, damit man jede für sich studieren kann. Etwas Ähnliches gilt hinsichtlich des überaus interessanten Ver- suches, den Lexis machte, um sozusagen das normale Lebens- alter!) des Menschen zu bestimmen. Eine Sterbetafel wird in der Regel zwei stark hervortretende Maximalpunkte für die menschliche Sterblichkeit aufweisen; betrachtet man bei den Sterbe- fällen diejenige Altersgruppierung, die sich aus einer gewöhn- lichen Dekrementtafel (vgl. Kap. VI) berechnen läßt, so wird sich ergeben, daß verhältnismäßig viele im ersten Lebensjahre sterben wonach dann die Anzahl sinkt und im Jünglingsalter ihren niedrigsten Punkt erreicht; danach wächst die Zahl durch eine lange Periode ler Altersskala, bis in den Greisenjahren ein Maximalpunkt erreicht wird; auf welcher Altersstufe (das „normale“ Lebensalter) dieser Umschlag eintrifft, hängt von mancherlei Verhältnissen, dem glück- lichen Kampf gegen gewisse Krankheiten, vom Fortschritt in den wirtschaftlichen Verhältnissen, von der Änderung der Lebensweise Alkoholismus) ab, von Faktoren, die alle einen bedeutenden Einfluß ausüben: der Maximalpunkt wird denn auch bald früher, bald 1) Zur Theorie der Massenerscheinungen 1877. Abhandlungen zur Theorie Jer Bevölkerungs- und Moralstatistik. Jena 1903. S 111ff 318 später erreicht. Es gilt auch im Greisenalter die eigentümliche Auswahl zu untersuchen, welche sozusagen die Bevölkerung in mehrere Schichten teilt, deren jede ihre besonderen gesundheitlichen Verhältnisse hat; die gesundeste dieser Gruppen wird in dem Maße, wie das Alter zunimmt, eine stets größere Rolle!) spielen. Hier wie überall ist die bedeutsamste Aufgabe die, die Anhäufung um den Durchschnitt innerhalb der Spezialgruppen zu studieren, anstatt einen abgeleiteten Ausdruck für die Sterblichkeit zu suchen. Andererseits ist die von Lexis hervorgehobene Übereinstimmung mit dem Exponentialgesetz ein weiteres Zeugnis für die Tatsache, daß diese Formel (wie oben $ 177 gesagt) oft verhältnismäßig leicht zur Anwendung kommen kann, selbst da, wo die Verhältnisse kompli- ziert sind. V. Kapitel. Interpolation und Ausgleichung. A. Allgemeine Bemerkungen. 209. Bisher ist für die Interpolation Verwendung gewesen bei der Berechnung der Spielräume z. B., die in einem gegebenen Verteilungsgesetz gewissen Wahrscheinlichkeiten entsprechen (vgl. z. B. die 88 81 und 113) oder umgekehrt bei der Berechnung der Anzahl oder des Prozentteils von Abweichungen, welche innerhalb aines gegebenen Spielraumes (vgl. z. B. $ 206) fallen. Überhaupt wird man in der Statistik oft ähnliche oder andere Methoden anwenden müssen zur annähernden Berechnung von Größen, welche entweder gar nicht auf andere Weise beschafft werden können, oder deren direkte — wenn möglich genaue — Bestimmung eine unverhältnismäßig große Arbeit beanspruchen würde. Solche An- näherungsmethoden lassen sich unter der Bezeichnung von Inter- polations- und Ausgleichungsmethoden zusammenfassen. Bei beiden Arten von Methoden wird vorausgesetzt, daß ein gewisser Zusammenhang (Abhängigkeit) zwischen den Zahlen, mit denen ge- arbeitet wird, vorhanden ist. Dieser Zusammenhang kann sehr ver- schiedener Art sein und in höchst verschiedener Weise gegeben oder begründet sein; obwohl man von den meisten der in der Statistik verwendeten Größen sagen muß, daß sie mit nicht nur einer, sondern mehreren Größen im Zusammenhang stehen oder mehr oder weniger ı» Westergaard, Die Lehre von der Mortalität, 2. Ausg. 1901, S. 209 ff 319 von solchen abhängig sind, so wollen wir uns dennoch im folgenden der Einfachheit halber im wesentlichen darauf beschränken, die „Funktionen einer variablen Größe“ zu betrachen, d. h. Fälle, in denen eine Größe (eine „Funktion“) nur von einer einzelnen anderen Größe (einer „unabhängig“ variablen) abhängig ist. Abhängigkeiten (Funktionen) dieser Art wurden bereits im $ 68 besprochen, wo auch einzelne Beispiele und darauf Anweisungen ge- zegeben wurden, wie man in ein Koordinatensystem die unabhängig Variable als Abszisse und die Funktion als Ordinate ansetzen und sich einen anschaulichen Überblick über die Form des Zusammen- hangs (den „Verlauf der Funktion“) verschaffen kann; auch bei der Behandlung des Exponentialgesetzes ist im Vorhergehenden von liesem graphischen Hilfsmittel in großem Maße Anwendung ge- macht worden. . 210. Was nun mit „Interpolation“ gemeint ist, wird am leich- testen aus einem ganz einfachen Beispiel erhellen. Denken wir ıns z. B. log 3 = 0,4771 log 4 = 0,6021 log 5 = 0,6990 log 6 — 0,7782 zegeben, und man wünsche log 4,5 zu kennen. Der Wert des log 4,5 kann allerdings nun ebenso wie der Wert des Logarithmus einer beliebigen anderen Zahl bestimmt werden ohne Kenntnis der Größe der oben angeführten vier Logarithmen, welche sogar als zur Frage der Größe des log 4,5 in keinerlei Be- ziehung stehend betrachtet werden können, da die Definition des Logarithmus allein dafür entscheidend ist, wie groß log 4,5 ist. Da man indes weiß, daß log x beständig mit zunehmendem x wächst, so folgt schon aus den gegebenen Werten, daß, wenn 4<x<5, dann 0,6021 < log x < 0,6990 wird. Daß der Wert von log x, in dem Maße wie sich x von 4 entfernt und 5 nähert, sich vom Werte I,6021 entfernt und dem Werte 0,6990 nähert, dem kann man nun u. a.!) dadurch Ausdruck verleihen, daß man so rechnet, als ob sich log x in der Weise mit x ändere, daß, wenn x den Bruchteil x—4 des Intervalls von 4—5 durchlaufen, log x denselben Bruchteil des Interyalls von 0.6021—0.6990 durchlaufen hat. daß also ı Wie gerade im folgenden gezeigt werden soll, kann man auch diese Ab- hängigkeit durch andere Ausdrücke wiedergeben. — 320 — log x — 0,6021 x — 4 0.6990 — 0.6021 5 — PM woraus folgt, daß log x = 0,6021 + 0,0969 (x — 4). Mit Hilfe dieser Formel lassen sich Annäherungswerte für log x für alle möglichen Werte von x, zwischen 4 und 5 gelegen, finden. Speziell erhält man für x = 4,5 log 4,5 = 0,6506; wie stimmen indes die Werte, welche man in dem angeführten Beispiel findet, mit den wirklichen überein? Zur Beleuchtung dessen sind in der Tabelle 42 teils die Werte, welche die Formel für x = 4,0, 4,1, 4,2 usw. ... 4,9 und 5,0 ergibt (Kol. 2), teils die entsprechenden Werte von log x. (Kol. 3) an- geführt. Es geht hieraus hervor, daß Kol. 2 und 3 hinsichtlich der beiden ersten Dezimalen, jedoch nicht für die folgenden miteinander Tabelle 42 Interpol. Wert für log x 2) 0,6021 0,6118 0,6215 0,6312 0,6409 0,6506 0,6602 0,6699 0,6796 0,6893 0.6990 übereinstimmen. Anstatt der etwas unbestimmteren Antwort, daß log 4,5 größer als 0,60, aber kleiner als 0,70 ist, bekommt man also zu wissen, daß log 4,5 zwischen 0,645 und 0,655 liegt. Wenn die in der Tabelle 42 angeführten Werte für log 4,4 =— 0,6435 und log 4,6 = 0,6628 anstatt von log 4 und log 5 gegeben gewesen wären, so hätte eine ganz entsprechende Betrachtung zu einem interpolierten Wert für log 4,5 von 0,6532 geführt, welcher in den vier ersten Dezimalen vollständig mit log 4,5 übereinstimmt, was also eine entschieden bessere Annäherung bedeutet. Daß die Annäherung so viel besser wird, beruht darauf, daß man bei dieser Interpolation seinen Ausgangspunkt in der Größe der Logarithmen- funktion für Werte von x (4,4 und 4,6) nehmen kann, welche er- heblich viel näher als im ersteren Falle bei 4,5 liegen. 391 211. Man gewinnt einen ungemein guten Einblick sowohl darin, was überhaupt bei der Interpolation vor sich geht, als auch darin, was den erzielten Annäherungsgrad bedingt, wenn man wie hier die wirklichen Werte von log x kennt und daher in einem gewöhnlichen rechtwinkligen Koordinatensystem als: Abszisse x und als Ordinate ;‚eils die bei der Interpolation gefundenen Annäherungswerte, teils lie wirklichen Werte für log x ansetzen kann. In der Fig. 8 sind lie Punkte A, B,E und F durch die Abzissen 3, 4,55 und 6 bestimmt, während die Höhen AA,, BB,, EE, und FF, die Größen der Loga- rithmen dieser Zahlen angeben. Setzt man ferner für log x (mit Fig, 8. Hilfe einer Logarithmentabelle) hinlänglich viele andere Punkte ab, welche verschiedenen Werten von x in dem betrachteten Intervall von x = 3 bis x = 6 entsprechen, dann erhält man eine Reihe von Punkten auf einer gewissen krummen Kurve („Logarithmen- Kurve“), die in der Fig. 8 durch die krumme Kurve A, B, C, D, E, F, bezeichnet ist. Wenn dagegen für eine Reihe von Werten von x in entsprechender Weise als Höhen die Werte abgetragen werden. welche sich aus der gefundenen Formel log x = 0,6021 + 0,0969 (x—4) für log x ergeben, dann erhält man eine Reihe von Punkten, die sämtlich auf der geraden Linie durch die Punkte B, und E, gelegen sind. Dies geht aus dem benutzten Ausdruck für log x hervor, indem jemerkt wird, daß x, mit der Konstante 0,0969 multipliziert. Westergaard und Nvbolle, Theorie der Statistik. 2. Aufl. DI 3922 Jjediglich als Addend in diesen Ausdruck eingeht. Eine Größe, welche in dieser einfachen Weise von x abhängt, heißt „eine Funktion ersten Grades von x“ (da x nur in der Form der ersten Potenz auftritt); die Interpolationsmethode, welche zu diesem Aus- druck führt, wird daher denn auch oft „eine Interpolation ersten Grades“ genannt. Was man sich bei der hier betrachteten Interpolation ersten Grades vorgenommen hat, läßt sich nun, wie die Fig. zeigt, in Kürze in der Weise ausdrücken, daß man die eigentliche Loga- rithmenkurvegegendiegerade Linie B, E, umgetauscht hat. Da ein „Ausdruck ersten Grades für x“ stets, wenn er in der hier beschriebenen Weise in einem Koordinatensystem abgebildet wird, durch eine gerade Linie dargestellt werden wird, so nennt man auch oft eine Interpolation ersten Grades „eine lineare Inter- polation“ (vgl. $ 81). Außer der linearen Interpolation gibt es eine Menge andere ‘praktisch gesprochen unendlich viele andere) Interpolationsmethoden, von denen einige wenige der wichtigeren im folgenden behandelt werden sollen. Wie die lineare Interpolationsmethode beruhen auch alle übrigen darauf, daß man die Funktion (Kurve), mit der man es zu tun hat, mit einer anderen Kurve, die die betrachtete Funktion zwar nicht genau deckt (es wäre dann nicht von einem Umtausch die Rede), jedoch in größerem oder geringerem Grade als eine An- näherung betrachtet werden kann, vertauscht. Dabei wird im all- gemeinen der Annäherungsgrad um so besser werden, je kleiner das Intervall, für welches der Umtausch vorgenommen wird (als geltend betrachtet wird), ist. Oben hieß es z. B., daß man mit ge- gebenen Werten des log 4,4 und des log 4,6 eine bessere Annäherung an den Wert des log 4,5 erziele, als wenn man von der Kenntnis von log 4 und log 5 aus sich zum log 4,5 interpolieren müsse. Es geht auch aus der Figur hervor, daß das Resultat ein besseres sein muß, wenn man bei der linearen Interpolation für log 4,5 die mit den Werten von log 4,4 und log 4,6 bestimmte gerade Linie C, D, anstatt des geraden Linienstücks C, D,, welches mit der durch log 4 und log 5 bestimmten Geraden B, E, zusammenfällt, benutzt. 212. In dem hier betrachteten Beispiel sind bei der Inter- polation zum Wert des log 4,5 die gegebenen Werte für log 3 und log 6 gar nicht zur Anwendung gekommen. Der Grund dazu ist der, daß wir uns lediglich einer linearen Interpolation bedient haben; die hierfür benötigten geraden Linien sind nämlich allein durch die 3923 zwei Punkte B, und E, resp. C, und D, bestimmt. Wenn man mit Hilfe der durch die Punkte B, und E, bestimmten linearen Formel log x = 0,6021 + 0,0969 (x—4) nun auch den Wert von z. B. log 3,5 berechnen wollte (was Extra- polation genannt wird, weil x= 3,5 außerhalb des Intervalles von 4 bis 5 liegt), dann erhielte man log 3,5 = 0,5537, während log 3,5 faktisch 0,5441 beträgt; es ist dies also eine viel schlechtere Annäherung als diejenige, mit der sich log x für Werte von x zwischen 4 und 5 berechnen ließ. Benutzt man dagegen zur Be- stimmung von log 3,5 die durch die Punkte A, und B, bestimmte gerade Linie, welche die lineare Interpolationsformel log x== 0,4771 + 0,1250 (x—3) ergibt, und für log 3,5 den Wert 0,5396, dann erhält man eine bessere Annäherung, wovon uns auch schon ein Blick auf die Figur über- zeugt. Das Resultat einer Betrachtung der durch die Punkte Eı und F, bestimmten geraden Linie ist dies, daß etwas ganz Ent- sprechendes hinsichtlich des Intervalls von x=5 bis x=6 gilt. 213. Wenn man in der hier beschriebenen Weise alle vier zegebenen Werte von log x in Betracht zieht, dann lassen sich also lie Logarithmenkurven durch 3 gerade Linienstücke A,B,, B,E, und E,F; ersetzen, welche jeweils den Intervallen 3 bis 4 und 4 bis 5 und ) bis 6 entsprechen. Da indes die Beträge, mit denen log x wächst, wenn x jeweils von 3 bis 4, von 4 bis 5 und von 5 bis 6 anwächst l. h. die Differenzen og 4 — log 3 = 0,1250 log 5 — log 4 = 0,0969 og 6 — log 5 = 0.0792 nicht gleich groß sind, so können die 4 Punkte Ay B,, E; und F, nicht auf derselben Geraden liegen (d. h. die Logarithmenkurve ist ‚krumm“); es wird daher auch der „Ersatz“, den man durch diese zenannten 3 geraden Linienstücke für die Logarithmenkurve erhält, in den Punkten B, und E, (vgl. die Fig.) einen „Bruch“ aufweisen. Wenn wie hier nicht bloß die Werte von log 4 und log 5, sondern auch die Werte von log 3 und log 6 gegeben sind, so daß jedenfalls etwas darüber gegeben ist, wie stark sich die Logarithmenkurve in dem betrachteten Intervall krümmt, dann kann man hieraus Nutzen ziehen, indem man die Logarithmenkurve anstatt sie durch 3 gerade Linienstücke zu ersetzen, durch irgendeine andere, sämt- liche vier Punkte passierende krumme Kurve ersetzt. Man erhält 51% 324 z. B. eine solche Kurve, wenn für hinlänglich viele verschiedene Werte von x zwischen 3 und 6 diejenigen Werte für log x abgesetzt werden, welche sich nach der Formel be __ 104 v3 — 2091 x? + 18289 x — 10230 EX= 60.000 berechnen lassen, einer Formel, die für x==3, x= 4, x=5 und x<—6 gerade die oben gegebenen Werte für log x annimmt. Weiter unten (8 221 und $ 228) wird in größerer Allgemeinheit darauf ein- yegangen werden, wie ein solcher Ausdruck von der Kenntnis des log 3, log 4, log 5 und log 6 aus zuwege gebracht werden kann. An Jieser Stelle sei nur bemerkt, daß man sich natürlich unendlich viele Kurven durch die 4 Punkte gelegt denken kann, daß sie jedoch bei weitem nicht alle als Annäherungen zur Logarithmenkurve inter- essieren können. Dies gilt beispielsweise der in der Figur punktiert ıngedeuteten Kurve, die sogar nirgends Interpolationswerte geben kann, welche besser sind als diejenigen, welche aus den drei Linien- stücken hervorgehen. Dagegen erzielt man bei Benutzung der an- geführten (nicht linearen) Interpolationsformel nicht bloß, daß die Kurve, durch die man dann die Logarithmenkurve ersetzt, in den Punkten B, und E, keinen Bruch hat, sondern auch, daß sie im ganzen Intervall von x=4 bis x=5 bessere Annäherungswerte gibt als die oben betrachtete lineare Interpolationsformel (vgl. Tabelle 43). LO { 49 5.0 Tabelle 43. Interpol. Wert für log x J,6021 2,6129 * 3234 6337 1,6437 15534 0,6630 0,6723 0,6814 0,6903 0,6990 log x 16021 )6128 ),6232 6335 1,6435 „6532 0,6628 0,6721 0,6812 0,6902 0.6990 Unterschied 0,0000 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 J,0002 0,0002 0,0002 0 0002 0,0001 0,0000 Die den hier angeführten interpolierten Werten für log x ent- sprechende Kurve ist nicht in die Fig. 8 eingezeichnet, da die Interpolationskurve mit der Logarithmenkurve so genau überein- stimmt, daß diese Kurven sich nur durch eine erhebliche Ände- rung der Maßstabverhältnisse der Figur voneinander unterscheiden lassen. 395 214. Da jede Interpolationskurve infolge ihrer Natur nur mit einer gewissen Annäherung die der betrachteten Funktion ent- sprechende Kurve ersetzen kann, so muß man sich natürlich darüber Klarheit zu verschaffen suchen, wie groß die erzielte Annäherung ist. [n obigem Beispiel haben wir, um nicht mehrere Probleme mit- einander zu vermischen, mittels Interpolation Werte berechnet, die im voraus bekannt waren, so daß man gleich die nötige Kontrolle zur Hand hatte; da man bei einer Interpolation gerade Funktions- werte sucht, welche nicht bekannt sind, so muß man in anderer Weise in praxi einen Ausdruck für die erzielte Präzision finden. Wie sich diese Frage untersuchen läßt, das ist indes in wesent- lichem Grade davon abhängig, was man — außer den gegebenen Funktionswerten — von dem Zusammenhang (der Abhängigkeit), von der die Rede ist, weiß. So sind z. B. in dem oben betrachteten Beispiel nicht allein die vier Punkte gegeben, sondern gleichzeitig ist bekannt, daß die Abhängigkeit, um die es sich handelt, die wohl- definierte und wohlbekannte Logarithmenfunktion ist. In Fällen dieser Art wird die Frage über die erzielte Präzision ein rein mathematisches Problem. Da wir uns im folgenden im wesentlichen mit Fällen beschäftigen werden, wo eine solche wohldefinierte Kenntnis der Natur des betrachteten Zusammenhangs im allge- meinen nicht vorliegt, so wollen wir hier nicht weiter auf die- jenigen Methoden eingehen, mittels deren man sich, wenn es sich um Interpolation zu Funktionswerten von! einem. auf mathe- matischem Wege bestimmten Zusammenhang handelt, Ausdruck für die Genauigkeit!) verschaffen kann. Jedoch sei folgendes bemerkt: Wenn die betrachtete Abhängigkeit auf rein mathematische Weise bestimmt ist und daher in ganz besonderem Grade jegliche Inter- polation mit zugehörender Untersuchung der erzielten Genauigkeit überflüssig macht, dann kann man fragen, ob es dann nicht besser wäre, sich die gesuchten Zahlen auf dem Wege zu beschaffen, den die Bestimmung der betreffenden Abhängigkeit angibt; aber hier ist zu erinnern, daß, abgesehen von den Abhängigkeiten, welche hier so ainfach sind, daß eine Interpolationsformel kein einfacheres Mittel zur Berechnung geben kann, es sich in der Regel um Größen handeln wird, die sich entweder nur mit Hilfe vieler Dezimalen genau ausdrücken lassen, oder um Größen, welche wie Vx, log x usw. im allgemeinen irrationell sind und sich überhaupt nicht mit voll- A Siehe hierüber z.B. J. F. Steffensen, Interpolation. Baltimore 1927. 326 ständiger Genauigkeit berechnen lassen. Es wird dann schon aus diesem Grunde entweder unpraktisch oder ganz untunlich sein, mit voller Genauigkeit zu rechnen, so daß man, ob man die Interpolation benutzt oder nicht, trotzdem gezwungen ist, den Annäherungsgrad zu untersuchen; außerdem würde z. B. eine Logarithmentafel, falls sie alle diejenigen Logarithmen enthielte, für die man möglicher- weise später Gebrauch hätte, zu einem ungemein dicken Bande an- schwellen; wir begnügen uns hier damit, die Tafel nur verhältnis- mäßig wenige berechnete Logarithmen enthalten zu lassen, da man dann alle übrigen auf dem Wege der Interpolation finden kann. 215. In der Statistik nun trifft man, wie oft betont, auf eine Aufgabe von ganz ähnlicher Art wie die im Vorhergehenden be- nandelte: für eine von x abhängige Größe y kennt man die Werte für zwei oder mehr Werte von x, und man bedarf der Kenntnis des Wertes von y für einige Werte von x, welche nicht unmittelbar gegeben sind. Als Beispiel sei folgendes erwähnt: man kennt die Volkszahl eines Landes zu zwei verschiedenen Zeitpunkten, wünscht jedoch, die Einwohnerzahl für einen oder mehrere Zeitpunkte, welche zwischen den gegebenen liegen, zu kennen. Ein anderes Beispiel hat man in der Altersgruppierung der Bevölkerung: es ist bekannt, wieviele Personen von der gesamten Bevölkerung oder von einer innerhalb dieser ausgeschiedenen Gruppe z. B. unter 10 Jahren und wieviele unter 20 Jahren sind; man wünscht jedoch zu wissen, wie- viele unter 15 Jahren sind usw. Beim ersten Augenschein könnte eine solche Aufgabe ganz un- lösbar scheinen, Streng gesprochen besteht eine Volkszahl (oder derjenige Teil dieser, welcher Personen unter einem gegebenen Alter umfaßt) aus Einern und die Bewegung, welche angibt, wie sich die Zahl im Laufe der Zeit verändert (oder wie sich die Zahl der Per- sonen unter x Jahren mit x verändert), kann also in Wirklichkeit nur in Sprüngen mit einem oder mehreren Individuen aufs Mal vor sich gehen. Wenn indes bei Berechnungen dieser Art nur An- näherungswerte gefordert werden (und oft braucht man nicht mehr als solche), dann wird man oft mit Vorteil die Fiktion benutzen können, daß die Bewegung kontinuiert sei, daß also die dem Zeit- punkt x entsprechende Volkszahl, die Zahl der Personen unter x Jahren usw. mit Annäherung als Funktionen von x betrachtet werden können, Funktionen, welche sich ebenso wie log x innerhalb begrenzter Intervalle mit Annäherung durch eine passende bestimmte Interpolationsformel ersetzen lassen. Hiermit aber hört auch die 397 Ähnlichkeit auf; denn während man es bei der Berechnung durch Interpolation von Werten einer gewissen mathematisch gegebenen Funktion in der Macht hat, die Genauigkeit des Resultats zu xontrollieren, ist etwas Sinngemäßes, Entsprechendes nicht möglich, wenn man Interpolationen auf Grund der in der Statistik beob- achteten Zahlen vornimmt. Andererseits ist [man nicht ganz ohne Anhaltspunkte für eine Begründung der Berechtigung solcher Inter- polationen. Berechnet man durch Interpolation z. B. im voraus bekannte Größen, so kann man im allgemeinen die Genauigkeit zu beleuchten versuchen, die sich in den verschiedenen Arten von Aufgaben erzielen läßt. In Dänemark war im Jahre 1901 die Volkszahl 2450 tausend, 1911 2757 tausend. Auf dem Wege linearer Interpolation ergibt sich, daß sie im Jahre 1906 2603 tausend sein müsse, während sie faktisch 2589 tausend betrug. Man ersieht hieraus, daß die durch Interpolation bestimmte Volkszahl, wenn sie in ganzen Hundert- tausenden angegeben wird, mit der faktisch gezählten Bevölkerung übereinstimmt; ebenfalls aber erfährt man, daß man jedenfalls nicht in allen Fällen erwarten kann, mittels einer solchen Interpolation lie Volkszahl bis auf beispielsweise Hunderte genau zu bekommen. Würden an Stelle der Zählungsergebnisse der Jahre 1901 und 1911 die Volkszahlen für 1901 und 1916 (jeweils 2450 und 2921 tausend) als Ausgangspunkt für die Interpolation benutzt, so ergibt sich für das Jahr 1906 die Zahl 2607 tausend, welche eine ähnliche Übereinstimmung aufweist. Man folgert hieraus, daß sich die mit der Zeit wachsende Volkszahl jedenfalls in groben Zügen für den Zeitraum von 1901 bis 1916 durch eine gerade Linie wiedergeben läßt, wenn die Bewegung in gewöhnlicher Weise in einem Ko- ördinatensystem abgebildet wird. 216. Wenn es eine Interpolationsformel zu finden gilt, kann man zuerst eine passende Auswahl der Variabeln vornehmen. Es ist nicht immer ratsam, die Größe zu suchen, welche unmittelbar arfragt wird; mitunter ist eine andere, von dieser abhängige, Größe vorzuziehen, wenn man davon ausgehen kann, daß die so entstehende Funktion einfacher ist. Hier kann in erster Linie auf die bereits im $ 124 besprochene Möglichkeit dafür verwiesen werden, die unabhängig Variable in anderen Einheiten und von einem anderen Nullpunkt als dem unmittelbar gegebenen aus zu bestimmen, wodurch lie Berechnungen oft erheblich erleichtert werden können. Wenn ferner z. B. bei anthronologischen Untersuchungen von der Verbin- 328 dung zwischen Körperhöhe und Gewicht die Rede ist, könnte man beim ersten Versuch nicht das eigentliche Gewicht, sondern dessen dritte Wurzel mit der Motivierung einführen, daß, wenn alle Menschen die gleichen Proportionen hätten und Knochen, Muskeln usw. keine Verschiedenheiten bedingten, sich das Gewicht wie die dritte Potenz der Körpergröße verhalten würde. Und da die Bevölkerung oft die Tendenz hat, wie ein auf Zinsen angelegtes Kapital zu wachsen („geometrisch“, wie die Malthusische Theorie sich ausdrückt), so kann es vorteilhaft sein, an den Logarithmen der Volkszahlen zu interpolieren anstatt an den Zahlen selbst. Wie man gerade in der Frage der Bestimmung des Wachstums einer Bevölkerung den Be- odbachtungen mittels passender Wahl der Variablen noch näher kommen kann, dafür sei weiter unten ($ 231) ein Beispiel gegeben. Bei anderen Aufgaben kann es zur Erzielung besserer Annähe- rung notwendig sein, sich nicht gerader Linien als Interpolations- kurven zu bedienen; in allen Fällen jedoch hat die Interpolation zwischen beobachteten Zahlen zur Voraussetzung, daß ein die Zahlen beherrschender Zusammenhang existiert. Da sich die Ursachen, welche in der Sozialstatistik die Zahlen beherrschen, indes ständig verändern, und da neue Ursachen, welche nicht früher in Betracht gezogen werden konnten, hinzukommen können, so muß man auf diesem Gebiete die größte Vorsicht anwenden. Zu verschiedenen Zeiten vorgenommene Beobachtungen, z. B. die Volkszählungen, stehen zwar miteinander in genauem Zusammenhang, insofern sie überhaupt auf Verhältnissen, welche in derselben Gesellschaft herrschen, beruhen; aber die Beobachtungen hinsichtlich der Volks- zahl bringen nicht alle diejenigen Momente zum Ausdruck, von jenen die Einwohnerzahl abhängig ist. 317. Die Bevölkerung Dänemarks war beispielsweise das 19. Jahr- hundert hindurch in stetem, bald stärkerem, bald schwächerem An- wachsen begriffen; die Ursachen dieses Phänomens aber waren grundverschieden. In den 30er Jahren wurde das Land z. B. von verschiedenen Epidemien heimgesucht, in den 50ern wütete teils die Cholera (1853), und teils wirkte die liberale Bewegung, neben ver- schiedenen anderen wirtschaftlichen und sozialen Verhältnissen, auf dem Wege der Wirtschaftsgesetzgebung. Von 1860 bis 1880 wirkte (außer dem Kriege 1864) teils eine abnehmende Sterblichkeit, teils eine wachsende Auswanderung, also zwei Ursachen in entgegen- gesetzter Richtung; in der letzten Zeit kommt eine neue Ursache hinzu: die abnehmende Geburtenfrequenz, ein Phänomen, das 3929 sich vor einem Menschenalter nur in gewissen Gesellschaftsklassen bemerkbar machte. Man benötigte eine ungemein große Anzahl von Beobachtungen, um alle wirkenden Ursachen zum Ausdruck bringen zu können. Die Interpolationsrechnung kann uns also nicht in den Stand setzen, Vergangenheit und Zukunft mit derselben Sicherheit zu berechnen wie z. B. die Astronomie auf ihrem Gebiet vermag. Sie kann uns z. B. nicht die Kunst lehren, aus der ersten Wirkung einer neuen Staatsverfassung, eines Krieges, einer Epidemie oder yewisser hygienischer Fortschritte etwas hinsichtlich der Größe der Auswanderung während der folgenden Jahrzehnte zu schließen. In der Regel ist die Übereinstimmung zwischen der Bewegung in der Bevölkerung und einer mathematischen Funktion rein zufällig, und je ferner die Vergangenheit oder Zukunft liegt, auf die man schließen muß, desto größeren Fehlern ist man ausgesetzt. Es sei daher wie oben ($ 211) davon abgeraten, eine allzu lange Strecke zur Interpolation zu benutzen. Im allgemeinen wird man dazu ge- nötigt sein, von Beobachtungen über dicht aufeinander fol- gende Werte der unabhängig Variablen (z. B. der Zeit) mit Hilfe der Interpolation auf Werte der Funktion zu schließen, welche innerhalb des betreffenden kurzen Intervalls liegt. Man kann nämlich damit rechnen, daß ungefähr dieselben Verhält- nisse einen kurzen Zeitraum, wenn auch mit verschiedener Kraft, beherrschen werden, während man sich bei der Benutzung von weit auseinander liegenden Beobachtungen dem aussetzt, daß sich sehr verschiedenartige Einflüsse geltend machen, welche nur auf vielen Umwegen miteinander in Verbindung gebracht werden können, und welche weit mehr Beobachtungen, als man gewöhnlich zur Ver- fügung hat, erfordern würden. Da eine genaue Beobachtung selbst durch die beste Hypothese nicht ersetzt werden kann, könnte man auch hier fragen, ob es nicht möglich wäre, unmittelbar durch Beobachtung sämtliche benötigte Zahlen zu beschaffen. In der Praxis wird sich jedoch eine Vervoll- ständigung des Materials auf dem Wege der Beobachtung selten lurchführen lassen. Eine versäumte Zählung läßt sich später nicht mehr nachholen, und wenn in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts aur wenige Volkszählungen vorgenommen wurden, so wird es bei manchen Untersuchungen notwendig sein, sich auf bestmögliche Weise zu helfen. Und was die Gegenwart anbetrifft, so wird man aus praktischen Gründen genötigt sein, auf viele Zählungen, deren Durchführung an und für sich wünschenswert wäre. zu verzichten. 330 Man könnte sich ja doch nie darauf einlassen, Volkszählungen jähr- lich mehrere Male abzuhalten, während zahlreiche andere Gebiete der Statistik entsprechend vernachlässigt würden. 218. In naher Verbindung mit der Interpolation steht die Aus- yleichung. Wir haben gesehen, daß ein jedes Material mehr oder weniger mit Fehlern behaftet ist; die Abweichungen sind bald „zu- fällig“, bald von einer oder mehreren tiefer gehenden Ursachen be- einflußt. Wenn es gilt, das die Zahlen beherrschende Gesetz zu finden, z. B. die Abhängigkeit des Körpergewichts von der Körper- länge, die Verbindung zwischen der Zahl der Steuerzahler und der Größe der Einnahme usw., so wird diese Aufgabe dadurch erschwert, daß das Gesetz bei diesen größeren oder kleineren Abweichungen verschleiert wird. Man hat daher oft versucht, eine Methode zu finden, mittels der sich Unregelmäßigkeiten entfernen ließen; eine solche Methode heißt Ausgleichung. Voraussetzung für jede Ausgleichung ist in Wirklichkeit, ganz einerlei, welche Ausgleichungs- methode man auch benutzt, ein wenigstens behauptetes besseres Wissen (eine „Theorie“) über das betreffende Phänomen als das- jenige, welches die Beobachtungen selbst ergeben, ein besseres Wissen, welches man in dem Grade respektiert verlangt, daß, wenn die Be- obachtungen dagegen streiten, man die Übereinstimmung dadurch zu- wege bringt, .daß man die Beobachtungen mit „Fehlern“ behaftet er- klärt, deren Größe gerade dadurch bestimmt wird, daß man mittels Ausgleichung die verlangte Übereinstimmung zwischen Beobachtungen und „Theorien“ herstellt. Wenn z. B. verschiedene Personen, jede mit gleichen Meßapparaten versehen, dieselbe Wegstrecke aus- messen, werden sie im allgemeinen zu verschiedenen Resultaten ge- langen. Die „Theorie“ geht hier darauf hinaus, daß die Länge des Weges in allen Fällen dieselbe gewesen ist, daß also die Beob- achtungen mit Fehlern von solcher Größe behaftet sein müssen, daß man volle Übereinstimmung zwischen Theorie und Beobachtung finden würde, falls sich die Größe der Fehler feststellen ließe und die Beobachtungen korrigiert würden. Aus der Meßtechnik sei ein weiteres Beispiel genannt: Drei Personen haben jede für sich je einen der Winkel eines im Felde abgesteckten Dreiecks gemessen. Sie werden dann im allgemeinen nicht zu Resultaten gelangen, welche der Forderung einer gesamten Winkelsumme von 180° ge- nügen. Und auch hier muß man mittels einer Ausgleichung der gemessenen Winkel Übereinstimmung zwischen Theorie (welche eine Winkelsumme von 180° verlangt) und Beobachtung zuwege bringen. 331 In den Naturwissenschaften und deren Anwendungen begegnet man häufig Problemen, welche mit obigen Beispielen dies gemein haben, daß sich die Theorie auf einfache Art und Weise ausdrücken läßt. Es gibt z. B. das einfache Gesetz, daß der Gefrierpunkt für eine Salzlösung um so niedriger liegt, je mehr Salz die Lösung ent- hält, und daß die Senkung des Gefrierpunktes sich proportional zur Menge des in einem Liter Wasser aufgelösten Salzes verhält. Löst man nun allmählich x, X, X... g Salz in einem Liter Wasser auf und mißt man, wie groß die entsprechenden Gefrierpunkts- senkungen yYı, Yıs Ya --... werden, und setzt man in ein Koordinaten- system x als Abszisse und y als Ordinate ein, so müßte man eine Reihe von Punkten finden, welche auf einer Geraden durch die Anfangspunkte jägen und von der Gleichung y==kx wären. Da indes sowohl beim Zuwiegen der Salzmengen wie beim Ablesen der Gefriertemperatur Fehler begangen werden können, wird man finden, daß die ab- gesetzten Punkte nicht auf einer Geraden liegen, wozu sie da- gegen mittels der Ausgleichung gebracht werden können, welche die beobachteten Gefrierpunkte korrigiert und durch die dann die Konstante k bestimmt wird. Ein Beispiel, in dem sich die Ab- hängigkeit nicht durch eine gerade Linie, sondern durch eine krumme Kurve ausdrücken läßt, hat man in der Untersuchung darüber, wie weit ein Körper beim freien Fall in einer gegebenen Zeit gelangt. Werden hier die Fallzeiten (t) als Abszisse und die entsprechenden Fallhöhen (y) als Ordinate angesetzt, so müssen, falls das Gesetz der Schwere richtig ist, die abgetragenen Punkte alle auf einer Kurve (Parabel) von der Gleichung y—cC- liegen. Da auch hier die Messungen mit Fehlern behaftet sein werden, wird sich als allgemeine Regel ergeben, daß eine Kurve von der angeführten Gleichung, auf der sämtliche Punkte auf einmal gelegen sind, nicht existiert; eine zweckmäßige Ausgleichung dagegen kann 3>ine solche Lage der Punkte erzielen, indem man die beobachteten Fallhöhen korrigiert und so die Akzeleration der Schwere, welche das Doppelte der Konstante c beträgt, bestimmt. 219. Wenn man aus dem Umstand, daß die Beobachtungen nicht yanz mit der Anschauung (Theorie) über das betrachtete Phänomen übereinstimmen, Veranlassung nähme, entweder die Theorie oder die Beobachtungen vollständig als unbrauchbar und unnützlich zu ver- werfen. dann würde man sich ganz die Möglichkeit versagen, je- 332 mals eine Anschauung zu prüfen (wenn möglich zu bekräftigen) und jemals den Bereich unserer Erkenntnis zu erweitern. Es muß infolge- dessen eine wichtige Aufgabe sein zu untersuchen, auf welche Weise und in welchem Umfange sich Theorie und Erfahrung miteinander in Übereinstimmung bringen lassen. Wenn sich in obigen Bei- spielen die Theorie durch eine einfache Formel ausdrücken läßt, so nimmt diese Aufgabe in den meisten Fällen eine recht anschauliche Form an. Bei vielen ähnlichen Aufgaben in der sozialen und Wirt- schaftsstatistik geht es indes wie bei den Interpolationsaufgaben. Man besitzt im allgemeinen gar keinen mathematischen Ausdruck für die Abhängigkeiten, um welche es sich hier handelt. Daß man der „Theorie“ nicht auf diesem Wege Ausdruck verleihen kann, führt wohl nicht mit sich, daß man daran gehindert ist, sich über- haupt eine gewisse Anschauung über die Form eines Zusammenhangs zu bilden, da man einer solchen „Theorie“, wenn auch weniger treffend, auf andere Art und Weise Ausdruck verleihen kann; die Art und Weise aber, in der man so die Theorie zu einer Aus- gleichung benutzen kann, nimmt dann natürlich auch andere Formen an, mittels deren das auf dem Wege der Ausgleichung Erreichte in entsprechend geringerem Grade präzisiert werden kann. Beispiels- weise sei die auf S. 83; erwähnte Anhäufung um die runden Lebensjahre angeführt. Die „Theorie“ geht hier darauf hinaus, daß liese Anhäufung lediglich Beobachtungsfehlern zuzuschreiben sei, da teilweise solche Personen, deren Alter am Stichtage nahe bei 50 Jahren liegt, in die Alterserhebung in der Weise eingehen, als ob sie tat- sächlich 50 Jahre alt seien. Wie man die beobachteten Zahlen be- richtigen kann, so daß sie.in höherem Grade mit der Theorie über- einstimmen, dafür werden weiter unten Beispiele gegeben. Hier sei nur bemerkt, daß auch bei Aufgaben dieser Art die Ausgleichung auf der Behauptung fußt, daß, falls die Beobachtungen nicht mit Fehlern behaftet wären, das Resultat ein anderes sein würde; die nähere Formulierung dessen kann mehr oder weniger scharf sein, und von ihr ist wiederum abhängig, in welchem Umfange sie sich als Ausgangspunkt für eine Ausgleichung verwenden läßt. 220. Über solche Fälle, in denen eine Ausgleichung darauf hinausgeht, einen Ausdruck für einen Zusammenhang (eine Abhängig- keit) zwischen zwei Größen zuwege zu bringen, und wo man sich also das Resultat der Ausgleichung durch irgend eine Kurve (Funktion) wiedergegeben denken kann, sei noch bemerkt, daß man — wie in der Interpolationsrechnung — die gefundene Kurve als Inter- 333 polationskurve, d. h. zur Berechnung von Werten benutzen kann, die nicht unmittelbar gegeben sind. Von den Aufgaben der [nterpolation und der Ausgleichung kann daher bis zu einem ge- wissen Grade gesagt werden, daß sie sich ähneln. Wie erwähnt, tritt solche Ähnlichkeit jedoch nur dann hervor, wenn der Zweck der Ausgleichungsaufgabe der ist, eine Kurve herzustellen, welche der Ausdruck einer gewissen Abhängigkeit ist, und selbst in diesem Falle besteht zwischen den beiden Arten von Aufgaben der ent- scheidende Unterschied, welcher sich nach obigen Ausführungen kurz folgendermaßen charakterisieren läßt: Bei der Interpolation gilt es, eine Kurve zu legen, welche durch gegebene, in ein Koordinaten- system eingetragene Punkte, die als fehlerfrei betrachtet werden, geht; diese Kurve soll möglichst genau diejenige Kurve ersetzen können, welche in Wirklichkeit der Ausdruck der betrachteten Ab- hängigkeit ist. Bei einer Ausgleichung, welche einer gewissen Ab- hängigkeit Ausdruck verleihen soll, ist das Ziel ebenfalls eine Kurve; von dieser wird jedoch nicht verlangt, daß sie durch die gegebenen Punkte geht, sondern daß sie andere Eigenschaften besitzt (eine Gleichung von einer gegebenen Form hat, speziell eine gerade Linie ist oder eine Form von charakteristischen, auf andere Weise gegebenen Eigenschaften hat), da die Abweichungen, welche dadurch zwischen der gefundenen Kurve und den gegebenen Punkten entstehen, als Fehler derjenigen Beobachtungen erklärt werden, die den Platz der Punkte im Koordinatensvystem bestimmt haben. B. Interpolationsmethoden. 221. Eine allgemeine Methode, mit Hilfe deren man sich eine Interpolationsformel beschaffen kann, besteht darin, irgend einen zweckmäßigen Ausdruck aufzuschreiben, der außer der Variablen (x) zewisse Konstanten enthält (a, b, c ...), deren Wert man in der Weise zu bestimmen sucht, daß der Ausdruck für die gegebenen Werte‘ von x gerade die diesen Werten von x entsprechenden Funktionswerte (y) ergibt. Da jedes Wertepaar (jeder Punkt) x, y, welches man der Kurve gegeben hat, eine Gleichung zur Bestimmung ler Konstanten gibt, so muß die Anzahl von Konstanten in der [nterpolationsformel im allgemeinen gerade dieselbe sein wie die Anzahl von Punkten, durch welche man wünscht, daß die der Formel entsprechende Kurve gehen soll. Eine Interpolationskurve, welche man durch 2, 3.4 ... Punkte zu legen wünscht. muß man also 334 durch eine Formel auszudrücken suchen, welche jeweils 2, 3, 4... Konstanten enthält. Eine der einfachsten Interpolationsformeln ist, wie oben erwähnt, diejenige ersten Grades oder die lineare Interpolationsformel, mittels der man zwischen zwei gegebenen Punkten interpolieren kann. Soll y von x linear abhängig sein, dann muß sich die Formel, welche diesen Zusammenhang ausdrückt, in der Form y= «+ ßx schreiben lassen, wo «x und 8 Größen sind, die unabhängig von x sind (Konstanten), und deren Wert sich wie im Beispiel im $ 210 bestimmen läßt, so daß z. B. x==4 den Wert y = 0,6021 und x =5 den Wert y = 0,6990 ergibt. Man erhält also &« + 48 — 0,6021 &« +58 =— 0,6990 aus welchen Gleichungen sich &« und @ bestimmen lassen; man findet x — 0,2145 und 8 = 0,0969, also y = 0,2145 + 0,0969 x, welcher Ausdruck mit dem oben ($ 210) gefundenen übereinstimmt und daher auch die in der Tabelle 42 angeführten Interpolations- sesultate ergeben wird. Wenn indes verlangt wird, daß die Interpolationskurve durch mehr als zwei Punkte gehen soll, dann muß die Formel so erweitert werden, daß sie mehrere Konstanten enthält. Eine der einfachsten Methoden, in der sich eine solche Erweiterung vornehmen läßt, ist lie, die Formel nicht nur Glieder ohne x und Glieder mit x in erster Potenz (die lineare Interpolationsformel) enthalten zu lassen, sondern Glieder, welche nach und nach x in 2., 3.... n-ter Potenz enthalten. Die Interpolationsformel bekommt dann die Form y= 0 + 4X + 0, X? x ... An X? Eine Funktion, welche sich in dieser Form ausdrücken läßt, heißt ein algebraisches Polynomium (1., 2., 3.... n-ten Grades) und ist in einer Menge von Fällen ungemein anwendbar als Ausdruck für eine (kxrumme) Interpolationskurve durch eine Reihe von Punkten, die nicht auf derselben Geraden liegen. Die einer Funktion L, 2., 3... .. Grades entsprechende Kurve wird oft eine Parabel (1., 2., 3., usw. Ordnung) genannt. Die Größe der Konstanten (der Koeffizienten zu x°%, x!', x? ,.,.) kann ganz analog dem eben be- trachteten Falle bestimmt werden, da die Funktion ersten Grades war. Sind wie im Beispiel im 8 213 4 Werte der Funktion gegeben, dann muß man 335 y=@% +0, X + 03x? + 03 x® setzen und erhält dann folgende 4 Gleichungen zur Bestimmung der Konstanten (Koeffizienten): & + 30, + 909 + 2703 = 0,4771 & + 40, + 160%, + 6403 = 0,6021 x + 50, + 2504 + 125043 = 0,6990 X + 60, + 3602 + 21603 = 0,7782 welche Gleichungen 10230 M 18289 7 = — 0,1705 CC = 60000 2091 104 60000 7" — 0,0348, 03 = 60006 7 0,0017 ergeben; man erhält hierbei den oben ($ 213) angeführten Ausdruck, welcher die Eigenschaft hat, daß er für x==3, x=4, x=5 und <= 6 gerade die gewünschten Werte ergibt. 223. Es geht aus diesem Beispiel hervor, daß, wenn man sich ein ganzes Polynomium verschaffen will, das eine durch n gegebene Punkte gehende Parabel darstellt, die Formel im allgemeinen, um na disponible Konstanten zu enthalten, von der Ordnung (n—1) sein muß; andererseits wird man dann auch n lineare Gleichungen zur Bestimmung der n Koeffizienten (Konstanten) erhalten, so daß sich im allgemeinen immer eine und nur eine Parabel der Ordnung 'n—1) findet, welche durch die n gegebenen Punkte geht. In dem oben benutzten Beispiel sind die 4 Gleichungen, welche zur Bestimmung der 4 Konstanten (@xo, &,, x und «g) dienen, ein- flacher Form; und es ist eine verhältnismäßig leichte Sache, die Gleichungen aufzustellen und zu lösen. Anders stellt es sich, wenn die Werte für x, für welche die Werte der Funktion gegeben sind, gebrochene Zahlen oder Zahlen sehr verschiedener Größe sind, oder wenn die Zahl der Gleichungen größer wird; in solchen Fällen — wie überhaupt immer, wenn man ein ganzes algebraisches Polynomium als Interpolationsformel benutzt — lassen sich die Be- rechnungen am leichtesten in der weiter unten beschriebenen Weise durchführen, indem man die von Newton eingeführten dividierten Differenzen!) benutzt; hierbei vermeidet man nicht nur die direkte ) Newtons Beitrag hierzu findet man in 3 Abhandlungen, nämlich in: I) Methodus differentialis (1711 erschienen, doch viel früher ausgearbeitet), 2?) einem Brief, datiert den 8. Mai 1675, 3) dem III. Buch der „Principia“ (Philo- sophiae naturalis principia mathematica) London 1687. Vegl.im übrigen D.C. Fraser. 336 und oft beschwerliche Lösung mehrerer Gleichungen mit mehreren Unbekannten (Koeffizienten des Polynomiums), sondern zugleich die im allgemeinen ebenso beschwerlichen Berechnungen, welche die direkte Berechnung der Werte des Polynomiums für neue Werte von x mit sich führt. Eine andere Methode zur Bestimmung des ganzen algebraischen Polynomiums, welches für gewisse Werte von x gegebene Werte annimmt, ist — übrigens in einer in formeller Be- ziehung außerordentlich anschaulichen Form — von Lagrange?) angegeben worden. Für numerische Berechnungen jedoch ist die Lagrangesche Formel nicht bequem (vgl. den Anhang); wir be- schränken uns hier daher auf eine Besprechung der Newtonschen Interpolationsformel. 223. Wenn eine Funktion (y) von x für x= 3, <= bb, X=C... usw. die Werte y=A4, y=B y=C usw. wie in der nebenstehenden Tabelle angedeutet, annimmt, kann man die Quotienten D C d \ A B C D B—A - — — 3 (ad) = BA 90 mc) = 978 a0) (ac) = — ‚.. usw. berechnen; diese Quotienten werden die den Intervallen (b— a), (c—b), (c—a) ... usw. entsprechenden dividierten Dif- ferenzen erster Ordnung („ersten Differenzen“) genannt. Sind z. B. folgende Volkszählungsergebnisse (in Tausenden) a = 1890 A = 2172 b = 1901 B =— 2450 ce = 1906 C = 2589 d = 1916 D = 2921, gegeben, dann beträgt die absolute Größe des Bevölkerungszuwachses 1) 1890—1901. .... 2) 1901—1906 . . 3) 1906 - 1916 . 4) 1890—1906 5) 1890—1916 6) 1901—1916 278 LE = USW. : Newton’s interpolation formulas (reprinted from the Journ. of the Institute of Actuaries, vol. 51, 1919 und vol. 58, 1927), worin auch der im Jahre 1870 von L. Oppermann gegebene Kommentar (Assurance magazine vol. 15, 1870) er- wähnt ist. ') J. L. Lagrange, Sur l’usage des courbes dans la solution des problemes, vgl. z. B. Oeuvres, 7, S. 271—287, Paris 1877. 337 = und die diesen Intervallen entsprechenden dividierten Differenzen, welche hier den durchschnittlichen jährlichen Zuwachs angeben müssen, sind dann jeweils JM (90,01) = - = 25,27, 0 (01,06) = m. = 27,80, 332 417 In 16 = 26,06, 8@ (90.16) = —- 2881, 80 (01.16) = Tr — 31,40. Es sei gleich bemerkt, daß, wenn die betrachteten Funktions- werte alle auf derselben Geraden liegen, was sie jedenfalls immer jun, wenn man weiß, daß die betrachtete Funktion linear ist, die lividierten Differenzen immer denselben Wert haben (konstant sein) werden, einerlei, welches Intervall betrachtet wird; denn ist die Gleichung für die betreffende Gerade durch y = «+ fx ausgedrückt, dann wird für A y= A= «a + ßa "= B @ + Pb so daß A b— 80 (ab) = PA — 7 C > — R und demnach ganz unabhängig vom Werte von a und b (d. h. von dem betrachteten Intervall) ist. Mittels Betrachtung einer Figur ‘äßt sich diese Eigenschaft ebenfalls leicht einleuchtend nachweisen; amgekehrt führt eine solche Betrachtung zu der Erkenntnis, daß man, wenn man in ein Koordinatensystem eine Reihe von Funktions- werten einsetzt, deren entsprechende dividierte Differenzen erster Ordnung alle gleich groß sind, eine Reihe von Punkten erhalten wird, welche auf derselben Geraden liegen. 224. Werden nun ferner die dividierten Differenzen für zwei Intervalle mit gemeinsamem Endpunkt, also z. B. © (ab) = 72 und 00 (b0) = N betrachtet, dann kann man aus diesen das, was die dividierte Differenz zweiter Ordnung (zweite Differenz) für das Intervall x=a bis x=c genannt wird, berechnen, worunter der Quotient 0 (b,c) — 0 (a,b). 4) (abc) = — „(b,c) — 9% (a,b). cC— 3 Westergaard und Nybolle. Theorie der Statistik, 2. Autl. 338 —_— verstanden wird. Der Zähler ist der Unterschied zwischen den zwei dividierten Differenzen erster Ordnung, der Nenner das ge- samte Intervall (c—b) + (b—a) =c—a. In dem oben betrachteten Falle hat man also z. B. 5% (1890, 1901, 1906) = SEO — 0,158 d@ (1901, 1906, 1916) = BA — 0,360. Die zwei Intervalle, welche bei der Berechnung einer zweiten Jividierten Differenz in Betracht kommen, brauchen nicht in der zegenseitigen Verlängerung zu liegen; so wird z. B. @ (1890, 1916, 1906) = ABS — 0,276. Hinsichtlich der „zweiten Differenzen“ gilt so ungefähr das Gleiche wie für die „ersten Differenzen“. Sind nämlich die betrachteten Funktionswerte alle auf einer Parabel zweiter Ordnung gelegen, was sie jedenfalls immer sind, wenn die betrachtete Funktion ein Polynomium zweiten Grades ist, dann werden sämtliche „zweiten Differenzen“, welche sich dann berechnen lassen, denselben Wert erhalten; ist die Gleichung für die betreffende Parabel durch das Polynomium y=&Q + 4X + 0, x? ausgedrückt, dann wird für X= 23 A= 0 + 04a + a? x= b B= 4 + 0b + x,b? X= 6 C= 0 + 46 + 02, woraus hervorgeht, daß d0) (a,b) = &, + «x(b + a) d@) (b,c) = &, + &%(C + b). Hieraus folgt indes wiederum, daß 0@ (a,b.c) — &(6 + b) — (ba) _ d%, C— 28 welche Größe unverändert den gleichen Wert hat, einerlei, welche Werte von a, b und c betrachtet werden. Genau so, wie eine zweite Differenz aus zwei ersten Differenzen berechnet wird, kann man aus zwei zweiten Differenzen eine divi- dierte Differenz 3. Ordnung (eine dritte Differenz) und aus dieser wieder dividierte Differenzen 4. Ordnung (vierte Differenzen) usw. 339 wie in der Tabelle 44 gezeigt, berechnen. Wenn man eine Reihe von Punkten (Funktionswerten) hat, welche sämtlich auf einer und derselben Parabel 3., 4. usw. Ordnung liegen, dann werden alle die- jenigen dividierten Differenzen von jeweils 3., 4. ... Ordnung, die sich dann aus den entsprechenden Funktionswerten berechnen lassen, den gleichen Wert bekommen; dies ließe sich genau so wie oben für Differenzen 1. und 2. Ordnung nachweisen. Wir ziehen jedoch vor, an Hand eines Beispiels den Nachweis zu führen, wobei auch hervorgehen wird, in welcher Weise man in der Praxis am besten lie Berechnung der dividierten Differenzen anfaßt. 829. Zu diesem Zweck kann man irgend ein Polynomium 4. Grades benutzen, z. B. das folgende: y = 1578 — 1792x + 624x? — 64x} + 2x%, welches für die in der Tabelle 44 angeführten Werte von x die entsprechenden für y angeführten Werte annimmt. Tabelle 44, ® Ks 9. 7460 490 2 10 Erste dividierte Differenz d®© (0,2) für das Intervall 0 bis ? wird hier En = —784; zur Kennzeichnung, daß sie zum genannten [ntervall gehört, ist sie in der Tabelle 44 (Kolonne d®) im Zwischen- raum zwischen den Linien angeführt, in welchen sich die x=0 und x==2 entsprechenden Funktionswerte finden. Genau so ist 30) (25) = 919 = 486 im nächsten Zwischenraum angeführt, and so fort für sämtliche gegebenen Funktionswerte. Es geht aus dieser Reihe erster Differenzen hervor, daß die den gewählten Funktionswerten entsprechenden Punkte nicht alle auf einer 90* 340 geraden Linie liegen können; denn dann hätten alle ersten Differenzen denselben Wert. Behandelt man nun die gefundene Reihe erster Differenzen dementsprechend, dann läßt sich die in Kolonne d® in den Zwischen- räumen zwischen diesen ersten Differenzen aufgeführte Reihe von „zweiten Differenzen“ finden. So wird z. B. I (0, 2, 5) = BZ En 784) _. 954, da das gesamte Intervall, welches von dieser Differenz überspannt wird, von 0 bis 5 ausgeht; analog wird 500 — 486 5@ ANZ (2, 5, 6) 6—2 Da alle so gefundenen „zweiten Differenzen“ verschiedener Größe sind, so folgt, daß die gewählten Funktionswerte ebenfalls nicht sämtlich auf derselben Parabel 2. Ordnung liegen können. Aus den zweiten Differenzen können die dividierten Differenzen 3. Ordnung in entsprechender Weise berechnet (und ‚aufgeschrieben) werden, indem man die aufeinander folgenden zweiten Differenzen subtrahiert und den Unterschied durch die Größe des Intervalles dividiert, welches die zwei betrachteten zweiten Differenzen Zzu- sammen umspannen. Man findet z. B. 26—254 08) (0, 2, 5, 6) =— 6—0 = —38 ö® (2, 5, 6, 8) = 1062 = —22 usw., aus welchen dritten Differenzen man Schließlich die dividierten Differenzen 4. Ordnung findet, indem dieselbe Methode bei den Iritten Differenzen angewandt wird; es ergibt sich hier A (0, 2, 5, 6, 8) = A =2 Für d® (2, 5, 6, 8, 11) und d® (5, 6, 8, 11, 15) usw. stellt man denselben Wert fest; dies ist eine Folge davon, daß die 9 Tabellen- werte, von denen man ausging, alle auf der durch das gewählte Poly- nomium 4. Grades bestimmten Parabel 4. Ordnung liegen. Nun lassen sich, wie im $ 213 erwähnt, durch diese 9 Punkte (Tabellen- werte) unendlich viele Interpolationskurven legen. Wenn daher nicht wie hier der betrachtete Zusammenhang (Funktion), sondern nur die 9 Tabellenwerte gegeben sind, dann kann man aus dem Um- stand, daß alle 3 dividierten Differenzen 4. Ordnung denselben Wert 341 erhalten, nicht ohne weiteres schließen, daß die betreffende Funktion ein Polynomium 4. Grades ist. Dagegen folgt aus der Konstanz der vierten Differenzen, daß diejenige Parabel 4. Ordnung, welche stets durch eine willkürliche Auswahl von 5 unter den gegebenen 9 Tabellenwerten gelegt werden kann, von selbst durch die den 4 übrigen Tabellenwerten entsprechenden Punkte gehen wird. 226. Oben ist dargelegt, wie man durch Lösung einiger (hier 5) Gleichungen mit ebenso vielen Unbekannten die Koef- fizienten in dem Polynomium, das durch 5 der gegebenen 9 Tabellenwerte geht, bestimmen kann. Eine Betrachtung des „Differenzschemas“ der Tabelle 44 lehrt indes, in welcher Weise man die Aufstellung und Lösung der betreffenden Gleichungen ver- meidet; wäre man z. B. von den 5 ersten Tabellenwerten ausgegangen, so hätte man ein Differenzschema mit nur einer vierten Differenz erhalten. Fügt man hinzu, daß einem x = 11 der Funktionswert y=1468 entspricht, dann läßt sich eine neue Reihe von Differenzen berechnen, die mit einer vierten Differenz = 2 enden muß. Doch läßt sich auch der umgekehrte Weg beschreiten und der x= 11 entsprechende Funktionswert berechnen, wenn man davon ausgeht, daß dieser — richtig berechnet — zu einer vierten Differenz =? auf dem betreffenden Platze führen muß. Aus 3© (2, 5, 6, 8, 11) = 9" 6, 6, 8. MS ‚2, 5, 6, 80 _ 9 {olgt nämlich, daß d® (5, 6, 8, 11) = 0® (2, 5, 6, 8) + 9-2 = —22 + 18 = und man findet dann weiter aus der Gleichung 3® (5, 6, 8, 1) = 68, 1009 6,689 _ _, daß j@ (6, 8, 11) = 0% (5, 6, 8) — 4-6 = —106 — 24 = —130, welches wiederum 30 (8, 11) = 00 (6, 8) — 130-(11 — 6) = 272 — 650 = —378, ergibt, woraus schließlich y(11) = y(8) — 378(11 — 8) = 2602 — 1134 = 1468 folgt. Analog kann man die nächste Reihe von Differenzen berechnen, indem man entweder davon ausgeht, daß x=15 den Wert y = 348 ergibt (was, wie oben gezeigt, dazu führt, daß auch die nächste vierte Differenz gleich 2 wird). oder davon ausgeht, daß diese vierte 342 Differenz gleich 2 werden soll und dann nach und nach folgende Gleichungen findet: 0 (6, 8, 11, 15 =— 4+ 2(15— 5)= 16 J@ (8, 11, 15) 130 + 16(15 — 6)= 14 3@ (11, 15) 378 + 14(15 — 8) = —280 y(15) =. 1468 — 28015 — 11) = 348. Genau so läßt sich nun der Wert berechnen, den die betrachtete Interpolationskurve (das betrachtete Polynomium 4. Grades) für jeden beliebigen andern Wert von x ergibt. Wird z. B. x=7 gesetzt, so findet man y (7), indem man in der Kolonne d® eine neue vierte Differenz =2 hinzufügt. Durch die Berechnungen 0® (8, 11, 15, )= 16+ 27— = 18 3 (11, 15, 7) = 14+ 1807 © 4 j@ (15, 7) = —280 - . 264 y(7) = 348 — 2640 2460 findet man dann y (7) = 2460. Um die Richtigkeit der Berechnung zu kontrollieren, kann man die Berechnung von Funktionswerten einschieben, welche im voraus bekannt sind. Nachdem y(7)=— 2460 gefunden ist, ist in der Tabelle die Berechnung von y (2) eingeschoben, die 10 ergeben soll. Wenn man, um diese Berechnung durchzuführen, aufs neue in der Kolonne di hinzufügt: d® (8, 11, 15, 7, 2) = 2, dann ergibt sich auch 0 (11, 15, 7, 22= 18+ 22— 8)= 6 3@ (15, 7, 2) = —4+ 6(02— 11) = —58 5 (7, 2) = —264 — 58(2 — 15) = 490 y(2) == 2460 + 490(2 — 7)= 10. 227. Wenn die gestellte Interpolationsaufgabe — wie es im all- gemeinen der Fall ist — darauf ausgeht, die einigen gegebenen Werten von x entsprechenden Funktionswerte zu finden, bietet die hier dar- gestellte Methode, mittels deren man mit dividierten Differenzen rechnen kann, den großen Vorteil, daß man die Aufstellung und Lösung der Gleichungen mit mehreren Unbekannten vermeidet, welche die Bestimmung der Konstanten (Koeffizienten) der Inter- polationskurve (des Polynomiums) sonst fordert, und die nachfolgende Berechnung vermeidet, die mit dem Einsatz derjenigen Werte für x folgt, für die der Wert des Polynomiums berechnet werden soll. Man wird ‚also mit Hilfe des Differenzschemas direkt von den ge- gebenen Funktionswerten zu den gesuchten geführt, ohne anscheinend 343 mit den Funktionen selbst etwas zu tun zu bekommen. Berech- nungen von Konstanten und das Aufschreiben des benutzten Poly- nomiums können also unterbleiben, wenn die Lösung der Inter- polationsaufgabe nichts anderes verlangt. Man kann indes mit derselben Methode den Wert der Funktion für einen willkürlichen Wert von x finden, d. h. das Polynomium, mittels dessen die Interpolation in Wirklichkeit vor sich geht; will man beispielsweise, nachdem man zu x=2 interpoliert hat, zum Werte x im allgemeinen interpolieren, so findet man (vgl. den folgenden Auszug aus der Tabelle 44), wenn man wieder setzt 0611, 15, 7, 2, x)=2, daß 0©® (15, 7, 2, x) = 6 + 2(x — 11) 30 (7,2,x) =-— 58 + (6 +2 (x — 11)) (x — 15) 30) (2, x) = +490 +[—58 + (6 +2 (x-— 11)) (x —15)1(x — 7), woraus folgt, daß y (x) = 10 +{+ 490 +[—58 +(6 +2(x — 11)) (x —15)](x— 7)} (x—). Wenn man hier die durch Klammern gekennzeichneten Multi- plikationen ausführt, wird man gerade den oben angeführten Aus- druck für das hier behandelte Polynomium vierten Grades bekommen. Diese Berechnung wird sich oft erheblich leichter gestalten, wenn man, bevor zum willkürlichen Wert von x interpoliert wird, so- viele Male nach der Reihe zu x= 0 interpoliert, daß die Reihe der dabei erhaltenen dividierten Differenzen stets dieselbe bleibt. Aufgabe 65. Schreibe eine Tabelle auf, welche für x=0, 1, 5, 7 und 10 den Wert des Polynomiums y= x! — 3x angibt. Finde durch Interpolation in der Tabelle den Wert des Polynomiums für x=2, 3, 4, 6, 8 und 9 und zeige, wie man aus der Tabelle das benutzte Polynomium wiederfinden kann. — 344 228. Im $ 213 wurde beispielsweise das ganze algebraische Polynomium besprochen, das für x==3, 4,5 und 6 gerade die Werte für log 3, log 4, log 5 und log 6 annahm. In untenstehender Tabelle 45 ist dieses Polynomium durch Berechnung der dividierten Differenzen bestimmt. Um mit lauter ganzen Zahlen rechnen zu können, sind die Tabellenwerte, von denen man ausgeht (log 3, log 4, log 5 und log 6), mit 60000 multipliziert ; durch Interpolation wird dann nicht das eigentliche Polynomium y(x) bestimmt, sondern das Polynomium 60 000-y(x), woraus man danach y(x) durch Division durch 60000 findet. Tabelle 45. ÖM = 86 60 000y 28 626 36 126 41 490 46 692 28 626 —10 230 —10230 —10 230 104 104 104 104 104 104 PRO RZ 3.0292 ‘2.952 19.99 ‘ © J d D p* 18289 --1467 9487 46 692 Zuerst werden aus den 4 gegebenen Tabellenwerten die 3 ersten Differenzen, die 2 zweiten Differenzen und die eine dritte Differenz bestimmt. Zur Kontrolle der Richtigkeit dieser Berechnungen ist danach zu x==3 interpoliert, was y= 28626 ergeben soll. Danach wird dreimal zu x==0 interpoliert; die bei diesen Interpolationen zuletzt gefundene Reihe dividierter Differenzen ergibt dann ebenso wie im vorigen Beispiel sofort 60 000y = —10230 + 18 289x — 2091x? + 104x®, wie oben im $ 213 angegeben. Zur Kontrolle der Berechnung ist zuletzt zu x = 6 interpoliert, was 46692 ergeben soll. Es geht mit aller Deutlichkeit hervor, daß das Polynomium auf diesem Wege durch viel weniger Berechnungen als auf dem im $ 221 besprochenen Wege gefunden wird. In der Regel erfordert die Interpolationsaufgabe indes gar nicht, daß der Ausdruck für das Polynomium (die Interpolationskurve), auf dem in Wirklichkeit interpoliert wird, berechnet und auf- 345 geschrieben wird. Namentlich ist dies nicht notwendig, um einzelne oder ganze Reihen yon interpolierten Werten zu finden. Wenn die Aufgabe, wie sie zuerst im $ 210 gestellt wurde, darauf ausgeht, mit Hilfe der Kenntnis von log 3, log 4, log 5 und log 6 den Wert von log 4,5 zu berechnen, so findet man diesen Wert wie in der folgenden Tabelle 46 angegeben, in der man, anstatt die Funktion 60000-y(x) zu betrachten, auf y(x) selbst interpoliert hat; nicht alle zur Berechnung der dividierten Differenzen notwendigen Divisionen „gehen auf“, weshalb diese Differenzen mit einigen extra Dezimalen berechnet sind, um die Wirkung der durch Abrundungen entstandenen ınwesentlicheren Fehler zu vermeiden. Wenn man nicht in der oben beschriebenen Weise diese Fehler- quelle vermeiden will, hat man überhaupt, bevor man interpoliert, die Wirkung der Rechnung mit abgerundeten Zahlen zu beurteilen ınd festzustellen zu suchen, wieviele Dezimalen notwendigerweise zu berücksichtigen sind. Tabelle 46 ORAL 4) ' - a7 0,6534 1175 . 9118 15152 M733 733 1733 1733 8. 0,6990 Zuerst sind die Differenzen berechnet, welche unmittelbar aus den 4 gegebenen Funktionswerten hervorgehen. Die Resultate sind dann durch Interpolation zu x = 3 geprüft, was y= 0,4771 geben soll. Danach wird zu x = 4,5 interpoliert, wobei man zu dem in der Tabelle 43 auf Seite 324 angeführten interpolierten Wert für log 4,5 — 0,6534 gelangt; zur Kontrolle, daß auch hier kein Rechen- fehler begangen ist, kann man schließlich zu x = 5 interpolieren, was y = 0,6990 ergeben muß. Wie man sieht, beruht die ganze Methode Jarauf, daß man unter der fortgesetzten Interpolation zu neuen Werten von x ständig die letzte dividierte Differenz konstant er- hält. Dies ist nur ein anderer Ausdruck dafür, daß die Gleichung [für die hierbei benutzte Interpolationskurve durch ein ganzes algebra- isches Polynomium ausgedrückt werden kann. — 346 A 829. In welchem Grade ein solches Polynomium imstande ist, an die Stelle des wirklichen Verlaufes der betrachteten Funktion zu treten, ist indes, wie oben erwähnt, eine Frage, die besonders zu untersuchen ist. Es folgt aus dem Vorhergehenden, daß man, um die Newtonsche Interpolationsformel auf beobachtete Zahlen anwenden zu können, voraussetzen muß, daß der betrachtete Zusammenhang so beschaffen ist, daß man bei fortgesetzter Berechnung dividierter Differenzen 1., 2., 3. usw. Ordnung auf irgend einem Punkte Differenzen erhalten wird, die jedenfalls mit einer gewissen Annäherung konstant sind. Für die auf mathematischem Wege de- finierten Funktionen (beispielsweise Vx, log x, das Exponential- gesetz usw.) erzielt man dies in der Regel um so besser, je kleiner die Intervalle sind, über die sich die Interpolation erstreckt, und man gelangt zu einem ganz ähnlichen Resultat hinsichtlich der Interpolation an beobachteten Zahlen, wenn man den zwischen diesen bestehenden Zusammenhang als eine Abhängigkeit mit ähnlichen Eigenschaften wie denen einer wohldefinierten Funktion betrachtet. Bloß ist zu erinnern, daß man im allgemeinen nicht, wenn es sich um beobachtete Zahlen. handelt, in demselben Grade wie bei rein mathematischen Problemen darüber Herr ist, wie kleine Intervalle man benutzen will. Weiter unten gehen wir auf diejenigen Interpolationsmethoden ein, die man sich angewandt denken kann, wenn es sich um Inter- polation über weitere Strecken handelt. An dieser Stelle seien einige Beispiele über die Anwendung der Newtonschen Formel auf beob- achtete Zahlen gegeben. Wir entnehmen der deutschen Sterbetafel für die Jahre 1891 bis 19001 folgenden Auszug über die mittlere Lebensdauer für Frauen verschiedener Altersklassen: Alter Mittlere Lebensdauer X 45 Jahre 24,87 Jahre 50 20,58 55 16°) 60 . RE LUD 5 90 * VAR Yz Wenn man mit den hier angeführten Werten von y für x = 60, 70 und 75 Jahre als Ausgangspunkt durch Interpolation die mittlere Lebensdauer für 65-jährige bestimmen will, so erhält man 1) Deutsche Sterbetafeln für das Jahrzehnt 1891—1900, St. d. d. R. Bd. 200, Berlin 1910, S. 6. 347 zwei „erste dividierte Differenzen“ und „eine zweite dividierte Differenz“. Wird diese konstant gehalten, dann findet man als die einem x = 65 Jahre entsprechende mittlere Lebensdauer 10,61 Jahre, also sehr annähernd dasselbe wie das nach der Sterbetafel angeführte Ergebnis. Wenn von denselben Werten aus zu 55 oder zu 80 Jahren extrapoliert wird, ergibt sich eine mittlere Lebensdauer von 17,07 und 4,52 Jahren, während die Tafel faktisch 16,96 und 4,48 Jahre hat: also recht gute Annäherungswerte. Diese Übereinstim- mung hört indes schnell auf, wenn man durch Extrapolation die dem Alter unter 55 oder über 80 Jahren entsprechende Lebensdauer bestimmen will. Selbst bei Anwendung größerer Intervalle kann man oft brauch- bare Resultate erzielen. Geht man z. B. von der für x = 50, 70 und 90 Jahre angeführten mittleren Lebensdauer aus, so findet man, indem man die daraus resultierende zweite dividierte Differenz konstant sein läßt, folgende mittlere Lebensdauer: 1A 5 BU AS Jahre 24 78 Jahre Vv 1 10.57 tr 30 05 Tahre y 6,06 Jahre 445 3,27 290 Die berechneten Zahlen stimmen also relativ gut mit den Faktischen überein, insbesondere gilt dies hinsichtlich der Mitte ler Altersperiode; außerhalb dieser hat man erwartungsgemäß keine so gute Übereinstimmung. 230. Es tritt jedoch namentlich bei der Interpolation über kleinere Intervalle ein, daß sich die Newtonsche Formel mit Vorteil anwenden läßt; Versuche, sie über längere Intervalle aus- zudehnen, werden nur ausnahmsweise glücken. Besonders hat man sich vor der Annahme zu hüten, daß sich ganz besonders gute Re- sultate erzielen lassen, wenn man seinen Ausgangspunkt in vielen über das Intervall verstreuten Funktionswerten und den aus sämt- lichen solchen Werten abgeleiteten Differenzen höherer Ordnung nimmt. Ginge man beispielsweise von sämtlichen angeführten Werten für die mittlere Lebensdauer für x = 45, 50, 55, ..... 90 Jahre aus, um sich zur mittleren Lebensdauer z. B. für Altersstufen von einem Jahre (46, 47, 48, 49 ... usw. Jahre) zu interpolieren, indem diejenige Differenz neunter Ordnung, welche sich aus den 10 vregebenen Funktionswerten berechnen ließe. konstant erhalten wird — 348 (was sich als Methode sehr wohl durchführen ließe), dann könnte man keine so gute Übereinstimmung wie die oben gefundene er- warten. Das Polynomium, welches man bei einer solchen Inter- polation verwenden müßte, würde nämlich hoher Ordnung (im ge- dachten Beispiel 9. Ordnung) sein, und solche Polynomien werden in der Regel einen der durch die punktierte Kurve der Figur 8!) angegebenen analogen Verlauf nehmen; und selbst wenn die Be- nutzung dividierter Differenzen höherer Ordnung nicht geradezu absurde Resultate ergibt, so empfiehlt es sich doch in der Regel ganz besonders bei der Interpolation an beobachteten Zahlen — nicht bloß aus arbeitsparenden Gründen —, sich lediglich an dividierte Differenzen niederer Ordnung zu halten. Es ist hier, wie oben be- tont, zu erinnern, daß die Interpolation darauf beruht, daß man den wirklichen Verlauf des betrachteten Zusammenhangs gegen eine zweckmäßig gewählte Interpolationskurve umtiauscht, von der nur verlangt wird, daß sie mit ausreichender Annäherung mit den tat- sächlichen Funktionswerten übereinstimmt. Sehr oft wird dann die erhöhte Genauigkeit, welche man vielleicht erzielen könnte, wenn man z. B. vierte Differenzen anstatt dritter Differenzen konstant erhielte, ohne Bedeutung sein; in einigen Fällen, namentlich bei Interpolation zwischen beobachteten Zahlen, wird das Resultat bei Berücksichtigung von Differenzen höherer Ordnung nur noch schlechter ausfallen. Alles hängt hier natürlich von der Genauigkeit ab, welche sich überhaupt mittels einer Interpolation erzielen 1äßt und von der Genauigheit, die man innerhalb dieser Grenzen zu er- zielen wünscht. Aufgabe 66. Finde mittels Interpolation am Logarithmus der in der Tabelle 17, Seite 161, angeführten Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeiten für diejenigen Ergebnisse, über welche die Tabelle keinen Aufschluß gibt. Aufgabe 67. Nach der dänischen Sterbetafel für 1916—20 ist die mittlere Lebensdauer für Männer von 10 Jahren . . 54,6 Jahre 50 Jahren . . 23,1 Jahre 20 .. 461 | 60 .‚. 158 30 .. 38E | 70 . 7” » 10» . 2. BL 80 . ” Finde hieraus durch Interpolation die mittlere Lebensdauer für Männer eines Alters von 15, 25, 35 ... und 75 Jahren und vergleiche die Resultate mit den von der Tafel angegebenen, nämlich jeweils 50,2 — 42,5 — 35,0 — 27,1 — 19,4 — 12,6 und 7,2 Jahre. !) 8. auch J. F. Steffensen, a. a. O0. 8. 34f. 349 Aufgabe 68. Die Gesamtbevölkerung der dänischen Städte betrug: LOFT 1607 482099 509 200 550327 604 205. Bestimme durch Interpolation teils an den angeführten Volkszahlen, teils an den Logarithmen der Volkszahlen den Bevölkerungszuwachs in jedem der Jahre 1906, 1907, 1908, 1909 und 1910 und vergleiche die Resultate beider Inter- polationsmethoden. 231. Im $ 216 wurde erwähnt, daß man nicht immer direkt gerade die erfragte Größe, sondern andere Größen, aus der sich die gesuchte finden läßt, suchen muß. Sucht man z. B., seinen Ausgangs- punkt in den Volkszahlen für Dänemark vom 1. II. 1911 und 1. II. L916 (jeweils 2757076 und 2921362) nehmend, die Größe der Be- völkerung am 1. Februar eines jeden der dazwischenliegenden Jahre, dann kann man natürlich eine gewisse annähernde Be- stimmung dieser Volkszahl dadurch erzielen, daß man den Zuwachs 2921 362—2 757076 = 164286) gleichmäßig mit 32857 auf jedes ler 5 Jahre verteilt; von der Betrachtung aus, daß die Kurve, welche das Anwachsen der Bevölkerung von 1911 bis 1916 dar- stellt, annähernd durch eine Gerade wiedergegeben werden kann, handelt es sich hier um nichts anderes als um eine einfache lineare Interpolation. Will man berücksichtigen, daß der jährliche Zuwachs nicht konstant ist, dann kann dies z. B. mittels einer Interpolation üdritten Grades von den Volkszahlen der Jahre 1906 (2588 919), 1911, 1916 und 1921 (3104209) aus geschehen; in der weiter unten folgenden Tabelle 47 ist in Kolonne 1 und 2 nach Kalenderjahren lie Verteilung des Zuwachses*des ganzen Jahrfünfts angeführt, zu der man mittels dieser zwei Interpolationsmethoden gelangt. Da man indes auf dem Wege direkter Beobachtung von der jähr- lichen Anzahl der Geburten und Sterbefälle Kenntnis hat, so kann man bei der Berechnung berücksichtigen, daß diese gewöhnlich keinen von Jahr zu Jahr konstanten Geburtenüberschuß ergibt. Sieht man von diesem Fehler ab, der dadurch begangen wird, daß man die Zahl der Geburten und Sterbefälle eines Kalenderjahres derjenigen des Volkszählungsjahres (1. Febr. bis 31. Jan.) gleichstellt, so ergibt sich, daß vom 1. Febr. 1911 bis 1. Febr. 1916 ins- gesamt 364553 geboren wurden, während 182181 starben; der Ge- burtenüberschuß des Jahrfünfts ist also 182372; wird diese Zahl zu der Volkszahl addiert, dann erhält man 2939448, während bei der Er- hebung im Jahre 1916 nur 2921362 gezählt wurden: im betreffenden i— 350 Jahrfünft übersteigt die Zahl der Auswanderer also die der Ein- gewanderten mit 18086; wenn man nun nicht annimmt, daß die Volkszahl selbst von 1911 bis 1916 linear gewachsen ist, sondern statt dessen ansetzt, daß das gefundene, durch die Wanderungen bestimmte Defizit linear von 1911 bis 1916 wächst, und also rechnet, daß die Wanderungen jährlich einen Nettoverlust von 3617 Personen verursacht haben, dann erhält man durch Verteilung des Geburtenüberschusses auf die einzelnen Jahre des Jahrfünfts die in Kolonne 3 der Tabelle 47 mitgeteilte Verteilung der Volksver- mehrung von 1911 bis 1916. Tabelle 47. (1) (2) (3) (4) (5) 1911 32 800 32 500 33 100 31 800 30 900 1912 32 800 32 500 34 600 33 000 32 100 1913 32 900 32 700 33 500 31 700 30 900 1914 32 900 33 000 38 700 24.61 34. 900 1915 32 900 33 60U 29 400 ; 33 20u 35 500 Zusammen: 164300 164 300 164 300 164 300 164 300 Da indes auch die Größe der jährlichen überseeischen Aus- wanderung bekannt ist, kann man noch einen Schritt weitergehen und die von Jahr zu Jahr wechselnde Größe dieses Teils der Wanderungen berücksichtigen; 35290 Menschen gingen im betreffen- den Jahrfünft über See; von diesen abgesehen haben die Wanderungen also dem Lande 35290 — 18 086 = 17 204 Personen mehr zugeführt, als in. anderer Weise auswanderten. Wenn mittels linearer Inter- polation dieses Mehr mit 3441 auf die einzelnen Jahre des Jahr- fünfts verteilt wird, erhält man die in Kolonne 4 der Tabelle 47 angeführte Verteilung des Zuwachses, Schließlich ist in Kolonne 5 diejenige Verteilung ersichtlich, welche aus der amtlichen dänischen Statistik!) hervorgeht; hier ist der sich auf 17204 belaufende Einwanderungsüberschuß mittels einer Interpolation verteilt, die auf besonderen Erhebungen fußt und bei der gleichzeitig die männliche und die weibliche Bevölkerung gesondert betrachtet sind. 232. Nach obiger Entwicklung kann man nur, wenn der be- trachtete Zusammenhang ganz besondere Bedingungen erfüllt, er- warten, daß die Interpolation über größere Intervalle mit vielen gegebenen Punkten bei Anwendung eines und desselben algebraischen Polynomiums mit Erfolg gekrönt sein wird. Es ist indes gerade ') Vgl. z. B. Statistisk Tabelverk, 5. Rekke, Litra A, Nr. 15: Agteskaber, Fodte og Dode i Aarene 1916—20, Kobenhavn 1924, S. 72*, 351 eine in der Statistik häufig vorkommende Aufgabe, eine solche Inter- polation vorzunehmen. Man kenne beispielsweise das Wachstum einer Bevölkerung oder Bevölkerungsgruppe während eines halben oder eines ganzen Jahrhunderts, so daß die Größe der Bevölkerung nach fünf- oder zehnjährigen Zwischenräumen bekannt ist; die Größe nach nur ein- oder halbjährigen Zwischenräumen ist jedoch gesucht. Eine andere häufig vorliegende Aufgabe ist die Interpolation in einer numerisch gegebenen Verteilung (vgl. Abschnitt C). Es ist z. B. bekannt, auf welche Weise sich eine Bevölkerungsgruppe auf zehnjährige Altersklassen verteilt; man wünscht jedoch, die Ver- teilung auf beliebig kleine Altersklassen zu kennen. Oder man kennt die Verteilung der Bevölkerung nach größeren Einkommen- intervallen, deren Länge in der Regel variiert, braucht jedoch die Verteilung nach kleineren und gleichgroßen Einkommenklassen usw, Bei Aufgaben dieser Art ist es, praktisch gesprochen, nie möglich, ain und dasselbe durch sämtliche gegebenen Werte bestimmtes Poly- nomium, das im allgemeinen höherer Ordnung (vgl. $ 230) sein wird, zu benutzen. Man wird bei Aufgaben dieser Art in der Regel bessere Resultate erzielen, wenn für jedes Intervall ein neues Polynomium aiederer Ordnung, das durch die Funktionswerte in den End- yunkten des betrachteten Intervalles bestimmt ist, und wenn möglich »inige der am nächsten liegenden gegebenen Funktionswerte ange- wandt werden. Wenn lediglich die Werte in den Endpunkten der ainzelnen Intervalle zur Interpolation im Intervall benutzt werden, lann muß diese Interpolation linear sein, und die Methode entspricht Jlann ganz der im $ 212 genannten, wo die Logarithmenkurve ab- ;eilungsweise durch Gerade (vgl. Fig. 8) ersetzt wurde. Aber selbst wenn man abteilungsweise z. B. eine Parabel benutzt, die teils lurch die Funktionswerte in den Endpunkten des Intervalles, teils lurch solche in den am nächsten gelegenen gegebenen Punkten be- stimmt ist, dann wird diese Methode oft Schwierigkeiten oder geradezu Absurditäten mit sich führen (vgl. besonders das Beispiel im $ 243), und diejenige Interpolationskurve, durch die man so im zroßen und ganzen den tatsächlichen Zusammenhang ersetzt, wird labei in allen Fällen eine Kurve, welche stückweise aus verschie- lenen Polynomien in jedem neuen Intervall zusammengesezt ist. In solchem Falle wird man oft — namentlich bei vorbereitenden Unter- suchungen — mit Vorteil die graphische Interpolation an- wenden können; bei einer solchen werden in gewöhnlicher Weise lie gegebenen Punkte (Wertepaare) in ein Koordinatensystem ein- za 352 getragen, worauf eine Kurve (die Interpolationskurve) gezogen wird, die in möglichst einfacher Weise durch die abgesetzten Punkte geht. Wenn die Kurve gezeichnet ist, findet man die gesuchten Interpolationsresultate direkt durch Größenmessung der erfragten Ordinaten. Zeichnet man die Kurve auf Millimeterpapier, so lassen sich die Beobachtungen leicht eintragen und die interpolierten Werte direkt aus der Figur ablesen. 233. Die graphische Interpolation zeichnet sich durch ungemein ‚eichte Durchführbarkeit aus. Durch die Begrenzung der Genauigkeit, mit der sich eine Kurve zeichnen läßt und die Ordinaten gemessen werden können, wird man unmittelbar der Begrenzung der Genauig- keit gegenübergestellt, mit der man interpolieren kann; und die Anwendbarkeit der Methode wird nicht dadurch verringert, daß man in höherem Grade als bei anderen Methoden des Momentes der Willkür gewahr wird, das mit Notwendigkeit mit jeder Inter- polation zwischen beobachteten Zahlen folgt. Wie bereits oben be- tont, lassen sich durch eine Reihe gegebener Punkte unendlich viele Kurven legen. In einigen Fällen wird man — namentlich mit ainiger Übung — hinsichtlich der Wahl zwischen diesen vielen Möglichkeiten nicht im Zweifel sein, in der Regel um so weniger, je kleiner die Intervalle zwischen den bekannten Punkten sind; und in Fällen, wo ein solcher Zweifel auftritt, ergibt die Betrachtung des Unterschieds zwischen den Kurven, unter denen zu wählen die Rede sein kann, einen direkt veranschaulichenden Ausdruck für die Genauigkeit, mit der man zwischen diesen Beobachtungen interpolieren kann; einen Ausdruck, der bei Anwendung einer beliebigen Formel leicht dem Gesichtskreise entschwindet. Wie gesagt, beruht der Bereich der Anwendung graphischer Interpolation bis zu einem gewissen Grade auf der Festigkeit in der Kurvenzeichnung, die sich hier durch Übung erzielen läßt; bei Übungen dieser Art beginnt man am zweckmäßigsten mit der Zeich- nung von Kurven durch Punkte, welche relativ dicht aneinander liegen, und von denen man allmählich immer mehr ausläßt; man er- zielt hierbei eine Vertrautheit mit der Form, in der die am häufigsten vorkommenden Beobachtungsreihen gewöhnlich verlaufen, und die Kenntnis hiervon bildet zuguterletzt die eigentliche Grundlage für die Interpolation über größere Intervalle. Aufgabe 69. Nach den dänischen Sterblichkeitserfahrungen für die Jahre 1916—1920 war die mittlere Lebensdauer für 353 aeugeborene Mädchen ... 58,06 Jahre 1 Monat alte PP ...5968 3 Monate ,, „ ...6120 ul ” ” ” ... 62,04 ” L6 ” ” ” ... 62,24 ” Finde mittels graphischer Interpolation die mittlere Lebensdauer für Mädchen im Alter von 3, 9, 12 und 15 Monaten und vergleiche die gefundenen Werte mit den faktischen, welche jeweils 60,48—61,77—62,13 und 62,23 Jahre betragen. 234. Wenn Fälle, in denen der Zusammenhang zwischen den betrachteten Größen bekannt ist, dort als Vorbild genommen werden können, wo dieser Zusammenhang nur teilweise bekannt ist, dann kann man nicht nur bei graphischer Interpolation, sondern auch bei ler Berechnung aus einem Vorbilde Nutzen ziehen, welches speziell weder als eine in ihrer Vollständigkeit gezeichnete Kurve vorzuliegen noch durch einen mathematischen Ausdruck gegeben, sondern nur numerisch durch eine dem Zweck entsprechend genaue Beobachtung bekannt zu sein braucht. Beispielsweise waren im Jahre 1911 in Kopenhagen 392°%g der männlichen Bevölkerung unter 20 Jahren; soll diese Zahl auf die Altersklassen 0 bis 10 und 10 bis 20 Jahre verteilt werden, so kann man als Vorbild die Altersgliederung für zanz Dänemark benutzen, wenn diese durch Beobachtung bekannt ist und man voraussetzt, daß die Bevölkerung Kopenhagens sich innerhalb eines solchen kleineren Altersintervalles nach dem Alter in ähnlicher Weise verteilt: es ergeben sich hierbei folgende Zahlen: Dänemark Kopenhagen nach der nach der | nach der jeobachtung! Berechnung Beobachtung 0—10 Jahre! 92409 212 0 L0—20 ” 2 »”„ 180 ” 7} Zusammen | 444 %0o | 392%o | 392 "so Diese und ähnliche Methoden werden im folgenden Abschnitt behandelt. C. Flächenberechnungen, 235. Wie man sich praktisch den vorliegenden Zusammenhang in der oben beschriebenen Weise in einem Koordinatensystem als eine Kurve abgebildet denken kann, so hat man es in der Statistik mit einer Menge von Größen zu tun, die sich in besonders anschau- licher Weise als eine zwischen zwei näher bezeichneten Ordinaten, der Abszissenachse und einer in das Koordinatensystem eingezeich- neten Kurve gelegene Fläche abbilden lassen. Westergaard und Nyboelle. Theorie der Statistik. 2. Aufl. 354 Als Beispiel sei die ausgedehnte Anwendung dieser Betrachtungs- weise beim Exponentialgesetz erwähnt (vgl. $ 112f. und Fig. 4). Indem unter Anwendung dieses Gesetzes die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Resultat zwischen gegebene Grenzen (x, und x,) fiel, be- rechnet wurde, erzielten wir eine außerordentliche Einfachheit und Leichtigkeit der Behandlung, die gesuchte Wahrscheinlichkeit als diejenige Fläche veranschaulichend, welche durch die x, und x, ent- sprechenden Ordinaten, die Abszissenachse und die Exponentialkurve begrenzt wurde. Ganz analog kann man sich jede Verteilungskurve mit größerer oder kleinerer Annäherung durch eine Kurve (eine Verteilungs- oder Frequenzkurve) wiedergegeben denken, auch wenn die Verteilung nicht exponentiell ist. Bedingung hierfür ist allerdings, daß das Kennzeichen, nach welchem die Einheiten verteilt gedacht sind, durch Zahlen ausgedrückt werden kann, die alle möglichen Werte ent- weder innerhalb eines endlichen Intervalles oder eines Intervalles von unbegrenzter Größe annehmen können, also Kennzeichen der oben ($ 55) als kontinuierlich bezeichneten Art (Alter, Körpergröße, Ein- kommen usw.). Wie gesagt, ist die Grenze zwischen Kennzeichen mit dieser Eigenschaft und anderen Kennzeichen jedoch bei weitem nicht scharf, und gerade die Anwendung des Exponentialgesetzes auf die Glückspielerfahrungen bietet ein Beispiel dafür, wie die Ver- teilungen, welche Ergebnisse (Kennzeichen) betreffen, die in Wirklich- keit nur durch ganze Zahlen beschrieben werden, durch geeignete Umschreibung (Umtausch der Ordinaten gegen Flächen; vgl. Fig. 4) als Verteilungen nach kontinuierlichen Kennzeichen behandelt werden können. Weiter unten wird gezeigt, wie sich eine Kurve von dieser Eigenschaft konstruieren (zeichnen) läßt. Dagegen können Verteilungen nach Kennzeichen wie Geschlecht, Zivilstand, Beruf usw., denen kein zahlenmäßiger Ausdruck verliehen werden kann, auch nicht mittels einer Verteilungskurve wiedergegeben werden. 236, Diese Betrachtungsweise findet auch in anderen Ver- bindungen Anwendung. Denkt man sich z. B. eine Kurve, welche die Art und Weise, in der sich die Größe einer Bevölkerung (Be- völkerungsgruppe) von einem Zeitpunkt (t,) zum andern (t,) ver- ändert (wächst oder abnimmt), so wird die durch die Abszissen- achse, die Kurve und die den beiden Zeiten t, und t, entsprechenden Ordinaten begrenzte Fläche die Summe der von den einzelnen In- dividuen der Bevölkerung von t, bis t, durchlebten Zeiten darstellen, eine Zahl, deren man oft in der Statistik bedarf. Wenn in der Zeit 355 von t, bis t, weder Abgang noch Zugang stattfindet, wenn also die Größe der Bevölkerung vollkommen konstant ist, dann ist dieser Zusammenhang unmittelbar einleuchtend. Ist nämlich die konstante Volkszahl der Bevölkerung gleich N, dann wird die Kurve in diesem Falle eine gerade Linie werden, die parallel mit der Abszissenachse in der Höhe N verläuft, und die gesuchte Fläche wird dann die Form eines Rechtecks von der Grundlinie (t, — t,) und der Fläche N (t, — tı) annehmen, welche Zahl, wenn jedes der N Individuen der Bevölkerung (t, — tı) Jahre durchlebt hat, die Summe der durch- lebten Zeiten ergeben muß. Etwas ganz Ähnliches findet faktisch statt, wenn die Volkszahl varliert (wächst oder abnimmt). Sie ist nämlich jedenfalls in den — allerdings in der Regel sehr kleinen — Zeiträumen konstant, welche von dem Augenblick des Eintreffens eines Ereignisses (Geburt, Sterbefall, Ein- oder Auswanderung) bis zum Eintreten der nächsten analogen Begebenheit verstreichen, und die Totale der durchlebten Zeiten ist dann die Summe der jedem der genannten Zeiträume entsprechenden rechteckigen Flächen. Ge- wöhnlich denkt man sich indes, wie oben ($ 215) gesagt, die wirk- liche, unregelmäßige Kurve durch eine kontinuierte Kurve ersetzt; mit ähnlicher Annäherung, wie sich dieser Umtausch vornehmen läßt, kann man dann auch die von einer varilerenden Bevölkerung von t, bis t, durchlebte Zeit durch die Fläche ausdrücken, welche von der kontinuierten Kurve, der Abszissenachse und den zwei t, und t, entprechenden Ordinaten eingeschlossen wird. Eine ganz entsprechende Betrachtung führt auch, wenn eine Dekrementtafel gegeben ist, zur Feststellung der mittleren Lebens- lauer für Personen eines gegebenen Alters x; die Tafel gibt an, wie viele der von einer gegebenen Anzahl von gleichzeitig Geborenen den 1., 2., 3., usw. Geburtstag erleben werden, wenn die zu jeder Zeit Zurückgebliebenen ständig als einer für die betreffende Altersgruppe yegebenen Sterblichkeit unterworfen gedacht werden und die mittlere Lebensdauer für x-jährige den Durchschnitt aus sämtlichen Lebens- zeiten angibt, welche jede der Personen, die das Alter x erreicht, aoch zu leben übrig hat, wenn diese x-jährigen so anssterben. wie die Tafel angibt. Wird das Alter x als Abszisse und die Anzahl l(x) der Über- ‚ebenden als Ordinate abgetragen, dann läßt sich die Summe der (x) Lebenszeiten als die durch die Dekrementkurve, die Ordinate 1(x) und die Abszissenachse begrenzte Fläche finden (dies erhellt analog lem vorigen Beispiel): und die mittlere Lebensdauer ergibt sich dann 99» 356 mittels Division dieser Summe (Fläche) durch 1(x). — Weitere Bei- spiele folgen. 237. Daß eine Größe als eine durch eine gewisse Kurve be- yrenzte Fläche dargestellt gedacht werden kann, gibt Veranlassung zu folgenden zwei Fragen: 1. Wie wird die Größe einer durch eine gegebene Kurve und yegebene Ordinaten begrenzten Fläche berechnet? 2. Wie konstruiert man eine Kurve, die zwischen gegebenen Ordinaten gegebene Flächen abgrenzt? Mit Hilfe der Interpolation lassen sich diese Aufgaben appro- ximativ. analog den im Vorhergehenden behandelten Interpolations- aufgaben lösen. 2338. Hinsichtlich der ersten dieser beiden Aufgaben sei gleich bemerkt, daß die Voraussetzung für die Bestimmung der Größe einer der beispielsweise in Figur 4 zwischen den Ordinaten EF und ND gelegenen entsprechenden Fläche die sein muß, daß man sich ent- weder mittels direkter Beobachtung oder durch Interpolation Kenntnis von der Größe der Kurvenordinate für eine beliebige Abszisse im Intervall von E bis N verschaffen kann. Man kann sich dann bei einer Reihe von Ordinaten, deren Größen sich sämtlich finden lassen, die gesuchte Fläche in eine Reihe von Streifen geteilt vorstellen; diese Streifen macht man aus praktischen Gründen in der Regel gleich breit, sie brauchen jedoch nicht mit Notwendigkeit diese Forderung zu erfüllen. Dagegen wollen wir uns, wenn die Kurve durch das ganze hier betrachtete Intervall nicht entweder ständig steigend oder ständig fallend ist, die Teilung in jedem Fall so durch- geführt denken, daß einer dieser Forderungen in jedem der betrach- teten Teilintervalle genügt ist. Bezeichnet man nun die Breite eines solchen Teilintervalles mit h und die Höhe der es be- grenzenden zwei Ordinaten mit y, und y, (von denen z. B. y, die kleinste sei), dann ist es klar, daß die Fläche x des betrachteten Streifens in jedem Fall zwischen den Grenzen hyı <«“ <hy, liegt und daß man mit Annäherung &= OL nl DM erhält, welche Formel (Trapez-Formel), falls die Kurve in dem be- trachteten Intervall eine gerade Linie wäre, genau die Fläche des Streifens ergeben würde. Durch Addition der Flächen sämtlicher 357 Streifen kann man ferner teils Grenzen, zwischen denen die ganze Fläche gelegen ist, teils einen annähernden Ausdruck für die Fläche finden. Es ist einleuchtend, daß diese Art der Berechnung um so bessere Resultate ergibt, je mehr sich die Kurve einer Geraden nähert, d. h. je schwächer sie sich im Intervall krümmt!), und daß man daher im allgemeinen um so genauere Werte für die Fläche ermitteln muß, in je zahlreichere Streifen man die betrachtete Fläche teilt. Hierfür sei folgendes Beispiel gegeben: 239. Aus der oben im $ 229 erwähnten deutschen Sterbetafel äßt sich hinsichtlich der Zahl der überlebenden Kinder bei Vollen- lung des 20., 25., 30. .... Jahres folgender Auszug machen: Überlebende Überlebende = CN se 38 Q01 36 467 SE 47 167 "92 768 EC ) ‘ x 3f 20 30 40 50 60 | AU 80 90 100 Jahre Fig. 9 1) Auf Grund der verschiedenen Voraussetzungen über die Krümmung der Kurve im Intervall läßt sich eine Reihe verschiedener anderer Quadraturformeln ableiten; da die Ableitung sämtlicher Formeln die Kenntnis von der Infinite- simalrechnung voraussetzt, wird hier nur die Trapez-Formel behandelt; vgl. im äbrigen L. v. Bortkiewicz, Über die Quadratur empirischer Kurven, Skan- dinavisk Aktuarietidskrift, Aarg. IX, Uppsala 1926, S. 4, wo u. a. eine umfang- reiche Sammlung von Quadraturformeln mitgeteilt ist. 358 In der vorstehenden Figur ist das Alter der Abszisse und die Zahl der Überlebenden als Ordinate angesetzt; um die mittlere Lebensdauer für 20-jährige zu berechnen, gilt es, die von der Über- iebenskurve begrenzte Fläche zu ermitteln. Denkt man sich zunächst, daß nur für 20, 60 und 100 Jahre die Zahl der Überlebenden gegeben ist und daß man in den zwei Inter- vallen von 20—60 Jahren und von 60—100 Jahren die Überlebens- kurve durch die mittels der Anzahl von Überlebenden in diesem Alter bestimmte Gerade (welche in der Figur punktiert angegeben wird) ersetzt, dann ist die Fläche (die von den 68201 Personen seit dem 20. Jahre durchlebte Zeit) gemäß der oben angeführten Formel für die Fläche des Trapezes !) A, = 40 (1.68201 + 1-:44814) + 40 (1.44814 + 18), A, = 3156700 Jahre, wonach die gesuchte mittlere Lebensdauer € — =— 46,29 Jahre ist. Teilt man das Intervall von 20 bis 100 Jahren in 4 gleich große Teile und nutzt man die Kenntnis von der Anzahl von Über- lebenden im Alter von 20, 40, 60, 80 und 100 Jahren aus, so ergibt sich analog, daß Az = 20 (1 68201 + 59467 + 44814 + 9773 + 1 8) A, = 2963170 Jahre, A, . ; ® = 68901 — 43,45 Jahre. Wenn man allmählich das ganze Intervall von 20 bis 100 Jahren in stets mehr und kleinere Intervalle zerlegt, erhält man u. a. folgende Resultate: Intervall Mittlere Lebensdauer 40 Jahre 46,29 Jahre 20) 43,45 Tom 43,41 ,, J 43,38 1 Jahr 43,37 Es geht hieraus hervor, daß die Verbesserung der Genauigkeit, die man durch Benutzung von Intervallen von abnehmender Größe erzielt, allmählich kleiner und kleiner wird. Betrachtet man die Werte der mittleren Lebensdauer, die durch Benutzung von Intervallen von verschiedener Größe (h) erzielt werden, als eine 1) Es wird hier die von den 8 Personen, welche das 100. Jahr erreichen, durchlebte Zeit außer Betracht gelassen, da sie ohne jegliche Bedeutung ist, 359 Funktion von h, dann kann man durch Extrapolation zu h = 0 z. B. aus folgendem tabellarischen Auszug aus den oben angeführten Zahlen ersehen, daß die mittlere Lebensdauer auf jeden Fall an- nähernd ebenfalls 43,37 Jahre sein würde, falls man ferner noch die Intervalle so stark begrenzen könnte, daß sie zuletzt die Größe Null hätten: Intervall h . Jahr 5 Jahre ı Jahr 7) 23 10 Jahre Mittlere Lebensdauer für 20-jährige 4337 1,57 43.41 0,0055 1.0060 x 0° 0.0040 3,C00389 72389 0.000389 0.000389 Wünscht man jedoch die mittlere Lebensdauer nicht mit mehr als einer Dezimale zu berechnen, so macht es, wie ersichtlich, keinen Unterschied, ob eine Zerlegung in 10-jährige oder kleinere Intervalle erfolgt und in diesen die Überlebenskurven durch gerade Linien- stücke ersetzt werden. Dies ist ein Resultat, das analog den weiter oben gefundenen Interpolationsresultaten für den Zweck der Interpolation überhaupt charakteristisch ist. 240. Man kann indes nicht erwarten, immer solch gute Re- sultate mit so wenigen Mitteln zu erzielen. Wenn sich die Kurve in dem ganzen betrachteten Intervall nach derselben Seite krümmt, 30 werden die Fehler, die dadurch begangen werden, daß man abteilungsweise die Kurve durch gerade Linienstücke ersetzt, sämt- lich gleiche Vorzeichen haben und nicht, wie im soeben betrachteten Beispiel, auf einer Strecke positiv, auf einer anderen negativ (vgl. Figur 9) sein; es läßt sich dann erst mittels stärkerer Teilung des [ntervalles eine ähnliche gute Übereinstimmung erzielen. Als Beispiel hierfür sei die Bestimmung der von einer variablen Volkszahl in einem gegebenen Zeitraum durchlebten Zeit erwähnt. Oft wird angenommen, daß die Volkszahl in der Mitte der Periode auch als Ausdruck für die durchschnittliche Volkszahl betrachtet werden kann, welche Zahl mit der Periode als Zeiteinheit die von der Bevölkerung in der Periode durchlebte Zeit angibt. Diese An- nahme würde dem entsprechen, daß man für die ganze Periode die 360 Kurve, welche die Variation der Volkszahl wiedergibt, gegen ein gerades Linienstück vertauscht. Wenn diese Annahme Stich hält, dann kann man ebenfalls die durchschnittliche Volkszahl und damit die durchlebte Zeit berechnen, indem ganz einfach die mittlere Zahl aus der Volkszahl zu Beginn und am Schluß der Periode gebildet wird; da jedoch die Rechenmethode voraussetzt, daß die Volkszahl jeden- falls sich annähernd linear verändert, so wird sie in der Regel nur dann verwendbar sein, wenn die Perioden (Intervalle) so klein sind, daß von der Krümmung abgesehen werden kann. Die mit der Zeit erfolgende Variation der Volkszahl wird indes oft durch eine Kurve wiedergegeben werden, die sich im ganzen betrachteten Intervall nach derselben Seite krümmt, und eine Teilung des Inter- valles wird dann oft bei der Berechnung der durchlebten Zeit resp. der mittleren Volkszahl von Bedeutung sein. Aufgabe 70. Auf Grund der in der Tabelle 47 (Seite 350) angeführten Zahlen für den Bevölkerungszuwachs in jedem der Jahre 1911 bis 1915 ist die in diesem Jahrfünft von der Bevölkerung durchlebte Zeit und die mittlere Volks- zahl zu berechnen. Aufgabe 71. Unter Benutzung der in der Aufgabe 66 erwähnten Inter- polationskurve sind die Flächen der zwischen den Ordinaten der Abweichungen +4, +, 423....... usw. gelegenen Streifen zu berechnen und mit den entsprechenden Streifen nach dem Exponentialgesetz (Tabelle 22) zu vergleichen. 241. Wie man zur Berechnung der Größe einer durch zwei Ordinaten begrenzten Fläche notwendigerweise die Möglichkeit voraussetzen muß, durch Beobachtung oder Interpolation beliebig viele Punkte (Ordinaten) der Kurve bestimmen zu können, so hat man, um umgekehrt eine Kurve (Verteilungskurve) finden zu können, welche zwischen gegebenen Ordinaten Flächen von gegebener Größe abgrenzt, vorauszusetzen, daß man sich durch Beobachtung oder Interpolation Kenntnis von der Größe der Fläche zwischen beliebigen Ordinaten, speziell zwischen Ordinaten, welche willkürlich dicht aneinander liegen, verschaffen kann. Unter anderem muß man auch mittels Beobachtung oder Interpolation den Verlauf der Funktion (Kurve) feststellen können, welche die Größe der Fläche zwischen einer festen unteren (oder oberen) Ordinate und die Ordinate angibt, die einer willkürlichen (variierenden) Abszisse entspricht, eine Funktion, die wir kurz die Flächen- funktion (Flächenkurve) nennen können. Beispielsweise ist be- reits in der Tabelle 40 (Kolonne 3) eine solche Flächenfunktion dar- gestellt worden. 361 Wenn man sich durch Beobachtung oder Interpolation unbe- grenzt viele Werte der Flächenfunktion (Punkte der Flächenkurve) verschaffen kann, dann kann man auch leicht die einem beliebigen [ntervall entsprechende Fläche bestimmen. Sind A Personen zwischen 25 und a Jahren, und B Personen zwischen 25 und b Jahren (a < b), dann ist die Anzahl von Personen zwischen a und b Jahren ganz zinfach B—A, Man kann hierbei von der Kenntnis von den Flächen giner Verteilungskurve in gewissen gegebenen Intervallen aus die Größe der Flächen in anderen Intervallen, die sich nicht un- mittelbar aus den gegebenen zusammensetzen lassen, berechnen. Aufgabe 72. Ein Verteilungsgesetz (eine Frequenzkurve) wird in einem Intervall durch eine wagerechte Linie dargestellt. Zeichne die Flächenkurve der Verteilung in dem betrachteten Intervall! Aufgabe 73. Zeichne auf Grund der Tabelle 22 die dem Exponential- gesetz entsprechende Flächenkurve, welche die Größe der Fläche angibt, die links von einer willkürlichen Ordinate der Exponentialkurve liegt; vergleiche ferner diese Kurve mit derjenigen, welche sich ganz analog nach den Zahlen der Ta- elle 1 (S. 109) konstruieren läßt. 242. Als Beispiel geben wir die folgenden der englischen Volks- zählung des Jahres 1901 entnommenen Zahlen bezüglich der Alters- zliederung der Eisenbahnbeamten (railwav officials, clerks): 15— 97 Tob- 25— 35 15— 535— 1. N Zu8. 1000 og Nehmen wir nun an, daß nur bekannt ist, daß sich zwischen 15 und 35 Jahren . . . 602% 35 „ 55 » 2... 309% und über 55 ” .„.. 896, finden, und daß man mittels Interpolation die zwei ersten Alters- klassen in Gruppen von 10 Jahren zu teilen wünscht. Aus den ge- zebenen Zahlen läßt sich dann folgende Tabelle über die der Ver- teilung entsprechende Flächenfunktion bilden: 1 39 55 100 Mittels der Newtonschen Interpolationsformel lassen sich hier- aus drei dividierte Differenzen erster, zwei zweiter und eine dritter Ordnung bilden; läßt man letztere konstant. dann entspricht einem A 362 x — 25 der Wert y = 343, und einem x = 45 der Wert y = 788. Die gesuchte Altersgliederung ist dann: 15—25 Jahre . ... . . 343 %o 25—35 » ..0....259, 35—45 2» 2.0... .18% , 45—55 „123 Die Übereinstimmung mit den faktischen Zahlen ist allerdings nicht vollkommen, aber die Methode gibt auf jeden Fall ein Mittel in die Hand, bei manchen Untersuchungen die Fehler um ein Er- hebliches zu verkleinern. Beispielsweise steigt die Sterblichkeit, wie bekannt, in gewissen Altersperioden stark; wie wir im folgenden Kapitel sehen werden, kann man daher Gefahr laufen, ein weniger richtiges Bild von der Größe der Sterblichkeit als das durch Teilung bei einer Interpolation erzielte zu erhalten, wenn man zu den beobach- teten Zahlen für größere Altersklassen seine Zuflucht nimmt, obgleich die anläßlich der Interpolation erfolgte Teilung natürlich nie wirk- liche Beobachtungen ersetzen kann. Aufgabe 74. Nach der englischen Bevölkerungsstatistik (Supplement to the 75th annual report of the Registrar General) gliederten sich die bei der im Jahre 1911 in England und Wales abgehaltenen Volkszählung gezählten Rechts- anwälte (barristers and solicitors) nach Alter, wie unten angeführt. Ebenfalls ist die Verteilung nach dem Todesalter für die in derselben Bevölkerungsgruppe in den Jahren 1910 bis 1912 eingetretenen Sterbefälle ersichtlich. Anzahl von Volkszahl Sierbefällen 1911 1910 —12 15063 48 16284 93 7430 209 1310 993 4965 258 92016 2302 25—35 Jahre 35—45 45—55 55—65 65—75 über 75 Untersuche, zu welchem Resultat man gelangt, wenn man sich diese Ver- ‚eilung durch Interpolation verschafft, und zwar von der Verteilung auf die Alters- -Jassen 25 bis 45, 45 bis 65 und 65 bis 100 Jahre aus, welche Gliederung aus len angeführten Zahlen erhellt. Wie viele waren im Jahre 1911 am Leben und wie viele starben von 1910 5is 1912 in jeder 5-jährigen Altersklasse von 25 bis 75 Jahren? Aufgabe 75. Finde durch Interpolation in der Tabelle 34 (S. 284), wie- riele %,, der Gemessenen ein Körpergewicht zwischen 51 und 53 kg hatten. 243. Wenn man bei der Interpolation in einer numerisch ge- gebenen Verteilung nicht die eigentliche Verteilungskurve betrachtet, sondern die Interpolation an der dem Verteilungsgesetz entsprechenden Flächenkurve vornimmt, dann wird die Genauigkeit, mit der sich eine Flächenkurve mit einer Parabel irgendeiner Ordnung Vver- » 363 tauschen läßt, dafür entscheidend, in welchem Umfange man auch bei Interpolationen in Verteilungsgesetzen die Newtonsche Formel benutzen kann. In dieser Beziehung nun bieten die Flächenkurven anderen Abhängigkeiten gegenüber keine Besonderheiten, solange es sich um Interpolation über kleinere Intervalle handelt. Hat man es jedoch mit längeren Intervallen und speziell mit längeren Strecken der betrachteten „äußersten“ Intervalle der Verteilung zu tun, in denen gerade oft für die Interpolation Verwendung sein wird, dann bieten die allermeisten Flächenkurven der Verteilungen solche besonderen KEigentümlichkeiten, daß sich die Newtonsche Formel in praxi hier nie anwenden läßt; ein Beispiel möge dieses Verhältnis näher beleuchten. Betrachtet man z. B. die Flächenkurve, welche auf Grund der dänischen Volkszählung im Jahre 1921 angibt, wie viele °/g sämtlicher Männer unter gegebenem Alter x (jünger als gegebenes Alter) waren vgl. Fig. 10), so liegt es auf der Hand, daß die Kurve ständig mit 9 a0 50 60 %U Fig. 10. 80 790 700 wachsendem x steigen muß; andererseits können ihre Ordinaten nicht über 1000 hinaus wachsen. Da die Zulagen, mittels deren die Kurvenordinaten von einer Altersstufe zur nächsten anwachsen, in jedem Fall für die höheren Alter stets kleiner und kleiner werden. — 364 so muß die Alterskurve mit größer werdendem x langsamer und langsamer wachsen und muß um 100 Jahre herum (welches Alter nur äußerst wenige überschreiten) schließlich so gut wie wagerecht sein, d. h. die wagerechte Linie in der Höhe 1000 berühren. Etwas ganz Analoges muß natürlich gelten, wenn man die derselben Alters- gliederung entsprechende Flächenkurve betrachtet hätte, deren Ordi- naten angeben, wie viele %, über (älter als) x Jahre sind, da diese Flächenkurve mit der zuerst betrachteten Kurve hinsichtlich einer wagerechten Linie in der Höhe 500 %, symmetrisch sein muß, Die Kurve muß stets absteigen und schließlich die Abszissenachse in einem Punkte in der Nähe des durch x = 100 Jahre bestimmten Punktes berühren. Überhaupt wird die Flächenkurve, welche einer Verteilung entspricht, in der die extremen Fälle, beispielsweise auch las Exponentialgesetz, selten sind, den hier für die Altersverteilung erwähnten charakteristischen Verlauf aufweisen; und wo es sich um Verteilungen, z. B. um Altersverteilungen handelt, deren Form mit yeringen Ausnahmen durch gleiche Ursachen bestimmt wird, da werden die entsprechenden Flächenkurven oft eine auffallende Gleichheit aufweisen. Wenn man indes mittels Interpolation nach der Newtonschen Formel versuchen will, für die männliche Bevölkerung in Dänemark nach der Volkszählung 1921 den Verlauf der Flächenkurve zu be- stimmen, z. B. von folgenden Daten aus: unter 40 Jahren waren 715% 0 „60 ” 903 , ” 100 2? 2 1000 ” dann findet‘ man mittels der hier möglichen Interpolation zweiten Grades folgende Resultate: unter 80 Jahren waren 998 %/o „ &% „1008 , »„ 90 „1011 , „ 9 » „ 1008 , welche augenscheinlich absurd sind. Und das Ergebnis wird nicht besser, selbst wenn man die Ordinate der Flächenkurve (0,992 °/0o) für x = 80 Jahre kennen und benutzen und an einer Parabel dritten Grades interpolieren würde. Eine einfache lineare Interpolation in jedem der betreffenden Intervalle würde hier Resultate ergeben, welche, ohne gerade befriedigend zu sein, insofern als besser anzusprechen wären, als sie auf jeden Fall nicht die betonte Absurdität aufweisen würden. Eins der bequemsten Mittel zur Überwindung dieser Art Schwierigkeiten ist (wie im $ 232 erwähnt) die Anwendung der gra- 365 phischen Interpolation, wenigstens zur Bestimmung von so vielen Punkten, daß man dadurch auf Intervalle hinunter gelangt, deren Größe nicht die Anwendung der Newtonschen Formel hindert. Ein anderes zu Zeiten verwendbares Hilfsmittel wird weiter unten im S 246 besprochen. Aufgabe 76. Zeichne die den Verteilungen in der Tabelle 28 (Seite 268) und in der Tabelle 40 (Seite 311) entsprechenden Flächenkurven. 244. Wenn man bei direkter Beobachtung oder durch Inter- polation beliebig viele Punkte der Flächenkurve finden kann, dann kann man auch die Flächen zwischen willkürlich dicht aneinander liegenden Aal J 1 90 & } 30 40 50 60 70 Fig. 11. Ordinaten (beliebig schmale Streifen) finden. Zeichnet man hiernach über jedem Teil-Intervall als Grundlinie ein Rechteck von solcher Höhe ?), daß es gerade die dem Teil-Intervall gehörende Fläche enthält, ‘) Hat die Flächenfunktion für x und x + a die Werte A(x) und A(x + a), dann ist die Größe der im Intervall von x bis x+a durch die Verteilungskurve begrenzten Fläche A(x+ a)— A(x):; die Höhe muß demnach ze A sein, d. h. gleich der ersten dividierten Differenz der Funktion A(x) im be- trachteten Intervall. 366 dann wird man aus der dabei erzielten „Treppenkurve“, welche bruch- stückweise aus kurzen, der Abszissenachse parallelen Linienstücken zusammengesetzt ist, ein annäherndes Blid von der Form derjenigen Kurve (Frequenzkurve) erhalten, die zwischen gegebenen Ordi- naten gegebene Flächen abgrenzt; je mehr und je kleinerer Intervalle man sich hierbei bedienen kann, desto leichter fällt es dann dem Zeichner, die Treppenkurve durch eine mehr oder weniger regel- mäßig verlaufende kontinuierte Kurve zu ersetzen. Dies läßt sich unmittelbar bewerkstelligen, wenn die Flächen der Teil-Intervalle durch eine zweckmäßig gewählte Interpolationsformel bestimmt werden können. Werden die Beobachtungen jedoch so sehr in Einzelheiten durchgeführt, daß die Flächen der Teil-Intervalle selbst bei einer weit- gehenden Teilung durch direkte Beobachtung bekannt sind, dann wird man oft Unregelmäßigkeiten der im $ 219 erwähnten Art be- merken, welche die gleichzeitige Vornahme einer (graphischen) Aus- gleichung begründen können; zur Beleuchtung dessen sei auf die vorstehende Fig. 11 hingewiesen, welche die Altersgliederung der bei der dänischen Volkszählung 1921 erhobenen männlichen Be- rölkerung wiedergibt. Da die Altersgliederung direkt für 1-jährige Altersgruppen bearbeitet vorliegt, kann man bei der graphischen Darstellung 1-jährige Intervalle benutzen und erzielt bereits hierdurch ein recht gutes Bild von der Form der Altersgliederung. Aufgabe 77. Eine Flächenkurve ist in einem Intervall durch eine nicht wagerechte Gerade dargestellt; zeichne die der Flächenkurve entsprechende Frequenzkurve. Aufgabe 78. An Margarine wird in Dänemark durchschnittlich jährlich produziert : im Jahrfünft 1901 — € . . 21,13 Mill. kg „ » 1906 — 10 .....228 „ x» . = = r1911—15. .., .42,73 - Finde hieraus mittels Interpolation einen Ausdruck für die Größe der Produktion in den Jahren 1907 und 1916, wo die faktische Produktion jeweils 27110 und 56480 Tons betrug. Zeichne eine Kurve, die das Anwachsen der Margarineproduktion in den Jahren 1901—15 zeigt, und berechne die Margarineproduktion für die Jahre 1904—13 (inel.). Aufgabe 79. Zeichne eine Kurve, deren durchschnittliche Höhe im Intervall 0 bis 1. . . .204 beträgt 1 2....209 2 .,3....24 Wenn der amtliche dänische Lebenshaltungsindex im Juli 1923 (204) als Ausdruck für die durchschnittliche Höhe der Preise in der Zeit vom 15./2. 1923 bis 15./8. 1923 genommen wird und analog die Indices im Januar 1924 (209) 367 und Juli 1924 (214) als Ausdruck für die Preislage in der Zeit vom 15.,8. 1923 bis 15./2. 1924 und vom 15./2. 1924 bis 15./8. 1924 gelten, welches war dann ver- mutlich der Lebenshaltungsindex jeweils am 1./8. 1923, 1./2. 1924 und 1./8. 1924? 245. Wie eine Betrachtung der Figur lehrt, liegt es nahe, die Treppenkurve durch Zeichnung einer kontinuiert verlaufenden Kurve auszugleichen, die sich so nahe wie möglich dem Verlauf der Treppenkurve anschmiegt. In welcher Weise sich eine solche Aus- gleichung vornehmen läßt, das wird im folgenden erörtert werden und natürlich vom Grade der Verwendung der Verteilungskurve ab- hängig sein. Namentlich zum Vergleich zwischen der Form der Ver- teilung in verschiedenen vorliegenden Gruppen wird man in der Regel keiner größeren Genauigkeit bedürfen als derjenigen, die sich mittels dieser Methode erzielen läßt, um bereits dadurch auf Ver- schiedenheiten aufmerksam zu werden, deren Bedeutung sich sonst leicht der Aufmerksamkeit entzöge. Beispielsweise sei folgende Figur 12 angeführt, die nach dieser Methode gezeichnet ist 1 10 220. 30. 40 50 60 70 Fig. 12. and sehr anschaulich ‚die Verschiedenheiten hervortreten läßt, die sich nach der Volkszählung 1921 zwischen der Altersgliederung in ler Hauptstadt (s. die kräftige Kurve), in den Provinzstädten (s, lie punktierte Kurve) und in den Landgemeinden (s. die schwache Kurve) fanden und hinter denen sich Ursachen von so durchgreifendem Charakter verbergen müssen. daß eine nähere Untersuchung ver- 'ohnend erscheint. 368 246. Infolge der oben im $ 243 erwähnten Gleichheit, die sich oft zwischen Flächenkurven findet, welche die Verteilung verschiedener Gruppen nach gleichen Kennzeichen beschreiben, wird die weiter »ben im $ 234 genannte Methode der Interpolation durch zahlen- mäßig gegebene Muster oft auf Resultate Aussicht haben, die sich besser begründen lassen als die mittels graphischer Interpolation erzielten !). Hierfür sei ein Beispiel gegeben: ; Nach der dänischen Volkszählung 1911 war die Zahl der Männer äber 60 Jahre (von einigen über 100 Jahre alten Personen abgesehen) für das ganze Land 122646; hiervon entfielen 14543 auf Kopen- hagen. Die Verteilung nach fünfjährigen Altersklassen war folgende: Dänemark Kopenhagen ‚ 40935 5838 57 387 3890 BF 2478 26 60— 65 Jahre 656— 70. 70— 75 75— 80 30— 8: 835— 90— ' 05— 5 7 Zusammen 122640 „4 543 Hieraus lassen sich die diesen Verteilungen entsprechenden Flächenkurven bestimmen, indem z. B. berechnet wird, wie viele von 1000 Männern im Alter von 60 bis 100 Jahren über x Jahre alt waren; hierdurch gewinnt man die in der Tabelle 48 angeführten Zahlen: über 37 »” ” » ” 15 99 X 60 Jahre 6 9, 95 29 RG Tabelle 48. Dänemark Kopenhagen 599 331 161 In welchem Grade sich die hierbei bestimmten Flächenkurven ähneln, das erhellt aus der Figur 13, in der die Kurven für Däne- mark und Kopenhagen jeweils mit D und K bezeichnet sind. Nehmen wir nun an, daß die vollständige Altersgliederung für das ganze Land bekannt ist, daß man jedoch hinsichtlich der Alters- gliederung der „Alten“ in Kopenhagen nur weiß, daß 14543, d. h. ı H. Westergaard, Die Anwendung der Interpolation in der Statistik, Jahrb. f. N. u. St., III. Folge, Bd. 9, Jena 1895, 8. 183 ff. 369 ca. 70°%0 sämtlicher Männer in Kopenhagen, älter als 60 Jahre sind. Werden diese 70%, anstatt nach der Kurve K nach der Kurve D verteilt, dann findet man als Ausdruck dafür, wieviele % 9 der ge- samten männlichen Bevölkerung Kopenhagens über x Jahre alt waren, 60 bh 95 100 | —. die folgenden in der Tabelle 49 berechneten Zahlen, wo zugleich die faktischen, die sich beim Gebrauch der Kurve K ergeben, zum Ver- yleich angeführt sind. 50 Jahre an Tabelle 49. Berechnet Beobachtet N 35 90 20 Diese Zahlen machen ganz einfach 70°%,g der in der Tabelle 48 jeweils für Dänemark und Kopenhagen angeführten aus. Betrachtet man beispielsweise die Verteilung nach 10-jährigen Altersklassen, so ergibt sich unmittelbar aus der Tabelle 49 folgende Verteilung: 00— 70 Lahr 70— 8 30— 9° 90—100 B über 60 Jahre... . . 70% Westergaard und Nvbolle. Theorie der Statistik. 2. Aufl Berechnet "% Beobachtet 47° 19 4 »” 0, 701 3710 — 247. Diese Interpolation entspricht genau der oben im $ 234 für das Intervall 0 bis 20 Jahre vorgenommenen. Bezeichnet man die Ordinate der bekannten Kurve Dim Punkte (Alter) x mit D(x) und lie Ordinate der Kurve K in demselben Punkte mit K (x), dann beruht die Berechnung wie gesagt darauf, daß man damit gerechnet hat, daß K(x) = D(x). Kennt man indes nicht nur die Anzahl von Männern über 60 Jahre (14543), sondern weiß gleichzeitig, wieviele dieser z. B. unter und über 80 Jahren liegen, d. h. man kennt die Ordinate der Kurve K im Punkte‘ x = 80 Jahre [K (x) = 59%, vgl. Tabelle 48], dann läßt sich ein noch besseres Resultat erzielen, indem K(x) durch D(x) ausgedrückt wird, so daß eine Übereinstimmung nicht nur in dem x = 60, sondern auch in dem x = 80 Jahre entsprechenden Punkte erzielt wird. Beispielsweise setze man K(x) = D(x)-(a + bx) und bestimme die Konstanten a und b in der Weise, daß dieser Ausdruck sowohl für x =— 60 wie für x = 80 mit den beobachteten Zahlen übereinstimmt. Nimmt man der Einfachheit halber das Alter von 60 Jahren ab mit Jahrfünften als Einheit (d. h. x = 0, 1, 2, 3 und 4 — jeweils für das Alter von 60, 65, 70, 80 Jahren usw.), dann ergibt sich nach Tabelle 49 ; Alter x D (x) K (x) 60 Jahre 0 70 70 80 4 6 4 Man bekommt also 70(a + b-0) = 70 6(a+b-4) = 4 ınd hieraus wiederum a = 1undb = — 7 so daß also K(x) = D@+(1— 15% welche Formel dann für x = 0, 1, 2, 3...... folgende Werte für K (x) ergibt Alter 30 65 70 75 80 Bi 85 5 30 6 194. 2. L 7 6 | . “ Kix K (x) 70 43 28 371 Hieraus ergibt sich unmittelbar die in der folgenden Übersicht angeführte berechnete Verteilung; die beobachtete geht aus der Ta- belle 49 hervor. Beobachtet 50— 65 Jahre RO B5— 70 a 70— 75 @ 75— 8 30— » 35—100 — n Zus. über 60 Jahre Wo 70 0 248. Solange die Interpolation von K(x) nicht weiter geführt werden soll als zu Intervallen von der Größe, in der D (x) mittels Beobachtung graphisch dargestellt ist, dann verlangt also die Me- thode, wie oben im $ 234 erwähnt, nicht, daß die Kurve D (x) durch ein algebraisches Polynomium oder durch eine andere Formel aus- gedrückt wird. Bemerken wir ferner, daß die Methode darauf beruht, daß man nicht (wie zuerst getan) durch das ganze Intervall von 60 bis LO0O Jahren das Verhältnis De konstant hält, sondern es linear mit lem Alter variieren läßt, dann ist es ein Leichtes, die Anwen- lung der Methode auch auf solche Fälle auszudehnen, in denen Jurch Beobachtung noch mehr Punkte der gesuchten Interpolations- kurve K(x) bekannt sind. Kennt man z. B. das Verhältnis zwischen K(x) und D(x) in 3 Punkten (z. B. 60, 70 und 80 Jahren entsprechend), dann kann man Den = a + bx + cx? setzen und die Konstanten a, b und c so bestimmen, daß dieses Poly- nomium zweiten Grades mit Den in den 3 Punkten übereinstimmt wonach es zur Berechnung des Wertes des Verhältnisses in neuen Punkten angewandt werden kann. Da es sich hierbei um ein ganzes algebraisches Polynomium handelt, lassen sich diese Be- rechnungen, wie im $ 222 gesagt, am leichtesten mittels eines Diffe- renzschemas durchführen, und die ganze Methode läuft dann auf nichts anderes hinaus als daß man, anstatt die Newtonsche Formel lirekt auf K(x) anzuwenden, diese für das Verhältnis De (vgl. S 216) benutzt. Da wir uns K{(x) natürlich ganz anders durch D(x) ausgedrückt denken können als durch den Quotienten m — 372 dieser Größen, so liegt hier, wie man sieht, eine Mannigfaltigkeit von Möglichkeiten vor. Auf Grund der eigentümlichen Form, in der die Flächenkurven der meisten Verteilungen in den extremen Intervallen verlaufen, wird es sich — speziell durch Inter- polation in diesen — oft verlohnen, den Logarithmus zu DO zu betrachten und zu versuchen, mittels der Newtonschen Formel die Differenz log K—log D durch ein Polynomium irgend einer nicht zu hohen Ordnung auszudrücken. Eine Bedingung dafür, diese und ähnliche Methoden benutzen zu können, ist indes die, daß man durch Beobachtung hinlänglich detaillierte Kenntnis zu Verteilungen ähnlicher Art hat. Benutzt man solche als Vorbild, dann kann man oft nicht nur gute An- näherungswerte finden, sondern wird namentlich Widersinnigkeiten der Art vermeiden, welche die direkte Anwendung der Newtonschen Formel über längere Intervalle mit sich führen kann (vgl. $ 243). Hätte man so in dem im $ 247 behandelten Beispiel, mit den 60, 80 und 100 Jahren entsprechenden Punkten der Flächenkurve für die Altersgliederung in Kopenhagen als Ausgangspunkt, diese Kurve direkt mittels der Newtonschen Formel bestimmt, dann hätte man z. B. für die Ordinate der Flächenkurve im Punkte x = 90 Jahre len Wert 1006 °%,g erhalten, welcher natürlich absurd ist. Aufgabe 80. Nach der dänischen Volkszählung 1921 war die Zahl der Hofbesitzer u. ähnl. (Männer) in den Landgemeinden über 50 Jahre ... .. 24848 60 » 20404. 10041 » 70 2% 204000. 2205 während für die gesamte männliche Landbevölkerung die Zahlen betragen: über 50 Jahre . „ . 168 604 BA 129 678 96 557 65 618 10) 614 21.783 188 an 41€ Y ” au ” ” * - Benutze diese Zahlen für eine Verteilung der 24848 Hofbesitzer nach Jahr- fünften. Aufgabe 81. Nach der Volkszählung 1921 betrug die Zahl der Hofbesitzer x. ähnl. mit einem Jahreseinkommen im Jahre 1920 von mehr als 20000 Kr. .... 302 „ » 50000 ++. 15 „ 100000 373 Nach der Steuerstatistik war in den Landgemeinden die Zahl der Steuer- zahler mit einem Jahreseinkommen im Jahre 1920 von mehr als 20000 Kr A) 2 334 "095 693 J01 275 L65 63 I WW Verteile mittels dieser Zahlen die 302 Hofbesitzer auf dieselben Einkommen- gruppen. 249. Hat man durch Beobachtung oder mittels Interpolation ausreichend detaillierte Kenntnis z. B. von der Verteilung des Ein- kommens nach der Größe, dann muß man auch die Totale (Ein- kommenmasse) finden können, teils der Einkünfte, die auf will- kürlich gegebene Einkommenintervalle entfallen, teils sämtlicher Einkünfte, welche die Verteilung überhaupt umfaßt; wie wir uns eine Kurve vorstellen können, welche die Größengliederung der Einkünfte darstellt, sodaß die zwischen den den Einkünften x, und x, (X; < X) entsprechenden Ordinaten liegende Fläche die Zahl der zwischen x, und x, liegenden Einkünfte angibt, so kann man sich auch eine Kurve C gezogen denken, welche die Verteilung der Einkommenmasse darstellt, sodaß die zwischen der Kurve C und den den beiden willkürlichen Abszissen x, und x, entsprechenden Or- dinaten liegende Fläche die Summe der Einkünfte angibt, welche größer als x,, aber kleiner als x, sind; etwas ganz Entsprechendes gilt natürlich jeder beliebigen Verteilung (Verteilungskurve). Nun läßt sich, wie im $ 124 gesagt, der „Nullpunkt“ für das Kennzeichen (Alter, Einkommen, Körpergröße, usw.), wonach man sich die Einheiten verteilt vorstellt, ganz willkürlich wählen, speziell im Durchschnitt für sämtliche verteilten Einheiten, wenn dieser Durchschnitt erst bestimmt ist; da das Verteilungsgesetz also eben- sowohl ein Ausdruck für die Verteilung nach der Größe des eigent- lichen Kennzeichens wie für die Verteilung der Abweichungen ist, so ist es einleuchtend, daß sich bei hinlänglich genauer Kenntnis der Verteilungskurve nicht nur die Gesamtsumme aller Abweichungen in einem willkürlich gegebenen Intervall, speziell die Summe sämtlicher Abweichungen, finden lassen muß, sondern auch die Totale der Po- btenzen der Abweichungen, d. h. (vgl. $ 125) die Momente der be- trachteten Verteilung um eine beliebige Zahl (Nullpunkt) oder die Summe von Größen, welche in anderer Weise von der Größe der Einheiten abhängen. 374 Hiervon haben wir bereits oben bei der Berechnung der Momente für Verteilungsgesetze häufig Gebrauch gemacht, bei denen das Kennzeichen durch kontinuierliche Größen (Alter, Einkommen USW.) ausgedrückt wurde; bei diesen Berechnungen war die Voraussetzung gerade die, daß das Verteilungsgesetz hinlänglich detailliert vorlag, sodaß man ohne größere Fehler rechnen konnte, als ob z. B. (vgl. $ 178) diejenigen, welche zwischen 161,5 und 162,5 cm maßen, sämtlich 162 cm hoch waren und so auch in anderen Fällen; eine solche Rechenmethode entspricht gerade dem, daß man sich die eigentliche Verteilungskurve, wie im $ 244 erwähnt, gegen eine Reihe hinlänglich schmaler, rechteckiger Streifen vertauscht vor- stellen kann. 350. Wenn man sich indes überhaupt diesen Umtausch vor- genommen denken kann, wird es auch klar, wie man z. B. die Summe (Einkommenmasse) der Einkünfte berechnen kann, welche auf ein gegebenes — hinlänglich kleines — Einkommenintervall entfallen, und deren Anzahl durch die Fläche der über dem Intervall gelegenen rechteckigen Streifen dargestellt wird. Bezeichnet man nämlich die Höhe des Streifens mit y und die Breite mit a, dann ist die Zahl der Einkünfte im Intervall gleich a-y: und bei einer durchschnitt- lichen Größe dieser Einkünfte x ist ihre Totale gleich a-y-x. Zeichnet man nun über dem Teil-Intervall als Grundlinie ein neues Rechteck von solcher Höhe, daß es gerade den Inhalt a-y-x (also die Höhe y-x) erhält, und wiederholt man dies für jedes Teil- Intervall, dann wird die so ermittelte Treppenkurve ein annäherndes Bild der Kurve C ergeben, die zwischen gegebenen willkürlichen Ordinaten eine Fläche abgrenzt, welche die Gesamtsumme der in dem durch die Ordinaten abgegrenzten Intervall liegenden Einkünfte darstellt. Man kann dann auch auf dem Wege fortgesetzter Summie- rung der Flächen aufeinanderfolgender Streifen die der Kurve C entsprechende Flächenkurve bestimmen, deren Ordinaten die Größe der zwischen den Ordinaten einer festen unteren (oberen) und einer variablen oberen (unteren) Abszisse gelegenen Fläche angeben. Bei- spielsweise geben die Zahlen der Kolonne 2 in Tabelle 40 die Flächen der der Einkommenverteilung in Kolonne 1 entsprechenden Ver- teilungskurve C und die Zahlen der Kolonne 4 die dieser Kurve ent- sprechende Flächenfunktion an. Da die Kurve C in dem der Abszisse x entsprechenden Punkte die Ordinate (Höhe) y-x hat, wenn die eigentliche Verteilungskurve von der Höhe y ist, dann kann man auch die Kurve C bestimmen, indem für alle Werte von x, für welche y bekannt ist, y:x berechnet 375 wird, und danach, wie im allgemeinen die Fläche einer Kurve be- stimmt wird (vgl. 8 238), die Flächen und die Flächenkurve der Kurve C feststellen. Aufgabe 82. Zeichne auf Grund der Tabelle 40 die der Verteilung der Einkommenmasse entsprechende Flächenkurve. 251. Wir führen als Beispiel das folgende, zu dem wir im VII. Kapitel zurückkehren, an. x möge die Abweichung in einem Exponentialgesetz mit dem mittleren Fehler == 1 bezeichnen. Für y ergibt sich dann (vgl. $ 108) 1 — 1x? V2x“ Wie groß ist beispielsweise die Gesamtsumme und der Durch- schnitt der Abweichungen, welche größer als 1,13, aber kleiner als 1,91 sind? Teilt man das Intervall von 1,20 bis 1,90 in Stücke von der Größe 0,1, so erhält man insgesamt (die Intervalle 1,13 bis 1,20 und 1,90 bis 1,91 mitgerechnet) 9 Teil-Intervalle. Die Abszissen der Endpunkte dieser Intervalle sind in der folgenden Tabelle 50 (Ko- jonne x) angeführt. Zugleich ist die Höhe der Exponentialkurve ‘Kolonne y) in den Teilungspunkten angegeben, und in Kolonne C finden sich die hieraus berechneten Werte von xy (die Ordinaten ler Kurve C). In Kolonne B sind ferner die nach der Trapez- Formel ($ 238) berechneten Flächen der betrachteten Intervalle an- geführt, und in Kolonne A (die Flächenfunktion) findet man die Summen (von oben) der Teilflächen. Die Gesamtfläche der Kurve C in dem betrachteten Intervall ist also = 0,146. Tabelle 50, C 3,236 1233 Ä 113 1,20 L,30 L40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 31 lu ),023 SP 0929 10393 a pr J,0610 0,0812 0,0998 0,1165 0,1317 0,1451 0.1463 JG ),.C20 —_ 0,019 0,017 0,015 0,013 9.091 % 0,100 0,117 0,132 0,145 3.146 ef m Ü} 65. 9,079 0,066 D.064 0,142 0.125 . 719292 - 376 — Da hier die Kurve C durch die Formel yy= A Ui Z==X°‘)Y = Van ® bestimmt ist, so lassen sich ihre Flächen natürlich mit beliebiger Genauigkeit finden, und zum Vergleich mit der bei obiger an- nähernden Bestimmung erzielten Genauigkeit ist in Kolonne A’ mit 4 richtigen Dezimalen die Größe der gleichen Flächen wie in der Kolonne A angegeben; wenn man nicht die Fläche mit mehr als 3 Dezimalen zu bestimmen wünscht, dann ist es also — wie hier getan — ausreichend, Intervalle von der Größe 0,1 zu betrachten. 252. Da die zwischen den Abweichungen 1,13 und 1,91 durch das Exponentialgesetz begrenzte Fläche nach der Tabelle 22 gleich 0,101 wird, so ist also der Durchschnitt der zwischen 1,13 und 1,91 liegenden Abweichungen, wenn sich diese exponentiell verteilen, g = No = 1,45, während man, wenn die Abweichungen gleich- mäßig im Intervall verteilt gewesen wären (die Verteilungskurve also eine Wagerechte wäre), für g ganz einfach die Mitte des Inter- valls, d. h. 1,52 bekommen hätte. In einem Intervall von der hier betrachteten Größe darf man also kaum damit rechnen, daß der Durchschnitt der Abweichungen des Intervalls dem Mittelpunkt des Intervalls zustrebt. Wird dagegen z. B. das kleinere Intervall von 1,40 bis 1,50 betrachtet, dann findet man für die Abszissen in diesem Intervall einen Durchschnittswert, welcher mit 3 richtigen Dezi- malen 1,449, also sehr annähernd die Mitte 1,45 ergibt. Ganz entsprechenden Verhältnissen begegnet man natürlich immer, wenn die Einheiten, deren Verteilung betrachtet wird, nicht gleichmäßig verteilt sind; so weist z. B. die Altersgliederung für eine Bevölkerung (Bevölkerungsgruppe) in der Regel — namentlich wenn sie im Anwachsen ist — eine Gravitation gegen die niedrigere Altersgrenze eines Altersintervalls aus. Ansell‘) z. B. hat durch direkte Beobachtung gefunden, daß die durchschnittlich seit dem letzten Geburtstage verflossene Zeit ein halbes Jahr weniger 6 Tage, also anstatt 0,500 Jahr 0,484 Jahr ausmache; und für die Einkommen- verteilung, die, wie im $ 204 gesagt, sehr asymmetrisch ist, geht aus der Tabelle 40, deren Zahlen ebenfalls auf direkter Beobachtung beruhen, hervor, daß der Durchschnitt der auf die benutzten Ein- ?) Statistics of Families, London 1874, 8. 12. 307 kommenintervalle verteilten Einkünfte von den Mitten der Inter- valle erheblich abweicht; es ergeben sich nämlich folgende Zahlen: Intervall Mitte Durchschnitt L000— 1500 Kr. 1250 Kr 1194 Kr. i 500— 2000 ., 175° 1672 , 2000— 3000 , 2 2375 , 3 .000— 4000 |, 35V 3381 4 000— 5.000 ,, 4RC 4366 „ 5C00—10000 ., 7500), 6451 10 000—20 000 ,, 15000 13200 „ Daß nun dieser Unterschied bei fortgesetzter Teilung der Inter- valle beliebig reduziert werden kann, ist ebenso klar wie daß der Fehler, den man dadurch begeht, daß man in einem gegebenen Inter- vall die Verteilungskurve als wagerecht betrachtet, beliebig begrenzt werden kann, indem mit hinlänglich kleinen Intervallen gerechnet wird. Auf dieser Tatsache fußt man in der Regel bei der Berech- nung der Momente für eine gegebene numerische Verteilung (vgl. 5 178) und bedient sich ihrer ebenfalls, wenn die graphische Dar- stellung der Verteilungskurve beabsichtigt ist (vgl. $ 244). 253. Was hier bezüglich der Berechnung der Gesamtsumme und des Durchschnitts g der Abweichungen, Einkünfte, Alter, Körpergrößen usw. in einem gegebenen Intervall entwickelt ist, wo die Verteilung dieser Einheiten über das Intervall bekannt ist, das gilt nun nicht bloß von der Summe SZy-x der Einheiten, sondern auch von der Summe Sy: u(x) der Werte, welche eine Größe u(x), die in irgend einer Weise von g abhängt, für alle Werte von x in dem betrachteten Intervall an- nimmt. Diese Summe wird sich in ähnlicher Weise mittels der Fläche einer Kurve darstellen lassen, deren Ordinaten in dem durch die Abszisse x bestimmten Punkte die Höhe y-u(x) haben; wenn diese Fläche berechnet ist, dann läßt sich die zum Intervall gehörende durchschnittliche Größe g(u) von u(x) in der Weise feststellen, daß man die gefundene Summe durch die „Anzahl“ von Addenden di- vidiert, welche durch die entsprechende Fläche der Verteilungskurve largestellt wird. Ist z. B. die Quadratsumme Sy - x? aller Abweichungen zwischen 1,13 und 1,91 in einem Exponentialgesetz mit einem mittleren Fehler zleich 1 gesucht [d. h. u(x) = x?], dann muß diese Aufgabe im all- zemeinen so gelöst werden, daß man (wie oben mit der Berechnung von y-x begonnen wurde) hier mit der Berechnung des Wertes von — 378 y-x? für eine Reihe Werte von x im Intervall anfängt und danach die Fläche der Kurve berechnet, deren Ordinaten gleich y-.x? sind: für diese Fläche (Quadratsumme) ergibt sich 0,216 und für den Durchschnitt g(u) = g(x?) aller Werte von x? in diesem Intervall also g(u) = De = 2,14. Wie bei der oben vorgenommenen Be- 3 rechnung der Summe der Abweichungen und von g(x), so gilt auch hier, daß, mit je zahlreicheren kleineren Intervallen man rechnen kann, ein desto genaueres Resultat sich ergibt; es ist daher oft von Bedeutung, daß man — entweder mittels direkter Beobachtung oder Jlurch Interpolation — der Form der Verteilungskurve auch dann Ausdruck verleihen kann, wenn das Intervall in viele Teile zer- ‚egt wird. Aufgabe 83. Eine Warenmenge, die sich so wie die bei der Berechnung des amtlichen dänischen Lebenshaltungsindex zugrundeliegende Menge zusammen- setzt, kostete bei sich gleichmäßig über das Winterhalbjahr 1./10. 1924 bis 1./4. 1925 erstreckenden Einkäufen insgesamt 2000 Kr. Finde durch Interpolation an der Preiskurve und anschließende Flächenberechnung, was die gleiche Warenmenge im Winterhalbjahre 1./10. 1925 bis 1./4. 1926 kosten würde, teils bei gleichmäßig ver- teilten Einkäufen, teils bei einem mit Rücksicht auf den Preisfall in passender Weise durch das Halbjahr hindurch möglichst hinausgeschobenen Einkauf der gleichen Warenmenge. Es wird angenommen, daß (vgl. Aufgabe 79) die folgenden Indices: Juli 1924... ... 214 Januar 1925. . .. . . .221 Juli 1925. -. . 219 Januar 1926 . . 1°4 Juli 19926 . „184 als Ausdruck für die Höhe des Preisniveaus am 1./6. 24, 1./12. 24, 1./6. 25, 1./12. 25 und 1./6. 26 angesprochen werden können. Aufgabe 84. Berechne durch Interpolation in der Tabelle 40 die Ein- kommengrenze, über der 10%, der Einkünfte liegen, und den Durchschnitt der über dieser Grenze liegenden Einkünfte. Dieselbe Frage in bezug auf 5 Prozent der Einkünfte.. 254. Es geht aus dem Obigen hervor, daß z. B. die Verteilung der Einkommenmasse mit der Verteilung der Einkünfte gegeben sein muß. Die Abhängigkeit besteht, wie im $ 250 gesagt, darin, daß, wenn die Ordinate der die Verteilung der Einkünfte dar- stellenden Kurve gleich y, die Ordinate der die Verteilung der Ein- kommenmasse darstellenden Verteilungskurve (Kurve C) gleich y-x ist. Da indes die Einkommengliederung mit einer tabellarischen Übersicht über. die Verteilung der Einkünfte auf eine in der 379 Regel kleine Anzahl Intervalle endlicher Größe nicht endgültig yegeben ist, und weil man daher nur kraft einer Hypothese mittels Interpolation zur Verteilung auf andere als die gegebenen Intervalle gelangen kann, läßt sich oft daraus Nutzen ziehen, daß man außerdem lie Verteilung der betreffenden Einkommenmasse auf dieselben Inter- valle (vgl. z. B. Tabelle 40) kennt; die Verbindung, die zwischen der Verteilung der Einkünfte und der Einkommenmasse besteht, kommt in dieser Tabelle dadurch zum Ausdruck, daß die auf ein gegebenes Intervall entfallenden Einkünfte, wie im $& 252 bewiesen, zwischen den Grenzen des Intervalls liegen. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, kann man die zur Benutzung beabsichtigte Interpolationskurve wählen, so daß sie in einem ge- zebenen Intervall nicht nur die richtige Anzahl von Einkünften, sondern auch die richtige Einkommenmasse abgrenzt, und damit Interpolationsergebnisse erzielen, die sich in höherem Grade auf lie vorliegenden Beobachtungen stützen (oder mit ihnen überein- stimmen). Eine ganz ähnliche Aufgabe liegt bei der Interpolation in einer Tabelle vor, die z. B. die Verteilung der feuerversicherten Gebäude nach Versicherungssummen und die gesamte Versicherungs- summe der auf jedes der benutzten Intervalle entfallenden Objekte angibt. Beispiele für die Behandlung dieser Art von Aufgaben sind ım Anhang gegeben. D. Ausgleichungsmethoden. 250. Bereits im $ 245 wurde gesagt, daß es nahe liege, eine zraphische Ausgleichung der in der Figur 11 wiedergegebenen Treppenkurve in der Absicht vorzunehmen, eine die betreffende Altersgliederung darstellende Frequenzkurve zuwegezubringen; selbst wenn es auf rein mathematischem Wege möglich wäre, eine Ver- k‚eilungskurve von der Eigenschaft zu bestimmen, daß sie in jedem der betrachteten einjährigen Intervalle gerade die von der Figur an- yedeuteten Flächen (die Anzahl) abgrenzte, dann müßte die hiermit verbundene — übrigens recht erhebliche — Arbeit auf Grund der Fehler, welche den Beobachtungen selbst, ja der Beobachtung eines 30 relativ einfachen Kennzeichens wie des Alters anhaften, als ganz umsonst betrachtet werden, Schon eine Betrachtung der der Figur zugrundeliegenden Zahlen deutet darauf hin, daß solche Fehler tatsächlich vorhanden sind; diese können jedoch übrigens in verschiedener Weise festgestellt werden. Wie im S 58 gesagt. wird u. a. das Alter oft für einen — 380 — gewissen kleineren Teil der Bevölkerung nicht angegeben sein, wie sich auch oft eine Tendenz zur Anhäufung um die runden Alters- jahre findet. Bei gewissen Beobachtungsreihen kann es die Vermutung des Vorliegens von Fehlern natürlich mit sich führen, daß man vorzieht, yanz neue Beobachtungen anzustellen, um dabei die Fehler zu ver- meiden. Im allgemeinen läßt sich eine solche direkte Methode indes keineswegs anwenden, entweder weil die betreffenden Beobachtungen gar nicht mehr gemacht werden können oder weil man keine be- gründete Hoffnung darauf haben kann, die Beobachtungen zu ver- bessern, oder — was die Regel ist — weil die mit der Erhebung verbundene Arbeit zum erzielten Resultat in grobem Mißverhältnis steht. Beispielsweise würden die Verbesserungen, die sich erzielen ließen, wenn man eine völlig fehlerfreie Bearbeitung der Alters- gliederung einer Bevölkerung vornehmen könnte, bei den allermeisten der Verwendungen, die man von dieser Verteilung machen könnte, aine durchaus untergeordnete Rolle spielen. Zur „Verbesserung“ einer vorliegenden Beobachtungsreihe steht hiernach in den meisten Fällen kein anderer Ausweg offen als der mit Ausgleichung bezeichnete. Solche Ausgleichung läßt sich in der Regel auf mannigfaltige Weise vornehmen, und von dem Gebrauch, den man von den ausgeglichenen Zahlen zu machen wünscht, wird es dann abhängen, welche Methode anzuwenden ist. 256. Bei manchen Aufgaben und namentlich bei solchen, die keinen besonderen Grad der Genauigkeit erfordern (vgl. z. B. Fig. 12), liegt es nahe, die Ausgleichung graphisch vorzunehmen; wie bei der graphischen Interpolation, so werden die Beobachtungen als eine Reihe von Punkten in ein Koordinatensystem angesetzt, wonach man eine Kurve zu zeichnen sucht, von der anzunehmen ist, daß sie den Sachverhalt wiedergibt; jetzt zeichnet man jedoch so, daß die Kurve nicht gebunden ist, gerade durch die angesetzten Punkte zu gehen. Betrachtet man beispielsweise die in Figur 11 abgebildete Treppenkurve, so läßt sich diese graphisch in der Weise ausgleichen, daß man eine Kurve möglichst durch die Mitten der über jedem Intervall gezeichneten wagerechten Linienstücke zu ziehen sucht. Was die mit dieser Methode verbundene Willkür anbetrifft, so gilt dasselbe, was oben in Verbindung mit der graphischen Inter- polation gesagt wurde. Da die Möglichkeit der Willkür nur ein anderer Ausdruck ist dafür, wie mangelhaft die Kenntnis der Form 381 der fehlerfreien Kurve ist, im übrigen aber dieser mangelhaften Kenntnis genau entspricht, so ist die Ausgleichung im allgemeinen nicht ganz willkürlich. In dem betrachteten Beispiel muß man jedenfalls die Kurve so zu zeichnen suchen, daß die Summe der ausgeglichenen Werte so nahe wie möglich gleich der Summe der gegebenen wird, und auch in anderer Weise werden die Möglichkeiten der Willkür in der Regel begrenzt sein. Selbst wenn mehrere unabhängig von- einander vorgenommene graphische Ausgleichungen der Figur 11 etwas verschiedene Resultate zeitigen werden, so verbleibt anderer- seits ein gewisser, sämtlichen Resultaten gemeinsamer Teil des In- haltes der Beobachtungen als Gemeinausdruck für den wesentlichen Inhalt des Beobachtungsmaterials, während andererseits eine Be- trachtung der Verschiedenheiten einen anschaulichen Ausdruck für lie Genauigkeit ergeben wird, die sich auf dem Wege einer solchen Ausgleichung erzielen läßt. Man kann daher auch oft — wie oben yesagt — bei graphischer Ausgleichung Resultate erreichen, bei denen man in vielen Fällen stehen bleiben kann. 257. Sehr oft wird es ebenso wie bei der Interpolation (vgl. S 216) nützlich oder gar notwendig sein, die Ausgleichung nicht an den beobachteten Zahlen selbst vorzunehmen, sondern dagegen an einer passend gewählten Funktion von dieser. Beispielsweise läßt sich ein Teil der Unregelmäßigkeiten, denen die Treppenkurve in der Fig. 11 Ausdruck verleiht, auf die recht verschiedene Größe der Geburtenmengen, von denen die am Stichtag einer Altersgruppe zugerechneten Personen herrühren, zurückführen. So wurden z. B. im Jahre 1866 in Dänemark 57353 Kinder, 1867 nur 54763 Kinder geboren, und insofern ist zu erwarten, daß es z. B. bei der Zäh- lung im Jahre 1911 mehr 44-jährige (28 965) als 43-jährige (28018) Personen gab. In untenstehender Tabelle 51 ist für eine Reihe L-jähriger Altersklassen ein Vergleich zwischen der Größe der Ge- burtsjahrgänge und der Anzahl der bei der Volkszählung 1911 für jeden dieser Jahrgänge gezählten Personen vorgenommen. Bei dieser Berechnung ist davon abgesehen, daß die Volkszählung nicht am l. Januar, sondern erst am 1. Februar des Jahres 1911 stattfand, daß also die 36 225, welche am Stichtag 35 Jahre alt (d. h. zwischen 35 und 36 Jahren) waren, in der Zeit vom 1. Februar 1875 bis 31. Januar 1876 geboren sind; diese Zahl entspricht also nicht ganz der Anzahl der im Kalenderjahre 1875 Geborenen. Von diesem Fehler abgesehen, würden die Zahlen «(x) = > angeben, ein wie 382 Tabelle 51. Geburtsjahr „(U 1874 1873 1872 871 1870 869 ‚868 867 866 865 864 863 ‚862 861 860 ‚859 ‚858 1857 L856 Der Jahrgänge ld nn MAMAS rn | Volkszahl Alter 1./2. 1911 1./2. 1911 | b x 61 791 59 324 58 616 57 274 56 407 56 472 54 056 56 546 54 763 57 353 55 434 52 884 53 939 Ä2J17 CL 747 54.797 "92 AG 36 225 33 443 32 621 33 820 29 846 31 502 29 587 29 367 28018 28 965 27 284 26473 26 216 "89€ U S8E 26 516 93° 2 u” 25. 5 Jahre | »” ” 6 ? 2»? 2” 7 5 x Ks BL O4 Der Quotient b a == a(x) 0,5862 0,5637 0,5565 0,5905 0,5291 0,5578 0,5473 0,5193 0,5116 0,5050 0,4922 0,5006 0,4860 0,4696 0,4593 0,4857 0,4632 0,4636 0,4479 0.4534 großer Bruchteil der in den verschiedenen Kalenderjahren Geborenen am 1./2. 1911 am Leben waren, falls keine Wanderungen statt- gefunden hätten. Da die Wanderungen wahrscheinlich nicht nur einen einzelnen Jahrgang treffen, sondern sich über eine Reihe von Lebensjahren verteilen, so kann man rechnen, daß die letzte Kolonne einen regelmäßigeren Verlauf als Kolonne b haben wird, wenn die Unregelmäßigkeiten in dieser allein von. den Schwingungen in den Geburtszahlen!) herrührten, und daß daher die von unrichtigen Altersangaben stammenden Unregelmäßigkeiten durch die Quotienten x(x) klarer zum Ausdruck kommen als in der Kolonne b. Analog dem im $ 58 Gesagten deuten die Zahlen in. der Ko- lonne b darauf hin, daß man sich bei Angaben über Alter oder Ge- burtsjahr mit Vorliebe runder Lebensjahre bedient (vgl. z. B. die relativ große Anzahl von Personen, welche 1870 und 1860 als Ge- burtsjahr angeben und also bei der Zählung 1911 jeweils 40 und 50 Jahre alt waren). Daß sich diese verhältnismäßig große Anzahl nicht allein durch die relativ große Geburtenzahl erklärt, geht aus der ') Da auch die recht schwankende Größe der Kindersterblichkeit (vgl. 8 199) auf die Zahlen a(x) einwirken kann, so würde man bei Berücksichtigung eines solchen Einflusses einen noch regelmäßigeren Verlauf erwarten können. 383 Tabelle hervor, und die entsprechenden Quotienten a(x) sind denn auch relativ groß. Genau so, wie oben mit den absoluten Zahlen für jeden Geburten- jahrgang (jede Altersklasse) getan ward, kann man eine graphische Ausgleichung der mit e(x) bezeichneten Zahlen vornehmen, und werden danach die so gefundenen, ausgeglichenen Werte von «(x) mit den Zahlen der Kolonne a multipliziert, dann findet man eine neue Reihe ausgeglichener Werte für die Volkszahl der einzelnen Geburtenjahrgänge. Während bei der direkt an der absoluten Zahl der Personen jeder Altersklasse vorgenommenen Ausgleichung nicht zwischen den Unregelmäßigkeiten, die von den Schwankungen in der jährlichen Geburtenzahl, und denen, welche von fehlerhaften Altersangaben herrühren, unterschieden wird, geht die der Ausgleichung der relativen Zahl (x) zugrunde liegende Theorie darauf hinaus, daß die sich in diesen relativen Zahlen spiegelnden Unregelmäßigkeiten im wesentlichen von fehlerhaften Altersangaben verursacht sein müssen, and daß diese Zahlen daher einen gewissen regelmäßigen Verlauf aufweisen müssen, wenn der Fehler beseitigt ist. 258. Die graphische Ausgleichung erfordert also wie jede andere Ausgleichung eine Theorie (vgl. $ 218); diese Theorie geht bei graphi- scher Ausgleichung im allgemeinen nur darauf aus, daß eine Zahlen- reihe einen gewissen regelmäßigen Verlauf aufweisen soll, ohne daß etwas Näheres darüber gesagt ist, worin diese Regelmäßigkeit bestehen zoll; es ist dabei gleichgiltig, ob man die Ausgleichung direkt an den beobachteten Zahlen oder an von diesen abgeleiteten Zahlen vornimmt. Hinter der Forderung der Regelmäßigkeit liegt jedoch oft eine Vorstellung davon, daß die ausgeglichene Zahlenreihe als irgendeine Funktion (Abhängigkeit) betrachtet werden könne. Man kann daher mitunter die verlangte Regelmäßigkeit mit Hilfe irgendeiner Inter- polationskurve zuwege bringen. Werden z. B. die im Vorher- gehenden behandelten Beispiele betrachtet, dann bestehen die Fehler, welche die Ausgleichung beseitigen sollte, darin, daß ein Teil der- jenigen Personen, welche runden Lebensjahren zugerechnet worden sind, richtiger den benachbarten Jahren zuzurechnen wären. Man zann dann damit rechnen, daß der wesentlichste Teil der Fehler verschwindet, wenn man die Zahlen zu fünfjährigen Altersklassen: 38 is 43, 43 bis 48, 48 bis 53 Jahre usw. zusammenfaßt, und es bleibt lann nur noch eine erneute Fünfteilung dieser Intervalle. so daß die 384 dabei erzielte Verteilung auf einjährige Altersklassen nicht die be- obachtete Anhäufung, sondern einen passenden regelmäßigen Verlauf aufweist; und dies läßt sich dadurch erreichen, daß man die Fünf- teilung mittels einer einfachen Interpolationskurve vornimmt. Wie bei der graphischen Ausgleichung kann diese Ausgleichung entweder direkt an den beobachteten Zahlen oder an hiervon abgeleiteten Zahlen vorgenommen werden. Betrachtet man beispielsweise die durch die Zahlen «(x) in der Tabelle 51 bestimmte Verteilung auf einjährige Altersklassen, dann zrhält die dieser Verteilung entsprechende Flächenfunktion, welche angibt, wie] viele Personen: zwischen 35 und x Jahre alt waren, für x = 35, 43, 48 und 55 folgende Werte, die man unmittelbar durch fortgesetzte Aufsummierung von oben her erhält und welche als einigermaßen fehlerfrei angenommen werden können: 3A 43 48 55 y 0 4,4504 6,9458 10.1885 Durch Interpolation in dieser Tabelle kann man dann den Wert der Flächenfunktion y für x = 36, 37, 38 ..... 54 Jahre und da- bei eine ausgeglichene. Verteilung auf einjährige Altersklassen be- stimmen. Bei Benutzung der Newtonschen Formel, und mit der dritten dividierten Differenz, die aus der Tabelle erhellt, als Kon- stante, erhält man für die beobachteten Zahlen «a(x) folgende aus- geglichene Zahlen: Alter 35 Jahr Ar > rl 9x 34 Beobachtete Ausgeglichene Zahlen Zahlen 5862 5931 56 7 53817 5 5707 5603 5502 5406 5313 5225 5141 5062 Alter 15 Jahre © 54 I 2” x Beobachtete Ausgeglichene Zahlen Zahlen 4922 4987 5006 4915 4860 4849 4696 4786 4593 4.728 4857 4674 4632 4624 4636 4578 4479 4537 4534 4500 Es ist noch zu untersuchen, ob die in dieser Weise ausge- glichenen Quotienten «(x), wenn sie mit den Geburtenzahlen der Kolonne a in der Tabelle 51 multipliziert werden, Volkszahlen er- geben, deren Summe mit den beobachteten Volkszahlen übereinstimmt. Eine solche Untersuchung ergibt folgendes Resultat: 385 Alte Beobachtete Ausgeglichene T Zahlen Zahlen 35—43 Jahre 256411 256532 43—48 136 056 136 975 18—55 174 687 174 657 Zusammen 568 054 568 164 Der Gesamtfehler beträgt also nur 2 von 10000, eine Ab- weichung, die in der Praxis keine Rolle spielt. Wo sich die Newtonsche Formel anwenden läßt, hat man also eine bequeme und gleichzeitig elementare Ausgleichungsmethode, die recht gute Resultate zeitigen kann. Bedingung der Anwendbarkeit ist augenscheinlich die, daß man die Summe einer Reihe beobachteter Zahlen für richtig annehmen kann, selbst wenn die einzelnen Zahlen mit Fehlern behaftet sind. Aufgabe 85. Nach der Volkszählung in Irland im Jahre 1851 war die Verteilung auf die unten angeführten einjährigen Altersklassen folgende: 37 ‚Jahre BR Par 27 100 3° 500 5 ; 400 ‘ - 100 300 700 500 500 Je 5 700 ” .- 56 „41800 Verteile mittels einer Ausgleichung die Anhäufung um die runden Altersjahre. 2359. Bei einer ganz anderen Art von Ausgleichungsmethoden der sogenannten mechanischen Ausgleichung — nimmt die Theorie eine womöglich noch unbestimmtere Form an. Nur die ainfachste dieser Methoden, von denen sich eine Menge Varianten !) aufstellen lassen, sei daher an dieser Stelle besprochen. Allen ge- meinsam ist, daß man sich eine ausgeglichene Zahl u(x) als Ersatz für eine beobachtete « (x) sucht, indem u(x) linear durch eine Reihe ler aufeinander folgenden beobachteten Werte ausgedrückt wird. Betrachtet man beispielsweise aufs neue das Verhältnis «(x) in der Tabelle 51, so läßt sich diese Reihe von Zahlen in der Weise ausgleichen ?), daß jede der Zahlen «(x) durch den Durchschnitt aus ?) Siehe z. B. E. Blaschke, Vorlesungen über mathematische Statistik, Leipzig 1906, S. 229f., wo spezielle Formeln von Woolhouse, Karup, Sprague, Higham u. a, behandelt sind. Zu den mechanischen Ausgleichungsformeln läßt sich auch eine von Blaschke (Die Methoden der Ausgleichung von Massen- erscheinungen, Wien 1893) — obgleich mit einer besonderen Begründung — an- zegebene Ausgleichungsmethode rechnen; vgl. ferner E. Czuber, Wahrschein- lichkeitsrechnung, Band II, Leipzig 1910, S. 185 f. ‘\ Vgl. z. B. Wittstein, Mathematische Statistik, Hannover 1867, S, 30. Westergyaard und Nyboelle, Theorie der Statistik. 2. Aufl. 3 — 386. — den beiden vorhergehenden, &«(x) selbst und die zwei nachfolgenden, ersetzt wird, so daß also der ausgeglichene Wert von «(x) a(x—2) + a(x— 1) + «(z) + «(x +1) + «(x +2) (8) ergibt. Beispielsweise wird das dem Geburtsjahre 1873 entsprechende Verhältnis 0,5565 (s. Tabelle 51) dabei durch 0,5862 + 0,5637 + 0,5565 -+ 0,5905 + 0,5291 2,8260 AU Of — - TS 3 = 0,5652, ersetzt, und so fort für sämtliche übrigen Zahlen der betrachteten Kolonne. Man ist auf diese Methoden gekommen, indem man be- merkte, daß die Reihe der bei solchen Bildungen von Durchschnitts- zahlen erzielten Zahlen einen gleichmäßigeren Verlauf als die |be- obachteten aufweisen. Führt die Methode dann nicht gleich zu einem befriedigenden Ergebnis, kann man aufs neue die Operation an der gefundenen Reihe vornehmen. Es ergibt sich, daß man mittels dieser Methode für die beiden ersten und letzten Zahlen in der Reihe ausgeglichene Werte nicht bekommen kann; für diese Zahlen müssen daher besondere Ausgleichungen verwandt werden, wenn man nicht die beobachteten Zahlen selbst beibehalten will. Es ist klar, daß man auch bei Durchschnittsbildungen von 3 oder 7 oder von einer anderen ungeraden Anzahl von aufeinander folgenden Werten sich analoge Methoden beschaffen kann. Bildet man dagegen Durchschnittszahlen aus einer geraden Anzahl von auf- einander folgenden Werten, so ist einem die Anzahl von Malen, in der die Wiederholung der Operation beabsichtigt ist, nicht freige- stellt, da die Operation dann eine gerade Anzahl Male und wenigstens zweimal zu wiederholen ist. Wenn beispielsweise das Mittel aus zwei aufeinander folgenden Zahlen der Werte «(x) in der Tabelle 51 genommen und diese Ope- ration sechsmal wiederholt wird, dann gelangt man zu’ folgenden Resultaten: Beobachtete Ausgeglich Alter Zahlen Zahlen 6 35 Jahre 5862 5862 5637 5743 5565 5673 5905 5619 53291 5549 3578 5473 5473 5382 5193 5261 5116 5140 5050 5049 % 7. 2” ” LE 22 9 +" 387 Daß eine Ausgleichung stattgefunden hat, sieht man sofort; sie ist jedoch anscheinend recht unvollkommen, was u. a. aus einer Be- rechnung der Differenzen zwischen den ausgeglichenen Werten hervorgehen wird. 260. Man hat in verschiedener Weise die verschiedenen mecha- nischen Ausgleichungsmethoden zu begründen versucht; zugunsten der oben betrachteten Methode, die auf einfacher Durchschnitts- bildung aus einer kürzeren oder längeren Reihe von aufeinander folgenden beobachteten Werten fußt, kann man z. B. bemerken, daß das Mittel aus einer ungeraden Zahl von äquidistanten und gerad- linig verlaufenden Funktionswerten gerade den mittelsten der be- nutzten Werte ergeben wird. Wenn man daher den regelmäßigen Verlauf einer Reihe von Werten als eine Funktion betrachtet, die man sich in einem hinlänglich kleinen Intervall annähernd durch ein gerades Linienstück dargestellt denken kann, dann wird die Bildung von Durchschnitten keine Veränderungen verursachen, So- fern die benutzten Werte tatsächlich linear verlaufen: weisen die Werte dagegen Abweichungen von diesem Verlauf auf, dann er- zeben sich bei der Bildung von Durchschnittszahlen Werte, die in lem Maße, wie die Abweichungen als zufällig bezeichnet, als ver- besserte (ausgeglichene) Werte der beobachteten betrachtet werden können. Es geht hieraus hervor, daß das Gelingen einer mechanischen Ausgleichung teils davon, daß man mit ausreichend kleinen Inter- vallen rechnet, teils davon, daß die Fehler, mit denen die beobach- ;jeten Werte behaftet sind, durch und durch ein zufälliges Gepräge aaben, abhängt. Die erste Bedingung wird oft nicht mit hinlänglich guter An- aäherung erfüllt sein; wenn man nämlich bei der Bildung von Durch- schnitten von vielen Nachbarwerten Gebrauch macht, kann es leicht vorkommen, daß das diese Werte umfassende Intervall so groß ist, daß die Funktion (Kurve) hier eine deutliche Krümmung (Kon- zavität oder Konvexität) aufweist; die dann erhaltenen Durchschnitts- werte werden folglich jeweils zu klein oder zu groß ausfallen, und im allgemeinen ist man bei dieser Art von Aufgaben gerade nicht Herr über die Größe der Intervalle, mit denen man rechnet. Auch die zweite Bedingung wird in vielen Aufgaben Schwierig- keiten bereiten; in dem oben behandelten Beispiel, wo die Unregel- mäßigkeiten vermutlich einer vorherrschenden Ursache, nämlich den ınrichtigen (abgerundeten) Altersangaben, zuzuschreiben sind, ist die DR 388 Bedingung so weit von ihrer Erfüllung entfernt, daß man hierin die Erklärung dafür suchen kann, daß selbst eine sechsmal wiederholte mechanische Ausgleichung nur mäßige Resultate ergibt. Und in ähnlicher Weise wird die Ausgleichung der in der Praxis vor- kommenden Aufgaben verlaufen. Es ist überhaupt ein wesentlicher Mangel bei allen mechanischen Ausgleichungsmethoden, daß sie die eine Zahl genau wie die andere ohne Berücksichtigung der speziellen Verhältnisse behandeln; rein zufällige Fehler werden in derselben Weise ausgeglichen wie nicht zufällige, und größere Unregelmäßig- keiten wird man daher in der Regel nicht ganz durch solche Me- thoden beseitigen können. Solche Einwände hindern natürlich nicht, daß die mechanische Ausgleichung gute Resultate wird zeitigen können, wenn die oben angeführten Bedingungen mit hinlänglicher Annäherung als erfüllt angenommen werden können. 261. Wenn der Ausdruck, den man der der Ausgleichung zu- grunde liegenden „Theorie“ verleihen kann, sich nicht näher prä- zisieren läßt, als es in den oben behandelten Beispielen geschehen ist, dann wird man, wenn es überhaupt wünschenswert oder not- wendig ist, eine Ausgleichung vorzunehmen, auf Methoden dieser Art angewiesen sein. Anders liegen dagegen die Dinge, wenn sich, wie im $ 218 gesagt, die Theorie so ausdrücken läßt, daß die be- abachteten Größen gewisse Relationen befriedigen sollen. Der einfachste dieser Fälle liegt dann vor, wenn die Theorie darauf hinausgeht, daß die beobachteten Zahlen sämtlich dieselbe Größe haben sollen, was u. a. bei wiederholter Messung eines Körper- gewichts, der Entfernung zwischen zwei Punkten (z. B. einer Weg- strecke) usw. der Fall ist. Selbst wenn man sich in solchen Fällen wenigstens das Gewicht, die Entfernung usw. konstant denkt, werden die Messungen im allgemeinen nicht dasselbe Resultat ergeben, wenn sie zu dem Zweck wiederholt werden, möglichst große Genauigkeit zu erzielen. Der Grund hierzu ist der, daß nicht nur die Größe des zu messenden Gegenstandes, sondern viele verschiedene mehr oder weniger bedeutende Nebenumstände bei der Vornahme der Messung für das bei jeder einzelnen Messung erzielte Resultat entscheidend sein werden. Das einzelne Meßresultat ist somit. analog dem KEr- gebnis beim Glücksspiel von einer Reihe von Umständen abhängig, deren Gesamtwirkung teils auf Grund ihrer Anzahl, teils auf Grund mangelnder Kenntnis der Art und Weise ihres Einwirkens unbe- 380 rechenbar ist und bald in der einen, bald in der anderen Richtung liegen kann; auch lehrt die Erfahrung, daß Meßresultate und damit die ihnen anhaftenden Fehler jedenfalls bei gut durchgeführten Messungen als sich exponentiell verteilend angenommen werden können. Wenn größere oder sogar ganz entscheidende Abweichungen von der exponentiellen Verteilung vorkommen, wird dieses Ver- hältnis analog der Beschreibung im III. Kapitel darauf deuten, daß sich unter den Umständen, welche entscheidend gewesen sind, mehr als eine vorherrschende findet (vgl. $ 163), die man bei passender Teilung der Beobachtungen wird ausscheiden können (sogenannte systematische Fehler). Darf man voraussetzen, daß eine solche Ausscheidung statt- gefunden hat und daß nur zufällige Fehler vorliegen, Fehler, die also sämtlich dem gleichen Exponentialgesetz folgen, dann geht un- mittelbar aus dem in den $$ 153—158 Entwickelten hervor, wie und in welchem Sinne sich die Ausgleichung vornehmen läßt. Be- zeichnet man die einzelnen Meßresultate (bei N Malen) mit Ay) Ay Ay 0000000 Ar dann kann man das arithmethische Mittel O0 = a 2 A ADBBBER!: als präsumptiven Wert für die gesuchte Größe und die Abweichungen Z-— 31, B— Ay ..0....0 Z-— AN als zufällige Meßfehler betrachten, während man als Ausdruck für die Genauigkeit, mit der in dieser Weise die gesuchte Größe be- stimmt ist, den mittleren Fehler A! erhält. wo ı x ai)? 3 x Diese Methode läßt sich indes in anderer Weise ausdrücken: Hat man nämlich den ausgeglichenen Wert z. B. gleich g‘ gesetzt, dann würden auch die Abweichungen (Fehler) 8‘ — 3, 8’ — d&.......8'— 3x und damit deren Quadratsummen wie auch u und 4, andere Werte bekommen haben, die nach dem im $ 127 (Formel III) Entwickelten größer werden mußten, einerlei, ob g’<g gewählt war. 390 Man würde daher denselben ausgeglichenen Wert und dieselbe Reihe von Korrektionen (Fehlern) finden, wenn man den ausge- glichenen Wert g als denjenigen bestimmte, welcher den kleinsten mittleren Fehler oder was auf dasselbe hinausläuft, die kleinste Quadratsumme von Abweichungen (vgl. $ 131) ergab. 262. Die Möglichkeit, auf diese Weise die an den ausgeglichenen Wert gestellte Forderung umschreiben zu können, wird von Be- deutung, wenn man zu Aufgaben übergeht, bei denen die Theorie nicht die oben genannte — möglichst einfache — Form annimmt. Als Beispiel hierfür können wir einen Augenblick die oben be- handelte Aufgabe, die in der Tabelle 51 berechneten Verhältnisse x(x) auszugleichen, betrachten; da diese Verhältnisse in groben Zügen eine mit wachsendem Alter abnehmende Zahlenreihe bilden, kann man die Abhängigkeit, die zwischen dem Alter x und dem entsprechenden Wert des Verhältnisses z = (x) besteht, durch irgend eine passend gewählte Funktion von x ausdrücken; wird hierzu beispielsweise die lineare Funktion Ax—+B gewählt, dann geht die Theorie darauf aus, daß sich die fehlerfreien Verhältnisse «(x) mit hinlänglicher Annäherung durch eine solche lineare Funktion darstellen lassen. Zur Bestimmung der beiden Konstanten A. und B erhält man indes insgesamt 20 Gleichungen, eine für jede der vorliegenden Be- obachtungen; in ähnlicher Weise geht es im allgemeinen, wenn die Theorie verlangt, daß sich sämtliche Beobachtungen durch eine einzige Formel von gegebener Form ausdrücken lassen sollen, die gewisse unbekannte, aber gesuchte Konstanten enthält, deren Zahl n — falls von einer Ausgleichung die Rede sein soll — kleiner als die Anzahl der Beobachtungen, N, ist; man erhält mehr Gleichungen, als Unbekannte da sind. Da es nur ganz ausnahmsweise n Zahlen geben wird, die auf einmal sämtlichen N Gleichungen genügen, so muß die Aufgabe dahin geändert werden, daß man solche Werte für die n unbekannten Konstanten sucht, welche so annähernd wie irgend möglich die N Gleichungen befriedigen. Diese werden dann nur annäherungs- weise genügen, d. h., die Werte o‘, welche die Formel für die N Be- obachtungen (die ausgeglichenen Beobachtungen) ergibt, werden yewisse größere oder kleinere Abweichungen o‘'—0o den faktisch 301 vorliegenden Beobachtungen 0 gegenüber aufweisen, welche Ab- weichungen dann die Größe der Fehler, mit denen man sich die Beobachtungen behaftet denkt, wenn eine Übereinstimmung mit der Theorie erzielt werden soll, angeben. Solche n Werte für die n Konstanten, welche „so annähernd wie irgend möglich“ den N Gleichungen genügen, zu finden, ist indes eine ganz unbestimmte Aufgabe. Will man untersuchen, eine wie gute Übereinstimmung mit den beobachteten Werten eine gegebene (even- tuell willkürlich gewählte) Menge von Werten für die n Konstanten ergibt, dann muß man die Größe der N Abweichungen o‘— 0 oder, näher bestimmt, die Größengliederung dieser N Abweichungen unter- suchen; wenn es möglich wäre, die Konstanten der Theorie so zu bestimmen, daß eine vollständige Übereinstimmung zwischen Theorie und Beobachtung zustande käme, dann würde die Streuung (der mittlere Fehler) dieser Verteilung gleich Null sein, da dieser mittlere Fehler durch u? = - - nie bestimmt wird; und da die Übereinstimmung zwischen der Theorie und den Beobachtungen daher als um so besser angesehen werden kann, je kleiner diese Streuung ist, so kann man als Ausgleichungs- prinzip die Forderung stellen, daß die Konstanten der Theorie so zu bestimmen sind, daß die Quadratsumme ler Abweichungen o'—0o so klein wie möglich wird, Einzelne Beispiele der Anwendung dieses Prinzips — der Me- thode der kleinsten Quadrate — sind unten angeführt; während wir in gegenwärtiger Darstellung im übrigen nicht auf eine nähere Darlegung der namentlich von C. Fr. Gauss!) entwickelten Methode, ihrer Eigentümlichkeiten und Verwendungen *), eingehen können, sei an dieser Stelle nur bemerkt, daß man sich natürlich auf andere Weise die Forderung der bestmöglichen Übereinstimmung zwischen Theorie und Beobachtung erfüllt denken könnte (vgl. weiter unten). Wenn man sich indes so einrichtet — und dazu wird man im allgemeinen imstande sein —, daß der theoretische Ausdruck für die Beobachtungen hinsichtlich der gesuchten Konstanten ersten Grades wird, dann hat die „Methode der kleinsten Quadrate“ nicht 1) Vgl. die Fußnote S. 49. ?) Siehe hierüber z. B. J. F. Steffensen, Matematisk Iagttagelseslere, Kobenharn 1923, S. 136. — 392 nur besonders einfache und leicht ausführbare Berechnungen, sondern auch andere Vorteile hinsichtlich der Beurteilung der Ausgleichungs- resultate im Gefolge. Es ist z. B. folgendes hervorzuheben: ebenso wie man mittels des arithmetischen Mittels einer Reihe wiederholter, direkter Messungen nur zu einer präsumptiven Bestimmung der ge- suchten Größe gelangen, andererseits aber durch den mittleren Fehler des Durchschnitts die erzielte Genauigkeit beurteilen kann, so werden überhaupt immer die Werte, die eine Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate für die gesuchten Kon- stanten ergibt, ebenfalls als präsumptiv aufzufassen sein, so daß die Genauigkeit, mit der sie als bestimmt gelten können, durch den mittleren Fehler der ausgeglichenen Werte der Konstanten ausge- drückt wird. Ohne auf die Berechnung dieser mittleren Fehler ein- zugehen, wollen wir jedoch erwähnen, daß diese mittleren Fehler bei linearer Form der Theorie dem oben angeführten mittleren Fehler proportional sein werden, der durch Sa 0)? 1 x — bestimmt ist, und daß man ferner gerade dazu gelangt, die Konstanten so zu bestimmen, daß die hierin eingehende Quadratsumme ein Mi- nimum ergibt, wenn man als Ausgleichungsprinzip fordert, daß die mittleren Fehler der ausgeglichenen Konstanten so klein wie möglich sein sollen. Schließlich wird die Art und Weise, in der sich die mittels der Ausgleichung bestimmten Abweichungen o'— 0 verteilen, für die Frage nach dem Charakter der Beobachtungsfehler ent- scheidend sein. In dem Grade, wie sich diese Verteilung der ex- yonentiellen Form nähert, lassen sich die auf dem Wege der Aus- gleichung bestimmten Fehler auch in der oben benutzten Bedeutung als zufällig betrachten, während größere oder entscheidende Ver- schiedenheiten auf die Anwesenheit systematischer . Fehler — möglicherweise auf die Unhaltbarkeit der Theorie — hindeuten ($ 164). 263. Über die in der Bevorzugung der Methode der kleinsten Quadrate vor jeder anderen Methode liegende Willkür lassen sich nach dem hier Gesagten eben solche Bemerkungen machen, wie wir es im $ 163 hinsichtlich der Wahl des mittleren Fehlers als Ziel zufälliger Abweichungen taten; auch steht dem nichts im Wege, sich andere Prinzipien der Ausgleichung aufzustellen. Betrachtet man z. B. die Verhältnisse «(x) in der Tabelle 51 und stellt man 393 sie sich in ein Koordinatensystem, das das Alter als Abszisse hat, eingetragen vor, dann läßt sich die Ausgleichungsaufgabe im allge- meinen so formulieren, daß es eine Gerade zu legen gilt, welche so wenig wie möglich von den angesetzten Punkten abweicht. Die Methode der kleinsten Quadrate legt dies „so annähernd wie irgend möglich“ in der Weise aus, daß, wenn die Gleichung der Geraden y = Ax+B ist, A und B so zu bestimmen sind, daß die Summe der 20 Quadrate [Ax + B — a (x)]? möglichst klein wird. Das unbestimmte „so annähernd wie irgend möglich“ könnte indes z. B. auch so verstanden werden, daß A und B so zu bestimmen sind, daß die Summe der Quadrate der 20 Entfernungen, die man dadurch findet, daß von den 20 Punkten Senkrechte auf die gesuchte Gerade gefällt werden, ein Minimum wird; es würde zu weit führen, hier näher auf diese oder andere ähnliche Methoden!) einzugehen; jedoch sei bemerkt, daß man im allgemeinen bei beiden Methoden nicht ganz zu demselben Resultat gelangt. 264. Als Beispiel für die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate können wir die oben behandelte Aufgabe über die Aus- gleichung der Altersgliederung auf Grund der Volkszählung 1911 vornehmen; wir sehen dabei von dem übrigens nicht unwesentlichen Umstande ab, daß die Fehler hier zum Teil systematischen Charakters sind. Da die im $ 262 erwähnte Möglichkeit, «(x) nach einer Ge- raden auszugleichen, eine Aufgabe ist, zu der wir weiter unten auf allgemeinerer Basis zurückkehren, so wollen wir im Anschluß an die im $ 258 vorgenommene Ausgleichung hier den Zusammenhang zwischen dem Alter x und den entsprechenden Zahlen nach einer Funktion zweiten Grades, a(x) = a + bx + cx?, auszugleichen suchen, wo man dann a, b und c so zu bestimmen sucht, daß die Quadratsumme der 20 Abweichungen a + bx + cx? — a(x) so klein wie möglich wird. Erhebt man diesen Ausdruck in die zweite Potenz, so ergibt sich a? + bl.x? + c?.x1 + (a(x))? + 2abx + 2acx? — 2a a(x) + 2becx? — 2bxa(x) — 2ecx?a(x), 1) Vgl. E. C. Snow, On restriceted lines of eclosest fit ete. Philosophical Magazine. Ser. 6. Vol. XXI. London 1911. 8. 367 £. — 394 ea und denken wir uns allmählich die 20 Komplexe von zusammen- gehörigen Werten von x und a(x) eingesetzt und die 20 Ausdrücke summiert, so wird die Quadratsumme durch a, b und c mittels folgenden Polynomiums ausgedrückt: 20a? + b?Sx? + c?Xx1 + S(al(x))? + 2ab 3x + 2acIx? — 2a Zal(x) + 2bc x? — 2b Ixa(x) — 26 Ix’a(x). Hier sollen Xx?, 3x‘, S(a(x))? usw. aus den Zahlen der Tabelle 51 berechnet werden; etwas einfacher gestalten sich jedoch die Be- rechnungen, wenn man die Altersskala 35, 36, 37, ...... 44, 45, 46 ...... 53, 54 durch —19,— 17, —15......—1, +1, +3......17, 19 arsetzt, indem man dann für Xx und Xx? den Wert Null erhält; setzt man der Kürze halber Xx?=— A, Xxt= B, Salx)= U, Sxo(x) =D, Sxla(x) = E, Sa(x))?= F, 30 nimmt das Polynomium (die Quadratsumme) die Form 20a? + Ab? + Be? + F + 2Aac — 2Ca — 2Db — 2Ec an: der Wert dieses Polynomiums hängt von der Größe von a, b und c ab, und es gilt, diejenigen Werte für a, b und c zu finden, für die der Wert des Polynomiums möglichst klein wird. Bemerken wir jetzt, daß ein ganz willkürliches Polynomium zweiten Grades Pu? + Qu + RR, wo P, Q und R gegebene Zahlenkoeffizienten sind, deren Wert un- abhängig von u ist, stets in der Form Q \* Q? P (u + 2) + R — AP geschrieben werden kann, so ist ersichtlich, daß das Polynomium den Wert RS annimmt, wenn u = — Zn und daß der Wert, den das Polynomium für einen beliebig anderen (größeren oder kleineren) Wert von u annimmt, stets größer werden muß, wenn P >00. Ordnet man daher den gefundenen Ausdruck für die Quadrat- summe z. B. nach Potenzen von a, so erhält er die Form 20a? + a(2Ac — 2C) + Ab? + Be? + F — 2Db — ZEc, und der Wert von a, für welchen die Quadratsumme ein Minimum ist, muß also der Gleichung 395 2Ac — 2C 2.20 genügen, da hier P= 20 und Q = 2Ac —2C. Wenn danach die Quadratsumme nach Potenzen von b und € geordnet wird, erhält man analog D A 2Aa— 2E 3B Aus diesen 3 Gleichungen lassen sich a, b und c finden, wenn man aus den Zahlen der Tabelle 51 die Werte von A, B, C, D und E berechnet hat, für welche Größen man A =2 -1330 = 2660 B=2.317388 = 634776 C= 101885, D — — 96 603, E — 13654893. findet. Für b ergibt sich sofort m 96 603 ı * — 5660 — 36,317, während a und c aus den beiden anderen Gleichungen zu finden sind, nämlich 20a - 2660c = 101 885 2660a + 634 776c = 13 654 893, a — 5044,6 und c= 0,371; für «(x) erhält man also a (x) =5044,6 — 36,317x + 0,371x?. Setzt man nach und nach = —19, —17, —15......—1, +1, +3......17% 19, dann ergeben sich die in der folgenden Übersicht als ausgeglichene Werte bezeichneten Zahlen; die beobachteten Zahlen sind vergleichs- halber angeführt: Alter ”»9bachtete Jahre Werte 3 wonach "sgeglichene Werte 563 a 41872 4809 1748 1690 1635 1583 1534 {480 5673 5579 53489 3401 5317 5235 5157 53031 ) 3 3:8 3303 5116 50:30 57 4632 4636 4479 4534 5 4 396 Die hier gefundenen ausgeglichenen Werte stimmen ganz gut mit den oben im $ 258 mittels der Newtonschen Formel gefundenen Zahlen überein. Für die Altersklassen 35 bis 43, 43 bis 48 und 48 bis 55 Jahre sei zum Vergleich folgende zusammengefaßte Über- sicht gegeben: Ausgleichung Jahre nach der Methode der nach der B te kleinsten Quadrate Newtonschen Formel Sn 35—43 44 332 44 504 43—48 25 058 24 954 18—55 32 488 32 427 Zusammen 101 878 101 885 44 504 24 954 32 427 101 885 Hier stimmen natürlich die beobachteten Zahlen mit den nach der Newtonschen Zahlen ausgeglichenen überein, weil man bei dieser Ausgleichung gerade diese Zahlen zugrunde gelegt hat (vgl. $ 258). Faßt man dagegen zu den fünfjährigen Altersgruppen 35 bis 40, 10 bis 45, 45 bis 50 und 50 bis 55 Jahre zusammen, so ergeben sich folgende Zahlen: Ausgleichung Jahre nach der Methode der nach der B eobachtete kleinsten Quadrate Newtonschen Formel n 35— 40 28379 28 560 10—45 26191 26 147 15-—50 24.377 2“ DAR 50—55 22 931 Zusammen 101 878 28 260 26410 24.077 23 138 101 885 Aufgabe 86. Gleiche die Logarithmen der in der Tabelle 17 angeführten Wahrscheinlichkeiten als eine Parabel zweiten Grades aus, bestimme danach die mittlere Zahl und den mittleren Fehler der ausgeglichenen Verteilungskurve und vergleiche das Resultat mit den nach dem Binomialgesetz erwarteten Werten für dieselben Größen. Aufgabe 87. Wenn das Paretosche Gesetz für die Einkommen verteilung wie log y = A + Blogx yeschrieben wird, wo x das Einkommen ist und y entweder als die Zahl der x übersteigenden Einkünfte oder als die Einkommenmasse, welche von den x über- steigenden Einkünften stammen, dann ist auf Grund der Tabelle 40 die Größe der Konstanten A und B mittels einer Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate zu bestimmen. Vergleiche danach die Werte von y, welche die Formel ergibt, mit den beobachteten. 365. In einem vorhergehenden Kapitel wurde die Frage der Korrelation zwischen zwei Beobachtungsreihen behandelt, und im S 145 erwähnten wir speziell die einer gegebenen Korrelationstabelle entsprechenden Regressionskurven und die Methode, mittels der sich diese Kurven berechnen und in ein Koordinatensystem einzeichnen 397 ließen, wenn die Korrelationstabelle gegeben war. Da der Zweck der Aufstellung einer Korrelationstabelle in erster Linie der ist, nicht nur der mittleren Zahl (die Regressionslinien) der bedingten Verteilungsgesetze Ausdruck zu verleihen, sondern überhaupt die Form dieser Verteilungsgesetze zu untersuchen (insbesondere zu untersuchen, ob diese mit hinlänglicher Annäherung als exponentiell detrachtet werden können, in welchem Falle dem mittleren Fehler der bedingten Verteilungsgesetze besondere Bedeutung zukommt), so wird die Aufstellung des Beobachtungsmaterials in einer Korrelations- tabelle zwecklos sein, es sei denn, daß dieses Material so umfang- reich ist, daß man mit leidlicher Annäherung jedenfalls die mittlere Zahl und den mittleren Fehler der bedingten Verteilungsgesetze aus der Tabelle berechnen kann. Häufig wird indes das Beobachtungsmaterial gerade so stark begrenzt sein, daß es nicht nur leicht, sondern überhaupt besser ist, geradezu die zusammengehörigen Beobachtungen paarweise anzugeben, anstatt auf Grund der Beobachtungen eine eigentliche Korrelations- tabelle aufzustellen (vgl. Aufgabe 46 und 47%). Selbst wenn man dann keine vollständigere Untersuchung der Eigentümlichkeiten der Korrelation vornehmen kann, so kann man sich doch auf jeden Fall einen vorläufigen Überblick über den Zusammenhang zwischen den zwei beobachteten Kennzeichen verschaffen, indem jede einzelne Beobachtung als ein Punkt in ein Koordinatensystem angesetzt wird, wo die beobachteten Kennzeichen als Abszisse und Ordinate benutzt werden. Bei vielen Untersuchungen wird die Korrelation so ausgeprägt sein, daß die angesetzten Punkte, anstatt sich an- scheinend zufällig über den Zeichenplan zu zerstreuen, sich in größerem oder geringerem Grade gleich den Gestirnen der Milch- straße um irgend eine Kurve sammeln und dabei ausdrücken werden, daß auf jeden Fall ein gewisser Zusammenhang vorliegt (vgl. $ 146). In solchen Fällen kann man einen annähernden Ausdruck für die Regressionskurven und damit einen gewissen Einblick in die Be- Sschaffenheit der Korrelation gewinnen, wenn für diese Kurven eine Gleichung von irgend einer passenden Form gewählt und danach die Konstanten der Gleichung auf dem Wege der Ausgleichung so be- stimmt werden, daß die gewählte Kurvenform so nahe wie möglich lurch die angesetzten Punkte geht. Wir wollen uns hier auf den einfachsten Fall beschränken, nämlich den, wo sich die Regressions- Kurven nach der Annahme als Geraden mittels einer Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmen lassen. 398 Die Anzahl der Punkte (Beobachtungen) sei n, und die Ko- ordinaten dieser Punkte seien mit (X; Yı), (X, Yo) ... (Xi, yı) ... (Xn, Yn) bezeichnet. Schreibt man zuerst die Gleichung der Geraden wie y'=ax+b, dann wird ax; + b im allgemeinen von y; abweichen, und man kann dann die Konstanten a und b so zu bestimmen suchen, daß die Wuadratsumme der n Abweichungen ax; + b— yi ein Minimum wird. Erhebt man diesen Ausdruck zur zweiten Potenz, dann ergibt sich ax? + b? + yı? + 2abx; — 2ax:yı — 2byi; werden hier nun allmählich für x; und yı die Koordinaten der ge- gebenen Punkte eingesetzt und danach die n Ausdrücke addiert, dann erhält man als Ausdruck für die Quadratsumme von Abweichungen folgendes Polynomium: a?3x? + nb? + 2y? + 2abIx — 2aZxy — 2bZy. Setzt man der Kürze halber 3x? = A, 2y?=B, 3xy= CC, Xx=D, 3y=E, welche Summen sich alle aus den gegebenen Koordinaten (siehe weiter unten) finden lassen, dann erhält man den Ausdruck Aa? + nb? + B + 2Dab — 2Ca — 2Eb. Wird dieses Polynomium zuerst nach Potenzen von a und danach nach Potenzen von b geordnet, dann nimmt es folgende Formen an: Aa? + a(2Db — 2C) + nb? + B — 2Eb nb? + b(2Da — 2E) + Aa? + B — 2Ca. Diejenigen Werte von a und b, für welche die Quadratsumme ein Minimum wird, muß dann (vgl. oben $ 264) den Gleichungen AZ 2Db — 2C 2A 2Da — 2E D == — A In genügen, welche man ebenfalls wie folgt schreiben kann: Aa +Db= CC Da + nb = EEE, und hieraus findet man 3900 Al, A E p= 2) N DC ‘'% .‚n. a und b und die ausgeglichene Gerade sind dadurch bestimmt. Bezeichnet man jedoch die mittleren Zahlen und den mittleren Fehler der sämtlichen Werte x und der sämtlichen Werte y, die sich aus den gegebenen Beobachtungen berechnen lassen, mit jeweils X= m, +44, und y= m, + 44, während der Korrelationskoeffizient, welcher sich aus den Beob- achtungen berechnen läßt. mit r bezeichnet wird, dann ist NM A UT and umgekehrt erhält man dann u * + 441? n B 2 = m? + mw? a Me Ma © 2 = UT + mm, D E a — = Mo. n n Werden diese Werte in die für a und b gefundenen Ausdrücke eingesetzt, dann erhält man a=—r 2 nd b=em-—r Cm U My] so daß die Gleichung für die gesuchte Gerade, YyY=ax-+bh, lie Form 4 U Y—mMm =r"(x—m 44 ı) annimmt, woraus hervorgeht, daß die gefundene Linie durch den Schwerpunkt der eingetragenen Beobachtungen geht, der die Ko- ırdinaten (m, m,) hat und wo der Koeffizient 2, welcher die 400 Neigung der Linie bestimmt, gewöhnlich als Regressions- koeffizient bezeichnet wird. Schreibt man die gefundene Gleichung so, daß Y—-mz_ „X— m Ur Us dann erhellt, daß, wenn die Kennzeichen x und y von ihren be- züglichen mittleren Zahlen als Nullpunkt aus und mit ihren je- weiligen mittleren Fehlern als Einheit gemessen werden, und die Zahlen, mittels denen die Kennzeichen dann ausgedrückt werden, die Bezeichnungen «x und ß erhalten, die Gleichung die Proportio- nalität von «x und ß ausdrückt, da ß durch Multiplikation von &« mit jem Korrelationskoeffizienten r gefunden wird. Die Gleichung der Geraden könnte indes auch wie X =3ay-+b geschrieben werden, und die Konstanten a und b ließen sich auch so bestimmen, daß die Quadratsumme der Abweichungen ayı — b— x; ein Minimum ergibt. Bei Anwendung der im obigen Falle prakti- sierten Methode ergibt sich dann eine Gerade von der Gleichung y—-m 1 x—m,, Tr A4 ) Ha diese Gerade geht ebenfalls durch den Schwerpunkt der eingetragenen Beobachtungen, jedoch mit einer anderen Neigung, da 6 zwar wie vorher mit « proportional ist, jetzt aber durch Multiplikation von x mit 1 gefunden wird. Aufgabe 88. Gleiche die Zahlen a(x) in der Tabelle 51 mit Hilfe der Methode kleinster Quadrate nach einer Geraden aus und vergleiche die aus- yeglichene Altersgliederung mit der beobachteten, Aufgabe 89. Finde diejenigen Werte von a und b, die möglichst yenau den Gleichungen a + 6b= 9.9 a — 3b = 03 a— b= 1% a + 2b == 52 genügen. 266. Bereits im $ 145 wurde der Fall, wo sich die Korrelation zwischen zwei Größen als normal bezeichnen ließ, als besonders einfach hervorgehoben, da sämtliche bedingten Verteilungen wie die marginalen Verteilungen hier exponentiell und die Regressionslinien gerade waren. Ferner würde die ganze Korrelation auch dann be- 401 stimmt sein, wenn man außer den marginalen Verteilungen (welche in diesem Falle vollständig durch ihre mittleren Zahlen und mittleren Fehler bestimmt werden) zugleich den Korrelationskoeffizienten r kennen würde; diese Größen nun sind gerade diejenigen, welche ben mit Mı, 44, Mo, 4 und r bezeichnet wurden; und an die mittels dieser Größen gefundenen Gleichungen knüpft sich das besondere Interesse, daß in einer nor- malen Korrelation, deren marginale Verteilungen die mittleren Zahlen und die mittleren Fehler von jeweils m, + uw, und m, + w haben und deren Korrelationskoeffizient r ist, die Gleichungen der Re- gressionslinien dieser Korrelation gerade denjenigen der bei der obigen Ausgleichung gefundenen entsprechen. Wenn man von den Ergebnissen anderer Untersuchungen über lieselben Kennzeichen aus oder in anderer Weise annehmen darf, daß die Korrelation mit hinlänglicher Genauigkeit als exponentiell ‘normal) betrachtet werden kann, dann kann man nach dem oben Entwickelten die bei der Ausgleichung bestimmten Geraden als annähernde Ausdrücke für die Regressionslinien der Korrelation be- 'rachten; dies besagt, daß der Wert, den man für einen gegebenen Wert von x (respektive y) für y‘ (resp. x‘) aus Y = m. + 2, (x— m, } Mr res = U y— pP. X = mM; + Ti (Y — m, arhält, die durch den gegebenen Wert von X (resp. y) bedingte nittlere Zahl für y (resp. x) darstellt. Wird ferner die Quadratsumme der Abweichungen zwischen den den gegebenen Abszissen x; entsprechenden beobachteten Ordi- naten yıi und den ausgeglichenen Ordinaten. also die Quadratsumme ler Abweichungen Yı— yı =D + (x — m) — Yis 1 vestimmt, dann erhält man für diese Quadratsumme den Wert n 43(1— 72), indem man die oben gefundenen Werte für a und b in das Poly- nomıium Aa? + nb? + B + 2Dab — 2Ca — 2Eb »insetzt, welcher Wert der kleinste ist, den dieses Polynomium für Westerraard und Nybolle. Theorie der Statistik, 2. Autl. Di — 402 irgend ein Wertepaar von a und b annehmen kann. Berechnet man dagegen die minimale Quadratsumme der Abweichungen { Xi — Xi= MW; + rOM(yı — Mm) — Xi, 9 so ergibt sich n- 44 2(1— r?). Die mittleren Fehler us und u, in den Verteilungen der Ab- weichungen (y4y:) — und (xii— xi) sind also Us = V1— 1? und 44 = 4 V1-—-r? der (vgl. $ 156) Us — U Vazıvi —r* und {4 = wV— ;V1 —r% falls n nicht so groß ist, daß man von dem Unterschied, den diese zwei Rechenmethoden im Gefolge haben, absehen kann. 267. Darf man — wie bisher stets vorausgesetzt — annehmen, daß sich der beobachtete Zusammenhang mit hinlänglicher Genauig- zeit durch eine normale Korrelation beschreiben läßt, dann bean- spruchen die Fälle, wo der Korrelationskoeffizient entweder nahe ei Null oder nahe bei + 1 liegt, ein besonderes Interesse, Ist nämlich r = 0, dann nehmen die Gleichungen für die zwei Regressionslinien die einfachen Formen y=m, X' = m; an, welche die zwei sich senkrecht schneidenden Linien, die sich, parallel den Koordinatenachsen, durch den Schwerpunkt der Be- obachtungen ziehen lassen, darstellen. Betrachtet man die eine der Regressionslinien, z. B. y‘'==m,, dann ist diese also parallel der X- Achse, was nichts anderes besagt, als daß die mittlere Zahl der einem gegebenen Wert von x(xi) entsprechenden (exponentiellen) Verteilung der Werte von y unverändert denselben Wert, nämlich m,, beibehält, welchen Wert von x; man auch immer betrachtet; und da der mittlere Fehler dieser Verteilung (us) im voraus unab- hängig von der Größe von x; denselben Wert hat, so müssen sämt- liche durch x bedingten Verteilungen dieselben sein, d.h. (vgl. $ 134), daß x und y unkorreliert sind, zu welchem Resultat man natürlich auch bei einer Betrachtung der anderen der Y- Achse parallelen Regressionslinie gelangt. Ist r dagegen = +1, dann geht aus dem Ausdruck für die mittleren Fehler der ausgeglichenen Werte der Beobachtungen her- 403 vor, daß sowohl 43 und 44 Null ergeben. Da die durch ein ge- gebenes x bedingten Werte von y in diesem Falle keine Streuung aufweisen, so kann einem gegebenen x nur der eine durch die Re- gressionslinie bestimmte Wert von y entsprechen. Von einer Aus- gleichung ist dann ebenfalls keine Rede, da sämtliche gegebenen Beobachtungen auf derselben Geraden liegen, mit der beide Re- gressionslinien gerade zusammenfallen, wenn r= +1 oder r=—1 ist (vgl. die Gleichungen dieser Linien). Um eine eigentliche Kor- relation handelt es sich dann auch nicht, da x und y direkt und linear von einander abhängig sind (vgl. $ 141). Obgleich man natürlich praktisch gesprochen nie die Werte 0 oder +1 für r findet, wenn auf Grund gegebener Beobachtungen r berechnet wird, so ist einleuchtend, daß, wenn r numerisch sehr Klein (nahe bei Null) ist, die mittels Ausgleichung bestimmten Ge- raden den Achsen recht annähernd parallel sind, und es liegt dann jedenfalls eine Möglichkeit vor, von der Korrelation zwischen den betrachteten Größen abzusehen!). Wenn r nahe bei +1 liegt, dann müssen die nunmehr mittels Ausgleichung bestimmten Geraden sehr annähernd zusammenfallen; und ebenso muß auch die dann im all- gemeinen vorliegende Korrelation bedeutend sein, d. h., die Ur- sachen, welche im einzelnen Falle die Größe von x entscheiden, sind im wesentlichen mit denen, welche die Größe von y bestimmen, identisch. Man hüte sich jedoch vor dem entgegengesetzten Schluß, da die gefundenen Resultate auf der Voraussetzung, daß sich die Beobachtungen nach Geraden ausgleichen lassen, beruhen. Wenn von Abhängigkeiten zwischen den beobachteten Größen, welche nicht durch gerade Regressionslinien ausgedrückt werden, die Rede ist, dann kann, wie oben bemerkt (S$ 141), r nie einen der Werte + 1 erreichen. 268. Zur Beleuchtung obiger Ausführungen sei nach Yule?) ein einzelnes Beispiel*) über den durchschnittlichen Wochenlohn der Landarbeiter in 38 ein- ') Speziell ist bei der Berechnung des mittleren Fehlers im Verteilungs- zesetz für das Polynomium ax + by die Bedingung r=0 ausreichend dafür, laß man mit x und y als unkorrelierten Größen rechnen kann (vgl. die Formel m $ 143). *) G. U. Yule, An introduction to the theory of statistics, 5. edit., London ‚919, S. 178f. °) Ein Vergleich zwischen Selbstmord- und Sterbefällen, verursacht durch Alkoholgenuß, bietet ein ähnliches Beispiel: vgl. H. Westergaard, Der Ein- DA* — 404 zelnen Armendistrikten (Poor-law unions) und der Prozentsatz der Bevölkerung eines jeden dieser Distrikte, welcher Armenunterstützung erhält, angeführt. In der Tabelle 52 ist in Kolonne 1 der Wochenlohn X in Pence (d) und in Ko- lonne 2 das Armenprozent Y jedes der 38 Distrikte angegeben, und in Figur 14 sind die entsprechenden 38 Punkte mit X als Abszisse und Y als Ordinate an- gesetzt. Tabelle 52. . er IS X|Y| x x‘ xy |y? ler y-y'/ X‘ xx X-X Kg U, 1) ı (2) 1115015,19- 2/162|4,34 3117214,91 4/17415,67 5|17414,48 6/17513,97 7|17713,85 31177/4,3€ 9117715,8 {0|178/3,4: 11/18014,5 12/180|3,9% 13118014,63 14 /180/5,84 15/180/3,38 L6/180|5,37 L7/183|1,6C 181184|4,2f 191186/4,64 20118614,7& 21 |18815,16 22118911,26 231192/4,20 24. 1192/3,02 25 |195/4,33 26|195|/2,61 27119612,78 28|19813,09 29120312,78 30/204 12,39 311204 '3,01 321205/3,79 331210|1,17 34 121212,98 351222 1,92 361236|1.3° 3724315. 3812405 (3) —_4C —26 1* —10 1“ 1 (4) 1,19 0,34 0,91 1,67 0,48 — 63 — 0,15 0,36 1,88 — 068 GC 4 — 0,0. 0,65 184 — 0,65 1,37 — 224 0,26 0,64 0,75 “6 \nyJ 29 Q 2 (5) (6) L6001— 47,60 1864| — 9,52 324/— 16,38 256, — 26,72: 256 — 7,68 225 1) 169 1.65 ‚691— « €? “7Y— 2a,44 6,96 10 /— 5,40 ac 1— 6 1 —1 1 | 6 1 — 1570 al 13 I (7)1(8) (9) (10, '1)' (12) '! (13) 1,42/5,38, —0,19| 0,20 175,3,—25,3, 1,64 I,1214,88| —0,54| 0,56 |184,2|—22,2| 1,44 0,8314,47| 0,44| 0,45 |178,2/— 6,2| 0,40 2,794,38| 1,29| 1,33 170,2! 3,8| 0,25 0,23/4,38' 0,10/ 0,10 1182,8/— 8,8| 0,57 0,01.4,34|—0,42| 0,43 |188,6/—13,6| 0,88 0,02|4.261—0,41' 0,42 189,4 —12,4| 0,80 0,134,26/ 0,10' 0,10 '184,01— 7,01 0,45 3,534,26| 1,62' 1,67 1168,0] 9,0| 0,58 0,34/4,22 —0,80 0,83 "193,9 —15,9| 1,03 0,29 4,14 0,40 0,41 182,1|— 2,1| 0,14 0.0014,141—0,21 0.227 '\83,E/— 8,5/ 0,55 0.404,14] 0,49 0,51 (81,2i— 1,2| 0,08 2,394,14./ 1,70 1,76 168,5/ 11,5| 0,75 2,3814.” * 0,76 0,79 194,3 —14,3| 0,93 1,8814.” 4 1,23 1,27 173,4 6,4! 0,41 548401 -2,35 2,43 212,4 —29,4: 1,91 0,07|3,97/ 0,29 0,30 '185,1/— 1,1 0,07 ),41/3,89| 0,75| 0,77 |181,1| 4,91 0,32 1,56/3,89| 0,86] 0,89 179,91 6,1 0,40 1,35/3,80) 1,36/ 1,40 |175,6| 12,4! 0,80 7343,76! — 2,47' 2,55 216,3 —27,3| 1,77 0413,64) 0,56 0,58 '185,7| 6,3| 0,41 ),96/3,64/ —0,62: 0,64 198,1|— 6,1’ 0,40 0.113,51! 0,82! 0,85 184,3! 10,7, 0,69 1,93/3,51'—C,90' 00° 202,4/| — 7,4! 0,48 1,49/3,47|—0,69| 0% 200,6|— 4,6| 0,30 1,83 3,39 —0,30| %‘ 197,4) 0,6| 0,04 4,4913,18|—0 "7 209,6 2,4| 0,16 2.593,14: —C ” 204,7 — 0,7! 0,05 3983.31 — 198.21 5,8| 0,38 "4316 70 15,01 0,97 WL9,R - 7,5| 0,49 „lo 1% 5! 0,88 “0,80 1,35 2,41 2,88 — [3 —] uf — —] —1 —10 10 —10 -10 — — 6 ) c8|_ 228. ;— 1; 5° 2 — 5 47 Y— 56,€ 4 — 22,44 16 i— 66,5€ Z —120 7 ink 34511 — 9a, Zusammen 48 ı —12,38 116076!—681,72|67,10| —\ | fluß des Alkoholismus auf die Lebensdauer. Revue internationale contre l'alco- olisme., 1926. S. 241. ij AR x 405 Um die mittleren Werte und Fehler der Verteilung für die 38 Distrikte nach Wochenlohn und Armenprozent sowie die Größe des Korrelationskoeffizienten berechnen zu kön- nen, wollen wir hier der Einfachheit hal- ber von der verschie- denen Größe der Distrikte absehen, 30 daß sowohl die Armenprozente wie die Zahlen für den Wochenlohn als mit derselben Genauig- keit gegeben (be- rechnet) angenom- men werden. Zur Vereinfachung der Berechnung sind zuerst die Momente um einen Wochen- john von 190 d und in Armenprozent von 4°, berechnet. In Kolonne 3 und 4 sind daher die Werte von x=X-—190 und y = Y—4,50 angeführt, woraus man leicht die Werte von x?, xy und y? (welche in der Ko- onne 5—7 angeführt sind) und deren Summen berechnet. Da nun Zx 48 _ Zy _ 12,38 _ 38 53 59 38 7 1788 = 7 098 Xx*_ 16076 _ Sxy 681,72 Ey? 67,10 _ 38 7738 A M30d, ag = ag A 100 ag = a LO 80 findet man hieraus (vgl. 8 127) m, = 190,0 + 1,3 = 191,3d, m, = 4,00 — 0,33 = 3,67 % *—V421,36 = 20,53d, u, = 1,77 — 0,33? = V1,66 = 1,29% 17,94 — (—0,33)-1,3 _ 17,51 _ _ 0.66 20,53-1,29 26,48 0 Nunmehr lassen sich sofort die Gleichungen für die zwei Regressionslinien aufschreiben: für diese findet man ; 1,29 Y* - = 3,67 — 0,66 50,58 (X — 191,3) = 11,60 — 0,0415X = 191,3 — 0,66 S.(Y _ 3,67) = 229,8 — 10,504Y. — 406 — Die durch diese zwei Gleichungen bestimmten Geraden (Regressionslinien) sind in Figur 14 eingezeichnet als jeweils Y‘ und X‘. Da r negativ ist, fallen die Regressionslinien mit wachsendem X, und es erheilt auch aus der Tabelle 52, wo die Distrikte nach wachsendem Wochenlohn geordnet sind, daß das Armenprozent durchgehend desto kleiner ist, je größer der Wochenlohn ist. Werden die Distrikte in 4 Gruppen (Nr. 1—9, 10—19, 20—29 und 30—38) geteilt und der durchschnittliche Wochenlohn sowie das Armenprozent berechnet, dann ergeben sich folgende Zahlen: Durchschnittl. Durchschnitt]. Wochenlohn Armenprozent Distr. Nr. 1— 9 171 d. 4,73% „ 10—19 181 „ 4,17 „ 20—29 193 3,40 „ „ 30—38 221 2,37 Ordnet man dagegen die Distrikte nach der Größe von Y und teilt sie in Gruppen, dann ist das Ergebnis folgendes: Durchschnittl. Durchschnittl. Wochenlohn —Armenprozent 177 d. 5,27% 180 , 4,30 „ 194 321, 214 1.90 4 EEE a Diese elementaren Aufstellungen deuten auch auf einen Zusammenhang der yenannten Art hin. Jedoch ist die Regel nicht ohne Ausnahmen; es geht aus Tabelle 52 und der Figur hervor, daß es Distrikte mit hohem Armenprozent und hohem Arbeitslohn gibt und umgekehrt. Es lohnt sich daher zu untersuchen, wie gut die Werte (Y‘ und X‘), welche die Regressionsgleichungen ergeben, mit den beobachteten Werten übereinstimmen. In Tabelle 52 ist dies in der Weise gemacht, daß nach den oben für die Regressionslinien gefundenen Ausdrücken in Kolonne 8 Y‘ für die in Kolonne 1 angeführten Werte von X und in Ko- lonne 11 X‘ für die in Kolonne 2 angeführten Werte von Y berechnet wird. In den Kolonnen 9 und 12 sind dann die Abweichungen Y—Y'‘ und X—X‘ angegeben, deren Quadratsumme nu? (1—r?) = 38.1,66 (1 — 0,66?) = 38. 0,9369 nu? (1 —r?) = 38. 421,36 (1 — 0,66?) = 38. 237,8156 ist, so daß die mittleren Fehler in der Verteilung der Abweichungen Y—Y'‘ und X—X'‘ jeweils u. —V0,9369 = 0,968 und u, = V237,8156 = 15,42 d. ergeben. In den Kolonnen 10 und 13 sind die Abweichungen Y—Y‘ und X—X‘ mit liesen mittleren Fehlern als Einheit gemessen, indem hier der numerische Wert N Y—Y' X—X'‘ . x . der Größen —— und berechnet ist, und auf Grund dieser Zahlen ist H; 4 in nntenstehender Übersicht angegeben, wieviele der Abweichungen zwischen ge- ygebenen Grenzen lagen; zum Vergleich ist die entsprechende, nach dem Expo- nentialgesetz erwartete Anzahl Abweichungen angeführt: 407 Verteilung der Abweichungen nach der seobachtung nach dem üxponentialgesetz unter 0,7 ı ),5 M4—1, ad 1,0 u— Zu IF über 2,0 u Zusammen ii 38 [ 38 ‚| 38 Die Übereinstimmung ist, wie man sieht, recht gut. Hätte man X und Y als unkorreliert genommen, also ohne Rücksicht auf die Größe von Y den Durchschnittswert von X zu 191,3 d. und ohne Rücksicht auf die Größe von X den Durchschnittswert von Y zu 3,67°% angesetzt, dann hätte sich eine Reihe ron Abweichungen X —191,3 und Y — 3,67 ergeben, welche sich zwar einigermaßen exponentiell, jedoch mit mittleren Fehlern von 4, = 20,53 d. und u, = 1,29% verteilen. Wird jedoch die Korrelation berücksichtigt, dann drückt sich die Un- 3icherheit in den mittleren Fehlern 4 =u V1—r? und = aus, welche, da V1—0,66? = ca, 0,75, nur etwa drei Viertel von g%, und 4%, ausmachen. Dies Resultat deutet darauf hin, daß die Lohnverhältnisse unter den vielen, die Armenlast beeinflussenden Ursachen eine wesentliche (nicht zufällige) Rolle spielen; man kann zwar nicht geradezu das Armenprozent aus dem Durch- schnittslohn berechnen; betrachtet man jedoch das durchschnittliche Armen- prozent als eine (hier lineare) Funktion des Wochenlohns, dann erzielt man mit yzeringerer Unsicherheit behaftete Resultate. Denken wir uns beispielsweise wie oben die Distrikte nach der Größe von Y geordnet und in 4 annähernd gleich zroße Gruppen geteilt und danach bei der Berechnung des Durchschnittslohns in jeder Gruppe die ausgeglichenen Zahlen X‘ anstatt der beobachteten benutzt, dann ergeben sich folgende Zahlen: Durchschnittl. Wochenlohn Beobachtung Berechnung 177 d. 175 d. zZ, 180 185 5 194 19% „ 3. 4. » 214 , 210 4 Da der mittlere Fehler in der Verteilung der Abweichungen X—X'‘ den Wert u, = 15,4 d hat, so ist der mittlere Fehler des Durchschnitts von 9 bis 10 solcher Ab- weichungen Y9 bis Yıo (also ca. 3) Mal so klein, d. h. etwa gleich 5 d. Selbst wenn man in besonderen Fällen eine weitere Verminderung der Unsicherheit er- reichen kann, indem man sich als Ausdruck für die Regressionslinien anderer Funktionsformen als der geraden Linie (krummlinige Regression) bedient, lassen sich in zahlreichen Fällen hinlänglich sichere Resultate mittels der relativ elemen- — 408 saren Berechnungen, welche die Voraussetzung der linearen Regression im Ge- folge hat, erzielen; außerdem ist, wie früher betont, in erster Linie oft die Auf- gabe die, die Ursachen der sozialen Phänomene feststellen zu können, seltener dagegen einen genauen zahlenmäßigen Ausdruck für die Wirkung dieser Ursachen zu finden. Allerdings haben wir bereits oben im $ 206 eine Methode, welche der hier durchgeführten Berechnung nebengeordnet werden kann, betrachtet; hier bearbeiteten wir die Abweichungen von einem veränderlichen Durchschnitt („moving average“) und deren mittlere Fehler und gelangten ebenfalls zu einer befriedigenden Übereinstimmung mit dem Exponentialgesetz, ohne daß — wie hier — davon die Rede sein konnte, die varlierenden Durchschnitte numerisch wie eine Funktion auszudrücken, ganz einfach weil der benutzte Einteilungsgrund ‘der Beruf) qualitativ und dessen zahlenmäßige Bezeichnung daher ausgeschlossen war (vgl. 8 55). Wir kehren übrigens noch im folgenden zu einigen den hier besprochenen nebengeordneten Methoden zurück, Aufgabe 90. Untersuche Korrelation und Regression zwischen Körper- größe und Körpergewicht auf Grund folgender Verteilung von 384 fünfjährigen Glasgower Schulknaben (Biometrika, Vol. X1): Höhe mn inches % | a; Gewicht in pound“ 36 Pr 40 3 16 De 2369. Bei der oben gegebenen Darstellung der Ausgleichung einer Abhängigkeit zwischen zwei Größen x und y als irgend einer zweckmäßig gewählten Funktion vY‚o= f(xz, ab. 6....) die außer x auch einige Konstanten enthält, welche zu bestimmen sind, haben wir der Einfachheit halber so gerechnet, als ob sämtliche beobachteten Werte yı, Ya, Ys --.. Von y mit gleicher Genauigkeit bestimmt (die Beobachtungen „gleich gut“) waren; vgl. auch das Beispiel im $ 268. Sofern dies möglich ist, hat man jedoch in der Regel sich zum mindesten eine Vorstellung über die Verschieden- heiten hinsichtlich der Genauigkeit der Beobachtungen zu bilden. Die Annahme nämlich, daß alle Beobachtungen gleich gut sind, kann für das Resultat der Ausgleichung eine nicht unwesentliche Be- deutung haben. Im allgemeinen ist hierfür keine scharfe Bewertung erforderlich, da sich die ‚Berücksichtigung geringerer Verschieden- heiten in der Genauigkeit meist nicht im Ergebnis der Ausgleichung zu erkennen gibt, wenn man nicht gerade mit übertrieben vielen Dezimalen rechnet. 409 Wir haben z. B. für das Sexualverhältnis (das Knabenprozent) in Dänemark für die Jahre 1911—1920 folgende Zahlen: Zahl der . lebend Geborenen | Hiervon Knaben L911 L912 1913 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1911— 1920 3 7? 933 359 475 7 204 3 7/08 ” 2] 37 704 "7 509 >QC J_ 12 507 38 72° 7182 — 795 875 + 730 926 245 5436 30 062 371 U. D;e N Sexualproportion 0,5112 0,7133 0” 104 ” 118 26 „133 "10 5137 5156 an = 0,5108 a = 0.5124 Die Aufgabe, einen für das gesamte Jahrzehnt gemeinsamen Wert a‘ für das Sexualverhältnis zu erhalten, ist eine Ausgleichungs- aufgabe der oben im $ 261 beschriebenen Art; sie setzt — als Theorie — voraus, daß für das Sexualverhältnis ein gewisser kon- stanter Wert «‘ vorliegt, so daß die von Jahr zu Jahr vorgefundenen Abweichungen (Fehler) als von zufälligen Ursachen stammend an- zenommen werden können. . Hiernach wäre der ausgeglichene Wert «‘ lann so zu bestimmen, daß die Quadratsumme der Abweichungen & — Ay, U — Ag, U — Ugy 000004 U — K09 ein Minimum ergibt, wonach man gemäß obiger Darstellung a = a +o +0 .... +&0&,0) = 0,5124 erhält. Aus den gegebenen Zahlen kann man indes auch einen Aus- druck für «’ finden, indem man D 371903 N 725875 — 09124 setzt, was hier den gleichen Wert ergibt; es ist jedoch klar, daß diese beiden Rechenmethoden im allgemeinen nicht dasselbe Re- sultat zu ergeben brauchen. Nichtsdestoweniger kann die Bestimmung von «‘ durch den Bruch = ebenfalls als Resultat einer Ausgleichung nach der Methode kleinster Quadrate betrachtet werden. Sieht man davon ab, daß n,, Ns, Ns.... Nıg Nicht gleich groß sind, daß also die bei ler Bestimmung von &,, Co, Ka .... Vorliegenden mittleren Fehler 410 — nicht dieselben sind, dann kann es sich analog dem Beispiel im $ 89 ereignen, daß die Verteilung der Abweichungen & — Ay, A'— U, U— Kg 0.0. d— K10 in geringem Grade mit dem Exponentialgesetz übereinstimmt, nur weil ihre mittleren Fehler verschieden sind; berücksichtigt man dies, so gelangt man dagegen zu einer besseren Übereinstimmung. Wird daher «' so bestimmt, daß die Quadratsumme der mit ihren jeweiligen mittleren Fehlern gemessenen Abweichungen a — Ci a ein Minimum sein soll, dann findet man, da =) und wi; also V- proportional ist, daß die Quadratsumme der Größen OB (gt — a) nr 1 Vx ebenfalls ein Minimum sein muß; für diese Quadratsumme erhält man dann «2. Sn; — 20' Sainı + Inici?; der Wert dieses Polynomiums ist von «' abhängig, so daß es seinen zleinsten Wert annimmt, wenn (vgl. $ 264) wl— Sni0i__ Dr H Doc + Dg&... __ di + da + ds to... D Zn; nn + + -+.... nz +n +ns+..... N Wenn sich &,, X, X .... mit der angewandten Genauigkeit als gleich groß oder ungefähr gleich groß betrachten lassen, dann kann man überhaupt von der. Unsicherheit absehen und sämtliche mittleren Fehler u; = us = Us =0 rechnen; von einer Ausgleichung wird dann keine Rede; sind n,, n,, ns.... gleich groß oder ungefähr gleich groß, dann müssen auch alle mittleren Fehler ungefähr gleich groß, wenn auch von einem von Null verschiedenen Werte sein; in beiden Fällen ergibt die Formel u N den gleichen Wert wie die Formel 1 d'= 79 (© + % +03... &40)- Sind diese Bedingungen: dagegen nicht hinlänglich erfüllt, dann 411 ist es, wie gesagt, durchaus nicht einerlei, ob man die verschiedene Genauigkeit, mit der die beobachteten Werte bestimmt sind, be- rücksichtigt oder nicht. 270. Darf man im allgemeineren Falle davon ausgehen, daß sich die Genauigkeit der verschiedenen Werten von x entsprechenden Werte von y‘[wo y‘i= f(x, a, b, c....) und außer von einigen gesuchten Konstanten a, b, c auch von einer Variablen x abhängig ist] durch eine Reihe entsprechender mittlerer Fehler 44, 4lo, Ug.... VON Ver- schiedener Größe ausdrücken läßt, dann berücksichtigt man, analog dem oben behandelten einfachsten Falle, den Grad der Genauigkeit dadurch, daß man verlangt, daß die mit den mittleren Fehlern als Maßstab reduzierten Abweichungen Yu Y— Ya Yı— Ya 4 zwischen den beobachteten und den ausgeglichenen Werten eine möglichst kleine Quadratsumme haben sollen; die Konstanten a, b, 3..... Sind also so zu bestimmen, daß die Quadratsumme yi‘ — 7 \2 \ Ai so klein wie möglich wird. Wenn die Theorie y‘'== f(x, a, b, c....), wie wir auch oben voraussetzten, hinsichtlich der Konstanten a, b, c.... ersten Grades ist, dann hat diese Ausgleichungsmethode nur eine größere Anzahl von Berechnungen, im übrigen jedoch keine prinzipiellen Änderungen im Gefolge. Es ist ferner klar, daß es für das Resultat der Aus- zleichung gleichgültig ist, ob man in der Quadratsumme / 4 <{Yi 3|" Ali lie mittleren Fehler selbst oder diesen proportionale Größen be- autzt; wenn nicht direkt die mittleren Fehler 44, 44, Us .... bekannt sind, dann wird es, wie oben gesagt, genügen, ihre relative Größe beurteilen zu können. Sind im besonderen die mittleren Fehler zleich groß oder schätzungsweise ungefähr gleich groß, so geht laraus hervor, daß das Resultat der Ausgleichung dasselbe ist, 3inerlei ob man die Ausgleichung so vornimmt, daß die Quadratsumme ‚(—) oder die Quadratsumme 5(y‘;— yi)? ein Minimum ergibt. Aufgabe 91. Untersuche, inwieweit die Abweichungen, welche sich aus der Annahme einer linearen Regression zwischen den in der Tabelle 37 (Seite 297) -— 412 mitgeteilten Zahlen für die Totgeburtenfrequenz unter ehelichen und unehelichen Kindern ergeben, innerhalb der nach dem Exponentialgesetz zulässigen Spiel- räume fallen; es ist dabei die verschiedene Genauigkeit, mit der die Prozente für außerehelich Geborene bestimmt sind, zu berücksichtigen, während die Prozente für eheliche Kinder als fehlerfrei gelten. 271. Ferner enthält die Frage der Ausgleichung nach der Methode kleinster Quadrate eine Reihe wichtiger und interessanter Probleme; unter diesen sei besonders der Fall hervorgehoben, wo die Theorie darauf hinausgeht, daß die Beobachtungen gewissen Bedingungsgleichungen genügen sollen; als Beispiel können wir dasjenige im $ 218 über die Winkel eines Dreiecks, deren Summe 180° sein soll, erwähnen. Rein theoretisch steht dem nichts im Wege, dieser Art von Aufgaben eine Form analog der im Vorhergehenden behandelten Ausgleichung nach der Methode kleinster Quadrate zu geben; aus praktischen Gründen jedoch verlohnt es sich in solchen Fällen im allgemeinen, für die Ausgleichung eine andere Form zu wählen (Korrelatausgleichung); da diese Art von Aus- gleichungsaufgaben übrigens im wesentlichen für die Meßtechnik von Bedeutung ist und in der Regel in der Statistik erst in zweiter Linie kommt, so ist hier — ebensowenig wie sie im Obigen Be- rücksichtigung fanden — keine Veranlassung, näher auf diese Me- thoden einzugehen. ; 2372. Dagegen ist noch eine Ausgleichungsmethode zu erwähnen, die besonders für die Bestimmung von Häufigkeitskurven (Ver- teilungs- oder Frequenzkurven) Bedeutung gewonnen hat, nämlich die von Pearson vorgeschlagene Momentmethode!). Diese Me- thode ist eine Fortentwicklung der von uns verschiedentlich im Obigen angewandten Methode, wo wir eine durch Beobachtung ge- gegebene numerische Verteilung mittels eines Exponentialgesetzes darzustellen suchten. Fanden wir z. B. im $ 153, daß die mittlere Zahl und der mittlere Fehler für die in der Tabelle 27 (vgl. Ta- belle 1) gegebene empirische Verteilung g=50,11 und u = 5,23 ist, so kann die Exponentialkurve, welche dieselben mittleren Zahlen und mittleren Fehler hat, nämlich zn) Yy = 5,23 V2x 2 5,23 ; !) Am leichtesten zugänglich in W. Palin Elderton, Frequency-Curves and Correlation, London 1906. 413 als eine Ausgleichung der in der Figur 1 angedeuteten Ordinaten betrachtet werden; und genau dasselbe gilt in allen solchen Fällen, wo man eine gegebene numerische Verteilung durch ein Exponential- gesetz auszudrücken sucht. Analog kann man sich, wenn die Theorie im allgemeinen in einer Gleichung y=f(x,a,c....) Ausdruck gefunden hat, die außer x einige gesuchte Konstanten enthält, die Momente (um irgendeine Zahl) erster, zweiter, dritter ausw. Ordnung, M, = Syx, Ma = Xyx’, Ms = Xyzx3....,, lurch a, b, c..... ausgedrückt denken; und werden die so gefundenen Ausdrücke jeder für sich entsprechenden Momenten erster, zweiter, dritter ... usw. Ordnung gleichgestellt, welche sich numerisch aus den Beobachtungen bestimmen lassen, dann kann man ebenso viele Gleichungen bekommen wie Konstanten zu bestimmen sind, und dabei diese finden (vgl. $ 130). Die so gewonnenen Ausgleichungsergebnisse werden unter gewissen Bedingungen ganz mit den nach der Methode der kleinsten Quadrate erzielten übereinstimmen; außerdem noch wird man in manchen Fällen mittels der Momentmethode bei Auf- wendung weit geringerer Arbeit annähernd dasselbe Resultat be- kommen. Diese Methode ist daher viel angewandt worden — wie zesagt namentlich zur Bestimmung der Konstanten in Verteilungs- kurven von nichttypischer Form; da sie jedoch in den meisten Fällen weitergehende mathematische Hilfsmittel verlangt, so sei an dieser Stelle nicht näher darauf eingegangen‘). E. Statistische „Gesetze“, 273. Die einfachste Aufgabe, mit der sich die theoretische Statistik beschäftigt, geht, wie in den Kapiteln III und IV ent- wickelt wurde, darauf hinaus, den mittleren Wert irgendeiner Größe, speziell die relative Häufigkeit eines Ereignisses, zu berechnen. Die Zuverlässigkeit der mittleren Werte läßt sich mittels der Lehre über den mittleren Fehler beurteilen, mit deren Hilfe man für gewisse Fälle die Wahrscheinlichkeit dafür gewinnt, daß die Unterschiede, welche der Vergleich von Durchschnitten in der Regel aufweist, auf wesentliche Unterschiede zwischen den wirkenden Ursachen (Gemein- ursachen) zurückzuführen sind. Eine Bedingung dafür, auf stati- 1) Vgl. außer der oben zitierten Abhandlung auch J. F, Steffensen. Matematisk Iagttagelseslere. Kobenharyn 1923. 414 stischem Wege von zahlenmäßigen Unterschieden auf Unterschiede in den Ursachen schließen zu können, ist indes nicht bloß die, daß sich diese Unterschiede auf das Vielfache des mittleren Fehlers der Unterschiede belaufen, sondern ebenfalls, daß es bei einer hinlänglich tiefgehenden Teilung des Beobachtungsmaterials geglückt ist, die Gruppen abzugrenzen, innerhalb deren das Exponentialgesetz als Ausdruck für die Streuung (Verteilung) der Einzelbeobachtungen, welche die noch nicht ausgeschiedenen Ursachen mit sich führen, angenommen werden kann. Beispielsweise wird es bei Unter- suchungen über die Sterblichkeit im allgemeinen notwendig sein, eine oft weitgehende Teilung in Altersklassen und andere Gruppen vorzunehmen, und das Resultat der Bearbeitung ist daher eine mit- unter schwer zu überschauende Reihe von Einzelresultaten für eine oft große Menge von Gruppen. Dieses Verhältnis gibt zu mehreren Problemen Veranlassung. Eins der wichtigsten soll in einem folgenden Kapitel behandelt werden; es handelt sich hierbei um die Art und Weise, in der sich die Einzelergebnisse aufs neue zwecks Vergleichs zusammenfassen lassen. Hinsichtlich der Art und Weise, in der sich die von Gruppe zu Gruppe gefundenen Durchschnitte verändern, wird, wenn der Einteilungsgrund zahlenmäßig ausgedrückt werden kann (z. B. das Alter), auch die Frage entstehen, ob man der Abhängigkeit der be- irachteten Größe vom Einteilungsgrund Ausdruck verleihen kann, ob sich beispielsweise die Sterblichkeit durch das Alter, die Nach- frage durch den Preis, der Nutzen eines Vorrats durch dessen Größe, lie Häufigkeit einer Abweichung von einem Durchschnitt durch lie Abweichung selbst ausdrücken läßt usw. Zu Untersuchungen dieser Art ist man dadurch gelangt, daß man die regelmäßige Übereinstimmung bemerkte, welche die Re- zultate von Untersuchungen derselben Verhältnisse auf Grund ver- schiedenen Beobachtungsmaterials oft aufweisen. Da diese Gleich- förmigkeit so ausgeprägt sein kann, daß sie jedenfalls anscheinend den Charakter der Gesetzmäßigkeit annimmt, liegt der Versuch aahe, die empirisch gefundenen Abhängigkeiten durch passend ge- wählte mathematische Funktionen auszudrücken. Vorbild hierfür sind die „Gesetze“, welche man namentlich in der Physik und der rationellen Mechanik nach Voraussetzungen über eine einzelne oder sehr wenige wirkende Ursachen ableiten kann. und in gewissem Sinne als ganz unveränderlich angenommen werden müssen. Mit den statistischen Gesetzen muß es sich im allgemeinen anders ver- 4115 halten; allerdings sind die meisten Gesellschaftsphänomene mehr der weniger miteinander verbunden; diese Verbindung aber ist gar zu verwickelt, durch allzu viele Ursachen bestimmt, als daß sie Jurch eine einigermaßen einfache mathematische Formel zum Aus- druck kommen könnte. Es ist indes aus rein praktischen Gründen nützlich, in manchen Aufgaben eine ganze, durch Beobachtung ge- wonnene Zahlenreihe in einer einzelnen Formel zusammenfassen zu können, wenn diese nicht gar zu verwickelt ist; hierdurch erreicht man nämlich, daß sich die vielen Einzelresultate durch einige wenige Zahlen — die Konstanten der betreffenden Formel — wiedergeben lassen. Im allgemeinen handelt es sich hierbei indes nur um einen Umtausch des wirklichen Zusammenhangs gegen einen anderen, welcher mit ausreichend guter Annäherung den wirklichen ersetzen kann, also darum, was wir oben als eine Interpolationsformel be- zeichnet haben. Während man z. B. mittels der Newtonschen Formel die bei einer solchen Vertauschung erzielte Genauigkeit Jurch Betrachtung von hinlänglich kleinen Intervallen beliebig weit treiben kann, handelt es sich hier bei der mathematischen Dar- stellung der statistischen Gesetze mehr darum, die Hauptzüge der Abhängigkeit durch eine allen Intervallen gemeinsame Formel wieder- zugeben, als um eine detaillierte Genauigkeit; die gesuchte Inter- volationsformel wird in der Regel denn auch durch irgendeine Ausgleichung der vorliegenden Zahlen bestimmt. Einige wenige Beispiele solcher statistischer Gesetze seien hier erwähnt. 274. Was zunächst die Frequenzkurven anbetrifft, so leuten die Abweichungen von der typischen Form, wie oben gesagt, auf das Vorhandensein mehrerer wirkender Gemeinursachen hin, wie sie auch eine Aufforderung dazu enthalten, mittels einer vor- genommenen Teilung gruppenweise eine bessere Übereinstimmung zu erzielen; besonders gilt dies, wenn die Verteilung der Beobach- ‘ungen mehr als einen Maximalpunkt zu enthalten scheint; aber selbst wenn sich die Beobachtungen entweder nach einer solchen Teilung oder in der Form, in der sie vorliegen, um einen einzelnen Punkt ansammeln, werden Abweichungen von der typischen Form ınd ganz besonders Asymmetrien vorkommen und zu weiterer Tei- ‚ung auffordern (vgl. $ 165). Will man indes der Abweichung der Frequenzverteilung von der typischen Form Ausdruck verleihen, lann kann dies in verschiedener Weise geschehen, und es liegt nahe, im Binomialgesetz seinen Ausgangspunkt zu nehmen. Weiter oben erwähnten wir die Tendenz dieses Gesetzes. eine — 416 — gewisse feste, symmetrische Form anzunehmen, zu der man gelangt, wenn die Formel für die binomiale Verteilung (vgl. den Anhang) amgeformt und n (die Zahl der Versuche in jeder Serie) als ge- nügend groß angenommen wird. Wenn sich vermuten läßt, daß die Abweichung von der typischen Form daher stammt, daß n nicht hin- länglich groß ist, dann folgt aus der Umschreibung der Binomial- formel, daß man der Asymmetrie dadurch Ausdruck verleihen kann, Jaß man für die Wahrscheinlichkeit P, dafür, eine Abweichung von der Größe x zu erhalten, _ x(p— q) Be (a) oder, wenn dies nicht ausreicht, 5 x(p—a)_ xp — 9) Pa = 90) (ı * anpa 6m |} setzt, wo (x) das gewöhnliche Exponentialgesetz 1 => (=) 2\ & X) = ——— 6 (x) uVör bezeichnet, da m =np und u =VYVnpdq ist. Wenn n, p und q nicht bekannt sind und nicht als durch die Voraussetzung der Binomialität der Verteilung bestimmt angenommen werden können (vgl. $ 130), dann liegt es nahe, es mit der Gleichung PP, = (x) (a + bx + cx?....) zu versuchen, wo sich die Konstanten a, b, c... in der Regel am leichtesten durch die Momentmethode bestimmen lassen. Zu dieser Gruppe von Frequenzkurven zählen die von Thiele*, Bruns”) und Charlier?) angegebenen, die sich aus der oben im $ 177 er- wähnten, seinerzeit von Hagen aufgestellten Elementarhypothese ableiten lassen. Eine andere wichtige Reihe von Frequenzkurven wird nach der namentlich von Edgeworth*) empfohlenen „Method of translation“ ı) T. N. Thiele, Theory of observations, London 1903, ? H. Bruns, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kollektivmaßlehre, Leipzig ‚906. 3) In einer Reihe von Abhandlungen im Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik (siehe z. B. Svenska Aktuarieföreningens Tidskrift, Ärg. 1, Uppsala 1914, S. 86); vgl. auch S. D. Wicksell, Elementen av Statistikens Teori, Lund 1920. 14) S. u. a. On the use of analytical geometry to represent certain kinds of statisties, Journ. of the Royal Stat. Soc., LXXVIL (1914), ebenda LXI (1898), S. 675. 417 gebildet, die im allgemeinen darauf hinausgeht, eine Verteilung in einer gewissen verhältnismäßig einfachen (z. B. exponentiellen) Form wiederzugeben, wobei die beobachtete Größe x, deren Häufig- keit betrachtet wird, mit einer zweckmäßig gewählten Funktion dieser Größe vertauscht wird. Betrachtet man beispielsweise die Altersgliederung der in Dänemark von 1916 bis 1920 Getrauten, und beobachtet man anstatt des Alters x die Größe «= log (x — a), dann werden sich die Trauungen sehr annähernd hinsichtlich der Größe « exponentiell verteilen, für welche Verteilung sich (=) Pao)=—Ae 3U UT. uV2x ergibt und wo sich a, m und w am leichtesten durch die Momente erster, zweiter und dritter Ordnung der numerisch gegebenen Ver- teilungen bestimmen lassen, während die Übereinstimmung zwischen len folgenden Momenten die Güte der Ausgleichung!) ausdrückt. Für Männer findet man beispielsweise a — 18,30 Jahre, m = 0,9190 ınd u = 0,2394 Jahre; und will man feststellen, wieviele Getraute zwischen gegebene Altersgrenzen x, und X, fallen, dann fordert die Methode nur, daß zuerst aus der Gleichung a = log (x — a) die den zwei gegebenen Werten von x entsprechenden Werte (a, und &,) von « gefunden werden, worauf dann die Tabelle 22 in ge- wöhnlicher Weise Antwort erteilt 2). Schließlich hat Pearson?) mit der im $ 96 erwähnten Ver- teilung als Ausgangspunkt eine ganze Reihe von Frequenzfunktionen (Kurven) von 7 verschiedenen Typen aufgestellt, die bei zweck- dienlicher Änderung der Voraussetzungen, unter denen sie abgeleitet sind, unmerkbar ineinander übergehen. So ist man z. B., wenn die Momente der Verteilung aus dem Beobachtungsmaterial berechnet sind, imstande, unter sämtlichen Typen den auszuwählen, der sich am besten zur Wiedergabe der vorliegenden Verteilung eignet, und danach die Konstanten der Frequenzfunktionen zu berechnen. Trotz der Bestrebungen bilden die Pearsonschen Verteilungskurven jedoch ') Vgl. S. D. Wicksell, On the genetic theory of frequency, Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd. 12, Nr. 20, Stockholm 1917. °) Vgl. Stat. Tabelverk 5. Rk, Litra A. Nr. 15. /Egteskaber, Fodte og Dode ı Aarene 1916—20, Kobenhavn 1924, S. 80*. °) Vgl. Elderton, a. a. O0. 8. 36£. Westergaard und Nvybelle, Theorie der Statistik. 2. Aufl — 418 kaum ein vollständiges System in dem Sinne, daß jede Verteilung, die vorliegen möchte, einer der 7 Typen angepaßt werden könnte. Und da diese Kurven nicht ohne Anwendung höherer Mathematik aäjner näheren Behandlung unterzogen werden können, sei hier nicht weiter auf diese Frage eingegangen ?). 275. In der Wirtschaftswissenschaft trifft man die Abhängigkeit, die zwischen der Größe x eines im Besitze einer Person (oder von Gruppen von Personen) befindlichen Vorrats irgend- einer Ware und dem Gesamtnutzen dieses Vorrats besteht. Wie wir (vgl. 8 235) eine Verteilungskurve nach der Eigenschaft hin definieren konnten, daß die von der Kurve zwischen zwei Ordinaten eingeschlossene Fläche den Bruchteil der verteilten Einheiten, welche zwischen die durch die Ordinaten bezeichneten Grenzen fallen, dar- stellen sollte, so läßt sich die hier vorliegende Abhängigkeit (die „Nutzenfunktion“) als Kurve von der Eigenschaft betrachten, daß die zwischen den x=0 und x==a entsprechenden Ordinaten liegende Fläche den gesamten Nutzen der Menge a angeben soll. Wenn der Nutzen dieser Menge ganz einfach x proportional wäre, so ließe sich die Nutzenfunktion als Wagerechte darstellen; im allgemeinen aber muß man sich die Funktion durch eine Kurve u(x) dargestellt denken, welche je nach der Art der Ware mehr oder weniger stark mit wachsendem x fällt. Handelt es sich um eine ganz oder fast ganz unentbehrliche Ware, so wird u(0) sehr groß (unendlich) sein, jedoch mit wachsendem x schnell fallen und für hinlänglich große Werte von x schließlich negativ werden können, weil sehr große Vorräte in der Regel nur beschwerlich sind. Hat die Ware dagegen Luxuscharakter, dann wird Jie Kurve wie vorher fallen, jedoch in viel langsamerem Tempo; Jer Anfangswert u(0) wird je nach dem Charakter der Ware größer oder kleiner, jedoch stets endlich sein. Noch ist die Aufgabe, Kurven zu finden, welche einigermaßen befriedigend den faktischen Verlauf für einen Durchschnittsmenschen irgend einer Gesellschaftsklasse wiedergeben, ungelöst. Auch ist es nicht geglückt, die allgemeinere Aufgabe der Bestimmung des Nutzens einer gewissen Einnahme oder eines Vermögens zu lösen. Jeden- fails ist die Lösung unzulänglich, welche von Daniel Bernoulli, dem Vorläufer der Grenznutzenlehre, angegeben ist, in welcher er 5Vegl. J. F. Steffensen, Matematisk Iagttagelseslere, Kobenhavyn 1923. 419 den Begriff des „moralischen Vermögens“ aufstellt. Nach dieser Formel solle sich der Grenznutzen des Vermögens x als Se wo k ein Konstante ist, wiedergeben lassen. Diese Formel drückt aller- dings den Hauptsatz aus, daß die Funktion u(x) mit wachsendem x abnimmt; aller Wahrscheinlichkeit nach aber würde man — be- sonders bei kleinen Vermögen — einen anderen Verlauf, ein weit schnelleres Abnehmen, als hier vorausgesetzt, erzielen. Handelt es sich um einzelne Waren oder Warengruppen, dann werden sich gewisse Sätze aus dem allgemeinen Charakter der Kurve ableiten lassen, wo- durch man einen Einblick in den Mechanismus des Handelsumsatzes bekommen kann; hätte man einen zuverlässigen Ausdruck für das „moralische Vermögen“, so würde man bedeutungsvolle Resultate, z. B. hinsichtlich der Steuerlast, gewinnen können; eine rationelle Steuerprogression würde sich ebenfalls festlegen lassen, wenn man lavon ausginge, daß jeder Steuerzahler den gleichen Steuerdruck Fühlte. Solche Kurven werden indes — wie viele Frequenzverteilungen — schwerlich eine typisch feststehende Form beibehalten, sondern aller- aand Veränderungen unterworfen sein können. Der Grenznutzen eines Lebensbedürfnisses ist faktisch vom Grenznutzen aller anderen zugänglichen Waren abhängig, und die Nachfrage wird sich nach der Gliederung der betreffenden Gesellschaft richten; kommt eine neue Gesellschaftsklasse unter den ewig wechselnden Bewegungen im Leben und Treiben einer Bevölkerung hinzu, dann gestaltet sich zleich die Nachfrage anders; neue Waren werden ständig auftauchen ınd die Nachfrage beeinflussen, usw. 276. Auch kann davon die Rede sein, stets wachsende Kurven durch eine Formel darzustellen suchen, so z. B. wenn man die Arbeitsanstrengung als Funktion der Arbeitszeit untersucht. Sieht man vom Einfluß der täglichen Arbeitspausen und ebenfalls von dem Umstand ab, daß die Arbeitsanstrengung im allerersten Teil des Arbeitstages vielleicht abnimmt, dann wird die Kurve eine mit der Arbeitszeit ständig wachsende Größe zeigen, die schließ- lich unendlich groß wird. Auch hier hat die Phantasie erheblichen Spielraum, bis die Psychophysik hinlänglich umfangreiche Beobach- tungen beschafft. Als zweites Beispiel des Verlaufes einer stets wachsenden Kurve möge die Art und Weise erwähnt sein, in der die Pro- a — 420 duktionsunkosten y für eine Warenmenge x von x abhängen. Wenn der Einheitspreis konstant wäre, dann würde y ganz einfach x pro- portional sein und durch eine gerade Linie durch den Anfangspunkt dargestellt werden. Teilt man indes die Produktionsunkosten, wie es oft der Fall ist, in zwei Teile A und B, so daß A die mit der Produktion verbundenen festen Ausgaben, die von der Größe der Produktion unabhängig sind, und B die laufenden Ausgaben, die proportional der Größe der Produktion steigen oder fallen, angibt, dann wird der Preis y für eine Warenmenge von der Größe x durch die Gerade y=A+Brx, lie nicht durch den Anfangspunkt geht, dargestellt. Die ange- führte Teilung sämtlicher Produktionsunkosten in nur zwei Teile kann indes nur eine erste Annäherung werden; allerdings gibt es Produktionsunkosten, die vollständig als fest, d. h. als ganz unab- hängig von der Größe der Produktion, betrachtet werden können (so z. B. die Verzinsung von Anlagen), und Herstellungskosten, die völlig proportional der produzierten Menge wachsen (z. B. ge- wisse Rohstoffe); hierüber hinaus aber treten viele Arten von Pro- Juktionsunkosten auf, die keinem dieser Teile zugerechnet werden können. Könnte dies berücksichtigt werden, dann würde die Ab- hängigkeit zwischen dem Preise y für eine gegebene Warenmenge x und x allerdings auch durch eine ständig steigende Kurve wieder- gegeben, welche für x==0 einen gewissen endlichen positiven Wert hat, über deren Verlauf sich hierüber hinaus nichts Weiteres sagen läßt als das für die Aufstellung einer passenden Ausgleichungsformel Entscheidende: daß die Kurve konkav sein muß, wenn die Her- stellungskosten für jede produzierte Einheit mit wachsender Pro- duktion fallen sollen. Als Beispiele mögen die KElektrizitätspreise und die Sätze für Personen- wie Güterbeförderung der Eisenbahnen erwähnt werden. 277. Eine wachsende Funktion liegt ebenfalls vor, wenn man die der Altersgliederung einer Bevölkerung entsprechende Flächen- funktion betrachtet, welche die Zahl der Personen unter einem ge- gebenen Alter x (jünger als ein gegebenes Alter x; vgl. Figur 10) angibt. Wie im $ 243 gesagt, steht diese wachsende Funktion in unmittelbarer Relation zu der (ständig fallenden) Flächenkurve, welche die Anzahl von Personen über einem gegebenen Alter (älter als ein gegebenes Alter) angibt. 49, Der Verlauf beider Arten von Flächenkurven steht ferner in einer gewissen Verbindung mit der Form der Überlebenskurve (vgl. Kap. VI). Ursprünglich von der Anschauung über das unveränder- liche „Gesetz der Sterblichkeit“ aus, wonach jede Überlebenskurve verlaufen sollte, hat man im Laufe der Zeit große Anstrengungen zemacht, eine mathematische Formel zu finden, die so einfach wie möglich das „Gesetz“ wiedergeben sollte. Wie im folgenden Kapitel des näheren erörtert werden wird, ist die Sterblichkeit von einem gewissen Alter an regelmäßig wachsend. Wird die Sterblich- keitsintensität im Alter x (vgl. Kap. VI) mit u(x) bezeichnet, dann hat man als eine der einfachsten Voraussetzungen die von Gom- pertz im Jahre 1825 aufgestellte Formel (x) = b- C“, wo b und c von x unabhängig sind. Eine bessere Übereinstimmung mit der Wirklichkeit erhält man jedoch, wenn man ul(x)=a-+b-c* setzt, welche Formel von Makeham aufgestellt und ungemein viel in der Lebensversicherungstheorie angewandt worden ist, nicht zum mindesten bei der Berechnung von Versicherungen für verbundene Leben!). Vom 20. Lebensjahre an gibt die Formel in der Regel eine gute Vorstellung von der Sterblichkeit; im Greisenalter wird jedoch infolge einer gewissen Auswahl?) die Zahl der Überlebenden oft größer sein als nach der Formel berechnet; bei praktischen Ver- wendungen jedoch spielt dieser Mangel nur eine untergeordnete Rolle. Will man dagegen eine Formel aufstellen, die nicht nur für las Alter um das 20. Lebensjahr herum, sondern für jedes Alter die Variation der Sterblichkeit mit dem Alter wiedergibt, dann wird namentlich der Verlauf der Sterblichkeit in den ersten Lebensjahren Schwierigkeiten bereiten. Eine Menge mehr oder weniger zusammen- zesetzter Ausdrücke ist hier im Laufe der Zeit vorgeschlagen und in Anwendung gebracht worden. Hier seien nur die folgenden von ?) Als Beispiel kann die von J. F. Steffensen (Dansk Forsikringsaarbog 1909, vgl. International Congress of Mathematicians, Cambridge 1912) vorge- ı0ommene Ausgleichung der Sterbetafel der skandinavischen Lebensversicherungs- Anstalten nach der Formel Makehams angeführt werden. (Dodelighetstabeller nligt nitton skandinav. och finska Lifförsäkringsanstalters Erfarenheter. Stock- holm 1906.) ‘) H. Westergaard, Die Lehre von der Mortalität, 2. Ausg., Jena 1901, X. 210. 4929 Oppermann!) und Thiele?) aufgestellten Formeln erwähnt, je- weils Ux = (@ + Px)e = + ye*x, und u7= a,e 7 ** + ae 7 6 —0? 1 a,ebex, Beim ersten Glied in der letzten Formel hatte "Thiele die Kindersterblichkeit vor Augen, beim zweiten die Sterblichkeit im Jünglings- und Mannesalter, und beim dritten (der Gompertzschen Formel) die Sterblichkeit im Greisenalter. Formeln dieser Art zeugen von der großen Schwierigkeit, welche lie Auffindung passender Funktionen verursacht, die sich für das ganze Leben anwenden lassen und nicht allzu beschwerliche Be- rechnungen erfordern. Während die hier besprochenen analytischen Ausdrücke sämtlich die Sterblichkeitsintensität u(x) betreffen, werden wir im nächsten Kapitel zu der Möglichkeit des Versuchs zurück- kehren, durch Auflösung der Funktion u(x)-1(x), d. h. der Alters- gliederung der Sterbefälle, die Sterblichkeit im Alter x als eine Funktion von x auszudrücken, wobei namentlich die Todesursachen- statistik in Betracht kommt. Letzteres Problem ist bereits oben im $ 208 gestreift worden, und ein anderes, das denselben (Lexis’schen) Gedankengang berührt, geht darauf aus, die Verteilung der Familien nach der Kinderzahl in Fruchtbarkeitsgruppen aufzulösen, z. B. in eine Gruppe, in der man keine Abweichung von der „Nettofruchtbarkeit“ hat, welche die zewöhnliche war, bevor sich der Niedergang in der Geburtenfrequenz zu zeigen begann, und in eine andere Gruppe, welche die Kinder- zahl zu begrenzen wußte 3). 378. Wie früher gesagt, ist die Verteilung der statistischen Beobachtungen häufig periodischen Charakters, wie auch die- jenigen Veränderungen, denen die Zahlen von Zeit zu Zeit unter- worfen sind, periodische Bewegungen aufweisen können. Diese Bewegungen treten überall im Sozial- und Wirtschafts- ieben hervor. Für Eheschließungen, Geburten und Sterbefälle geben ') Vgl. J. P. Gram, Om Udjevning af Dodelighedsiagttagelser 0g Opper- mann’s Dodelighedsformel, Tidsskrift for Mathematik, 5. Rakke, 2, Aarg., Koben- havn 1884, und H. Westergaard, Die Lehre von der Mortalität, 2. Ausg. Jena 1901, S. 201. ? T. N. Thiele, En matematisk Formel for Dodeligheden, Kobenhavn 1871. 3) Vgl. H. Westergaard, Zur Bevölkerungsfrage in der Neuzeit, im Archiv für Rassen- und Gesellschaftsbiologie, 3. Jahrg., Berlin 1906, S. 359f. 4123 folgende Zahlen, die nach den Erfahrungen in Dänemark aus den Jahren 1911—15 und 1916—20 die durchschnittliche Verteilung von 1200 Fällen auf die 12 Monate angeben, eine recht gute Vorstellung von der periodischen Bewegung in diesen Zahlen: ; Verteilung auf Monate von 1200 Eheschließungen | Geburten | Sterbefällen 1911—15 1916—20 1911—15 1916—20 ı 1911—15 1916—20 Januar. ... Februar. . . . März. . .. Aprül. ... Mai ... Juni... Juli... August . . September . Oktober. . November . Dezember. . X wW An I) 172 105 ; un 11 106 Zusammen | 1200 1200 | 1200 1200 | 1200 1200 Die Eheschließungen weisen im Laufe des Jahres zwei deutliche Höhe- und Tiefpunkte auf; eine ähnliche, allerdings viel schwächere Bewegung finden wir bei den Geburten wieder. Auch für die Sterbefälle zeigen die Zahlen eine sehr deutliche Bewegung, jedoch aur ein Maximum und ein Minimum im Laufe des Jahres. Bei der Berechnung dieser Zahlen ist die verschiedene Länge der Monate berücksichtigt worden, indem die Zahlen so umgerechnet sind, daß sie für Monate mit der gleichen Anzahl von Tagen gelten; dagegen ist nicht der Einfluß berücksichtigt, den teils die wachsende Volkszahl, teils die Veränderungen in den relativen Frequenzen der betrachteten Begebenheiten im Laufe der zwei Jahrfünfte gehabt haben mögen; d. h., man hat die im Gegensatz zu den periodischen Bewegungen sogenannte sekulare Bewegung unberücksichtigt ge- lassen. Für Eheschließungen, Geburten und Sterbefälle ist dieser Einfluß in der Regel jedoch so klein, daß man ihn nur ausnahms- weise zu betrachten braucht. Bei anderen Beobachtungen, namentlich solchen, die in der Wirtschaftsstatistik vorkommen, kann man jedoch oft neben den periodischen Bewegungen eine sehr deutliche sekulare Bewegung beobachten. In den ausgeprägtesten Fällen gibt Sich diese Bewegung dadurch zu erkennen, daß sämtliche Zahlen einer Periode größer oder kleiner sind als die entsprechenden Zahlen ler vorhergehenden Periode. Oft ist die Bewegung jedoch nur inner- — 1424 halb von Zeiträumen, welche wenige Perioden umfassen, ständig steigend oder ständig fallend; die sekularen Bewegungen können also selbst wechseln und bis zu einem gewissen Grade eine — in der Regel höchst unregelmäßige — periodische Form annehmen. 279. Wenn die sekularen Bewegungen von verhältnismäßig so geringer Stärke sind, wie es im allgemeinen bei Eheschließungen, Geburten und Sterbefällen der Fall ist, dann kann man ein ziemlich richtiges Bild der periodischen Bewegungen dadurch gewinnen, daß wie oben unmittelbar aus den für eine Reihe von Jahren vorliegenden Zahlen der einzelnen Monate die Durchschnittszahlen für jeden Monat berechnet werden. Sind dagegen die sekularen Be- wegungen ausgeprägt, dann kann eine solche unmittelbare Durch- schnittsberechnung nur ausnahmsweise ein richtiges Bild der perio- dischen Schwingungen ergeben, und sie wird jedenfalls immer hiervon beeinflußt sein, wenn die sekulare Bewegung in dem betrachteten Zeitraum ständig steigend oder ständig fallend gewesen ist. Bildet man beispielsweise den rohen Durchschnitt aus jedem der für den ersten Tag jedes Monats in den 11 Jahren 1903—13 berechneten nordamerikanischen Lebenshaltungsindizes?), so findet man folgende Zahlen, welche in pro mille die Höhe des Preisniveaus in jedem Monat im Verhältnis zum Jahresdurchschnitt ausdrücken: Januar . . . . . 1006 Februar. . ‚ 1003 März . . 1001 April. . 999 Mai. . 993 Juni 2... ‚986 Juli... ... , 986 August. . .. . 990 September. . . . 998 Oktober. . . „ 107 November. . . .1013 Dezember. . . . 1017 Diese Zahlen weisen eine Senkung des Preisniveaus im Laufe des Sommers und eine Steigung im Laufe des Herbstes auf, bis im Dezember das Maximum erreicht wird, worauf gleich im Januar ein recht bedeutendes Fallen einsetzt. Da indes das Preisniveau im yroßen und ganzen im Laufe der hier betrachteten Zeitspanne von 1903—13 stark anstieg und zwischen jedem Januar und Dezember eine so lange Zeit verflossen ist, daß die sekulare Steigung, der das Preisniveau gleichzeitig unterworfen war, nicht als bedeutungslos betrachtet werden kann, dann ist zu erwarten, daß jedenfalls ein Teil des Unterschiedes zwischen den oben für Dezember und Januar berechneten Zahlen nichts mit der periodischen Bewegung zu tun hat, sondern lediglich von der sekularen herrührt. 1) Bradstreet monthly Index, quoted by Warren M. Persons (Indices of general business condition 1919). 425 280. Die Trennung der sekularen und periodischen Bewegungen ist nun allerdings eine Aufgabe, .die in manchen Fällen als äußerst schwierig und bis auf weiteres in einigen Fällen vielleicht als ganz unlösbar angesehen werden muß. Will man jedoch ver- suchen, den hinter den Phänomenen wirkenden Ursachen auf die Spur zu kommen, dann ist es andererseits notwendig, entscheiden zu können, ob eine vorliegende Beobachtung von einer gegebenen Größe als größer oder kleiner als der Wert (möglicherweise nicht wesentlich verschieden von diesem) anzusprechen ist, den man auf Grund der Kenntnis, die man sich im übrigen vom betrachteten Phänomen ver- schaffen kann, als „normal“ bezeichnen muß. Und dies setzt ferner voraus, daß man eine jedenfalls annähernd richtige Unterscheidung dieser beiden Bewegungen vornehmen kann. Es liegt hier nahe, wie bereits so oft getan !), eine Beschreibung der ganzen Bewegung mittels einer zweckmäßig gewählten Formel, die sich teilweise aus periodischen (trigonometrischen) Funktionen aufbaut, zu versuchen; man muß sich jedoch im voraus klar darüber sein, daß die zu diesem Zwecke aufgestellten Formeln ebenso wenig wie die oben erwähnten „statistischen Gesetze“ als typisch und auch in Zukunft nicht als feststehend betrachtet werden können; höchstens gann von einer bequemen Umschreibung, also von irgend einer — möglicherweise ausgeglichenen — Interpolationsformel die Rede sein. In vielen Fällen wird es indes nicht bloß leichter, sondern im großen zanzen besser sein, von jeglicher Ausgleichungstheorie abzusehen und ohne Anwendung von Formeln den numerischen Ausdruck für lie verschiedenen Zeitpunkten entsprechenden Durchschnittswerte Normalen) zu benutzen, die sich oft unmittelbar aus den Beobach- ‚ungen berechnen lassen. Diese Methode ist allerdings nicht ohne eine gewisse Willkür; sie verlangt jedoch nicht, daß man die Be- rechnungen der hierbei verwendeten beweglichen Durchschnitte auf Beobachtungen aus einer langen Zeitspanne gründet, wie es in der Regel bei der Bestimmung der Konstanten einer Formel durch Aus- zleichung der Fall ist, welche Ausgleichung auch zu wiederholen ist, wenn man zu der vorliegenden Reihe von Beobachtungen neue, z. B. für eine anschließende Zeitspanne, fügt. 281. In dem oben benutzten Beispiel über die periodischen Bewegungen des amerikanischen Preisniveaus kann man im Einklang ') Vgl. z. B. H. L. Moore, Economic cvcles. their law and causes, New York 1914 — 426 mit dem hier Gesagten beispielsweise auf folgende Weise vorgehen!: Denken wir uns, daß wir mit der Berechnung des Durchschnitts der für den 1. Januar in den 10 Jahren 1904—13 gegebenen Zahlen anfangen. Wollte man nun in derselben Weise den Durchschnitt aus den 10 für den 1. Februar derselben Jahre gegebenen Zahlen berechnen, dann würde dieser Durchschnitt für eine Periode gelten, welche einen Monat später liegt, und in entsprechendem Grade durch die jeweils Januar 1904, Januar 1905, Januar 1906 ..... Januar 1913: eingetroffenen sekularen Steigungen beeinflußt sein. Wenn man dagegen bei der Berechnung des Durchschnitts für den 1. Februar !/,„ der Zahl für den 1. Februar 1903 und als Entgelt dafür die Zahl für den 1. Februar 1913 nur mit !!/,„ einsetzt, während die Zahlen für die dazwischen liegenden Jahre unverändert sind, und wenn man analog bei der Berechnung des Durchschnitts für den 1. März ’?%,,2 der Zahl für März 1903 und 1!°/,2 der Zahl für März 1913 nimmt usw., dann gelangt man zu Zahlendurchschnitten, welche Monate betreffen, die um einen festen Mittelpunkt (1. Juli 1908) gruppiert sind, und nicht wie vorher zu Zahlendurchschnitten für Monate, welche um einen stets vorwärts schreitenden Mittel- punkt (!/, 08, 1/3 08, 14 08 ...) gruppiert sind. Die Berechnung läßt sich durch folgendes Schema veranschaulichen, in dem ags, 04) Aos +... die Januar-Zahlen für die betrachteten Jahre, bos, bo«s, Dos ‚... die Februar-Zahlen usw. und A, B, C .... die gesuchten Monatsdurchschnitte bedeuten: . 1/0 12 Januar: Aa üt a4 tr + TR 0) 1/1 11 Februar: Ba (des +4 di + bs +........ + bo + Abu) März: 0 (00 +0 +00. eu +19) 1 /10 ; 2 November: Ki + Ku -+Kos+ 0.0.0.0... Kı23 +) 1 /11 1 Dezember: L= 12 108 + Los + los + ......... + 112 FT 75118 Ö Wenn sich die gegebenen Zahlen nicht wie hier auf einen einzelnen bestimmten Tag im Monat beziehen, sondern für den ganzen Monat gelten (z. B. die Zahl der Eheschließungen, Geburten und 427 Sterbefälle, oder der Import, die Produktion usw. im Laufe des Monats), dann müssen sie als Durchschnitte auf die Mitte des Monats ver- legt werden, und man muß dann mit Verschiebungen von jeweils 4, 11, 2} usw. Monaten rechnen, was keine andere Veränderung in lem aufgestellten Schema mit sich führt, als daß dann die Zahlen jeweils für das erste und letzte Jahr mit den Koeffizienten 1 24 08) 23 DA dus, s»inzusetzen sind. Mittels dieser einfachen Methode kann man damit rechnen, auf jeden Fall den wesentlichsten Teil des Einflusses, der von den zekularen Bewegungen herrührt, auszuschalten; beispielsweise gelangt man hierbei zu folgendem Ausdruck für die periodischen Bewegungen les Preisniveaus: Januar . Februar . März . April . Mai... uni . 1.479 „ 49 087 Juli ... August . . September Oktober. . a November. ‚ . . 1008 Dezember. . . . 1012 Es erhellt, daß jetzt kein Unterschied zwischen Januar und Dezember vorliegt. Teilt man die Beobachtungen in zwei Jahr- fünfte, dann läßt eine entsprechende Berechnung aufs neue den Unterschied zwischen Dezember und Januar, den eine unmittelbare Durchschnittsberechnung ergibt, verschwinden. In diesem Beispiel dagegen ist die sekulare Bewegung nicht stark genug gewesen, das Sommer-Minimum aus den rohen Durchschnittszahlen verschwinden zu lassen; in anderen Fällen werden diese Durchschnitte so mangel- haft sein, daß die Berücksichtigung dieser Bewegung zur Not- wendigkeit wird. Wenn man in dieser oder ähnlicher Weise einen möglichst reinen Ausdruck für die periodischen Bewegungen gewonnen hat, lann kann man hieraus Nutzen ziehen und z. B. mittels einer Aus- zleichung der Zahlen ein klareres Bild über die Bewegungen, welche über die periodischen hinaus stattgefunden haben, gewinnen. Es er- yibt sich hierbei, um ein Beispiel zu nennen, daß die nordamerika- nischen Preise am Schlusse des Jahres 1906 und zu Anfang des — 428 Jahres 1907 stiegen, bis sie März 1907 ein Maximum erreichten. Danach fielen die Preise, bis sie im Jahre 1909 aufs neue anzogen; diese Steigung dauerte die folgenden Jahre an und wurde erst 1913 durch eine Reaktion abgelöst. Es ist klar, daß eine solche nähere Bestimmung der Wendepunkte nicht möglich wäre, wenn man nicht imstande wäre, bis zu gewissem Grade die Saisonschwingungen zu berücksichtigen. Bei sonstigen Aufgaben kann man auch in anderer Weise aus der Kenntnis der periodischen Bewegungen Nutzen ziehen; so läßt sich beispielsweise die tägliche Durchschnittstemperatur allein auf Grund einiger weniger Temperaturbeobachtungen (Morgen- und Abendtemperatur) oder ein Jahresdurchschnitt für die Arbeitslosigkeit auf Grund der Beobachtungen für einige wenige auf ein Jahr ver- teilte Zeitpunkte bestimmen, indem man in der oben im $ 246 be- schriebenen Weise unter Benutzung einer für die ganze Periode geltenden vollständigen Kurve als Musterkurve die fehlenden Stücke auf dem Wege der Interpolation bestimmen kann. Aufgabe 92. Die Zufuhr von Äpfeln zum Kopenhagener Gemüsemarkt war in jedem der Erntejahre 1919/20 bis 1924/25, auf Monate verteilt und in 1000 kg folgende: 1919—20 1920—21 1921—22 1922923 1923—924 1924—925 Juni. 2.0... Juli... . August. .. September Oktober . November Dezember Januar. . Februar . März. . . April. . . Mai. . LO x 58 461 392 331 256 60 41) 2: 8 Suche mit Hilfe dieser Zahlen einen Ausdruck für die periodischen Be- wegungen in der Zufuhr, und suche danach die Schwingungen, denen die Zufuhr m übrigen unterworfen war. 282. Im Obigen setzten wir die Dauer der gesuchten Periode als gerade ein Jahr voraus, was ganz natürlich oft der Fall sein wird. Perioden von anderer Länge kommen indes auch vor, so z. B. in der Meteorologie, wo man außer vom jährlichen Gange des Baro- meterstandes und der Temperatur auch von dem täglichen Gange dieser meteorologischen Elemente spricht!). Weit schwieriger indes ' V. Ryd, Meteorologiske Elementers Perioder (Diss.), s, auch Helge Petersen, Veirets Fysik, Kobenhavn 1926. Kobenhavyn 1915: 429 gestaltet sich die Aufgabe, wenn keine naheliegenden oder ent- scheidenden Gründe für eine Annahme über die Länge der Periode vorliegen; die Beobachtungen mögen indes in so ausgeprägtem Grade lie Perioden angeben, daß diese unsere Aufmerksamkeit fesseln; so hat z. B. H. L. Moore!) die Größe des jährlichen Niederschlages im Ohio-Tale während der Jahre 1839—1910 und in Illinois von 1870—1910 untersucht und mit Hilfe einer Ausgleichung nach periodischen Funktionen das Vorhandensein einer 8-jährigen Periode nachweisen zu können vermeint; berechnet man gruppenweise die durchschnittliche Regenmenge in Ohio in den Jahren 1839, 1847, 1855 ...., danach in den Jahren 1840, 1848, 1856 .... usw. dann erhält man eine Reihe von Durchschnittszahlen, die es im Verhältnis zur Größe der mittleren Fehler dieser Durch- schnitte wahrscheinlich machen, daß eine solche 8-jährige Periode existiert, selbst wenn sich ihre Ursachen nicht nachweisen lassen. Teilt man die Jahre in Perioden von 7 oder 9 Jahren, so ergibt sich dagegen kein entscheidender Unterschied zwischen den in den einzelnen Gruppen zusammengefaßten Jahren. Die Beob- achtungen aus Illinois deuten ebenfalls auf eine 8-jährige Periode, wenn auch die Unterschiede im Vergleich zu den mittleren Fehlern aier nicht im gleichen Grade entscheidend sind. Daß rein physische Ursachen wirtschaftliche Verhältnisse be- 2influßen können, ist wohl denkbar, auch daß physische Ursachen, die mit periodisch variierender Stärke auftreten (wie der Nieder- schlag), zur Entstehung von Wirtschaftsperioden beitragen können. Beispielsweise ist es keineswegs merkwürdig, daß die jährliche Regenmenge die Jahresernte und dadurch die Wirtschaftslage be- einflußt; andererseits ist denn auch zu berücksichtigen, ob der reich- lichere Niederschlag im wesentlichen in den in der Regel wenigen für das Wachstum des Pflanzenbestandes entscheidenden Monaten eintrifft. Schließlich wäre auch nachzuweisen, daß solche Perioden in der ganzen Welt allgemein seien, was nicht der Fall zu sein scheint ?); die Möglichkeit einer bloß teilweisen Erklärung der Wirtschafts- perioden durch entsprechende physische muß vorläufig also als in weiter Ferne liegend erscheinen. "a. a. O., vgl. S. 425. ’) H. Westergaard, On periods in economic life, Metron, Vol. V, Pa- lova 1925, S. 3. Vgl. auch Nationalokonomisk Tidsskrift. 63. Band. Kobenhavn 1925. SS. 14. 430 VI. Kapitel Bevölkerungsstatistik. A. Das Anwachsen der Volkszahl. 283. Die Beobachtungen, zu denen bei Untersuchungen über die Phänomene in der menschlichen Gesellschaft Veranlassung ist, brauchen, wie im II. Kapitel erwähnt, nicht ausschließend die Be- völkerung selbst oder deren Teile zu umfassen — also nicht speziell die Massen (Gruppen), deren einzelne Bestandteile die menschlichen Individuen sind; aber es liegt natürlich in erster Linie nahe, Größe und Zusammensetzung der Bevölkerung und die Bedingungen für die Veränderungen hierin zu untersuchen. Die Geschichte der Statistik zeigt auch, daß, sobald der Drang, durch Beobachtungen die An- schauungen über die Gesellschaftsphänomene zu befestigen, erwachte, es die Beobachtungen über die Bevölkerung waren, mit denen man sich zuerst befaßte, wie man sich überhaupt. lange Zeiten hindurch mit Vorliebe mit bevölkerungsstatistischen Problemen beschäftigte. Da auch das Lebensversicherungswesen in seinen verschiedenen Formen schon in einem sehr frühen Stadium nicht nur die Resultate der bevölkerungsstatistischen Untersuchungen auszunutzen verstand, sondern selbst hierzu bedeutende Beiträge lieferte, so erreichte die Bevölkerungsstatistik eine stark ausgearbeitete Form, die sich später auch für ganz andere Wissenschaftszweige als fruchtbar arwies. Mit Hinblick auf solch erweiterte Anwendung der Bevölkerungs- statistik versteht man unter einer „Bevölkerung“ im allgemeinen nur eine Sammlung von Einheiten (Individuen), die sich begriffs- mäßig abgrenzen läßt, so daß sich zu jeder Zeit entscheiden läßt, ob das einzelne Individuum zur Bevölkerung gehört oder nicht, im besonderen ob es existiert oder nicht, während die Einheiten selbst beliebiger Art sein können (Menschen, Tiere, Eheschließungen, land- wirtschaftliche Betriebe, Blutkörper, Moleküle, Elektronen usw.). Im folgenden beschränken wir uns im wesentlichen darauf, die Be- völkerung als lediglich aus menschlichen Individuen zusammengesetzt zu betrachten; aber selbst solche Bevölkerungen lassen sich höchst verschieden abgrenzen; man kann die Gesamtbevölkerung eines Landes oder Staates oder Teile desselben betrachten, welche durch zeographische oder andere Kennzeichen unterschieden werden, wie 431 Mann, Frau, verheiratet, unverheiratet oder ehemals verheiratet, Personen eines gewissen Alters oder eines gewissen Berufes, Per- sonen, welche lebensversichert sind usw. Da nun der Bestand an [ndividuen, welcher sich zu einem gegebenen Zeitpunkt vorfindet, im allgemeinen mit der Zeit Veränderungen hinsichtlich der Größe und Zusammensetzung dadurch unterworfen ist, daß Individuen aus der Bevölkerung ausscheiden („austreten“) oder daß neue hinzutreten ‚„eintreten“), so ist eine der wichtigsten Aufgaben der Bevölkerungs- statistik die, zu untersuchen und zu beschreiben, worin diese Ver- änderungen bestehen, in welcher Weise sie voneinander ab- hängen und wie schnell sie verlaufen („statistische Be- wegungslehre“). Die Einteilungen der „Bevölkerung“, zu denen man hierbei veranlaßt werden kann, können je nach der Art der Bevölkerung höchst verschieden sein; aber welche Bevölkerung man nun auch betrachtet, allen ist dies gemein, daß Individuen eintreten, eine gewisse Zeit in der Bevölkerung verbleiben und danach aus- scheiden, so daß eine große Menge von Aufgaben von anscheinend höchst verschiedener Art Betrachtungen unterzogen werden können, lie sich zuguterletzt als genau dieselben erweisen. 2S4. Betrachten wir bis auf weiteres als das Nächstliegende die menschliche Bevölkerung eines ganzen Landes (Staates), dann ist der Zu- und Abgang durch die Zahl der Geburten und Sterbe- fälle, sowie durch das Ausmaß der Wanderungen über die Landes- zrenzen bestimmt. Wenn die Volkszahl zu Anfang und Schluß irgend einer Periode jeweils F, und F} ist und in derselben Periode F Geburten und d Sterbefälle eintreffen, ferner £ Personen ein- und w% Personen auswandern, dann ist Fn— Fa= ff — d—+i -— u Die Differenz f— d heißt Geburtenüberschuß (natürlicher Bevölkerungszuwachs) und die Differenz i— u Wanderungs- überschuß; beide Differenzen können natürlich jede für sich negativ werden. Sehr oft wird die Größe des Geburtenüberschusses im wesentlichen dafür entscheidend sein, wie schnell die Volkszahl wächst; aber die Ein- und Auswanderung kann im übrigen mit sich führen, daß sich die Volkszahl in verschiedenen Ländern in ganz verschiedener Weise verändert, wie es z. B. aus folgenden an- aähernden Zahlen (in Tausenden) für die Bevölkerungen Dänemarks. Frankreichs und Irlands hervorgeht. 4392 Jahr 1810 | 1820 1830 L840 1850 1860 1870 L880 1890 1900 1910 Dänemark Volks- zahl Geburten- überschuß 1000 1102 1210 101 106 90 1295 1432 137 1621 181 1800 186 1986 226 279 2157 2447 2756 293 372 x rrankreich _ Volks- ' Geburten zahl |überschuß 28 200 } 1697 30.000 \ 1838 31 900 1392 1457 ‘869 34.907 35 741 35.765 | 1040 37 512 38 343 38 962 39 602 641 670 240 465 { ) / Trland Volks- | Geburten- zahl ıüberschuß 5956 6802 7767 8197 6574 5799 5412 5175 4704 436 267 222 256 4458 4390 Jedenfalls für die letzte Hälfte des Jahrhunderts 1810—1910 können in großen Zügen die Bewegungen in den angeführten Volks- zahlen als so entstanden beschrieben werden, daß für Dänemark großer Geburtenüberschuß und geringer Wanderungsüberschuß (nega- tiv), für Frankreich geringer Geburtenüberschuß und großer Wan- derungsüberschuß (positiv) und für Irland ein Wanderungsüberschuß (negativ) vorliegt, welcher den Geburtenüberschuß mehrere Male überwiegt. 285. Wir bemerkten bereits im $ 216, daß die Volkszahl oft dahin tendiert, analog einem verzinslich angelegten Kapital, also nach einer Quotientenreihe („geometrischer Progression“), anzu wachsen. Natürlich liegt hierin nichts anderes und nichts mehr als in irgend einer anderen Interpolationsformel, deren mehr oder weniger gute Übereinstimmung mit der Wirklichkeit jederzeit nachzuprüfen ist, wenn die hierzu erforderlichen Beobachtungen vorliegen. Beispiels- weise geht unmittelbar aus den oben für Irland angeführten Volks- zahlen hervor, daß sich diese nicht die ganze Periode von 1810 bis 1910 hindurch nach einer und derselben Quotientenreihe Vver- ändert haben. Bedingung hierfür ist, daß das Verhältnis zwischen den Volkszahlen zu Schluß und zu Anfang von Perioden gleicher Länge konstanten Wert hat, oder, was auf dasselbe hinauskommt, —_ 433 daß der Zuwachs in Perioden gleicher Länge proportional der Volks- zahl am Anfang jeder Periode ist, ganz wie der im Laufe eines Termins vom Kapital erbrachte Zins. Die Volkszahl Dänemarks ist beispielsweise einen langen Zeitraum hindurch jährlich um 1%, ge- wachsen. Einen Ausdruck für die Schnelligkeit des Wachstums siner Bevölkerung kann man daher dadurch finden, daß man das durchschnittliche jährliche Zuwachsprozent nach der Zinseszinsformel berechnet. Ist die Bevölkerung in einer Periode von n Jahren von Fo, auf F. gewachsen, so findet man das gesuchte Prozent aus der Gleichung Fı=Fo- (1+ 7%) welche argibt. Da die Gleichung ausdrückt, daß der Logarithmus der Volkszahl linear mit der Zeit wächst, so kann man allgemeiner als Inter- polationsformel für die Volkszahl am Zeitpunkte t für jeden Wert von t im Laufe der Periode log Fi = log F, + ct benutzen‘), wo sich die Größe der Konstanten c ebenso wie p durch die Volksmenge zu Anfang und Schluß der Periode bestimmen läßt. Der numerische Wert von c wird hierdurch von der Größe der Zeiteinheit (Tag, Monat, Jahr) abhängig, durch die die Länge der Periode ausgedrückt ist; es geht jedoch aus der Formel hervor, daß > ebenso wie p bei wachsender Bevölkerung positiv, bei abnehmender jegativ ist, und desto größer ist, je schneller sich die Volkszahl verändert. Beide Zahlen p und c können als Maßstab für das Wachstum der Bevölkerung benutzt werden und müssen von der Häufigkeit abhängen, mit der Geburten und Sterbefälle sowie Ein- und Aus- wanderungen eintreffen. Da die Zahl der Geburten und Sterbefälle unter sonst gleichen Bedingungen als umso größer angesprochen werden xann, je länger der betrachtete Zeitraum und je größer die Be- Völkerung ist, so lassen sich als Maßstab für die Durchschnitts- 4 Dies entspricht dem, daß man unendlich kleine Termine für die „Zins- °intragung“ benutzt. Vestergaard und Nvbelle. Theorie der Statistik, 2. Aufl. 434 Irequenz dieser Begebenheiten in einer Bevölkerung von einer kon- stanten Größe F die Quotienten £ d CC =— ur und ß = vr benutzen, wo f und d jeweils die Zahl der im Zeitraum t einge- troffenen Geburten und Sterbefälle angeben. Da das Produkt t-F die im Zeitraum t von der Bevölkerung durchlebte Zeit T angibt und man sich auch T bestimmt denken kann, wenn F nicht konstant ist (vgl. $ 236), so kann man allgemeiner f d CU =— T und ß = T setzen. Diese Brüche, welche ungemein häufig in der Bevölkerungs- statistik benutzt werden, heißen die summarischen Geburten- und Sterblichkeitsquotienten; sie sind wie c in dem Sinne benannte Zahlen, daß die Zahlengrößen, durch die man sie ausgedrückt erhält, 7on der Zeiteinheit abhängig sind, durch die man t ausdrückt. 2386. Denkt man sich die Größe der Volkszahl zu jeder Zeit innerhalb der betrachteten Periode durch die oben angeführte Inter- polationsformel log Fe = log Fo +6, bestimmt, dann läßt sich hierauf die von der Bevölkerung in der Periode durchlebte Zeit und die mittlere Volkszahl der Periode be- rechnen (vgl. 8 240). Bei einer rein numerischen Bestimmung dieser Zahlen wird hierbei kein Grund dazu sein, andere als die ge- wöhnlichen Briggschen Logarithmen (mit der Grundzahl 10) zu be- nutzen. Die zwischen der in die Interpolationsformel eingehenden Konstante c und der Häufigkeit von Geburten, Sterbefällen und Wanderungen bestehende Abhängigkeit nimmt indes eine besonders sinfache Form an, wenn man mit den bereits im $ 108 erwähnten natürlichen Logarithmen mit der Grundzahl e == ca. 2,7183 rechnet und also Fe — Fo . et setzt. In diesem Falle erhält man nämlich (vgl. den Anhang) für die durchlebte Zeit pn C Wenn nun der Bevölkerungszuwachs FF, — Fo dadurch zustande vekommen ist, daß in der Periode f£ Geburten und d Sterbefälle ein- 435 getroffen sind, und dadurch, daß z Personen eingewandert und wu Personen ausgewandert sind, und wenn man die f d % — T und ß == T entsprechenden summarischen Ein- und Auswanderungsfrequenzen i u Y= m und ö =w einführt, dann erhält man aus der Relation Fan- Fo=f—d+i—uW A Orca — HH —8, d. h., daß c ganz einfach die Summe der relativen Größen des Ge- burtenüberschusses und des Wanderungsüberschusses ist. Da zwischen den Zahlen c und p die Relation PP 1007 = €° —1 bestehen muß, so kann man hieraus p finden, wenn c bestimmt ist, oder c, wenn p bestimmt ist, Wenn man nicht Zeiträume benutzt, die so lang sind, daß die ihnen entsprechenden Zuwachsprozente über 2 bis 3% hinausreichen, dann geht aus untenstehender Tabelle, welche die zusammengehörigen und am häufigsten gebrauchten Werte von p und c umfaßt, hervor, daß der dadurch entstehende Unterschied, daß man mit kleinen endlichen Terminen anstatt mit unendlich kleinen Terminen rechnet, bei den meisten praktischen Anwendungen ohne Bedeutung sein wird, so daß dann die Summe c aus den relativen Geburten- und Wanderungsüberschüssen sehr annähernd dem durch- schnittlichen jährlichen Zuwachsprozent gleich sein wird, weshalb man unter Berücksichtigung der Genauigkeit, mit der sich die Zahlen p und c mittels Beobachtung der Volkszahl berechnen lassen, in praxi oft p und nicht c berechnet, wenn man zum Ausdruck bringen will, wie schnell eine Bevölkerung wächst; zu diesem Zweck könnte pP 100 J,004 ) 00401 0,01005 3,095 „AL 0,01511 6735 00602 0,02020 I, v7 0,00702 0,02531 0,008 0,00803 0.03045 0,009 0,00904 0,03562 man auch, wie ältere Verfasser so oft taten (vgl. z. B. $ 22), die sogenannte Verdoppelungsperiode benutzen, da es an und für sich gleich- JQ+ 436 yültig ist, ob man von einem jährlichen Zuwachsprozent von 1% 0,01) oder von einer Verdoppelungsperiode von 70 Jahren usw. spricht. Jetzt ist jedoch aus praktischen Gründen diese Ausdrucks- weise ganz verlassen worden. 28%. Obgleich man wie gesagt außerordentlich oft die oben besprochenen summarischen Geburten- und Sterblichkeitsquotienten als Maßstab für die Häufigkeit, mit der die betreffenden Ereignisse eintreffen, angewendet findet, so ist ihre Verwendbarkeit zu diesem Zweck nichtsdestoweniger in hohem Grade bedingt; zur näheren Be- leuchtung dessen sei folgendes Beispiel aus der englischen Bevölkerungs- statistik!) über die Sterblichkeit in den Jahren 1910—1912 unter den Geistlichen (clergymen, priests, ministers), unten als Gruppe G, und unter den Beamten und Angestellten der Eisenbahnen railway-officials, clerks), unten als Gruppe E bezeichnet, gegeben: Alter G. Geistliche Mittlere | Sterbe- | ß / Mittlere | Sterbe- E Eisenbahner a B 0,004 0,005 0,011 | 0,025 0,066 0,190 Zusammen | 122 436 | 2534 | 0,021 | 192 849 ı 2458 | 0,018 Sieht man vorläufig von der Altersgliederung ab, so wird der summarische Sterblichkeitsquotient 8@ für die Gruppe G ca. 21%, für die Gruppe E jedoch nur ca. 13%. Diese Zahlen sind in mehreren Verbindungen anwendbar; fragt man jedoch nach den Ursachen zu dem zwischen den zwei Gruppen gefundenen Unterschiede, dann reichen sie nicht aus. Weiter oben sagten wir, daß eine durch- zeführte Teilung des Beobachtungsmaterials notwendig sei, damit man bei Vergleichen zuverlässige Schlüsse aus den dem Material ent- nommenen Zahlen ziehen könne. Dies gilt auch hinsichtlich der Sterblichkeit. Nach einer einfachen Einteilung in Altersgruppen von 10 Jahren erhält man, wie in der Tabelle gezeigt, ein ganz anderes Resultat, nämlich dies, daß die Sterblichkeit auf entsprechenden Altersstufen überall in Gruppe G kleiner ist als in Gruppe E. Diese 1) Supplement to the 75th annual Report of the Registrar-General for En g- land — Wales, part IV. London. 457 anscheinend sich widersprechenden Resultate wären nicht entstanden, wenn entweder die Sterblichkeit auf allen Altersstufen dieselbe ge- wesen wäre oder die zwei Bevölkerungsgruppen sich analog nach dem Alter zusammengesetzt hätten; keine dieser Bedingungen ist jedoch erfüllt; für beide Gruppen nimmt die Sterblichkeit mit dem Alter zu, und die Gruppen sind in sehr verschiedener Weise nach dem Alter zusammengesetzt, wie beispielsweise folgende Übersicht zeigt: Gruppe G Gruppe E Unter 35 Jahren ... 17 Proz. 36 Proz. Uber 55 » ...36 17 Da die Sterblichkeit mit dem Alter wächst, so ist der für jede der Gruppen G und E gefundene zahlenmäßige Ausdruck für ß nicht nur von der Sterblichkeit auf den einzelnen Altersstufen der Gruppen, sondern auch von deren verschiedener Altersgliederung abhängig. In einem folgenden Kapitel kehren wir in größerer Allgemeinheit zu der Frage, in welcher Weise sich die Wirkung der verschiedenen Altersgliederung eliminieren läßt, zurück. An dieser Stelle be- schränken wir uns auf die Bemerkung, daß ein Unterschied zwischen den summarischen Sterblichkeitsquotienten für zwei oder mehrere Gruppen nach obigem ebensowohl Ausdruck für eine verschiedene Altersgliederung wie für eine verschiedene Sterblichkeit sein kann, ınd daß man daher im allgemeinen nicht dessen sicher sein kann, laß die Sterblichkeit in einer Bevölkerung oder Bevölkerungsgruppe zatsächlich kleiner ist als in einer anderen, selbst wenn erstere den zleinsten Sterblichkeitsquotienten hat. 288. Wir setzten bisher voraus, daß man von den für die einzelnen Altersklassen berechneten Sterblichkeitsquotienten einen Rückschluß larauf ziehen konnte, daß die Sterblichkeit auf sämtlichen benutzten Altersstufen in der Gruppe J größer als in der Gruppe G sei. Indes erst eine nähere Untersuchung kann zeigen, ob die für die einzelnen 10- ‚ährigen Altersklassen berechneten Sterblichkeitsquotienten nicht eben- sowohl als summarisch wie die für sämtliche Alter berechneten zu be- irachten sind. Teilte man z. B. die in der Altersgruppe 45 bis 55 Jahre zusammengefaßten Personen in 1-jährige Altersgruppen, dann besteht prinzipiell die Möglichkeit, daß diese Altersklassen eine Reihe wachsen- ler Sterblichkeitsquotienten aufweisen könnten, die in Gruppe !E kleiner als in Gruppe G wären, und daß die Ursache dafür, daß der für die ganze 10-jährige Altersgruppe berechnete Sterblichkeits- juotient für die Gruppe G am kleinsten ist, wie früher in einer ver- schiedenen Altersgliederung innerhalb der 10-jährigen Altersklasse — 438 zu suchen ist, in dem hier gedachten Falle so, daß so gut wie alle in der Gruppe E aufgeführten 39483 Personen nahe bei 55 Jahren lagen. In der Regel wird man jedoch dazu berechtigt sein, von der Möglichkeit einer solchen Anomalie abzusehen; aber die Sterblich- keit kann auch von anderen Umständen wie Geschlecht, Zivilstand, Aufenthaltsort (Stadt oder Land), Beruf, Art der Versicherung usw. (vgl. unten $ 290) abhängig sein. Wenn man nicht damit rechnen darf, daß die verglichenen Gruppen gleichartig hinsichtlich der in Betracht kommenden Einteilungsgründe zusammengesetzt sind, dann ist näher zu prüfen, ob ein Unterschied zwischen den Sterblichkeits- quotienten nicht eher einer verschiedenen Zusammensetzung der be- irachteten Gruppen als einem Unterschied auf Grund der Sterblich- zeit zuzuschreiben ist. In welcher Weise eine diesbezügliche Unter- suchung vorzunehmen ist, wurde im IV. Kapitel besprochen und soll laher an dieser Stelle nicht behandelt werden. 289. Über die summarische Geburtenfrequenz kann man entsprechende Bemerkungen machen. Fragt man nach den Ursachen der gefundenen Verschiedenheiten, so geht es wie bei der Sterblich- keit, daß die summarischen Zahlen mitunter mehr irreführend als anleitend sein können. Während man bei der Untersuchung des Anwachsens der Volkszahl mit der oben gegebenen Begründung die Geburtenzahl einer Periode ins Verhältnis zur ganzen Bevölkerung ‘bzw. zur mittleren Bevölkerung) der Periode setzen kann, muß man, sobald es sich um eine eingehendere Untersuchung handelt, u. a. oft von der Größe der männlichen Bevölkerung absehen oder sogar nur den Teil der weiblichen Bevölkerung betrachten, welcher gebärfähig ist. Werden weiter noch die Mütter in verschiedene Altersgruppen zeteilt, dann wird sich wie bei der Sterblichkeit ergeben, daß die Geburtenfrequenz stark mit dem Alter der gebärenden Mütter und in recht verschiedener Weise für verheiratete und unverheiratete Mütter schwankt: vgl. die folgenden auf Grund dänischer Erfahrungen für die Jahre 1916—1920 berechneten Promillen für die Geburtenfrequenz: Verheiratete | Unverheiratete Frauen Frauen L6—20 Jahre 20—25 25—30 30—35 35 —40 40 —45 A5—50 541, 367,5 268,7 198,5 134.8 60,9 61 16.7 38'3 30,8 23,9 16,7 71 04 439 ME Sind die Gruppen, deren Geburtshäufigkeit zu vergleichen ist, hinsichtlich Alter und Zivilstand wesentlich verschieden zusammen- gesetzt, so folgt aus den angeführten Zahlen, daß die zwischen einigen summarischen Geburtenfrequenzen gefundenen Unterschiede ebensowohl auf einer solchen verschiedenen Zusammensetzung wie auf einem wesentlichen Unterschied in der Fruchtbarkeit beruhen können. B, Die menschliche Sterblichkeit. 290. Die bereits im $ 55 erwähnte Sonderung zwischen quanti- tatıyen und qualitativen Einteilungsgründen kann man sich natürlich auch dann durchgeführt denken, wenn diejenigen Ursachen, welche lie Größe der Sterblichkeit wesentlich beeinflussen, untersucht werden. Während sich die erstere Art zahlenmäßig ausdrücken läßt und da- bei zu einer unbegrenzt fortgesetzten Teilung Veranlassung gibt, sollte die Einteilung nach qualitativen Ursachen nicht veranlassen können, daß mehr als eine gewisse endliche Anzahl von Gruppen unter Behandlung genommen werden (bei der Einteilung nach Ge- schlecht nicht mehr als 2 Gruppen, nach Zivilstand höchstens 4 bis j usw.). Dieser Unterschied zwischen der Art der Ursachen führt mit sich, daß, während man etwa versuchen könnte, die Sterblich- keit als eine Funktion der quantitativen Ursachen auszudrücken (wie es z. B. bei einer Sterbetafel der Fall ist, welche die Variation der Sterblichkeit mit dem Alter angibt), etwas Entsprechendes hin- sichtlich der qualitativen ausgeschlossen ist. Hat man nämlich über- haupt die Mittel, die Sterblichkeit als eine Funktion der quantitativen Ursachen auszudrücken, so hat das erwähnte Verhältnis nur im Gefolge, daß dieselbe Untersuchung unverändert für jede der endlichen An- zahl von Gruppen, zu deren Betrachtung eine Teilung nach quali- tativen Ursachen Veranlassung gibt, wiederholt werden muß, und insofern kann man sich darauf beschränken zu untersuchen, wie sich die Abhängigkeit der Sterblichkeit von den quantitativen Ursachen bestimmen 1äßt. Da es sich namentlich im letzten halben Jahrhundert gezeigt hat laß sich die Sterblichkeit — außer vom Alter und von den oben zenannten qualitativen Ursachen abzuhängen — auch mit der Zeit erheblich verändern kann, so könnte davon die Rede sein, die Sterblich- keit nicht nur als eine Funktion des Alters x, sondern auch als Funktion der Zeit t auszudrücken, die wie das Alter als eine kon- ‘inulerliche Größe aufgefaßt werden kann. In dem im S 288 ange- 440 führten Beispiel sahen wir indes, daß es nicht in allen Fällen notwendig ist, eine unbegrenzt fortgesetzte Altersgliederung vorzunehmen, und analog wollen wir im folgenden, wo übrigens gerade zu untersuchen ist, wie sich die Abhängigkeit der Sterblichkeit vom Alter bestimmen läßt, nicht die Zeit t als eine kontinuierliche Ursache berücksichtigen, sondern, wie es im allgemeinen geschieht, uns die im Laufe der Zeit eintretenden Veränderungen in der Sterblichkeit allein durch die Bewegungen in der für Perioden (Jahre, Jahrfünfte, Jahrzehnte usw.) von endlicher Größe berechneten mittleren Sterblichkeit ausgedrückt denken. Als Beispiel einer kontinuierlichen Ursache könnte noch an- geführt werden, daß bei denjenigen Versicherungsformen, welche vor der Annahme ärztliche Untersuchung verlangen, der von der Ver- sicherung übernommene Bestand infolge der bei der ärztlichen Unter- suchung getroffenen Auswahl in einer Reihe von Jahren nach der Aufnahme eine in der Regel erheblich geringere Sterblichkeit auf- weisen wird als der ohne eine solche Auswahl angenommene Ver- sicherungsbestand (vgl. $ 49); es könnte daher bei der Untersuchung der Sterblichkeit unter Lebensversicherten diese auch als eine Funktion der Versicherungszeit bestimmt werden, worauf wir im übrigen an dieser Stelle nicht näher eingehen. 291. Indem wir uns nach obigen Ausführungen im folgenden darauf beschränken, die Abhängigkeit der Sterblichkeit vom Alter zu betrachten, können wir zu dem im $ 287 behandelten Beispiel zu- rückkehren. Obgleich die Sterblichkeit auf den verschiedenen Alters- stufen in Gruppe E größer als in Gruppe G war, wurde die summarische Sterblichkeit für Gruppe G größer als für Gruppe E, weil sich erstere aus verhältnismäßig mehr älteren Personen zu- sammensetzte als die zweite Gruppe. Will man die Ursachen dieser verschiedenen Altersgliederung näher untersuchen, so ist hinsichtlich des benutzten Beispiels speziell zu betonen, daß der Zugang zur Gruppe der Eisenbahner in der Regel im jüngeren Alter erfolgt als der zur Gruppe der Geistlichen; hinzu kommt indes, was im all- gemeinen auch über die besonderen Verhältnisse des Beispiels hinaus im allgemeinen Gültigkeit hat, daß, wenn die Sterblichkeit in Gruppe G auf sämtlichen Altersstufen kleiner als in Gruppe E ist, schon aus dem Grunde erwartet werden kann, daß die erste Gruppe schließlich aus relativ mehr älteren Individuen bestehen muß als die zweite. Man wird hierbei vor die wichtige Frage gestellt, welchen Einfluß die Sterblichkeit aufdie Altersgliederung hat. At Die Altersgliederung, die eine Bevölkerung tatsächlich zu einem ge- gebenen Zeitpunkt aufweist, hängt indes nicht nur von der Größe der Sterblichkeit auf verschiedenen Altersstufen im betrachteten Augenblick ab, söndern überhaupt von der Größe der Sterblichkeit und der Geburtsfrequenz, von Art und Umfang der Wanderungen lurch viele dem betrachteten Zeitpunkt voraufgehende Jahre hin- lurch, und im Laufe dieser Reihe von Jahren können diese Momente sämtlich bedeutenden Veränderungen unterliegen, wie es namentlich die seit Mitte vorigen Jahrhunderts verflossenen Jahre gezeigt haben. Wirft man daher die Frage auf, ob einer gegebenen Sterblichkeit eine gewisse Altersgliederung entspricht, so hat man sich anfangs eine Bevölkerung vorzustellen, in der nicht nur in jeder Zeiteinheit Jahr, Monat, Tag usw.) gleichviele Kinder geboren werden und in der weder Ein- noch Auswanderung stattfindet, so daß diese Momente die Altersverteilung unbeeinflußt lassen, sondern auch eine Bevölkerung, in der sich die Sterblichkeit im Laufe der Zeit auf den verschiedenen Altersstufen stets unverändert hält. Für eine solche Bevölkerung werden wir weiter unten im $ 297 zeigen, daß sie stationär, l. h. von konstanter Größe und Altersgliederung, sein muB. 2392. Um leichter die bei Aufgaben dieser Art vorkommenden Relationen zu übersehen, kann man eine graphische Darstellung!) zu Hilfe ziehen. Setzt man in ein Koordinatensystem (siehe Figur 15) für jeden in der betreffenden Bevölkerung (oder Bevölkerungsgruppe) eintretenden Sterbefall das Alter x beim Tode als Abszisse und den Zeitpunkt (die Kalenderzeit) t des Eintretens des Todes als Ordi- nate an, so erhält man jeden Sterbefall durch einen Punkt D re- präsentiert, der als Sterbepunkt des betreffenden Individuums oezeichnet werden kann. Sämtliche im Jahre 1911 eingetroffenen Sterbefälle z. B. werden also durch Punkte im Parallelstreifen zwischen den Linien AyA, A, ..... und BoB;B,..... repräsentiert, so daß die im Alter von 0—1 Jahr eintretenden Sterbefälle Punkte ım Quadrat A, A, B; Bo und die Sterbefälle im Alter von 1—2 Jahren Punkte im Quadrat A; A,B,B, usw. ergeben. 1) Diese Darstellungsweise stammt (vgl. 8 48) von G. F. Knapp (Die Ermitt- ‚ung der Sterblichkeit usw., Leipzig 1868, und Theorie des Bevölkerungswechsels, Braunschweig 1874), und G. Zeuner (Abhandlungen zur mathematischen Sta- ästik, Leipzig 1869); s. auch W. Lexis, Abhandlungen zur Theorie der Be- völkerungs- und Moralstatistik. Jena 1903. 4492 Dasjenige Individuum, welches zur Zeit t im Alter x stirbt, muß im Zeitpunkt tT= t—X geboren worden sein; wird auf der t- Achse das Stück OF= rt an- gesetzt, so bekommt man einen Punkt F, den man als Geburts- punkt des Individuums bezeichnen kann; in der Zeit von der Geburt 7 bis zum Tode t kann man sich den’ Geburtspunkt so vor- stellen, als ob er sich längs der Geraden FD bewege, welche mit beiden Koordinatenachsen einen Winkel von 45° bildet und als [ndividuenlinie bezeichnet werden kann; jedes Individuum hat 61910 -- zo 1 m 121911 ++ 917 { 41912 - -- or) 41913 -- 0 Mm — > U L Fig, 15. seine Individuenlinie, und sämtliche solchen Linien sind parallel; die Individuenlinien der Verstorbenen sind in einem Endpunkt (Sterbepunkt) abgeschlossen, die noch lebenden (anwesenden) In- dividuen haben dagegen Individuenlinien, welche in jedem gegebenen Augenblick alle in derjenigen Parallele zur x-Achse enden, welche Jurch den gegebenen Augenblick bestimmt ist. Aus der Figur geht hervor, daß die Anzahl von Individuen- linien, welche irgend ein Stück einer der x-Achse parallelen Linie /z, B. die 1—2 Jahren entsprechende Altersstrecke A; A, auf der Neujahrsparallele 1911) schneiden, gleich der Anzahl von Individuen ist, welche zu der durch die Parallele angegebenen Zeit und in der durch die Strecke angegebenen Altersgruppe anwesend sind. Die Größe einer solchen Gruppe von gleichzeitig Lebenden läßt 143 sich bei einer Volkszählung auf dem Wege direkter Beobachtung feststellen. Die Anzahl von Individuenlinien, welche irgend ein Stück einer der t-Achse parallelen Linie (z. B. das 1911-Stück A, B, der 1-Jahrs- Alterslinie A,B,C; ....) schneiden, muß dagegen der Zahl von Individuen gleich sein, welche im Laufe des durch die Strecke an- gegebenen Zeitraums (z. B. 1911) das durch die Parallele angegebene Alter (z. B. 1 Jahr) erreichen (vollenden). Eine solche Gruppe von Gleichaltrigen wird als eine Hauptgruppe erster Art von Lebenden, eine Gruppe gleichzeitig Lebender obengenannter Art da- gegen als eine Hauptgruppe zweiter Art bezeichnet. Es liegt in der Natur der Sache, daß sich die Größe einer Hauptgruppe erster Art nicht wie eine Hauptgruppe zweiter Art durch Beobachtung zu sinem gegebenen Zeitpunkt finden läßt, daß sie vielmehr in anderer Weise zu bestimmen ist (vgl. weiter unten). Andere Gruppen Lebender sollen nicht an dieser Stelle behandelt werden. 293. Was die Sterbepunkte anbetrifft, so lassen sich diese in gewissen Gruppen sammeln, wofür häufig Verwendung sein wird, je nachdem ob man eins oder mehrere der drei Momente: Geburtszeit- punkt, Sterbezeitpunkt und Alter beim Tode, beobachtet. Es wurde bereits erwähnt, daß die Sterbefälle, welche in einem gegebenen Kalenderjahre in einer gegebenen Altersklasse (z. B. 1911 im Alter von 1—2 Jahren) eintreffen, Sterbepunkte ergeben, welche in einem Quadrat (beispielsweise in A, A, B, B,) gelegen sind. Überhaupt müssen Sterbefälle, die in einem gegebenen Zeitraum und in einer gegebenen Altersklasse eintreten, Sterbepunkte ergeben, welche in einem Recht- eck liegen, dessen Seiten den Koordinatenachsen parallel sind; eine solche Sammlung von Sterbefällen kann kurz als eine A-Gruppe von Toten bezeichnet werden. Da sämtliche Punkte einer Individuenlinie zwischen 2 mit den [ndividuenlinien parallelen schrägen Linien fallen, wenn nur einer ihrer Punkte (z. B. entweder der Geburts- oder der Sterbepunkt) zwischen diese Linien fällt, so müssen alle Sterbefälle in einer gegebenen Geburtenmenge (z. B. unter denen, welche in einem ge- gebenen Kalenderjahre geboren sind und als eine Generation be- zeichnet werden können) durch Sterbepunkte repräsentiert werden, lie zwischen den zwei schrägen Linien liegen, welche durch die zwei die gegebene Geburtenmenge abgrenzenden Punkte der t-Achse gehen. Sterbefälle in der Generation 1910 müssen z. B. Sterbepunkte 444 zwischen den schrägen Linien MA,B,.... und A,Bı ©... er- geben. Betrachtet man unter den in einer Generation eintretenden Sterbefällen diejenigen, welche sich in einem gegebenen Zeitraum (z. B. einem Kalenderjahr) ereignen, so müssen diese Sterbefälle Sterbepunkte ergeben, welche teils zwischen den die Generation be- stimmenden schrägen, teils zwischen den den Zeitpunkt bestimmenden wagerechten Linien liegen (z. B. die im Jahre 1911 eingetroffenen Sterbefälle unter den im Jahre 1910 Geborenen, deren entsprechende Sterbepunkte im Parallelogramm AyA,B,B;, liegen); eine solche Sammlung von Sterbefällen kann kurz als eine B-Gruppe von Toten bezeichnet werden. . Betrachtet man dagegen unter den in einer Generation eintretenden Sterbefällen speziell diejenigen, welche in einem ge- gebenen Altersintervall (z. B. im Alter von 1—2 Jahren) eintreffen, so müssen diese Sterbefälle Sterbepunkte ergeben, welche teils zwischen den die Generation bestimmenden schrägen Linien, teils zwischen den das Altersintervall bestimmenden Senkrechten liegen /z. B. die im Alter von 1—2 Jahren eingetroffenen Sterbefälle unter den im Jahre 1910 Geborenen, deren entsprechenden Sterbepunkte im Parallelogramm A, B, C, B, liegen); eine solche Sammlung von Sterbefällen kann kurz als eine C-Gruppe von Toten bezeichnet werden. 294. Obgleich zwischen diesen 3 Hauptgruppen von Toten die unten erwähnten Relationen bestehen, geht aus der verschiedenen Form, in der die 3 Hauptgruppen von Toten in der Figur in die Erscheinung treten, hervor, daß man nicht von der Verteilung der Sterbefälle nach einer der 3 Arten von Hauptgruppen auf die Ver- teilung nach den übrigen schließen kann, solange nichts Anderes als eine Verteilung nach Hauptgruppen solcher endlicher Dimensionen, welche stets bei der Bearbeitung der Beobachtungen zu benutzen sind, gegeben ist. Nehmen wir z. B. den häufigen Fall an, daß von Jahr zu Jahr die Verteilung der Sterbefälle nach 1-jährigen Alters- klassen, d. h. die Verteilung nach 1-jährigen A- Gruppen, bekannt ist; die Verteilung nach 1-jährigen B- und C- Gruppen setzt indes in beiden Fällen die Kenntnis vom Geburtsjahr der Toten voraus, eine Kenntnis, welche nicht aus der Verteilung nach A- Gruppen hervorgeht. Diejenigen, welche z. B. 1911 im Alter von 1—2 Jahren starben und deren Sterbepunkte ins Quadrat A, A,B,B, fallen, können nämlich entweder 1909 oder 1910 geboren sein; man müßte 445 Jlaher zugleich wissen, wieviele Sterbefälle auf jede dieser Generationen entfallen, d. h., wieviele der im ganzen Quadrat enthaltenen Sterbe- Dunkte auf jedes der zwei Dreiecke A, A, B, und A, B, Bi kommen. Gruppen dieser Form heißen Elementargruppen, und es geht in einer sehr anschaulichen Weise aus der Figur hervor, wie sich alle 3 Arten der 1-jährigen Hauptgruppen gerade aus zwei l-jährigen Elementargruppen zusammensetzen lassen, so daß man, wenn die Verteilung der Sterbefälle nach 1-jährigen Elementargruppen bekannt ist, d. h. wenn die Sterbefälle gleichzeitig nach Geburts- und Todes- jahr sowie nach 1-jährigen Altersklassen verteilt sind, sofort die Verteilung auf jede der 3 Hauptgruppen von Toten finden kann. 295. Aus der Figur geht nun nicht allein der zwischen den verschiedenen Gruppen von Toten bestehende Zusammenhang, son- dern — indem wir vorläufig von der Möglichkeit von Wanderungen absehen — auch der zwischen diesen Gruppen und den zwei oben besprochenen Hauptgruppen von Lebenden bestehende Zusammenhang hervor. Betrachtet man z. B. die Zahl der das Linienstück A, A, ‚die am 1./I. 1911 im Alter von 1—2 Jahren Lebenden) schneidenden [ndividuenlinien, so ist es klar, daß nur ein Teil dieser auch B, B; zu durchschneiden vermag, während der Rest in Sterbepunkten in ler Hauptgruppe A, A, B;B, endet; indem wir wie gesagt von Wanderungen absehen, muß also der Unterschied zwischen der An- zahl von Individuenlinien L, und L,, welche A, A, und B,B; schneiden, gleich der Anzahl von Sterbepunkten d, welche auf die Hauptgruppe A, A,B;B, entfallen, also L;- L,=d oder Lı—d=L sein. Diese Gleichungen besagen allerdings nichts anderes als etwas Selbstverständliches, nämlich daß bei einer Betrachtung der im Jahre L909 Geborenen (der Generation 1909) der Unterschied zwischen der Anzahl von Individuen dieser Generation, welche den Neujahrs- tag 1911 erlebt, und der Anzahl, welche den Neujahrstag 1912 erlebt, liejenige Anzahl ergeben muß, welche von dieser Generation im Laufe des Jahres 1911 starb. Mit Hilfe der Figur kann man jedoch auch in anderen Fällen leicht entscheiden, welche Haupt- zruppen von Lebenden und Toten zueinander Beziehung haben. Ganz analog diesem Beispiel trifft nämlich im allgemeinen zu, daß der Unterschied zwischen der Anzahl von Individuenlinien, die in eine der im Vorhergehenden betrachteten, willkürlich ge- wählten Hauptgruppen von Toten „eingeht“ und aus ihr „austritt“. — 446 gleich der Anzahl der auf die Hauptgruppe entfallenden Sterbe- punkte ist; und mittels dieses Satzes kann man unmittelbar, wenn die Größe gewisser Hauptgruppen gegeben ist, die Größe anderer berechnen, indem man einem den Individuallinien parallelen Streifen folgt. Weiß man beispielsweise, wieviele (L,) am 1./I. 1911 zwischen 1 und 2 Jahren (A, A,) liegen und wieviele (d,) von den im Jahre 1911 im Alter von 1—2 Jahren Verstorbenen im Jahre 1909 ge- boren wurden (A, A,B,), so kann man feststellen, wieviele (Ls) im Laufe des Jahres 1911 das zweite Lebensjahr vollendeten "A, Bo), da L,—d,=L,;. Kennt man die Zahl der A, B, schneidenden Individuenlinien (L3), d.h. weiß man, wieviele im Laufe des Jahres 1911 das zweite Lebensjahr vollendeten und zugleich, wieviele von den 1911 im Alter zwischen 2 und 3 Jahren Verstorbenen im Jahre 1909 geboren wurden (A,B,Bs;), so kann man die Anzahl von Individuen L, finden, welche den Neujahrstag 1912 in einem Alter von 2—3 Jahren erleben (B, Bz3), da L;—d;=L, ist, und so fort. Aufgabe 93. Auf Grund folgenden Auszugs aus der Statistik der Sterbe- fälle für das Deutsche Reich?) ist die Verteilung der Sterbefälle 1. nach Todesjahr und Alter, 2. nach Todes- und Geburtsjahr und 3. nach Alter und Geburtsjahr anzugeben: Todesalter Unterschied zwischen ' Zahl der männlichen Sterbefälle im Jahre Todes- und ı — Geburtsiahr 1894 | 1895 1892 21—22 Jahre 2223 2324 24—95 25—26 ob3 1369 1464 1437 1308 1344 1240 1438 1112 1282 1327 1141 1197 1073 1275 | 1217 Zac 1157 1245 1340 | 1252 | 1306 Zahl der am 1. Januar 1911 in Däne- 7 47 "1 207 5 1.74 1206 1246 Aufgabe 94. Angenommen, die mark befindlichen Knaben sei folgende: 1) Statistik des Deutschen Reichs, Bd. 200, Deutsche Sterbetafeln für das Jahrzehnt 1891—1900, Berlin, 1910, Seite 67. 147 0—1 Jahr . 1—2 Jahre 2—3 4 3-4 i—5 und die Verteilung nach Alter und 1911 verstorbenen Knaben folgende: 35 794 34 868 32 882 32 430 „2... 31 838 Geburtsjahr der in den Jahren 1910 und Sterhefälle 16. Geburtsiahr Sterbefälle 1911 ; Geburtsjahr 0—1 "”ahr 1—2 7-4 2— 3 Alter \nzahl Anzahl Anzahl CM 957 256 LP 7 | 7 C 06 89 ‚906 7 65 © 1905 41 ; 4006 63 Dann ist zu finden: 1. wieviel Knaben 1910 geboren wurden und wieviel von liesen das erste Lebensjahr vollendeten, 2. wieviel im Laufe des Jahres 1910 eweils das 1., 2., 3. und 4. Lebensjahr vollendeten und wieviel von ihnen den olgenden Geburtstag erlebten. Von einer eventuellen Ein- und Auswanderung yird abgesehen. 296. Ganz analog der hier für die Verteilung der Geburten und Sterbefälle gegebenen Darstellung können die Gebiete der Ein- and Auswanderung behandelt werden; es ist dabei nur zu er- innern, daß eine Individuenlinie nicht immer ihren Ursprung in einem Punkt (Geburtspunkt) der t-Achse des Koordinatensystems zu haben braucht, sondern in jedem beliebigen Alter „in die Er- scheinung“ treten und nicht nur in einem Sterbepunkt, sondern auch in einem „Auswanderungspunkt“ verschwinden (enden) kann. Läßt sich die Wanderungsstatistik analog der Statistik der Sterbefälle behandeln, so daß man nicht nur die Sterbefälle, sondern auch Ein- and Auswanderer nach Elementargruppen verteilt hat, so ist der obige Satz über die Differenz zwischen der Anzahl von Individuen, welche bei einer Hauptgruppe von Toten oder Gewanderten ein- und austreten, bloß in Übereinstimmung hiermit zu korrigieren, 30 daß dieser Unterschied nun gleich der Anzahl von Sterbepunkten, vermehrt um die Anzahl von Auswanderungspunkten und vermindert um die Anzahl von Einwanderungspunkten des betrachteten Ge- bietes ist. Wir haben uns im Vorhergehenden besonders zu 1-jährigen Gruppen gehalten. da man bei der Bestimmung der menschlichen — 448 Sterblichkeit in der Regel solche benutzt; es ist jedoch klar, daß Jas Entwickelte ebensogut auf Gruppen anderer Dimensionen an- gewandt werden kann; beispielsweise benutzt man bei der Bestimmung der Kindersterblichkeit kleinere Zeiteinheiten (Monate, Vierteljahre usw.) für die Gliederung nach Geburtszeit, Todeszeit und Alter, oft in der Weise, daß Zeiträume verschiedener Länge für jede dieser Größen benutzt werden; die Anwendung der oben beschriebenen Prinzipien bietet hier den Vorteil, daß die Art und Weise, in der die dann eventuell vorliegenden Gruppen zu einander in Be- ziehung stehen, keiner näheren Erwähnung bedarf, da alles, dessen man hierbei etwa bedarf, aus der Betrachtung einer Figur erhellen wird. 297. Wir kehren jetzt zu der im $ 291 berührten Frage der Bestimmung der Altersgliederung einer Bevölkerung zurück; es handelt sich hierbei um eine Bevölkerung, in der keine Wanderungen stattfinden, in der die Zahl der Geburten in der Zeiteinheit konstant and die Sterblichkeit auf den verschiedenen Altersstufen stets die- selbe ist. Ist letztere Voraussetzung erfüllt, so wird jede Gene- ration in gleicher Weise aussterben, d. h., daß die Bruch- teile der in einem beliebigen Zeitraum Geborenen, welche allmählich ihr 1., 2. usw. Jahr vollenden, immer dieselbe ist, einerlei, welche Generation man betrachtet. Wie groß diese Bruchteile sind, kann man sich durch Tabulation (eine Dekrementtafel), durch irgend eine Funktion des Alters x (in der Regel mit 1(x) bezeichnet, wo 1(o) = 1) oder durch eine in ein Koordinatensystem mit dem Alter x als Abszisse eingezeichnete Kurve, deren Ordinaten =1(x) (eine Über- lebenskurve) sind, angegeben vorstellen. (vgl. & 236). Da nun die Geburtspunkte, wie vorausgesetzt, ganz gleichmäßig über die t-Achse verteilt liegen (Figur 15), so folgt aus der kon- stanten Sterblichkeit, daß die Punkte, in denen die Individuenlinien aine dieser Achse parallele Alterslinie schneiden, dem willkürlichen Alter von x Jahren entsprechend (z. B. A, B, C, dem Alter von 2 Jahren entsprechend), ebenfalls sich ganz gleichmäßig auf dieser Linie verteilen müssen. Ebenso wie die Zahl der Geburten in der Zeiteinheit konstant ist, muß auch die Zahl der Personen, welche in der Zeiteinheit x Jahre vollenden, konstant sein. Die Größe dieser Zahlen ist natürlich von der Geburtenmenge in der Zeiteinheit, dem Alter x und der Sterblichkeit (d. h. der Zahl der im Alter x Überlebenden) abhängig. Ist die jährliche Anzahl von Geburten f, so 449 wird die Zahl der Personen, welche Jährlich x Jahre vollenden, gleich sein. Wenn sich die Geburtspunkte gleichmäßig nach der Geburtszeit verteilen und die Sterblichkeit konstant ist, dann folgt hieraus in der- selben Weise, daß die Anzahl von Individuenlinien, welche das dem. Alter x, und x, entsprechende Stück einer wagerechten Linie schneiden die gleiche sein muß, einerlei, welche Wagerechte betrachtet wird; d. h. daß zu jeder Zeit die gleiche Anzahl von Personen zwischen x, und z, Jahren vorhanden ist und daß die Bevölkerung also eine von 3iner Zeit zur anderen konstante Altersgliederung aufweist. Welche Form diese Gliederung hat, geht aus einer Betrachtung der Über- lebenskurve hervor; da deren Ordinaten (x) angeben, wievielen der in einem beliebigen Geburtspunkt F (der Geburtszeit 7 entsprechend) beginnenden Individuenlinien es gelingt, die der Zeit t+x ent- sprechende Wagerechte zu schneiden (d. h. die Zahl der noch nach Verlauf von x Jahren lebenden Individuen), so gibt 1l(x) auch die Dichtigkeit der zu jeder Zeit im Alter x anwesenden (lebenden) Personen an. Werden die Ordinaten der Überlebenskurve in einem solchen Masstab gezeichnet, daß 1(o) gerade gleich f ist, wo f die Zahl der Geburten in der Zeiteinheit bedeutet, so gibt also die Kurve ein Bild der Altersgliederung, da die Zahl der in den Alters- klassen von x, bis x, Jahren vorhandenen Personen unmittelbar durch die von der Überlebenskurve 1(x) zwischen den Ordinaten zu x, und ınd x, begrenzte Fläche dargestellt wird (vgl. $ 235). Ist im be- sonderen x, = 0 Jahre und x; = dem höchsten Alter, das jemand überhaupt zu erreichen vermag, dann gibt die Fläche die ganze Volks- zahl F' an, die konstant sein muß, wenn sowohl die Anzahl f der Geburten in der Zeiteinheit als auch die Sterblichkeit konstant verbleiben. Die Bevölkerung ist also stationär; ihre Altersgliederung istunmittelbar durch die ihre Sterb- lichkeitsverhältnisse darstellende Überlebenskurve und ihre Größe (Volkszahl) durch die Gesamtfläche der Kurve und die Anzahl f der Geburten in der Zeit- einheit gegeben. 298. Da die Bevölkerung stationär ist, muß nun ferner die Anzahl von Menschen, welche im Laufe eines gegebenen Zeitraumes z. B. eines Jahres) sterben, gleich der Anzahl der Geborenen und der Länge des Zeitraums proportional sein. Da die Altersgliederung Wes- ”ard und Nybolle, Theorie der Statistik, 2. Aufl Da f.1(x) 450 konstant bleibt, obgleich andauernd Menschen in allen Altern sterben und andere in höhere Altersklassen aufrücken, muß, wenn dieses Gleichgewicht bewahrt werden soll, die genannte Relation nicht nur für das Geburtsalter (0 Jahre), sondern für jedes beliebige sonstige Alter gelten. Wir erwähnten bereits, daß es z. B. jeden Tag gleich viele geben muß, welche das 47. Jahr vollenden, und diese Zahl muß also gleich der Anzahl von Personen, die täglich in allen möglichen Altern über 47 Jahren sterben, sein, wenn sich die Alters- yliederung konstant halten soll. Im allgemeinen muß (vgl. Fig. 16) L {L, X, M A Ni — X ba Pa RB > DD Fig. 16. die Anzahl von Personen, die in der Zeit von t, bis t das Alter x, erreichen (Hauptgruppe AC), gleich der Anzahl von Sterbepunkten sein, welche auf diejenige A-Gruppe von Toten, ABDC, die in der in der Figur angegebenen Weise durch die Hauptgruppe AC bestimmt ist, entfallen. Betrachtet man gleichzeitig ein anderes Alter x,, SO wird die Zahl der auf die A-Gruppe MBDN entfallenden Sterbepunkte gleich der An- zahl von Personen sein, die in der Zeit von t, bis %& ein Alter von x, Jahren erreichen; und die Zahl der auf die A-Gruppe MACN entfallenden Sterbepunkte wird folglich gleich dem Unter- schied zwischen der Anzahl von Individuen, welche in der Zeit von t, bis t, das Alter x, (MN), und der Zahl derjenigen, welche in derselben Zeit das Alter x; (AC) erreichen, sein; zu demselben Ergebnis gelangt man bei Anwendung des Satzes über die Anzahl der bei einer Gruppe von Toten ein- und austretenden Individuen — in diesem Falle Gruppe MACN —, da hier (MN + MA) — (AC + CN) =MACNist. Da die Zahl der Personen (MA), welche zur Zeit t, zwischen x, und x, Jahre, und die Zahl derjenigen. 451 welche zur Zeit t, zwischen x, und x, Jahre alt sind, nach obigen Ausführungen gleich sein müssen, so ist also MN — AC = MACN. Hieraus folgt die wichtige Eigenschaft der stationären Bevölkerung, daß man aus der Verteilung der Sterbefällenach Todes- alter die Verteilung der Bevölkerung (der Lebenden) nach Alter (und damit die Volkszahl) und umgekehrt aus der Altersgliederung der Lebenden diejenige der Toten finden kann. Wenn die Altersgliederung der Verstorbenen gegeben ist und man aufzählt, wieviele Sterbefälle in einer Zeit- einheit in allen Altern über x Jahre eingetroffen sind, dann gibt die Summe die Anzahl von Personen an, welche im Laufe der be- trachteten Zeit x Jahre vollendet haben; und die Zahl der x-jährigen Geburtstage gibt, wie oben erwähnt, die Dichtigkeit f-1(x) der im Alter x anwesenden Personen, d. h. die Ordinate der Überlebens- kurve, an. Umgekehrt muß die Differenz zwischen zwei Ordinaten f(x), und f-1(x,) zu dieser Kurve, also die Differenzen £-(1x,) — 1(x)) die Anzahl von Sterbefällen angeben, welche in der Zeiteinheit im Alter von x, bis x, Jahren eintreffen. Wenn (x) gegeben ist, dann kann man also umgekehrt in der im $ 244 beschriebenen Weise zine Kurve zeichnen, welche die Verteilung der Sterbefälle nach Fodesalter angibt. Die Ordinaten solcher Kurven sind im folgenden mit d(x) bezeichnet. 299. Die mittlere Zahl dieser Verteilung heißt mittlere Lebensdauer; diese gibt also den Durchschnitt aus all denjenigen Lebenszeiten (Todesalter) an, welche von den in einer Zeiteinheit Geborenen f erlebt werden, wenn sie in der von der Überlebens- kurve angegebenen Weise aussterben. Da sich die Summe aus diesen £ Lebenszeiten gemäß $ 236 auch als die durch die Überlebenskurve C-1(x) begrenzte Gesamtfläche, d. h. als Volkszahl F finden läßt, so ist die mittlere Lebensdauer a — f Zu diesem Resultat gelangt man auch in anderer Weise von der Tatsache aus, daß die f Lebenszeiten gleich der von der Gesamt- bevölkerung F in einer Zeiteinheit durchlebten Zeit T sein müssen. Da die Volkszahl konstant ist, so muß T=F sein, und da die summarischen Geburts- und Sterblichkeitsquotienten « und ß gleich 90* 459 groß und gleich 9 sein müssen, so bekommt man also auch U = 6 A ee In einer stationären Bevölkerung ist der summa- rische Sterblichkeitsquotient also gleich dem rezi- oroken Wert der mittleren Lebensdauer. 300. Aus den hier entwickelten Sätzen über die stationäre Bevölkerung geht hervor, daß, wenn sich die zu einem gegebenen Zeitpunkt herrschenden Sterblichkeitsverhältnisse in einer Bevölkerung hinlänglich lange unverändert hielten und ihre Wirkungen nicht durch Schwankungen in der Geburtenmenge noch durch Wanderungen gestört würden, die Altersgliederung mit der Zeit eine absolut feste Form annehmen würde, die unmittelbar mit der Überlebenskurve, welche die Abhängigkeit der betrachteten Sterblichkeit vom Alter beschreibt, gegeben ist. Die Überlebenskurve kann daher auch als die Altersgliederung der den gegebenen Sterb- lichkeitsverhältnissen entsprechenden stationären Bevölkerung bezeichnet werden. Ursprünglich hat Halley den Zusammenhang zwischen Alters- und Sterblichkeitsverhältnissen der stationären Bevölkerung ange- geben; er benutzte diesen (vgl. $ 23 f) zur Berechnung der Volks- zahl Breslaus auf Grund des in den Sterbelisten dieser Stadt für die Jahre 1687 bis 1691 über das Todesalter enthaltenden Materials, Wie im II. Kapitel näher erwähnt, lag es dem Gedankengang und den Möglichkeiten damaliger Zeit fern, sich diese Zahl durch das, was wir jetzt als Volkszählung bezeichnen, zu beschaffen. Nicht nur‘ die Größe der Volkszahl, sondern die Form der Über- lebenskurve überhaupt interessierte; so berechnete z. B. Süßmilch (vgl. 8 32) in ähnlicher Weise wie Halley, im wesentlichen unter Benutzung der Verteilung der Sterbefälle nach Todesalter, seine be- rühmte „große Sterbetafel“ ; er holte sich das notwendige Beobachtungs- material von so verschiedenen Stellen wie 31 brandenburgischen Dörfern, Wargentins schwedischer Sterblichkeitsstatistik (vgl. $ 30) und von Beobachtungen über Todesalter in zwei kleineren und 5 größeren Städten (worunter Wien, Berlin und Paris) !). Das Ver- trauen darauf, daß eine Vermischung der Beobachtungen aus Ver- schiedenen Gegenden das Resultat verbessern würde, hängt mit der 1) Göttliche Ordnung, a. a. O. 4. Ausg., Berlin 1775, IL. Teil 8. 319, A455 Vorstellung zusammen, welcher namentlich Süßmilch Ausdruck ver- liehen hat, daß „das Gesetz der Sterblichkeit“, d. h. die Form der Über- lebenskurve, fest und unveränderlich sei und sämtliche Generationen in gleicher Weise ausstürben. Auch die später so bekannten Sterblichkeitsuntersuchungen von Elvius, Wargentin (vgl. $ 30) und Duvillard (vgl. 8 38) wurden unter Benutzung der Halleyschen Lehrsätze vorgenommen. Aufgabe 95. Nach Halley (vgl. 8 24) starben in Breslau in den Jahren 1687 bis 1691 durchschnittlich jährlich 1238 Menschen; welcher Schluß läßt sich von dem folgenden Auszug aus der Verteilung dieser Sterbefälle nach dem T’odesalter auf die Volkszahl Breslaus ziehen? 0—1 Jahre. . . 718 25—50 Jahre 1-9 2 56 3—925 . —IW „0004 RU Vgl. hiermit die von Elvius vorgenommenen, im 8 30 erwähnten Be- rechnungen. Aufgabe 96. Man nehme als Ausgangspunkt die folgende (mit 1,(x) be- zeichnete) von John Graunt aufgestellte Überlebenstafel für London, welche angibt, wieviele von je 100 Neugeborenen die angeführten Geburtstage erleben werden: - X ) Jahre AI {y) L 16 J ahre 1x) L(X: 46 37 25 11 ıX 26 36 2 se » - £s ist dann hieraus die Einwohnerzahl Londons zu berechnen, indem vor- ausgesetzt wird, daß die Bevölkerung stationär war und jährlich 13000 Kinder geboren wurden. Zu welcher Einwohnerzahl wäre man unter gleichen Voraussetzungen ge- kommen, wenn man die oben mit 1.(x) bezeichnete Tafel benutzt hätte, die auf Grund der Erfahrungen aus den Jahren 1861 bis 1870 berechnet ist (vgl. $ 21). Aufgabe 97. Welche Begründung läßt sich für die im $ 31 erwähnten, von Deparcieux vorgeschlagenen Methoden für die Berechnung der mittleren Lebensdauer geben? Aufgabe 98. Im Jahrfünft 1903/04 bis 1907/08 wurden an der Kopenhagener Universität durchschnittlich jährlich ca. 400 Studenten immatrikuliert, von denen zin Jahr später ca. 390 das „Philosophicum“ bestanden. In denselben Jahren oestanden durchschnittlich jährlich ca. 230 Studenten der 5 Fakultäten ihre Ab- gangsprüfung. Unter der Voraussetzung eines konstanten Zugangs und eines stationären Zustandes während der betrachteten Jahre ist bei zweckmäßigen An- nahmen hinsichtlich der Länge der Studienzeit die Zahl der in diesen Jahren an der Universität Studierenden zu berechnen. 301. Nachdem die Sterblichkeitsbeobachtungen allmählich besser ınd umfassender wurden, und besonders nachdem es sich seit der 6 CC — 454 letzten Hälfte des vorigen Jahrhunderts als möglich erwies, die Sterblichkeit in einem Grade, den die verflossenen Zeiten nicht hatten voraussehen können, zu senken, mußte die Vorstellung, daß alle Generationen nach demselben Gesetze stürben, verschwinden; aber dies geschah natürlich nur gradweise. Solche Vorstellung macht sich z. B. noch offenkundig in der Weise geltend, in der Laplace in seinem im $ 34 erwähnten Essai philosophique etc. (1814) erklärt, wie man sich eine Überlebenstafel beschaffen kann; nach Laplace soll man eine gewisse, hinlänglich große Anzahl von mög- lichst gleichzeitig Geborenen von der Wiege an beobachten und nur darauf achten, wieviele von diesen das 1., 2., 3., usw. Jahr vollenden. Es ist klar, daß man so die Fehler umgeht, welche die Schwankungen der Geburtszahlen in der Zeiteinheit und die Wanderungen mit sich führen, wenn man — wie Halley — die Überlebenstafel durch die Altersgliederung der Lebenden oder der Toten, aber nicht die Fehler, welche von der sich verändernden Sterblichkeit stammen, bestimmt; mittels einer solchen Reihe von Beobachtungen erhält man dagegen darüber Bescheid, in welcher Weise die betrachtete Generation faktisch ausstirbt. Eine Tafel dieser Art könnte man als Überlebenstafel für yleichzeitig Geborene (Generationstafel) bezeichnen. Aufgabe 99. In welcher Weise und mit Hilfe welcher zugänglichen Beobach- tungen könnte man wohl berechnen, wie lange die in Dänemark im Jahre 1840 Ge- porenen durchschnittlich gelebt haben ? 302. In Verbindung mit der oben behandelten Aufgabe, in der Jie Altersgliederung, welche eine Bevölkerung als Resultat einer zu einem gewissen Zeitpunkt herrschenden Sterblichkeit aufweisen würde, zu bestimmen war, kann die Laplacesche Generationstafel indes keine Bedeutung erhalten; denn der Ausdruck, den eine solche Tafel für die Schnelligkeit, mit der z. B. 80-jährige jetzt aussterben, gäbe, würde ein ganz anderer sein als derjenige, welcher der Sterblichkeit 80-jähriger vor z. B. 80 Jahren entspricht; und die damals für Neugeborene festgestellte Sterblichkeit war grundverschieden von der jetzigen. Nichtsdestoweniger ist der für die Konstruktion einer Generationstafel zugrunde liegende Gedanke von entscheidender Be- deutung für die Sterblichkeitsmessung in einer nicht stationären Bevölkerung; will man nämlich Beobachtungen über die Größe der Sterblichkeit auf den verschiedenen Altersstufen anstellen, so muß man in allen Fällen eine solche Periode verstreichen lassen, daß in ihrem Verlaufe eine hinlänglich große Anzahl von Sterbefällen in 455 der beobachteten Bevölkerung eintrifft!). Gruppiert man diese Sterbe- fälle nach Generationen, so gelangt man leichter zu einem Ausdruck für die Sterblichkeit, wenn die Sterbefälle, anstatt nach der ur- sprünglichen Größe dieser Generationen gegliedert zu werden, ihre Einteilung nach der Größe der Generationen zur Zeit der Beobachtungen erhalten. Außer der Kenntnis von der Alters- ygliederung der Verstorbenen fordert diese Methode also auch, daß man die Altersgliederung der Lebenden kennt; in der Praxis sind hier verschiedene Wege möglich, und wir werden im folgenden die wichtigsten näher berühren. Allen gemein ist dies, daß, wenn man die Resultate aus der Beobachtung einer solchen Reihe von Sterbefällen unter ungefähr gleichzeitig Lebenden durch eine Über- lebenskurve auszudrücken wünscht, diese sozusagen aus kurzen Stücken zusammengesetzt wird, deren jedes für sich die Schnelligkeit wider- spiegelt, mit der die in einer gewissen Periode beobachtete Be- völkerung und die beobachteten auf verschiedenen Altersstufen lebenden Generationen im Laufe der Periode zusammengeschrumpft sind. Eine solche Überlebenskurve, die zwar eine Fiktion ist, aber ein Ge- samtbild der Sterblichkeitsverhältnisse (der Abhängigkeit der Sterb- lichkeit vom Alter) gibt, wie sich diese zu einem gegebenen Zeitpunkt oder in einer gewissen kürzeren Periode auf den ver- schiedenen in der Bevölkerung vertretenen Altersstufen gestaltet haben, ließe sich im Gegensatz zur Generationstafel als Überlebens- xurve für gleichzeitig Lebende bezeichnen. 303. Bei der Berechnung einer solchen Überlebenskurve, die sich nicht auf dem Wege direkter Beobachtung einer einzelnen Generation bestimmen läßt, benutzt man, je nach der Art des be- schafften Beobachtungsmaterials, eine Reihe anderer Größen, welche in einer von l(x) verschiedenen Weise der Abhängigkeit der Sterb- lichkeit vom Alter Ausdruck verleihen; aus denjenigen Größen, welche zum Gegenstand der Beobachtung gemacht werden können, läßt sich dann die Überlebenstafel berechnen. Solche Größen, die wie I1(x) Funktionen des Alters x sind, heißen biometrische 1) Da die Sterblichkeit mit der Zeit varlieren kann, so muß es notwendiger- weise die Durchschnittsgröße der Sterblichkeit in der benutzten Periode sein, lie bestimmt wird; ungeachtet des Niedergangs in der Sterblichkeit, den die moderne Zeit aufweisen kann, ist dieses Verhältnis jedoch ohne größere praktische Bedeutung, wenn die benutzten Perioden nicht zu lang gemacht werden (vgl. R 900. 456 Funktionen. Die wichtigsten von diesen und ihre Verkettungen seien daher zuerst besprochen. Es geht aus der im $ 298 erwähnten Relation zwischen der Altersgliederung der Lebenden und der Toten (jeweils (x) und d(x)) in einer stationären Bevölkerung hervor, daß 1(x) die der Alters- + GMT 10 20 3040 50 60 70 80 90 1) IN X } 40 50 60 70 80 90 100 a ) 10 20 3040 50 60 7080 90100 0 10 2030 40 50 60 70 80 90 100 Fig. 17. gliederung der Toten d(x) entsprechende Flächenkurve ist (vgl. $ 241), die 'angibt, wieviele der Sterbefälle unter Personen, deren Alter x Jahre übersteigt, eingetroffen sind. Zur Beleuchtung des Verlaufs dieser zwei biometrischen Funktionen sind in den Figuren 17a und 17b die Kurven 1(x) und d(x) in einer den Sterblichkeitserfahrungen unter Männern in Dänemark von 1921 bis 1925 ungefähr ent- sprechenden Form gezeichnet. Weiter unten kommen wir auf die 457 Art und Weise, in der die Kurven aus den Beobachtungen berechnet sind, zurück. Außer 1(x) haben wir im Vorhergehenden bereits die mittlere Lebensdauer e(x) für Personen des Alters x und die Methode erwähnt, mittels der sich diese biometrische Funktion berechnen läßt (vgl. $ 239); für x = 0 erhält man e(o), d. h. die mittlere Lebensdauer für Neugeborene, welche, wie gesagt, die mittlere Zahl in der Verteilungskurve d(x) und in der Figur 17b durch die der Abszisse e(o) = 60,3 Jahre entsprechende Ordinate (G) !) bezeichnet ist. Aufgabe 100. Von den in den Jahren 1911 und 1912 in Dänemark ge- borenen 76119 Knaben starben nnerhalb von ?1 Stunden.... ‚827 Monat . . 2779 "anater 5%23 N 6 7 „... 6440 Setzt man die mittlere Lebensdauer für einen einjährigen Knaben gleich 52 Jahre, so ist die mittlere Lebensdauer für Neugeborene und für Knaben eines Alters von 24 Stunden, 1, 2, 3... . 11 Monaten zu finden. Nehmen wir ständig den Verlauf von 1l(x) als bekannt an, so wird das Verhältnis 1x +h) p(x, h) = 1a) den Bruchteil der l(x) x-jährigen, welche nach h Jahren noch am Leben und dann x + h Jahre alt sind, angeben; man bezeichnet daher dies Verhältnis als die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein jetzt x-jähriger noch nach h Jahren am Leben ist: im besonderen gibt _x+1) D(x) = 1@) die Wahrgcheinlichkeit dafür an, daß ein x-jähriger noch nach 1 Jahre am Leben ist. und 4 _ — @—Uzx+I) a(x) = 1 p(x) zz= IG) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein x-jähriger vor Ablauf eines Jahres stirbt. 1) Die beiden anderen in der Figur 17b angegebenen Ordinaten (M) und "T) werden im folgenden erwähnt. 458 Es ist klar, daß, wenn man durch Beobachtung z. B. folgende Reihe von Wahrscheinlichkeiten p(o), p(l), p@2) .... px) .... bestimmen kann, sich auch die diesen Sterblichkeitserfahrungen ent- sprechende Überlebenskurve 1l(x) finden läßt. Da 1(o) = 1, wird nämlich = Ko) pp =1'p=1—d (2) = 11) * pı = DoPı = (1 —4) (1 — a1) (8) = 1(2) * pz = Po * Pı * Dr = (1— qo) (1 — qı) (1 — 92) usw. Anstatt stets die Wahrscheinlichkeiten p(o), p(l).... dafür, daß eine Person noch nach einem Jahre am Leben ist, zu benutzen, kann man natürlich auch andere Zeitintervalle anwenden, wenn sich die diesen Intervallen entsprechenden Lebenswahrscheinlichkeiten bestimmen lassen. Der Wert von 1l(x) wird dann für eine durch lie betrachteten Intervalle bestimmte Reihe Werte von x bestimmt; ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein O-jähriger 3 Jahre alt wird, gleich P, und die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein 3-jähriger 5 Jahre alt wird, P,, und schließlich die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein 5-jJähriger 10 Jahre alt wird, Ps, dann ist genau so wie oben 10) = P; 1(5) = PP, (10) = P, P,P,;, was unmittelbar aus der Definition der Wahrscheinlichkeit dafür, laß ein x-jähriger nach h Jahren am Leben ist, folgt. Da die Werte von 1l(x), zu denen man auf diese Weise gelangt, als das Produkt aus einer größeren oder kleineren Reihe von Brüchen berechnet werden, so liegt es nahe, diese Berechnung mit Hilfe von Logarithmen vorzunehmen; z. B. ist unter Benutzung von L-jährigen Intervallen log (x) = log po + log p; + logpa +...... + 108 Px_1- Diese Größe, deren Wert von x abhängt, ist natürlich auch eine biometrische Funktion; da alle Wahrscheinlichkeiten p;, p/ Ds... echte Brüche sind, wird sie negativ; man betrachtet daher in der Regel die Funktion M{(x)= — log (x), welche positiv sein und beständig mit wachsendem x größer werden muß; die Art und Weise, in der M(x) verläuft, wenn l(x) den in der Figur 17a an- gegebenen Verlauf nimmt, geht aus der Figur 17c hervor. Da M(x) stets mit x wächst, kann diese Funktion als eine irgendeiner Verteilungskurve entsprechende Flächenkurve betrachtet 459 werden; deren Beschaffenheit ist eine solche, daß die von dieser Verteilungskurve im Intervall von x bis x-+hh begrenzte Fläche M(x + h) — M(x) = — log (x + h) + log (x) = — 08 — log p(x,h) wird; bestimmt man die Größe m, so daß diese Fläche m-h (vgl. weiter unten) wird, so ist p(x<,h) = em und aq(x,h) = 1— e—-m Die dem Alter x entsprechende Ordinate der hier betrachteten Verteilungskurve muß, wie des näheren im Anhang bewiesen ist, gleich dem Quotienten d(x) u(x) = N sein, wenn man in der Gleichung M(x)= — log l(x) natürliche Lo- yarithmen benutzt; wie u(x) verläuft, wenn M(x) den in der Figur L7c angegebenen Verlauf nimmt, geht aus der Figur 17d hervor. Die Größe von u(x) für verschiedene Werte von x oder die Größe der in kleinen Intervallen von der Kurve u(x) begrenzten Flächen wird man, wie weiter unten erwähnt wird, oft auf dem Wege der Beobachtung feststellen können; u(x) ist daher eine für die Sterblich- keitsmessung wichtige biometrische Funktion, welche gewöhnlich als Sterblichkeitsintensität bezeichnet wird; ist der Verlauf von (x) oder die Größe der von u(x) im Altersintervall o — x Jahre begrenzten Fläche M(x) bekannt, so folgt aus der Gleichung M(x) = — log 1(x), daß 1(x) = e7 Mm, Da d(x) die Zahl der im Alter x eingetretenen Sterbefälle und (x) die Zahl der im Alter x Lebenden oder, was auf dasselbe hinaus- kommt, die von Personen im Alter x in einer Zeiteinheit durchlebte Zeit angibt. so folgt aus der Relation __ dx) u(x) = 1x) jaß sich u(x) mit Annäherung als summarischer Sterblichkeits- ]uotient für eine hinlänglich kleine Altersgruppe der Bevölkerung finden läßt. 304. Die Größe des summarischen Sterblichkeitsquotienten für eine größere Altersgruppe (speziell sämtliche Alter) ist, wie im S 287 bewiesen, nicht nur von der Größe der Sterblichkeit auf sämtlichen von der betrachteten Altersgruppe umfaßten Altersstufen, sondern auch von der Art und Weise, in der sich die Altersgliederung 460 innerhalb der Altersgruppe faktisch gestaltet, abhängig. Da der Einfluß, welcher von letzterem Verhältnis stammt, als desto kleiner betrachtet werden kann, je kleiner die betrachtete Altersgruppe ist, so müßte man sich die Altersgliederung prinzipiell soweit getrieben vorstellen, daß die Altersgruppen unendlich klein würden. In der Praxis läßt sich eine solche Methode indes nicht anwenden; schon lie Genauigkeit, mit der sich das Todesalter im Einzelfalle bestim- men läßt, verhindert dies. Während der Wert, dem sich der sum- marische Sterblichkeitsquotient für eine Altersgruppe einer endlichen Größe h der Annahme nach nähert — dieser Wert ist u(x), wenn bh unendlich klein wird —, daher nur mittels irgendeiner Inter- polation bestimmt werden kann (vgl. untenstehendes Beispiel), so darf man, wie im $ 288 erwähnt, in praxi damit rechnen, daß der summarische Sterblichkeitsquotient m für ein hinlänglich kleines Altersintervall einen von der speziellen Altersgliederung um das Alter x herum unabhängigen Ausdruck für die Intensität der Sterb- ‘lichkeit ergibt. Man wird dann auch annähernd die von der Kurve u(x) im Intervall von x bis x +h begrenzte Fläche gleich h* m, wo m der summarische Sterblichkeitsquotient für das betrachtete Alters- intervall h ist, setzen und so Mi(x) und 1(x) bestimmen können. Diese Betrachtung entspricht dem, daß die durchschnittliche Größe von u(x) im Intervall gleich m gesetzt wird. Beispiel. Nach der im $ 287 benutzten Tabelle erhält man für Gruppe G ‘Geistliche) folgende Daten für untenstehende 10-jährige Altersgruppen: Zahl der Durchlebte Sterbefälle Zeit 35—45 Jahre 90 28 542 0,00315 45—55 218 28611 0,00762 55—65 490 22.353 0,02192 Berechnet man das Alter von einem Nullpunkt von 35 Jahren aus, so er- hält man hieraus durch Summierung folgende Tabellen über die den angeführten Verteilungen der Anzahl von Sterbefällen und die der durchlebten Zeit ent- sprechenden Flächenfunktionen (Gesamtzahl der Sterbefälle y unter Personen im Alter von 0 bis x Jahren und die von den Personen dieses Alters durchlebte Ge- samtzeit z): X 0 U U 10 90 28 542 20 308 57 153 30 798 79 506 Werden mittels der Newtonschen Formel y und z als Funktionen von x ausgedrückt, so ergibt sich hieraus Yy = 7,4x — 0,08x?* + 0,024x? Z — 2639,85x + 31,98x? —. 1,0545x?®, 461 so daß die Anzahl von Sterbefällen im Alter von a bis b D(a, b) = 7,4(b — a) — 0,08(b? — a?) + 0,024(b® — a®), während die von Personen im gleichen Alter durchlebte Zeit T(a, b) = 2639,85(b — a) + 31,98(b? — a?) — 1,0545(b* — a® Hieraus ergibt sich der summarische Sterblichkeitsquotient für die Alters- zruppe a bis b, nämlich D(a,b) 7,4(b — a) — 0,08(b? — a?) + 0,024(b® — a?) m{(8, b) = 7 a.D) — 2639,85(D — a) + 31,98(07— a’) — 1,0545(b% — a)’ woraus z. B. für a=10 und b=20 in Übereinstimmung mit den gegebenen Daten ein summarischer Sterblichkeitsquotient für die Altersklasse 45—55 Jahre Mm = 5011 = 000762 = 0a. 8 p. m. folgt, und woraus sich m auch für andere als die gegebenen Altersgruppen be- rechnen läßt. Wenn man nun auf der Suche nach den verschiedenen Werten von x ent- sprechenden Werten von uix) den Wert von m (a,b) für Werte von a und b, welche stets näher aneinander liegen, berechnet, dann wird sowohl der Zähler D (a, b) wie der Nenner T (a,b) kleiner und kleiner werden, und beide werden schließlich zleich Null, wenn a=b wird. Wird indes der Bruch A mit (b— a) ge- zürzt, so gelangt man zum Ausdruck ' m{a‚h)— 7,4 — 0,08(b + a) + 0,024(b? + ab + a”) ? 2639,85 + 31,98(b + a) — 1,0545(b? + ab + a’) ” welcher natürlich dieselben Werte für m (a, b) wie der oben angeführte Ausdruck argibt, solange a <b ist, woraus jedoch gleichzeitig hervorgeht, welchem Werte m (a,b) sich nähert, wenn sich a und b unendlich nahe kommen; wird nämlich ı=hb= X gesetzt, so ist m (a,b) = u(x), und man erhält Ux) = 7,4 — 0,16x + 0,072x? , 2639,85 + 63,96x — 3,1635x? woraus sich „(x) für verschiedene Werte von x berechnen läßt; für x== 10, 11, 123 ,... 20 (45, .° 55 Jahren entsprechend) erhält man auf diese Weise folgende Werte +ar st. 4(X) 0,00734 0,0816 0 00906 40 0,01007 54 19 0,01119 , 55 20 0,01244 Werden x und u(x) in ein Koordinatensystem eingesetzt, so erhält man ein Bild vom Verlauf von u(x) in dem hier betrachteten Altersintervall. Die von der Kurve u(x) im Intervall von 45—55 Jahren begrenzte Fläche läßt sich in der im 8 238 angegebenen Weise finden und wird gleich 0,0770. Hätte man zur Bestimmung dieser Fläche mit einem konstanten Durchschnitt für u(x) entweder von einer Größe wie derjenigen des summarischen Sterblichkeitsquotienten ‚0,00762) für die ganze 10-jährige Altersgruppe oder von einer Größe, wie der der Sterblichkeitsintensität u(50)= 0,00734 für den Mittelpunkt des Intervalls ge- rechnet. so würde man als Ausdruck für die von der Kurve u(x) im Intervall — 462 von 45—55 Jahren berechnete Fläche jeweils 0,0762 und 0,0734, also annähernd dasselbe bekommen haben. Setzt man daher analog die von u(x) in den Intervallen 35—45 und 55—65 Jahre begrenzten Flächen zu jeweils 10 + m(35,45) = 10 - 0,00315 = 0,0315 10 - m(55,65) = 10 + 0,02192 = 0,2192, so ist M(45) = — log 1(35) + 0,0315 M(55) = -— log 1(35) + 0,0315 + 0,0762 = — log 1(35) + 0,1077 M(65) = — log 1(35) + 0,1077 + 0,2192 = — log 1(35) + 0,3269, woraus folgt, daß (835) = e log 1(85) —1(35) = 6 1(45) = G + e—0,0815 =G . 0,9690 155) = G + e—0,1077 =G . 0,8979 1(65) = G + e-—0,3269 —G. 0.7211 Für Gruppe E (Eisenbahner) findet man bei ganz analoger Benutzung der summarischen Sterblichkeitsquotienten für die entsprechenden Altersklassen dieser Gruppen M(45) = — log 1(35) + 0,0494 M(55) = — log 1(35) + 0,0494 + 0,1071 = — log 1(35) + 0,1565 M(65) = — log 1(35) + 0,1565 + 0,2501 = — log 1(35) + 0,4066, woraus folgt, daß 1(35) = e log 135) = 105) = E (45) = E - € — 0,0494 =E - 0,9517 (55)= E - e — 0,1565 = E . 0,8551 (65) — E + e — 0,4066 — BE. 0.6659. Hieraus nun ergibt sich erstens, daß sich die Wahrscheinlichkeiten dafür, daß eine 35-jährige Person 45 und 55 und 65 Jahre alt wird, nach den für jede der Gruppen G und E gegebenen Daten wie folgt gestalten. Gruppe G Gruppe E 45 Jahre... 0,9690 0,9517 55 » 8 0,8979 0,8551 68 2m ee 0,7211 0.6659: diese Zahlen geben einen zweiten Ausdruck dafür, daß die Sterblichkeit in der Gruppe G erheblich kleiner als diejenige in der Gruppe E ist. Da zweitens die Kurve 1l(x) diejenige Altersgliederung angibt, welche die betrachtete Bevölkerungsgruppe erhalten würde, wenn der Zugang gleichmäßig in einem festen Alter stattfände, während der Abgang nur auf Grund einer in der Gruppe herrschenden unveränderlichen Sterblichkeit vor sich ginge, so kann man aus den gefundenen Zahlen für l(x) auch diejenige Verteilung nach 10- jährigen Altersgruppen berechnen, welche die von den gegebenen Daten ausgedrückte Sterblichkeit mit sich führen würde. Werden nämlich wie vorher bei der Trapez- formel die von der Kurve l(x) in den angewandten 10-jährigen Intervallen be- grenzten Flächen berechnet, so findet man für die Altersgliederung für jede der Bevölkerungsgruppen folgende Zahlen: 163 35—45 Jahre 15— = 55 äruppe € a OR C Gruppe E 0,9759 E 09034 E ).7605 E Zusammen 64.0 der in pro mille der gesamten Volkszahl der Altersklassen: Gruppe G Gruppe E 7a-1hnet faktisch berechnet faktisch 381 359 370 456 zZ 360 342 348 297 281” 288 196 Zusammen 1000 1000 1000 1000 wo die Verteilung der durchschnittlichen Volkszahlen auf die gleichen Alters- zruppen — wie sie aus der Tabelle im $ 287 hervorgeht — beigefügt ist. Für die Gruppe E besteht ein erheblicher Unterschied zwischen der Alters- zliederung, wie sie faktisch ist und wie sie wäre, wenn lediglich die Sterblichkeit sie bestimmte, da es tatsächlich relativ mehr Junge und weniger Alte als in der der Sterblichkeit der Gruppe entsprechenden stationären Bevölkerung gibt; dies Verhältnis muß darin seine Ursache haben, daß der Zugang zur Gruppe größer st (wesentlich in den jüngeren Altersklassen) als der Abgang, d. h., daß die Be- vrölkerung wächst (hierüber weiter unten mehr). 2.6398 305. Wie aus obigen Ausführungen hervorgeht, beruht der Zu- sammenhang, welcher zwischen den biometrischen Funktionen 1(x), d(x), p(x), q(x) und 4(x) besteht, unter anderem darauf, daß man zum selben Wert von u(x) gelangt, einerlei, ob man die Ordinaten in der Verteilungskurve, welche M(x) als Flächenfunktion betrachtet ent- spricht, sucht oder u(x) mittels des Verhältnisses en bestimmt; der Beweis hierfür erfordert weitergehende mathematische Hilfsmittel ınd wird daher erst im Anhang erbracht. Es läßt sich jedoch auf dem Wege folgender elementaren Betrachtung zu einer annähernden Bestimmung des Zusammenhangs gelangen: Wird z. B. die Überlebens- kurve für eine stationäre Bevölkerung wie gewöhnlich mit 1(x) be- zeichnet, ;so ist :die Anzahl der Sterbefälle, welche in einem Zeit- raum von der Länge h unter Personen zwischen x und x +h Jahren aintreffen. d = h+(l(x) — (x + h)). Die Zahl derjenigen Personen, welche beständig in diesem Altersintervall vorhanden sind, wird durch die von der Kurve 1(x) zwischen x und x + h begrenzte Fläche bestimmt. die (wennh nicht zu groß ist) zu 464 n 3 * (G@) +1(x + b)) angesetzt werden kann; und da die von dieser Anzahl von Personen durchlebte Zeit dann h? T = > (1x) + 1x + h)) ist, so wird der summarische Sterblichkeitsquotient für die Alters- klasse n=d_2 10-10 +W, Th Xx)+1x+h) Bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein x-jähriger nach h Jahren lebt, kurz mit _ (x +h) D = "1@) so erhält man für den summarischen Sterblichkeitsquotienten m für dasselbe Altersintervall m= 2.1—p h 1+p Es ist hierbei eine Voraussetzung, daß das Intervall nicht zu zroß ist; m kann dann als annähernder Wert der durchschnittlichen Größe von u(x) im Altersintervall betrachtet werden; aus der Re- lation erhält man umgekehrt _—_ 2 —mbh D 5 mb’ wo mh einen annähernden Wert für die von der Kurve u(x) im detrachteten Intervall begrenzte Fläche angibt. Für 1-jährige Altersklassen ergibt sich speziell 1—Pp mA oder, da qg=1 —p die Wahrscheinlichkeit dafür, binnen einem Jahre zu sterben, ist, = +, "1 — Fa’ hieraus ergibt sich umgekehrt, daß _2—m_1—jm PS Em 11m’ m 465 Es geht aus diesen Gliederungen hervor, daß q <m ist; während man m als das Verhältnis 5 findet, wo d gleich der im Laufe der Be- obachtungsperiode in der Altersklasse eingetroffenen Anzahl von Sterbefällen und T die Gesamtzeit, welche Personen der beobachteten Bevölkerung im Laufe der Periode in der Altersklasse zugebracht haben, ist, so wird 0 — a 7 A an Fa 1+im 14: gleich dem Verhältnis zwischen der gleichen Anzahl von Sterbefällen und T, vermehrt um die Hälfte der Sterbefälle in der Altersklasse. Der Unterschied zwischen dem Begriff der Wahrscheinlichkeit q dafür, vor Ablauf eines Jahres zu sterben, und dem Begriff der Durch- schnittsgröße m der Sterblichkeitsintensität in der entsprechenden L-jährigen Altersklasse läßt sich auch so veranschaulichen, daß man sich eine Anzahl l1(x) von Gleichaltrigen (x-jährigen) der Sterblich- keit, die auf jeder einzelnen Altersstufe innerhalb des Intervalls auftritt, unterworfen denkt; wird dann bei jedem eintretenden Sterbe- fall die betreffende Person durch ein neues Individuum gleichen Alters ersetzt, so muß die Anzahl der überhaupt im Laufe eines Jahres eintretenden Sterbefälle d, natürlich größer werden als die Anzahl d,, welche eintrifft, wenn der Bestand nicht in der ursprüng- ichen Größe gehalten wird. Der Unterschied zwischen d d 1) und 1@) gibt gerade den Unterschied zwischen m und q an. Mit Hilfe der hier abgeleiteten Relationen kann man, wie in dem oben behandelten Beispiel, aus dem Sterblichkeitsquotienten m lie Größen p und q und damit 1l(x) berechnen. Beispiel. Wenden wir uns wiederum der Sterblichkeit in 10-ijährigen Alters- «lassen unter Geistlichen und Eisenbahnern (Gruppen G und E) zu, so ist für lie Altersklasse 35 bis 45 Jahre in Gruppe G m = 0,00315 und h- m = 0.0315. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein 35-jähriger Geistlicher 45 Jahre alt wird. findet man dann aus 2-—0.0315 1,9685 P = 57 0.0315 2.0315 = 0.9690. Westergaard und Nybolle, Theorie der Statistik. 2. Aufl. 466 Aus den oben berechneten Sterblichkeitsquotienten für die drei 10-jährigen Altersklassen, nämlich G 6 35—45 Jahre...... 0,00315 0,00494 45—55 „0.0... 0,00762 0,01071 55—65 „2 20.0.0400. 0,02192 0,02501 findet man dann mittels derselben Formelj folgende Wahrscheinlichkeiten dafür, nach 10 Jahren noch am Leben zu sein, G Für 35jährige ...... 0,9690 45 0.000. 0,9266 55 2 2.0... 0,8025 a8 6 0,9518 0,8983 0,7777 Aus diesen Wahrscheinlichkeiten ergeben sich wiederum die Wahrscheinlich- keiten dafür, daß ein 35-Jähriger jeweils nach 10, 20 und 30 Jahren lebt, da für Gruppe G Pıo = =— 0,9690 Pao = 0,9690 - 0,9266 = 0,8979 Dao = 0,8979 - 0,8025 = 0,7206 and für Gruppe E Pu = = 0,9518 Po = 0,9518 - 0,8983 = 0,8550 Pso = 0,8550 - 0,7777 = 0,6649, welche Werte ziemlich genau mit den oben im $ 304 gefundenen übereinstimmen; eine noch bessere Übereinstimmung ließe sich erwarten, wenn man anstatt der 10-jährigen Intervalle 5-jährige oder noch kleinere Intervalle hätte benutzen können. Aufgabe 101. Nach dem oben im $ 287 zitierten „Supplement“ hat man [ür die Jahre 1910 bis 1912 folgende Zahlen über die Sterblichkeit in England in den Gruppen der Rechtsanwälte (barristers and solicitors) und ihres Kontor- personals (law clerks) gefunden: Rechtsanwälte Kontorpersonal Zahl der Sterbefälle Lebens- jahre Zahl der Sterbefälle "ebens- jahre 22521 110 9x 16023 122 209 11259 165 293 6636 184 258 2859 | 189 Finde für jede der Gruppen die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein 25-jähriger ein Alter von 75 Jahren erreicht. 25—35 Jahre.... 35—45 „+. 45—55 „004. 55—65 04 (1 15.063 16284 17430 11310 4965 . 306. Es geht aus der Figur 17b hervor, daß die Verteilungs- kurve d(x) bei weitem keine exponentielle Form hat. Wie bereits 467 im $ 208 erwähnt, hat Lexis bemerkt, daß der die höchsten Alter der Verteilungskurve betreffende Teil eine gewisse Gleichheit mit dem Exponentialgesetz darbietet; rechnet man, daß dieser Teil der Kurve in der Figur 17b seinen Höhepunkt beim Alter x = 77 Jahre hat (in der Figur durch die Ordinate T angegeben), so sollten sich nach Lexis jedenfalls diejenigen Sterbefälle, welche in Altern über (7 Jahre eintreffen, sehr annähernd exponentiell verteilen; und °ntnähme man den bis zu 77 Jahren eingetroffenen Sterbefällen eine ebenso große Gruppe, in der sich die Abweichungen der Sterbealter von 77 Jahren analog verteilten, so erhielte man dadurch die Kurve d(x) in zwei Teile d(x) = d,(x) + d,(x) aufgelöst, von denen der eine exponentiell wäre und die normale Verteilung nach dem Lebensalter (der Durchschnitt von 77 Jahren also die „normale Lebensdauer“) angäbe. Der Rest der Sterbefälle würde zum wesentlichsten Teil auf das Kindesalter entfallen und inso- fern Menschenleben umfassen, die schon von der Geburt oder len ersten Lebensjahren an mit solchen besonderen Ursachen belastet zewesen sind, welche früher oder später einen im Verhältnis zur Normalen „zu frühen Tod“ verursacht haben. Eine Weiterentwicklung der für die von Lexis vorgenommenen Teilung zugrundeliegenden Betrachtung führt zu der in den SS 162 und 165 im allgemeinen erhobenen Frage über die Möglichkeit, mittels zweckmäßiger Einteilung der Beobachtungen (hier Todesalter) Gruppen auszuscheiden, innerhalb deren sich die Verteilung jeden- falls der Gleichheit mit dem Exponentialgesetz nähert. Es wird hier nahe liegen, die Aufmerksamkeit auf die Todesu rsachen als Einteilungsgrund zu lenken. Diese Betrachtung liegt in Wirklichkeit auch der von Lexis vorgenommenen Teilung zugrunde, obgleich diese Teilung formell in anderer Weise ausgeführt ist und nicht mehr als zwei Gruppen umfaßt; allerdings ist es noch bei weitem nicht geglückt, die Kurve d(x) in lauter exponentielle Komponenten zu zerlegen, und es ist möglich, daß eine solche Dekomposition eine noch tiefergehendere Einteilung als nach Todesursachen allein erfordert : andererseits ist zu erinnern, daß sowohl die Beobachtungen über Todes- ursachen als auch über dasjenige Todesalter, mit dem im allgemeinen gearbeitet wird, so mangelhaft sein können, daß die Dekomposition dereits aus diesem Grunde scheitern muß. Die Todesursachenstatistik ist noch unvollkommen und mit der ärztlichen Wissenschaft zusam- 30* — 1468 men in steter Entwicklung; und hinsichtlich des Todesalters sieht man oft von allen Totgeborenen ab und rechnet das Alter von der Geburt an, ohne Berücksichtigung eventueller Frühgeburten. Für lie Bestimmung der Sterblichkeit unter Älteren ist dieses Verhältnis »hne größere Bedeutung, während eine Dekomposition besonders Jer starken Anhäufung von Sterbefällen unter „Lebendgeborenen“ un- mittelbar nach der „Geburt“ nur geringe Aussicht auf Erfolg haben kann, solange zuverlässige Beobachtungen auch über die Sterblichkeit im embryonalen Zustande nicht beschafft werden können (vgl. eben- falls die diesem entsprechenden Bemerkungen in den $$ 53 und 194). 307. Daß die Todesursachen nichtsdestoweniger als ein in dieser Beziehung wichtiger Einteilungsgrund !) anzusprechen sind, geht bereits aus der wohlbekannten Tatsache hervor, daß jedenfalls verschiedene Krankheiten besonders häufig auf gewissen Altersstufen als Todesursachen aufzutreten scheinen (Kinderkrankheiten, Tuber- kulose, Krebs, Arterienverkalkung, gewisse Geisteskrankheiten usw.). Die besondere Gruppe biometrischer Funktionen, welche mit den Todesursachen in Verbindung steht, sei daher des näheren besprochen. Wird die von der Kurve d(x)= u(x): l(x) in einem nicht zu großen Altersintervall, z. B. von x bis x +h, begrenzte Fläche kurz mit d, so daß also d = 1(x) — (x +h), und die von Personen in diesem Altersintervall im Zeitraum h durchlebte Zeit mit T bezeichnet, indem man annähernd T = $-h-(U(x) + 1(x + h)) hat, so kann nach obigen Ausführungen die Durchschnittsgröße der Sterblichkeitsintensität auf den Altersstufen, welche einem Intervall von x bis x-+h angehören, gleich u gesetzt werden. 1) Außer Lexis hat auch K. Pearson die Dekomposition von d(x) (The chances of death ete., Iiondon 1897, vol. I, 8. 25 £.) versucht, ebenso wie A. Fisher (Frequency curves ete., New York 1922 und Note on a new method of construction of mortality tables etc. in Skandinavisk Aktuarietidskrift 1925, S. 163 f.) aus- führliche Untersuchungen über die Möglichkeit, bei einer Dekomposition nach Todesursachen eine Sterbetafel lediglich auf Grund der Statistik der Sterbefälle zu konstruieren, unternommen hat, eine Aufgabe, die jedoch nicht als gelöst betrachtet werden kann (vgl. H. Cram6&r, Some notes on recent mortality investi- gations, Skand. Aktuarietidskrift, 1926, S. 73 f.). 469 Kennt man nun nicht nur die Altersgliederung der Sterbefälle, Sondern innerhalb jeder Altersklasse x bis (x-+hh) die Verteilung der in dieser eingetroffenen Sterbefälle nach gewissen Gruppen von Todesursachen, z. B. insgesamt n Gruppen, so kann man sich d in n Teile, d= di +d,+dz..,..-+da zerlegt denken, die sich wie die auf jede Todesursachengruppe ent- fallende Anzahl von Sterbefällen verhalten. Läßt sich dies für sämtliche Altersklassen durchführen, so bekommt man also eine in n Teile dekomponierte Verteilungskurve d(x), welche innerhalb jeder Todesursachengruppe die Verteilung der Sterbefälle nach dem Alter angibt. Es liegt in der Natur der Sache, daß diese Ver- teilungen nur dann mit den beobachteten übereinstimmen, sofern die Bevölkerung stationär ist, und es war oben erwähnt, daß es vor- l‚äufig nicht geglückt ist, die Todesursachen in so beschaffene Gruppen zu sammeln, daß sämtliche jeder dieser Ursachen ent- sprechenden partiellen Verteilungskurven sich der exponentiellen Form nähern. Ohne Rücksicht auf die Art der benutzten Einteilung folgt unmittelbar aus der Art und Weise, in der die partiellen Verteilungs- kurven d,, d,, ds ... d. bestimmt werden, daß die Summe der von diesen Kurven im Intervall von 0 bis x Jahren begrenzten Flächen zleich 1(x) sein muß. Werden ferner die den benutzten Todes- arsachengruppen entsprechenden partiellen Sterblichkeitsintensitäten = da Sn Mn = betrachtet, deren Größen außer von der Einteilung der Todesursachen auch vom Alter x abhängt (biometrische Funktionen sind), so ist zleichfalls u= U + 2 + #3... + Un; und die Summe der von diesen n biometrischen Funktionen in einem beliebigen Altersintervall x bis y begrenzten Flächen muß gleich der von der Kurve u(x) im selben Intervall begrenzten Fläche, welche den Wert 1(x) M(y) — M(x) = — 108 7m hat, sein. Im besonderen muß die Summe der von den Kurven 44 42 .. Un im Intervall von 0 bis x Jahren begrenzten Flächen Mi(x). M,(x) .. Miı(x) den Wert der Flächenfunktion 470 M(x) = M;(x) + Mo(x) —..... Ma(x) = — log 1(x) ergeben, woraus folgt, daß ; 1(x) = € — Mi) == ee” Mic) — Malz). + +++. — Mn(x) ua 7, e7 MA). N .a7 MM.) 308. Der eigentliche Inhalt dieser Gleichung kann durch den speziellen Fall, wo zwecks näherer Untersuchung eine einzelne Todesursache (eine einzelne Gruppe von Todesursachen), z. B. die Tuberkulose, ausgeschieden ist, und alle übrigen Todesursachen in einer einzelnen Gruppe zusammengefaßt sind, beleuchtet werden. u,(xX) möge die den Tuberkulose-Sterbefällen und w„(x) die allen anderen Todesursachen entsprechende partielle Sterblichkeitsintensität sein, so daß (X) = 14,(X) + (X). Bezeichnet man ferner wie oben die von den Kurven u(x), (x) und w-(x) im Intervall von 0 bis x begrenzten Flächen mit jeweils M/(x), Mı(x) und M,(x), dann ist — Mi{x) — M; 6) —Molx). 1lx)=— ea — e °e Hier wird die Funktion e:=M:@) die Zahl der noch im Alter x Lebenden (die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Null-jähriger das Alter x erreicht) angeben, und zwar unter der Voraussetzung, daß sich die Tuberkulose gänzlich als Todesursache ausrotten ließe, während e — Mi® —1,(x) die Anzahl der noch im Alter x Lebenden unter der Voraussetzung, daß die Tuberkulose die allein existierende Todesursache wäre und die von dieser verursachte Sterblichkeit die durch den Verlauf von 4,(x) angegebene Größe auf den verschiedenen Altersstufen hätte, bezeichnet; es ist dann 1x) = 1%) + (x), and eine entsprechende Relation läßt sich ableiten, wenn die Zahl der Todesursachengruppen größer ist. Wir kommen übrigens weiter unten im $ 321 in einer anderen Verbindung auf die der hier an- geführten Berechnung von l,(x) und l,(x) zugrunde liegende Fiktion zurück. Es wird dann einleuchten, daß die Schwierigkeit, auf diesem Wege die Vernichtung von Menschenleben, welche durch gewisse ausgeprägte Todesursachen (Krebs, Tuberkulose, Alkoholismus, Selbst- mord usw.) verursacht worden ist, zu beleuchten, weniger daher stammt, daß es schwer fällt, im allgemeinen theoretisch die Bedeutung zu 'präzisieren, die den so berechneten Überlebenskurven 1,(x) und l,(x) zugeschrieben werden kann: es handelt sich vielmehr um 471 die rein praktischen Schwierigkeiten, welche eine Gliederung nach Todesursachen speziell im Gefolge hat. Aller Wahrscheinlichkeit nach würde nämlich eine Auswahl, bei der diese oder jene Todes- ursache verschwände, auch die übrigen Todesursachen beeinflussen, und zwar nicht nur so, wie z. B. J. B. Say meinte, und wie es im 5 38 in Verbindung mit der Erwähnung der Durvillardschen Sterbetafel und dem Einfluß der Pocken auf die Sterblichkeit Aus- iruck fand: „wenn der Tod eine Tür geschlossen vorfindet, öffnet zer dafür eine andere“; ganz im Gegenteil könnte man sich denken, laß, wenn der Alkoholismus verschwände, vielleicht auch die Fälle von Lungentuberkulose, Leberzirrhose, Selbstmord usw. abnähmen. Wie gesagt, gehen wir weiter unten in größerer Allgemeinheit auf lie Berechnung einer Überlebenstafel ein, welche die Altersgliederung angibt, die eine Bevölkerung aufweisen würde, wenn man sich einen Teil der Ursachen, die einer Bevölkerung Individuen entziehen, be- seitigt denkt. 309. Die Methoden nun, deren man sich faktisch bedienen kann, um aus gegebenen Beobachtungen unter gleichzeitig Lebenden eine oder mehrere der hier besprochenen biometrischen Funktionen (eine Sterbe- tafel) zu berechnen, hängen natürlich von der Art des zur Verfügung stehenden Beobachtungsmaterials ab; der genaue Geburtszeitpunkt für jedes betrachtete Individuum der Bevölkerung (des Bestandes) ebenso wie der genaue Sterbezeitpunkt für die in der Beobachtungsperiode gestorbenen Individuen sind nicht immer gegeben, während dies der Fall ist, wenn Lebensversicherungsgesellschaften Sterbetafeln auf Grund von Sterblichkeitserfahrungen innerhalb ihres eigenen Ver- sicherungsbestandes berechnen. Man muß dann, wie auch sonst oft- mals, zu verschiedenen Hilfsmethoden seine Zuflucht nehmen, die gewisse Annahmen, z. B. eine Interpolation, notwendig machen. Die im $ 292 ff. beschriebene figürliche Darstellung läßt sich hierbei oft mit Vorteil anwenden, wie es auch häufig mit den zwischen den Hauptgruppen von Lebenden und Toten bestehenden Relationen der Fall ist. Einzelne Beispiele der vielen verschiedenen Aufgaben, von denen hier die Rede sein kann, sind weiter unten gegeben. Be- absichtigt ist stets, das Material möglichst so zu rekonstruieren, laß man, ebenso wie wenn für jedes Individuum der Bevölkerung genaue Daten vorliegen, sozusagen jedes Individuum entweder vom Beginn der Beobachtungsperiode an oder, wenn neue Individuen im Laufe der Periode eintreten, vom Zeitpunkt dieses Eintritts an ver- folgen kann, entweder so lange, bis die Periode abläuft oder bis das 472 — einzelne Individuum stirbt oder in anderer Weise aus der Bevölkerung ausscheidet (und sich so der Beobachtung entzieht). Die wichtigsten dieser Methoden, die bei der Berechnung einer Sterbetafel für gleichzeitig Lebende in Anwendung gebracht werden können, lassen sich nun im wesentlichen zu 3 Formen hin- führen, deren jede eng mit der im $ 293 erwähnten Gliederung der Sterbefälle in Hauptgruppen nach Alter, Todes- und Geburtszeitpunkt verknüpft ist. Hierbei wollen wir vorläufig noch von der Möglich- keit von Wanderungen absehen, d. h. von der Möglichkeit, daß in der betrachteten Hauptgruppe von Verstorbenen Individuenlinien in die Erscheinung treten (Einwanderung) oder daß Individuenlinien anders als in einem Sterbenunkte enden können. 510. Methode 1. Hier stellen wir uns die Sterbefälle nach A-Gruppen von Toten, d.h. nach Alter und Todeszeit verteilt, vor, und die Methode geht auf die Bestimmung der Sterblichkeitsintensität auf den verschiedenen Altersstufen hinaus!). Die Anwendung der Methode beruht also auf der Möglichkeit, die Gesamtzeit berechnen zu können, welche Personen der beobachteten Bevölkerung (Bestand) im Laufe der Beobachtungsperiode in der betreffenden Alterklasse verlebt haben, eine Größe, die im allgemeinen durch die Gesamt- länge sämtlicher von der betrachteten Gruppe von Sterbefällen um- faßten Individuenlinienstücke bestimmt wird. Ist diese Summe gleich T und die Zahl der Sterbefälle in der Gruppe gleich d, dann ist, bei nicht zu großer Altersklasse n= T Die übrigen biometrischen Funktionen lassen sich danach wie oben gezeigt berechnen. Während die Verteilung der Sterbefälle nach Alter und Todes- zeitpunkt (A-Gruppen) leicht vorzunehmen ist, wird die Schwierig- keit bei der Anwendung der Methode in der Regel in der Berech- nung liegen, wie sich die von der Gesamtbevölkerung im Laufe der Beobachtungsperiode durchlebte Zeit auf die benutzten Altersklassen verteilt. Wenn man, wie in einer Lebensversicherungsgesellschaft, vollständige Individualdaten für jede einzelne Person besitzt, läßt sich natürlich feststellen, wie lange jede Person in jeder Alters- _) Vgl. H. Westergaard, Die Sterblichkeitsmessung in der allgemeinen Bevölkerung, VI. internat. Kongreß für Versicherungswissenschaft 1909. 473 klasse gestanden hat, und daraus durch direkte Aufzählung die ge- samte in jeder durchlebte Zeit finden. Diese Methode ist allerdings die genaueste; sie wird jedoch bei sehr großem Material beschwer- lich; man wird in solchen Fällen, analog der Berechnung der Momente eines Verteilungsgesetzes (vgl. z. B. $ 178), vorziehen, die in die durchlebte Zeit eingehenden Addenden in gewisse Größen- Klassen zu gliedern, aus welcher Verteilung sich dann die Größe von T mit Annäherung berechnen läßt. Oft wird gerade das Material nicht durch Individualdaten, sondern dadurch gegeben sein, daß man die Verteilung der Sterbefälle nach Hauptgruppen und zu einem oder mehreren Zeitpunkten die Altersgliederung der Bevölkerung, aus denen die Sterbefälle hervorgegangen sind, kennt. Welcher An- näherungsgrad sich dann erzielen läßt, das beruht auf den supp- lierenden Voraussetzungen, deren man sich bedienen kann; eine figürliche Darstellung kann hier, wie früher betont, oft den Weg zeigen. Wenn das Material in einer solchen Form gegeben ist, daß es mit Hilfe der im $ 295 entwickelten Sätze über den Zusammenhang zwischen der Größe von Hauptgruppen Lebender und Toter möglich ist, die Volkszahl der Altersklassen für eine Reihe von verschiedenen Zeitpunkten innerhalb der Beobachtungsperiode zu berechnen, dann kann man auch die im $ 236 erwähnte Methode zur annähernden Berechnung der von Personen der Altersklasse in der Beobachtungs- zeit durchlebten Zeit benutzen. Kann man mit hinlänglicher Ge- nauigkeit die Volkszahl der Altersklasse als mit der Zeit linear varlierend betrachten, so läßt sich speziell der Durchschnitt der Volkszahl der Altersklasse zu Anfang und Schluß der Periode oder die Volkszahl der Altersklasse in der Mitte der Periode als Ausdruck für die mittlere Volkszahl der Altersklasse, aus der man dann un- mittelbar die durchlebte Zeit finden kann, betrachten. Ein Beispiel hierfür ist die Berechnung einer Sterbetafel aus dem Durchschnitt der Sterbefälle in zwei aufeinanderfolgenden Kalenderjahren und der Volkszahl bei der Jahreswende. Bei mehreren der älteren dänischen Tafeln fand man die durchlebte Zeit gerade unter der Voraussetzung eines gleichmäßigen (linearen) Zuwachses; und die Berechnung der englischen Tafeln fußt auf einer linearen Inter- polation an den Logarithmen der Volkszahlen. Aufgabe 102. In den Jahren 1909 bis 1912 (inel.) starben in Dänemark ;n den unten angeführten Altersklassen folgende bisher unverbeiratete (U), ver- heiratete (V) und ehemals verheiratete (E) Frauen - {74 V E 30—35 Jahre...... 1335 80 35—40 5 2000 1402 125 40—45 5 000004 1396 192 15—50 0 040400 1434 322 Wenn die für jede dieser Gruppen bei der Volkszählung am 1. Februar 1911 ermittelte Anzahl von Frauen 30—35 Jahre...... 35—40 0 ee 10—45 00. 45—50 0 er oetrug, so ist für jede der 3 betrachteten Zivilstandsgruppen die Wahrscheinlichkeit dafür zu finden, daß eine 35-jährige 36 Jahre und eine 45-jährige 46 Jahre alt wird. 3ll. Methode 2. Bei dieser denkt man sich die Sterbefälle nach B-Gruppen von Toten, d. h. nach Todeszeit und Generationen verteilt, und die Methode geht darauf aus zu bestimmen, wie zahl- reich die zu einem gegebenen Zeitpunkt in einer gegebenen Gene- ration (Altersklasse) Vorhandenen (eine Hauptgruppe von Lebenden zweiter Art) im Laufe einer gegebenen Zeit abscheiden. Die Methode ist von van Pesch (dessen Namen sie meist trägt) zur Berechnung von Sterbetafeln für Holland!) verwandt worden wie auch die dänischen Sterbetafeln für das Jahrfünft 1896 bis 1900 und spätere Jahrfünfte auf dieser Methode fußen. Angenommen, man kenne die Verteilung der Bevölkerung auf 1-jäh- rige Altersklassen (also auch 1-jährige Generationen) am 1. Januar 1911 und die Verteilung der Sterbefälle auf 1-jährige Generationen in den folgenden Kalenderjahren; man kann dann (vgl. $ 295) die Gliederung nach 1-jährigen Altersklassen zu Beginn eines jeden der folgenden Jahre berechnen. Angenommen, n Personen seien am 1. Januar 1911 zwischen 40 und 41 Jahre alt (1870 geboren), und die Anzahl von Sterbefällen im Laufe des Jahres 1911 in dieser Generation sei gleich d. Wären die n Personen sämtlich am 1. Januar 1870 geboren, so würden sie alle am 1. Januar 1911 gerade 41 Jahre alt sein, und der Quotient U 25 301 16 694 13397 10615 Y 71532 65136 58231 50236 £ 2859 4037 5781 7712 d Q=— — ” gäbe dann die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß eine 41-jährige Person vor Ablauf eines Jahres stürbe. Wären dagegen alle am 1) Bijdragen tot de Statistiek van Nederland, Sterftetafels voor Nederland, Haag 1897 475 31. Dezember 1870 geboren, so würde der Quotient die entspre- chende Wahrscheinlichkeit, jedoch nur für 40-jährige, angeben. Unter der Annahme, daß sich die n Geburtstage gleichmäßig über das Jahr verteilen, setzt daher van Pesch die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Person von 40'/, Jahren vor Ablauf eines Jahres stirbt, zu d Quo — — Diese Bestimmung entspricht dem, daß man die Sterbepunkte als gleichmäßig in der Gruppe verteilt annimmt; die Zeit, die jede verstorbene Person durchschnittlich in der Gruppe vor dem Tode zugebracht hat, kann dann gleich } Jahr gesetzt werden, und die Gesamtzeit, welche die d Verstorbenen in der Gruppe vor dem Tode zugebracht haben, wird dann +d, während die übrigen n— d je 1 Jahr zugebracht haben; die gesamte durchlebte Zeit wird also T=n-—43d, und für q erhält man (vgl. $& 305) — d d = Hiermit ist q,} allein mittels der Sterblichkeitserfahrungen in dem einen Jahre 1911 bestimmt worden; man kann indes ganz analog qu+ in der Weise berechnen, daß die im Jahre 1912, jetzt aber in der Generation 1871 eingetroffenen Sterbefälle betrachtet werden. Ist wie vorher die Größe der Generation 1. Januar 1912 yzleich n, und die Anzahl von Sterbefällen im Jahre 1912 in dieser Generation gleich d,, dann ist nach den Erfahrungen des Jahres 1912 d- Quo4 * 2% und der Durchschnitt aus den Erfahrungen der Jahre 1911 und 1912 rleich “na +m aSsW., wenn man die Erfahrungen aus den folgenden Jahren zu be- rücksichtigen wünscht. Sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die übrigen Altersklassen bestimmt, dann kann man durch Interpolation zur Mitte der Intervalle in der Reihe der Wahrscheinlichkeiten Jao% Qu} Ga2l, dis} + + s die Wahrscheinlichkeiten Ja1> Iı25 Gı3y Q44 + + + jafür finden, daß eine Person, die gerade 41, 42, 43 ... Jahre alt 4.76 geworden ist, vor Ablauf eines Jahres stirbt; hiernach läßt sich der Verlauf aller übrigen biometrischen Funktionen berechnen. 312. Methode 3. Hierbei denkt man sich die Sterbefälle nach C-Gruppen von Toten, d. h. nach Generationen und Altersklassen verteilt, und die Methode geht in direktem Anschluß an die den Laplaceschen Generationstafeln (vgl. $ 301) zugrundeliegende Idee darauf aus, die Wahrscheinlichkeit p(x, h) dafür, daß ein x-jähriger nach h Jahren noch am Leben ist, zu berechnen; und dies geschieht, indem man auf Grund der Erfahrungen in einer gewissen Gene- ration feststellt, wieviele von denen, die im Laufe einer gegebenen Zeit x Jahre alt werden (eine Hauptgruppe von Lebenden erster Art), das Alter x -+h erreichen. Die Methode ist von Becker‘) (Sterbetafeln für 1871—1880 für das Deutsche Reich) und von Zeuner?) (Tafeln für Sachsen) angewandt worden und führt mitunter die Bezeichnung Zeuner-Beckersche Methode. Wenn n Personen z. B. im Laufe des Jahres 1911—1915 40 Jahre alt werden (in den Jahren 1871 bis 1875 geboren sind) und d von diesen vor dem nächsten Geburtstage sterben, dann werden n—d im Laufe von 1912—1916 das 41. Lebensjahr vollenden, und die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine 40-jährige Person nach 1 Jahr lebt (resp. binnen 1 Jahr stirbt), ist dann Pan = a—d FESP. 940 — a n n Würde man aufs neue die Wahrscheinlichkeit p4, berechnen, indem man feststellte, wieviele der (n—d) von 1912--16 das 41. Lebensjahr vollendenden Personen von 1913—17 das 42. Lebens- jahr vollendeten usw. und also fortgesetzt von den Erfahrungen in der zuerst betrachteten Generation (1871—75) profitieren, dann würde man eine Generationstafel von der von Laplace angegebenen Art erhalten. Eine Tafel für gleichzeitig Lebende bekommt man da- gegen, wenn man nach der Bestimmung von pıo aus den Erfahrungen in der Generation 1871—75 ebenso p,, mittels der Erfahrungen in der Generation 1870—74 und p,, mit Hilfe der Erfahrungen in der Generation 1869—73 usw. bestimmt, wonach sich der Verlauf der übrigen biometrischen Funktionen berechnen läßt. 1) Deutsche Sterbetafel gegründet auf die Sterblichkeit der Reichsbevölke- rung in den 10 Jahren 1871—73 bis 1880—81, Monatshefte zur Statistik des Deutschen Reichs, Nov.-Heft, Jahrg. 1887, ?) Neue Sterblichkeitstafeln fiür die Gesamtbevölkerung des Königreichs Sachsen. Zeitschr. des k. sächs. stat. Bureaus. 1894 und 1904 (40. u. 49. Jahre.) 477 Es folgt aus dieser Methode (vgl. z. B. Figur 15), daß man nicht wie bei den zwei weiter oben beschriebenen Methoden der Berücksichtigung aller derjenigen Sterbefälle bedarf, welche in den Zeiträumen (Kalenderjahren) eintreffen, von denen man im übrigen seine Erfahrungsdaten holt. Will man beispielsweise untersuchen, wieviele der im Jahre 1911 Geborenen 1 Jahr alt werden, so ist von der Geburtenzahl für 1911 die Anzahl von Sterbefällen abzu- ziehen, welche in dieser Generation vor dem ersten Geburtstage ein- treffen; aber diese Anzahl setzt sich aus einem Teil der Sterbefälle jes Jahres 1911 im Alter von 0—1 Jahr und einem Teil derjenigen des Jahres 1912 in derselben Altersklasse zusammen, während die übrigen Teile der Sterbefälle beider genannter Jahre ausscheiden. Ganz analog geht es beispielsweise im oben behandelten Falle, wo Dao Mittels der Erfahrungen in der Generation 1871—75 bestimmt wurde; dies ergibt sich überaus deutlich bei der Betrachtung einer diesbezüglichen Figur. 313. Ohne Berücksichtigung dieser Tatsache ist jedoch letztere Methode jedenfalls bei der Bestimmung der Größe der Kinder- sterblichkeit den beiden ersteren überlegen. Dies hängt nicht dloß damit zusammen, daß die Angaben der Volkszählungen über die Zahl der Kinder der jüngsten Altersstufen oft weniger zuver- lässig sein werden, sondern auch mit dem für eine Untersuchung der Kindersterblichkeit besonderen, doch unvermeidlichen Verhältnis, daß ein Teil des Bestandes, aus dem die notwendigen Beobachtungen zu beschaffen sind, erst im Laufe gerade dieser Periode, in der die Sterblichkeitsbeobachtungen angestellt werden, in die Bevölkerung 3intreten (geboren werden). Ferner erfordern die verschiedenen Annäherungsformeln, deren Verwendbarkeit dadurch bedingt ist, daß lie betrachteten Altersintervalle nicht zu groß sind, besonders kleine Altersintervalle (Monate, Quartale), wenn es sich um die jüngsten Jahrgänge handelt; denn die Sterblichkeit auf diesen Altersstufen (und namentlich die Säuglingssterblichkeit) ist außerordentlich viel größer als später und variiert stärker mit dem Alter als in den meisten anderen Altersintervallen. Um einen ersten Überblick über die Größe der Kindersterblich- xeit in verschiedenen Gruppen zu gewinnen, kann es, wie es oft zeschieht, mitunter ausreichend sein, das Verhältnis zwischen der Anzahl von Sterbefällen, die in einer gegebenen Periode unter Kin- Jern, die jünger als ein gegebenes Alter sind, eintreffen, und der Zahl ler in derselben Periode geborenen Kinder zu berechnen. Da indes, 478 wie die Betrachtung einer Figur unmittelbar lehrt, ein Teil der in der betrachteten A-Gruppe enthaltenen Sterbefälle unter Kindern, die vor der Periode geboren sind, eintrifft und ein Teil der Sterbefälle, welche im gegebenen Alter unter den in der Periode Geborenen stattfinden, sich erst nach Ablauf der Periode ereignet, so sind die benutzten Zahlen zum mindesten nicht homogen. Wenn die in der Zeit um die betrachtete Periode eintreffenden Geburten einiger- maßen gleichmäßig verteilt sind, dann wird der Fehler jedoch nicht groß sein. Aber teils schwankt die Anzahl von Geburten z. B. jedes Monats ziemlich regelmäßig und nicht unbedeutend (vgl. $ 278), teils kann die Anzahl von Geburten in längeren Zeiteinheiten (Jahren oder ähnlich) oft stark und höchst unregelmäßig schwanken. Wenn man nicht über Beobachtungen, die eine rationelle Berechnung zu- lassen, verfügt, wird man daher oft eine bessere Annäherung errei- chen, indem man die Zahl der in der Zeit von t bis t+x im Alter o bis x eingetroffenen Sterbefälle zur Zahl der in der Zeit von t—z bis t+3 Geborenen ins Verhältnis setzt, z. B. die im Jahre 1912 im Alter von 0 bis 1 Jahr Gestorbenen ins Verhältnis zu den vom 1. Juli 1911 bis 1. Juli 1912 Geborenen. In naher Verbindung mit der Säuglingssterblichkeit steht übrigens das Totgeburtenprozent; da anzunehmen ist, daß Verhältnisse, welche sich noch der Beobachtung entziehen, dafür entscheidend sein können, ob ein Embryo vor der Geburt stirbt oder lebend zur Welt kommt, ohne recht lange leben zu können, so wird man bei manchen Untersuchungen dazu genötigt sein, die Totgeborenen sowohl den Toten wie den Geborenen zuzurechnen, wenn man sich nicht dem aussetzen will, daß Unterschiede zwischen der Größe der Säuglings- Sterblichkeit in verschiedenen Gruppen — namentlich bei internatio- nalen Vergleichen — nur Verschiedenheiten hinsichtlich der Begriffe ‚otgeboren und lebendgeboren ausdrücken (vgl. die $$ 53 und 306). Aufgabe 103. Im männlichen Teil jeder der 1-jährigen Generationen der Jahre 1845—50 ereigneten sich in Dänemark in jedem der Jahre 1911—13 jeweils vor (a) und nach (b) dem Geburtstage folzende Anzahl von Sterbefällen: 1911 1912 1913 » h DIE 4 28 7 115 138 130 1846 5 32 122 127 121 1237 164 29 14 1.15 120 119 119 1848 909 128 122 116 121 119 1849 106 104 117 122 114 120 1850 114 107 123 117 116 114 479 Wenn gleichfalls gegeben ist, daß die Anzahl von Männern in jeder dieser Generationen am 1. Januar 1911 Jahrg. 1845 . 7164 1846 ...... 7149 1847 . 7512 ' Jahrg. 1848 .. ... 8574 „1849 . 8274 = 1850 - 9575, beträgt, dann sind die Werte von q;;, qı Und q;; zu finden, die sich mit Hilfe der 1., 2. und 3. Methode aus diesen Zahlen ableiten lassen, wobei von Wande- rungen abgesehen wird. Aufgabe 104. Berechne auf Grund der in der Aufgabe 94 gegebenen Zahlen die Wahrscheinlichkeit po dafür, daß ein neugeborener Knabe 1 Jahr wird. Berechne ebenfalls p,, p,, p, und p,. Wie stimmt der für p, gefundene Wert mit dem Wert, zu dem man bei der Berechnung von p, aus dem Sterblichkeits- Juotienten für 4- bis 5-jährige gelangt? 314. Zur Beleuchtung namentlich derjenigen Interpolationen, für die man bei jeder der 3 oben beschriebenen Methoden Verwen- lung haben kann, seien hier einige Beispiele angeführt (vgl. im ibrigen den Anhang). NE DC DOCH +2 0 DL 08 £ A244) u Fie. 18. Häufig wird man z. B. der Kenntnis von der Ver- Vz teilung der Sterbefälle, nicht bloß auf die Reihe von Haupt- gruppen, mit der die Methode direkt verknüpft ist, son- dern auch — jedenfalls hinsichtlich einzelner Hauptgruppen — von der Verteilung auf die Elementargruppen, aus der sich die betrachtete Hauptgruppe zusammensetzt, bedürfen. Nehmen wir beispielsweise an, die Sterbefälle eines Kalender- jahres seien auf dem Wege der Beobachtung auf 1-jährige Alters- klassen (in A-Gruppen von Toten) verteilt; vgl. obige Figur 18. Die Anzahl von Sterbepunkten, welche auf 3 aufeinanderfolgende L-jährige Altersklassen entfällt, sei jeweils a, b und c, deren jede 2 Jahresgenerationen angehört. Beispielsweise kann Gruppe ABDC, -. 480 die im ganzen b Sterbepunkte enthält, durch die in die Figur ein- gezeichnete schräge Linie in zwei Geburtsjahrgruppen (Elementar- gruppen ABD und ADC) geteilt werden. Wieviele der b Sterbe- punkte auf jede von diesen entfallen, hängt natürlich davon ab, wie diese b Punkte über die ganze Gruppe verteilt sind. Könnte man rechnen, daß die b Punkte gleichmäßig verteilt lägen, so wären die beiden Größen, b, (in der ältesten Generation ABD) und b, (in der jüngsten AD C), beide gleich 4b. Diese Voraussetzung kann jedoch nicht immer als erfüllt angenommen werden; in weniger aus- geprägtem Grade gilt dies in der Regel bei der Verteilung in der Richtung der Sterbezeit-Achse, aber auf den meisten Altersstufen häufig um so mehr bei der Verteilung in der Richtung der Alters- achse. Die Altersgliederung in dem Bestande, aus dem die Sterbe- fälle hervorgegangen sind, ist hier natürlich entscheidend. Sind a, b und c gleich groß, dann liegt indes kein Grund für die Annahme vor, daß sich die Sterbepunkte weder im untersten noch im obersten Teil des Intervalls anhäufen. Weisen dagegen die Zahlen a, b und c eine deutliche Bewegung auf. so daß entweder a>b>c oder a<b<C, dann ist anzunehmen, daß die b Sterbepunkte der untersten Grenze der Altersintervalle (resp. der obersten) am nächsten liegen; dies hat im Gefolge, daß b, kleiner (resp. größer) als 4b und b, in ent- sprechendem Umfange größer (resp. kleiner) wird. Setzt man bei- spielsweise voraus, daß die Sterbepunkte in der Richtung der t-Achse gleichmäßig verteilt sind, sich jedoch nach einem Polynomium zweiten Grades in der Richtung der x-Achse verteilen, dann lassen sich die Konstanten des Polynomiums mittels der Newtonschen Formel durch die 3 Zahlen a, b und c bestimmen; und nimmt man an, daß diese Verteilung für die ganze Gruppe ABDC gelte, so ergibt sich, wie des näheren im Anhang erwiesen, daß der den ältesten (resp. jüngsten) der in Betracht kommenden Geburtsjahrgänge gehörende Teil gleich b a—c b = Im resp. b, = 3 ; 8 CC 24 wird. 4 Es handelt sich also im allgemeinen um eine recht unbedeutende Berichtigung des zuerst ermittelten Resultats. 481 Aufgabe 105. Die im Jahre 1912 in Dänemark lebend geborenen 74659 Kinder erblickten in folgenden Monaten das Licht der Welt: 5406 im Januar 6324 im Mai ı 6175 im September 5074 ‚„ Februar 6015 „ Juni 6135 ‚ Oktober 3691 ‚„ März ] 6291 „ Juli 5807 „ November 5511 „ April 6151 ,„ August 6079 ,, Dezember 4848 dieser Kinder starben im selben Jahre; sie verteilten sich nach Todes- alter und -monat wie folgt: Alter Jan. Febr.März April Mai Juni Juli Aug. Sept. Okt. Nov. Dez. 0— 1Monat ......134 196 202 220 208 195 208 208 207 183 195 195 1— 2 Monate 33 > 66 72 54 69 80 62 64 70 76 2— 3 73 60 48 76 51 410 50 45 Ri 3— 4 " 65 € 46 41 43 35 40 42 4— 5 98 46. 3? 29 33 34 49 5— 6 % T 7 30) 27 36 6— 7 “ 32 42 7— 8 13 31 8— 9 26 9— 1 15 10- : i1 "usammen 154 234 298 384 428 407 492 483 442 452 488 606 Welcher Schluß kann hieraus hinsichtlich der Anzahl der am 1. Januar 1913 vorhandenen untereinjährigen Kinder und deren Verteilung auf 1-monatige Alters- klassen gezogen werden? 315. Ganz analog kann man sich übrigens die Sterbefälle, welche im Laufe eines Jahres in einem gegebenen Geburtenjahrgang eintreffen, in zwei Gruppen geteilt denken, je nachdem der Tod vor oder nach dem Geburtstage eintrat. Ebenfalls ließe sich die Inter- polationsmethode anwenden, wenn man die Zeit finden will, welche diejenigen Personen, deren Sterbepunkte in eine gegebene Elementar- gruppe fallen, insgesamt in dieser Gruppe verlebt haben, bevor sie starben. Für eine einjährige Elementargruppe wird diese Zeit, wie im Anhang erwiesen, ca } Jahr, da die Korrektion, welche man erhält, wenn berücksichtigt wird, daß die Sterbepunkte nicht ganz gleichmäßig verteilt sind, im allgemeinen ohne jegliche Bedeutung sein wird. Genau so läßt sich, wenn man die Sterbepunkte, welche auf eine Hauptgruppe von Toten entfallen (eine A-, B- oder C-Gruppe), be- irachtet, die Zeit berechnen, die von Personen, deren Sterbepunkte in eine solche Hauptgruppe fallen, in dieser vor ihrem Tode zuge- Westergaard und Nyb@lle. Theorie der Statistik, 2. Aufl. 31 18592 bracht wurde. Für eine A-Gruppe wie die in der Figur 18mit A BDC bezeichnete findet man die Zeit unmittelbar als Summe aus den Leb- zeiten T, und T,, welche von jeder der beiden Elementargruppen, aus denen die Hauptgruppe zusammengesetzt ist, stammen; denn die Individuenlinienstücke, auf deren Gesamtlänge es ankommt, fallen hier ganz und gar entweder in die eine oder die andere der Elementar- gruppen. Wenn man annehmen darf, daß die Sterbepunkte einiger- maßen gleichmäßig verteilt sind, dann ergibt sich als Resultat also ca. + Jahr für jeden Sterbefall. Anders geht es indes, wenn man eine der beiden anderen Haupt- gruppen (eine B- oder C-Gruppe), welche von den den Individuenlinien parallelen Linien begrenzt werden, betrachtet. Werden die in einem Kalenderjahre in einer 1-jährigen Geburtengruppe (einer B-Gruppe) Verstorbenen betrachtet, dann kommt zur Summe der Lebzeiten in jeder. der beiden Elementargruppen der Hauptgruppe noch die Zeit hinzu, die die nach dem Geburtstage Verstorbenen (deren Sterbepunkte in die älteste Elementargruppe fallen) vor dem Geburtstage in der Gruppe zugebracht haben; und für eine C-Gruppe haben wir genau so eine ähnliche Zulage für diejenigen, welche in den letzten der zwei in Betracht kommenden Kalenderjahre gestorben sind, nämlich die von diesen Personen im ersten Kalenderjahre in der Gruppe verbrachte Zeit. Die Zeit, welche die in der einen Elementargruppe Verstorbenen in der anderen verlebt haben, wird, wie im Anhang erwiesen, ebenfalls ungefähr } Jahr für jeden Sterbefall betragen; die Zeit, welche diejenigen Personen, deren Sterbepunkte in eine B- oder C-Gruppe von Toten fallen, durchschnittlich je in der ganzen Gruppe vor dem Tode zugebracht haben, wird somit + Jahr, welches Ergebnis unmittelbar einleuchtet und bereits weiter oben (& 311) be- nutzt worden ist. C. Die Wanderungen, 316. Bei der obigen Darstellung haben wir im großen ganzen von der Möglichkeit abgesehen, daß innerhalb der betrachteten Gruppe neue Individuen in die Erscheinung treten (Einwanderung) oder daß Individuen in anderer Weise als in einem Sterbepunkte enden könnten (Auswanderung). Es wurde jedoch bereits im $ 296 er- wähnt, daß man sich solche Ein- und Auswanderungspunkte analog den Sterbefällen (Sterbepunkten) in Gruppen nach Wanderungsalter, Wanderungszeitpunkt und Geburtszeit eingeteilt denken kann und daß das Vorkommen von Wanderungen keine prinzipiellen Änderungen 183 der zwischen den verschiedenen Hauptgruppen Lebender und Toter vdestehenden Relationen mit sich führt, wenn man hinsichtlich der Wanderungen in ähnlicher Weise über Beobachtungen verfügt wie bei den Sterbefällen. Wenn wir vorläufig das Alter als einzigen wesentlichen, die Größe der Sterblichkeit beeinflussenden Faktor an- nehmen, so daß die Sterblichkeit, der die ein- und ausgewanderten Individuen unterworfen sind, als im wesentlichen analog der Sterb- lichkeit auf denselben Altersstufen in dem nicht wandernden Teil der Bevölkerung betrachtet werden kann, dann hat das Vorkommen von Wanderungen auch nicht bei der Bestimmung der Sterblichkeit auf den verschiedenen Altersstufen Schwierigkeiten prinzipieller Natur im Gefolge. Die von einer Gruppe durchlebte Zeit wird nämlich, genau SO, wie wenn keine Wanderungen stattfänden, durch die Gesamtlänge aller Individuenlinienstücke, welche die Gruppe umschließt, bestimmt. Hat man Individualbeobachtungen für jede einzelne Person, so kann man, wie oben erwähnt, unmittelbar feststellen, welche Zeit jede einzelne in der Gruppe zugebracht hat und mittels einfacher Auf- zählung die durchlebte Zeit finden; liegen dagegen sowohl die Sterbe- fälle wie die Ein- und Auswanderung auf Haupt- oder Elementar- gruppen verteilt vor, dann kann man wie oben bei den Sterbefällen an Hand zweckmäßiger Interpolationsformeln die Zeit bestimmen, welche die Aus- und Eingewanderten in der Gruppe zugebracht haben, bevor sie aus- oder seitdem sie einwanderten. Wie bei den Sterbefällen wird man die Wanderungspunkte auf Gruppen von so kleinen Dimensionen zu verteilen suchen, daß der Fehler, den man begeht, wenn diese Punkte als einigermaßen gleichmäßig über die Gruppe verteilt gedacht werden, als ohne jegliche Bedeutung angesprochen werden kann. Hinsichtlich der Auswanderung findet man natürlich hier genau so wie oben bei den Sterbefällen dieselben Resultate be- züglich der Zeit, welche die Ausgewanderten vor der Auswanderung in der Gruppe zugebracht haben, wenn hinsichtlich der Verteilung der Auswanderungspunkte von gleichen Voraussetzungen wie bei den Sterbepunkten ausgegangen wird. Wie im Anhang erwiesen, wie es jedoch auch bei einfachem Nachdenken hervorgeht, gelten ferner ganz entsprechende Resultate für die Zeit, welche die Eingewanderten seit der Einwanderung in der Gruppe zugebracht haben; beispielsweise wird die Zeit, welche die in einer 1-jährigen Elementargruppe Ein- zgewanderten in dieser seit der Einwanderung verlebt haben, auf ca. + Jahr für jeden Einwanderer veranschlagt werden können, wenn 21* — 1484 sich die Einwanderungspunkte in keinem Teil der Gruppen anhäufen. Die Zeit, welche die in einer 1-jährigen A-Gruppe Eingewanderten von dem Einwanderungsaugenblick an in der Gruppe zugebracht haben, kann dann unter gleicher Voraussetzung für jede Person durchschnittlich zu ca. }4 Jahr angesetzt werden, während die ent- sprechende Zahl für 1-jährige B- und C-Gruppen ebenso wie für die Sterbe- und Auswanderungspunkte ca. 4 Jahr wird. 317. Der Einfluß, den das Vorkommen von Wanderungen auf die oben beschriebene empirische Bestimmung einer Sterbewahrschein- lichkeit mit Hilfe von B- oder C-Gruppen von Toten (2. und 3. Methode) ausübt, läßt sich nun leicht ermitteln. Die Volkszahl zu Anfang einer 1-jährigen Gruppe sei wie vorher gleich n und die Anzahl von Toten, Auswanderern und Einwanderern jeweils d, u und i; fänden keine Wanderungen statt, dann würde man wie oben ganz einfach = bekommen; wenn dagegen ein gewisser Teil, u, der n zu Beginn der Observations- oder Altersperiode in der Gruppe Anwesenden im Laufe des Jahres auswanderte, so könnten im ausgewanderten Teile Sterbefälle eintreten, die in d hätten mitgerechnet werden müssen, damit Zähler (d) und Nenner (n) einander genau entsprächen; und = 2 wird also im allgemeinen als Ausdruck für die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu klein; das Resultat — wäre jedoch richtig, wenn die ganze Auswanderung u im letzten Augenblick des Jahres vor sich ginge; fände sie jedoch am ersten Tage des Jahres statt, so müßte man = setzen; der gesuchte Wert für q muß zwischen diese Werte fallen und wird, unter der Annahme, daß sich die Wanderungspunkte gleichmäßig über das Jahr verteilen, gleich = A n— 4uU; handelt es sich um Einwanderung, dann erhält man d A und wird der Wanderungsüberschuß (i — u) kurz mit v bezeichnet. dann ist nn d AP 185 318. Das Vorkommen von Wanderungen wird hiernach der Berechnung der Größe der Sterblichkeit keinerlei Schwierigkeiten bereiten, wenn man damit rechnen kann, daß sich die Wanderungen gleichmäßig übers Jahr verteilen; ist die Verteilung eine andere und im übrigen bekannt, so kann man sich analog der -Bestimmung der oben angegebenen Wanderungs-Korrektionen (beispielsweise je 4% der + Jahr für jede ein- und ausgewanderte Person) die Möglich- keit vorstellen, entsprechende andere Korrektionen zu bestimmen. Hierauf sei nicht näher eingegangen; denn für alle solchen Korrek- tionen gilt, daß bei ihrer Berechnung nur die genannte, der Verteilung nach Wanderungszeitpunkten entsprechende Rücksicht zenommen werden kann, während, wie im $& 516 betont, stets vorausgesetzt wird, daß z. B. eine im Laufe des Jahres in eine gegebene Generation eingewanderte Gruppe im wesentlichen derselben Sterblichkeit wie diese Generation unterworfen ist. Dieser Umstand mag in manchen Fällen von so entscheidender Bedeutung sein, daß die Frage einer Korrektion der einen oder der anderen Größe unter- geordneter Natur sein wird oder daß die Bestimmung der Sterblich- keit in einer Bevölkerung, in der Wanderungen vorkommen, völlig widersinnig wird, es sei denn, daß der Umfang der Wanderungen so unbedeutend ist, daß es keinen größeren Unterschied ausmacht, >b man diese berücksichtigt oder nicht, d. h., eine Bevölkerung be- trachtet, in der keine Wanderungen stattfinden (eine „geschlossene“ Bevölkerung). Beispielsweise kann man sich denken, daß es sich um die Bestimmung der Sterblichkeit in den Gruppen, in die sich sine Bevölkerung nach dem Zivilstand — bisher Unverheiratete, Verheirate und ehemals Verheiratete — gliedert, handelt. Bei der Bestimmung der Junggesellensterblichkeit hat man es bei der Aus- wanderung u. a. mit dem von Eheschließungen stammenden Abgang vom Junggesellenbestande zu tun. Da nun mehr oder weniger schwächliche oder erwerbsuntaugliche Junggesellen vermutlich nicht wie kräftige und arbeitstüchtige Personen zur Heirat geneigt sind, so ist anzunehmen, daß der von der Gruppe der Junggesellen aus- gewanderte (in die Ehe eintretende) Teil jedenfalls im Augenblick der Wanderung eine wesentlich geringere Sterblichkeit hat als die Gruppe, aus der er ausscheidet, und die Gruppe (die Verheirateten), in die er einwandert; ersteres wird bei der Sterblichkeitsbestimmung unter bisher Unverheirateten, letzteres für die Feststellung der Sterb- lichkeit unter Verheirateten von Bedeutung. Etwas ganz Entsprechendes muß vermutlich auch der — rein 486 geographisch bestimmten — Wanderung gelten, welche auftreten kann, wenn ohne irgend welche Teilungen eine Sterbetafel für die Bevölkerung eines ganzen Landes (oder Staates) berechnet wird; eine solche Berechnung ist daher auch in der Regel mit dem relativ geringen Umfang der betreffenden Wanderungen zu begründen. Teilt man dagegen die betrachtete Bevölkerung in verschiedene Teile, z. B. außer der soeben genannten Gliederung nach Geschlecht und Zivilstand in Stadt- und Landbevölkerung, in ehelich und außer- ehelich Geborene (wobei die Legitimationen als Wanderungen auf- treten), in soziale Gruppen oder Berufsgruppen, in Abstinenzler und Nichtabstinenzler usw., so wird, selbst wenn die oben genannten geographisch bestimmten Wanderungen unbedeutenden Umfangs sind, in der Regel Veranlassung dazu sein, Wanderungen erheblichen Um- fanges zwischen den Gruppen zu berücksichtigen; findet man daher beim Vergleich zwischen verschiedenen Gruppen einen be- trächtlichen Unterschied in der Sterblichkeit, dann wird man — mit Ausnahme der Gliederung nach dem Geschlecht — vor die Frage ge- stellt, ob die für eine Gruppe ermittelte größere Sterblichkeit Ur- sachen, welche lediglich in dieser Gruppe wirken, zuzuschreiben ist oder von Ursachen, die sich in Wirklichkeit in einer anderen Gruppe geltend machen, jedoch nur auf Grund von Wanderungen auch in der ersteren bemerkbar sind, stammt. Als Beispiel hierfür möge die von A. N. Kizr!) hervor- gehobene eigenartige Unregelmäßigkeit im Verlauf der Sterblich- keitskurve für Männer von 20—35 Jahren (vgl. Figur 17b) heran- gezogen werden, eine Unregelmäßigkeit, die von einem recht erheblichen Übertritt von der Gruppe von Unverheirateten zu der von Verheirateten zu stammen scheint. Wie oben erwähnt, ist es einerseits wahrscheinlich, daß ein Teil schwächlicherer Junggesellen unverheiratet verbleibt, andererseits wahrscheinlich, daß eine Ver- ehelichung, welche in großem Umfange in diesen Altern vor sich geht, die Aussicht zu leben verbessert und damit die Sterblichkeit der ganzen Altersklasse drückt. Etwas ganz Entsprechendes gilt bei der Untersuchung der Sterblichkeit in verschiedenen Berufen; beispielsweise bildet die Dienstbotenklasse eine Bevölkerungsgruppe mit einem in gewissen Altersklassen unverhältnismäßig großen Zu- und ') Livs- og Dodstabeller for det norske Folk efter Erfaringerne fra Tiaaret 1871/72—1880/81, Norges officielle Statistik, 3. Rekke. Nr. 68. Kristiania 1888. X LXVUTE* 487 Abgang, der sowohl die Altersgliederung wie den Ausdruck, den man für die Sterblichkeit in der Gruppe selbst und in den übrigen Bevölkerungsgruppen erhält, beeinflußt‘). Da die Überschreitung einer gewissen Altersgrenze Zugang zur über der Altersgrenze liegenden Altersklasse (und Abgang von der unter der Grenze liegenden Altersklasse) bedeutet, so treten insoweit Wanderungen bereits bei jeder Altersgliederung auf und können, wie schon im $ 277 erwähnt, besonders im Greisenalter eine gewisse Auswahl von Makrobioten in die Erscheinung treten lassen, eine Auswahl, welche die Sterblichkeit auf den ältesten Altersstufen kenntlich beeinflußt ®). 319. Zu den hier besprochenen theoretischen Schwierigkeiten yesellt sich noch besonders bei Untersuchungen über die Sterblichkeit in der Bevölkerung eines ganzen Landes (Staates) die praktische Schwierigkeit, daß sich die Wanderungsstatistik selten in derselben Weise und mit gleicher Sicherheit wie die Statistik der Sterbefälle er- heben läßt. Während man im allgemeinen die Anzahl von Sterbefällen leicht auf dem Wege der Beobachtung bestimmen kann, wird der Versuch, den Umfang der Wanderungen festzustellen, oft an Schwierig- keiten scheitern, da man teils begrifflich festzulegen hat, was unter Ein- und Auswanderung zu verstehen ist, und sich danach dann zahlenmäßig, wie bei der Statistik der Sterbefälle, hinsichtlich des Umfangs der Wanderungen auf dem Laufenden halten muß. Ein oft angewandtes Verfahren ist daher das, mit Hilfe der Geburts- und Sterbezahlen zu berechnen, wieviele Menschen an einem gegebenen Volkszählungstage vorhanden sind, indem vorausgesetzt wird, daß seit der letzten Volkszählung nur eine Vergrößerung durch die Ge- burten und nur eine Verkleinerung durch die Sterbefälle stattgefunden hat. Der Unterschied zwischen der so gefundenen Volkszahl und der beobachteten muß den Wanderungsüberschuß (vgl. $ 284) an- geben, und könnte man diesen mittels passender Interpolationsformeln auf die einzelnen Kalenderjahre der Volkszählungsperiode (oder andere Zeiteinteilungen) sowie auf die betrachteten Altersklassen verteilen, dann hätte man hierbei eine Möglichkeit, den in die im $ 317 zefundene Formel für q eingehenden Wanderungsüberschuß auf die- selben Gruppen wie die Sterbefälle zu verteilen; dagegen kann natürlich nicht davon die Rede sein, auf diesem Wege die Größe ‘Vgl. Rubin og Westergaard, Landbefolkningens Dodelighed i Fyens Stift, Kobenhavn 1886. ? H. Westergaard, Mortality in extreme old age, Economic Journal, Vol. IX. London 1899. S. 315. a a 4188 der die Höhe des Überschusses bestimmenden Ein- und Aus- wanderung festzustellen. Bisher ist diese wichtige Frage nur in ge- ringerem Grade zum Gegenstand für tiefergehendere Untersuchungen gemacht worden; und dies gilt ebenfalls der Frage der Verschiebungen zwischen den Gesellschaftsklassen. Der Auftrieb von den niederen Gesellschaftsklassen und der Gegensatz dazu, die Abwärtsbewegung, sind zwei Faktoren von ungemein großer soziologischer Bedeutung !). 320. Die Frage des Einflusses der Wanderungen auf die Be- stimmung der Größe der Sterblichkeit reicht indes noch weiter. Dies hängt damit zusammen (vgl. $ 283), daß man mittels einer ein- fachen Wortveränderung die in dem Vorhergehenden be- handelten Probleme auf eine ganze Reihe anderer Aufgaben übertragen kann. Der Anschaulichkeit halber können wir uns zu Anfang den ein- {achen Fall denken, daß man den männlichen und bisher unver- heirateten Teil der Bevölkerung eines Landes, über dessen Grenzen keine Wanderungen stattfinden, beobachtet. Diese Bevölkerungs- gruppe verkleinert sich also nur durch Sterbefälle und Eheschießungen, während eine Vergrößerung lediglich durch Geburten erfolgt. Der Abgang durch Ehe und Tod zehrt nun mit höchst verschiedener Stärke auf den verschiedenen Altersstufen am Junggesellenbestande, und man kann analog dem $& 297, wo nur Abgang durch Tod be- rücksichtigt wurde, auch hier sich die entsprechende Aufgabe stellen zu untersuchen, welche Altersgliederung die Junggesellen aufweisen würden, falls sich die auf den verschiedenen Altersstufen herrschende Sterblichkeits- und Eheschließungsintensität in der Bevölkerungsgruppe hinlänglich lange unverändert hielte und die Wirkung dieser Ur- sachen weder durch Schwankungen in der Geburtenmenge noch durch Wanderungen gestört würde. Diese Aufgabe wird, wie es aus dem oben Entwickelten hervorgeht, ganz einfach dadurch gelöst, daß man eine Überlebenskurve L,(x) für die betrachtete Bevölkerungsgruppe be- rechnet, jedoch nur so, daß jetzt kein Unterschied zwischen Abgang durch Tod und Trauung gemacht wird. Da wir vorausgesetzt haben, daß keine Wanderungen stattfinden, so geht aus den in den S$8 310—312 dargestellten Methoden hervor. in welcher Form die 1) Vgl. H. Westergaard, On the study of displacements within a popu- Jation, Quart. Public. of the American Statistical Association, Vol. X1X, Boston 1920, S. 381, und Modern problems in vital statisties, Biometrika, Vol. XVII, London 1925. S, 355. 489 Sterblichkeits- und Eheschließungsstatistik dann zu erheben und wie danach die Berechnung von L,(x) vorzunehmen ist. Genau so könnte man, wenn gleichfalls Abgang durch Aus- wanderung eintreten würde, die Altersgliederung L,(x) finden, welche die Gruppe der Junggesellen aufweisen würde, falls die Intensität, mit der nicht nur Tod und Trauung, sondern auch die Auswanderung am Bestande zehren, sich hinlänglich lange konstant verhielte und die Wirkung nicht durch Schwingungen in den Geburtenzahlen ge- stört würde. Es geht indes auch aus dem im $ 317 Entwickelten hervor, wie man sich die Wirkung der Auswanderung durch die Berechnung von L,(x), welche nur Abgang durch Tod und Trauung anbetrifft, ausgeschaltet denken kann. Bei Untersuchungen dieser Art wird man wiedererkennen, was »ben hinsichtlich der Berechnung einer gewöhnlichen Überlebens- kurve gesagt wurde für den Fall, daß man sich eine einzelne Todes- ursache oder eine einzelne Gruppe von solchen jeweils ganz ausge- schaltet oder ganz alleinherrschend dächte. Das hierbei angestellte Gedankenexperiment entspricht vollund ganz dem, was der Berechnung einer besonderen Sterbetafel, einer besonderen Eheschließungstafel und einer besonderen Auswanderungstafel auf Grund der Erfahrungen hin- sichtlich Tod, Trauung und Auswanderung in einer Bevölkerungsgruppe zugrunde liegt. Wenn man sich analog hiermit die Todesursachen in insgesamt 3 große Hauptgruppen, z. B. Krebs, Tuberkulose und andere Krankheiten eingeteilt denkt, so kann man den durch Krebs verur- sachten Abgang (Sterblichkeit) für sich allein betrachten, indem dann ler Abgang auf Grund der übrigen Todesursachen als „Wanderung“ betrachtet wird, und so fort für die übrigen Kombinationen. Aufgabe 106. Im männlichen, bisher un verheirateten Teil jeder der 1-jährigen Generationen 1882—84 ereigneten sich in Dänemark in jedem der Jahre 1911 und ‘912 jeweils vor (a) und nach (b) dem Geburtstage folgende Anzahl von Sterbe- ällen, Eheschließungen und Auswanderungen: 16a 1912 Jahrg. Sterbe fälle 4 e- :jeßungen 1uswan- derun ver the. älla ‚chließunege., 1swan- derungen ‚u 652 966 ı 795 | 20| Wenn zugleich gegeben ist, daß die Anzahl von bisher unverheirateten \lännern in ijeder dieser Generationen am 1. Januar 191] betrug: für Jahrgang 1882 . . 1883 . 18R4 ..| 26 3 zn ib A000 1882: 7709, für Jahrgang 1883: 9291 und für Jahrgang 1884: 11428, dann sind die Werte zu finden, die sich aus diesen Zahlen für die Wahrscheinlichkeiten dafür ableiten lassen, daß ein 28-jähriger bisher unverheirateter Mann 1) stirbt, 2) sich rerheiratet, in beiden Fällen vor der Vollendung des 29. Lebensjahres. 321. Verfügt man überhaupt über Beobachtungen, welche die Be- rechnung der „Sterblichkeit“ einer Bevölkerung, in welcher „Wan- derungen“ vorkommen, zulassen, so kann man sich den tatsächlich erfolgenden Abgang ganz willkürlich in 2 Teile zerlegt denken, näm- lich in den Abgang, dessen Intensität auf den verschiedenen Alters- stufen studiert wird (die „Sterblichkeit“) und in den sonstigen Ab- gang (die „ Wanderung“); und wenn man es wünscht, kann die Weise, in der sich die betrachtete Abgangsintensität mit dem Alter ver- ändert, u. a. durch eine entsprechende „Überlebenskurve“ ausgedrückt werden, Obgleich eine solche Überlebenskurve stets auf einer gewissen Fiktion beruhen muß, so sind die mit der Methode gewonnenen Resul- tate keineswegs wertlos. Dies erhellt u. a., wie oben erwähnt, daraus, daß die Altersgliederung, welche der faktisch beobachtete Bestand auf- weist, von so vielen verschiedenen Momenten beeinflußt sein kann und im allgemeinen auch beeinflußt ist, daß sie gar nicht derjenigen Alters- gliederung entspricht, welche die betrachtete Abgangsursache allein hervorbringen würde. So wurde in dem oben im $ 304 behandelten Bei- spiel erwiesen, wie verschieden sich die Altersgliederung in der fak- tischen und der stationären Bevölkerung von Eisenbahnbeamten ge- stalten konnte. Schon aus dem Grunde, daß der Bestand, aus dem man seine Beobachtungen holt, wenn alles zu allem kommt, in ganz willkür- licher Weise aus einer größeren Masse gewählt werden kann, ist zu er- warten, daß diese zwei Altersgliederungen nur ausnahmsweise mehr oder weniger zufällig eine Art Übereinstimmung zeigen. Man wird daher auch nur ausnahmsweise erwarten können, daß eine unmittelbare Be- nutzung der bloßen Tatsachen einige Ausbeute zeitigt. Beispielsweise wird das durchschnittliche Sterbealter für die in einer Bevölkerungs- gruppe in einem gewissen Zeitraum faktisch eingetroffenen Sterbefälle insofern auch etwas ganz Zufälliges und nicht als Maßstab für die Lebensfähigkeit der Gruppe geeignet sein; für die in Dänemark von 1911—15 unter Männern eingetroffenen ca. 92000 Sterbefälle war das durchschnittliche "Todesalter ca. 43,3 Jahre, während die auf Grund derselben Sterblichkeitserfahrungen berechnete Sterbetafel eine mittlere Lebensdauer von 56,2 Jahren ergibt; aus dieser mitt- leren Lebensdauer findet man. daß der summarische Sterblichkeits- 49. quotient für die den Sterblichkeitsverhältnissen der Gruppe ent- sprechende stationäre Bevölkerung gleich aa“ 18°%o wird, wäh- ’ rend man, wenn die 92000 Sterbefälle zu der von der Gruppe von 1911—15 durchlebten Zeit ins Verhältnis gesetzt werden, einen Sterblichkeitsquotienten von ca. 13%. findet. Der wesentlichste Grund dieses Unterschieds ist der, daß der Geburtenzugang zur Gruppe viele Jahre vorher rund gerechnet doppelt so groß gewesen ist wie ler Abgang durch Todesfall. Die Gruppe enthält infolgedessen weit mehr junge Individuen als die ihrer Sterblichkeit entsprechende sta- tionäre Bevölkerung; faktisch waren von 1911—15 etwa 67% der Gruppe unter 35 Jahre alt, während sich nur ca. 52%, unter diesem Alter finden würden, wenn die Sterblichkeit der Gruppe allein die Altersgliederung bestimmt hätte; die territorialen Wanderungen haben ebenfalls eine gewisse Rolle gespielt, jedoch auch nicht nur an- nähernd die gleiche Bedeutung gehabt; es wird aber erhellen, daß bei dieser Art von Störungen jedenfalls die Möglichkeit vorliegt, daß das Resultat stark verschoben und für die Beurteilung der Lebens- fähigkeit bedeutungslos werden kann; vgl. auch die Bemerkungen im $ 40. Will man daher die Lebensfähigkeit einer gewissen Gruppe lurch das Alter, welches die Individuen der Gruppe vor ihrem Tode erreichen, ausdrücken, so muß dies mittels der auf Grund der Über- lebenstafel der Gruppe berechneten mittleren Lebensdauer geschehen. Im besonderen kann man von diesem Gesichtspunkte aus die ben berührte Frage untersuchen, was die einzelnen Todesursachen für die menschliche Lebensdauer bedeuten, und beispielsweise berechnen, wieviel wohl die mittlere Lebensdauer zunähme, wenn es möglich wäre, eine oder mehrere Todesursachen ganz auszurotten !). Wenn berücksichtigt wird, daß dies in vielen Ländern faktisch z. B. für eine so gut definierte Krankheit wie die Pocken geglückt ist, dann knüpft sich ein bedeutendes Interesse daran, den Anteil der ein- zelnen Todesursachen an der menschlichen Sterblichkeit untersuchen zu können. Wie weit man in Richtung einer verminderten Sterb- lichkeit gelangen kann, das wird indes ganz davon abhängen, in welchem Grade man die Lebensbedingungen der menschlichen Ge- sellschaft, hierunter die öffentliche und private Hygiene, wird ver- bessern können; auch spielt hierbei natürlich die Kunst der Ärzte eine Rolle. i) H. Westergaard, The horoscope of the population in the twentieth senturyv. Bulletin de l’Institut Int. de Statistiaue, T. XVII. Kobenhavn 1908. 8. 103. 199 Selbst wenn die Verlängerung der Lebenszeiten, welche die gleichzeitige Beseitigung von zwei oder mehreren Todesursachen mit sich führt, nicht gleich der Summe derjenigen Verlängerungen, die jede der Ursachen für sich allein betrachtet, im Gefolge hat — dies leuchtet bei einfachem Nachdenken unmittelbar ein —, so läßt sich andererseits keine absolute Grenze angeben, unter die die Sterb- lichkeit sinken könnte; gedankenmäßig liegt dem nichts im Wege, sich jedenfalls gewisse Wirkungen einer willkürlich niedrigen Sterb- lichkeit vorzustellen. Welche Lebenszeiten sich dereinst erzielen lassen, muß dann auch ganz unberechenbar sein, obgleich in diesem Punkte interessante Gedankenexperimente angestellt werden können *). 322. Die Aufgabe, eine Trauungstafel auf Grund der Erfah- rungen über die Eheschließungsfrequenz unter Junggesellen zu kon- struieren, ist bereits oben erwähnt; es ist klar, daß die für Trau- ungen geltenden „biometrischen Funktionen“ einen ganz anderen Verlauf nehmen als die, welche die Sterblichkeit beschreiben. So geben z. B. in der Figur 19a die ausgezogenen Kurven jeweils für BU Zü———— 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Fig. 19. Männer und Frauen nach dänischen Erfahrungen der Jahre 1916—20 ?) die Wahrscheinlichkeit l1,(x) dafür an, daß ein neugeborenes Wesen, wenn man vom Abgang durch Todesfall absieht, das Alter x erreicht, öhne verheiratet worden zu sein; zum Vergleich ist eine punktierte Kurve eingezeichnet, die auf Grund dänischer Erfahrungen im selben Jahrfünft die Wahrscheinlichkeit lı(x) dafür angibt, daß eine neuge- 1) Vergl. L. J. Dublin: The possibility of extending human life. Metron. Vol. III, Ferrara 1923, S. 175. ?) Statistisk Tabelverk, 5. Rk., Litra A, Nr. 15: Egteskaber, Fodte og Dode i Danmark i Aarene 1916 —20. Keobenhavn 1924. 493 borene Person das Alter x erlebt (Überlebenskurve). In Figur 19b ist dagegen die im $ 320 mit L,(x)= 1,(x) + 1,(x) bezeichnete Wahr- scheinlichkeit dafür angeführt, daß ein neugeborenes Individuum das Alter x erreicht, ohne verheiratet worden zu Sein. Aus den Kurven geht hervor, daß, während die Sterblichkeit gleich von der Geburt an sehr groß ist, aber schnell auf ein Mini- mum fällt und danach wieder steigt (vgl. auch Figur 17), sich die Neigung der Unverheirateten zur Heirat in ganz entgegengesetzter Weise mit dem Alter verändert. Für die höheren Alter kann die Form der Kurven jedoch nicht im Sinne der niedrigeren Alter als bekannt angesprochen werden, da Erfahrungen auf diesen Altersstufen nicht im gleichen Umfange zur Verfügung stehen; daß die Sterblich- keitskurven ganz unten an der Abszissenachse schließen, während ler Abschluß der Trauungskurven als völlig wagerecht in einer ge- wissen Höhe über dieser Achse schließend angedeutet ist, ist daher nur ein Ausdruck für die Vermutung, daß alle sterben werden, während einige immer unverheiratet verbleiben (ca. 7 und 15% je- weils für Junggesellen und Mädchen). Diese Besonderheit führt mit sich, daß, wenn man ein der mittleren Lebensdauer entsprechendes mittleres Eheschließungsalter berechnen will, man von denjenigen Personen absehen muß, von denen so angenommen wird, daß sie nie verheiratet werden. Daß man auch eine Trauungstafel für ehemals Verheiratete, ins- besondere eine für Personen des Witwer- oder Witwenstandes und eine für Geschiedene berechnen könnte, ist ohne weiteres klar; bei einer solchen Berechnung wird man häufig auf die im $ 310 berühr- ten Annäherungsmethoden verwiesen sein; da der Zugang zu dem Bestande, von dem die hierzu erforderlichen Beobachtungen zu be- schaffen sind, jedenfalls nicht durch Geburt, sondern im wesentlichen ladurch, daß Ehen durch Tod oder Scheidung aufgelöst werden, vor sich geht, so erfordert eine genauere Untersuchung die Beobachtung des Alters der „überlebenden“ Gatten bei Auflösung der Ehe. 323. Auch auf andere Aufgaben über die menschlichen Lebens- äußerungen können die dargestellten Methoden Anwendung finden. In der Statistik der Ehen könnte man die Ehe selbst (und nicht die Gatten) als die Einheit, dessen Lebensdauer man zu bestimmen sucht, betrachten und daraus die Wahrscheinlichkeit dafür ableiten, Jaß eine Ehe, welche x Jahre bestanden hat, noch nach h Jahren axistiert usw. Hinsichtlich des Bestandes an Ehen würde natürlich — 494 die Teilung in Gruppen nach Alter und Zivilstand der Gatten bei der Trauung für jede Gruppe höchst verschiedene Resultate ergeben; unterscheidet man ferner zwischen Ehenauflösung verschiedener Art (Tod des Mannes oder der Frau, Scheidung), so erhellt, daß auch hier von Wanderungen im gleichen Sinne wie bei einer Gliederung ier Sterbefälle nach Todesursachen die Rede sein kann. Anstatt die Auflösung der Ehe als die Begebenheit, welche den Sterbefällen in der Sterblichkeitsstatistik analog ist, zu betrachten, kann man in der Statistik der Ehen z. B. die Erstgeburt als ein zu beobachtendes Kreignis wählen. Aus der entsprechenden Überlebens- kurve wird dann die Wahrscheinlichkeit dafür hervorgehen, daß die Zeit x vor der Geburt des ersten Kindes verstreicht. Wie oben muß eine Gliederung des Bestandes von beobachteten Ehen in Grup- pen nach dem Alter der Gatten im allgemeinen für notwendig erachtet werden; auch hier wird es von Interesse sein, eine der Gliederung nach Todesursachen entsprechende Einteilung der beobach- teten Geburten vorzunehmen und z. B. nach mißglückten, zu frühen oder normalen Geburten oder nach dem Geschlecht der geborenen Kinder oder in Einzel- und Vielgeburten zu gliedern. Auch die Schnelligkeit, mit der sich die folgenden Kinder der Ehe einfinden werden, läßt sich mittels ähnlicher Methoden untersuchen, wenn gleichzeitig die Geburtsaummer der geborenen Kinder beobachtet wird; das Resultat ist eine „Überlebenskurve“, die sich in mehrere Abteilungen gliedert. Genau dasselbe gilt, wenn man nicht die Ehen, sondern die Mütter als die Einheiten, aus denen sich die betrachtete Bevölkerung zusammensetzt, behandelt. Die Schwierigkeit bei dieser Art von Untersuchungen liegt nach dem Angeführten überwiegend in der rein praktischen Aufgabe, das erforderliche Beobachtungs- material zu beschaffen. 324. In Verbindung mit dieser Frage kann man ferner die Frage der Invalidität, welche von großer sozialer Bedeutung ist, behandeln. Beobachtet man in einer gewissen Bevölkerungsgruppe nicht bloß die eintretenden Sterbefälle, sondern auch die Unglücks- fälle, welche Arbeitsuntauglichkeit mit sich führen, und faßt man diese beiden Begebenheiten als „Todesfall“ zusammen, so läßt sich eine „Überlebenstafel“ berechnen, aus der u. a. die Wahrschein- lichkeit dafür hervorgeht, daß eine jetzt x-jährige Person nach h Jahren weder tot noch invalide ist. Werden die dem Abgang durch Tod oder Invalidität ent- 495 sprechenden Intensitäten zu und v je für sich berechnet, dann kann man die Wahrscheinlichkeit dafür finden, innerhalb einer gegebenen Zeit entweder zu sterben oder invalide zu werden. Die Personen, welche invalide werden, „wandern“ beim Eintreten des Unglücksfalls von der betrachteten Bevölkerungsgruppe von Aktiven in die Gruppe der Invaliden über. Der Zugang zu dieser wird im wesentlichen gerade aus dieser „Einwanderung“, welche in jedem Alter eintreffen kann, bestehen, und die Gruppe wird im all- yemeinen eine andere Sterblichkeit als die aktive Gruppe aufweisen. Beobachtet man, wieviele Sterbefälle sich in dieser Bevölkerungs- zruppe im Laufe einer gegebenen Observationsperiode im Alter von x bis x-+-h ereignen und die von dieser Bevölkerung in der Periode durchlebte Zeit, so läßt sich in gewöhnlicher Weise eine Überlebens- zurve U(x) für diejenigen berechnen, welche das Alter x erreichen und vorher zu irgendeinem Zeitpunkt vom Unglück betroffen worden sind. Wie wir oben die Überlebenskurve, welche man erhielt, wenn »ntweder nur die Sterblichkeit oder sowohl Sterblichkeit als auch Aus- wanderung berücksichtigt werden, betrachten konnten, so kann man auch hier außer der Überlebenskurve U(x), welche die Sterblichkeit der Invaliden angibt, die „Überlebenskurve“ U,(x) betrachten, welche die Anzahl von Invaliden im Alter x angibt, wenn sowohl der Abgang durch Todesfall wie der Zugang durch „Einwanderung“ von Invaliden von der Gruppe der Aktiven berücksichtigt werden; lie hiervon stammende Zunahme wird natürlich von der Größe der oben besprochenen Invaliditätsintensität » und von der Größe der Gruppe von Aktiven L(x), welche dem ausgesetzt sind, invalide zu werden, abhängig. Aus U,(x) kann man wiederum die Anzahl von Sterbefällen finden, die im Laufe der Periode h unter Invaliden aintreffen; diese Anzahl wird natürlich größer als die Anzahl, die in der Bevölkerung U(x) eintrifft, welche letztere nur diejenigen detrifft, die vor dem Alter x invalide geworden, aber nicht in die- jenigen Sterbefälle einbegriffen sind, welche unter den im Alter x bis <-+h eingewanderten Invaliden eintreffen (vgl. im übrigen den Anhang). Da die Sterblichkeit der Invaliden außer vom Alter faktisch von der seit dem Eintreten der Invalidität verstrichenen Zeit ab- hängt, so ist auch hierauf Rücksicht zu nehmen. Es verhält sich hiermit in ähnlicher Weise wie mit der oben erwähnten Sterblich- keit unter den von der Lebensversicherung angenommenen ärztlich 496 untersuchten Personen; während diese jedoch eine geringere Sterb- lichkeit aufweisen, ist die der Invaliden größer; in beiden Fällen aber verschwindet der Unterschied im Laufe einer Jahresreihe (10 bis 15 Jahre) nach der Auswahl. Wie die Untersuchung der Größe der menschlichen Sterblich- keit für das Lebensversicherungswesen entscheidend gewesen ist und dieses umgekehrt zur Bewerkstelligung solcher Untersuchungen bei- getragen hat, so haben die Bestrebungen moderner Zeiten, die Existenz nicht nur der auf Grund des Alters arbeitsuntauglichen Personen ‚Pensionierung), sondern überhaupt auch derjenigen, welche in jün- geren Jahren durch Krankheit oder Unglücksfall invalide werden (Invaliditätsversicherung), zu sichern, Untersuchungen über das Vor- kommen von Invalidität erforderlich gemacht. 325. In der Krankenstatistik begegnet man einer mit dieser Aufgabe nahe verwandten Frage, die daher auch hier berührt sei. Den Sterbefällen in der Sterblichkeitsstatistik entsprechend ist hier die in erster Linie interessierende Begebenheit das Auftreten von Krankheiten; ebenso wie die Sterbefälle nach den Todesursachen in Gruppen zerlegt werden können, kann man natürlich die Krank- heiten nach ihren Ursachen einteilen. Besitzt man genaue Daten über Sterbefälle, sowie über Ein- und Austritte, so läßt sich in ge- wöhnlicher Weise die in einer Periode vom Bestande durchlebte Zeit berechnen; und beobachtet man zugleich die Anzahl der in der Periode eingetretenen Krankheitsfälle und die Zeit, welche die In- dividuen des Bestandes krank zugebracht haben, dann läßt sich teils für die Krankheitsfrequenz, teils für die relative Anzahl von Kran- kentagen jedes Lebensjahres (Mitgliedschaftsjahres) ein Ausdruck finden. Die hierbei beobachtete Anzahl von Krankentagen kann indes von Krankheitsfällen stammen, welche bereits eine gewisse Zeit vor dem Anfang der Beobachtungsperiode eingetreten sind, ebenso wie Krankheiten, die in der Observationsperiode auftraten, über diese hinaus andauern können. Könnte man mit hinlänglich guter Annäherung den Zustand als stationär annehmen, so würde dieses Verhältnis kein Hindernis dafür sein, die Durchschnittsdauer der Krankheiten zu bestimmen. Diese Annahme hält jedoch im all- gemeinen nicht Stich, was nicht nur bei der Bestimmung der Durch- schnittsdauer, sondern überhaupt bei einer Einteilung der Fälle in Gruppen nach der Dauer (kürzere und längere Krankheiten) zu be- rücksichtigen ist. Von Interesse wäre ferner die Gliederung des 497 Gesamtbestandes in Personen, die noch nie krank waren, in solche, welche bereits einmal krank gewesen sind usw. Zu den Fragen, zu denen die Kranken- und Invaliditätsstatistik Veranlassung gibt, gehören auch Untersuchungen über den Umfang, in dem Krankheit Invalidität verursacht, hierunter ganz besonders die Frage über den Einfluß der Sanatorienbehandlung auf die Inva- liditätsintensität der Tuberkulose. Das beste Mittel zur Beleuchtung dieser Frage dürfte eine individuelle Untersuchung sämtlicher jetziger und bisheriger Sanatorienpatienten sein. Für diejenigen, welche die Sanatorien verlassen haben, kann man z. B. den Gesundheitszustand im 1, 2., 3. usw. Jahre nach der Gesundschreibung untersuchen, also das „Alter“ vom Abschluß der Sanatorienbehandlung an rechnen und sich die Anzahl derer vornehmen, welche in dieser Art von Altersklassen sterben, aufs neue aufgenommen oder als solche be- irachtet werden, die ihre Arbeitskraft ganz oder teilweise wieder- gewonnen haben. Auch hier wird das Resultat eine Überlebenstafel, die sich in mehrere Abteilungen gliedert und zeigt, ob eine Aus- scheidung von voll Arbeitsfähigen usw. vor sich geht. Eine Gliede- rung nach dem Alter, von der Geburt an gerechnet, wird dagegen hier selten notwendig sein, da die Sterblichkeit unter Tuberkulösen überhaupt so viel größer als die in der gesunden Bevölkerung ist, so daß der Einfluß des wirklichen Alters hier in der Reihe von Ursachen in den Hintergrund tritt. Etwas Ähnliches kann übrigens bei der Untersuchung der Sterblichkeit unter Pensionisten beobachtet werden, da die erste Zeit nach der Entlassung sich wesentlich anders als die Folgezeit gestalten kann 1). Ganz analog der Krankenstatistik, welche die Grundlage für lie Krankenversicherung bilden muß, ist endlich die Arbeits- (osenstatistik, welche in dem Maße, wie man die Versicherung gegen Arbeitslosigkeit rationell zu gestalten sucht, für die Bestim- mung der Größe der diesbezüglichen Prämien Bedeutung erlangt. 326. Weiter noch sei erwähnt, daß sich die bei der Aufstellung einer Sterbetafel angewandten Methoden benutzen lassen, wenn man die bereits im $ 203 berührte „Rückfallstatistik für Ver- brecheranfänger“ behandelt und nun außer den Rückfällen, welche im „ersten Jahre“ eintreffen (d. h. im selben Jahre, wo die erste ') H. Westergaard, Der Kampf gegen die Tuberkulose. (Ass, Jahrbuch XXX, Wien 1909.) Derselbe, Die Sterblichkeit im Ruhestande (Lindheim : Saluti Senectutis, Leipzig und Wien 1909). Westergaard und Nvbölle, Theorie der Statistik. 2. Aufl. 498 Verurteilung stattfand), auch die in den folgenden Jahren eintreten- den Rückfälle in Betracht zieht?!). Wie oben erwähnt, wurden in den Jahren 1897—1915 insgesamt 29 213 Verbrecheranfänger verurteilt, von denen 1875 im selben Kalenderjahre zum zweitenmal ihr Urteil erhielten („zurückfielen“), was ein Rückfallsprozent von 6,42 ergab. Die Anzahl von Rückfällen, welche unter erstmalig Verurteilten im Laufe der Periode im Jahre nach der ersten Aburteilung („2. Jahr“) sich ereigneten, betrug 2371 und muß in den Jahren 1898—1915 unter denen, welche in den Jahren 1897—1914 zum erstenmal ver- urteilt wurden, eingetroffen sein, welche Anzahl (vgl. die Tabelle im $ 203) gleich 29213 — 1885 = 27328 wird; für diese Gruppe erhält man also ein Rückfallsprozent von 8,68. Im ganzen ergeben sich für die ersten fünf Jahre auf ähnliche Weise folgende Zahlen: Zum erstenmal Zahl der Von den verurteilten Personen verurteilt in Verur- fielen zurück einem der Jahre teilungen Anzahl 1897 —1915 29213 7375 1897—1914 27328 2371 1897—1913 25.709 1276 1897 —1912 23.980 795 1897— 1911 929448 A553 “/o 6,42 8,68 4,96 3,32 246 E. A. ” Bo Im ersten Jahre, d. h. in dem Kalenderjahre, in dem die erste Strafe verhängt wurde, ergab sich also ein Rückfallsprozent von 6,42, in dem zweiten ganzen Kalenderjahre von 8,68. Wie es auch aus dem bereits im $ 203 Gesagten hervorgeht, ist es also nur an- scheinend, daß die Rückfallsfrequenz im ersten Jahre kleiner als im zweiten ist; aus der Art und Weise, in der die Rückfallsprozente berechnet sind, folgt dagegen, wie es auch aus einer Figurbetrach- tung (vgl. Figur 15) hervorgeht, daß, wenn keine Sterbefälle oder Auswanderungen einträfen, von den in einem Kalenderjahre zum erstenmal Verurteilten 93,58 noch bei Jahresschluß vorhanden wären, ohne erneut Verbrechen begangen zu haben; und ihr „Alter“ (von der 1. Verurteilung ab gerechnet) läge zwischen 0 und 1 Jahr. Von diesen 93,58 begehen im folgenden Jahre 8,68 erneut Ver- drechen, so daß von dem ursprünglichen Bestande von Verbrecher- anfängern am Schlusse des zweiten Kalenderjahres in einem Alter von 1—2 Jahren insgesamt noch 84.90 vorhanden sind usw. Es ') Danmarks civile og kriminelle Retspleje i Aarene 1906—10 (Stat. Tabel- verk, 5. Rakke, Litra B, Nr. 6, Kobenhavn 1913), i Aarene 1911—15 (Stat. Tabelyerk, 5. Rekke, Litra B. Nr: 7. Kobenhayn 1920). 199 sind also die von der „Überlebenskurve“ in den ersten 1-jährigen Altersintervallen begrenzten Flächen, welche durch die Rückfalls- prozente bestimmt werden; hieraus kann man indes wieder durch Interpolation an der der gefundenen Altersgliederung entsprechenden Flächenkurve mit Annäherung die Überlebenskurve selbst ermitteln; man findet hierbei folgende Zahlen: Alters- Anzahl der nicht „Alter“ klassen Zurückgefallenen 1) IJ—1 J-> 9? 7 X Tahr x 3. me 76,62 74.16 . Tahre iı 5 Hieraus kann man in gewöhnlicher Weise die Wahrscheinlich- keit dafür finden, daß eine Person, die vor x Jahren zum erstenmal verurteilt ward, vor Ablauf von h Jahren wieder ein Verbrechen begeht. Hat man es mit Sterbefällen oder Auswanderung zu tun, so ist die Möglichkeit, dies zu berücksichtigen, lediglich eine Frage hinsichtlich der Beschaffung des hierfür nötigen Materials. Wie die Durchführung der Berechnung hier für sämtliche Verbrecheranfänger angedeutet ist, könnte man sich diese auch für jede der Gruppen durchgeführt denken, zu denen man gelangt, wenn die Verbrecheranfänger nach der Art der Verbrechen, auf Grund deren sie zum erstenmal verurteilt wurden, eingeteilt werden. Für Sittlichkeits- und Eigentumsverbrecher ergeben sich z. B. für die ersten 3 Jahre folgende unter „A“ und „B“ angeführten Zahlen, die len oben für sämtliche Anfänger mitgeteilten entsprechen: A, Sittlichkeitsverbrecher. Anzahl der Rückfälle hiervon entfielen auf Sittlichkeits- Eigentums- verbrechen verbrechen Zum erstenmal verurteilt in 2»inem der Jahre 1897 — 1915 1897—1914 18971012 2841 2665 2499 YA ZN X 53 ba 1897—1915 1897—1914 1897 — 1913 B. Eigentumsverbrech: 20225 1. Jahr 1612 18750 | 2. 1969 17 508 3 998 db 43 1499 1795 862 71 500 Ferner ist hier angeführt, wieviele Rückfälle jeweils auf Sitt- lichkeits- und Eigentumsverbrechen entfielen. Für die erste Gruppe erhält man wie oben die Rückfallsprozente en =— 2,04, ferner 4,05 und 3,12% für jedes der 3 ersten Jahre; am Ende des 3. Jahres sind also insgesamt 9,21%, der Anfänger zurückgefallen, 90,79%, dagegen „überlebend“, während man für die Eigentumsverbrecher 24,17°/ Zu- rückgefallene in. den 3 ersten Jahren erhält. Aus den angeführten Zahlen erhellt ebenfalls, wieviele der Rück- fälle jeweils auf Sittlichkeits- und Eigentumsverbrechen sowie — näm- lich der Rest — auf alle sonstigen Arten von Verbrechen entfielen; diese Gliederung ist ganz analog der Gliederung der Sterbefälle nach Todesursachen. Wenn man, anstatt wie oben aus den Rückfallspro- zenten (x) zu berechnen, diese Prozentzahlen unmittelbar als Aus- druck für die Wahrscheinlichkeit dafür benutzt, daß eine in einem gegebenen Kalenderjahre zum erstenmal verurteilte Person zurück- fällt bezw. das „Geburtsjahr“ oder die folgenden Jahre überlebt, Jann ist z. B. aus den angeführten Zahlen ersichtlich, daß von den 20225 Personen, welche von 1897—1915 als Eigentumsverbrecher verurteilt wurden, 1499 aufs neue im selben Kalenderjahre wegen Eigentumsverbrechens bestraft wurden; für einen KEigentumsver- brecher ist also die Wahrscheinlichkeit, im 1. Jahre zum Eigentums- verbrecher zurückzufallen, 1499: 20225 == 7,41%. Für das zweite und dritte Jahr erhält man analog jeweils 9,57 und 4,92%; über- haupt sollte also ein Eigentumsverbrecher die Wahrscheinlich- keit 21,90%, dafür haben, im Laufe der 3 ersten Jahre erneut ein Eigentumsverbrechen zu begehen; und für sämtliche Kombinationen yelangt man zu folgendem Resultat: Rückfall zum Zum erstenmal Sittlichkeits- Eigentums- verurteilt als verbrechen verbrechen * *% Sittlichkeitsverbrecher 3,86 4,33 Eigentumsverbrecher 0.71 21.90 Diese Zahlen sind weit klarer als die ursprünglichen, da man jetzt erst sehen kann, ob in Wirklichkeit z. B. für Eigentumsverbrecher eine größere oder kleinere Wahrscheinlichkeit als für Sittlichkeits- verbrecher dafür vorliegt, dieser oder jener Versuchung zu unterliegen. Die Berechnung läßt sich leicht für alle Jahre und alle Arten von Verbrechen durchführen. Ein Mangel ist es natürlich, wenn man x DL )- z nicht Wanderungen und Sterblichkeit berücksichtigen kann; bei einem Vergleich wie diesem muß man also voraussetzen, daß diese Ver- schiebungen denselben Einfluß auf sämtliche Gruppen ausüben. Daß die Sterbetafel der Ausgangspunkt für weitreichende Be- rechnungen auf vielen Gebieten der menschlichen Gesellschaft sein kann, wird jetzt zur Genüge aus den gegebenen Beispielen erhellen. D. Statistisches Gleichgewicht. 5327. Aus dem oben Entwickelten geht hervor, daß einer be- stimmten Abgangsursache („Tod“) und der Schnelligkeit, mit der der betrachtete Abgang vor sich geht, eine gewisse stationäre Be- völkerung entspricht, welche eine lediglich durch die Abgangs- frequenzen auf den einzelnen Altersstufen bestimmte „Altersgliederung“ hat, die mit der Zeit die wirkliche Altersgliederung der betrachteten Bevölkerungsgruppe werden würde, teils wenn der Zugang durch Geburten (Zugang im Alter 0) oder auf anderen Altersstufen konstant wäre, teils wenn der betrachtete Abgang ständig mit unveränderter Schnelligkeit (mit konstanter „Sterblichkeit“) vor sich ginge. Obgleich die stets vorwärtsschreitende Zeit es mit sich bringt, daß erstens neue Individuen hinzukommen und daß zweitens die bereits vorhandenen entweder „älter“ werden oder „sterben“, so hält sich dennoch die gefundene Altersgliederung unter den obigen Voraus- setzungen durchaus unveränderlich. Wie bereits im $ 298 gesagt, wird diese Unveränderlichkeit dadurch aufrecht erhalten, daß sich die steten Veränderungen das Gleichgewicht halten, selbst wenn die einzelnen Individuen von einem Augenblick zum andern nicht dieselben sind (entweder „neu“ oder „älter“ sind). Dieser stationäre Zustand ist mit dem Zustande eines ständig rinnenden Stromes mit konstantem Wasserstand verglichen worden. Das Bild, welches irgend ein Ab- schnitt eines solchen Stromes aufweist, ist ebenfalls unveränderlich ; das Wasser steht von Tag zu Tag in gleicher Höhe, und die Wirkungen, welche die Schnelligkeit des Stromes verursachen kann, lassen sich fortgesetzt von Zeit zu Zeit beobachten, selbst wenn die Objekte. lie wirklich das Bild formen, ganz neu sind. 328. Zur Beobachtung eines solchen stationären Zustandes wird man indes nur ganz ausnahmsweise im sozialen Leben der Bevölkerung Gelegenheit haben, während dieser Zustand sehr wohl auf experiment- alem Wege auf anderen Gebieten eintreten kann (vgl. $ 283). Ohne Berücksichtigung der Bedeutung, die bei jeglicher Sterblichkeits- 502 messung dem Begriffe der stationären Bevölkerung zukommt, könnte man sich daher die Aufgabe stellen zu untersuchen, welche Volks- zahl und Altersgliederungen die vor mehr als einem halben Jahr- hundert eingeleiteten Bewegungen in der Geburtenfrequenz und Sterblichkeit allmählich bewirken möchten, indem man zweckmäßige Voraussetzungen hinsichtlich des zukünftigen Entwicklungsganges wählte. Man wird natürlich dazu neigen, die Zukunftsmöglichkeiten auf dem Hintergrunde der bisherigen Erfahrungen zu beurteilen; irgend welche Sicherheit wird man jedoch nicht auf dem hier behandelten Gebiete erreichen können. Während wir daher nicht auf die mannig- faltigen speziellen Probleme, die sich hieraus ergeben), eingehen wollen, <ann doch in Verbindung mit der oben erwähnten Gleichgewichtseigen- schaft der stationären Bevölkerung eine andere Aufgabe berührt werden, mit der sich bereits Euler befaßte (vgl. $ 32) und die darauf hinausgeht, die Altersgliederung in einer Bevölkerung zu bestimmen, die ebenso wie die stationäre eine konstante (von der Zeit unab- hängige) Sterblichkeit (wenn möglich, die Wanderung einbegriffen) hat, jedoch entweder wachsend oder abnehmend ist. Eine solche Bevölkerung wird auch eine Altersgliederung annehmen, die der Form nach unveränderlich bleibt, wenn bloß die Geburtenfrequenz gleichzeitig konstant ist; solche Altersgliederung aber wird sich natürlich von der der stationären Bevölkerung unterscheiden und, je nachdem die Bevölkerung wächst oder abnimmt, verschieden ge- stalten. 329. Bezeichnet man die Ordinate (im Alter x) derjenigen Ver- teilungskurve, welche für die Zeit t die Altersgliederung der Be- völkerung angibt, mit F(x, t), so muß, wenn die Form der Verteilungs- kurve zu jedem Zeitpunkt die gleiche sein soll, F(x;t) = g(t) f(x) sein, wo f(x), eine von t unabhängige Funktion, die unveränderliche Altersgliederung angibt und g(t), eine lediglich von t abhängige ') Vgl. A. L. Bowley, Births and population in Great Britain, Economic Journal, Vol. XXXVI, London 1924, S. 188. Greenwood, The growth of popu- lation in England and Wales, Metron, Vol, V, Padova 1925, S. 66. S. D. Wick- sell, Sveriges framtidiga befolkning etc., Ekonomisk Tidskrift, 28. Ärg. Uppsala 1926, S. 90. Adolph Jensen, Nogle Trek af Danmarks Befolkning i Belys- ning at Fodsels- og Dodstallene. Meddelelser om Danmarks Antropologi, Bd. 2, 3 Afd. Kobenhavyn 1927. S. 307 £. 503 Funktion, durch die Schnelligkeit bestimmt ist, in der die Be- völkerung wächst oder abnimmt. Wenn sich die verschiedenen Altersstufen gehörenden Sterblich- keits- und Wanderungsintensitäten nicht mit der Zeit verändern, dann müssen alle Generationen in gleicher Weise zusammenschrumpfen; es gibt also eine von der Zeit unabhängige Überlebenskurve 1(x), nach der alle Generationen aussterben und fortwandern. Sind zur Zeit t insgesamt g(t)-f(x) Personen x Jahre alt, dann müssen also im Zeitpunkte (t—x) g(t)-£(x) 1(x) Kinder geboren sein; diese Anzahl aber muß gleich g(t — x)-f(o) sein; f(o) ist eine von x und t unabhängige (konstante) Größe; wird liese kurz mit k bezeichnet, dann muß also g(t— x):k= ES g(t) k s Et — x) fx) Da die rechte Seite der Gleichung von muß sich g(t) wie folgt ausdrücken lassen g(t) = e°“* g(t- —) — ee(t—x)- se1n. t unabhängig ist, So hieraus folgt, daß g(t) cz s(t—x) 9 k "X, ix) 1) = € ’ f(x) = k-e7“.]1(x) Fix,t) = k-.e“-».1(x). Da F(o,t) = k-e“* die Verteilung der Geburten nach der Geburtszeit angibt, so besagt der für die in der Zeit t im Alter x anwesende Anzahl von Personen F(x,t) gefundene Ausdruck nichts anders, als laß von den vor x Jahren (zur Zeit t—x) Geborenen k.e“-=% nun- mehr der von der Zeit t unabhängige Bruchteil 1(x) im Alter x noch vorhanden ist. Die Ordinate des Alters x in der Altersgliederung wird also lurch #- 3 "> f(x) = e7«. (x) largestellt. 504 Bezeichnet man die von dieser Verteilungskurve begrenzte Fläche mit A, so ergibt sich die Gesamtgröße der Volkszahl zur Zeit t als B(t)=k-.e*.A, woraus hervorgeht, daß die Bevölkerung analog einem auf Zins und Zinseszins stehenden Kapital (nach einer geometrischen Progression) mit konstantem Zuwachsprozent p wachsen muß, wo p (vgl. 8 286) durch 1+ 166 = €, bestimmt ist. Da die Anzahl von Geburten in der Zeiteinheit gleich k-e“ ist, so wird die summarische Geburtenfrequenz eine Konstante, da k.e* 1 a k.e4,A A ist, und da das Zuwachsprozent ebenfalls konstant ist, muß der ge- samte summarische Wanderungs- und Sterblichkeitsquotient also konstant und (vgl. & 286) gleich a—etn sein. A Wenn man umgekehrt von einer Bevölkerung ausgeht, in der sich die Häufigkeit von Geburten, Sterbefällen und Wanderungen von einem gegebenen Zeitpunkt an unverändert hält, dann wird, wie von Sharpe und Lotka gezeigt, die Altersgliederung dieser Bevölkerung zu einer festen und unveränderlichen Form neigen, die lediglich durch die gegebenen Geburten-, Sterblichkeits- und Wanderungsverhältnisse bestimmt wird und gerade die oben abgeleitete Form hat!). Hier- aus folgt nicht nur, daß diese Verteilung, wenn sie einmal zuwege- gebracht ist, sich unverändert hält, solange die sie bedingenden Ver- hältnisse nicht variieren, sondern auch, daß sie einen stabilen Gleich- gewichtszustand bezeichnen wird, sodaß sie, wenn sie durch mehr oder weniger plötzliche Veränderungen der Bedingungen (Krieg, Epidemien usw.) gestört wird, aufs neue zu derselben Form zurück- zukehren suchen wird, wenn die Bevölkerungsverhältnisse wieder zu den vor der Störung herrschenden Zuständen zurückkehren und aufs neue Gelegenheit erhalten, ungestört ihre Wirkung auszuüben. ‘) F, R. Sharpe and A. J. Lotka, A problem in age-distribution, Philo- sophical Magazine vol. XXI, London 1911 8. 435, vgl. auch Lotka, The stability of the normal age-distribution, Proceedings of the national academy of sciences U.8S. A., vol. 8, Washington 1922, S. auch Leonhard Euler, Opera omnia, I., vol. 7, Leipzie 1923. 505 330. Ebenso wie man mittels Berechnung der den Sterblichkeits- verhältnissen in einem gegebenen Zeitpunkte entsprechenden Über- lebenskurve die Altersgliederung in der den Sterblichkeitsver- hältnissen entsprechenden stationären Bevölkerung findet, kann man die den Geburts-, Sterblichkeits- und Wanderungsverhält- nissen einer Bevölkerung in einem gegebenen Zeitpunkt ent- sprechende stabile Altersgliederung finden. Um diese Altersgliederung f(x) = k-e-7“.](x) ermitteln zu können, hat man zuerst l(x) in gewöhnlicher Weise mittels der Sterblichkeits- und Wanderungsstatistik zu bestimmen, \ 50 60 70 0) Un Figur 20. wonach die Konstante c mit Hilfe der Geburtenstatistik festgestellt wird. Als Beispiel dafür, welche Veränderung die Berücksichtigung einer Geburtenfrequenz, die ungefähr doppelt so groß wie „die Sterblichkeit“ ist, hinsichtlich der Form der Altersgliederung ver- ursacht, möge nach der dänischen Statistik!) die Figur 20 gegeben 1) Folketzellingen i Danmark den 1. Febr. 1921 (Statistisk Tabelverk, 5. Rk., Litra A. Nr. 16). Kobenhavn 1925, S. 925* f. 506 werden, in der die punktierte Kurve „die Überlebenskurve“ nach dänischen Erfahrungen aus den Jahren 1911—20, d. h. die Alters- gliederung in der der Sterblichkeit und der Wanderungsfrequenz entsprechenden stationären Bevölkerung, die schwach ausgezogene Kurve die Altersgliederung in der den Sterblichkeits-, Geburts- und Wanderungsverhältnissen von 1911—20 entsprechenden stabilen Be- völkerung angibt, während die kräftige Kurve den durchschnitt- lichen Bestand der Altersklassen von 1911—20 anzeigt. Es geht aus der Figur hervor, daß in der Altersgliederung so- wohl der stationären wie der stabilen Bevölkerung relativ weniger Junge als in der faktischen Bevölkerung vorhanden sind; für einige wenige größere Altersklassen hat man folgende Verteilung: Stationäre Stabile Faktische Bevölkerung Bevölkerung Bevölkerung Unter 15 Jahre 228 282 313 15—35 285 2304 325 _ 35—60 310 280 256 Über 60 „ 17 14106 Zusammen 1000 1000 1000 Hinsichtlich der stationären Bevölkerung ist dieser Unterschied bereits im $ 321 hervorgehoben worden. Wie zu erwarten war, ist der Unterschied zwischen der Altersgliederung der stabilen und der faktischen Bevölkerung erheblich viel kleiner, und der noch vorhandene Unterschied stammt natürlich daher, daß weder Sterb- lichkeit noch Geburtenfrequenz noch Wanderungsfrequenz in Wirk- lichkeit in dem hier in Betracht kommenden Zeitraum konstant gewesen sind. Je nachdem man sich die Bevölkerung nach dem Alter in jeder der drei angeführten Weisen zusammengesetzt denkt, findet man folgende Werte für die gewöhnlich benutzten summa- rischen Geburts- und Sterblichkeitsquotienten : Stationäre Stabile Faktische Bevölkerung Bevölkerung Bevölkerung Geburtsfrequenz. . ..... 1,74 °% 2,37% 2,48% Frequenz der Sterbefälle und Wanderungen ...... 1,74 1,46 , 1,30 Bevölkerungszuwachs .... 0.00 0,91 1,18 Die hierbei auftretenden Unterschiede sind lediglich ein Ausdruck für die verschiedene Altersgliederune. Aufgabe 107. In welcher Weise würde 1) die Altersgliederung in Däne- mark, 2) die jährliche Anzahl von Sterbefällen, 3) die Volkszahl beeinflußt werden, wenn sich die Sterblichkeit in Dänemark zukünftig auf dem nach der dänischen Überlebenstafel für 1921—925 berechneten Niveau (nach dem die mittlere Lebens- 507 dauer zu ca. 60 Jahren angesetzt werden kann) hielte und ständig 75000 Kinder jährlich geboren würden? Welcher Zahl würde sich die Volkszahl in Dänemark nähern? Aufgabe 108. Finde die den Geburts-, Sterbefalls- und Wanderungs- frequenzen in Dänemark von 1911—20 entsprechende Verdopnelungsperiode. 331. Es sei ferner bemerkt, daß die Vorstellung davon, daß sich gewisse Verschiebungen im Laufe der Zeit das Gleichgewicht halten, in vielen Verbindungen geradezu als Ausgangspunkt (Prinzip) bei der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten und der Form von Verteilungsgesetzen !) dienen kann. Dies ist beispielsweise gerade mit dem oben behandelten binomialen Verteilungsgesetze der Fall. Da die hierbei verwandten Methoden in der Regel kompliziertere mathematische Hilfsmittel erfordern und Probleme betreffen, auf lie wir im übrigen hier nicht näher eingehen werden, so wird auf jen im Anhang auf Grund des Prinzips des statistischen Gleich- yewichts als Beispiel angeführten Beweis für das Binomialgesetz verwiesen. VII. Kapitel. Abgeleitete statistische Ausdrücke. A. Mängel bei den Beobachtungen. 332. Im Vorhergehenden wurde gezeigt, auf welchem Wege man entscheiden suchen muß, ob ein Material hinlänglich umfangreich ist, zuverlässige „statistische Schlüsse“ zuzulassen; im allgemeinen ist jedoch vorausgesetzt, daß die Beobachtungen zuverlässig genug angestellt werden können und zwar so, daß es möglich ist, das Ma- terial nach all den Einteilungsgründen (Ursachen), deren man he- Jarf, zu gliedern. in der Praxis wird man jedoch oft und selbst da, wo die Zahlen an und für sich genau genug sind, auf überaus große Schwierigkeiten bei der Anwendung statistischer Methoden stoßen. Wenn zwei Zahlenreihen verglichen werden sollen, wird man häufig finden, daß die Zahlen nicht homogen sind; die eine Beobachtungsreihe hat Elemente, die sich nicht in der anderen finden, oder die Reihen stammen von verschiedenen Perioden; ein oft vorkommender Mangel ist hier der, daß sich beide Beobachtungsreihen zwar in derselben Richtung spalten lassen, daß jedoch die Grenzen zwischen den a ') A.K. Erlang, Some applications of the method of statistical equilibrium in the theory of probabilities. Matematiker-Konegressen i Kobenhavn 1925. S. 157. — 508 betrachteten Gruppen fließend sind; bei Untersuchungen z. B. der Sterblichkeit innerhalb verschiedener Berufs- oder sozialer Gruppen wird dies leicht eintreten (vgl. $ 59), wenn man sich nicht durch besondere Maßnahmen dagegen sichern kann. Selbst wenn die Beobachtungsreihen homogen sind, können sie in einer Form vorliegen, welche nicht zuläßt, die eine Reihe eben- soviel wie die andere zu spalten; man kennt z. B. Volkszahl und Anzahl von Sterbefällen in einer Reihe von Bevölkerungsgruppen, aber während die Sterbefälle auf Altersklassen verteilt sind, hat man keinerlei Einblick in die Gliederung der Volkszahlen. Das Material kann ferner ganz einseitig sein; man hat z. B. nur eine Statistik der Sterbefälle vielleicht mit Einteilungen nach allen Richtungen, jedoch keine Beobachtungen über die entsprechenden Volkszahlen. Wenn es nicht möglich ist, direkt durch erneute Beobachtung sich ein ganz neues Material zu verschaffen oder durch eine Re- vision des ganzen Materials oder durch Stichproben die vorliegenden Mängel ganz oder teilweise zu beseitigen, dann ist eine neue und be- sondere Frage die, ob und unter welchen Bedingungen sich trotz der Mängel richtige Schlüsse ziehen lassen. 3383. Wenn sich die Größe der zu vergleichenden Zahlen nicht mit hinlänglicher Genauigkeit unmittelbar aus den gegebenen Zahlen feststellen läßt, kann man doch oft gewisse höhere oder niedrigere Grenzen für die gesuchten Zahlen feststellen, was mitunter aus- reichen wird. Handelt es sich beispielsweise um die Untersuchung, ob die Sterblichkeit in einer gewissen Bevölkerungsgruppe größer oder kleiner als in einer anderen Gruppe ist, so erfordert dies, wie wir gesehen haben, im allgemeinen eine Kenntnis der Altersgliede- rung in jeder der Gruppen. Sind die Verteilungen dieser Gruppen unbekannt, so kann man indes mitunter bei passenden Voraussetzungen über die Verteilungen finden, daß die Sterblichkeit in der einen Gruppe höchstens z. B. 2%, und in der anderen mindestens 21/, %%, sein kann. Vielleicht ist der Unterschied viel größer, aber die Tatsache, daß man über verbesserte Beobachtungen verfügte, würde nicht das Resultat ändern können, daß die Sterblichkeit in der ersten Gruppe kleiner als in der zweiten ist!). Anders verhält !) Ein typisches Beispiel hierfür hat man in einer Untersuchung der Sterblichkeit unter denen, die von der Lebensversicherungsgesellschaft „Danmark“ nicht angenommen werden; vgl. H. Westergaard, Die Lehre von der Morta- lität. 2. Ause., Jena 1901. S. 121 £f. 509 es sich natürlich, wenn man findet, daß die Sterblichkeit in der ersten Gruppe höchstens 2!/, % und in der zweiten mindestens 2%, ist; in dem Falle hat man das Material aufs neue zu bearbeiten oder mehr Beobachtungen einzusammeln. Eine Analogie hierzu hat man in der Frage der Sterblichkeit unter außerehelich Geborenen, deren Sterblichkeit in der Regel er- heblich viel größer ist als die der ehelichen Kinder. Nach den Sterblichkeitserfahrungen unter den in Dänemark in den Jahren 1911—15 ehelich und außerehelich geborenen Mädchen sind beispiels- weise die Sterblichkeitsquotienten für die angeführten Altersinter- valle folgende: 0—1 1- © m 3. Mor“ N Eheliche Uneheliche 07 “00 9 = 91 Aus diesen Zahlen kann man indes nicht ohne weiteres schließen, daß die außerehelich Geborenen vom Alter zwischen 2 und 3 Jahren an eine geringere Sterblichkeit haben als die ehelichen, da die Legi- timationen zur Folge haben, daß ein Teil der außerhalb der Ehe zeborenen, aber später legitimierten Kinder beim Tode als ehelich registriert werden; es handelt sich hier um eins der bei Sterblich- keitsmessungen oft vorkommenden Wanderungsphänomene (vgl. $ 318), und ohne eine der Sterblichkeitsstatistik entsprechende Legitimations- statistik läßt sich der Unterschied zwischen der Sterblichkeit dieser beiden Gruppen nicht endgültig festlegen. Da die Legitimationen lediglich Kinder der außerehelichen Gruppe der der ehelichen zu- führen und die entgegengesetzte Bewegung nicht stattfindet, so kann man indes aus den angeführten Zahlen schließen, daß in den Altersintervallen, in denen außereheliche Kinder anscheinend größere Sterblichkeit als eheliche aufweisen, erstere auch in Wirklichkeit zrößerer Sterblichkeit als letztere ausgesetzt sein werden, da der Unterschied womöglich größer, als die Zahlen zum Ausdruck bringen, aber jedenfalls nicht kleiner ist. Für die Altersstufen, wo das Ver- hältnis umgekehrt liegt, läßt sich dagegen kein Schluß ziehen; es ist möglich, daß infolge Abgang durch Tod in den ersten Lebensjahren eine Auswahl unter den außerehelich geborenen Kindern vor sich — 510 — geht, so daß diejenigen, welche tatsächlich die ersten schwierigen Jahre überwinden, von größerer Lebensfähigkeit als eheliche Kinder gleichen Alters sind. Wo man nun keine Angaben über die Legiti- mationen hat, ist man genötigt, sich auf eine Betrachtung der ersten Lebenszeit zu beschränken; sobald sich das Verhältnis ändert und die Sterblichkeit unter außerehelich Geborenen anscheinend kleiner wird, darf man nur sagen, daß zwei Ursachen in Tätigkeit sein können: die Auswahl und die Legitimationen; man muß also davon Abstand nehmen, statistische Schlüsse zu ziehen, um nicht zu einem fehlerhaften Resultat zu gelangen. Aufgabe 109. Im Jahre 1905 gab es in Dänemark die unten angeführte Anzahl landwirtschaftlicher Betriebe mit mehr als 1 Tonne Hartkorn!); die Ta- belle gibt ebenfalls an, wieviele Betriebe (von Festegut ist abgesehen) durchschnittlich jährlich von 1900 bis 1909 verkauft werden (Familienübertragungen, Zwangsver- käufe usw. nicht mitgerechnet): Zahl der Betriebe 1905 (a. eEEn | übrigen Höfe | zusammen Durchschnittl. Jährl. Anzahl von Verkäufen 1900—09 1—4 Tonn, Hartkorn | ‘264 46 161 | 47425 1822 über4 „ w | 2431 | 26 754 29.185 | 680 Zusammen | 3695 | 72915 | 76610 | 2502 Wie groß ist die Verkaufsfrequenz für Höfe von unter und über 4 Tonnen Hartkorn? Welche Verkaufsfrequenzen würde man finden 1. wenn das Festegut sich gar nicht von der Gesamtmasse ausscheiden ließe, 2. wenn nur die Anzahl der Festegüter, jedoch nicht ihre Verteilung nach der Bonität bekannt wäre? Will man ferner z. B. insbesondere die Sterblichkeit der Stadt- bevölkerung untersuchen, dann muß man berücksichtigen, daß ein Teil Fremder in den Städten (namentlich in den dortigen Krankenhäusern) stirbt und daß umgekehrt einige Städter von ihrer Heimat entfernt sterben. So starben z. B. in den Städten Dänemarks im Jahre 1912 insgesamt 9892 Menschen, von denen 1682 oder 17%, aus anderen Gemeinden stammten, während andererseits 36 auf Sanatorien außer- halb der Heimstätte starben. Gewisse Krankheiten waren besonders hervortretend. Von Diphtheriefällen waren mehr als die Hälfte, bei Sterbefällen an Lungenschwindsucht 22%, fremd. Um nun zu besseren Sterbetafeln zu gelangen, müßte man die fremden Sterbefälle ihrer eigentlichen Heimstätte zurechnen können, Ist jedoch die Anzahl derer, welche in Städten beheimatet, aber außer- 1) Hartkorn ist ein Bonitätsmaß. 511 halb des Heimes, z. B. in Sanatorien, (36) verstorben sind, unbekannt, so wird man bei einseitiger Berücksichtigung der obengenannten 1682 Fälle zu guter Letzt zu einer etwas zu niedrigen Sterblichkeit gelangen. Wahrscheinlich ist dieser Fehler recht bedeutungslos, er- fordert jedoch eine besondere Untersuchung. Hat man die Sterbe- tafel unter Berücksichtigung der fremden Sterbefälle, jedoch ohne lie fern von der Heimat verstorbenen Einwohner mitbekommen zu können, berechnet, so wird man nur dann etwas schlußfolgern können, wenn die Sterblichkeit in den Städten nach dieser Berechnung zrößer ist als auf dem Lande. Man weiß dann, daß der erwähnte Fehler den Unterschied verkleinert hat. 334. Als Beispiel für die Einteilung in Gruppen, deren gegen- seitige Grenzen naturgemäß sehr unsicher sein müssen, sei ferner folgendes gegeben: In einem Krankenhause werden die an Lungen- entzündung leidenden Patienten nach dem vermuteten Alkohol- verbrauch in zwei Gruppen: A und B geteilt. Die Frage ist, welche Gruppe die größte Sterblichkeit hat. Es zeigt sich nun, daß die Alkoho- listen (A) häufiger als die anderen (B) unterliegen ; darf man jedoch dies in Anbetracht dessen, daß wahrscheinlich eine sehr große Unsicherheit vorhanden ist, als feststehendes Ergebnis ansehen? Denken wir uns, die zwei Gruppen zählten, genau betrachtet, a und b Patienten, und die Wahrscheinlichkeit dafür, an der Krankheit zu sterben, sei in jeder der Gruppen p und q; stellen wir uns ferner vor, daß a, Per- sonen, welche in Wirklichkeit der A-Gruppe angehören, als der Gruppe B gehörend und umgekehrt b, Personen der B-Gruppe unter A registriert würden. Anscheinend wird also den beiden Gruppen zugeführt: » wo. 3... a=a+bi — Gr Unter diesen Personen ereignen sich jeweils (a —a1)P + b,q (b—b;)q + a,p Sterbefälle. Die von uns beobachteten Sterblichkeitsquotienten werden dann nicht gleich p und q, sondern gleich (4— a, ) — b b Pd — p—0) zu A zu RB b—b)aHap_ A. (p—0) 512 und als Unterschied zwischen diesen Werten ergibt sich DD _bh_a Pı—dı = (p o(1 a %) Hieraus folgt allerdings, daß die Fehlregistrierungen mit sich führen, daß der Unterschied zwischen p, und q, kleiner wird als der tatsächliche Unterschied p—q; aber wenn p>dq ist, dann wird auch p; >qı sein, wenn bloß a be 8 tz <1 ist, oder, was auf dasselbe hinauskommt, wenn A bi tz <1 ist, welch letztere Bedingung mit Hilfe einer elementaren Berechnung von der ersteren durch Einführung der Ausdrücke für « und ß in diese abgeleitet wird. Hier geben Pa und Cd die Bruchteile der wirklichen Größe der Gruppen A und B, welche unrichtig rigistriert werden, an; und wenn diese Bruchteile zusammen kleiner als 1 sind, so werden die beiden Differenzen p—4q und p,—d,, ungeachtet der Überführungen, gleiche Vorzeichen haben. Die gefundene Bedingung kann übrigens entweder als a, _a—d RS oder als bb a 2 ausgedrückt werden, welche Bedingungen nichts anders besagen, als daß der fremde Anteil der Gruppe ß nicht verhältnismäßig zahlreicher als der verbliebene Teil der Gruppe &« sein darf. Wäre dies der Fall, so hätte man ein vollständig verzerrtes Bild; die Alkoholisten sollten dann relativ zahlreicher in der Gruppe der Nicht-Alkoholisten als in ihrer eigenen Gruppe vertreten sein. Kin Beispiel wird be- leuchten, wie weit sich die Vertauschung in Wirklichkeit trüben läßt, ohne daß sich das betrachtete Bild ganz umdreht. Angenommen, p sei gleich 0,4 und q gleich 0,3 und in jeder der Gruppen A und B seien 1000 Personen (a=b =1000), von denen - (a1 = b,ı =400) unrichtig registriert werden, so daß also «= ß 513 = 1000. Sowohl in « wie in 8 sind also 400 fremde und 600 ur- sprüngliche Elemente. Die Beobachtungen entsprechen also in geringem Grade der Wirklichkeit; da jedoch ab & a tı = 5 <1 ist, so findet man, da die Anzahl der Sterbefälle in jeder der Gruppen anscheinend in A: 600-0,4 + 400-0,3 = 360 in B: 600-0,3 + 400-0,4 = 340 wird, trotzdem eine größere Sterblichkeit in Gruppe A als in Gruppe B (0,36 gegen 0,34), selbst wenn der Unterschied auf Grund der Vermischung nicht so ausgeprägt ist, wie er in Anbetracht der be- autzten Annahme hätte sein sollen (0,40 gegen 0,30). Das Angeführte wird auch gelten, wenn die eine Gruppe eine relativ kleine Anzahl aufweist. Es möge z. B. a = 2000, wovon 82 % als der Gruppe B gehörig registriert, und b= 8000 sein, wovon 8%, unrichtig registriert werden. Man erhält dann 18 8 100° 2000 + 100 8000 — 360 -+ 640 = 1000 2, 8000 + 32 9900 =— 7360 + 1640 = 9000 100 100 ; Das fremde Element in der A-Gruppe ist 640, das richtig re- gistrierte nur 360; von 2000 wirklichen A’s sind nicht weniger als L640 unrichtig registriert und den B’s zugeführt worden. Nichts- lestoweniger aber wird man einen erkennbaren Unterschied in der richtigen Richtung finden. Die Anzahl von Sterbefällen in jeder der beobachteten Gruppen wird nämlich 360-0,4 + 640-.0,3 = 144 + 192 = 336 7360-0,3 + 1640-0,4 = 2208 + 656 = 2864, woraus folgt, daß die anscheinenden Sterblichkeitsquotienten 3000 — 0,336 und OO =— 0,318 sind. Der Unterschied zwischen der Sterblichkeit der Gruppen zeigt hier in die richtige Richtung; trotz der starken Vertauschung sind die Bedingungen ar b, 1640 640 ar b; 1640 640 a Th = 2000 7 8000 < 1! und B- + 7 = 6000 * 1000 <! nämlich erfüllt. Westergaard und Nyboelle, Theorie der Statistik. 2. Aufl. — 514 — Anders stellt es sich, wenn dies nicht der Fall ist; die Schätzung liegt dann auch sehr weit von der Wahrheit ab. Angenommen, daß a=b=5000 und 95%, der Personen in Gruppe A und 15°%, derer der Gruppe B unrichtig registriert seien. Es ist dann a, = 4750, bı = 750 und « = 1000, 8 = 9000. Die Gruppe « besteht aus 250 der Alkoholiker und 750 der Nicht-Alkoholiker, während die Gruppe ß aus 4750 der ersteren und 4250 der letzteren besteht. Die Sterblichkeit ist jetzt 0,325 und 0,353, d. h., daß die Nicht-Alkoholiker eine größere Sterblichkeit als die Alkoholiker haben. Hier hat sich indes die Schätzung so weit von der Wahrheit entfernt, daß die Gruppe der Alkoholiker nur 25%, die Gruppe der Nicht-Alkoholiker dagegen 53 % Alkoholiker zählte. 335. Fließenden Grenzen zwischen den Unterabteilungen be- gegnet man auch, wenn z. B. in einem Lande Haar- und Augenfarbe der Kinder untersucht werden. Da sich viele Personen an einer solchen Untersuchung beteiligen müssen und deshalb trotz aller Sorgfalt hinsichtlich der Farbenskala aller Wahrscheinlichkeit nach große individuelle Verschiedenheiten bezüglich der Schätzung vor- liegen, so könnte man sich zu dem Glauben verleiten lassen, daß ein solches Material überhaupt unbrauchbar wäre, was jedoch nicht immer der Fall ist. Beispielsweise sei angeführt, daß eine solche Untersuchung für Dänemark!) als Hauptresultat dies ergab, daß von 101869 Knaben 63 940 oder 628 %o helle Augen hatten, während die entsprechenden Zahlen für 92745 Mädchen 57627 oder 621 %,, betrugen. Die helle Augenfarbe war also etwas seltener bei Mädchen als bei Knaben; es ist jedoch die Frage, wie zuverlässig die Resultate sein können. Allerdings entstammte die überwiegende Anzahl der unter- suchten Kinder den Volksschulen, wo der Unterricht für beide Ge- schlechter gemeinsam ist. Wenn ein Beobachter dazu neigt, die dunkle Augenfarbe zu bevorzugen, während ein anderer vielleicht den umgekehrten Fehler begeht, so darf man annehmen, daß die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Fehler ungefähr für Mädchen und Knaben die gleiche ist. Denkt man sich hier, daß der Bruchteil r der faktisch dunklen Kinder fehlerhafterweise als hell, der Bruchteil s der faktisch hellen als dunkel einregistriert worden ist, so läßt sich leicht feststellen, ) Soren Hansen, Om Haarets og @jnenes Farve i Danmark. Meddelelser om Vanmarks Antropologi. I. Bind, Kobenhavn 1907—11, S. 285. 515 wieviel % jedes Geschlechts faktisch hell sind. Benennt man dieses Promille für Knaben mit x und das für Mädchen mit y, so werden unter den festgestellten Voraussetzungen teils r (1000—x) %.o, teils (1—s) x %o. der Knaben als hell registriert werden. Hieraus folgt, daß r(1000 — x) + (1 — s)x = 628, FOR — .1000r Ww as ergibt, während man analog RO | °£90r vy erhält. Der Unterschied zwichen und y wird folglich X — + 1 — T—S Wenn also r + s < 1 ist, so wird auch dieses wirkliche Promille x für Knaben größer als y sein. Denkt man sich z. B., daß r == 0,6 und s=0,3 ist, d. h., daß 60%, der faktisch dunklen als hell und 30%, der faktisch hellen als dunkel registriert worden sind, daß also eine kräftige Vertauschung von hellen und dunkeln vorliegt, dann ist r-+s=0,9, und man erhält x = 280” und y = 210% 0: Obgleich man also eine vollständig falsche Vorstellung von der Verteilung bekommen hat, da man glauben muß, daß die hellen in der Majorität und nicht in der Minorität sind, so steht doch das Resultat stets fest, daß die Knaben verhältnismäßig häufiger helle Augen haben als die Mädchen. 336. Ähnliche Betrachtungen lassen sich anstellen, wenn man die Korrelation zwischen Haar- und Augenfarbe bei der einzelnen Person oder die Korrelation zwischen Haar- oder Augenfarbe der Eltern und ihrer Kinder untersucht. Es handelt sich hier um eine oft in der Statistik vorkommende Aufgabe, die Häufigkeit qualitativer Eigenschaften zu vergleichen. Wir haben bereits im 5 55 gesagt, daß oft rein praktische Umstände entscheiden, ob man eine Eigenschaft als qualitativ oder quantitativ, insbesondere als speziell kontinuierlich, auffassen will. Was Farben anbetrifft, so hängt die Schwierigkeit, eine einheitliche Einteilung nach Farben- gruppen vorzunehmen, gerade damit zusammen, daß die Nuancen in der natürlichen Reihenfolge, in der sich die verschiedenen Farben ordnen lassen, unmerklich in einander übergleiten. Namentlich wenn man in eine größere Anzahl von Farbenklassen zerlegt, liegt »s nahe, diese einzelnen Klassen mit fortlaufenden Nummern oder 99* — 516 Zahlen zu bezeichnen; leben dann verhältnismäßig viel hellhaarige Personen in einer und viele dunkelhaarige in einer anderen Gegend, und gibt man den verschiedenen Schattierungen Nummern, z. B,., niedrige Zahlen für die hellen, hohe Zahlen für die dunklen Per- sonen, so wird man in gewöhnlicher Weise aus diesen Zahlen Durchschnitte bilden und für die eine Gegend niedrigere Durch- schnitte als für die andere finden können. Beispielsweise wird auch, wenn die Kinder einer Klasse nach Fleiß und Tüchtigkeit geordnet werden, die Nummer eine ähnliche Recheneinheit abgeben. Die Durchschnittsaummer für eine Gruppe wird ein Indizium sein, z. B. wenn man Intelligenz oder Geistesgaben bei Kindern mit Sprach- fehlern und bei normalen Kindern vergleichen will. Wenn solche Gesichtspunkte eine reelle Verbindung mit den faktischen Ver- hältnissen haben, wird man sich auch mit der nötigen Vorsicht die angeführten Berechnungen erlauben können; man darf jedoch nicht vergessen, daß diese Durchschnittszahlen bedeutsame Verhältnisse verschleiern, welche nur ans Tageslicht gelangen können, wenn eine Spaltung in verschiedene Teile unternommen wird, während man sie nicht wird wahrnehmen können, wenn Maßstäbe von mehr oder weniger willkürlicher Natur verwandt werden. Beispiele solcher Beobachtungsreihen lassen sich zur Genüge finden. Hier sei nur ein einzelnes gegeben, das von K. Pearson stammt: 1000 Männer wurden nach der Augenfarbe nach einer Skala mit 8 von hellblau bis stark dunkel, braun oder schwarz reichenden Stufen eingeteilt; gleichzeitig wurden die Väter der betreffenden Männer auf gleicher Grundlage geordnet (das Material ward Fr. Galtons Family Record entnommen). Bezeichnet man nun die erste Nummer der Farben- skala mit 1, die nächste mit 2 usw., so läßt sich eine gewöhnliche Korrelationstabelle aufstellen, in der die 1000 Personen auf einmal nach den Nummern ihrer eignen Augenfarbe und der ihrer Väter verteilt werden. Im untenstehenden Auszug aus einer solchen Tabelle!) ist teils die Verteilung der Väter, teils die der Söhne auf die benutzten 8 Farbenklassen (die marginalen Verteilungen der Korre- lation) mitgeteilt, und teils sind die Durchschnittsnummern für Söhne (resp. Väter) der den einzelnen Farbenklassen zugeteilten Väter (resp. Söhne), d. h. die Regressionskurven der Korrelation, ersichtlich : . 1) K. Pearson: Mathematical contributions to the theory of evolution — On the inheritance of characters not capable of exact quantitative measurement, Appen- dix II. Philosophical Transacetions. Series A, vol. 195. London 1901. S. 138. 517 Nummer der Farbe Väter, verteilt nach der Augenfarbe Durchschnitts- nummer der Söhne Söhne, verteilt! Durchschnitts- nach der : nummer der Augenfarbe Väter z v9 5,8 68 4A » a Alle Numme:ı 1 3R Aus diesen Zahlen geht hervor, daß eine gewisse Korrelation zwischen der Augenfarbe des Vaters und der des Sohnes besteht. Daß die Durchschnittsaummern eine geringere Streuung als die Nummern selbst aufweisen, hängt natürlich mit der Unvollständig- keit der Korrelation zusammen. Zur weiteren Beleuchtung dessen könnte man aus der Korrelationstabelle die Größe des Korrelations- koeffizienten berechnen. In den meisten Fällen wird man indes mit der hier angewandten Methode recht gute Resultate erzielen; ins- besondere wird die Berechnung des Korrelationskoeffizienten auch oft ohne entscheidende Bedeutung sein, vor allem, wenn die benutzte Warbenskala wie hier im voraus ganz willkürlich gewählt ist. Daß die Numerierung mit den Zahlen 1, 2, 3... nicht be- sonders treffend ist, darauf deuten hier die Häufigkeiten, mit denen die verschiedenen Farbennummern vorkommen. Von der Anschauung aus, daß die Verteilung auf die Farbenklassen eine den meisten anderen Verteilungen ähnliche charakteristische Form aufweisen muß, nämlich, daß die extremen Fälle selten und die übrigen häufig sind, kann man, wie Pearson vorgeschlagen hat!), eine jedenfalls weniger willkürliche Numerierung der benutzten Farbengruppen be- stimmen, indem man sich die Farbenskala gänzlich kontinuiert und die Verteilung exponentiell vorstellt. In dieser Beziehung läßt sich die von der Exponentialkurve begrenzte Gesamtfläche in 8 Teile zerlegen, deren jeder (analog der in der Figur 21 angedeuteten Ver- teilung der Väter) den 8 beobachteten Frequenzen gleich ist. In lieser Figur ist die Lage der Ordinate A A, in der Weise bestimmt, laß die von der Kurve links von AA, begrenzte Fläche gleich 0,036 ist; diese Lage erhellt unmittelbar aus der Tabelle 22. Genau so ist die Ya a. 0.585. 82. 518 Lage der Ordinate B B, in der Weise bestimmt, daß die von der Kurve zwischen den Ordinaten A A, und BB, begrenzte Fläche gleich 0,322 wird, und so fort. Insgesamt gelangt man hierdurch zu den in Kolonne 3 Br CC F 2 er OO © u Fig. 21. der Tabelle 53 angeführten Abszissen, welche die benutzten Farben- klassen begrenzen. Beispielsweise ist OF = 1,13 und O0G = 1,91 und die zwischen FF, und GG, gelegene Fläche gleich 0,101, Tabelle 53. N ummer |! . z———— Verteilun Gruppen- | Durch- De ° der Väter Green Gruppendurchschnitt der Väter |schnitt der Söhne (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 36 322 1,80 - 0,36 + 0,31 0,85 3,87 413 1,91 —2,19 141 1,0 — 0,92 „43 3,0 —0,02 —0,08 4,4 +0,57 +0,89 5,3 0,86 1,34 5,7 0,98 1,538 5,9 1,45 2,26 6,7 230 3,59 8,0 3,5 4,0 5 264 4,4 ESC 4,8 5,0 5,3 5,4 au + | SO Wie des näheren im $ 252 erwiesen, kann man jetzt den Durch- schnittswert der zwischen OF =1.13 und OG = 1,91 gelegenen Ab- 519 weichungen mit Hilfe des Exponentialgesetzes berechnen; dieser Durchschnitt ist gemäß Kolonne 4 der Tabelle 53 gleich 1,45, und entsprechende Mittelergebnisse lassen sich analog für die anderen Farbengruppen feststellen, wodurch man die übrigen in Kolonne 4 der Tabelle 53 für jede dieser Gruppen angeführten Durchschnitte findet. Die Farbenklasse, welche ursprünglich Nr. 1 trug, wird jetzt mit — 2,19 und die, welche früher Nr. 8 hatte, mit + 2,30 bezeichnet. Der Unter- schied zwischen diesen Nummern ist gleich 4,49. Wünscht man, wie ursprünglich, eine Skala, die mit 1 beginnt und mit 8 schließt, so kann man zuerst die Zahlen der gefundenen Skala mit 7,00: 4,49 = 1,559 multiplizieren, wodurch sich die in der Kolonne 5 angeführten Zahlen ergeben, von denen die erste und die letzte jetzt den Unter- schied 7 aufweisen; addiert man danach 4,41 zu allen diesen Zahlen, so ergibt sich die in der Kolonne 6 angeführte Skala, welche an die Stelle der ursprünglichen mit Nr. 1, 2, 3... . 8 bezeichneten tritt. Man hätte natürlich auch seinen Ausgangspunkt in der Verteilung der Söhne nehmen und die dieser entsprechenden Klassendurchschnitte bestimmen können. Das Resultat würde übrigens sehr annähernd das- selbe geworden sein. Benutzt man die hier gefundene Skala, so kann man, wie vorher, aus der vollständigen Korrelationstabelle die „Durchschnittsfarbe“ für die Söhne, deren Väter auf eine gegebene Farbenklasse entfallen, berechnen; es ergeben sich dann die in Kolonne 7 der Tabelle 53 angeführten Zahlen. Da sich die Farbenskala überhaupt nicht nennenswert durch die Umrechnung verändert, so wird man im wesentlichen zum selben Bilde wie oben gelangen. Der Korrelationskoeffizient ist jetzt ca. 0,386. Wo man, wie es mit einer Gruppierung nach den Farben der Fall ist, mit einiger Sicherheit die Reihenfolge der Gruppen festlegen kann, mag eine Methode wie die hier beschriebene bisweilen nützen; oft werden jedoch die fließenden Grenzen zwischen den Gruppen Jen Nutzen einer weit getriebenen Gliederung illusorisch machen; man kann dann oft mit größerer Ausbeute die Beobachtungen in ain paar einzelnen Gruppen sammeln, z. B. Hell und Dunkel, wie oben im $ 335. 337. Einer großen Schwierigkeit begegnet man, wenn entweder die zwei Beobachtungsreihen, die zur Festlegung der relativen Frequenz einer Begebenheit notwendig sind, in verschie- dener Weise eingeteilt werden und die Gliederung der einen Reihe vollständiger als die der anderen ist, oder wenn ein ganz einseitiges Beobachtungsmaterial vorliegt. Beispielsweise liege 520 die Anzahl von Sterbefällen, Selbstmordfällen und Verbrechen in verschiedenen Richtungen gespalten vor, aber man kennt nicht die Größe der Bevölkerung, in der die betreffenden Begebenheiten sich ereignet haben. Eine der einfachsten Aufgaben dieser Art, die Verteilung der Sterbefälle nach Jahreszeiten, wurde bereits im $ 278 besprochen. In der Regel wird man sich nicht lange darauf be- sinnen, die monatlichen Zahlen in einer Periode miteinander zu ver- gleichen, wenn man erst die Beobachtungen so weit reduziert hat, daß sie Zeiträumen gleicher Länge gelten; die Berechtigung dazu ist darin zu suchen, daß man ja etwas von der Volkszahl weiß, da sie sich nach der Voraussetzung eine kürzere Periode hindurch konstant verhält. Wo dies nicht der Fall ist, z. B. in einer schnell wachsenden Stadt, können bemerkliche Fehler entstehen, wenn man z. B. die Anzahl der im Januar Verstorbenen mit derjenigen des Dezember gleichen Jahres vergleicht. Es wird dann notwendig, die Schwankungen in der Volkszahl, z. B. in der in $ 281 ff. beschrie- benen Weise, zu berücksichtigen, indem man zwischen der säkularen und der periodischen Bewegung unterscheidet. Wo sich die Glie- derung nach Monaten ausnutzen läßt, kann man selbstverständlich auch den Einfluß der Jahreszeiten auf die Todesursachen (siehe Kapitel II $ 74) untersuchen. Eine Betrachtung der Verbindung zwischen der Temperaturkurve und den Verdauungskrankheiten lehrt, laß man bei kleinen Zeitintervallen in Anbetracht der überaus großen bestehenden Schwingungen ruhig vom Bevölkerungszuwachs absehen kann. Das hier über die Sterblichkeit Gesagte gilt natürlich auch von anderen periodischen Zahlen: Geburten, Eheschließungen usw. Schwieriger liegen die Dinge, wenn es gilt, den Einfluß teurer und billiger Zeiten zu beleuchten. Die Perioden des Wirtschafts- lebens sind nämlich nicht so regelmäßig, daß man sich ohne weiteres an die Vergleichung der absoluten Zahlen heranwagt. Es ist hier also beispielsweise die Volkszahl zu berücksichtigen. Jedoch darf man in der Regel voraussetzen, daß die einzelnen Glieder der Be- völkerung nicht vielen Veränderungen unterworfen sind. Man be- trachte z. B. die Promillenverteilung der Bevölkerung nach Alter, Zivilstand usw. als für eine kurze Reihe von Jahren einigermaßen konstant; die Bewegungen der Gesamtbevölkerung treffen also gemäß der Annahme alle einzelnen Glieder mit gleicher Stärke, was natür- lich die ganze Aufgabe sehr vereinfacht. Dagegen darf man nicht davon ausgehen, daß diese Promillen- 3921 verteilung für die ganze Gesellschaft gleich ist; ein Beruf hat vielleicht verhältnismäßig viele jüngere Angestellte (z. B. die Eisen- bahnverwaltung), ein anderer Stand viele alte Mitglieder (z. B. die Geistlichkeit, vergl. 8 287). Daher wird ein Vergleich der Promillen- verteilung von Sterbefällen in verschiedenen Berufsklassen nach dem Alter des öfteren ganz wertlos sein. Wie im geschichtlichen Teile er- wähnt, wurde diese Methode allerdings in älteren Zeiten häufig an- gewandt, sie kann jedoch stets nur als eine erste, ganz rohe Annäherung angesehen werden, und in einer Zeit wie der unsrigen, die über so riele rationell berechnete Sterbetafeln verfügt, würde man nie eine Benutzung dieser veralteten Methode empfehlen können. Das hier Entwickelte gilt auch hinsichtlich der Berechnung des Durchschnittsalters beim Tode. Ob dieses Alter hoch oder niedrig ist, das hängt u. a. von der Altersgliederung der Bevölkerung ab und wird nicht zur Beurteilung des Gesundheitszustandes in der betreffenden Klasse (vgl. $ 321) beitragen können. Insbesondere gilt dies auch bei der namentlich in der älteren Medizinalstatistik 30 verbreiteten Anwendung von Erfahrungen unter den Patienten der Krankenhäuser, die in der Regel ein auch in anderer Beziehung ganz einseitiges Material abgeben werden (vgl. hierüber weiter unten). 308. Man hat gemeint, sich beim Studium der Todesur- sachen von der Zusammensetzung der entsprechenden lebenden Bevölkerung unabhängig machen zu können (vgl. $ 307). Die Sterbe- lälle auf den Hospitälern und also in noch höherem Grade die Todes- ursachenstatistik für die Gesamtbevölkerung würden hiernach ein vorzügliches Material abgeben. Diese Theorie ist namentlich von Körösy u. a. in seiner S. 85 zitierten Schrift verfochten worden. Denkt man sich zwei Klassen, eine geimpfte und eine ungeimpfte, jede mit ihrem Sterblichkeitsquotienten für alle Ursachen als Ganzes genommen, dann behauptete Körösy, daß sich die Sterblichkeit an Pocken normal wie diese Totalsterblichkeit verhalten müsse. Ist in der einen Klasse die Totalsterblichkeit 2 °%, in der anderen 3 % und die Sterblichkeit an Pocken in der einen Klasse 2 %,, So solle sie normalerweise 3 %09 in der anderen sein, und erst nach Über- schreitung dieser Grenze könne man von einer Wirkung der Impfung sprechen. Diese Behauptung, daß die Sterblichkeitsquotienten nor- malerweise proportional sein sollten, hält jedoch nicht Stich. Fak- tisch hat jede Ursache ihre eigenen Gesetze; bald wirken die be- treffenden Verhältnisse mit größerer, bald mit kleinerer Intensität. 522 weshalb es denn auch im allgemeinen unmöglich ist, seine Betrach- tungsweise aufrecht zu erhalten. Etwas anderes ist es, daß der Unterschied bisweilen so auffallend groß sein kann, daß man sich zur KErklärung notwendigerweise irgendeine kräftig wirkende Ursache denken muß. Beispielsweise kann man folgende Zahlen für die Altersklasse 5—20 Jahre betrach- ten (Körösy a. a. O0. S. 132): Anzahl der Sterbefälle unter Todesursache Geimpften XNichtgeimpften unbest. Fällen Zusammen Pocken ..... 74 372 2 448 andere Ursachen 1425 150 76 1651 Zusammen 1499 222 522 0008 2099 Sieht man von den zweifelhaften Fällen ab, so erhellt, daß bei den Geimpften 5 °%,, bei den nicht Geimpften 71 °% sämtlicher Sterbe- fälle den Pocken zuzuschreiben sind. Da man nur Kenntnis von den Sterbefällen, dagegen nicht von der Zahl der 5—20jährigen jeder der Gruppen, aus denen die Sterbefälle hervorgegangen sind, hat (einseitiges Material), so kann man im allgemeinen nicht ohne weiteres aus den angeführten Prozenten einen Schluß zugunsten der Impfung ziehen; denn die Größe dieser Prozente hängt außer von der Sterblichkeit an Pocken in jeder der Gruppen auch von der Sterblichkeit an den übrigen Ursachen in den beiden Gruppen ab. Be- zeichnet man die Anzahl von 5—20jährigen und die Sterblichkeits- quotienten für jede der Gruppen in der unten angegebenen Weise: Volkszahl Sterblichkeitsquotient für Pocken andere Krankheiten Gruppe I: Geimpfte ......... a Q, Gruppe II: Nicht Geimpfte .... b Bı so folgt aus den gegebenen Zahlen, daß a0, = 74 b:6, = 302 a:0% = 1425 b-6 = 150, und hieraus lassen sich die Zahlen, auf die es ankommt, nämlich «, und w,, nicht finden. Dieser Umstand verhindert jedoch nicht, daß man aus folgender Betrachtung der Zahlen schließen kann, daß die Sterblichkeit an Pocken in Gruppe II (Nichtgeimpfte) aller Wahrschein- lichkeit nach erheblich viel größer sein muß als in Gruppe I (Geimpft6e): Nehmen wir nämlich an, die Sterblichkeitsverhältnisse in Gruppe I seien im Vergleich mit der Gruppe II sehr schlecht und — als etwas ganz Extremes — daß c&, z. B. 4mal so groß wie ß, sei, dann ist a: = 4a0, =— 1425, 523 oder 1425 Aq- aus b8, =150 folgt dann, daß 1425 ba = 150, a 1425 bb 600° aus aa, = 74 und bS, = 372 ergibt sich ferner, daß bb. 372 ac; 74° woraus folgt, daß Bı _ 872 a _ 3872-1425 _ a 7 4 18-600 77 64 12. Die Nicht-Geimpften sollten also nach dieser Annahme eine Pockensterblichkeit vom 12-fachen derjenigen der Geimpften haben; die Annahme, daß &«&, =—49,, ist allerdings wenig wahrscheinlich, da die Geimpften wohl eher einer besser gestellten Gesellschaftsklasse angehören als die Nicht-Geimpften; aber setzt man weniger speziell % = Kk-ß8,, So ergibt sich analog Bı _ 372-1425 _ 48 x, 74-150-.k X) so daß das Verhältnis S nur noch größer als 12 wird, wenn‘ man 1 k< 4 annimmt. Setzt man beispielsweise k==1 als Ausdruck dafür, daß die Sterblichkeit an anderen Ursachen als Pocken in beiden Gruppen ungefähr die gleiche ist, so muß der gegebenen Verteilung der Sterbefälle eine Pockensterblichkeit unter Nicht-Geimpften ent- sprechen, die ungefähr das 50-fache der Pockensterblichkeit unter Geimpften ausmacht. 339. Ganz anders liegt die Sache, wenn man die Letalität, d. h. die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine an Pocken erkrankte Person der Krankheit erliegt, untersucht. Hier hat man gerade zwei Beobachtungsreihen, die der Angegriffenen und die der Ver- storbenen; das Material ist also nicht wie oben einseitig. Ein solches Material kann uns unter gewissen Umständen etwas über die Sterb- lichkeit überhaupt lehren. Wenn nach den Beobachtungen Körösys 3%, der geimpften Kranken im Alter von 5—20 Jahren verstarben, während die entsprechende Prozentzahl für Nicht-Geimpfte 43 % be- 524 — trug, so wird man sich schwierig vorstellen können, daß nicht auch im Vergleich mit der lebenden Bevölkerung in dieser Klasse mehr Personen an Pocken sterben sollten als in der erstgenannten. Dies ist selbstverständlich nur ein Wahrscheinlichkeitsbeweis, aber im ge- samten System der Sterblichkeitserfahrungen wird ein solcher nicht ohne Bedeutung sein. Mitunter wird man auch ein einseitiges Material ausnutzen können, wenn eine deutliche Anhäufung um gewisse Punkte statt- findet. Eine solche Anhäufung pflegt nicht in der Sterbefall- statistik vorzuliegen; man hat gerade hier zwei Gruppen, eine, die sich um das Kindesalter und eine, die sich um das Greisenalter konzentriert; ein gemeinsamer Durchschnitt für diese zwei Gruppen gibt streng genommen keinen Sinn. Anders, wo es sich z. B. um Trauungen handelt; diese sammeln sich um gewisse Altersjahre, und man wird in der Regel mit der nötigen Vorsicht Schlüsse aus den Verschiebungen im durchschnittlichen Heiratsalter ziehen können, So z. B. wenn man die Verschiebungen im Heiratsalter vom einen Zeitpunkt zum andern vergleicht. Hinter solchen Schlüssen liegt die Voraussetzung, daß sich die Altersgliederung der betreffenden Bevölkerung nicht sehr verschieden stellt. Daher zerreißt auch der Zusammenhang, wenn man z. B. die Eheschließungsverhältnisse für Junggesellen und Witwer miteinander vergleicht. B. Die Methode der berechneten Anzahl. 340. Selbst wenn das zur Verfügung stehende Material nicht einseitig ist, also wo wirklich zwei Beobachtungsreihen miteinander verglichen werden können, wird man oft auf Schwierigkeiten stoßen. Wie oben erwähnt, wird es häufig geschehen, daß die eine Reihe von Beobachtungen sich nicht ebenso tief und in gleicher Weise wie die andere spalten läßt, wie es z. B. der Fall ist, wenn man anläßlich einer Sterblichkeitsuntersuchung die Verteilung der be- trachteten Bevölkerungsklassen, jedoch nicht die Gliederung der Sterbefälle nach dem Alter kennt. Es ist dann natürlich ausge- schlossen, die Lebe- oder Sterbewahrscheinlichkeiten für die einzelnen Klassen zu bestimmen und auf diese Weise den Verschiedenheiten in der Sterblichkeit und ihren Ursachen auf die Spur zu kommen. Direkt kann man nur die relative Häufigkeit von Sterbefällen für sämtliche Altersklassen als Ganzes berechnen; diese Verhältniszahlen aber werden, wie wir im $ 287 sahen, im allgemeinen nicht die Frage beantworten können. weil sie außer von der Größe der Sterblich- FETTE ALTEN TTER gm DEI AL LITEZED IDEEN POS S TESTS - 525 keit auf den einzelnen Altersstufen zugleich von der Altersgliederung in der betrachteten Gruppe abhängen, und diese Verteilung kann sich, wie gesagt, überaus verschieden gestalten. Bei Untersuchungen dieser Art muß die Aufgabe daher im allgemeinen auf eine Aus- scheidung des Einflusses der Altersgliederung hinausgehen. Um auf die sich hier darbietenden Aufgaben einzugehen, können wir zu dem bereits oben (Aufgabe 101, & 305) benutzten Beispiel über die Sterblichkeit in den Jahren 1910—12 unter englischen Rechtsanwälten (barristers and solicitors) und ihrem Kontorpersonal (law clerks) zurückkehren. Für die? Altersklassen ;j25—65 Jahre erhält man folgende Zahlen: Zahl der Zahl der Sterblichkeits- Lebensjahre Sterbefälle quotient Rechtsanwälte 60.087 643 10,7 90 Kontorpersonal 56 439 581 10,33 Den vorliegenden Zahlen nach zu urteilen, besteht zwischen der Sterblichkeit in den zwei Gruppen fast kein Unterschied. Dieser Schluß kann indes nicht berechtigt sein, denn die Altersgliederung der Rechtsanwälte ist von der des Kontorpersonals grundverschieden; vgl. folgende Zahlen: Alter 25 —35 Jahr 35—45 45—B55 BBR—65 Rechtsanwälte Kontorpersonal 15 063 22 521 16 284 16 023 17 430 11259 11 310 6 636 60087 56 439 Zusammen Wie zu erwarten stand, sind die Rechtsanwälte durchgehend älter als ihr Mitarbeiterstab; also wird man unter sonst gleichen Ver- hältnissen mehr Sterbefälle in ersterer als in letzterer Klasse erwarten, und wenn man trotzdem dieselbe Sterblichkeit für sämtliche Alter als Ganzes genommen hat, so müssen gewisse ungünstige Momente die Klasse des Kontorpersonals beeinflußt haben. Zwecks Ausnutzung dieses Materials nun kann man die Methode anwenden, welche man die Methode der berechneten An- zahl nennen könnte. Diese geht nur darauf hinaus zu berechnen, wieviel mehr Sterbe- fälle man unter der Voraussetzung gleicher Sterblichkeit für beide Gruppen infolge verschiedener Altersgliederung in der einen Gruppe als in der andern erwarten würde. Benutzt man als Aus- druck für die gemeinsame Sterblichkeit auf den vier Altersstufen die unten angeführten Sterblichkeitsquotienten für die gesamte 526 männliche Bevölkerung in den Jahren 1910—12, so ergibt sich folgendes Resultat: ' Sterblichkeits- N . x Erwartete Anzahl von Sterbefällen Alter Pe en er Rechtsanwälte Kontorpersonal 25—35 Jahre. . 4,80 %0 35—45 °. 7,99 45—55 “5 55—65 3 Zusammen 72 130 255 336 793 108 128 165 197 598 Während diese Berechnung jeweils 793 und 598 Sterbefälle ergibt, sind in den zwei Gruppen faktisch nur 643 und 581 Sterbe- fälle eingetroffen, was ca. 81 und 97%, der berechneten ausmacht. Es geht hieraus hervor, daß beide Gruppen günstigere Sterblichkeits- verhältnisse als die männliche Bevölkerung im allgemeinen haben und daß sich die Sterblichkeit für die Rechtsanwälte erheblich viel günstiger als für das Kontorpersonal gestaltet. 341. Bei dieser Berechnung hat man von der Altersgliederung in den beiden Gruppen von Lebenden, aus denen die Sterbefälle hervor- gegangen sind, dagegen nicht von der Verteilung der Sterbefälle nach dem Alter Gebrauch gemacht. Es ließe sich denken, daß das gefundene Resultat in der Weise zustande käme, daß die Sterblichkeit auf sämtlichen Altersstufen tatsächlich oder doch sehr annähernd jeweils 81 und 97 °%, der Sterblichkeit der gesamten männlichen Be- völkerung auf entsprechenden Altersstufen ausmacht. Wenn nichts anderes gegeben ist, läßt sich indes nichts hierüber schließen. Nur so viel muß feststehen, daß, wenn sich die Sterblichkeit in der all- gemeinen Bevölkerung auf einigen Altersstufen tatsächlich günstiger gestaltete, ungünstige Ursachen mit desto größerer Kraft bei anderen Altersstufen eingewirkt haben müssen; mit anderen Worten: man hat die Gewißheit, daß sich eine erneute Untersuchung und eventuell eine Erhebung von frischen und hinlänglich geteilten Beobachtungen als lohnend erweist. Als Ausgangspunkt für die Berechnung hat man ferner die Größe der Sterblichkeit auf den einzelnen Altersstufen in der gesamten männlichen Bevölkerung benutzt und diese Sterblichkeit als be- kannt vorausgesetzt; ‚es ließe sich einwenden, daß man rein formell ebensogut andere ganz willkürlich gewählte Sterblichkeits- quotienten hätte benutzen können. Wenn man indes zwecks Ver- gleichs eine Reihe von Sterblichkeitsquotienten wählen würde, die entweder ganz willkürlich gewählt oder den Erfahrungen aus 527 solchen Bevölkerungsgruppen entnommen wären, deren Sterblich- keitsverhältnisse ganz oder teilweise von Ursachen, die vermutlich die Sterblichkeit in den zu untersuchenden Gruppen (Rechtsanwälten und Kontoristen) unbeeinflußt lassen, abhängig sind, dann würde die Folge nur die sein, daß der Vergleich jegliches Interesse verlöre. Die Aussicht darauf, daß die sich bei einer Vergleichung der fak- tischen Anzahl Fälle mit der berechneten (hier Anzahl von Sterbe- fällen) eventuell ergebenden rein numerischen Verschiedenheiten auch in Wirklichkeit den Verschiedenheiten der Ursachenverhältnisse entsprechen werden, und demzufolge die Aussicht auf eine ver- lIohnende Gestaltung erneuter Untersuchungen, muß nämlich desto größer sein, je mehr Ursachen den verglichenen Gruppen gemein sind. Als Vergleichsgrundlage hat man also ein solches Niveau zu finden, das an und für sich als wahrscheinlich gelten könnte. Hierin also hat die Anwendbarkeit der Methode eine ihrer Be- grenzungen. In dem hier behandelten Beispiel ist die Sterblichkeit in der gesamten männlichen Bevölkerung, der wir die beiden Gruppen ent- nahmen, als Ausgangspunkt für den Vergleich gewählt, und da die Verteilung der Sterbefälle nach dem Alter in Wirklichkeit bekannt ist, so lassen sich die benutzten Voraussetzungen dadurch einer näheren Prüfung unterziehen, daß man die faktischen Sterblichkeits- quotienten der einzelnen Altersklassen für Rechtsanwälte und Konto- risten mit jeweils 81 und 97°, der entsprechenden Quotienten für die Gesamtbevölkerung vergleicht. Das Ergebnis ist dann folgendes: Alter 25—35 Jahre 35—45 , 15—55 5—65 alle Alter Anzahl der Wterbefälle Rechts- ınwälte Konto- risten Sterblichkeitsquotienten Rechts- <Xonto- "rten | Gesamt- bevölkerung 01 Berechnete Sterb- ichkeitsquotienten Rechts- | Konto- anwälte ‘ risten 0/ nn f nr 2 ol ‚80 "NAQ Es bestätigt sich hier, was man häufig erfahren wird, daß eine kräftig wirkende Ursache gleichzeitig überall ihren Einfluß ausübt; und es ist vermutlich selten, daß die betreffende Ursache nur eine kürzere Altersperiode beeinflußt, jedoch, wie oben betont, durchaus nicht ausgeschlossen. Man wird gut daran tun, die gewonnenen J9ß8 Resultate lediglich als eine Aufforderung zur Vornahme weiterer Untersuchungen zu betrachten. 342. Mittels der hier beschriebenen Methode vermag man also — wenigstens bis zu einem gewissen Grade — den Einfluß einer einzelnen Ursache (beispielsweise die Wirkung der Altersgliederung) auszuschalten. Diese Methode läßt uns daher, wie wir weiter unten des näheren sehen werden, einen Spatenstich tiefer graben als sonst der Fall sein könnte, auch in Fällen, wo das Material nicht ein- seitig ist (wo die zwei Beobachtungsreihen also die gleiche Eintei- lung zulassen). In diesem Falle kann man indes nicht nur wie oben die Anzahl der Sterbefälle berechnen, die bei der besonderen Altersgliederung jeder Gruppe in den betrachteten Berufsgruppen zu erwarten wären, wenn diese auf den verschiedenen Altersstufen dieselbe Sterblichkeit wie die Gesamtbevölkerung hätten; die benutzte Voraussetzung er- möglicht nämlich eine Berechnung der Sterblichkeitsquotienten für jede Altersstufe in beiden Gruppen, so daß man also auch die Anzahl von Sterbefällen berechnen könnte, welche bei der auf den verschie- denen Altersstufen faktisch geltenden Sterblichkeit in jeder der Gruppen eintreffen würden, wenn diese Altersgliederungen nicht verschieden, sondern beispielsweise gleich derjenigen der Gesamtbe- völkerung wären. Diese Form für die Methode der erwarteten Anzahl wird ge- wöhnlich eine Standardberechnung!) genannt und, wo die Bedingungen für ihre Anwendung vorhanden sind, ungemein viel benutzt. Als Beispiel sei im folgenden Schema die Anzahl der Sterbefällle berechnet, die man nach den oben angeführten Sterb- lichkeitsquotienten für Rechtsanwälte und Kontoristen erwarten würde, wenn die Altersgliederung dieser beiden Gruppen derjenigen der ge- samten männlichen Bevölkerung entspräche. Da es hierbei lediglich auf den relativen Bestand der einzelnen Altersklassen und nicht dar- auf ankommt, wieviel Personen die Altersklassen überhaupt umfassen, so ist die Standardbevölkerung von einer solchen Größe (8900) ge- wählt worden, daß sie bei der für die Gesamtbevölkerung geltenden Sterblichkeit gerade 100 Sterbefälle jährlich aufweisen wird: ı) Über die Standardberechnung 8. L. von Bortkiewiez, Über die Me- thode der „standard population“ im „Bull. de l’Institut International de Stat.“, T. XIV, deuxieme livraison. Berlin 1904, S. 417 ff. 320 Alter Altersgliede- rung für die Gesamt- bevölkeruneg Erwartete Anzahl von Sterbefällen gemäß dem Sterblichkeitsquotienten für die Gesamt- Rechtsanwälte nevölkerung ' Kontoristen Zi 2. 36,1 100,0 79,2 ) Als Resultat dieser Berechnung ergibt sich, daß die „Standard“- Sterblichkeit der Rechtsanwälte 79°/,, die des Kontorpersonals 97% der Sterblichkeit der Gesamtbevölkerung beträgt, während wir oben jeweils 81 und 97° feststellten. Wir finden also annähernd dasselbe Bild. Daß es jedoch nicht genau dasselbe wird, beruht darauf, daß die Altersgliederung der drei Gruppen: der Gesamtbevölkerung, der Rechtsanwälte und des Kontorpersonals nicht dieselbe ist. 343. Um einen Überblick über das verschiedene Verfahren bei den zwei Methoden und den Zusammenhang zwischen diesen zu gewinnen, kann man im allgemeinen die Altersgliederung und Sterb- lichkeitsquotienten der Gruppe A (Rechtsanwälte) durch jeweils a, Az, As ... UNd C,, X, A ..., der Gruppe B (Kontoristen) durch bi, ba, bs .... und P,, Pay Ps ... und der Gruppe S (Gesamtbevölke- rung oder „Standard“- Bevölkerung, deren Altersgliederung oder Sterblichkeitsquotienten den Ausgangspunkt für den Vergleich bilden) lurch S,, Sa, Ss ... Und pi, PD», Ps -.. bezeichnen; s. untenstehendes Schema: 23—35 Jahre 35—45 45 —55 95—65 „_ _ Sämtliche Alter | 8900 zz 10 1: 15,5 19,9 27,8 33,7 96.9 Grunne A Sterblich- keits- quotient DD Gruppe B Sterblich- keits- quotient 0/ Gruppe S Sterblich- Alters- keits- gliederung | quotient 0 {ng Alters- zyliederung Alters- gliederung x $ 2 = 37171 20 7 ı8. ? 1215 pP, = 4,80 = 7,99 03 — 14,65 PP: — 29.69 6 63€ Die faktische Anzahl von Sterhefällen in jeder der Gruppen ist dann jeweils Nac, SXb8 und Ssp. Die Anzahl von Sterbefällen, welche die Altersgliederungen a und b in Verbindung mit der Sterblichkeit p erwartungsgemäß er- zeben werden, ist dagegen ap und Sbp, Westerraard und Nybelle. Theorie der Statistik. 2. Aufl. SE“ 530 während die Anzahl der Sterbefälle, welche die Sterblichkeitsquotienten a und ß in Verbindung mit der Altersgliederung s erwartungsgemäß ergeben, gleich Ss und Is8 ist. Nach der ersten Methode betragen die faktisch eingetroffenen Sterbefälle im Verhältnis zu den erwarteten folgende Bruchteile: WW. - Say = 081 und Sn = 007, nach der anderen Methode dagegen ZZ _ 9,79 und DE = 0,97 sp ) sp a Beide Methoden laufen also darauf hinaus, die Durchschnitts- größe der Sterblichkeitsquotienten «x (oder 8) mit derjenigen der Sterblichkeitsquotienten p zu vergleichen. Der Unterschied zwischen beiden besteht lediglich in der Art und Weise, in der die zu ver- gleichenden Durchschnitte berechnet werden. Beim ersteren Ver- fahren werden als Gewichte die Zahlen a (oder b), welche die Alters- gliederung der Gruppe A (oder B) angeben, beim letzteren die die Altersgliederung der Gruppe S angebenden Zahlen s verwandt. Hieraus folgt, daß man im allgemeinen nur dann volle Über- einstimmung zwischen beiden Methoden erwarten darf, wenn die Altersgliederungen a, b und s gleich sind. Hierauf wird in diesem Zusammenhang jedoch kein Gewicht gelegt. Sei es daß das gegebene Material einseitig und eine Wahl zwischen beiden Verfahren daher unmöglich ist, oder sei es daß das Material so vollständig ist, daß man an und für sich ebensogut das eine wie das andere benutzen kann — beide Methoden bieten den Vorteil, daß man schnell einen Überblick darüber gewinnen kann, wie die verschiedene Alters- gliederung die Zahlen beeinflußt und ob es wahrscheinlich ist, daß sich andere durchgreifende Ursachen geltend machen. Und es wird in der Regel einfacher sein, eine dieser Methoden anzuwenden, als andere Ausdrücke, wie z. B. den Einfluß der erhöhten Sterblichkeit auf die mittlere Lebensdauer oder auf den Wert einer Leibrente usw... zu berechnen. 344. Auch in einer anderen Verbindung wird die Methode der erwarteten Anzahl unter der einen oder der andern Form oft von großem Nutzen sein. Man wird in der Statistik häufig vor die Frage gestellt, ob diese oder jene Gruppe die größte Sterblichkeit hat; oder es handelt sich um Fragen ähnlicher Art. Wie wir im 531 Vorhergehenden gesehen haben, ist im großen und ganzen die Be- antwortung solcher Fragen zu guter Letzt dadurch bedingt, daß man es mit Gruppen zu tun hat, die bei weiterer Teilung nur solche Unter- gruppen ergeben, welche sich hinsichtlich der betrachteten Durch- schnittseigenschaft exponentiell verteilen und sich nicht mit Beträgen voneinander unterscheiden, die den mittleren Fehler dieser Verteilung viele Male übersteigen; oder wie man es kurz ausdrückt, die Ver- schiedenheiten zwischen den erlangten Untergruppen müssen aus- schließlich zufälligen Charakters sein. Fragt man, ob die Rechts- anwälte oder deren Kontorpersonal die größte Sterblichkeit aufweisen, so erfordert eine restlose Untersuchung dieser Frage auf jeden Fall eine Teilung nach dem Alter, da der Unterschied zwischen der Sterblichkeit auf verschiedenen Altersstufen nicht als zufällig betrachtet werden kann; und vielleicht wird eine weitere Gliederung nach Aufent- haltsort, Zivilstand usw. notwendig sein. Hierbei kann sich dann herausstellen, daß nicht jede Untergruppe der Rechtsanwälte eine kleinere Sterblichkeit als die entsprechende Untergruppe des Kontor- personals aufweist und daß die Einzelzeugnisse der vielen Gruppen in größerem oder kleinerem Grade entweder miteinander in direktem Widerspruch stehen oder so unsicher bestimmt werden, daß man anscheinend keinen Schluß ziehen kann. Hier bietet die Methode der er- warteten Anzahl den Vorteil, daß man ohne Einführung des von einer verschiedenen Altersgliederung oder anderen Gemeinursachen stammenden störenden Moments die Beobachtungen in größeren Gruppen sammeln, sich dabei bis zu einem gewissen Grade von Zufälligkeiten unabhängig machen kann und mitunter einen zuver- lässigen Schluß zu erzielen vermag (vgl. die folgenden Beispiele). Zwecks Durchführung einer solchen Untersuchung wird es not- wendig sein, den mittleren Fehler im Verteilungsgesetz für die er- wartete Anzahl zu berechnen; dessen Ermittelung gestaltet sich nach ler Methode der erwarteten Anzahl überaus einfach. Sowohl nach der einen wie nach der anderen Methode wird die erwartete An- zahl als ein Polynomium von der Form X = a0, + a0 + 8308 +.....- largestellt, in dem a,, a, as .... gegebene Konstanten (in den oben angeführten Beispielen eine der benutzten Altersgliederungen) und Xi, Az, Ag .... gewisse auf dem Wege der Erfahrung bestimmte Durchschnitte (in obigen Beispielen Sterblichkeitsquotienten) sind. Bezeichnet man den mittleren Fehler dieser Durchschnitte Dar 532 (vgl. 8 155) mit 441 Mg Ms ...., SO Wird der mittlere Fehler im Ver- teilungsgesetz für X (vgl. $ 148) u = Va? p? + au alt ee Beispielsweise wurde bei der oben vorgenommenen Standardberechnung die Anzahl von Sterbefällen, welche man unter 8900 Rechtsanwälten, die gemäß der Altersgliederung der ganzen männlichen Bevölkerung verteilt wurden, erwarten konnte, auf etwa 79 beziffert. Der mittlere Fehler wird hier u = Y3171?- 4144? + 2617%. 1u,? + 1897? ug? 12152 u? „ __ 0,00319-0,99681 3 0,00571-0,99429 HL 15068 0 U I6284 ,__ 0,01199 - 0,98801 ,__ 0,02591 - 0,97409 Ha 17480 05 HA 11810 woraus folgt, daß u =V10,250 == ca. 3,2. Die gefundene Abweichung von 21 zwischen der faktischen und der erwarteten. Anzahl von Sterbefällen beträgt also zwischen dem 6- und 7fachen dieses mittleren Fehlers. Zur Beleuchtung dessen, wie man zu einem Resultat gelangen kann, indem man in der angegebenen Weise Beobachtungen, die einzelweise keine Schlußfolgerung zulassen, zu größeren Gruppen zusammenfaßt, sei eine Untersuchung über die Sterblichkeit weib- licher Leibrentenempfänger!) erwähnt. Deren Sterblichkeit wurde mit derjenigen einer auf Grund anderer Erfahrungen berechneten Sterbetafel verglichen, jedes Altersjahr für sich behandelt, und die Resultate sammelte man danach in 10jährigen Altersklassen : Anzahl von Verstorbenen Alter Faktisch Berechnet 60—70 Jahre 125 . 153 70—80 332 383 80—90 „2 28 Zusammen 668 759 Geht man von der Voraussetzung aus, daß die benutzte Sterbe- tafel vollständig genau ist — bei einem Übungsbeispiel wie diesem ist man dazu berechtigt —, so ergibt sich, daß die Abweichung in den zwei ersten Altersklassen das 2- bis 3fache des mittleren Fehlers beträgt und in der dritten Klasse etwas kleiner als dieser ist. Wenn man jede 10jährige Altersklasse für sich allein betrachtet, dann 1!) L. Iversen, Dodeligheden blandt Forsörgede. (Diss.) Kobenhavn 1910. S. 199. 533 verbietet sich stets jegliche Schlußfolgerung ; faßt man jedoch sämt- liche drei Daten zusammen, deren jede wieder etwas über die zehn einzelnen Lebensjahre aussagt, so gelangt man zu einem genauer be- gründeten Resultat, da die Abweichung jetzt mehr als das Dreifache des mittleren Fehlers beträgt. Aus vielen Einzeldaten wird also ein Gesamtergebnis, das als zuverlässig betrachtet werden kann (vgl. $ 150). 345. Die Methode der erwarteten Anzahl läßt sich auch dann anwenden, wenn das Material in der Weise einseitig ist, daß man nur die Verteilung der den Zähler der Relativzahlen bildenden Be- obachtungen, nicht aber die Gliederung der in den Nenner eingehenden Beobachtungen kennt. In dem im $ 340 behandelten Beispiel wurde angenommen, daß man die Altersgliederungen der Volkszahlen, be- züglich der Sterbefälle jedoch nur die Gesamtzahl, nicht die Ver- teilung nach dem Todesalter kannte. Wird dagegen angenommen, daß hinsichtlich der Rechtsanwälte die Verteilung der Sterbefälle nach dem Alter (die Zähler der Sterblichkeitsquotienten der Rechts- anwälte), bezüglich des Bestandes aber, aus dem diese Sterbefälle stammen, nur die Gesamtzahl und nicht ihre Verteilung auf die ent- sprechenden Altersklassen, also auch nicht die Größe der Sterblich- keit auf diesen Stufen, bekannt ist, dann kann man berechnen, wie- viel Lebensjahre der auf jede Altersklasse entfallenden Anzahl von Sterbefällen entsprechen werden, wenn die Sterblichkeit unter den Rechtsanwälten derjenigen der Gesamtbevölkerung auf den entsprechen- den Altersstufen entspräche. Es ergibt sich dann folgendes Resultat: Entsprechende Sterbefälle keitsquotien‘ Anzahl Lebens. jahre 10 000 11 640 14 266 9869 45 775 7 ht Faktisch ist indes die Zahl der Lebensjahre für sämtliche Alter 60087. Wenigstens in einem Teil des Altersintervalls von 25—65 Jahren muß die Sterblichkeit bedeutend unter der der Gesamt- bevölkerung liegen; denn die 643 Sterbefälle stammen von einer er- heblich viel größeren Anzahl von Lebensjahren als der berechneten Anzahl, welche nur 76%, der beobachteten beträgt. Man findet also ungefähr dieselben Verhältniszahlen wie oben beim Vergleich zwischen der berechneten und der beobachteten Anzahl von Sterbefällen. — 534 — Wird die benutzte Anzahl von Sterbefällen mit d, d, ds .... und die verwandten Sterblichkeitsquotienten mit p;, Da, Ds +... be- zeichnet, so ist die erwartete Anzahl von Lebensjahren di , dr ds Di + % + os... Hieraus erhellt, wie sich der mittlere Fehler im Verteilungs- gesetz für die erwartete Anzahl finden läßt; denn bereits im $ 175 fußten wir auf der Tatsache, daß das Quadrat des mittleren Fehlers im Verteilungsgesetz für jeden der in der Summe enthaltenen Ad- denden gleich VE ist. Das Quadrat des gesuchten mittleren Fehlers wird dann 2 d;(1—Pp1) d, (1—Pp;) d;(1—Ps) u pi + TR + pa In dem benutzten Beispiel findet man hieraus einen mittleren Fehler von 2189 Lebensjahren. Da die Abweichung zwischen fak- tischer und erwarteter Anzahl gleich 14312 ist, so beträgt sie also etwa das 6!/, fache des mittleren Fehlers; und dies Ergebnis entspricht so ziemlich dem im $ 344 erzielten Resultat. Es ist jedoch verhältnismäßig selten, daß sich die Aufgabe so gestaltet, da man viel öfter der Anzahl von Sterbefällen als der An- zahl von Lebensjahren bedürfen wird. Aber im Prinzip ist die Auf- gabe dieselbe. 346, Wir entnehmen dann einer ganz anderen Materie ein Bei- spiel und betrachten die Wohnungsmietenstatistik. Von Dienstwohnungen, Gartenhäusern u. ähnl. abgesehen, gestaltete sich die Gesamtzahl lediglich für Wohnzwecke verwandter Wohnungen und die gesamte Jahresmiete für diese in den Gemeinden Kopen- hagen und Gentofte im November 1925, wie folgt: Zahl der Jahresmiete Durchschnittlich Wohnungen 1000 Kr. pro Wohnung Kopenhagen. . .. 161486 100 264 621 Gentofte ..... 9880 12284 1243 Anscheinend ist die Durchschnittsmiete in der villenartig be- bauten Vorstadt Gentofte etwa doppelt so hoch wie in der eigent- lichen Hauptstadt. Es geht jedoch hier genau so wie in den oben behandelten Beispielen. Da die Hausmiete u. a. mit der Zimmerzahl der Wohnung wächst, so ist es eine Frage, wieviel dieser Unter- 535 schied allein einer verschiedenen Verteilung nach der Zimmerzahl der Wohnungen und wieviel er anderen Ursachenkomplexen, welche lie Wohnungsmiete wesentlich beeinflussen (z. B. Eigenwohnung des Besitzers oder Mietswohnung, Bodenfläche usw.), zuzuschreiben ist. Für die Verteilung nach der Zimmerzahl nun hat man folgende Zahlen: Verteilung nach der Zimmerzahl Durch schnittliche Jahresmiete Wohnungen mit Kopenhagen Gentofte ANnzal} / Anzahl Kopen- hagen DZ Gentofte Kr. ., Zimmer . >) Zimmern 159 671 926 1262 1714 0 2145 oder me 3355 3143 Zusammen | 161486 | 1000 | 9880 | 1000 | 621 | 1243 Aus einem Vergleich obiger Durchschnittsmieten für Wohnungen mit der gleichen Zimmerzahl erhellt, daß die Miete in Gentofte in keiner Gruppe das Doppelte der Kopenhagener Miete erreicht. Am zrößten ist der Unterschied für Vierzimmerwohnungen, wo er etwa 25% beträgt. Eine wesentliche Ursache dieses veränderten Resul- ‘ats ist u. a. gerade die verschiedene Verteilung der Wohnungen nach der Zimmerzahl: In Kopenhagen besteht fast die Hälfte der Wohnungen aus Ein- oder Zweizimmerwohnungen, in Gentofte Jagegen nur etwa ein Fünftel. Zwecks Ausschaltung dieser Ursache kann man z. B. für Gen- ;ofte die durchschnittliche Wohnungsmiete berechnen, wie sie ge- wesen wäre, wenn sich hier die Wohnungen hinsichtlich der Zimmer- zahl genau so wie in Kopenhagen verteilt hätten. Unter Benutzung dieser Verteilung als einer „Standardgliederung“ findet man eine Durchschnittsmiete von 12086 - 282 + 67852 - 459 +...... 1986 - 3143 _ 161486 —— -= 1705 Kr. die nur etwa 14% Über der dieser Verteilung entsprechenden Durchschnittsmiete Kopenhagens von 621 Kr. liegt. Dieses Resultat ist nun, wie oben gesagt, nicht unabhängig von der Wahl der Standard- verteilung. Wenn man, um die Wirkung der verschiedenen Verteilung auszuschalten. die Durchschnittsmiete in Kopenhagen unter der 536 Voraussetzung, daß sich hier die Wohnungen wie die in Gen- tofte verteilen, berechnet, dann ist das Ergebnis 1129 Kr. Im Ver- gleich hiermit ist die dieser Wohnungsverteilung entsprechende Durchschnittsmiete in Gentofte von 1243 Kr. nur 10% höher. Einerlei, welche dieser Standardverteilungen man benutzt, die Er- gebnisse sind hier stets grundverschieden von den mit Hilfe der rohen Durchschnitte erzielten. Ob das Wohnungsmietenniveau nun in Gentofte 10 oder 14% über demjenigen Kopenhagens liegt, ist eine Frage, die sich vielleicht gar nicht beantworten läßt, schon deswegen nicht, weil eine fort- gesetzte Gliederung nach Momenten, die vermutlich die Größe der Wohnungsmiete beeinflussen könnten, aller Wahrscheinlichkeit nach garnicht ergeben wird, daß die betreffenden Ursachen mit gleicher Stärke in den benutzten Gruppen zur Geltung kommen. Diese Ur- sachen können sich daher nicht unbedingt, sondern in der Regel nur annähernd durch eine einzelne Zahl ausdrücken lassen. Die hier betrachteten Wohnungen mit verschiedener Anzahl von Zimmern lassen sich z. B. gleichfalls in Gruppen teilen, je nachdem sie ver- mietet, vom Eigentümer bewohnt oder unbewohnt sind. Man hat für sämtliche Wohnungen als Ganzes genommen folgende Verteilung: Kopenhagen Gentofte vermietet ........ 151920 5691 vom Eigentümer bewohnt 8294 4098 unbewohnt ....... 122 9 Zusammen 161 486 9880 In Kopenhagen ist also ein weit größerer Teil der Wohnungen vermietet als in Gentofte. Da aber der Prozentsatz an vermieteten Wohnungen sich höchst verschieden gestaltet, je nachdem es sich um Wohnungen mit wenigen oder vielen Zimmern handelt, und da die großen, vom Eigentümer bewohnten Wohnungen teurer als die großen Mietswohnungen sind, während das Umgekehrte bei Klein- wohnungen der Fall ist, so wird für die Vollendung der Untersuchung eine tiefgehende Gliederung des Materials erforderlich sein. Will man sich indes nach einer solchen Teilung einen Überblick über die Bedeutung der dabei gefundenen Verschiedenheiten zu verschaffen suchen, dann geschieht dies am bequemsten, indem man, unter der Voraussetzung einer gleichförmigen Verteilung auf die betrachteten Gruppen, die erforderlichen Durchschnitte berechnet. Dieses Ver- fahren ist. auch eins der wichtigsten, deren man sich bei der Be- rechnung von Indexzahlen für Preise („Preisindex“) oder andere 5337 Beobachtungen bedienen kann. Wir kommen weiter unten auf solche Berechnungen zurück. Aufgabe 110. Nach dänischen Erfahrungen war von 1916—20 die Sterb- lichkeit nach Alter und Zivilstand durchschnittlich jährlich (in °/,, der mittleren Volkszahl) folgende: 20—30 ‚Jahre 30—4C 10—50 30- 6C 50—% 70—8ı W— 90 bisher ınverheiratet| 36 7U 370 '"änner ver- heiratet 28 68 180 im Witwer- stande 3n ı 80 900 bisher unverheiratet FE 4) “rauen ver- heiratet zZ: 66 180 im Witwen- stande 15 29 78 190 Wähle eine passende Standard-Altersgliederung und untersuche, wieviel Sterbefälle man nach den angeführten Erfahrungen in jeder der 6 Gruppen er- warten dürfte, wenn diese sämtlich die Altersgliederung mit der Standardver- ‚eilung gemein hätten. Aufgabe 111. Bei der im Jahre 1921 in Dänemark abgehaltenen Volks- zählung wurden in der Gruppe Gewerbe 67 100 Handwerksmeister und 96000 ge- lernte Arbeiter (Männer) gezählt, deren Alter und Einkommen mitgeteilt war. Die Verteilung nach Alter und Durchschnittseinkommen war für jede dieser Gruppen folgende: unter 30 Jahre 30— 40 Jahr. 40—50 50—60 50—70 iber 70 Jahre . ”Tandwerksmeiste durchschni* “nkommen Kr 59° 5A 6: 62& 55C 23710 7 40V) ‘talernte Arbeiter . durchechnittl. inkommen Kr. 3430 1460 1650 4440 3550 D500 ı alıdır Finde das Durchschnittseinkommen für Meister und Gesellen, und unter- suche, ein wie großer Teil des Unterschiedes zum mindesten als von der ver- schiedenen Altersgliederung dieser beiden Gruppen stammend anzunehmen ist. 347. Es seien dann noch einige Beispiele zur Beleuchtung dessen gegeben, wie die rein elementaren Rechenoperationen, welche lie Methode der erwarteten Anzahl voraussetzt, oft auch bei solchen Aufgaben zu bedeutungsvollen Resultaten führen können, die sonst vielleicht weitschweifige Korrelationsuntersuchungen verlangen würden. Im $ 268 behandelten wir bereits eine solche Aufgabe und zeigten, wie die Voraussetzung linearer Regressionslinien in der be- trachteten Korrelation zwischen Wochenlohn und Armenpnrozent be- — 538 — friedigende Resultate ergab. Man darf indes bei weitem nicht immer damit rechnen, daß die Regressionslinien mit hinlänglich guter An- näherung als Gerade betrachtet werden können. Und es wird dann in der Regel nicht viel mit einer Berechnung des Korrelations- koeffizienten gewonnen sein, ebensowenig wie dies hinsichtlich eines analytischen Ausdrucks (Formel) für die krummen Regressions- kurven der Fall ist. Dagegen kann man unter Benutzung der numerischen Daten, die sich aus dem Material herleiten lassen, schneller und leichter wichtigen Ursachen auf die Spur kommen. Von der englischen Sterblichkeitsstatistik aus, die im Vorher- gehenden mehrmals benutzt wurde, kann man auch die Korrelation zwischen der Selbstmord- und Alkoholsterblichkeit untersuchen. Diese Statistik enthält Mitteilungen über die Sterblichkeit innerhalb zahlreicher Gewerbe und Berufe, deren Altersgliederung höchst ver- schieden sein kann. Zur Ausschaltung des Einflusses solcher Ver- schiedenheiten ist zugleich für jede Gewerbegruppe eine „Standard- sterblichkeit“ berechnet, wobei man die Anzahl von Sterbefällen ermittelt hat, welche die in jeder der vier 10-jährigen Altersklassen zwischen 25 und 65 Jahren faktisch gefundene Sterblichkeit in jeder dieser vier Altersklassen hervorgebracht haben würde, wenn die Altersgliederung bei allen Gruppen dieselbe gewesen wäre (vgl. 8 342). Diese erwartete Anzahl von Sterbefällen ist dann nach Altersklassen auf eine Reihe von Todesursachen verteilt, und zwar im Verhältnis zur Zahl der Sterbefälle, durch die die einzelnen Todesursachen faktisch zur Sterblichkeit der Altersklasse beigetragen haben (vgl. $ 307). Hieraus läßt sich wiederum für das ganze Alters- intervall von 25—65 Jahren die Gesamtzahl erwarteter Sterbefälle und deren Verteilung nach Todesursachen berechnen. Beispielsweise seien nach der Sterblichkeitsstatistik für 1890—921) für die Gruppe der beim Kohlenlöschen und -abladen beschäftigten Arbeiter (coal heavers) folgende Zahlen angeführt: Standard- Faktische | Berechnete [Hiervon starben auf Grund Bevölkerung Sterblichkeit Anzahl von /00 Verstorbener! Alkoholismus | Selbstmord 25—35 Jahre‘ 22586 43 35—45 „ | 17418 19,96 45—55 » 12885 29,26 55—65 „ | 8326 6261 25—865 Jahrei 61215 24,94 15927 „9 x 2 4 1) Supplement to the 55th anıual Report of the Registrar-General, Part IL, London 1897, pag. cliv und 138. 339 Für sämtliche Alter als Ganzes genommen erwartet man also 1527 Sterbefälle, von denen 29 und 7, d.h. 19,0 und 4,6 %o, jeweils dem Alkoholismus und Selbstmord zuzuschreiben sind. Man kann nun sämtliche Gewerbegruppen auf einmal nach der Größe derjenigen Bruchteile der erwarteten Anzahl Sterbefälle, die dem Alkoholismus und Selbstmord zuzuschreiben sind („Standard- sterblichkeit“), verteilen und die dabei erhaltene Korrelationstabelle einer weiteren Untersuchung unterziehen. Wie in dem im $ 336 behandelten Beispiel ist hier eine der am nächsten liegenden Auf- yaben die, die Regression zu untersuchen, indem z, B. die durch- schnittliche Selbstmordsterblichkeit für Gruppen mit gleicher Alkohol- sterblichkeit!) berechnet wird; es ergeben sich dann folgende Zahlen‘ Standardsterblich- zeit auf Grund des Alkoholismus )— DD A] f 5— 9. DD 31 und Zusammen ! CR Anzahl Sterbefälle xt auf Grund von in jeder Gruppe &alhstmord 76. Q ‘) a O6 Die Korrelation zwischen Selbstmord und Alkoholismus ist in die Augen fallend. Gewerbearten, in denen der Alkoholismus eine bescheidene Rolle spielt, weisen wenige Selbstmordfälle auf, und umge- kehrt; aber die Bewegung verläuft unregelmäßig und auf jeden Fall nicht geradlinig, und eine Berechnung des Korrelationskoeffizienten als auch überhaupt eine Ausgleichung der Regressionskurven nach irgendeiner Formel ist daher nicht allein mühsam, sondern auch wenig verlohnend. 348. Ein hiermit verwandtes Problem ist die Frage nach dem Zusammenhang zwischen der Häufigkeit der Totgeburten einer- seits und dem Alter der Mutter oder der Geburtsnummer andererseits. Ein dänisches Beobachtungsmaterial scheint hier zu zeigen, daß diese Häufigkeit mit dem Alter der Mutter wächst und ebenfalls — auf jeden Fall nach der zweiten Geburt — mit der Ge- ') H. Westergard, Die Lehre von der Mortalität, 2. Ausg., Jena 1901, 5. 660. Ein ähnliches Resultat erhält man auch nach den Erfahrungen im „Supp- lement to the 75th annual Report for 1910—12“: vgl. die Fußnote auf S. 403. 540 burtsnummer zunimmt *!). Da, wie zu erwarten ist, eine ausgeprägte Korrelation zwischen dem Alter der Mutter und der Geburtsnummer besteht, ist es eine Frage, wieviel des Zuwachses nach der Geburts- nummer lediglich dem Umstande zuzuschreiben ist, daß die älteren Mütter verhältnismäßig viele Totgeburten aufweisen. Nun liegen die betreffenden Totgeburten allerdings nicht nach dem Alter der Mutter und der Geburtsnummer verteilt vor, man kennt dagegen die nach diesen Kennzeichen?) erfolgte Verteilung der Mütter sämtlicher lebend- und totgeborener Kinder. Die Frage läßt sich dann mit Hilfe der Methode der erwarteten Anzahl berechnen, indem man für Frauen eines gegebenen Alters feststellt, wieviele der von diesen als Nummer 1,2,3 ... geborenen Kinder als totgeboren erwartet werden dürfen, wenn man die für die betreffenden Geburtsnummern ge- fundenen Totgeburtenfrequenzen anwendet oder umgekehrt das Alter ausscheidet °). Anstatt näher hierauf einzugehen, können wir ein neueres Material über die Abhängigkeit der Säuglingssterblichkeit vom Alter der Mutter und der Geburtsnummer*) betrachten, bei dessen Behand- lung das Problem genau dasselbe ist. Man hat hier folgende Zah- Jen zur Berechnung der Sterblichkeit nach diesen zwei Kennzeichen: Anzahl |Hiervon| Prozent Alter der lesborener ver- ] der Ge- Kinder !Istorben! borenen unter 20 Jahre 1584 20—25 » 6879 25—30 » 6618 30—35 „ 4231 35—40 „ 2688 über 40 95° nicht angegeben C 215 752 671 443 340 3 ‘3,57 10,9° 10,14 10,47 12,65 13,67 Zusammen: | 22967 | 2555 | 11.12 $ Ge- Anzahl |Hiervon| Prozent burts- |geborener| ver- der Ge- nummer! Kinder storben borenen 6 230 * 954 2 328 7481 767 263 921 677 O0 Wr 652 ı 10,47 274 9,57 348 | 10,46 270 10,88 210 11,88 55 12,27 26 13,68 92 13,59 69 14,68 „59 18,15 | 2555 | 1112 4 „rood.mehr! | 22967 » W. Ditzel, Statistiske Oplysninger om 39000 Foedsler, Kobenhavn 1882, S. 98. ?) Ebenda 8. 8. 3) Vgl. H. Westergaard, Die Lehre von der Mortalität, 2. Ausg. Jena 1901, S. 343. * R. M. Woodbury, Westergaard’s method of expected deaths as applied to the study of infant mortality. Journ. of the Americ. stat, Association, vol. 18, 19223—093, S. 366 £. 541 Wie man sieht, weisen die Zahlen eine deutliche Abhängigkeit vom Alter der Mutter auf, und gleichzeitig ist die Sterblichkeit nach der Geburtsnummer von der zweiten Geburt an in der Zunahme. Wie oben, ist auch hier die Frage die, in welchem Umfange dieser Zuwachs daher stammt, daß die von älteren Müttern geborenen Kin- der eine größere Sterblichkeit aufweisen. Da sich nun die Ver- teilung der Geborenen nach dem Alter der Mutter und der Geburts- aummer wie in der folgenden Tabelle 54 gestaltet, so kann man Tabelle 54. Alter der Mutter (in Jahren) Geburts- nummer I über 9 Zusammen unter >35 Zt —2525—30l30 35/35 —40 7 er a“ über | unan- 40 gegeben Zusammen 6230 1954 3328 2481 1767 1263 921 677 470 876 9292 967 mittels der Methode der erwarteten Anzahl finden, wieviel Sterbefälle anter den von Frauen eines gegebenen Alters Geborenen eingetroffen wären, indem man voraussetzt, daß die von diesen als Nummer 1 Geborenen die für sämtliche Erstgeburten ermittelte Sterblichkeit und die als Nummer 2 Geborenen die für sämtliche Zweitgeburten gefundene Sterblichkeit haben, usw. Für Kinder, die von Frauen unter 20 Jahren zur Welt gebracht sind, wird man also 1227 - 0,1047 + 311 - 0,0957 +39 - 0,1046 +5 - 0,1088 +2 - 0,1188 — 163 Sterbefälle erwarten, und analog lassen sich die weiter unten für die übrigen Altersklassen angeführten Zahlen der erwarteten Sterbefälle berech- aen; ebenso wie man hierbei den Einfluß der Verteilung nach Ge- burtsaummern ausschaltet, kann man den Einfluß der Verteilung nach dem Alter der Mutter eliminieren; es ergeben sich dann im yanzen die folgenden Zahlen. 542 Alter der Mutter Zahl der Zahl der Sterbefälle Ser Sterbefälle I faktisch | erwartet a, | nummer faktisch | erwartet | a a b b BR, b b N unter 20 Jahren 20—25 25—30 30—35 35—40 , über 40 , unangegeben 215 752 671 443 340 131 „65 705 1, 705 0,05 490 * 0,90 3465 0,97 “0,92 Zusammen | 2555 | 2555 | 1,00 | ZZ ‚4 48 70 L “10 6 155 ( 126 8 92 9 69 über 9 159 ! 9555 |! (v4 4,93 539 0,88 357 0,97 266 1,02 193 1,09 141 1,10 ‚06 1,19 80 1,15 57 1,21 112 1,42 2555 | 1,00 Da die erwartete Anzahl von Sterbefällen z. B.unter Erstgeborenen (704) unter der Voraussetzung berechnet ist, daß die erstmalig ge- bärenden Mütter gerade dieselbe Altersgliederung haben wie die Mütter, welche die 6230 Kinder, unter denen die 652 faktischen Sterbefälle eingetroffen sind, zur Welt brachten — und so fort für die übrigen Geburtsaummern —, so werden Erstgeborene also eine größere Säuglingssterblichkeit als die als Nummer 2 geborenen Kinder aufweisen; und danach steigt die Sterblichkeit mit wachsender Geburts- nummer. Ebenfalls wird unter der Voraussetzung derselben Ver- teilung nach Geburtsnummern die Säuglingssterblichkeit unter den von jungen Müttern geborenen Kindern größer als unter den von etwas älteren Müttern geborenen sein. Da sich der mittlere Fehler der bei diesen Standardberechnungen benutzten durchschnittlichen Sterb- lichkeitsquotienten leicht berechnen läßt, kann man ebenfalls leicht, wie im $ 344 angegeben, die mittleren Fehler in den Verteilungs- gesetzen der erwarteten Zahlen finden und dabei den Umfang des Materials berücksichtigen. Überhaupt bietet die Methode den Vor- teil, daß sie nie die Eigentümlichkeiten und den Umfang des Mate- rials unbeachtet läßt. 349. Hier mögen auch die interessanten, jedoch schwierigen und mannigfaltigen Fragen, die die Erblichkeitsforschung stellt, erwähnt werden, bei deren Untersuchung die Korrelationstheorie in ganz besonderem Maße Anwendung gefunden hat, wo jedoch die Methode der erwarteten Anzahl oft ausreichen wird. Die Schwierigkeit liegt hier vor allem darin, daß es kaum möglich ist, ein vollständig klares Beobachtungsmaterial zu erheben und daß aus diesem Grunde die Ursachen denn auch nur schwerlich klar hervortreten können. 543 Wenn man z. B. zu erfahren wünscht, ob das von der Mutter oder dem Vater erreichte Alter eine Bedeutung dafür hat, etwas über die Sterblichkeit der folgenden Generation voraussagen zu können, wird eine solche Untersuchung dadurch erschwert, . daß eine bisher vielleicht kerngesunde, kräftige Person bereits in jungen Jahren, lediglich auf Grund eines Unglücksfalls oder Ansteckung, gestorben sein kann. Andererseits mag man Greisen begegnen, die das ganze Leben hindurch Schwächlinge waren und sozusagen nur künstlich am Leben erhalten worden sind. So entsteht also unfehl- bar eine Mischung aus mehreren Gruppen. Die Korrelation zwischen dem Todesalter der zwei Generationen ist vielleicht sehr kräftig, tritt aber trotzdem nur teilweise in die Erscheinung. Als Beispiel hierfür mag folgendes dienen!): Einem englischen genealogischen Material wurden alle solche Familien, in der die Mutter erst nach dem 70. Lebensjahre verstorben war, entnommen, wonach man die Anzahl der Sterbefälle, die nach der für sämtliche in diese Statistik einbezogenen Familien geltenden Sterbetafel für den betrachteten Ausschnitt zu erwarten waren, berechnete. Diese Anzahl belief sich auf 1839, während die faktische 1749 betrug. Die Sterblichkeit scheint sich also für diese betrachteten Familien gün- stiger gestaltet zu haben, als es im allgemeinen der Fall ist. Geht man näher auf die Frage der Erblichkeit gewisser Krankheiten als Todesursachen ein, um dabei z. B. die tuberkulösen Familien aus- zuscheiden, dann empfiehlt es sich, die Mitglieder einer Familie von diesem Gesichtspunkte aus von dem Augenblick an, wo die Familie zum erstenmal von einem Tuberkulosetodesfall betroffen wird, zu beobachten. Die Methode der erwarteten Anzahl ergibt hier 503 erwartete Sterbefälle gegen 667 faktische. Das Material ist allerdings nicht sehr umfangreich, jedoch scheint festgestellt werden zu können, daß eine sehr kräftige Ursache, die besonders in den jüngeren Altersklassen wirksam gewesen ist, mitspielt. Der Unterschied wird noch erheblicher, wenn man nur solche Familien betrachtet, wo bereits zwei Sterbefälle an Schwindsucht eingetroffen sind. Man erhält dann 194 Sterbefälle gegen 116 er- wartete. Gegen alle solche Berechnungen wird sich selbstverständlich der Einwand erheben lassen, daß es sich hier wahrscheinlich häufig um eine Ansteckung handelt, die ein Familienmitglied nach dem ıı H. Westergaard, Die Lehre von der Mortalität, 2. Ausg., Jena 1901 S. 515 f. und S. 526. 544 — andern angreift. Bei einer Statistik dieser Art verfügt man kaum über ein hinlänglich klares Material, um einer solchen Kritik ent- gegentreten zu können. Allerdings kann man versuchen, die Beob- achtung einige Jahre nach dem ersten Sterbefall zu beginnen, aber dies wird selbstverständlich nicht die Möglichkeit der Ansteckung als Todesursache ausschließen. Werden die ersten 5 Jahre ausgelassen, dann ist das Hauptresultat 487 Sterbefälle gegen 401 nach der Be- rechnung, also wiederum aller Wahrscheinlichkeit nach eine nicht unwesentliche Übersterblichkeit. Nach ähnlichen Prinzipien hat auch Weinberg‘) in einer Untersuchung, die im wesentlichen auf den vorzüglichen württembergischen Familienregistern fußt, ge- arbeitet. Man könnte fragen, ob man nicht vielleicht die Beobachtungsperiode früher beginnen könne. In der Regel wird dies jedoch weniger empfehlenswert sein. Die Abweichungen in der Sterblichkeit werden sich dann wahrscheinlich als zu klein erweisen, weil die Beobachtungen noch mehr gemischt werden, als wenn man seinen Ausgangspunkt in dem Zeitpunkt nimmt, wo die erste Kenntnis des Vorhandenseins der Schwindsucht vorliegt. Als Beispiel einer solchen Methode läßt sich das großzügig angelegte Werk über die Erfahrungen auf Grund der Leipziger Ortskrankenkasse?) anführen. Wenn ein Mitglied im Laufe der Beobachtungsperiode vom Arzt in der Krankenkarte als Alkoholiker bezeichnet wird, dann findet es für die ganze Periode in dieser Gruppe Aufnahme. Man erhält damit offenbar keine ganz homo- genen Beobachtungen; denn es ist möglich, daß einige Alkoholiker im Laufe der Beobachtungsperiode nicht krank und daher nach der praktisierten Methode der Gruppe der Nicht-Alkoholiker zugerechnet werden, so daß also die Gruppe der Alkoholiker einen allzu ungünstigen Eindruck erwecken muß. Andererseits hat man Mitglieder, die viel- leicht eine Zeitlang maßhaltend und gesund gelebt haben, mitgerechnet. Überhaupt sind also die Zahlen mit Vorbehalt zu verwenden. In der oben erwähnten Arbeit Weinbergs wird die Frage der Sterblichkeit in tuberkulösen Familien (a. a. O. S. 111) untersucht, indem festgestellt wird, wieviele von insgesamt 6322 Kindern, deren Väter an der Schwindsucht starben, das 20. Lebensjahr überlebt haben. Das Gesamtergebnis (von Wanderungen ist abgesehen) ist 3379, 1) Die Kinder der Tuberkulösen, 1913. ?) Krankheits- und Sterblichkeitsverhältnisse in der Ortskrankenkasse für Leipzig und Umgegend, I, 1910, S. 190 £. H45 d. h. 534%. Weinberg teilt dann die Kinder nach der Geburts- nummer in zwei gleich große Abteilungen, indem er, wenn die Kinderzahl ungerade ist, das mittlere Kind zur Hälfte jeder Klasse zurechnet. Und nach englischem Muster stellt er dann folgende Tafel auf: Das 20. Lebensjahr überlebten een zusammen 1372,5 3161 1570,5 3161 2943,0 6322 ältere Hälfte der Kinder jüngere ,„ ” 1788,5 , 1590,5 Zusammen 33790 Mit Hilfe einer Formel Pearsons zur Berechnung des Korre- ‚ationskoeffizienten für nicht-quantitative Größen findet Weinberg dann eine schwache Verbindung zwischen diesen vier Zahlen. Diese Berechnung ist jedoch augenscheinlich recht überflüssig. Man er- mittelt auf rein elementarem Wege, daß von der älteren Hälfte der Kinder ungefähr 566°%,7, von der jüngeren dagegen nur 503 %/o das 20. Lebensjahr überlebten, und man darf daher behaupten, daß Ursachen eingewirkt haben, die die Prognose für die später Ge- borenen ungünstiger als für die erste Hälfte der Kinder gestalten. Aufgaben, bei denen es sich wie im Vorhergehenden um den Zusammenhang zwischen nicht-quantitativen Eigenschaften (über- lebende und nicht-überlebende, die eine oder die andere Hälfte der Kinder) handelt, kommen häufig in der Erblichkeitsforschung vor. Beispielsweise hat auch Pearson den Zusammenhang zwischen dem Temperament der Geschwister!) untersucht, indem er nach einer ähnlichen Formel wie der oben erwähnten einen Korrelations- koeffizienten als Ausdruck für den Grad des Zusammenhangs be- rechnete. Ein solches Verfahren ist, wie bereits im $ 146 erwähnt, von der Möglichkeit abhängig, die betrachteten Eigenschaften numerisch ausdrücken zu können, und daher auch nicht durchführbar, ohne daß man eine Numerierung des Temperamentsgrades nach solchen Prin- zipien, wie sie im $ 336 in Verbindung mit der Besprechung der Haar- und Augenfarbe erwähnt werden, vornimmt. Da sich die Aufgabe indes ebensogut nach der Methode der erwarteten Anzahl 2\ !) On the inheritance of mental and moral characters in man. Biometrika [1I, 1904. ’) Vgl. H. Westergaard, Scope and method of statistics. Quarterly publications of the American Stat, Association, vol. 15, Boston 1916, p. 274 Westergaard und Nvbolle. Theorie der Statistik. 2. Autl. 95 546 behandeln läßt, empfiehlt sich auch hier die Anwendung dieses weit elementareren Verfahrens. Man hat keine Verwendung für die mehr oder weniger willkürliche Numerierung, durch die man sich der Ge- fahr aussetzt, den Überblick über die Beobachtungen zu verlieren, und kann sich mit wenigeren und einfacheren Berechnungen begnügen. Anders liegen die Dinge selbstverständlich, wenn sich die unter- suchten Eigenschaften auf eine natürliche Art und Weise zahlen- mäßig ausdrücken lassen oder geradezu numerisch gegeben sind, z. B. wenn es sich um die Korrelation zwischen dem Kopfindex von Vater und Sohn (oder um die im $ 190 erwähnten Aufgaben) handelt. Man kann dann die Beobachtungen nach der Größe des Kopfindex des Vaters ordnen und nach dem Durchschnitt für die Söhne jeder Gruppe sowie nach der Verteilung der KEinzelbeob- achtungen fragen. Berechnet man außerdem den Korrelations- koeffizienten, dann ergibt sich ein neuer Ausdruck für den Zusammen- hang. In der Regel wird man jedoch hier oft dazu genötigt sein, die Zahlen einer näheren Prüfung zu unterziehen und sich nicht auf eine Berechnung des Korrelationskoeffizienten sowie einer an- nähernden Formel für die Regression beschränken können. 350. Als Beispiel hierfür mag das folgende, das ebenfalls auf Pearson!) zurückgeht und die Fruchtbarkeit in zwei aufeinander- folgenden Generationen verheirateter Frauen der britischen Pair- schaft betrifft, dienen. Es wurden 1000 Frauen mit mindestens je einer Tochter und für jede dieser wiederum eine verheiratete Tochter ausgewählt. Die 1000 Töchter verteilte man dann nach der Anzahl der eigenen Kinder (x) und nach der Anzahl der Kinder ihrer Mütter (y). Das Resultat geht aus der Tabelle 55?) hervor, in der ebenfalls die gesamte Kinderzahl berechnet ist, die sich aus den Verteilungen nach der Kinderzahl in jeder der Reihen und Ko- lonnen der Tabelle ergibt und aus der man wiederum die von y ‘resp. x) bedingten Durchschnitte (Regressionszahlen) mittels einer Division durch die entsprechende Anzahl von Müttern (resp. Töchtern) finden kann. ı) K. Pearson, Mathematical contributions to the theory of evolution, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Ser. A, Vol. 192 London 1899, S. 257; vgl. G. U. Yule, An introduetion to the theory of sta- tistics, 5th edit., London 1919, S. 161. ?) K. Pearson, a. a. O0. S. 319. 547 Tabelle 55. L000 Töchter, nach der Anzahl von eigenen Kindern (x) verteilt, und die Anzahl von Kindern ihrer Mütter (y). (y) Iindarsckl Aa- \o-hter Zus. Anzahl Kinder wn y 3574 531 572 515 530 146 388 267 138 0° FE. Lö 16 Zus. Anzahl | = Kinder | 593,599 Aus einer Betrachtung der 53 Töchter, deren Mütter nur eine Tochter gehabt haben (y = 1), erhellt, daß diese Töchter durchschnittlich a =82 Kinder geboren haben. Überhaupt erhält man für die lurch verschiedene Werte von y bedingten Durchschnitte folgende Zahlen: Altere Generation ı Kind 2 Kinder 3—4 Kinder 5—6 - (- 8 » 3-10 „ mehr als 10 Kinder Jüngere Generation durchschnittl ” Kinder Jar Die Zahlen zeigen einen deutlichen Zusammenhang zwischen der Kinderzahl der Mütter und der der Töchter, welche Erklärung öhysiologischer oder sonstiger Art man auch immer dafür geben möge. Während die hier betrachtete Regressionskurve fast gerade ist, wird die zweite kaum als linear angesprochen werden können. Eine wie im $ 268 vorgenommene Ausgleichung mit anschließender Be- rechnung des Korrelationskoeffizienten gibt daher kein besonders Q5* 548 deutliches Bild vom Zusammenhang. Nicht einmal die durchschnitt- liche Kinderzahl in sämtlichen Mutter- und Tochtergenerationen (die Durchschnitte der marginalen Verteilungen), jeweils 5,898 und 4,335, die auf eine abnehmende Fruchtbarkeit zu deuten scheinen, können als unmittelbar vergleichbar betrachtet werden. Aus der Tabelle geht nämlich erstens hervor, daß die Tochter- generation 110 sterile Ehen hat und daß die sterilen Ehen der ersten Generation nicht berücksichtigt sind. Ferner hat, im Gegensatz zur zweiten, die erste Generation keine Ehen, wo nur Knaben gezeugt wurden. Um die Zahlen homogen zu gestalten, muß man sie also erst ergänzen. Gehen wir davon aus, daß man vom Knabenüberschuß bei den Geborenen absehen und mit einem Sexualverhältnis von 4, was nur einen unbedeutenden Fehler verursacht, rechnen kann. In der Mutter- generation sind nun 53 Ehen mit nur 1 Kind (Tochter); zu dieser Generation sind also etwa 53 Ehen mit je 1 Knaben hinzuzufügen. 57 Ehen hatten 2 Kinder mit mindestens 1 Tochter. Die Wahr- scheinlichkeit dafür, daß beide Kinder in einer Ehe mit 2 Kindern männlichen Geschlechts sind, kann zu (4)? und dafür, daß wenigstens eines der Kinder ein Mädchen ist, also zu } gesetzt werden (vgl. $ 101). Da diese drei Viertel sämtlicher Ehen mit 2 Kindern nach der Tabelle 57 betragen sollten, ist diese Zahl durch 19 Ehen mit je 2 Knaben zu vermehren. Betrachtet man im allgemeinen Ehen mit x Kindern, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß diese x Kinder sämtlich Knaben sind, ungefähr gleich (3)*, und die Wahr- scheinlichkeit dafür, daß sich mindestens 1 Mädchen findet, wird dann 1 (= A Wenn dieser Bruchteil n Ehen ausmacht, muß die Gesamtzahl der Ehen mit x Kindern also gleich n- > 1 werden. Zu der gegebenen Anzahl n sind folglich 5 Ehen mit x Knaben zu legen. Im ganzen erhält man auf diese Weise 103 Ehen mehr, also insgesamt 1103, und da ferner in der Tochtergeneration 11°%, der Ehen steril waren, also nur 89%, Kinder zeugten, so ergibt sich, wenn man für die Muttergeneration mit einem ähnlichen Zahlen- verhältnis rechnet (d.h. daß 1103 Ehen mit Kindern 89%, sämtlicher Ehen betragen), eine Zulage von En .‚11==136 kinderlose Ehen, 549 also insgesamt 1239 Ehen in der Muttergeneration, welche Anzahl den 1000 Ehen der Tochtergeneration entspricht und sich nach obigen Ausführungen nach der Kinderzahl, wie folgt, verteilt: — Z——— ) Kinder Kind Zinder Khen Zahl der Ti nder 736 "ipde- Zusammen | Zahl der Kinder Ehen b54 520 275 264 130 28 15 16 | 6111 1239 Wird aus dieser Verteilung die gesamte Kinderzahl der Mutter- generation berechnet, so ergibt sich, wie angeführt, 6111, also durch- schnittlich 4,9 Kinder pro Ehe, welche Zahl dem Durchschnitt von 4,3 der Tochtergeneration erheblich viel näher liegt. Aber auch diese Zahlen können nicht als homogen betrachtet werden. Da jeder Ehe der Muttergeneration nur eine Tochter entnommen wurde, müssen in der Tochtergeneration verhältnismäßig wenige Frauen sein, die von großer Kinderzahl abstammen. Betrachtet man sämt- liche 6111 Kinder, die in den 1239 Ehen der Muttergeneration ge- zeugt werden, dann läßt sich mittels der Methode der erwarteten Anzahl finden, wieviele Kinder erwartungsgemäß auf diese 6111 wieder entfallen werden, indem man nach den oben gefundenen Re- sultaten voraussetzt, daß Personen ohne Geschwister durchschnittlich 3,2 Kinder, Personen aus Ehen mit 2 Kindern durchschnittlich 3,5 Kinder bekommen, und so fort. Die gesuchte Anzahl wird also 106 - 3,2 + 152 - 3,5 + 342 - 3,7 + 564 -4,0 +...... woraus sich eine Kinderzahl von insgesamt 28102 oder durch- schnittlich 4,6 Kinder für jede der 6111 Personen ergibt. Der Unter- schied ist also noch kleiner und wesentlich geringer als beim ersten Augenschein geworden. Unter der Voraussetzung, daß jede Tochter, ohne Rücksicht auf lie Zahl ihrer Geschwister, durchschnittlich 4,3 Kinder (dies ist der Durchschnitt für sämtliche 1000 Töchter) bekäme, würde man zum Vergleich mit der faktischen Anzahl folgende erwartete Anzahl be- kommen: 550 Die Mutter hatte | Zaht der ‚— Zahl der Töchterkinder Töchter } faktisch _ | Orwartet a a 2 b 0,73 0,81 0,90 0,95 1,10 1,18 1,31 1,00 Hieraus geht unmittelbar hervor, daß die Fruchtbarkeit unter Töchtern aus Ehen mit wenigen Kindern um ein Erhebliches ge- ringer ist als unter Töchtern aus kinderreichen Ehen. Bei einer solchen Berechnung hat man auch gleichzeitig den Umfang des Materials vor Augen, da sich die mittleren Fehler der erwarteten Zahlen leicht berechnen lassen. Da der benutzte Durchschnitt von 4,3 Kindern pro Tochter gleich der mittleren Zahl in der marginalen Verteilung zuunterst in der Tabelle 55 (die Verteilung der Töchter nach der Kinderzahl) ist und man für den mittleren Fehler in dieser Ver- teilung etwa 3 findet, so wird der mittlere Fehler des Durchschnitts etwa gleich 7an58 = 00, woraus sich dann leicht die mittleren Fehler der erwarteten Zahlen bestimmen lassen. Die Unsicherheit ist recht bedeutend, da jede der betrachteten Gruppen sowohl Ehen mit vielen als mit wenigen Kindern hat. Die oben erwähnte Be- rechnung des Korrelationskoeffizienten gibt auch nur den Wert 0,21. 351. Manche neueren Untersuchungen gehen darauf hinaus, die Erblichkeit zu untersuchen; dies geschieht nicht durch Zusammen- stellung von Beobachtungen über Familien, die als Vertreter irgend- einer Gruppe gelten können, sondern durch Beleuchtung eines einseitigen Materials. Wenn man eine Sammlung von Familienbeobachtungen zur Verfügung hat, kann man die einzelnen Mitglieder verfolgen und, falls das Beobachtungsmaterial hin- länglich umfangreich ist, durchaus unzweideutige Schlüsse ziehen, indem irgendein Gesichtspunkt gewählt und danach die Gruppierung der Beobachtungen vorgenommen wird. So z. B. wenn man oben auf S. 544 die Familien, innerhalb deren ein Sterbefall an Schwind- sucht eingetroffen war, aussuchte und von diesem Augenblick an der Beobachtung unterzöge. Mitunter aber treten losgelöste Tat- sachen. die eine besondere Behandlung erfordern, in die Erscheinung, h51 so z. B. wenn man die Schwindsuchtspatienten, Irren und Epilep- tiker, die in Sanatorien oder anderen Anstalten Aufnahme gefunden haben, zählt und sie danach nach der Geburtsnummer oder anderen Momenten gliedert!). Hier handelt es sich augenscheinlich um ein einseitiges Material, da man die Gruppe nicht kennt, von der diese Patienten stammen. Zur Beleuchtung der Schwierigkeiten, die die Behandlung eines solchen Materials bieten kann, sei beispielsweise eine dänische Sta- tistik über Tuberkulosepatienten erwähnt, bei der es sich vor allem darum handelte, die Bedeutung der Geburtsnummer als disponieren- des Moment bei der Lungenschwindsucht?) zu untersuchen. ‚Jede erkrankte Person wurde u. a. danach gefragt, wieviele Geschwister sie habe und wieviele dieser älter als der Patient selbst seien. Die Statistik umfaßte 3522 Patienten, die sich auf Grund der gegebenen Mitteilungen ohne weiteres außer nach der eigenen Ge- burtsnummer des Patienten zugleich nach der Größe des Geschwister- kreises verteilen lassen. Das Resultat erhellt aus der Tabelle 56. Tabelle 56. "i-darzahl de- Ehen. Geburts- aummer 11 und / darüber Zus. PS 715 568 427 271 198 11> 81 46 4& {IL und larüber Zus. PA, Iu. € AUE. _69 9206 | 359292 Wenn nun jede dieser 3522 erkrankten Personen eine von 3522 Familien vertritt — was allerdings kaum ganz richtig ist, da mehrere Patienten derselben Familie angehören können — ist das Er- ‘x Siehe z. B. Karl Pearson, On the handicapping of the first-born. London 1914. 2?) Soren Hansen: Om de forstefodte Borns ringere Kvalitet. Medde- lelser om Danmarks Antronologi. II. Bd. Kobenharvn., 1913. 5592 gebnis dies, daß die 988 erstgeborenen Tuberkulosenpatienten von insgesamt 3522 Erstgeborenen, die 713 als Nr. 2 geborenen von ins- gesamt 3522 — 178 = 3344 Zweitgeburten, die 568 von 3344 — 301 = 3043 Drittgeburten gezeugt wurden, und so fort. Im ganzen er- hält man folgende Zahlen: Geburts- nummer Gesamtzahl der Kinder Hiervon als tuberkulös registriert 592 28 3344 713 3043 68 2619 27 2161 A71 1731 198 ‚296 113 962 L1 ) 636 46 10 445 48 11 und mehr ı 841 69 Zusammen | 20600 | 3522 d.-h. in A y a „ 7 m Die letzte Kolonne verleitet uns leicht zu dem Schluß, daß die Erstgeburten der Erkrankung an Schwindsucht viel mehr ausgesetzt sind als die später Geborenen. Die Art und Weise, in der die Gesamtzahl der Kinder in voranstehender Berechnung lediglich auf Grund der Verteilung der als tuberkulös registrierten gefunden ist, ähnelt gewissermaßen dem im $ 298 erwähnten Verfahren, mittels dessen Halley allein mit Hilfe der Altersgliederung der Verstor- benen die der Lebenden und damit die Sterblichkeit auf den ver- schiedenen Altersstufen zu finden versuchte. Und im allgemeinen kann man nicht damit rechnen, bei dieser Methode homogene Zahlen zu erhalten, also nicht damit rechnen, daß die in der Kolonne „Ge- samtzahl der Kinder“ angeführten Zahlen die Menge (Verteilung des Bestandes nach der Geburtsnummer) angeben, aus der die als tuber- kulös Registrierten tatsächlich hervorgegangen sind, Daß das angewandte Verfahren aus rein formellen Gründen schon im voraus dahin tendieren muß, in allen Fällen eine mit wachsender Geburtsnanummer abnehmende Prozentreihe von Ange- griffenen hervorzubringen, läßt sich durch die folgende Betrachtung veranschaulichen, bei der man, um einen geeigneten Ausdruck für die wahrscheinliche Gliederung der Patienten nach Geschwisterzah!l und Geburtsnummer zu erhalten, die auf Grund des Volkszählungs- 553 materials aus dem Jahre 1901 ausgearbeitete Statistik der Ehen!) benutzt hat, nach der sich die in Kopenhagen gezählten Familien, in denen die Ehe mindestens 25 Jahre bestanden hatte, nach der Zahl der in diesen Ehen geborenen Kinder folgendermaßen verteilten: ——_—— Familien mit i Kind *” Kinde-- mamilien Zahl der Kinder ns N + Familien mit Zahl der Familien | Kinder \ Kind--n 2” 2 2» ” ” d od. mehr 387 293 242 156 104 70 107 l 3522 Zusammen | 606 Die Zahl der verteilten Familien (606) ist hier so gewählt, daß gerade 3522 Kinder vertreten werden. Wenn diese, wie oben, auf einmal nach Geburtsnummer und Geschwisterzahl verteilt werden. ergibt sich Tabelle 57: Tabelle 57 Geburts- aAummer Zinderzahl der Ehen > ! Sn in über ‚uf A} über 1(' Zu8 1} An 2 n r ‚206 a Po Dt ‚679 53 136 265 301 235 E. 35929 Unter der Voraussetzung, daß der Gesundheitszustand für sämt- liche Kinder gleich und die Anzahl von Kranken daher den in der Tabelle angeführten Zahlen proportional ist, wird man, wenn, wie oben, für jeden Patienten die Geschwisterzahl erfragt und diese als dem Beobachtungsmaterial zugehörig betrachtet wird, trotz der 1) Statistiske Meddelelser 4. Rk., 18. Bind, 1. Hefte: AEgteskabestatistik. Kobenhayvn 1905. S 4. 554 Annahme die folgenden Zahlen zur Beleuchtung des Krankheitsgrades nach der Geburtsnummer erhalten: Geburts- nummer Gesamtzahl der Kinder > D; 47 Pr « "u 62 2378 2558 2162 1756 Hiervon | Kranken- krank prozent 306 559 503 436 365 301 235 177 72 5,9 14,9 13,8 12,7 “17 “8 10.1 Der von den Prozenten der als tuberkulös Registrierten aufge- wiesene Verlauf muß also teilweise den besonderen Bedingungen, unter denen die Statistik erhoben ist, zuzuschreiben sein. Es ist ebenfalls klar, daß man, wenn in einer Bevölkerung sämtliche Fa- milien mit tuberkulösen Mitgliedern aufgezeichnet werden, verhältnis- mäßig mehr Familien mit zwei oder mehr Kindern als mit nur einem Kind (vgl. die Tabellen 56 und 57) finden wird; und in Familien Jetztgenannter Art werden sämtliche Kinder von der Krankheit be- fallen sein, im Gegensatz zu den Familien mit zwei oder mehr Kindern. 352. Wenn man nun zwar nicht völlig rationell die Abhängig- keit des Tuberkulosenprozents von der Geburtsanummer berechnen kann, weil das Material keinerlei Auskunft über die Kinderzahl, aus der die als tuberkulös Registrierten hervorgegangen sind, gibt, läßt sich doch folgendermaßen ein verbesserter Ausdruck für die Bedeu- tung der Geburtsnummer beschaffen: Will man nämlich die Verhält- nisse bei Erstgeburten und Zweitgeburten miteinander vergleichen, dann kann man von den 178 Familien mit nur einem Kind ganz absehen, so daß eine Anzahl von Familien mit mindestens zwei Kin- dern übrig bleibt. Von den KErstgeburten dieser Familien sind 988 — 178 = 810 erkrankt, während nur 713 der von denselben Fa- milien als Nummer 2 gezeugten Kinder von der Krankheit befallen sind. Wenn man die als Nummer 2 und 3 Geborenen vergleichen will, dann kann man ferner außer von den 178 Familien mit nur 1 Kind von den 301 Familien mit zwei Kindern absehen und erhält dann eine Anzahl Familien mit mindestens 3 Kindern. Von den von diesen Familien als Nummer 2 Geborenen sind 713 — 146 = 567 krank. während 568 der von denselben Familien als Nummer 3 ge- 555 borenen Kindern von der Krankheit befallen sind. fort, dann ergeben sich im ganzen folgende Zahlen: MM der Erkrankten bzw {| 7 Fährt man so ? —J Zw Der Unterschied zwischen den Zahlen der Kolonnen a und b st nicht mehr auffallend groß; im Durchschnitt sind die Zahlen jer ersten Kolonne 4%, größer als die der zweiten, was darauf leuten sollte, daß die früher geborenen Kinder etwas häufiger als lie später geborenen Kinder von Tuberkulose befallen werden. Jeden- falls ein Teil des Unterschieds aber ist immer noch formell, da die Zahlen auch hier nicht homogen sind. Um dies einzusehen, kann man sich der Einfachheit halber vorstellen, daß jede tuberkulöse Person in ihrem 30. Lebensjahre der Beobachtung unterzogen wird und daß die Beobachtung im Jahre 1910 durchgeführt worden ist. Die 81 Personen, die als Nummer 6 in Familien mit 6 Kindern gezeugt worden sind, haben also etwa im Jahre 1880 das Licht der Welt erblickt; das gleiche gilt hinsichtlich der 74 in derselben Fa- miliengruppe gezeugten Erstgeburten. Aber die betreffenden Ehen wurden zu verschiedenen Zeiten geschlossen, angenommen in den Jahren 1869 und 1879. Vermutlich werden dann zahlreichere Beob- achtungen hinsichtlich der im Jahre 1879 als der 1869 eingegangenen Ehen vorliegen, und zwar aus dem einfachen Grunde, weil die Be- völkerung in dieser Zeit recht erheblich gewachsen ist. Der Unter- schied der Zahlen der Kolonnen a und b wäre also noch mehr zu reduzieren, Es geht aus diesen Betrachtungen hervor, wie kompliziert die anscheinend einfache Frage nach dem Einfluß der Geburtsnummer ist, wenn man nicht über ein nach allen Richtungen hin durchsich- tiges Material, in dem sich die Zahlenreihen vollständig homogen gestalten lassen, verfügt. Das hier betrachtete Material leidet unter genau denselben Mängeln wie ein einseitiges, den Büchern eines Krankenhauses entnommenes über Sterbefälle oder Krankheiten. Sollen solche Schwierigkeiten überwunden werden, dann kann man z. B. 556 eine Anzahl von Familienaufzeichnungen sammeln — wie es Ansell in seinen berühmten Statistics of Families (1874) tat oder wie es hinsichtlich der württembergischen Familienregister der Fall war —, die das Schicksal einzelner Familienmitglieder verfolgen. Hier ist ein weites Forschungsgebiet. Vielleicht wird man gar oft enttäuscht werden, da manche Resultate nur negativer Natur sind; zweifelhaft dürfte es z. B. sein, ob die behauptete größere Häufig- keit der Idiotie bei Erstgeburten vor einer strengen Kritik wird weiter bestehen können. 359. Eine Aufgabe von großer Bedeutung in der Erblichkeits- forschung kann übrigens gerade, wie folgt, formuliert werden: Wenn man bei einem Mitglied eines Geschwisterkreises irgendeine Ab- normität feststellt, welches ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, daß auch die übrigen Mitglieder an dieser Abnormität leiden werden? Als Beispiel geben wir die folgende Tabelle, welche die Verteilung von 459 Familien mit taubstummen Familienmitgliedern nach der Kinderzahl der Familien und die Zahl der taubstummen Kinder angibt ?). Kinderzahl | Zahl der Taubstummen jeder Familie | Zus. | der Familien: —— Familien | me m 1 > r 9 27 59 76 831 92 SQ 44 61 33 47 26 44 il 19 25 12 und darüber | 14 | = N 20 33 Zusammen | 369 | 50 | 21 | 15 459 | 615 Anstatt wie Schuster mittels komplizierter Berechnungen die Be- schaffenheit der in dieser Tabelle ausgedrückten Korrelation zu unter- suchen, kann man in folgender einfachen Weise einen Minimums- ausdruck für die gesuchte Taubstummenfrequenz erhalten. Nehmen wir an, daß das älteste taubstumme Kind auch zugleich das erst- geborene ist, daß also alle übrigen Kinder der Familie nach diesem geboren sind, und fragen wir dann ferner, wie oft die Taubstumm- heit bei diesen übrigen auftritt, dann muß man die 10 Familien ” Vgl. E. Schuster, Hereditary deafness. Biometrika IV, 1905—06. ) v3 7 5357 mit nur 1 Kind, die zur Beantwortung nicht beitragen können, un- berücksichtigt lassen. Die 25 Familien mit 2 Kindern haben 25-1=25 Kinder, die als Nummer 2 geboren wurden, unter welchen 2 taub- stumm sind; die 53 mit 3 Kindern haben 53-2 = 106 als Nummer 2 der später geborene Kinder, unter denen 6 taubstumm sind, und so fort. Im ganzen erhält man folgende Zahlen: Familien mit Zahl der Familien Außer den Erstgeburten waren an Kindern vorhanden Hiervon waren taubstumm 0/ 2 Kindern 14 195 244 710 246 308 264 234 L90 ), ” L 76 5 LO Ta 12 oder mehr Kindern 262 5,0 Zusammen | 449 | 2384 \ 156 | 6,5 Es ist klar, daß man mittels dieser Aufstellung einen allzu geringen Effekt erzielt; denn sämtliche Kinder, die vor der Geburt des ersten taubstummen Kindes das Licht der Welt erblickten, sind in Wirklichkeit normal (vgl. den $ 349 über die Wirkung des Alkoholismus nach Beobachtungen der Krankenkassen), Wenn ein Kind taubstumm ist, wird die Taubstummenfrequenz seiner späteren Geschwister wenigstens 6!/, % betragen, und da die Taubstummheit in der gewöhnlichen Bevölkerung eine so geringe Frequenz hat, daß sie als seltene Ausnahme bezeichnet werden kann, legen die Zahlen sein Zeugnis für eine starke Ursachenverbindung ab. 354. Weinberg schlägt eine Methode vor, vermöge deren man bei dieser Art von Aufgaben der Wahrheit näher kommen sollte !), Wenn z. B. in einer Familie mit 6 Kindern 3 taubstumm sind, Jann ist jedes von diesen als eine selbständige Beobachtung für sich, jedes mit 5 Geschwistern, aufzufassen, so daß man also insgesamt L5 Geschwister neben 3 taubstummen Kindern hat. Wendet man diese Berechnung auf die oben benutzten Beobachtungen an, dann ‘) Beiträge zur Theorie der Vererbung. 4. Über Methode und Fehlerquellen der Untersuchung auf Mendelsche Zahlen beim Menschen. Archiv für Rassen- und Gesellschaftsbiologie, 1912. 558 — erhält man im ganzen 615 taubstumme Kinder und 3398 Geschwister; unter letzteren waren 518 oder 15%, taubstumme. Bei dieser Be- rechnung muß an die Tatsache erinnert werden, daß man insgesamt nur 459 Familien mit taubstummen Kindern der Beobachtung unterzogen hat, daß man also eine Familie mit mehreren dieser Art von Kindern mehr als einmal zum Gegenstand der Beobachtung macht, was bei der Berechnung des mittleren Fehlers von Bedeutung ist. Wenn man sich an wirkliche Beobachtungen halten kann, dann wird das vorzuziehen sein. Das folgende Beispiel ist Lundborgs schwe- dischen Familienforschungen !) entnommen. Es handelt sich um die sogenannte Myoklonus-Epilepsie, und zwar um 17 Fälle in 9 verschiedenen Familien. Insgesamt wurden in diesen Familien 74 Kinder geboren, unter diesen aber waren 20 vor der Erreichung des zehnten Lebensjahres gestorben und daher ausgelassen. Netto- . . N Nummer Ann aAbl davon Gesundheitszustand der Kinder nach ihrer Nummer DAS vonKin-| krank | (die kranken mit einem X bezeichnet) amuılle dern 7181| 9 | 9 a BA \ 7) ] Nach dem Weinbergschen Schema gelangt man nun zu folgender Übersicht‘ Zus. | 54 al Erfahrungen über rezessive Kinder Nummer der Familie Gesamtzahl der Geschwister I davon krank » Dt ı1-0=0 9.1=2 5.2=6 0=0 9 —=2 „9 a] vV Zusammen 20 = N ° SC. X 3 F CC. 1S 10 bi h 18 IN ) 559 Die relative Häufigkeit der Krankheit unter den Geschwistern der Kranken ist somit 20 : 88 — 23%. Wenn man jedoch nur die Ge- schwister derjenigen Kinder, die nach dem ersten kranken Kinde geboren wurden, der Beobachtung unterzieht, ist das Ergebnis ganz einfach folgendes: 5 Geschwister, von denen 2 krank Zusammen + Diese Rechenmethode gibt ebenfalls als Resultat, daß etwa ein Viertel der Kinder krank sind. Nach ganz ähnlichen Prinzipien wie den hier beschriebenen kann man die Frage der Erblichkeit in Ehen zwischen Bluts- verwandten behandeln. Man kann die Ehen nach dem Verlust ihrer Ahnen gruppieren und dann weiter untersuchen, wie oft sich Geistesschwäche oder andere Abnormität unter den Kindern bemerkbar macht, indem man dann speziell auf die Häufigkeit von Wiederholungen sein Augenmerk richtet, wo also zwei oder mehr Kinder betroffen sind. Häufig wird man sich übrigens, wie über- haupt in der KErblichkeitslehre, mit ganz wenigen Beobachtungen begnügen müssen, wenn die einzelnen Familien, bei deren Nach- kommenschaft eine Abnormität zu erwarten ist, beobachtet werden und dann gefragt wird, ob die betreffenden abnormen Verhältnisse in die Erscheinung getreten sind. In dieser Beziehung kommen besonders die von Mendel aufgestellten Theorien in Betracht, auf die wir an dieser Stelle nicht näher eingehen wollen; in den Schluß- bemerkungen aber werden sie erwähnt. C. Preis- und andere Indexzahlen. 355. Das Studium der Warenpreise hat von Zeit zu Zeit viele Versuche, einen Einheitsausdruck für die Bewegungen zu schaffen, hervorgerufen. Oft haben derartige Versuche jedenfalls mit einer Unklarheit des Wertbegriffs in Verbindung gestanden. Man wünschte eine Ware oder einen Wert zu finden, der stets sich selbst gleich war, so z. B. wenn man Getreide als Wertmesser anwenden oder 560 eine unveränderliche Wertgröße in der physischen, nicht gelernten Arbeit sehen wollte. Hinsichtlich dieser Verhältnisse hat nun zwar lange Klarheit geherrscht, aber die Frage drängt sich doch immer noch auf, wie sich die fortwährenden Bewegungen der mannigfaltigen, verschiedenen Warenpreise festhalten lassen. Da sich die Preise nicht nur von Zeit zu Zeit, sondern sogar innerhalb engerer Grenzen von Ort zu Ort verändern können, kann davon die Rede sein, den Stärkegrad der Preisbewegungen sowohl nach Zeit als auch nach Raum zu messen. Wenn es überhaupt möglich ist, die Preisbewegungen vieler Waren durch eine einzelne Zahl auszudrücken, dann kann man die Stärke der Preisbewegung hinsichtlich der Zeit leicht entweder durch eine Tabelle oder durch eine Kurve in einem Koordinatensystem mit der Zeit als Abszisse veranschaulichen. Anders verhält es sich mit der Stärke der Preis- bewegungen in bezug auf den Raum. Die Gebiete, in denen man seine Preisbeobachtungen anstellt, werden sich nur ausnahmsweise als Zahlen einer Koordinatenachse anordnen lassen. Die Gebiets- teilung wird sich im Gegenteil in der Regel wie ein qualitativer Einteilungsgrund verhalten, wie wenn man die Preise in verschiedenen Ländern, in verschiedenen Teilen eines Landes oder in den ver- schiedenen Vierteln einer Stadt miteinander vergleicht. In dieser Beziehung unterscheiden sich die Beobachtungen über Warenpreise nicht von so vielen anderen Beobachtungen. Über- haupt sei bemerkt, daß das im Vorhergehenden über die statistische Bearbeitung von Beobachtungen überhaupt Gesagte auch bei Be- obachtungen über Preise gelten muß. Wenn z. B. die für den Preis einer Ware vorliegenden Beobachtungen eine Verteilung aufweisen, die entweder sehr ungleichmäßig ist oder sogar mehr als einen Maximumspunkt ergibt, dann deutet, wie im $ 165 gesagt, das Vor- handensein solcher Unregelmäßigkeiten darauf hin, daß sich unter den Ursachen, die faktisch für die einzelne Preisbeobachtung ent- scheidend gewesen sind, eine oder mehrere finden, die bei geeigneter Teilung der Beobachtungen sich müssen ausscheiden lassen. Von den Gliederungen, die hierbei eventuell zu berücksichtigen sind, wird u. a. eine Einteilung nach der Zeit in Betracht kommen, wenn die Beobachtungen nicht gleichzeitig angestellt werden; auch müssen die Preisbeobachtungen, wenn sie von verschiedenen Gebieten oder Quellen stammen, in dieser Beziehung gegliedert werden, wie es z. B. mit Stadt- und Landpreisen usw. der Fall ist. Obgleich man natür- lich nicht im voraus Beobachtungen über Preise für ganz verschiedene 56_ Waren zusammenmischen wird, kann andererseits die Unsicherheit der Warenbezeichnung (Qualität) mit sich führen, daß eine solche Vermischung tatsächlich stattfindet und sich in einer kleineren oder größeren Unregelmäßigkeit in der Verteilung der Preise zu erkennen gibt, einer Unregelmäßigkeit, die sich nicht wird beseitigen lassen, ohne daß die Gliederung nach Waren (hierunter die Qualität) restlos iurchgeführt wird. 356. Es ist namentlich die Einteilung des Preismaterials nach Waren (Warengruppen), die dazu Veranlassung gibt, eine in der Regel sehr große Anzahl von Gruppen in Betracht zu ziehen. Und da diese Einteilung nur in den verhältnismäßig wenigen Fällen, wo 23s sich um Waren handelt, die sich gegenseitig substituieren können, zur Vergleichung der Preise Anlaß geben kann (da sich auf diese Weise die Preise zu einander entsprechenden Einheiten umrechnen lassen), so müssen die wesentlichsten Vergleiche den Preis derselben Ware an verschiedenen Orten oder zu verschiedenen Zeiten betreffen. Ob dieser Vergleich Anlaß dazu gibt, einen eventuell vorgefundenen Unterschied als lediglich zufällig oder durch Ursachen hervorgerufen anzusehen, die zwar in der einen, aber nicht in der anderen Gruppe auftreten, das ist bei Preisbeobachtungen genau so wie bei anderen Beobachtungen zu entscheiden (vgl. $ 162). Wenn man nun nicht nur die Preisverhältnisse einer einzelnen Ware berücksichtigt, sondern die Untersuchung auf eine große An- zahl von Waren ausdehnt, beispielsweise auf den Hauptteil solcher, lie entweder für die Wirtschaft eines Betriebs, einer Haushaltung oder einer ganzen Gesellschaft von Bedeutung sind, dann wird die in der Regel große Anzahl von Gruppen, mit der in solchem Falle nach Voranstehendem zu operieren ist, Nicht allein mit sich führen, laß die vielen Warengruppen in größerem oder geringerem Grade miteinander in Widerspruch geraten können, sondern auch den Überblick über die Preisbewegungen sämtlicher Waren lerschweren, selbst wenn diese in gleicher Richtung gehen. Diese Schwierigkeit ist es, der man mittels der Berechnung einer Preisindexzahl Herr zu werden sucht. 307%. Indem wir uns im wesentlichen darauf beschränken, im folgenden die Variation der Preise im Laufe der Zeit zu betrachten, xönnen wir uns damit begnügen, die Berechnung einer Preisindex- zahl auf Grund der in einem gegebenen Augenblick geltenden Preise zu betrachten. In der Praxis lassen sich solche Berechnungen mit Westergaard und Nybolle, Theorie der Statistik, 2. Autl. 26 562 gewissen Zwischenräumen durchführen und dabei gewisse Punkte der Preisindexkurve bestimmen, während alle übrigen Punkte dann durch Interpolation der direkt gefundenen bestimmt werden können, wenn diese letzteren hinlänglich dicht nebeneinander liegen. Selbstverständlich steht dem nichts im Wege, irgendeinen Durchschnitt der im Laufe einer Periode für jede Ware beobachteten Preise zugrunde zu legen, wodurch sich ein Ausdruck für die durchschnittliche Größe des Preisindex in dem betrachteten Zeitraum ergibt. Einen Ausdruck hierfür kann man sich indes auch auf dem Wege der Betrachtung der auf Grund von Augenblicks- preisen konstruierten Preisindexzahlen beschaffen. Wenn man sich die mit der Zeit erfolgende Variation der einzelnen Warenpreise oder des Preisindex als Kurven in ein Koordinatensystem ein- gezeichnet denkt, bestimmt sich der Durchschnitt der Preise oder des Preisindex einer Periode mittels einer Betrachtung der Flächen, die von den Kurven und den die Perioden abgrenzenden Ordinaten umschlossen werden (vgl. $ 244 und die Aufgaben 79 und 83). Zwei verschiedene Verfahren, die jedoch unter speziellen Vor- aussetzungen identisch sein können, stehen nun im wesentlichen für die Messung des Gesamtresultats der Preisveränderung einer größeren Anzahl von Waren zwischen den Zeiträumen t, und t zur Verfügung, wobei man 1) entweder zuerst mit der Berechnung eines Durchschnitts teils aus den in der Zeit t,, teils aus den in der Zeit t, beobachteten Preisen beginnen und danach einen zahlenmäßigen Ausdruck für die Ver- änderung, die die gefundenen Durchschnitte aufweisen, zu geben versuchen kann, oder 2) zuerst für jede einzelne Ware einen zahlenmäßigen Ausdruck für die Größe der Preisveränderung von t, zu t, suchen und danach einen Durchschnitt aus sämtlichen auf diese Weise ermittelten Zahlen bilden kann. 338. Die erste Methode ist die einfachere. Wenn man in einem gegebenen Augenblick die Preise Pı, Pa, Pa--<<-«Dn für insgesamt n Waren, Vi, Var Var... 00- Va, beobachtet hat, dann läßt sich aus den beobachteten Preisen der einfache Durchschnitt DS tms Po) = 7 Ep 563 bilden. Oder man kann, um die Willkür hinsichtlich der Einheiten, denen die Preise gelten, zu vermeiden, gewogene Durchschnitte vgl. $ 269) benutzen, indem man für die einzelnen Waren die Ge- wichte qı, 92, 93 --....CGqn einführt und die Durchschnitte, wie folgt, berechnet: p— 9ıPı + Q2Pr-t......AuPn__ SQp-, di + G2-++.-.Qn Zq In dieser Form wird die Berechnung einer Zahl p, die die durchschnittliche Höhe der Preise zu dem gegebenen Zeitpunkt aus- drückt, nur eine spezielle Anwendung der Methode der erwarteten Anzahl, was bereits im $ 346 erwähnt wurde. Der Zähler P= Xqp im Ausdruck für p gibt von diesem Gesichtspunkt aus ganz einfach an, was eine Warenmenge aus q, Einheiten der Ware V,, aus qı Einheiten der Ware V, usw. bei den zu dem gegebenen Zeitpunkt geltenden Preisen erwartungsgemäß kosten wird. Die Verteilung der gesamten Warenmenge nach den Warengattungen V,, Vo, Va...... die durch die Gewichte q,, q», Gs-..... ausgedrückt werden, wird also als Standardverteilung benutzt. Und wenn die für jede Ware benutzten Preise als Durchschnitte aus mehreren Beobachtungen mit teilweise verschiedenem Ausfall hervorgegangen sind, dann wird man (wie bei anderen Verwendungen der Methode der erwarteten Anzahl) bei der Berechnung des mittleren Fehlers einen Ausdruck für die Unsicherheit finden können, die der Berechnung des Preises der einzelnen Ware und damit des Preises P der gesamten Waren- menge anhaftet (vgl. $ 344). 309. Die Methode hat den sehr wesentlichen Vorteil, daß man, wenn die einer Reihe von verschiedenen Zeitpunkten entsprechenden Durchschnitte p erst berechuet sind, hinsichtlich der Weise, in der man den gefundenen Verschiedenheiten zahlenmäßigen Ausdruck verleihen will, ganz frei gestellt ist. Wenn man, wie oben erwähnt, die für verschiedene Zeitpunkte gefundenen Preisdurchschnitte p als Ordinaten in ein Koordinatensystem mit der Zeit als Abszisse einträgt und die dabei bestimmten Punkte mit einer passenden Inter- polationskurve verbindet, dann wird diese Kurve im allgemeinen ein überaus anschauliches Bild der Tendenz der Preisbewegungen ergeben. Hierbei kann man auch von dem sämtlichen Preisdurch- schnitten gemeinsamen Divisor Xq absehen und lediglich mit dem Zähler P, d.h. mit dem erwarteten Preis für sämtliche betrachteten Waren oder mit beliebigen anderen Zahlen, die diesen Zählern pro- nortional sind, operieren. {+ 564 Um eine solche Umrechnung handelt es sich gerade, wenn man mehr oder weniger willkürlich den einem der betrachteten Zeitpunkte entsprechenden Durchschnitt p oder den demselben Zeitpunkt ent- sprechenden Gesamtpreis P als Basis wählt und danach — eben- falls willkürlich, aber als etwas Naheliegendes — die zwischen dem Basiszeitpunkt t, und einem in der Regel späteren Zeitpunkt t, er- folgte Preisveränderung entweder durch das Verhältnis ‘*) _—_ P u =— P, zwischen dem zur Zeit t, erwarteten Preis für die ganze Waren- menge und dem um den Basiszeitpunkt t, berechneten Preis für dieselbe Warenmenge oder durch das Verhältnis P.,—P «—1=- F, ausdrückt. Diese Verhältnisse werden gewöhnlich in ganzen Hundertsteln (Prozenten) ausgedrückt. Wenn letzteres Verhältnis den Wert von a Prozent hat, ist der Wert des ersteren (100 + a) Prozent, und man sagt dann kurz, daß entweder die Preise von t, bis t, um a Prozent gestiegen sind oder daß die Preiszahl (das Preisniveau) um den Zeitpunkt t, gleich 100 + a ist, wobei a natürlich negativ sein kann. Wenn man ausdrückt, wieviel sich der Preis einer einzelnen Ware verändert hat, indem man angibt, wieviele Prozent des ur- sprünglichen Preises die Veränderung beträgt und wie oben diese Betrachtung auch auf den hier betrachteten Durchschnitt p oder auf den Gesamtpreis P überträgt, dann bietet die Methode ferner den Vorteil, daß die oben erwähnte Freiheit hinsichtlich der Art und Weise, auf welche man weiterhin die verschiedenen Zeitpunkten entsprechenden Werte von p oder P behandeln will, auch die Wahl von Basisjahren mit umfaßt, Hat man z. B. die untenstehenden Daten Zur Zeit Erwarteter Preis t, = 1./7. 1914 P, = 2000 Kr. t = 1./1. 1916 P, = 200 » t = 1./1. 1917 P, 3000 dann erhält man nämlich, je nachdem P, = 2000 Kr. am 1./7. 1914 oder P, — 2500 Kr. am 1./1. 1916 als Basis benutzt wird, folgende Preiszahlen: 1) Siehe u. a. die Abhandlungen von Laspeyres in Jahrb. f£. Nationalök u. Stat., 1864 und 1871. *ı 565 Zeitpunkt Preiszahl von der Basis 1./7. 1914 1./1. 1916 100 80 125 100 150 120 Hieraus erhellt, daß die Preissteigerung von t, bis t, 25 % und von t, bis ts 20 % betragen hat. Für die Preissteigerung von t, bis ts ergibt sich hieraus PP, Ps PP, . PP 1,25 - 1,20 = 1,50 d. h. eine Preissteigerung von 50 %, welches Ergebnis auch ein- treffen mußte. Wenn man im allgemeinen die Preissteigerung von a bis b durch die Zahlen Pay von b bis c durch Pe und von a bis c durch Pac ausgedrückt und wie oben Pac — Pay ° Pre hat, dann kann man also unmittelbar aus Preisindexzahlen mit gegebener Basis andere mit neuer Basis berechnen, ohne daß man auf die einzelnen Warenpreise, aus denen die Preisindexzahlen berechnet sind, zurückzugehen braucht. Es sind (vgl. weiter unten) nicht alle Methoden, die ein solch unmittelbares Vertauschen der Basis zulassen (das Interkalationskriterium befriedigen); jedoch ist es klar, daß in praxi mit der Möglichkeit einer solchen Vertauschung große Vorteile verbunden sind. 360. Es bleibt dann noch die Frage der Wahl der Gewichts- verteilung. Hier kann im allgemeinen darauf verwiesen werden, was im $ 341 hinsichtlich der Wahl der Standardverteilung über- haupt hervorgehoben wurde. Wenn man z.B. die Kaufkraft des Arbeitslohnes berechnen will, kann man die durchschnittliche Zu- sammensetzung des Budgets einer Arbeiterfamilie untersuchen und dabei Zu einer Bestimmung der Größe der verbrauchten Mengen gelangen. Diese Zahlen, mit den augenblicklichen Preisen multipli- ziert, ergeben die Gesamtausgabe, und beim selben Verbrauch, aber bei veränderten Preisen findet man das Niveau zu einem anderen Zeitpunkt. Oder man fragt nach der Kaufkraft des Geldes über- haupt im betreffenden Lande und benutzt dann als Gewicht die Zahlen. welche die vermutlich umgesetzten Warenmengen repräsentieren. Es wurde bereits oben erwähnt, (vgl. das Beispiel im $& 346), daß das mittels der Methode erzielte Resultat nicht von der ge- troffenen Wahl der Standardverteilung unabhängig ist. Während U — 566 dies Verhältnis im allgemeinen bedeutungslos ist, wenn man nur bei Anwendung der Methode der erwarteten Anzahl mehr darauf Wert legt, die Wirkung einer Ursache zwecks Nachspürung einer anderen auszuschalten, als auf die genaue Bestimmung des Stärkegrades, mit der die Ursachen wirken, ist die Abhängigkeit der Wahl eines Standards bei der Berechnung einer Preisindexzahl anders zu beur- teilen. Es handelt sich nämlich dann nicht länger nur darum, einer wirkenden Ursache auf die Spur zu kommen, sondern darum, eine zahlenmäßige Messung der Gesamtwirkung der Preisveränder- ungen vorzunehmen. Diesen Mangel muß die Methode indes auch mit anderen Methoden gemein haben, Wenn sich alle Warenpreise gleichmäßig oder ungefähr gleichmäßig veränderten, sodaß eventuelle Abweichungen als lediglich zufällig anzusprechen wären, dann würde es keinerlei Schwierigkeiten bereiten, sich einen Ausdruck zu ver- schaffen, der auf einmal einen unzweideutigen Bescheid über das Steigen oder Fallen mancher Preise gäbe. Aber diese Voraussetzung wird selten erfüllt werden, und es wird dann (vgl. die $8$ 346 und 356) schon aus dem Grunde schwierig oder ganz unmöglich sein, eine Methode anzugeben, bei der sich dieser Mangel nicht geltend macht. Den Fehlerquellen gegenüber, die von der Schwierigkeit stammen, sich hinlänglich zuverlässige Preisbeobachtungen zu beschaffen und sich namentlich dessen zu versichern, daß die Preise, mit denen operiert wird, tatsächlich Waren gleicher Qualität gelten, wird der erwähnte Mangel indes in praxi gewöhnlicherweise ungemein wenig bedeuten. Wenn die Grundlage nicht rein willkürlich gewählt wird (vgl. $ 341), kommt es in der Regel nicht auf große Genauigkeit der Gewichts- verteilung an (vgl. $ 343), und in allen Fällen kann eine solche garnicht den ernstlichen Mängeln der Preisbeobachtungen das Gegen- gewicht halten 1). 861. Immer kann man sich hiermit jedoch nicht zufrieden. geben, namentlich dann nicht, wenn man eine Preisindexkurve für einen so langen Zeitraum zu konstruieren sucht, daß einige der Waren, die zu Beginn der Periode in der betrachteten Verbindung eine dominierende Rolle spielten, allmählich entweder an Bedeutung ver- lieren oder sogar ganz vom Markt verschwinden, sodaß nicht ein- mal am Schluß der Periode der Preis festgestellt werden kann. Nicht wenig Waren. waren vor einem halben Jahrhundert der Gegenstand 1) Vgl. A. L. Bowley, Elements of statistics, 4th edit., London 1920, S. 94. 567 großen Umsatzes und reichlichen Verbrauches, und jetzt werden sie kaum noch hergestellt oder spielen für Produktion oder Konsum eine von der damaligen sehr verschiedene Rolle. Gleichzeitig sind dann ganz neue Waren auf den Markt gekommen, für die man kein zurückgreifendes Preismaterial hat. Da eine solche Verschiebung vermutlich in der Regel gradweise vor sich geht, liegt auch gewöhnlich die Möglichkeit vor, für das- selbe Zeitintervall von größerer oder kleinerer Länge Preisindex- kurven auf Grund von zwei oder mehreren verschiedenen Standard- verteilungen von Waren, die beide für sich ältere und neuere Waren berücksichtigen, berechnen zu können. Im Grade der Annäherung, mit der man bei den verschiedenen Rechenmethoden übereinstimmende Resultate erzielt, hat man dann auch ’eine Möglichkeit dafür, die Preisindexkurve von einer Epoche zur andern fortzusetzen. Aber die Notwendigkeit einer solchen besonderen Bewertung der Preiszahlen zeigt übrigens mit aller Deutlichkeit die Schwierigkeit, welche da- mit verbunden ist, den Inhalt des Begriffes der „Kaufkraft des Geldes“ zu bestimmen. 363. Die Messung der Kaufkraft des Geldes durch eine ein- zelne Zahl ist eine Aufgabe, die in gewisser Beziehung der Messung der Sterblichkeit durch einen sämtliche Alter umfassenden summarischen Sterblichkeitsquotienten ähnelt. Zu welcher Zahl man gelangt, das beruht nicht nur auf den Preisen der einzelnen Waren (resp. auf der Sterblichkeit auf den einzelnen Altersstufen), sondern auch auf der Gewichtsverteilung von Waren (resp. auf der Altersgliederung der Be- völkerung). Ebenso wie einer Änderung der Sterblichkeit, wenn alle anderen Faktoren gleich sind, eine Änderung der Altersgliederung antspricht, wird eine Preisveränderung im allgemeinen eine gewisse ent- sprechende Veränderung der Verbrauchs- und Umsatzmengen im Gefolge haben. Wenn man die einer gegebenen Preisveränderung entsprechende Veränderung der Umsatzmengen angeben könnte, ebenso wie man die einer Veränderung der Sterblichkeit entsprechende Veränderung der Altersgliederung angeben kann, dann würde die Möglichkeit vor- liegen, eine Preiszahl, die genau der mittleren Lebensdauer (oder ihrem reziproken Werte, vgl. $ 321) entspricht, zu berechnen. Bei derartigen Betrachtungen gelangt man zu Methoden, die im Gegensatz zu der oben behandelten (die darauf ausgeht, den er- warteten Preis für eine feste und unveränderliche Warenmenge zu berechnen) mit dem erwarteten Preis für eine varlıierende Waren- 568 menge rechnen. So hat z. B. schon Drobisch!) im Jahre 1871 vorgeschlagen, den Durchschnittspreis der Wareneinheiten zu den Zeiten t, und t, jeweils durch die Gleichungen Saln! San zu berechnen, wo q‘ und q“ die zu den Zeiten (in den Zeiträumen) t, und t;, umgesetzten, im allgemeinen verschiedenen Mengen (mit derselben Einheit gemessen), p‘ und p“ die Preise, zu denen die betrachteten Mengen umgesetzt wurden, angeben. Hieraus läßt sich dann wie oben das Verhältnis P2 Pı als Ausdruck für die veränderte Kaufkraft des Geldes von t, zu 6 berechnen. Es ist klar, daß diese Methode — wie die oben beschriebene — dasselbe Resultat für die Preisveränderung von t, und t; ergibt, einerlei, ob die Berechnung direkt auf Grund der für diese zwei Zeiten beobachteten Preise und Mengen oder mit Einfügung einer Be- rechnung der Preisveränderung, teils von t, zu einem zwischen t, und t gelegenen Zeitpunkt t,, teils von der Preisveränderung von t, und t,, vorgenommen wird. Wenn man nun ferner damit rechnen könnte, daß die Umsatzmengen lediglich und unzweideutig durch die Preise be- stimmt würden und daher auch, wenn die Preise nach einer Reihe von Jahren in die ursprüngliche Lage zurückkehrten, selbst die Gestalt der ursprünglich bei der Preisberechnung angewandten Mengen wieder annähmen, dann würde man nach dieser Methode als Aus- druck für das unveränderte Preisniveau ebenfalls den Preisindex 100 erhalten. Die Voraussetzung hierfür wird indes selten oder nie Stich halten. Man kann ferner auch nicht, wie es mit der Ab- hängigkeit der Altersgliederung von der Sterblichkeit der Fall war, den Zusammenhang zwischen Preis und Umsatzmenge für eine größere Gruppe von Waren angeben. 363. Der Tatsache, daß sich die Umsatzmengen gewöhnlich gleichzeitig mit den Preisen verändern, worauf die Berechnung des erwarteten Preises für eine unveränderliche Warenmenge gerade ') Über Mittelgrössen und die Anwendbarkeit derselben auf die Berechnung des Steigens und Sinkens des Geldwertes, Berichte d. Kgl. sächs. Gesellsch. d. Wissenschaften, Math.-phys. Klasse, Bd. 23, 1871. S. 24 ff. 569 keine Rücksicht nimmt, hat Irv. Fisher!) auf anderem Wege entgegenzutreten versucht. Er denkt sich die Preisänderung in der Periode von a bis b teils unter Benutzung der zu Anfang (a), teils unter Benutzung der am Schlusse (b) geltenden Gewichtsverteilung berechnet und benutzt danach die Zwischenproportionale („die ideelle Preiszahl“) zwischen den so gefundenen Zahlen als Ausdruck für die Veränderung von a bis b, also mit den oben benutzten Be- zeichnungen [San Salnu po] ZA Zer =qP PP Wenn man analog für die Zeit von 5 bis c Pf Sag art setzt, darf man jedoch mittels der Kettenformel Pac =— Dab * Dbe nicht im allgemeinen erwarten, denselben Wert?) wie direkt aus =qp' Sq“p' zu erhalten. Diese Methode läßt also nicht unmittelbar zu, eine Preisindexberechnung zwischen zwei andere vorliegende einzuschieben 364. Genau derselben Schwierigkeit wird man auch bei der zweiten Methodenreihe begegnen. Wenn wie oben der Ein- heitspreis der Waren V,, Va, Vs, ... im ersten Zeitpunkt mit p;‘, ps’, Ps‘... und im zweiten mit p,“, pa“, ps”... bezeichnet wird, dann mißt man, wie bereits oben erwähnt, die Preisänderung der einzelnen Waren entweder mit den Verhältnissen & — Bl al Pı P oder mit den Verhältnissen Zi 7 &%—1= Pı die als „Indexzahlen“ der einzelnen Waren bezeichnet und in der Regel in Hundertsteln (Prozent) ausgedrückt werden. Wenn sich nun sämtliche Indexzahlen als gleich groß erwiesen, so daß sämtliche betrachteten Warenpreise z. B. 10%, größer als CC Fisher, The making of indexnumbers, Boston 1922 8, 142. ') Vgl. L. v. Bortkiewicz, Zweck und Struktur einer Preisindexzahl, Nordisk Statistisk Tidskrift, Bd. III. Stockholm 1924. 8 9212 570 — früher wären, würde man allen Anlaß dazu haben, das jetzige Preis- niveau als um 10%, über dem bisherigen liegend zu bezeichnen und diese Tatsache kurz mittels der Preisindexzahl 110 auszudrücken. Da dies gewöhnlich nicht der Fall ist, bildet man sich, um einen gemeinsamen Ausdruck für die Preisveränderung zu erhalten, irgend- einen Durchschnitt aus den gefundenen Indexzahlen. Analog der ersten Methode kann man auch hier den einfachen (ungewogenen) Durchschnitt aus sämtlichen Indexzahlen = (0 + & + Ug...... On) oder irgendeine andere Gewichtsverteilung V;, Vo, Vs ...... für die einzelnen Waren anwenden und erhält dann SZ va Sy) Dieses Verfahren ist namentlich früher viel angewandt worden, beispielsweise für England bei der von Sauerbeck auf Grund der Preise von 45 wichtigen Waren berechneten Preisindexzahl und für Dänemark bei dem jährlich auf Grund der Wertangaben der Handels- statistik für 38 Waren berechneten Großhandelsindex. 365. Es ist indes ein Mangel bei dieser Methode, daß sie im allgemeinen das im 8 359 erwähnte Interkalationskriterium nicht befriedigt, d. h. nicht eine im Sinne der ersteren Methode fortlaufende Preisindexkurve, welche unmittelbar einen Umtausch der Basis zu- läßt, liefern kann. Um diese Eigentümlichkeit zu beleuchten, können wir das folgende Beispiel benutzen, wo die Anzahl von Waren so klein wie möglich, nämlich auf 2 festgesetzt ist. Stellt man sich vor, daß sich die Preise dieser zwei Waren in der Zeit von t, über t, zu t, wie im folgenden Schema 6 6 % V, 100 200 100 V, 100 50 100 bewegt haben, dann erhält man für die drei Zeiträume ti a 42, t - ts, t1 — 1% folgende Indexzahlen und Durchschnitte von Indexzahlen t,— %—C V, 2,00 0,50 V, 0,50 2.00 Durchschnitt 1,25 1,25 Nun sind die Warenpreise zur Zeit t, und tz gleich, was auch die für den ganzen Zeitraum t,—t, berechnete Preiszahl angibt. Da- t, —t, 1,00 1,00 1,00 57 gegen besagt die für t,—t, berechnete Preisindexzahl, daß das Preis- niveau im Laufe dieser Zeit um 25%, und die für t,—tz; berechnete Zahl, daß das Niveau hier weitere 25°, gestiegen ist und hiernach 1,25-1,25 = ca. 1,56 betragen sollte, so daß die Preise auf Grund lieser Aussage von t,—tz um ca. 56%, gestiegen sein Sollten, obgleich das Preisniveau in beiden Zeitpunkten faktisch gleich ist. Diese Widersinnigkeit ist im gewählten Beispiel besonders ausgeprägt, weil es nur zwei Waren mit kräftigen und entgegengesetzten Preis- bewegungen umfaßt. Wenn man viele Waren hat, wird jedenfalls ihr Hauptteil in der Regel Preisbewegungen von gewissem gemeinsamen Gepräge aufweisen, die dann bei der Berechnung des Durchschnitts in die Erscheinung treten. 366. Dieser Mangel läßt sich indes umgehen, wenn man anstatt des (gewogenen oder ungewogenen) arithmetischen Mittels das yeometrische!) aus sämtlichen Indexzahlen berechnet. Dies findet man ohne Gewichte aus dem Ausdruck B- 7 Ur Ag Ago004 00 Any jessen Wert sich am leichtesten durch Berechnung des arithmetischen Mittels aus den Logarithmen sämtlicher Indexzahlen ermitteln läßt, da = (log + log & ...... log &Xn) ist. Und ebenso erhält man, wenn man eine Gewichtsverteilung Yı, Vo, Va... . ZU berücksichtigen wünscht, Yvlog a >y Der ganze Unterschied in der Methode besteht also nur darin, daß man anstatt der eigentlichen Indexzahlen deren Logarithmen anwendet, worauf ein einfaches Aufschlagen des Antilogarithmus das gesuchte geometrische Mittel ergibt. Dieses Verfahren umfaßt u. a. die seinerzeit von Jevons vor- zeschlagene Formel?), die darauf ausgeht, das einfache (ungewogene) geometrische Mittel aus sämtlichen Indexzahlen zu berechnen. Auf pbiges Beispiel angewandt, ergibt z. B. die Jevonsche Methode für die Zeiten t,—t, die Preiszahl V- t,—t, ” ” „tt » ı) HE. Westergaard, Mathematiken i Nationalgkonomiens Tjeneste, Smaa- skrifter tilegnede A. F. Krieger, Kobenhavn 1887, S. 113 ff. 2) A serious fall in the value of gold ascertained ete., London 1863. — 52 — welche Resultate sich nicht widersprechen; dasselbe wird man finden, wenn die Anzahl von Waren und deren Preisen beliebig ist. Auch in einem anderen Falle wird man den hier erwähnten Mangel bei der Berechnung einer Preisindexzahl als arithmetischen Mittels aus den Indexzahlen für jede einzelne Ware vermeiden können, nämlich in dem speziellen Fall, wo man als Gewichte die Zahlen p;,'dı, Pr Go, Ps ds..... benutzt und p,‘, ps, Ps‘ ..... die Einheitspreise zur Zeit t, und q;, q,, qs..... gewisse Mengen ent- sprechender Waren angeben. Die Preisindexzahl nimmt dann nämlich die Form sa. P_ _ Pd Pr —_ Zap” Spa ap’ an, woraus folgt, daß man mit dieser Gewichtsverteilung, die den Wert der zur Zeit t, umgesetzten Mengen Qı, 92, 9s-.... angibt, dasselbe Resultat wie nach der ersten Methode erhält, wenn man bei dieser die Mengen q,, q», Gs..... als Gewichte anwendet !). Da ersteres Verfahren, wie oben gezeigt, in allen Fällen einen unmittelbaren Umtausch der Basis (Interkalationskriterium) zuläßt, wird die zweite Methode in dem Falle, wo die erwähnte Gewichts- verteilung Anwendung findet, daher die gleiche Eigenschaft besitzen. Aufgabe 112. Berechne die Größe der im Vorhergehenden behandelten Preisindexzahlen, die die Preisbewegung 1. von 1914 bis 1919 2. „ 1919 „ 1922 3. „ 1914 „ 1922 für untenstehende 13 Waren ausdrückt; Verbrauchsmengen und Preise ge- stalteten sich zu den drei Zeitpunkten für die betreffenden Waren, wie folgt: = 13. Schwarzbrot .. Weißbrot .... Mehl... .... Grütze ,.... Zucker... .. Margarine .. Butter... Milch. ... Eier... .. Fleisch . . Speck , "isch ‘. Kartoffeln 1014 70 50 94 93 70 A „A 400 99 4 22 24 305 Mengen (kg) | Preise für 1 kg (Öre) 1919 ! 1922 ' 1914 ! 1919 | 1922 136 As 96 28 120 92 ‘4 ‘6 a 100 95 24 39 AR 46 88 73 190 432 33 172 175 260 65 13 ses;x«& Di 270 300 °8 515 416 DB 4 7 26 196 f D4AU a 1) Die monatliche amtliche Großhandels - Preisindexzahl in Dänemark wird z. B. in dieser Weise berechnet. 573 367. Um einen gemeinsamen Ausdruck für die Indexzahlen der verschiedenen Waren zu bilden, kann man sich noch zahlreicher anderer Methoden bedienen. Keine von diesen wird sich jedoch im allgemeinen so einrichten lassen, daß das erwähnte Kriterium An- wendung finden kann‘). Werden die n Indexzahlen nach der Größe verteilt, dann kann man z. B. anstatt der arithmetischen oder geometrischen Mittel auch als gemeinsamen Ausdruck entweder den Zentralwert der Verteilung (englisch: median) oder deren dichtesten Wert (englisch: mode) anwenden. Unter dem Zentral- wert eines Verteilungsgesetzes versteht man die Abszisse, deren entsprechende Ordinate die Fläche des Verteilungsgesetzes in zwei gleich große Hälften teilt (vgl. z. B. die Ordinate M in der Figur 17b, die dem Aiter von 69,9 Jahren entspricht; der durch dieses Alter bestimmte Zentralwert heißt das wahr- scheinliche Lebensalter für O-jährige; für x-jährige läßt sich die Zahl aus einer Überlebenstafel finden, indem man untersucht, in welchem Alter die 1(x) x-jährigen auf 4.l(x) eingeschrumpft sind). Unter dem dichtesten Wert gines Verteilungsgesetzes versteht man die Abszisse zum Maximumspunkt der Verteilungskurve; er gibt die Stelle an (Alter, Körpergröße oder -gewicht usw.), am den sich die verteilten Einheiten am dichtesten ansammeln (vgl. die Ordinate T ;n der Figur 17b, die dem Alter von 76,5 Jahren entspricht); der durch dieres Alter bestimmte dichteste Wert ist das in den 88 208 und 306 erwähnte Lexissche normale Lebensalter; er läßt sich aus einer Überlebenstafel finden, indem man in der im $ 244 angegebenen Weise die l(x) als Flächenkurve entsprechende Verteilungskurve zeichnet. Haudelt es sich darum, den Zentralwert für eine Sammlung von Indexzahlen zu bestimmen, dann können diese erst in einer Reihe nach der (Größe geordnet werden. Die in der Mitte gelegene oder eine zwischen den zwei mittleren Zahlen in dieser Reihe gelegene Zahl wird dann den Zentral- wert der Verteilung angeben. Um den dichtesten Wert für eine Sammlung von {ndexzahlen zu finden, muß man diese erst zweckmäßig nach der Größe gruppieren. Wenn die gefundene Verteilung nicht mehr als einen Maximumspunkt aufweist. kann man darauf durch Interpolation zu einer näheren Bestimmung der Stelle gelangen, wo sich die Indexzahlen am dichtesten ansammeln. Da man für diese zwei Formen des Gemeinsamen einer Beobachtungsreihe nicht über ähnliche ein- vache Sätze, wie sie oben ($$ 122—132 und 154—156) hinsichtlich der Erwartung und des Durchschnitts entwickelt wurden, verfügt, so wollen wir an dieser Stelle nicht weiter auf diese oder andere ähnliche Ausdrücke?), von deren Bildung noch die Rede sein könnte, eingehen. *\ Siehe im übrigen über die Berechnung von Preisindexzahlen I. Fisher, The making of index numbers, Boston 1922; L. v. Bortkiewicz, Zweck und Struktur einer Preisindexzahl, Nordisk statistisk Tidskrift, Bd. II (Stockholm 1923), 5. 369, und Bd. IIT (1924), S. 208 und 494; A. L. Bowley, The measurement of changes in the cost of living, Journ. of the R. Stat. Society, vol. LXXXII 1919), S. 343f.; G. H. Knibbs, The nature of an unequivocal price-index and Juantity-index, Quarterly Publicat. of the American Statistical Association, 1924. ınd G. Jahn, Statistikkens Teknik og Metode, Kristiania 1920, S. 160 ff. ?) Vgl. hierüber z. B. E. Blaschke. Vorlesungen über mathematische Statistik, Leipzig 1906. S. 71 ff. 574 368. Im Vorhergehenden ist lediglich die Berechnung der Preis- indexzahl behandelt worden; „Indexzahlen“ können jedoch auch zur Beleuchtung der Bewegungen in zahlreichen anderen Verhältnissen berechnet und angewandt werden. Hierfür seien einige Beispiele gegeben, In erster Linie können hier sämtliche mehr oder weniger zu- sammengesetzte oder von gewissen Voraussetzungen aus abgeleiteten Ausdrücke erwähnt werden, die in allen Zweigen.der Statistik für die Beleuchtung eines vorliegenden Problems als Ganzes von Be- deutung sein können. Wenn man z. B. der Bedeutung von Ver- schiebungen in der Zusammensetzung der Handelsflotte einen Gesamt- ausdruck verleihen will, liegt es nahe, nach der Transportfähigkeit der ganzen Flotte zu fragen. Hierbei sind dann Vorzüge und Nach- teile von Dampf-, Motor- und Segelschiffen gleicher Tonnage zu er- wägen. Ferner können neben der Tragfähigkeit auch Verschieden- heiten hinsichtlich der 'Transportunkosten zu untersuchen sein. Ähnliche Betrachtungen lassen sich z. B. auch über den Viehbe- stand eines Landes anstellen, wobei wiederum eine variierende Zusammensetzung zu berücksichtigen ist, einerlei, ob es sich um die für den Bestand erforderliche Futtermenge oder das im Bestande gebundene Kapital handelt. In der Erntestatistik begegnet man demselben Problem, wenn man sich einen Gesamtausdruck für die Größe der Ernte bilden will. Einen solchen Ausdruck gewinnt man, indem der Geld- wert der gesamten Ernte ermittelt wird; für Getreideexportländer ist dies ja etwas Naheliegendes. Bei der jetzigen Produktions- richtung innerhalb der dänischen Landwirtschaft ist aber der reelle Wert der Ernte davon abhängig, wie sie sich in Butter und Bacon usw. umsetzen und wie sich das veredelte Produkt absetzen läßt, und man hat daher in der dänischen Landwirtschaftsstatistik ver- sucht, einen treffenden Ausdruck für das gesamte Ernteergebnis zu erhalten, indem der Futterwert der verschiedenen Getreide- und Rübensorten bei der Berechnung zugrundegelegt wird. Als Einheit benutzt man hierbei den Futterwert von 1000 kg Korn. Der Futter- wert von 1 Doppelzentner Kartoffeln wird dem von 23%, kg Korn gleich gesetzt und der Futterwert der Futterrüben in der Weise berechnet, daß ihre Menge im Verhältnis zu ihrem von Jahr zu Jahr variierenden Trockenstoffinhalt in Getreide umgerechnet wird. Den Trockenstoffinhalt findet man durch Analyse der verschiedenen Rübenarten in den verschiedenen Gegenden des Landes. Ebenso läßt 575 sich der Futterwert der Gräsung und des Grünfutters berechnen, indem man vom Verbrauch der einzelnen Vieharten ausgeht. Eine ähnliche, aber recht komplizierte Aufgabe liegt in der Konsumstatistik vor, wenn man auf Grund des Verbrauchs der einzelnen Person die gesamte „Verbrauchskraft“ der Familie in einer einzelnen Zahl festlegen will, indem deren Zusammensetzung aus erwachsenen Männern und Frauen und Kindern verschiedenen Alters berücksichtigt wird. Engel!) vermeinte z. B. auf Grund von Be- obachtungen über das Wachstum der Menschen eine Skala (die für ein O-jähriges Kind mit 1 anfing und für jedes Jahr um 0,1 stieg bis auf 3,5 für erwachsene Männer und 3,0 für erwachsene Frauen) aufstellen zu können, durch die sich die gesamte Verbrauchsausgabe für eine Familie von beliebiger Zusammensetzung ausdrücken ließe, Die hierbei benutzte Einheit nannte er (zur Erinnerung an Quetelet) ein „Quet“. Eine Familie mit einem 10-jährigen und einem 12-jährigen Kinde würde also 3,5 + 3,0 + 2,0 + 2,2 = 10,7 „Quets“ zählen. In der amtlichen dänischen Statistik hat man eine andere auf physio- logischen Untersuchungen fußende Skala angewandt. Ohne Willkür sind diese oder andere vorgeschlagenen Maßstäbe jedoch nicht. Der Geldwert des Verbrauchs der einzelnen Individuen ist zum Teil von der Größe der ganzen Familie abhängig, u. a. werden die Einkäufe in der Regel im größeren Hausstande pro Einheit billiger als im kleineren sein. 369. Als weiteres Beispiel aus der Wirtschaftsstatistik sel auch lie Berechnung von Indexzahlen zur Beleuchtung der variierenden Höhe des Arbeitslohns erwähnt. Bei einer solchen Berechnung ist zu berücksichtigen, daß die Lohnbewegungen in den verschiedenen Berufszweigen von verschiedener Stärke gewesen sein können; und da der Stundenlohn gewöhnlich sehr schwanken wird, je nachdem für Zeitlohn oder im Akkord gearbeitet wird, so hat man not- wendigerweise dies in Betracht zu ziehen, indem man z. B. den ge- samten Wochenlohn berechnet, der einem Arbeiterstab, der von Zeit zu Zeit berufsmäßig in gleicher Weise zusammengesetzt ist und innerhalb welcher Berufe die Menge von Zeit- und Akkordarbeit zeitlich festliegt, auszuzahlen ist; man legt dann die zu verschiedenen Zeitpunkten gewonnenen Beobachtungen über den durchschnittlichen Stundenlohn jeweils bei Zeit- und Akkordarbeit für die Berechnung zugrunde. 1) Die Lebenskosten belgischer Arbeiter-Familien früher und jetzt. Bulletin de l’Inst. Internat. de Stat.. T. IX. 1895 a 576 Bei vielen der in der Wirtschaftsstatistik angewandten Indexzahl- berechnungen sind möglicherweise gewisse periodische Bewegungen zu berücksichtigen, so z. B. wenn die Bewegungen im Beschäfti- gungsgrade zu beleuchten sind. Das Arbeitslosenprozent schwankt im allgemeinen das Jahr hindurch verschieden innerhalb der ver- schiedenen Berufszweige. Wenn man z. B. in der in den 88 281 ff. erwähnten Weise auf Grund der Erfahrungen einer Reihe von Jahren einen numerischen Ausdruck für diese Schwankungen zuwege gebracht hat, dann läßt sich wie beim Arbeitslohn untersuchen, wieviel Arbeits- lose innerhalb eines Arbeiterstabes von gegebener Größe und Berufs- gliederung zu den verschiedenen Zeiten des Jahres zu erwarten sind und dabei ein Ausdruck für die Abweichung der faktischen Arbeits- losigkeit von der erwarteten finden. ' Aufgabe 113. Der Spaltenraum, den die Annoncenmenge in den Kopen- hagener Tageszeitungen in jedem der Monate (1. im Januar, 2. im Februar, 3. im März usw.) der Jahre 1921—26 beanspruchte, erhellt aus folgenden Zahlen: 12 | Zus. 1087 1065 1225 1400 1223 Po 546 522 652 6000 „143 |144 1162 | 1405 Bilde auf Grund der Erfahrungen für 1921—25 einen numerischen Ausdruck für den Umfang der Saisonschwingungen in der Annoncenmenge und berechne dann eine Indexzahl, die zeigen kann, wieviel die Annoncenmenge in jedem der Monate des Jahres 1926 über oder unter der Menge, die nach den Erfahrungen der vorhergehenden Jahre zu erwarten war, lag. Wie bereits im $ 51 gesagt, befaßt sich die Statistik jetzt in weit höherem Maße als früher mit dem Studium der Wirtschafts- perioden, u. a. mit dem „Business Forecasting“ als Ziel. Die hierbei angewandten Verfahren fußen in ausgedehntem Maße auf der Be- rechnung von Indexzahlen für eine ganze Reihe der heutzutage im Wirtschaftsleben auftretenden Erscheinungen. In welchem Umfang solche Indexzahlen als eine Art Wirtschaftsbarometer dienen können, wird, wie gesagt, lediglich die im Laufe der Zeit gewonnene Er- fahrung entscheiden können ?). Zusammn, . 1921—25 Nr | a RB 1926 1136| 97|1231104 1105| 97| 82 . ?) Siehe ferner hierüber u. a. H. Westergaard, On periods in economic life. Metron. vol. V, Padova 1925, S.3; H. Weste rgaard und E. Lomholt, 57 VIIL Kapitel. Versicherungswesen und Statistik. 370. Im Vorhergehenden wurde nur gelegentlich darauf Be- dacht genommen, Aufgaben, die für den einzelnen Menschen oder für die Wirtschaft der einzelnen Unternehmung von erheblichem [interesse sind, zu behandeln. Diese Art Aufgaben spielen indes eine ungeheure Rolle, und auf keinem anderen Gebiet ist der Nutzen statistischer Untersuchungen in dieser Beziehung so stark in die Erscheinung getreten wie im Versicherungswesen und be- sonders in der Lebensversicherung. Zwischen Versicherungswesen und Statistik besteht überhaupt sine nahe Wechselwirkung. Wie weiter unten des näheren zu be- leuchten ist, müssen die Tarife, um Zutrauen zu erwecken, auf sta- tistischen Untersuchungen fußen, und bei den Berechnungen, die die Aufstellung der Bilanz einer Versicherungsgesellschaft erforder- lich macht, sind statistische Daten unentbehrlich. Umgekehrt hat das Versicherungswesen auf die Entwicklung der Statistik einen bedeutenden Einfluß ausgeübt; namentlich die Sterblichkeitsstatistik verdankt zum großen Teil der Lebensversicherung ihren Fortschritt. Die statistische Seite des Versicherungswesens soll hier deshalb etwas näher betrachtet werden, während sowohl die wirtschafts- rechtliche Seite wie die eigentlichen versicherungstechnischen Fragen hier ganz außerhalb der Betrachtung bleiben müssen. Die einfachste Form der Versicherung gegen irgendeine Be- gebenheit (Schaden) hat man, wenn ein Kreis von Interessenten (Versicherten) ganz einfach die gegenseitige Abrede trifft, daß sie den durch Schaden verursachten Verlust dem Betroffenen in der Weise vergüten, daß sie sich sämtlich in den Betrag teilen und der Verlust also nicht mit seinem ganzen Gewicht den einzelnen Ge- schädigten trifft. Es gibt beispielsweise Begräbniskassen, deren zanze Einrichtung nur darauf ausgeht, daß die Versicherungssumme in der Regel ein zur Deckung der Begräbnisunkosten näher nor- mierter Betrag), die bei jedem Todesfall zu entrichten ist (die Schadensvergütung), auf die überlebenden Mitglieder, deren Anzahl Periodiske Bevagelser i det okonomiske Liv, Nationalokonomisk Tidsskrift, Bd. LXII1, Kobenhavn 1925; A. Calmes, Die Statistik im Fabrik- und Waren- handelsbetrieb, Leipzig 1921; A. Tschuprow, Business statistics. Nordisk sta- Histisk Tidskrift, Bd. II, Stockholm 1923. Westergaard und Nybaelle, Theorie der Statistik, 2. Aufl. 578 man bei jedem Sterbefall durch Aufnahme eines neuen Mitglieds er- gänzt, umgelegt wird. Diese Form der Versicherung stellt natürlich keinerlei Anforderungen an die Statistik. Anders dagegen, wenn statistische Untersuchungen die Möglich- keit dafür erwiesen haben, mit hinlänglicher Genauigkeit die Größe der Frequenz, mit der die Schäden eintreffen werden, zu finden und damit die Möglichkeit dafür, die Größe der Beitragsleistungen der Versicherten vorausberechnen zu können, so daß die Versiche- rungsträger (in der Regel eine Versicherungsgesellschaft) durch diese Beiträge in den Stand gesetzt werden, diejenigen der Versicherten, die Schaden erleiden, zu entschädigen. Von einer Versicherung in dem Sinne, daß sie vom Standpunkt der Statistik aus Beachtung verdient, ist ferner erst dann die Rede, wenn die Anzahl der Versicherten so groß ist, daß die Unsicherheit, mit der jede statistische Vorausberechnung in allen Fällen behaftet ist, nach einem. näher festgelegten Maßstabe das Gepräge voll- kommener Unsicherheit verliert, das für die reine Wette hinsichtlich des Ausfalls einzelner oder einiger weniger Begebenheiten, deren Verlauf realiter nicht feststeht und im voraus keiner der Parteien bekannt ist, charakteristisch ist. Wenn nun auch diese Bedingung erfüllt ist, dann ist die einfachste Form der Versicherung in diesem Sinne die, daß die Versicherungsgesellschaft gegen eine KEinzahlung („Prämie“) der versicherten Person sich zu einer gewissen Gegenleistung („Ent- schädigung“) in dem Falle, daß eine gewisse Begebenheit eintrifft, verpflichtet. Ist die Zahl der Versicherten N und die Wahrschein- lichkeit dafür, daß eine versicherte Person Schaden erleidet, p, dann wird die Anzahl von Schäden, die zu erwarten ist, N-p; und wenn jeder Schaden eine Vergütung von a Kronen nach sich zieht, dann wird der gesamte Schadenersatz, der erwartungsgemäß zur Aus- zahlung gelangt, gleich a-N-p Kronen. Im Durchschnitt wird die er- wartete Ausgabe pro Mitglied also gleich ap Kronen sein, welchen Betrag der Versicherte, außer den Zulagen (Betriebs- und Risiko- unkosten), die im übrigen für die Verwaltung eines Versicherungs- betriebes erforderlich sind, als Prämie zu entrichten hat. 8371. Objekte der Versicherung können sowohl Menschenleben wie Sachwerte und Vermögensinteressen sein. Zur letzteren Gruppe gehören Transport- und Seeversicherung, Feuer- Glas-, Vieh- und Hagelschädenversicherung usw., zur ersteren Gruppe Lebens-, Kranken-, 579 Unfall-, Invaliditäts- und Aussteuerversicherung. Den Übergang zwischen diesen beiden Gruppen bildet gewissermaßen die Arbeits- losenversicherung. Die Versicherung von Eigentums- und Vermögensinteressen wird in der Regel für kürzere Zeit eingegangen, während Versicherungen, die mit dem Menschenleben in Verbindung stehen, oft auf längere Sicht eingegangen werden. Diese Tatsache hat jedoch keinerlei Bedeutung für die Prinzipien, nach denen man die Größe des für die Ver- sicherungszwecke erforderlichen Kapitals berechnet. In letzterer Versicherungsart aber, wo eine lange Zeitspanne zwischen der Prämienzahlung und der Entschädigungszahlung verstreichen kann, lassen sich erhebliche Beträge als Zinsgewinn aufsparen, wenn die entrichteten Prämien zweckmäßig verwaltet werden. Von einem Zinsgewinn kann natürlich auch bei den zeitlich begrenzten Ver- sicherungen die Rede sein, da die Prämien in der Regel zu Anfang der Periode eingezahlt und die Entschädigungen erst beim oder nach dem Eintreten des Schadens ausbezahlt werden. Die Frage ist hier jedoch auf Grund der zeitlichen Begrenzung gewöhnlich viel ein- facher als bei langzeitigen Versicherungsverhältnissen. Wenn die jben ermittelte durchschnittlich erwartete Ausgabe pro Mitglied von ap Kronen erst nach n Zins-Terminen verfällt, wird der jetzige Wert x dieser Ausgabe mit Zins und Zinseszins auf x(1+r) anwachsen, wo r der Zinsfuß (der Zins von 1 Kr. pro Termin) ist. Und wenn dieser Betrag zu der Zeit ap Kr. betragen soll, muß ap 1 \” Be 79 — ap (—;) == ap" vV“” Seln, WO vv =— —) als Diskontofaktor bezeichnet wird. A + r Umfaßt die Versicherung eine Reihe von Begebenheiten mit den Wahrscheinlichkeiten p,, pP, ps... dafür, daß die Summen a1, 3,8 ... nach einer Zeit t,, t», tz .... ausbezahlt werden, dann erhält man augenscheinlich als jetzigen Gesamtwert der Ausgaben die Summe aypıY" + ap Vi +++ == Napvt. Diese Formel bezieht auch den Fall ein, wo nicht die volle Versicherungssumme zur Auszahlung gelangt. Wenn z. B. ein gegen Feuersgefahr versicherter Gegenstand nur teilweise vernichtet wird, reicht auch ein Teil seines Wertes dazu aus, den Versicherten schadlos zu halten. In der angeführten Formel werden dann a,, a ... die 90% — 580 — auszuzahlenden Entschädigungen und p,, pz ... die Wahrscheinlich- keiten für die entsprechenden Teilschäden. Bei diesen Berechnungen ist vorausgesetzt, daß das Vorkommen der Begebenheiten, gegen deren Eintreffen „man sich versichert“, mit hinlänglich guter Annäherung sich durch eine einzelne Wahrschein- lichkeit charakterisieren läßt. Zu untersuchen, welche Begebenheiten in Wirklichkeit dieser Forderung genügen, ist die besondere Aufgabe der Versicherungsstatistik, indem man wie bei anderen ähnlichen Unter- suchungen bei einer durchgeführten Teilung der Beobachtungen unter sämtlichen Ursachen, die faktisch das Eintreten des Schadens be- stimmen, alle wesentlichen Umstände (Gemeinursachen) auszuscheiden suchen muß. Der Weg hierzu wurde ausführlich im Vorhergehenden beschrieben. Beispielsweise erfordern diejenigen Versicherungsformen, die den Tod des Menschen. oder dessen fortgesetztes Leben betreffen, daß die menschliche Sterblichkeit und deren Abhängigkeit vom Geschlecht, Alter usw. untersucht und beschrieben wird. 372. Zur Beleuchtung dessen, wie man, wenn erst die statistische Grundlage des Versicherungsbetriebs geschaffen ist, die Prämie für eine gegebene Versicherung vorausberechnen kann, auch wenn der Zinsgewinn durch viele Termine zu berücksichtigen ist, sei hier die Berechnung des Nettokapitalwerts einer sofort beginnenden, lebens- länglichen Leibrente angeführt, die mit 1 Kr. jährlich, zum erstenmal bei Erreichung des Alters x, ausgezahlt wird; es handelt sich also um den zu diesem Zeitpunkt geltenden Wert aller jährlichen Auszahlungen, von denen hier im ganzen die Rede ist. Der h Jahre nach Eingang der Versicherung fällige Betrag (1 Kr.) hat (vgl. oben) bei Erreichung des Alters x den Kapitalwert LI T ;) = Kr., und da die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine x-jährige Person noch nach h Jahren lebt, pn =— A beträgt, So wird der erwartete Gesamtwert aller Zinsauszahlungen also ax = Sp v1 = 1 EA », vı—+ Sa 2) v* + EN 3) vr... Die Berechnung des Wertes einer Leibrente für eine Reihe ver- schiedener Alter x wird nach dieser Formel sehr kompliziert auf Grund der vielen verschiedenen Kombinationen von Alter und Fällig- keitsterminen. Es läßt sich indes die Berechnung dadurch erheblich 581 vereinfachen, daß man jeden der in den Ausdruck eingehenden Brüche durch v* erweitert, so daß dieser die Form (x + Dt 1x +2) 1x + 3)y:t3 1x) 7* + + 1(x)-v* erhält. Hier ist jede Größe (x +h) mit der entsprechenden Potenz v*th multipliziert; wenn man daher damit anfängt, aus Tabellen über (x) und v* = (1 + r) — ein für allemal eine Tabelle über 1(x)-v* zu be- rechnen, welche Größe man als „diskontierte Anzahl von Über- lebenden“ bezeichnen kann und als D.= ](x)-v* schreibt, Ditı , Drxta — Det438 2 a DD xp + De’ x. Wenn man ferner in der Tabelle über D; von unten her zummiert und dabei eine Tabelle für die Größe N; = Dr + Dit + Dip +... findet, dann nimmt der Ausdruck für den Nettokapitalwert der Leibrente die einfache Form ıNn. Rechnet man mit einem Zinsfuß von 4% p. a. (r= 0,04, = —- == (0,9615), dann wird nach der für das Jahrzehnt 1911—20 berechneten amtlichen dänischen Sterbetafel für Männer!) beispiels- weise Deo Da 5646 und Neo — 64 733 64 733 A600 = 5646 == 11,47 Kr.. welchen Betrag ein gerade 60-jähriger Mann also (außer gewissen Zulagen, vgl. weiter unten) erlegen muß, um sich eine sofort be- zinnende, lebenslängliche Leibrente von 1 Kr. jährlich zu erwerben Hieraus läßt sich wiederum berechnen, was eine jährliche Rente von oeliebiger Größe mindestens kosten muß. 1) AEgteskaber, Fodte og Dode 1911—16 (Statistisk Tabelverk, 5. Rk. Litr. A, Nr. 15), Kobenhavrn 1924. &. 892* 582 Aus rein prinzipiellen Gründen haben wir hier den Wert der sofort beginnenden Leibrente betrachtet, weil dieser Wert in vielen anderen Verbindungen Verwendung findet (vgl. weiter unten). Aber die Leibrente kann auch aufgeschoben sein (z. B. n Jahre), d. h. daß sie erst nach n Jahren zu laufen beginnt, wenn die betreffende Person so lange lebt, und sie kann abgekürzt (z. B. nach m Jahren aufhören), d. h. nicht in allen Fällen lebenslänglich sein, indem sie höchstens m Male zur Auszahlung gelangt. Die Bedeutung dessen, mit der Berechnung von Tabellen über die Größen D, und N, anzufangen, wird nun daraus erhellen, daß sich auch der Wert dieser anderen Formen von Leibrenten ganz einfach aus den Tabellen über D, und N, finden läßt. Durch Be- trachtungen, die genau denen entsprechen, welche zum Ausdruck für ax führten, findet man, daß der Nettokapitalwert im Alter x einer um n Jahre aufgeschobenen und nach m Jahren aufhörenden Leib- rente gleich nl N zn —Nx-4n-4+m Dx wird. Speziell folgt hieraus, daß der Wert einer um 1 Jahr auf- geschobenen, aber lebenslänglichen Leibrente gleich wird, ein Resultat, dessen Richtigkeit auch unmittelbar einleuchtet. 373. Im allgemeinen erwirbt man sich nun nicht eine Leib- rente oder eine beliebige andere „Versicherung“ durch einmalige Er- legung einer Kaufsumme (Prämie), sondern durch vorherige Zahlung einer Reihe gleich großer, z. B. jährlicher Prämien. Die Berech- nung der Größe dieser Prämien kann jedoch nach genau denselben Prinzipien, die im Vorhergehenden ‚angewandt wurden, erfolgen. Beispielsweise wird der Nettokapitalwert einer jährlichen Prämie von p Kr., die n Male erlegt wird (zum erstenmal im Alter x) und für diesen Zeitpunkt berechnet ist, gleich dem Wert einer so- fort beginnenden und nach n Jahren aufhörenden Leibrente von p Kr. jährlich und also gleich P*Inax = pe sein. Wenn man sich für diese Prämie eine nach Aufhören der Prämienzahlung beginnende lebenslängliche Leibrente von 1 Kr. er- werben will, dann ist der Wert dieser, ebenfalls für den x-ten Ge- 583 burtstag berechnet, gleich dem Nettokapitalwert einer um n Jahre aufgeschobenen lebenslänglichen Rente, die Nz+n beträgt, woraus folgt, daß N — No Nz-+n PD De und hieraus wiederum, daß —— Nxytn PD Ne Na Beispielsweise findet man aus der oben erwähnten Sterbetafei unter der Voraussetzung eines 4-prozentigen Zinsfußes, daß No = 471352 und Neo = 64 733 ıst, woraus folgt, daß 64 733 PD = 206619 0,1592 Kr. wird, so daß sich die oben gefundene einmalige, am 60sten Geburts- tage zu erlegende Prämie von 11,47 Kr. durch eine jährliche Prämie von 0,1592 Kr., die am 30sten Geburtstage zum erstenmal und am Osten Geburtstage zum letztenmal zu zahlen ist, ersetzen läßt. Es geht hieraus hervor, daß die Größen D, und N, auch bei jer Konvertierung einer einmaligen Prämie in eine jährliche Prämie von Nutzen sein können; es kann natürlich auch davon die Rede sein, die Prämien für Zeiträume anderer Dauer (Quartale, Monate ısw.) zu berechnen. 374. Da der Nettokapitalwert der Leibrente, wie es auch aus jen oben gefundenen Ausdrücken erhellt, natürlich von dem Alter abhängt, von dem an die Rente zu laufen beginnt, so sei bemerkt, laß man nicht unmittelbar durch Benutzung der dem gegebenen Alter entsprechenden mittleren Lebensdauer den Nettokapitalwert iinden kann. Nach der oben benutzten Tafel für Männer und für lie Jahre 1911—20 ist die mittlere Lebensdauer für 60-jährige etwa 15,6 Jahre. Wenn man hier seinen Ausgangspunkt nähme und den Wert einer sofort laufenden, lebenslänglichen Leibrente von der Be- ‚rachtung aus berechnete, daß die Rente durchschnittlich 16mal zur Auszahlung gelangte, am 60sten Geburtstage zum erstenmal und am 75sten zum letztenmal, und daher am 60sten Geburtstage den Wert LT Ly Ley 1— 16 584 haben wird, wo bei einem Zinsfuß von 4 °% pro anno v = * 0,96154 ist und daher gleich 1 — 0,53391 0,46609 0,083846 — 0,03846 — 12,12 Kr. sein muß, dann erhält man einen zu hohen Wert. Wie bereits im $ 157 erwähnt, kann man im allgemeinen auch nicht die Erwartung für eine durch eine andere (hier das Alter x) ausgedrückte Größe (hier ax) finden, indem unmittelbar die Er- wartung für x [hier die mittlere Lebensdauer e (x)] in den Ausdruck eingesetzt wird. Es ist übrigens leicht einzusehen, daß der Nettokapital- wert einer Leibrente stets kleiner sein muß als der Nettokapitalwert einer Annuität von so vielen Beiträgen, wie die mittlere Lebensdauer angibt. Aufgabe 114. Nach dem dänischen Altersrentengesetz aus dem Jahre 1927 beträgt die Altersrente, von unten genannten Abzügen abgesehen, normaler- weise für alleinstehende Personen in der Hauptstadt folgende Jahresbeträge : Alter des ANeinstehende Antragstellers Männer Frauen 65 Jahre 678 Kr. 642 Kr. 66 744. ,, 708 ,, 67 810 774 , 68 876 840 Das Recht dazu, die Rente in voller Höhe zu genießen, ist dadurch bedingt, daß die jährliche Eigeneinnahme nicht 100 Kr. übersteigt. Wenn die Einnahme zwischen 100 und 300 Kr. liegt, wird der Rente 50°, des die 100 Kr. über- steigenden Betrages abgezogen; liegt die Einnahme zwischen 300 und 600 Kr., dann wird 75° des die 300 Kr. übersteigenden Betrages abgezogen; und wenn die Einnahme über 600 Kr. liegt, sind 100%, des diese Grenze übersteigenden Betrages abzuziehen. Zeichne eine Kurve, die angibt, wie die Altersrente mit der Eigeneinnahme variiert, und untersuche, in welchen Fällen eine Person mit oder ohne Eigen- einnahme vorteilhaft mit ihrem Altersrentenantrag warten kann. Es sind hierbei folgende Werte für Dx und Nx zu verwenden: Dx 7 Frauen 4445 4156 3873 3599 305. Das bei der Berechnung des Wertes einer Leibrente an- gewandte Verfahren kann nun auch dann zur Verwendung gelangen, wenn es sich um Versicherungen auf den Todesfall handelt. Hier 38: wollen wir uns der Einfachheit halber vorstellen, daß die Ver- zicherungssumme ({z. B. 1 Kr.) am Schlusse des Todesjahres der ver- sicherten Person zur Auszahlung fällig ist. Wenn also der Tod im Alter zwischen (x +h —1) und (x +h) Jahren eintrifft, dann ist die Versicherungssumme h Jahre nach der Erreichung des Alters x fällig, ın welchem Tage sie den Wert v” hat. Und da die Wahrscheinlichkeit lafür, daß die versicherte Person im Laufe dieses Jahres stirbt, gleich _ Kx+h—1)—1(x+h) Axt 1 — x+h=D ist, so beträgt der erwartete Wert der Unkosten bei einer solchen Versicherung Ar=Qyv!+ Qt VI 0 Wenn man in Analogie zu der bei den Leibrentenberechnungen benutzten „diskontierten Anzahl von Überlebenden“ hier die „dis- kontierte Anzahl von Toten“, nämlich Cr = (x) — (x + 1))- vH verwendet und in einer Tabelle über C, von unten her summiert, so daß man eine Tabelle über Mı= CC, + Cx+1 + Cy+2- ..... arhält, dann wird, da 0x. V x ; = Qx-FH 9 V' Cx+1 . — usw. Ist, D; Lr Wie eine Leibrente, so kann auch die Versicherung auf den Todes- fall sowohl aufgeschoben als auch aufhörend (temporär) sein, wenn die Versicherungssumme nur zur Auszahlung gelangt, falls die versicherte Person mindestens m Jahre nach Eingang der Versicherung jebt und dann vor Ablauf von n Jahren stirbt. Der Nettokapyitalwert einer solchen Versicherung beträgt x Jahre nach ihrem Inkrafttreten We Mxt+m+n ). 5 Wenn man den Wert der nicht aufgeschobenen und nicht auf- hörenden Sterbefallsversicherung als den Unterschied zwischen den Werten P und Q zweier lebenslänglichen Leibrenten betrachtet, von denen die eine am Schlusse jedes Jahres am Jahrestage des Inkraft- tretens der Versicherung und zum letztenmal am ersten Jahrestage nach dem Tode, die zweite am Ende jedes Jahres am Jahrestage des Inkrafttretens der Versicherung und zum letztenmal am letzten 586 Jahrestage vor dem Tode zur Auszahlung gelangt, dann werden sich sämtliche Glieder dieser Differenz mit Ausnahme des letzten (die Sterbefallsversicherungssumme 1 Kr.) aufheben. Und aus P=V-3x Q0=a:-—1, folgt dann, daß Ar=P-0= 7-41 — a4 +1=1—(1—V) ax ist, so daß sich A, auch aus einer Tabelle.über ax berechnen läßt. Aus der oben erwähnten Sterbetafel findet man beispielsweise bei einem Zinsfuß von 4°% p. a. Meo = 3157 Deo = 5646 und hieraus wiederum 3157 _ 0,5587 Kr. As0 = 5646 Da wir oben unter gleichen Voraussetzungen a0 =11,47 Kr. fanden, wird 1—v) an = (1 — - 11,47 = 0,4413 Kr., und man erhält daher auch Ago — 1 —— (1 — V)ago — 1 — 0.4413 ZZ 0,5587 Kr. Aufgabe 115. Ein 30-jähriger Mann übernimmt einen Bauernhof in lebens- länglicher Pacht (dän.: livsvarigt Feste) gegen eine einmalige Zahlung von 1= 6000 Kr. (dän.: „Indfestning“) und einen jährlichen Zins (dän.: „Landgilde“) von g = 600 Kr. Finde denjenigen Zuschlag (i = den Zinsen der Übernahmesumme) zur Landgilde, welcher der einmaligen Übernahmezahlung gleich wird? Unter der Voraussetzung, daß die Summe aus dem Zins der Übernahme- summe und der Landgilde (i-+ g) die ständige Jahreseinnahme des Gutsbesitzers aus dem Pachthofe ist, hat man die Größe des Kapitals zu ermitteln, dessen Zins- betrag die Jahreseinnahme abzulösen vermag. Wenn das Pachtverhältnis durch eine Ablösung im 53sten Lebensjahre des Pächters unterbrochen wird, welcher Betrag (E) steht dann wohl dem Pächter als Entschädigung für denjenigen Teil der seinerzeit erlegten Übernahmezahlung (I) zu, welcher der Periode, in der das sonst lebenslängliche Pachtverhältnis nicht mehr bestehen wird, entspricht. Setzt man diesen Ablösungsbetrag gleich K und den Verkehrswert des Pachthofes gleich V==38000 Kr., dann ist festzustellen, wie die Differenz V—-K auf den Pächter (dessen Anteil kann als „Wert des Pachtrechts‘“ ausgedrückt werden) und den Gutsbesitzer zu verteilen ist, indem man voraussetzt, daß der ganze Unterschied erst beim Tod des Pächters dem Gutsbesitzer zusteht. Für welchen Betrag kann hiernach der Pachtbauer Freisasse werden? Welches wird laut dänischem Gesetz von 30. 6. 1919 betr. Übergang des Pacht- yuts zu freiem Eigentum die Kaufsumme ? (Nach diesem Gesetz kapitalisiert man, 5 um die Kaufsumme zu ermitteln, den Geldwert der im Pachtkontrakt ver- zeichneten jährlichen Leistungen (Landgilde) mit 25 uud addiert hierzu denjenigen Betrag, der auf Zins und Zinseszins (4°/, p. a.) in der mittleren Lebensdauer des Pächters den Unterschied zwischen dem kapitalisierten Betrag und dem Verkehrs- wert ausmacht). Man rechnet wie im Gesetz mit 4° p. a. und auf Grund der nach dänischen Erfahrungen für die Jahre 1906 —10 für Männer berechneten Sterbetafel, wonach die mittlere Lebensdauer für 53-jährige Männer 20 Jahre beträgt und D..= 24315 D.,= 822 N. = 465870 N. ‘110508 M,; = 3970 st. 376. Die Zahl der Beispiele ließe sich nun noch bedeutend vermehren, u. a. sind Versicherungen auf verbundene Leben, z. B. die viel verwendete Überlebensrente, noch gar nicht erwähnt worden. Hierüber muß jedoch auf die speziellen Lehrbücher!) ver- wiesen werden. Die hier behandelten Fälle wollen zeigen, nach welchen Prinzipien man den Nettokapitalwert der Auszahlungen berechnen kann, die zu erwarten sind, wenn die Versicherungs- gesellschaft den Versicherten gegenüber ihre Verpflichtungen einzu- lösen hat. Ganz entsprechende Verfahren können bei der Berechnung der sogenannten Prämienreserve zur Verwendung gelangen. Eine Versicherungsgesellschaft ist ja nicht solvent, wenn nicht das in der Gesellschaft vorhandene Kapital in Verbindung mit dem augenblicklichen Wert der zukünftigen Leistungen der Versicherten jederzeit die kapitalisierten zukünftigen Ausgaben zu decken in der Lage ist. Wenn es sich um zeitlich begrenzte (kurze) Versicherungen handelt, gilt es, einen so großen Teil der vorausbezahlten Prämien, der dem Wert der in der noch nicht verstrichenen Versicherungszeit zu erwartenden Schäden entspricht, und eine passende Schadenreserve für die bereits eingetroffenen, aber noch nicht vergüteten Schäden, als Deckung zu halten. Anders liegt die Sache bei langfristigen Versicherungen. Wenn beispielsweise die im $ 375 erwähnte lebenslängliche Versicherung auf den Todesfall betrachtet wird, dann ist deren Nettokapitalwert Ax Kronen. Von dem im folgenden erwähnten Zuschlag abgesehen, kann unter den getanen Voraussetzungen die Versicherung ein für allemal, wenn der Versicherte x Jahre alt ist, mit diesem Betrage geregelt werden. Gewöhnlich wendet man indes die periodische Prämien- ‘) S. u. a. Landr €, Mathematisch-technische Kapitel zur Lebensversicherung, 3. Ausg. 1905; E. Czuber, Wahrscheinlichkeitsrechnung, 2. Ausg. 1910; In- stitute of Actuaries’ Text-Book und N. R. Jörgensen, Grundzüge einer Cheorie der Lebensversicherung, Jena 1913. — 588 zahlung an. Wenn diese wie bei soviel andern Fragen der Versicherung in der Weise gehandhabt würde, daß man sich z. B. für ein Jahr aufs Mal versicherte, dann würde es sich auch hier nur um kurzfristige Versicherungen handeln. Aber die Prämie müßte dann variieren, da es sich jedes Jahr um eine nach 1 Jahr aufhörende Versicherung handelte, deren Wert am x-ten Jahrestage gleich A 4 wäre. Diese Prämie kann man als die natürliche bezeichnen; sie wird jedoch in praxi fast nie angewandt, weil sie als Proportionale zur Sterbewahrscheinlichkeit q, mit dem Alter erheblich anwachsen und sich allmählich einer Größe nähern wird, die gleich der Ver- sicherungssumme ist; und gleichzeitig nimmt die Arbeitstauglichkeit und damit die Prämienzahlungsfähigkeit ab. Die gewöhnliche Art und Weise der Versicherung ist daher die, daß man gleich große, z. B. jährliche, Prämien durchs ganze Leben hindurch zahlt. Wird diese Prämie für eine Person, die am x-ten Geburtstage die Ver- sicherung eingeht, mit P, bezeichnet, dann gestaltet sich an diesem Tage der Kapitalswert sämtlicher Prämien Px-ax (vgl. $ 373) so, daß der Versicherungswert A, durch gleichgroße Jahresprämien von der Größe Pı =— As Kr., die zeitlebens zu entrichten sind, äqui- valiert werden kann. Wenn man sich nun die Zahlung für die Versicherung auf ein- mal durch A, Kronen oder mittels einer festen Jahresprämie von Px Kr. erledigt denkt, dann werden die von der Versicherungsgesellschaft zu Anfang erhaltenen Beträge erheblich viel größer sein als die, welche sofort der Häufigkeit, mit der die Sterbefälle anfangs eintreffen, ent- sprechen. Stellt man sich vor, daß eine große Anzahl von x-jährigen Per- sonen gleichzeitig Versicherungen der hier betrachteten Art zeichnen, daß sie gerade in der von der Sterbetafel angegebenen Weise sterben und daß die Gesellschaft aus den empfangenen Prämien gerade die vorausgesetzte Zinseinnahme hat, dann würden die eingezahlten Prämien nebst Zinsen anfangs das, was zur Auszahlung der Ent- schädigungen erforderlich wäre, bei weitem übersteigen, andererseits aber gerade in dem Augenblick verbraucht sein, wo der letzte dieser Versicherten stürbe und die für ihn gezeichnete Versicherungs- summe ausbezahlt wäre. In Wirklichkeit wird.es indes so gehen, daß im Laufe des einzelnen Jahres nur ausnahmsweise gerade die erwartete Anzahl stirbt: in einigen Jahren sterben viele, in anderen 389 vielleicht weniger. Wenn im ersten Versicherungsjahre mehr als berechnet sterben, verliert die Gesellschaft teils einige Jahresprämien und teils einige Zinsen der Beträge, die eher als erwartet zur Aus- zahlung gelangen. Handelt es sich hierbei um eine solche Abweichung von der erwarteten Sterblichkeit, die im Vorhergehenden als zu- fällig bezeichnet wurde, so daß man also erwarten muß, daß die noch Verbliebenen ohne Rücksicht hierauf nach demselben Gesetz wie lem bei der Prämienberechnung angewandten sterben werden, dann wird der Rest der erlegten Prämien und der augenblickliche Wert ler Prämien, die erwartungsgemäß in der Zukunft eingehen werden, nicht zur Einlösung der Verpflichtungen der Gesellschaft ausreichen, und diese hat dann aus eignen Mitteln den Fehlbetrag zu decken. Umgekehrt geht es, wenn im Laufe des Jahres weniger als erwartet sterben. Der vorhandene Rest der Prämien wird dann in Verbindung mit dem erwarteten Wert der zukünftigen Prämien größer sein als der erwartete Wert der Verpflichtungen der Gesellschaft. Zu welchem Betrage dieser erwartete Wert (der Nettowert der Prämienreserve) zu einem gegebenen Zeitpunkt anzusetzen ist, das läßt sich, wie er- wähnt, nach den gleichen Prinzipien, wie sie bei der Berechnung des Nettowerts der verschiedenen Versicherungsformen Verwendung fanden, berechnen und soll an dieser Stelle nicht behandelt werden. Es ist jedoch klar, daß eine Versicherungsgesellschaft, um ihre Bilanz auf- stellen zu können, in der Lage sein muß, denjenigen Teil der bei der Gesellschaft eingezahlten Prämien, der zu guter Letzt den Ver- sicherten gehört, zu berechnen und festzustellen, ob dieser Prämien- betrag den zukünftigen Verpflichtungen gegenüber ausreicht. 37/70. Hinsichtlich der im Vorhergehenden berechneten Werte bemerkten wir gelegentlich, daß sie Mindestbeträge, für die sich die betreffenden Versicherungen erwerben lassen, angeben. Da jegliche Versicherungstätigkeit darauf beruht, daß eine gewisse große Anzahl von Versicherungen erworben werden kann, so muß außer den eigentlichen Nettoleistungen auch ein Zuschlag zur Bestreitung der Verwaltung der vielen eingehenden Prämien und zur Organisation der Versicherungstätigkeit überhaupt in Frage kommen. Über die Größe einer solchen Mehrleistung läßt sich von einem theoretisch- statistischen Standpunkte aus so gut wie nichts sagen; zum Teil ist sie von der Lage der Konkurrenz und in allen Fällen davon ab- hängig, wie billig die Gesellschaft zu wirtschaften vermag. Darüber hinaus wird eine Gesellschaft mittels besonderer Zu- schläge zur reinen Nettoprämie einen Reservefond zur Deckung un- 590 vorhergesehener Verluste anzusammeln suchen. Nur ausnahmsweise wird nämlich davon die Rede sein, gerade die erwarteten Entschädi- gungssummen auszahlen zu müssen. Jede statistische Vorausbe- rechnung dieser Summen ist schon daher mit einer gewissen Un- sicherheit behaftet, daß sich teils der Zinsfuß, teils die Häufig- keit der Ereignisse, gegen deren Eintreffen man sich versichert (Tod, Krankheit usw.), dauernd verändern kann. Im 8 381 kehren wir zu den durch solche Unsicherheitsmomente veranlaßten Fragen zurück. Eine gewisse Unsicherheit läßt sich übrigens auch auf das Vorhandensein von Individualursachen („zufälligen“ Abweichungen) zurückführen; als Maßstab für diesen Teil der Un- sicherheit hat man indes wie bei jeder ähnlichen Berechnung den mittleren Fehler. Wenn man den einfachen Fall, wo jede von insgesamt n Per- sonen für den gleichen Betrag, nämlich a Kronen, gegen einen mit der Häufigkeit von p eintreffenden Schaden versichert ist und die bis zur Auszahlung verstreichende Zeit gleich t gesetzt wird, dann muß der gegenwärtige Wert der Ausgaben der Gesellschaft gleich a-v‘.n-p sein; und da der mittlere Fehler an der erwarteten An- zahl von Schäden gleich Vnpq ist, wo q=1-—D, so wird der mittlere Fehler des gegenwärtigen Werts der Ausgaben gleich a v‘-Ynpq sein. Wenn sich z. B. jede von 10000 Personen für 500 Kr. gegen ein Ereignis, das mit einer Wahrscheinlichkeit von !/,9 eintrifft, und dessen Diskontofaktor gleich 1/4, ist, versichern läßt, dann wird der Kapitalwert der erwarteten Ausgabe jetzt gleich 10000 - + - 500 - + = 250000 Kr., und der mittlere Fehler gleich 4 - 500 -V10 000-7 7% = 7500 Kr. sein. Hat man demgegenüber einen Reservefond von 15000 Kr., dann wird die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die wirkliche Ausgabe um nicht mehr als 15000 Kr. (d.h. 2mal den mittleren Fehler) von der arwarteten abweicht, gemäß der Tabelle 22 gleich 0,954 gesetzt werden können. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Reservefond nicht verbraucht wird, d. h. dafür, daß die faktische Ausgabe nicht über 250000 +2 . 7500 — 265000 Kr. hinausgeht, wird dann gleich 4 (1 — 0,954) = 0,023. Wenn der Reservefond 30000 Kr., also das Vierfache des 591 mittleren Fehlers beträgt, dann ergibt sich eine entsprechende Wahr- scheinlichkeit von nur 0,00003. Setzt man die Anzahl der Versicherten auf breiterer Basis gleich n, dann ist die erwartete Leistung gleich 25 n Kr. und der mittlere Fehler gleich 75 Vn Kr. Und rechnet man mit einem Zu- schlag des dreifachen mittleren Fehlers als hinlänglich zur Deckung von Verlusten bei zufälligen Abweichungen, dann muß die Gesell- schaft den n Versicherten eine Prämie von 25n+225Vn Kr. abverlangen, was für jeden einen Betrag von 225 . pP= 25 + Ya Kr. ergibt. Die oben betrachtete Gesellschaft mit 10000 Versicherten muß niernach 27,25 Kr. pro Person verlangen, während eine Gesellschaft mit 250000 dieser Art von Versicherungen an einer Prämie von 25,45 Kr., d.h. an einem 5mal so kleinen Sicherheitszuschlag genug hat. Wenn indes erstere Gesellschaft von ihrem Eigenkapital irgend einen Beitrag für die Sicherheitsreserve entbehren kann, dann genügt auch ein entsprechend geringerer Zuschlag zur Prämie und damit überhaupt eine kleinere Prämie. 348. Angenommen, eine Gesellschaft habe eine Reihe verschie- jener Versicherungen von wechselnder Anzahl und Schadenfrequenz, von varilierendem Betrag und Zeitraum, wie in folgendem Schema: CI Pı tt a PP % Ns as Ps tg U.S.W. Der jetzige Wert der erwarteten Ausgabe wird dann wie im oben betrachteten einfacheren Falle gleich a,n,p, V'ı + a2nspVhR-+...... == Nav'np und der mittlere Fehler im Verteilungsgesetz für diesen Betrag gleich VSalzy?t. nDa sein. Als Beispiel sei folgendes angeführt: Kine Feuerversicherungs- zesellschaft hat 10000 Besitzungen versichert, nämlich Besitrnne- - :e 96 1 A ) Kr. 3 3 Zn NM 9 38 592 Die Wahrscheinlichkeit für Brandschaden im Laufe eines Jahres wird für sämtliche Komplexe gleich 1%.) gesetzt, und wir denken uns der Einfachheit halber, daß alle eintreffenden Schäden volle Vergütung erfordern. Für den erwarteten Wert der Ausgabe er- gibt sich dann, vom Diskontofaktor abgesehen, 1 1 Sanp = 1006 San = 1006 200 000 000 = 200000 Kr., während die Quadratsumme des mittleren Fehlers 999 999 2— 1“ * San — "1, ; 9 — : WW = 700 590 = 76 11632 - 10° = 999 . 11 632 000 und u= 107800 Kr. beträgt. Wenn die Verwaltung der Gesellschaft jährlich 50000 Kr. er- fordert und diese kein verfügbares Garantiekapital hat, sondern solches vollkommen als einen das Dreifache des mittleren Fehlers betragenden Sicherheitszuschlag beschaffen muß, dann sind für diese Versicherungen insgesamt folgende Prämienbeträge zu erheben: Nettoprämie . . . . 200000 Kr. Sicherheitszuschlag . 323400 , Verwaltung .... 50000 „ Zusammen 573 400 Kr. Das macht 2,87 Kr. pro 1000 Kr. Gebäudewert. Kann die Gesellschaft dagegen von ihrem Eigenkapital z. B. 100000 Kr. zum Ausgleich einer zufälligen Abweichung von der er- warteten Anzahl von Schäden reservieren, dann braucht der Sicher- heitszuschlag nur 223400 Kr. zu betragen, und die Prämie ist dann nur 2,37 Kr. pro 1000 Kr. Gebäudewert. Aus dem Ausdruck V/Xa?v?npq für den mittleren Fehler geht hervor, daß die großen Versicherungen ein verhältnismäßig großes Risiko im Gefolge haben. Denkt man sich z. B. zwei Gesellschaften mit je 10 Mill. Kr. Versicherungssumme, von denen die eine die Summe auf 10000 Versicherungen zu je 1000 Kr., die andere auf 100 Versicherungen zu je 100000 Kr. verteilt hat, und daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Schäden eintreffen, !/,g ist, dann wird die erwartete Ausgabe, vom Diskonto abgesehen, in beiden Gesell- schaften gleich 1 Mill. Kr. sein. Für die erste Gesellschaft aber ist der mittlere Fehler dieses Betrages 1000 710000 - +5 - 5 = 30000 Kr. und für die andere 100000 V100 - +. +% = 800000 Kr., 5393 also das Zehnfache. Wenn sich die beiden Gesellschaften zusammen- schlössen, würde die erwartete Ausgabe gleich 2 Mill. Kr., der mittlere Fehler jedoch V/30 000? + 300 000? = 301 496 Kr., also nur um ein Unbedeutendes größer als für die 100 Versiche- rungen allein sein. Etwas ganz Entsprechendes geht aus der Betrachtung des oben angeführten Beispiels über die 10000 Gebäudekomplexe von höchst verschiedenem Wert hervor. Wenn sämtliche Komplexe gleich groß wären und einen Wert von je 20000 Kr. hätten, dann wäre die erwartete Ausgabe unverändert die gleiche, nämlich 200000 Krr., während der mittlere Fehler / 1 999 20.000 V 10.000 - 7596 * 1000 08214 Kr. also erheblich viel weniger als im erstgedachten Falle betrüge. Aufgabe 116. Eine Versicherungsgesellschaft hat eine Versicherungs- summe von 10 Mill. Kr. auf 10000 gleich große Versicherungen verteilt. Die Schadenfrequenz ist gleich 4%. Welchen Bruchteil der erwarteten Schadenausgabe beträgt der mittlere Fehler? Wie groß wird dieser Bruchteil, wenn die Gesellschaft weitere drei Ver- 3zicherungen derselben Art, aber jede von 100000 Kr. übernimmt? Einen wie großen Teil der 3 neuen Versicherungen muß die Gesellschaft rückversichern, und welchen Teil kann sie für eigene Rechnung übernehmen, wenn der erwähnte Bruchteil durch den Abschluß nicht anwachsen darf? Wir haben in diesen Beispielen der Einfachheit halber voraus- zesetzt, daß die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines Schadens lieselbe ist. Es geht indes aus den Formeln für die erwartete Aus- zabe und deren mittleren Fehler hervor, wie die Berechnung vor- zunehmen ist, wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist. Dies ist u. a. bei Versicherungen, bei denen ein Teilschaden eintreffen kann, so daß die ganze Versicherungssumme nicht zur Auszahlung gelangt, von Bedeutung. Man muß sich dann bloß vorstellen, daß die Wahr- scheinlichkeit dafür, daß Schäden von kleinerem oder größerem Aus- maße eintreffen, bekannt sind. 349. Mit den hier getanen Bemerkungen beabsichtigten wir nur zu beleuchten, wie die Statistik zur Lösung der vom Versiche- rungswesen aufgeworfenen Probleme, besonders der rein theoretischen, veiträgt. Es sei jedoch auch darauf hingewiesen, daß in praxi eine Menge anderer Verhältnisse zu berücksichtigen sind. Einige dieser sollen hier erörtert werden. Westergaard und Nybelle, Theorie der Statistik, 2. Aufl. 594 Was zunächst die Berechnung der Leistungen der Versicherten betrifft, so wurde oben an Beispielen gezeigt, wie sich diese so an- setzen lassen, daß sie sich im einzelnen möglichst dem entsprechenden Nettokapitalwert der Leistung der Gesellschaft nebst Zuschlag für Verwaltung und Risiko anpassen. Solch eine sorgfältige Anpassung wird jedoch nicht immer vorgenommen. Die Kranken- und Be- zräbniskassen z. B. arbeiten oft mit festen Beiträgen ohne Rücksicht auf das Eintrittsalter der Mitglieder oder wenigstens mit einer recht unvollkommenen Skala. Da die Alten durchgängig Tod und Krank- heit viel mehr ausgesetzt sind als die Jungen, sind es also in Wirklichkeit die Jungen, die den Alten einen Teil der Bürde ab- nehmen müssen. Es handelt sich für die Kassen aber nur darum, die gesamten Einnahmen und Ausgaben abzubalanzieren, einerlei, ob die einzelne Versicherung balanziert oder nicht. Ein solcher fester Beitrag wird besonders häufig bei Gesellschaften mit gesetzlichem oder faktischem Monopol praktisiert werden. Wenn sämtliche Gebäude einer Stadt in derselben Feuerversicherungsgesellschaft ver- sichert werden sollen, dann braucht diese zur Deckung der Unkosten die gesamten Ausgaben nur gleichmäßig auf alle Versicherungen umzulegen, auf Dampfmühlen, Wohnhäuser usw., und dies trotz des sehr verschiedenen Risikos. Wo jedoch die freie Konkurrenz herrscht, muß sich die einzelne Prämie notwendigerweise einem Niveau nähern, das der Wahrscheinlichkeit des Feuerschadens ent- spricht; denn wenn die Gesellschaft bei der festen Prämie beharren wollte, brauchte der Konkurrent nur eine niedrigere Prämie für die gefahrfreien und eine höhere für die gefährlichen Risici festzusetzen, um die ersteren anzulocken. Die Gesellschaft der festen Prämie würde also Gefahr laufen, nur die „schlechten“ Versicherungen zu behalten und für diese die Prämie erhöhen zu müssen, Überhaupt müssen die Versicherungsprämien demselben allge- meinen Gesetz, dem die Warenpreise unterliegen, folgen. Die Kon- gurrenz wird hier also dieselbe fortwährende Teilung des Materials, wie sie die wissenschaftliche Statistik vornehmen muß, erzwingen; sie wird jeder Ursache, die einen Einfluß ausüben kann, nachspüren, um festzustellen, welche Versicherungen Gewinn und welche Verlust erbringen. Bisher ist übrigens in dieser Beziehung nur ein kleiner Teil der zu leistenden Arbeit bewältigt worden. Sogar in dem Zweige, der die höchste Entwicklung erreicht hat, in der Lebens- versicherung, ist man oft dazu gezwungen, nach rohen Schätzungen vorzugehen, so z. B. hinsichtlich der bei Reisen nach den Tropen 595 hervorgerufenen größeren Sterblichkeit oder der mit gewissen Krank- heiten oder Veranlagungen behafteten Personen. Das Ideal ist erst dann erreicht, wenn man auch für solche Personen, z. B. Tuberkulöse, die Beiträge rationell berechnen kann. 380. Von einem rein statistischen Gesichtspunkte aus wird ferner aus den im Vorhergehenden behandelten Beispielen erhellen laß eine große Versicherungsgesellschaft unter sonst gleichen Bedingungen im allgemeinen einer kleinen überlegen sein wird; je größer nämlich die Zahl der Versicherungen ist, desto genauer lassen sich Vorausberechnungen vornehmen, und eine große Gesellschaft braucht, wie oben gezeigt, eine verhältnismäßig geringere Prämie als eine kleine und ebenfalls einen kleineren Reservefonds. Jedoch gilt diese Regel nicht ohne Ausnahme, da für manche Versicherungen die vom Gesetz der großen Zahl vorausgesetzten Bedingungen nicht erfüllt sind. Handelt es sich um ein ganzes Volk, dann werden die Krankheiten vielleicht den Glücksspielgesetzen folgen, bei einer großen Krankenkasse aber, wo die Mitglieder keine gegenseitige Kontrolle üben können und die Kasse daher der Gefahr ausgesetzt ist, für Simulanten bezahlen zu müssen, stimmen lie Zahlen vielleicht weniger gut mit dem faktischen Gesundheits- zustande überein als bei einer kleinen Kasse, selbst wenn die neueren Erfahrungen darauf hindeuten, daß die fortschreitende Aufklärung in der Bevölkerung auf diesem Gebiete erhebliche Schwierigkeiten beseitigt hat. Wo in einer Versicherungsgesellschaft Eigennützigkeit der andere Ursachen eine Abweichung vom Durchschnitt bewirken können, sind besondere Maßregeln zur Umgehung dieser Gefahr zu sreffen. In der Lebensversicherung kann man z.B. die Ausstellung gines ärztlichen Totenscheins zur Bedingung der Auszahlung der Versicherungssumme machen und in der Viehversicherung vergütet man beispielsweise mitunter nur einen gewissen Teil des eingetretenen Schadens usw. Wo solche Maßregeln nicht ausreichen, wird man vielleicht darauf angewiesen sein, den Umfang der Versicherung örtlich zu begrenzen. Ein schlagendes Beispiel hierfür bilden die zroßen englischen Arbeitervereine, die „affiliated orders“, die unter ler Entwicklung der Arbeiterversicherung eine so große Rolle ge- Spielt haben. Um die Aufgaben der Krankenkassen zu lösen, hat man hier eine Einteilung in kleinere Logen (lodges) vorgenommen, während man für die übrigen Versicherungszweige größere Gebiete districts) bildete. Wenn — von diesen Ausnahmen abgesehen — die großen Ver- 9Q* 596 sicherungsgesellschaften in statistisch -technischer Beziehung den Vorzug verdienen, dann könnte man fragen, ob es vorteilhaft ist, daß eine Gesellschaft verschiedene Versicherungszweige in sich ver- einigt, namentlich dann, wenn eine zentrale, gemeinsame Verwaltung dieser Zweige vorliegt, also nicht wie es in Wirklichkeit oft der Fall ist, wenn eine Gesellschaft zwei gesonderte Abteilungen hat, deren jede einen eigenen Reservefonds besitzt. Die meisten werden diese Frage verneinen und sich sogar gegen die Vereinigung verschiedener Versicherungen, z. B. von städtischen und ländlichen Gebäuden in derselben Feuerversicherungsgesellschaft, aussprechen. Vielleicht birgt sich hinter dieser Auffassung oft der Gedanke, daß man für jeden Prämienbetrag so viele Versicherungen haben muß, daß das Gesetz der großen Zahl zur Geltung kommt. Man hält es also z. B. für not- wendig, so viele Dampfmühlen in einer und derselben Feuerversicherungs- gesellschaft zu vereinigen, daß sich annähernd die auf diese Mühlen entfallenden Verluste für jedes Jahr vorausberechnen lassen. Die für die Statistik geltenden Grundsätze haben uns indes ge- lehrt, daß dies nicht erforderlich ist; wenn nur die Gesamtzahl der Versicherungen hinlänglich groß ist und man die einzelnen Wahr- scheinlichkeitswerte kennt, dann lassen sich die Gesamtausgaben annähernd vorausberechnen ohne Rücksicht darauf, ob sich die Ver- sicherungen auf viele Zweige verteilen oder nicht. Die Lebens- versicherungsgesellschaften sind hierfür ein ausgezeichnetes Beispiel, da sie höchst verschiedene Versicherungen: Lebensversicherungen, Leibrenten usw. umfassen, deren Kapitalwert nach Alter, Geschlecht, Gesundheitszustand usw. der Versicherten stark variiert. Es folgt sogar aus den Grundsätzen der Statistik, daß ein Zusammenschluß verschiedener Zweige die Sicherheit einer Versicherungsgesellschaft nur erhöhen kann; jedoch müssen dann die Beiträge der Versicherten rationell berechnet und die einzelnen Versicherungszweige in gleichem Maße dem Gesetz der großen Zahl unterworfen sein. Aber wenn man in der Regel einen solchen Zusammenschluß nicht für wünschens- wert erachtet, denselben sogar oft gesetzlich verbietet, dann hat dies seinen besonderen Grund darin, daß die oben angeführten Bedingungen nicht erfüllt sind. Die verschiedenen Versicherungszweige stehen vielleicht auf höchst verschiedener Entwicklungsstufe, so daß dem einen vielleicht ein Risiko durch die Verbindung mit anderen ent- stände, wo sich die Unkosten nicht mit derselben Genauigkeit be- rechnen ließen. Dies würde z. B. dann der Fall sein, wenn man Lebens- und Unfallversicherung unmittelbar miteinander verknüpfte. 597 Hinzu kommen nun auch noch praktische Gründe, auf die wir jedoch nicht näher eingehen können; beispielsweise sei die Furcht vor einem Betrug erwähnt, indem eine Gesellschaft mit mehreren Zweigen sich verleiten lassen könnte, eine Zeitlang durch Kunstgriffe Verluste in der einen oder der anderen Abteilung zu verschleiern; oder das Solidaritätsgefühl der Versicherten in einem Versicherungszweige könnte sich den Versicherten eines anderen Zweiges gegenüber geltend machen. 381. Wie bereits im $ 370 gesagt, ist die Bedingung dafür, auf statistischem Wege die Größe der Prämien und der erwarteten Aus- gaben berechnen zu können, die, daß man aus den für das Eintreffen eines Schadens entscheidenden Ursachen wirklich alle solchen, die als Gemeinursachen zu betrachten sind, hat ausscheiden können, so daß lie Abweichungen von der Erwartung, die im allgemeinen das Resultat sein wird, mit hinlänglich guter Annäherung als zufällig und als dem Gesetz der großen Zahl unterworfen betrachtet werden können. Gegen Verluste, die von dieser Art Abweichungen stammen, kann man sich, wie oben gezeigt, durch Schaffung eines Sicherheitsfonds oder mittels passenden Sicherheitszuschlags zu den Prämien schützen. Ist dagegen z. B. die Sterblichkeit aus irgend- einem Grunde einer dauernden Veränderung unterworfen, lann werden die dabei verursachten Verluste leicht den mittleren Fehler um ein Vielfaches übersteigen, also ganz außerhalb des Spiel- saums für zufällige Abweichungen fallen. Auch der Zinsfuß kann unberechenbaren Schwankungen unterliegen; diese können derartige Verluste verursachen, daß sie eine größere Gefahr als selbst die bedeutsamsten Veränderungen in der Sterblichkeit für die Solvenz einer Gesellschaft bedeuten!). Es ist daher notwendig, stets die Voraus- setzungen, auf denen die Tätigkeit der Gesellschaft fußt, zu unter- suchen, und wenn sich anhaltende Veränderungen zeigen, dann muß man durch zweckmäßige Veränderungen des Tarifs oder in anderer Weise das Gleichgewicht herstellen. Man wird daher nie die Tarife einer Versicherungsgesellschaft ein für allemal festlegen können (wäre dies der Fall, dann ließe sich ja z. B. eine überall und zu allen Zeiten verwendbare Sterbetafel beschaffen, und das hält jetzt doch niemand mehr für möglich); denn eine Versicherungsgesellschaft, lie einen auf Grund einer alten Tafel berechneten Tarif anwenden ') Vgl. J. Pedersen, Om et Livsforsikringsselskabs @konomi, I. Teil Koben- Qayn 1915, II. Teil. Kobenharvn 1922. 398 würde, müßte gar bald im Konkurrenzkampfe unterliegen oder in- solvent werden. Was hier von der Lebensversicherung gesagt ist, das gilt mehr oder weniger von allen Versicherungsarten. Bisweilen hört man die Auffassung zu Worte kommen, daß nach einem für eine Gesellschaft ungünstigen Jahre die Wahrscheinlichkeit für einen Überschuß im nächsten Jahre um so viel größer sein muß — und umgekehrt. Diese Auffassung deckt sich augenscheinlich mit der d’Alembertschen Theorie, wonach eine Münze, die mehrmals nacheinander Revers gezeigt hat, mit desto größerer Wahrscheinlichkeit das nächste Mal Avers ergeben wird. Wenn eine Abweichung vom Durchschnitt nur als „zufällig“ bezeichnet werden kann, wird man im folgenden Jahre mit ebenso gutem Recht Gewinn wie Verlust erwarten können. Ist die Abweichung dagegen nicht zufällig, sondern deutet sie auf dauernde Veränderungen hin, dann hat man damit zu rechnen, daß sich die beobachtete Abweichung (Gewinn oder Verlust) wiederholen wird. 382. Für eine Versicherungsgesellschaft wird es darauf ankommen, daß die Abweichungen zwischen den vorausberechneten und den faktischen Ausgaben möglichst klein werden. Man wird daher im allgemeinen die Übernahme zweier oder mehrerer kleiner Ver- sicherungen mit derselben gesamten Versicherungssumme einer großen Versicherung vorziehen. Dies hat allerdings nur dann einen Sinn, wenn die kleinen Versicherungen gegenseitig unabhängig sind; wenn sie gleichzeitig derselben Gefahr ausgesetzt sind, ist das Risiko nicht kleiner als vorher. Mehrere zusammengebaute Häuser sind in Wirklichkeit als ein und derselbe Versicherungsgegenstand zu betrachten; zwei nebeneinander gelegene Felder sind demselben Hagelschauer ausgesetzt usw. Bis zu einem gewissen Grade ist diese Gefahr unvermeidlich. Die Seeversicherungsgesellschaften werden in der Regel in Jahren mit ungünstigem Wetter gleichzeitig große Verluste erleiden, Hagelschauer gewöhnlich auf einmal ein größeres Gebiet heimsuchen, und Feuersbrünste pflegen sich in wirtschaftlich schlechten Zeiten überall zu mehren. Man erreicht aber schon sehr viel dadurch, daß man das Risiko soviel wie möglich verteilt oder begrenzt. Als solche Maßregel ist die Maximalgrenze, welche die meisten Versicherungsgesellschaften der einzelnen Versicherungssumme ziehen, zu nennen. Feuerversicherungsgesellschaften haben Bestimmungen, wonach in einem einzelnen Gebäudekomplex („Block“) nur eine gewisse Versicherungssumme aufs Spiel gesetzt werden darf usw. Kin vorzügliches Sicherungsmittel ist ferner die Rückversicherung. 599 Wenn z.B. von zwei gleich großen Gesellschaften die eine die Hälfte ihrer Versicherungen an eine andere abtreten will und umge- kehrt, sodaß beide Gesellschaften sämtliche Verluste gemeinschaft- lich tragen, dann ist die Zuverlässigkeit aller Vorausberechnungen weit größer, als wenn jede Gesellschaft für sich allein wirkte. Denn wenn in einer Gesellschaft die Zahl der Versicherungen in jeder Größenklasse plötzlich verdoppelt würde, dann müßte der mittlere Fehler der vorausberechneten Ausgaben im Verhältnis von Li zu V2 anwachsen. Wenn aber gleichzeitig jeder Verlust halbiert würde, dann müßte der mittlere Fehler im Verhältnis von 1 zu} V2, also ungefähr bis auf 0,7 abnehmen. Auf diese Weise nun wirkt die Rückversicherung, mit deren Hilfe denn auch, namentlich in der Feuer- und Seeversicherung, ein Netz über die ganze Welt gespannt ist und sich die Versicherungen oft mit ganz kleinen Raten auf die ainzelnen Gesellschaften verteilen. Ohne eine solche Rückversicherung würde z. B. eine Feuerversicherungsgesellschaft, deren Tätigkeits- feld auf einen einzigen Ort beschränkt ist, in einer sehr schwierigen Lage sein. Eine oft vertretene Ansicht geht darauf hinaus, daß eine Ver- sicherung für eine Gesellschaft um so riskanter ist, je häufiger das betreffende Ereignis eintrifft. Die Fehlerhaftigkeit dieser Auffassung ist jedoch einleuchtend; denn wenn es sich erweist, daß die Ab- weichungen zwischen den vorausberechneten und tatsächlich ein- getroffenen Ausgaben dem mittleren Fehler folgen, dann kann man mit dessen Hilfe eine sichere Basis für die Tätigkeit der Versiche- rungsgesellschaften gewinnen, einerlei, ob die Wahrscheinlichkeit für die Begebenheit groß oder klein ist. Und eine Versicherung mit hoher Prämie kann also unter gewissen Umständen ein weniger riskantes Geschäft als eine solche mit niedriger Prämie abgeben. Hinsichtlich der praktischen Berechnung des mittleren Fehlers wird man im übrigen die im III. Kapitel angeführten Sätze ver- wenden können. So wird man z. B. in den meisten Fällen aus der Formel für den mittleren Fehler die Wahrscheinlichkeit q dafür, daß eine Begebenheit nicht eintrifft, auslassen können, da diese Größe in der Regel der Einheit fast gleich ist. Bei manchen Berechnungen ler erwarteten Ausgabe und deren mittleren Fehlers wird man ferner ft auf ein verhältnismäßig begrenztes Beobachtungsmaterial hin- zewiesen sein und hat dann auch die Unsicherheit bei der Be- stimmung der Wahrscheinlichkeitswerte bei der Berechnung zu 600 berücksichtigen (vgl. $ 171 f.). Im übrigen muß auf die einschlägige Literatur verwiesen werden }). 383. Die unmittelbare Bedeutung der Berechnungen der Lebens- versicherungen für die Statistik geht daraus hervor, daß man erst mittels der Leibrentenformeln einen rationellen Ausdruck für den zukünftigen Wert der menschlichen Arbeitskraft (Gestellungskosten der menschlichen Arbeitskraft, Kostenwert des Menschen) ?) erhalten kann. Wenn erst eine Statistik über die Einkünfte in den ver- schiedenen Gesellschaftsklassen nebst einer Altersskala vorhanden ist, dann wird man für eine Person in einem gewissen Alter den Wert der zukünftigen Einkünfte als eine Leibrente mit variierendem Jahreseinkommen berechnen und nach Belieben eine solche Berech- nung auf das ganze Volk ausdehnen können. Weitere Aufgaben er- hält man, wenn die Ausgaben zu berücksichtigen sind. Was hat der Gesellschaft die Erziehung eines jungen Mannes in einem ge- wissen Alter durchschnittlich gekostet, und wie groß ist augen- blicklich der Wert seines zukünftigen Verbrauchs? Die Antwort ist dann von Bedeutung, wenn man die wirtschaftlichen Folgen der Auswanderung erfragt und berechnet, daß diese oder jene Summe als Nationalverlust aufzufassen ist. Allerdings hat Philippovich gegen solche Berechnung einzuwenden, daß man nicht danach fragen muß, was die Auswanderung an und für sich gekostet hat oder unter gewissen Umständen gekostet haben würde, sondern danach, wie groß der Volkswohlstand vor oder nach der Auswanderung ist ®). Eine vom soziologischen Gesichtspunkte aus sehr wichtige Auf- gabe ist die Frage nach den Unkosten der gewerblichen Fachbildung. Werden die Ausgaben der Lehrlingsjahre durch den zukünftigen höheren Lohn gedeckt werden — unter Berücksichtigung von Sterb- lichkeit und Zinsfuß und der in der Regel nicht unerheblichen An- zahl von Personen, die nach ihrer Ausbildung eine Anstellung als ı) 8. u.a. Bremiker, Das Risico bei Lebensversicherungen, 1859; Gram, Om Middelfejl paa Verdien af Livsforsikringer, Tidsskrift for Matematik, 5. Rekke, 6. Aarg., Kobenhavn 1889; Westergaard, Das Risico bei Feuerversicherungen, Ass.-Jahrb., V, 1884. Über die neuere Literatur betr. Risiko bei Lebensversiche- rungen siehe Czuber, a. a. O. Bd. II S. 408. ?) Diese Frage hat seinerzeit zahlreiche Arbeiten hervorgerufen, z. B. Engel, Der Kostenwert des Menschen, Berlin 1883; unter der neueren Literatur siehe A. N. Kigr, Beregning av den gkonomiske vsrdi av det norske folks arbeidsevne, Statsgkonomisk Tidsskrift (1913), Kristiania 1914. %) Philippovich, Artikel Auswanderung im Handwörterb. d. Staatswiss.. 3. Ausg., Il, 1909, S. 277. 601 ausgelernte Arbeiter nicht erhalten? Diese Frage erfordert aller- dings besonders viele Beobachtungen, dürfte jedoch viel leichter zu beantworten sein als die allgemeinere Frage nach dem Kostenwert les Menschen. Aufgabe 117. Ein 18-jähriger Mann hat die Wahl zwischen einer Stellung, in der sofort ein Jahreseinkommen von 2000 Kr., das alle zwei Jahre um 500 Kr. bis auf 6000 Kr. steigt, zu erwarten ist, oder einer 4-jährigen Ausbildung, die eine jährliche Ausgabe von 2500 Kr. erfordert, und nach dessen Vollendung so- fort ein Jahreseinkommen von 2000 Kr. zu erwarten ist, das alle zwei Jahre um 1000 Kr. bis auf 10000 Kr. steigt. Unter Nichtberücksichtigung der Möglichkeit, daß die Ausbildung auf Grund von Krankheit, mangelnden Fähigkeiten oder ihnlichem nicht durchgeführt werden kann, ist zu untersuchen, welche Wahl vom rein wirtschaftlichen Gesichtspunkte aus erwartungsgemäß die günstigere ist, wenn lediglich die Sterblichkeit berücksichtigt wird. Die zur Durchführung der Berechnung erforderlichen Werte von Dx und Nx sind einer zweckmäßig gewählten Cabelle über diese Größen zu entnehmen. Schluß. 384. Obgleich die Statistik — auch von einem historischen Gesichtspunkte aus betrachtet — in erster Linie das anerkannte Fundament für diejenigen Wissenschaften ist, die sich mit den Phänomenen in der menschlichen Gesellschaft beschäftigen („Sozial- wissenschaften“), so hat sie doch ebenfalls, wie in der Einleitung und auch später an verschiedenen Stellen betont (z. B. in den $S 156, L86, 282 und 283), anderen Wissenschaften unentbehrliche Dienste eisten können. Diese wichtige Rolle als Helfer bei wissenschaftlichen Arbeiten ‚st allerdings andererseits äußerst bescheiden; denn die Leistung les Statistikers ist streng genommen nur rein formeller Natur. Der Statistiker kann die Zahlen nach gewissen Prinzipien bearbeiten, aber zuerst muß der Fachmann das vorliegende Material bearbeiten ‚vgl. 8 165) und die Schwierigkeiten, unter denen die Beobachtungen zustande gekommen sind, angeben. Und wenn dann schließlich ein Resultat statistischer Tatsachen vorliegt, dann liegt es wiederum dem Fachmann ob, dies weiter zu bearbeiten, die Bedeutung der ge- wonnenen Zahlen zu beleuchten und die nunmehr ermöglichten Schlüsse zu ziehen (vgl. $ 185). Wenn man daher nicht ganz auf lie rein formelle Arbeit angewiesen sein will, muß man sich gern in Gebiet innerhalb der Wissenschaft auswählen, mit dem man vorderhand vertraut ist. Da die gegenwärtige Darstellung sich im wesentlichen mit der Sozialökonomie befaßt, seien hier einige Be- 602 merkungen über die Anwendung statistischer Gesichtspunkte auf anderen Gebieten angeknüpft. 385. Unter den Wissenschaften, die in erster Linie in der Anwendung solcher Methoden ihren Vorteil sahen, finden wir solche, die insofern den sozialwissenschaftlichen Disziplinen ähneln, als sie ebenso wie diese sich zur Hauptsache mit Phänomenen befassen, die sich nur schwerlich oder gar nicht studieren lassen, ohne daß die Aufmerksamkeit auf die Gesamtwirkung vieler Einzelursachen gelenkt wird. Beispielsweise geht aus dem oben Entwickelten her- vor, daß statistische Untersuchungsmethoden in der ärztlichen Wissen- schaft, der Meteorologie und der Anthropologie eine bedeutende Stellung einnehmen. Im Anschluß ‚hieran sei auch erwähnt, daß die Biologie in ausgedehntem Maße statistische Methoden verwendet, ja verwenden muß, und es liegt hier nahe, in erster Linie die Erblichkeits- forschung!) zu nennen. Kinige Probleme dieser Wissenschaft haben wir bereits gestreift; im folgenden seien ‚die von Mendel aufgestellten Theorieen näher erörtert. Wenn wir uns vorstellen, daß eine reife reproduzierende Ge- Schlechtszelle (ein Gamet, die gemeinsame Bezeichnung für Ei und Spermzelle) in Verbindung mit einem anderen Gamet ein neues In- dividuum (ein Zygot) bildet, dann wird dieses Individuum Eigen- schaften besitzen, die sich auf die Gameten zurückführen lassen. Sind nun die zwei Gameten gleichen Charakters, dann bezeichnet man den durch Befruchtung entstandenen Zygoten als Homozygot, während man im entgegengesetzten Falle ein Heterozygot hat. Einige Eigenschaften, die „rezessiven“, werden in den Zygoten latent liegen, andere, die „dominierenden“, treten mehr oder weniger deutlich hervor. Die Theorie geht nun darauf hinaus, daß die Eigenschaften in den Gameten sozusagen unabhängig voneinander auftreten; ge- wisse Elemente werden bei der Befruchtung auf die Zygoten über- gehen, andere dagegen nicht, genau so, wie wenn man beim Würfel- spiel bald diese, bald jene Kombination erhält. Stellen wir uns vor, daß zwei Homozygoten (der eine gesund und dominierenden Cha- rakters, der andere krank und rezessiven Charakters) auf dem Wege ') Bezüglich der hier einschlägigen, sehr umfangreichen Literatur sei außer den auf S. 279 und S. 543 ff. erwähnten Arbeiten auf folgende hingewiesen: Heredity and eugenics; a course of lectures by Castle, Coulter, Daven- port, East, Tower. 2. edit., 1913. 603 geschlechtlicher Verbindung ein neues Individuum erzeugen. Dieses "ein Heterozygot) ist trotz der Krankheit anscheinend gesund. Die betreffenden Elemente müssen zur Hälfte auf den kranken, zur Hälfte auf den gesunden Gameten zurückgeführt werden. Heterozygote Individuen dieser Art können nun sexuelle Verbindungen, bald mit zesunden, bald mit kranken Homozygoten, bald wiederum mit Hetero- zygoten eingehen, und die Verteilung der gezeugten Individuen nach ihren Eigenschaften läßt sich nach der Theorie im KEinklang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung bestimmen. Wenn ein Hetero- zygot und ein gesunder Homozygot miteinander in Verbindung treten, wird die eine Hälfte der neuen Zygoten aus völlig gesunden, die andere aus anscheinend gesunden Heterozygoten bestehen. Umgekehrt ist es dort, wo die Verbindung mit einem kranken Homo- zygoten hergestellt wird; dann sind die neugeborenen Individuen zur Hälfte Heterozygoten, zur Hälfte kranke Homozygoten. Was schließlich die dritte Kategorie anbetrifft, so wird gemäß der Theorie lie Hälfte aus anscheinend gesunden Heterozygoten, ein Viertel aus kranken und ein Viertel aus gesunden Heterozygoten bestehen. Wenn zin gesundes Mitglied dieser Generation ein gesundes Individuum heiratet, ist die Krankheit ausgeschaltet; andere Mitglieder der Ge- neration besitzen die Krankheit in latentem Zustande, und diese wird dann in späteren Generationen auftreten (Atavismus); andere wiederum sind krank, und der krankhafte Zustand wird latent oder >ffenbar auf die Nachkommenschaft übertragen werden. Wenn man eine dominierende Eigenschaft mit A, eine rezessive mit a bezeichnet und sich vier Paare denkt: AA, Aa, aA und aa, jann tritt die letztere Eigenschaft (a) bei einem Viertel voll und ganz, bei einem anderen Viertel gar nicht in die Erscheinung. Bei einer Verbindung zwischen zwei Aa-Typen wird man wieder 25°% AA, 25° aa und 50%, Aa (oder aA, was dasselbe ist) er- halten. Die erste Gruppe wird nicht die a-Eigenschaft fortpflanzen können; nur die Verbindung mit einem a-Gameten kann eine solche Fortpflanzung ermöglichen. Nun ist augenscheinlich die Möglichkeit vorhanden, daß Sperma oder Kizelle nicht nur zwei, sondern eine große Anzahl von Ele- menten haben, von denen bei der Befruchtung z. B. die Hälfte in den neuen Zygoten übergehen. Möglicherweise wird diese Über- ‚ragung nach der Binomialformel vor sich gehen; von jedem Ga- meten ergibt sich die Hälfte der Elemente sozusagen als Resultat 9jner Verlosung. Allmählich wird dann eine Dispersion entstehen. 604 Einige Zygoten werden sehr wenige A-Elemente, aber viele a-Ele- mente erhalten und umgekehrt. Man könnte sich dann vorstellen, daß sich die betreffende Eigenschaft erst dann geltend macht, wenn eine passende Anzahl von a-Elementen vorhanden ist. Ein Indi- viduum mit wenigen a-Elementen wird vielleicht anscheinend als völlig rein auftreten; es sind allerdings Keime vorhanden, und unter ungünstigen Bedingungen bricht die Eigenschaft durch, sogar bei Geschlechtsverbindungen mit anderen anscheinend gesunden Indi- viduen; man spricht dann von einer Degeneration der Familie, während andere Mitglieder derselben relativ günstige Verhältnisse aufweisen. Es ist ebenfalls möglich, daß sich die einzelnen Stufen der betreffenden Eigenschaft erkennen lassen, daß sich eine größere oder kleinere Anzahl von A-Elementen als größere oder geringere Begabung in dieser oder jener Richtung ergibt, daß sich mit anderen Worten eine kontinuierliche Skala aufstellen läßt. Ferner kann man sich vorstellen, daß sich beide Geschlechter gewissen Elementen gegenüber verschieden verhalten, sodaß z. B. die männlichen Zygoten weniger a-Elemente als die weiblichen enthalten, and es entsteht dann die Möglichkeit dafür, die springende Über- iragung von Eigenschaften (z. B. der Farbenblindheit) zu verstehen. Jedenfalls wird ermittelt, daß die Wahrscheinlichkeitsrechnung hin- sichtlich der Erblichkeitslehre ein ausgedehntes Tätigkeitsfeld hat, gleichgültig, ob man sich mit Einzelfällen oder mit Massenbeobach- tungen befaßt. Andererseits stehen einer Untersuchung offenbar große Schwierigkeiten im Wege, weil man häufig nicht zwischen Heterozygoten und Homozygoten zu unterscheiden vermag. Noch verwickelter wird das Erblichkeitsproblem dadurch, daß die gezeugten Individuen selbstverständlich eine verschiedene phy- sische oder soziologische Fortpflanzungsfähigkeit besitzen und daß sich die Lebensbedingungen überhaupt äußerst verschieden gestalten. So werden z. B. gewisse ungünstige Elemente bei den Gameten sehr schnell ganz oder teilweise eliminiert werden, während andere länger bestehen und die Gesellschaft bedrohen. Ob nun diese Theorie dauernd ausreicht, das steht dahin. Aber die Bedeutung einer solchen Theorie liegt vor allem darin, daß sie für manche vorliegende Tatsachen eine vorläufige Erklärung gibt und dabei zu neuen Untersuchungen anspornt, die dann ihrerseits wieder entweder die Theorie bekräftigen oder Zweifel erwecken, um viel- leicht zuguterletzt eine Veränderung der Theorie zu veranlassen. Es ist nicht unmöglich, daß die Erblichkeit sehr vielen anderen Be- 605 dingungen unterliegt, die den Einfluß auf die künftigen Generationen weniger springend und mehr kontinuierlich gestalten werden *). Daß solche Studien auch zu Versuchen der Rassenverbesse- rung führen mußten, ist leicht erklärlich. In vielen Ländern sind zu diesem Zweck Gesellschaften errichtet worden, z. B. das von Galton zestiftete Eugenics Laboratory in London und das im Jahre [910 gegründete Eugenics Record Office in Amerika, die ein umfangreiches genealogisches Tatsachenmaterial, z. B. Stammtafeln für Geistesschwache, Epileptiker und Geisteskranke, gesammelt haben. 386. Auch der Übergang der Physik zur Verwendung statis- tischer Methoden sei hier hervorgehoben; dieser Übergang ist ein Beispiel dafür, welch ausgedehnten Gebrauch man vom Bernoulli’schen Theorem machen kann, und für die für das wissenschaftliche Streben unserer Zeit so charakteristische Tendenz, statistische Formen an- zunehmen. Der Umfang, in dem sich die Physik dieses Jahrhunderts statis- vische Methoden zu eigen gemacht hat, scheint große Teile dieser Wissenschaft schier revolutionieren zu sollen. Doch mußte schon lie Annahme, daß z. B. die Wärmeenergie eines Körpers lediglich eine Sammlung von all derjenigen Bewegungsenergie (kinetischen Energie) ist, die winzigen, aber sehr schnellen Bewegungen der unge- mein zahlreichen Moleküle des Körpers ihren Ursprung verdankt, zu derartigen Betrachtungen führen. Namentlich nachdem die Vor- stellungen älterer Zeiten über die Moleküle der Luftarten in den 60er Jahren des vorigen Jahrhunderts einer wirklichen Theorie wichen, in der das Maxwell’sche Verteilungsgesetz für die Gliederung der Moleküle nach der Schnelligkeit (Energie) den Grundstein bildeten, war allen Ernstes von einer Statistik der Physik?) die Rede. Beispiels- weise behauptet Maxwell bezüglich des zweiten Hauptsatzes der 1) Siehe K. Pearson, Mendelism 'and the problem of mental defect (III, On the gratuated character of mental defect) 1914; ferner Johannsen (vgl. das Zitat auf S. 279). ? Maxwell, der Gründer der kinetischen Wärmetheorie der Luftarten, scheint unter den ersten gewesen zu sein, die geradezu das Wort „Statistik“ in die Physik eingefügt haben: „In dealing with masses of matter, we do not perceive the individual molecules, we are compelled to adopt what I have described as the statistical method of calculation, and to abandon the strict dynamical method, in which we follow every motion by the calculus.“ Maxwell: Theory of heat, 4. edit., London 1875 pag. 329. — 606 Wärmetheorie?), daß dessen Richtigkeit dadurch bedingt ist, daß wir es mit Körpern zu tun haben, welche eine ziemlich große Anzahl Mole- küle enthalten, denen man nicht im einzelnen folgen kann. Und er wirft ganz allgemein die Frage auf, ob die Anschauungen, die lediglich auf den Untersuchungen der rationellen Mechanik fußen, überhaupt unserer faktischen Kenntnis der vorhandenen Dinge gegenüber Stich halten, welche Kenntnis im wesentlichen statistischer Natur ist, weil noch niemand eine Methode erfunden hat, mittels deren man dem Wege der einzelnen Moleküle folgen und diese zu verschiedenen Zeitpunkten identifizieren kann. Diese neue Betrachtungsweise, die viele Jahre hindurch dem Mißverständnis, ja Unwillen großer Kreise innerhalb der Natur- wissenschaft begegnete, ist jetzt, gegenüber einer stets wachsenden Menge von Phänomenen in der Physik, nicht zum mindesten den elektrischen, als die einzige wirklich verwendbare anerkannt. 387. Auch die Philosophie hat viele Berührungspunkte mit der Statistik. So kann z. B. eine systematische Einsammlung von ausgefüllten Fragebogen ein recht interessantes Material hinsichtlich der geistigen Entwicklung des Menschen ergeben und somit der Psychologie von großem Wert sein, Besonders sei in diesem Zu- sammenhange die Psychophysik erwähnt, da viele Aufgaben in dieser Disziplin statistischer Natur sind. Schlagende Beispiele sind die Untersuchungen über den Einfluß des Alkohols auf die geistige und physische Arbeitskraft; der Zweifel, den man gegen bereits vor- liegende Untersuchungen dieser Art erheben kann, wird in dem Maße verschwinden, wie die Grundlage nach streng wissenschaftlichen Forschungsmethoden in der Form eines hinlänglich umfangreichen Beobachtungsmaterials beschafft wird (vgl. $ 276). Das zentrale Problem der Willensfreiheit bildet ebenfalls einen Berührungspunkt der Philosophie mit der Statistik. Wenn man nachweisen kann, daß anscheinend willkürliche menschliche Hand- lungen mehr oder weniger von gewissen äußeren Bedingungen ab- hängig sind, daß meteorologische Verhältnisse auf die Selbstmord- freaquenz einwirken, daß Teuerungen die Ehefrequenz herabsetzen uUsSW.. *) Dieser Satz besagt, daß es chne Anwendung mechanischer Arbeit un- möglich ist, eine Temperatur- oder Druckdifferenz in einer Stoffmenge hervor- zubringen, die überall gleiche Temperatur hat, gleichem Druck ausgesetzt und in einen Behälter eingeschlossen ist, der weder Wärmeleitung, noch Ausdehnung oder Zusammenpressung zuläßt. Darf dann entsteht ganz natürlich die Frage, ob und in welcher Weise man aus solchen Zahlen hinsichtlich der Einschränkung der Willens- freiheit einen Schluß ziehen kann und ob überhaupt die statistische Regelmäßigkeit in der sogenannten „Moralstatistik“ ein Hindernis für das freie Selbstbestimmungsrecht des Menschen ist. Namentlich lag ein Schluß zu der Zeit nahe, wo man überhaupt dazu neigte, die Statistik als Mutter aller Wissenschaften zu betrachten — näm- lich in der Begeisterungsperiode um die Mitte des 19. Jahrhunderts !). Eine Betrachtung der statistischen Resultate zeigt uns nun, wie im Vorhergehenden mehrmals beleuchtet, in erster Linie, daß die menschlichen Willensäußerungen einer gewissen Regelmäßigkeit unter- liegen, selbst wenn man in der „Sturm- und Drangperiode“ der Sta- tistik dazu neigte, diese Regelmäßigkeit zu überschätzen, und bis- weilen behaupten wollte, daß sie größer sei als bei Naturereig- aissen. Die Betrachtung einer Beobachtungsmasse lehrt, daß ge- wisse Ursachen die Größe der Zahlen beeinflussen; unter dem Ein- fluß ihres Milieus wird die Gruppe bald diese, bald jene Frequenz der betreffenden Begebenheiten zeigen. Für Quetelet erschien es lie Aufgabe der Gesellschaft zu sein, die zum Verbrechen neigenden [Individuen zu erziehen, um so die Kriminalität zu vermindern. Diese Auffassung wird heutzutage jeder unterschreiben können, einerlei, ob er Determinist ist, oder an der Willensfreiheit festhält. Wenn indes eine Beobachtungsmasse eine Regelmäßigkeit in den statistischen Phäno- menen aufweist, ist damit noch nichts über die einzelnen Individuen zesagt. Das einzelne Mitglied der menschlichen Gesellschaft wird selbst- verständlich von Motiven geleitet. Der Mensch arbeitet, um nicht zu hungern,er wünscht möglichst viel Geld zu verdienen und verkauft da- her seine Waren, sobald ihm der Preis lohnend erscheint, er wünscht Sich vor Kälte zu schützen, er besitzt soziales Verständnis, ist empfänglich für Lob und Tadel, Freundlichkeit oder Haß; er reagiert kurz gesprochen auf sämtliche Einwirkungen. Dies alles bestimmt in einem ungemein hohen Grade die menschlichen Handlungen. Hinzu kommt noch die menschliche Unselbständigkeit und Nach- ahmungslust, an und für sich ein mächtiger Hebel in der Arbeit des Menschen. Es ist daher verständlich, daß eine gewisse Regelmäßig- ‘) Bezüglich der neueren statistischen Literatur zur Beleuchtung dieser Frage siehe Kaufmann, Theorie und Methoden der Statistik, 1913, S. 156 ff; Zizek, Die statistischen Mittelwerte 1908, S. 360 ff. ; Forcher, Die statistische Methode als selbständige Wissenschaft, 1913, S. 337 ff.; Lottin, Quetelet Statisticien et Sociologue. 1912 8. 4592 ff. — 608 keit in den anscheinend willkürlichen Handlungen entsteht. Doch sind die statistischen Beobachtungen nicht der Art, daß alle Menschen zu gleicher Zeit dieselben Handlungen vornehmen. Der eine ver- fällt auf Verbrechen, der andere nicht, der eine verheiratet sich, der andere bleibt unverheiratet usw. Innerhalb der Masse herrscht freilich die Regelmäßigkeit, weil sich die Individuen durch allerhand Verhältnisse ihrer Umgebung leiten lassen und sich leiten lassen müssen, wenn nicht die Gesellschaft ein wahres Chaos werden soll; aber das einzelne Individuum ist gewissermaßen ungebunden. Die Statistik wird niemals beweisen können, ob es eine individuelle Willensfreiheit gibt oder nicht. Auch hier muß die Statistik einer anderen Wissenschaft die Beantwortung der Frage über- lassen. Die Statistik kann nicht beweisen, daß nicht eine sogar völlig zügellose Willensfreiheit existiert. Solange ein Schleier die bunte Menge „zufälliger“ Ursachen verhüllt, darf man die Existenz einer Willensfreiheit nicht leugnen. Allerdings scheint, wie angeführt, nach statistischen Erfahrungen die Masse in der Regel durch die augenblicklichen Verhältnisse bestimmt zu sein; ob jedoch nicht ein- zeine Individuen, wenigstens mitunter, ausgenommen sind, ob also die absolute Willensfreiheit nicht eine der „zufälligen“ Ursachen ist, das steht auf jeden Fall solange dahin, wie noch Spielraum für solche Ursachen verbleibt. Die Statistik wird höchst lehrreiche Beiträge zu psychologischen Untersuchungen (z. B. hinsichtlich des „Hangs zum Verbrechen“) geben können, aber einen Beweis für oder gegen die absolute Willensfreiheit des vereinzelt Auftretenden vermag sie keineswegs zu führen. Gelegentliche Versuche dieser Art darf man nur als verhängnisvolle Übergriffe betrachten, die die Wissenschaft der Zahlen als tendenziös verdächtigt haben. Wenn die Statistik kein selbständiges Urteil über die absolute Willensfreiheit fällen kann, dann gilt das noch vielmehr anderen Formen mensch- licher Willensäußerung. 388. Die Statistik ist sozusagen eine Sprache. Wer die Sprache der numerischen Beobachtungen versteht, wird vielerlei erfahren, namentlich wenn er sie so weit beherrscht, daß er selbst die Fragen stellen kann, auf die er Antwort wünscht. Die Antworten sind jedoch in der Regel nur indirekt, da die Zahlen Symptome sind, welche nur mittelbar die erwünschte Auskunft erteilen (vgl. $ 162). Die größere oder kleinere Häufigkeit von Konkursen in einem Lande ist an und für sich nicht von primärer Bedeutung, sondern eher ein Zeichen dafür, daß sich die Wirtschaftslage ungünstiger oder günstiger B0C gestaltet. Der Kirchenbesuch oder die Anzahl von Abendmahlsgästen können recht bedeutungslose Zahlen sein, mit der nötigen Vorsicht aber sind solche Zahlen geeignet, uns Fingerzeige über das religiöse Leben der betreffenden Bevölkerung zu erteilen. Je tiefer die Ver- hältnisse liegen, je größer der Abstand von den statistischen Be- obachtungen ist, mit desto größerer Vorsicht muß man seine Schlüsse ziehen. Daß man die Zahlen als mittelbaren Ausdruck für die Verhält- nisse auffaßt, kann auch zugunsten der Indexzahlberechnungen ‚vgl. den 8 346 ff.) angeführt werden. Derartige symptomatische Zahlen werden uns einen Fingerzeig geben, wenn es die betreffenden Verhältnisse zu beleuchten gilt. Nur muß man sich dann stets vor Augen halten, daß sich recht viele Ursachen hinter den Indexzahlen verbergen können. Die Schwierigkeiten, die der Statistiker bei der Nachspürung von Ursachen zu überwinden hat, treten überall hervor. Betrachten wir z. B. die „Moralstatistik“, Man vergleicht die Häufigkeit außer- ehelicher Geburten in zwei Distrikten und stellt einen erheblichen Unterschied fest. Darf man nun behaupten, daß das Distrikt der geringeren außerehelichen Fruchtbarkeit sich durch eine größere Sitt- lichkeit auszeichnet? Keineswegs! Man hätte jedenfalls zuerst eine ganze Reihe anderer Symptome zu untersuchen, um dann erst zu einer einigermaßen klaren Vorstellung von den moralischen Verhält- nissen in den betreffenden Gebieten zu gelangen. Denn die kleine Anzahl von unehelichen Geburten könnte ja der Fruchtabtreibung usw. zuzuschreiben sein, so daß sie in Wirklichkeit auf einen sehr niedrigen moralischen Stand der Bevölkerung deutete. Ebenso schwierig ist beispielsweise die so oft behandelte Frage über den Einfluß des Kontrollsystems bei der Prostitution!). Auch hier kommen eine Menge von Ursachen in Betracht. Einerseits liegt eine Schwierigkeit darin, daß eine Geschlechtskrankheit, die sich eine Person an einem Ort zugezogen hat, an einem andern Ort zum Aus- bruch kommen kann, und da die Statistik nur schwerlich genaue Beobachtungen hierüber anzustellen in der Lage ist, läßt sich kaum verhindern, daß man der Krankheit einen falschen Ursprungsort zu- veilt. Ferner trifft man in Verbindung mit diesem oder jenem System auch andere Maßnahmen, z. B. eine mehr oder weniger effektive Klinik- pehandlung. Und auch andere Verhältnisse sind mitwirkend: der Fortschritt in der ärztlichen Behandlung, politische Verhältnisse usw. ') Westergaard, Die Lehre von der Mortalität. 2. Ausg. 1901 S. 640 f. Westergaard und Nybölle, Theorie der Statistik, 2. Aufl. 70] — 610 — Die Systeme lassen sich auch schwerlich mittels der Statistik über die Geschlechtskrankheiten der Prostituierten beurteilen. Wenn die regel- mäßigen Untersuchungen verhältnismäßig seltener Geschlechtskrank- heiten bei den Kontrollmädchen nachweisen, während bei sporadischen Untersuchungen von nicht registrierten Dirnen dagegen häufig solche Krankheiten entdeckt werden, dann ist zu guter Letzt die Frage, ob eine Hure der einen oder der andern Art die zahlreichste Geschlechts- gemeinschaft gehabt und daher die meisten Ansteckungen verursacht hat. Und da die heimliche Prostitution wohl überall eine erhebliche Rolle spielt, selbst da, wo das strengste Kontrollsystem gehandhabt wird, so dürfte es sogar dem gewissenhaftesten Medizinalstatistiker nur schwerlich gelingen, die Vorzüge des einen Systems vor dem andern nachzuweisen. Nur zu dem Schluß scheint man berechtigt zu sein, daß man nicht über ein Universalmittel verfügt, das auf einmal die Häufigkeit derartiger Krankheiten nennenswert beschränken kann, wie es z. B. hinsichtlich der Impfung gegen die Pocken der Fall war. Zum zuverlässigsten Ergebnis würde man gelangen, wenn sich, unter genauer Beobachtung aller Nebenumstände, gründliche Einzeluntersuchungen für einzelne Städte durchführen ließen. Wie so oft in der Statistik, so wird auch hier ein kleines, völlig klares Material einem umfangreichen, aber gleichzeitig unklaren bei weitem vorzuziehen sein. Obiges Beispiel zeigt in aller Schärfe, welch große Schwierigkeiten die statistische Forschung zu überwinden hat, bevor ihr die rechte Deutung der Zahlen gelungen ist. 389. Bei dem Versuch, derartige Schwierigkeiten zu überwinden, gilt es also, möglichst viele störenden Ursachen auszuscheiden. Am besten wäre es, wenn man die Untersuchung rein individuell durch- führen könnte, so wie man in der Chemie die Verbindung der Stoffe unter ganz bestimmten Verhältnissen untersucht und jedesmal genau dieselbe Verbindung mit ganz gleichen Eigenschaften erhält. Gerade weil nicht Individualuntersuchungen, sondern Massenbeobachtungen vorliegen, entstehen zahlreiche Schwierigkeiten. Wir haben allerdings gesehen, daß weitaus die meisten Ursachen als „zufällig“ aufgefaßt werden können, da ihre Gesamtwirkung minimal ist. Es ist dann die Aufgabe des Statistikers, diesen „zufälligen“ Ursachen möglichst auf die Spur zu kommen; doch auch hier wird er, wie nachgewiesen, oft großen Schwierigkeiten begegnen. Man begnügt sich vielleicht mit irgend- einer Annäherung an die Binomialformel; hinter dieser Approximation aber liegt häufig eine Menge anderer Ursachen, die sich viel- leicht ausscheiden lassen. Dies gilt z. B., wenn man in der Anthro- pometrie die Körpergröße der erwachsenen männlichen Bevölkerung untersucht, wobei die gefundene Verteilungskurve faktisch aus mehreren Kurven, deren jede ihren Landesteil vertritt, entsteht (vgl. $$ 183—185). Um sich der Fehlschlüsse zu erwehren, muß man dann in allererster Linie das Material in diese einzelnen Gruppen auflösen und wiederum diese Untergruppen einer näheren Prüfung unterziehen, bis man zu- letzt nicht weiter kommen kann. Wenn man danach für die Unter- abteilungen der Gesamtheit entsprechende Resultate gewonnen hat, dann kann man damit anfangen, einigermaßen zuverlässige Schlüsse zu ziehen. Andererseits fehlt dem Statistiker nicht der Ansporn; er muß sich stets und ständig dazu berufen fühlen, immer tiefer zu schürfen, um so der Wahrheit näher zu kommen. Hinsichtlich der Gruppierung des Stoffes dürften sich die Resultate ler Untersuchung so zusammenfassen lassen, daß man nach der Bearbeitung des Stoffes, insbesondere nach einer gebührenden Ein- teilung der Beobachtungen, mit großer Wahrscheinlichkeit zur Binomialformel gelangt. Wenn man als vorläufiges Resultat bald lieses, bald jenes von der Binomialformel abweichende Gesetz erhalten hat, dann dürfte die Erklärung die sein, daß man einen zusammen- gesetzten Ausdruck gefunden hat, der aus mehreren Unterabteilungen hervorgegangen ist, der jedoch, sobald sich diese verschieben, wesent- lichen Veränderungen unterliegt. Die nächste Zukunft der Statistik liegt daher kaum in der Ent- wicklung neuer Formeln für Verteilungsgesetze verschiedener Form. Der mathematisch geschulte Statistiker wird leicht dazu versucht werden, solche Ziele zu verfolgen, anstatt in erster Linie die Mög- lichkeiten auszunutzen, die in dem einfachen Binomialgesetze ihren Ausdruck gefunden haben. In Anbetracht der Tatsache, daß die Statistik, wie man sie auch immer auffassen mag, von so deutlich ausgesprochenem zahlenmäßigen Charakter ist, muß es allerdings klar sein, daß die Kenntnis der Zahlenbehandlung eine Voraussetzung für die Möglichkeit der Vornahme statistischer Untersuchungen sein muß. Esist daher auch nicht so merkwürdig, daß spezielle mathematische Hilfsmittel im Laufe der Zeit eine stets größere Rolle in der Statistik gespielt haben. Hat die Abgrenzung des Begriffes der Statistik über- haupt Schwierigkeit bereitet, dann muß es daher doppelt so schwer sein, einen besonderen Teil der Statistik als „mathematische Statistik“ auszuscheiden. Kine solche Ausscheidung, die sich lediglich auf Benutzung oder Nichtbenutzung gewisser Hilfsmittel stützt, muß ınfruchtbar bleiben, solange man nicht einmal die betreffenden Hilfs- 20* — 612 mittel in „mathematische“ und andere *) teilen kann. Da die Gesetze, denen menschliches Denken zu folgen hat, in allen Fällen gleich sind, so ist hier nur von Verschiedenheiten hinsichtlich der Aus- drucksmittel (Sprache) die Rede; und die Frage nach der Verwendung mathematischer Hilfsmittel ist daher gewissermaßen eine Frage nach der bei den einzelnen Fällen zu erwägenden Zweckmäßigkeit. 390. Dagegen wird es selten oder nie Schwierigkeit bereiten zu entscheiden, ob ein vorliegendes Problem für die Statistik auf ihrer gegenwärtigen Entwicklungsstufe von aktuellem Interesse ist. Ihre Fortschrittsmöglichkeiten müssen denn auch in erster Linie darauf beruhen, ob auf Grund der vorliegenden Beobachtungen positive statistische Resultate nachzuweisen sind, ob man z. B. gesund- keitsschädliche Berufe oder die Sterblichkeit bei Erwachsenen unter Berücksichtigung des Zivilstandes, bei Kindern unter Berücksichtigung der Ernährung, der Geburtsnummer, des Alters der Eltern usw. oder den Zusammenhang zwischen Alter und Einkommen angeben kann, oder ob sich die Gesetze der Arbeitslosigkeit in ihrer Abhängigkeit von Jahreszeit und Konjunktur oder der Einfluß, den die Ehe zwischen Blutsverwandten auf den Gesundheitszustand der Kinder ausübt, be- stimmen lassen. Etwas ist in dieser Beziehung geleistet worden, jedoch harrt noch manches der Lösung; viele der Fragen sind noch kaum am Firmament erschienen; vielleicht tauchen sie erst dann auf, wenn man die Bearbeitung dieses oder jenen Materials in An- griff nimmt 2). Solche Aufgaben erfordern eine energische, zielbewußte Samm- lung von Beobachtungen, weit mehr als eine Entwicklung spezieller mathematischer Formeln. Es gilt hier in erster Linie den Ur- sachen auf die Spur zu kommen. Dies ist nicht so zu verstehen, daß man die ganz bestimmte numerische Wirkung einer Ursache festlegt. In der Regel muß man zufrieden sein, wenn sich eine Tendenz nachweisen läßt. Ist erst festgestellt, daß dieser oder jener Erwerbszweig gesundheitsschädliche Momente hat, dann hat die Statistik der Sozialpolitik einen bedeutsamen Dienst geleistet, gleichgültig, ob die Verschiedenheiten in der Sterb- !) Die Anwendung oder Nichtanwendung einer mathematischen Zeichensprache (Formeln) kann in dieser Beziehung nicht als das Entscheidende aufgefaßt werden, insofern es sich hierbei nur um eine Ausdrucksweise handelt, die sich verändert hat und sich weiter wird verändern können, ?) Vgl. im übrigen H. Westergaard, Statistikens Fremtid, Nationalokono- misk Tidsskrift, 62. Bd. Kobenhavn 1924, S. 337. 61? lichkeit dieses oder jenes Prozent beträgt. Wenn der Medizinal- statistiker nachgewiesen hat, daß eine Serumbehandlung günstig aus- gefallen ist, dann wird er in der Regel zufrieden sein, wenn er bloß mit einiger Sicherheit die Grenzen der Wirkung nachweisen oder nur behaupten kann, daß die Serumbehandlung im ungünstigsten Falle ein klein wenig günstiger als die bisherige Behandlung aus- zällt, ohne doch im übrigen die Grenzen angeben zu können. 8391. Ein Wendepunkt in der Geschichte der Statistik ist hin- sichtlich des Materials und seiner Erhebung eingetreten. Während sich lie Ausüber der Statistik bisher in der Regel nur wenig hierum kümmerten, verhält es sich jetzt ganz anders: Einsammlung und Be- arbeitung der Beobachtungen haben im letzten Menschenalter unge- heure Fortschritte gemacht, ganz besonders in der amtlichen Statistik. Diese hat die Fragen so zu stellen gelernt, daß die Be- antwortung möglichst leicht erfolgen kann. Sie hat ferner vorzüg- liche Hilfsmittel in der Technik, und sie weiß, wie wünschenswert es ist, die Genauigkeit der Beobachtungen nachprüfen zu können, Nicht nur die alten Domänen der Statistik, wie z. B. die Sterblich- keitsstatistik, können in dieser Beziehung einen Fortschritt melden; auch ganz neue Gebiete, vor allem die Sozialstatistik (z. B. die Arbeitslosigkeitsstatistik), sind der amtlichen Statistik zugänglich gemacht worden dank des wachsenden Zutrauens, dem die Statistik heutzutage in der Bevölkerung begegnet. Aber nicht bloß die amtliche Statistik (zu der sich — wie in der Geschichte der Statistik erwähnt — in neuerer Zeit die Labor- Bureaus und kommunalstatistischen Institute gesellen) hat ein aus- gedehntes Beobachtungsfeld gewonnen, das sich in Zukunft wahr- scheinlich noch sehr wird erweitern und jedenfalls tiefer bearbeiten :assen können. Auch private oder halbwegs private Bestrebungen fördern diese Fortschritte. Stiftungen wie die von Galton gegründeten haben in dieser Beziehung eine große Zukunft, da sie Beobachtungen anstellen können, die sich weniger für die amtliche Statistik eignen, wie es z. B. mit Stammtafeln, anthropometrischen Untersuchungen 1sw. der Fall ist. Hier hat die private Initiative gute Aussichten. Wenn man z. B. den Alkoholverbrauch in verschiedenen Gesellschafts- klassen, den Zustand der Zähne bei Schulkindern, die Häufigkeit von Sprachfehlern oder die Erblichkeit gewisser Krankheiten zu er- fahren wünscht, dann wird sich die amtliche Statistik nicht so leicht auf solche Aufgaben einstellen können, wie ein privater Verein oder eine Stiftung. 614 392. Wie aus der Geschichte der Statistik erhellt, gab es eine Zeit, wo man der Statistik einen Ehrenplatz unter den Wissenschaften anweisen wollte. Wie Lavoisier behaupten konnte, daß wenn bloß einige statistische Tatsachen vorlägen, mit einem Schlage tiefgehende sozialökonomische Probleme gelöst sein würden, so meinte ein Menschenalter später Quetelet, daß die Statistik für Kunst und Sozialpolitik, ja sogar für die Philosophie von entscheidender Bedeutung wäre. Und viele Statistiker träumten von einfachen Formeln, die auf einmal sowohl anscheinend verwickelte statistische Verhältnisse als auch ewige Naturgesetze ausdrücken sollten. Diese Zeit ist längst dahin, und nach ihr folgte eine Reaktion, die rücksichtslos jegliche statistische Untersuchung anzweifelte. Man wollte jetzt in der Statistik kaum etwas anderes als ein Mittel zur Verschleierung der Wahrheit sehen. Doch auch diese Zeiten sind vorbei. Noch aber wurzelt die kritische Auffassung überall tief. In Wirklichkeit jedoch tut man gut daran, diese aus den Übertreibungen einer ver- schwundenen Zeit entstandene Kritik als eine besonders große Wohl- tat aufzufassen. Zahlenaberglaube, aber auch Zahlenverachtung gehören jetzt der Vergangenheit an. Die Kritik hat die Statistik wieder auf das Gebiet verwiesen, wo sie unter zielbewußter Arbeit ein Zahlenmaterial erheben, das sich nicht als tendenziös angreifen läßt, und Schlüsse ziehen kann, die von allen Seiten als die einzig möglichen anerkannt werden. Darf die Statistik zwar nicht als Königin der Wissenschaften bezeichnet werden, so kann sie doch einen wichtigen Platz als Ver- treterin der Einheitsbestrebungen des menschlichen Gedankens behaupten. Und die hier gemachten Bemerkungen dürften jedenfalls zeigen, daß die Statistik zu Anfang des 20. Jahrhunderts ein gutes Horoskop hat, und sie zeigen ebenfalls, daß die Arbeit der Statistiker im Laufe der Jahrhunderte nicht vergebens war. Das Ziel der Wissenschaft besteht nicht zum mindesten darin, neue Aufgaben, die eine Lösung erfordern, zu suchen. Anhang. Zu 8 % (S. 141) und 8 103 (S. 155); Permutationen und Kombi- naationen. Wenn man n verschiedene Gegenstände (Elemente) hat und diese nacheinander in bestimmter Ordnung aufstellt, dann bilden sie eine Reihe Permutation); denkt man sich alle möglichen Reihen gebildet, indem die n Elemente auf alle möglichen Weisen umgetauscht (permutiert) werden, dann ist die Anzahl von verschiedenen Reihen (Permutationen), die sich so bilden lassen, Pan=1-2.3.4....(n—1) -:n=n], wo die abgekürzte Schreibweise n! das Produkt der n ersten ganzen Zahlen be- zeichnet. Wenn einige, z. B. r (wobei r <n) von den n Elementen gleich werden, Jann sind auch die ursprünglich verschiedenen Permutationen zum Teil gleich, ! wodurch die Zahl der verschiedenen Permutationen auf Z reduziert wird. Werden weitere s (wor+s8s<n) andere Elemente gleich, aber von den übrigen verschieden, dann wird die Zahl der Permutationen analog weiter auf ! za reduziert. Wenn man insbesondere n Buchstaben hat, von denen r mit A und die übrigen n —r mit B bezeichnet werden, dann lassen sich diese r A’s und (n — Tr) B’8s in so viel verschiedenen Reihenfolgen.aufschreiben, als durch n! r!n —r)! angegeben werden. Dieser Ausdruck läßt sich auch anders auslegen. Fragt man nämlich, wieviel Gruppen (Kombinationen) sich bilden lassen, indem man auf alle möglichen Weisen r verschiedene Elemente unter n verschiedenen Elementen herausnimmt, sich dabei nicht um die Ordnung, in der die Auslese stattfindet, kümmert, und die gesuchte Anzahl mit Kı,r bezeichnet, dann ergibt sich n! A {für welchen Ausdruck man der Kürze halber!) n > n! (© -— — anwendet. 7 r!(n—r)! Wird als „n über r“ gelesen. 616 Aus dem Ausdruck für () folgt, daß ( 5) = (n 2 r )- Beispielsweise ist ( 5) = (8); es ist ebenfalls klar, daß jeder Gruppe, die in der Weise gebildet wurde, daß unter 13 Elementen 5 herausgenommen wurden, gerade eine andere besondere entspricht, nämlich die, welche sich er- geben würde, wenn die übrigen 8 unter den 13 Elementen herausgenommen würden; es muß somit die Anzahl von Verfahren, mittels deren man 5 Gegen- stände unter 13 auswählen kann, gleich der Anzahl von Verfahren, mittels deren sich 8 Gegenstände unter 13 auswählen lassen, sein. Wenn für einen gegebenen Wert von n die Größe von ( Tr) für alle Werte von r berechnet wird, ergibt sich also eine Reihe, welche symmetrisch ist, da man den gleichen Wert von (?) für die zwei Werte von r, die gleichviel von 1 n abweichen, erhält. Wenn r=0 oder =n ist, muß (©) = (ı) = 1 sein; denn unter n Ele- menten kann man nur n nach einem Verfahren herausnehmen. Die Größen ( 7) finden in einer Menge von Verbindungen Anwendung; speziell ist im $ 103 das Newtonsche Binomialtheorem benutzt, das angibt, zu welchem Resultat man gelangt, wenn man die zur Berechnung der n-ten Potenz des Binomiums (a + b) notwendigen Multiplikationen ausführt, da (a + b)r = (a +b) (a+b).... (a + b) ist, welches Produkt sich als eine Summe von insgesamt (n + 1) Gliedern schreiben können lassen muß; nämlich eins muß als Benennung an. bo haben, eins an—l.bl, eins an—?.b2 usw. bis zu den Gliedern mit a2. bn—2, al. bn—1, und ao. bn, Das Theorem lehrt, daß das Glied mit ar. b2—r den Koeffizienten (1) hat, so daß man erhält (a +b)r = (5) an. bo + (1) a1. bl + (3) ar—2.b2+..... + (2) aber +... (7) alba—-1+ (P) aobn, Infolge der Rolle, die die Größen (3) in diesem Lehrsatz spielen, werden sie auch oft Binomialkoeffizienten genannt. Sie besitzen verschiedene merkwürdige Eigenschaften. Wir wollen uns hier darauf beschränken, zu be- merken, daß @FTD=(?)+(.2ı) ist, was unmittelbar durch Anwendung des Ausdrucks für ( r) bewiesen wird. Aus diesem Satz folgt, daß die sukzessive Berechnung der Binomialkoeffizienten auf dem Wege fortgesetzter Summation, wie in folgendem Schema angeführt, er- folgen kann: 617 Binomialkoeffizienten für n = 3 5 6 7 26 6 nr In diesem Schema ist jede Zahl gleich der Summe derjenigen zwei Zahlen, die in der Kolonne links der Zahl dieser am nächsten stehen. Die oben er- wähnte Symmetrie in der Reihe der verschiedenen Werte, die man für (Gi) er- hält, wenn r von 0 bis n variiert, erhellt deutlich aus diesem Schema. Zu $ 108 (S. 167), vgl. 8 274 (S. 415). Die Umformung des Bino- mialgesetzes. Im 8 105 wurde erwähnt, daß die Berechnung des Wertes les Ausdrucks ( x ) . pP" . qr-r für große Werte von n und r mit Hilfe einer Tabelle über log n! geschehen muß. Eine solche Tabelle läßt sich natürlich durch fortgesetzte Addition der Logarithmen zu den ganzen Zahlen der Zahlenreihe berechnen, doch auch dieses Verfahren wird fast unausführbar sein, wenn es sehr große Werte von n gilt. Man hat daher mittels Annäherungsformeln sich bequemere Formeln zur Be- rechnung von log n! zu schaffen gesucht. Von solchen Formeln ist namentlich die Stirlingsche‘) angewandt worden, nach der al=nre—n)V2xzn (1 + -- +... 1 st. Selbst bei relativ kleinen Werten von n wird man in praxi vom Gliede Ton and den folgenden Gliedern der Klammer absehen können. Rechnet man lediglich mit ü!=nre-nYV3xn, ') Im wesentlichen von A. de Moivre (1718) gefunden, aber von J. Stir- ling (1730) endlich formuliert. Verschiedene andere Formeln zur annähernden Berechnung von log n! und damit von n! sind später u. a. von C. Fr. Gauß and H. Burkhardt abgeleitet worden. 618 dann erhält man für log'n z. B. folgende Werte: J 2 109 log n! 6,55976 18,38612 22,.42366 61,48307 157,97000 Nach Stirlings Formel 6,55614 18,38431 32,42245 64,48235 157.96964 Hieraus geht hervor, daß die Formel für n = 10 einen Wert ergibt, der ca. 3°%% zu klein, für n=20 ca. 4°/ zu klein und für n =30 ca, 2,8 %, zu klein ist 1 und so fort. Nimmt man das Glied Jan mit, dann wird der Fehler noch viel kleiner. Mit Hilfe der Stirlingschen Formel kann man nun folgendermaßen einen Ausdruck zur annähernden Berechnung der binomiellen Wahrscheinlichkeit Sr: == ( T ) Prqh—r, oder (indem man statt der Anzahl r die Abweichung x von der erwarteten Anzahl np anwendet, sodaß also r= np + x und n — r =nq-—xXx) der Wahrschein- lichkeit n! Pr = (ap + 3)! (ng — x)1 PP FA res ableiten. Setzt man hier die Ausdrücke, die die Stirlingsche Formel für n! (np + x)! und (nq — x)! ergibt, ein, 1 DI ynp— x. gnd-—x dann erhält man Pr = Va PASTE SET Da ferner nat Ts 1 1 DPA zn PP und ET gra—x+43, ; np x-+4 nq—x-4- 1 wird s na+t1 + pP +x. qna—x == _(np)® y En 3 1 x — (px + $) x —(nq—x+ 2 und Px = V 2unpq ( 1 + 3) ( 1 — a) Hieraus folgt nun gleich die Wahrscheinlichkeit Po dafür, gerade die erwartete Anzahl zu erhalten, da x= o, wie in den 88 108 und 119 angeführt, Ben 9 V2npq *Y2x ergibt. Für andere Werte von x findet man Px aus P. — (pp-+xz+ 1) — (nq—x-+1 Pr (14 3) HR (x) 767 oa np nq P am bequemsten, indem man log 5 berechnet: 619 Px X X log 5=-—(anp+x+Jlog{1 5 )-@ —xXx+4)lo (1-2) g p,=— (op log (1+ 75) max + DE Wendet man natürliche Logarithmen an, dann ist X X x? X ann log ( + np np 2n’p? + 3n5p® ; E ) A nq) nq 2n%q? 3niqg: Ct und man erhält dann _ 1 2 2 — 3__ aß Da P, in allen Fällen für die Werte von x sehr klein wird, die sich auf mehr Als das 3- und 4-fache des mittleren Fehlers u = Vnpq (vgl. die $$ 105 und 129) be- laufen, so knüpft sich das Interesse im wesentlichen an die Bestimmung der Größe von Px für Werte von x, die kleiner als ca. 3 Vnpq sind. Man kann an- nähernd rechnen, daß Px — x? — . log 5 = X Sur — Snpq — x’ DE ist. ? ist (der symmetrische Fall, vgl. 8 110), dann folgt hieraus, Ja 3 and 7 Ye (9 ” ist, wie im $ 108 angeführt. Doch auch wenn p Z q ist (der unsymmetrische Fall, vgl. $ 111), dann wird Px besonders für große Werte von n im wesentlichen durch das hier gefundene zewöhnlich angewandte Exponentialgesetz bestimmt sein, wenn X < 3V npq ist. Wie zut die Übereinstimmung ist, die sich erzielen läßt, dafür sind in den 8$ 110 und 111 Beispiele gegeben worden. Wenn man, falls p Za und n nicht so groß ist, jaß von der Asymmetrie abgesehen werden kann, eine größere Genauigkeit zu erzielen wünscht, dann ergibt sich dagegen aus dem Ausdruck für log daß P—g,_ _P7Z9I „3 Px = g(x).e 2npqg 6n’p’q? ist, in welcher Formel man in der Regel, wenn -. . ‚npq ist, mit hinläng licher Annäherung den hinzugefügten Faktor g!'°ich D—g,_ PA, 2npq 6n°p‘q* rechnen kann, sodaß man, wie im $& 274 angeführt, P—4d P—A Dx = (3) | + Snpq * — 6ntptq?* 7 Thal. — 620 Zu 8 128 (S. 195). Erwartung und Streuung bei binomialer Verteilung. Wenn Pı=(5)P .qn-x . . X=—=n X=n n ist, dann wird > E(x)= X x. Pı= x x ) pxqn-— x. X=0o X—0 . x-n! n—1 Da jedoch Er Pd »= np (371 )or- ie ist, wird E(x) = "3 xPx = np | (* _ x ) px*—1qn—x. x=1 z=1 r X=n / Infolge des Newtonschen Binomialtheorems ist indes zz ‚( x _ 1 In —1qn—x=1, also E(x) = np. Das Quadrat des mittleren Fehlers findet man als die Erwartung u? = E((x — np)”) = E(x’) — 2apE(x) + n’p? = E(x?) — n’p?, Bezüglich der Ermittlung von E(x?) wird bemerkt, daß X = x(x—1)+4+x und demzufolge E(x’) = E(x(x — 1)) + E(xz) = E(x(x —1)) + np ist. Die Erwartung E[x(x-—1)] läßt sich nun in derselben Weise wie E(x) finden; da —2 x (X—1) Pr = pn (n —1) (575) p*—2an—x E(x/x — 1)) = p’n (n — 1), also E(x?) = p’n (n—1)+n"p und u* = E(x’) — n’p? = npq u = Vnpg. Zu $ 175 (S. 263). Erwartung und Streuung im Verteilungs- resetz Px = p-q* —1 (xl) . X= 00 X= 00 E(x)= X xpx=pp Xxqx x= 1 x=1 Zxgx— 1 = 1 +2q + 39? + 49° + _ 1 q q? q° Iza tigt It 1 1 so daß E(x) = Ppy=-> ist. Für E(x?) erhält man E(x’) = p-Zx’qgx— 1, und da Zxigx-— 1 = . ist, so wird E(x?) = a} Hier ist indes au" X — L ı—aQ pp? 62 und folglich u? = E(x?) — (ze) _ q+1 . pp! U, u? = nr und % de Zu $ 222 (S. 336). Die Lagrangsche Interpolationsformel. Eine yanze rationelle Funktion, die für X = Ay, Aoy Aa... Ant die Werte y=A,, Az Az. ..An+1 annimmt, muß sich folgendermaßen schreiben lassen können: ar a) (x —a)(X-—a)......(X— an+1) S Kar Xx= a, und” -A4 dann erhält man ; (8, — 1.) (8, —8)......(8, — An-+1)-0 „= a, undy=A4, A, = (8, — 8,) (8, — 8) ..... (2, — an-+1)-0, X =äan+1 Und y = An+1 An+1= (an +1— 2,) (an +1— 8) ..... (80 +1 — an) An +1 - ergibt, durch welche n+1 Gleichungen sämtliche n +1 Konstanten (ar) be- stimmt sind. Daß das hierbei errechnete Polynomium dasselbe wie das durch die Newton- sche Formel bestimmte werden muß, geht daraus hervor, daß es (vgl. 8 222) im allgemeinen nur ein Polynomium n-ten Grades gibt, das durch n + 1 gegebene Punkte geht. Während die Bestimmung der Konstanten formell sehr einfach aus- sieht, wenn das Polynomium in der obigen Form geschrieben wird, eignet sie sich augenscheinlich nicht für die numerische Rechnung. Zu $ 254 (S. 378). Interpolation bei Anwendung unendlich kleiner Intervalle. Wir erwähnten im 8 227 (und gaben im 8 228 ein Bei- spiel), wie man durch mehrmalige aufeinander folgende Interpolation zu x = 0 sofort die Koeffizienten zu x°,x', x? ....usw. in dem als Interpolationsformel be- nutzten Polynomium finden kann. Die Berechnung von dividierten Differenzen für wiederholte Argumente ö'(a,a) ö?(a, a, a) ö°(a, a, a) usw. läßt sich nicht direkt mittels der Definition vornehmen, da diese eine ganz unbestimmte Antwort ergäbe; da- gegen bildet die entgegengesetzte Rechenmethode mittels des Newtonschen Dif- ferenzschemas kein Hindernis. Wenn man in der im 8 227 angegebenen Weise soviel Male zu x = a inter- poliert, daß die dabei erhaltenen dividierten Differenzen stets dieselben bleiben, und danach zum willkürlichen Argument x interpoliert, dann erhält man eine polgendermaßen geschriebene Gleichung der Interpolationskurve: f(x) = f(a) + (x — a)ö'(a) + (x — a)’ö°(a,a) + (x — a) OöMa,‚a‚a) +..... Da sich infolge der Taylorschen Formel jedes ganze Polynomium stets folgender- maßen schreiben läßt: X—a X — a)? X — a)? f(x) = f(a) + 77 f(a) + Spa) + ST f‘“(a) +...., wo f(a), f‘(a), f“(a) .... usw. die Werte angeben, die f(x) und die Differenzial- quotienten dieser Funktion hinsichtlich der Größe x für x==a angeben, 80 geht 522 hieraus hervor, daß ö(n)(a,a,a.... a) == f£@)(a) ist, woraus wiederum folgt, daß der Wert, den man mittels des Newtonschen Schemas für eine dividierte Differenz aus einem gegebenen, wiederholten Argument findet, stets derselbe bleiben muß, gleichgültig, in welchem Stadium des Interpolationsschemas man zu wiederholten Malen zum gegebenen Argument interpoliert. Hieraus erhellt nicht nur, wie man mit Hilfe des Interpolationsschemas Differentialquotienten finden kann, sondern auch, wie man umgekehrt die Interpolationskurve bestimmen kann, und zwar so, daß diese durch gegebene Punkte mit gegebenen Differentialquotienten geht. In praxi sind es natürlich zur Hauptsache Differentialquotienten erster Ordnung, von deren Anwendung hier die Rede sein kann. Wenn außer einigen den Abszissen a, b, c .... ent- sprechenden Funktionswerten A, B, C.... gegeben ist, daß der Differential- quotient im Punkte b gleich ß ist, dann führt man bloß die betreffende Abszisse (b) und den entsprechenden Funktionswert (B) zweimal hintereinander mit ß als dividierter Differenz für das Intervall (b, b) auf, wonach sich die übrigen Diffe- renzen berechnen und Interpolationen in gewöhnlicher Weise vornehmen lassen. Ein paar Beispiele der Anwendung seien hier gegeben: Wenn bezüglich des betrachteten Zusammenhangs bekannt ist, daß er ein Maximum oder ein Minimum in einem gegebenen Punkte hat, dann kann man dies dadurch berücksichtigen, daß zum Ausdruck gebracht wird, daß sein Differentialquotient in dem betreffenden Punkt gleich 0 ist. Beispielsweise steigt die mittlere Lebensdauer, als Funktion des Alters betrachtet, auf Grund der großen Sterblichkeit in der ersten Lebezeit vom Alter 0 bis zu einem Maximum, das nach dänischen Erfahrungen schon vor Ablauf von 1 oder 1'/, Jahren, nach anderen Erfahrungen bisweilen ein ganz Teil später fällt. Beispielsweise ist die in der Aufgabe 69 (S. 352) für 16-monatige Mädchen nach den Erfahrungen für die Jahre 1916—20 berechnete mittlere Lebensdauer von 62,24 Jahren größer als die für irgendein anderes Alter berechnete. Wenn man nun z. B. von der für das Alter von 6, 11 und 16 Monaten angeführten mittleren Lebensdauer aus zu einer solchen, die jeweils 7, 9, 14 und 15 Monaten entspricht, interpolieren kann, dann läßt sich in gewöhnlicher Weise die Kurve zweiten Grades, die man durch diese 3 Punkte legen kann, anwenden. Man erhält dann die in unten- stehender Übersicht unter Kolonne a angeführten Zahlen. Bringt man dagegen zum Ausdruck, daß die mittlere Lebensdauer für 16 Monate alte Kinder ein Maximumswert ist, dann ergibt sich folgendes Interpolationsschema. 16 16 y 61,20 62,04 62.24 62.24 0,168 — 0,0128 0,040 | 0,00048 — 0,0080 0.000 Hieraus findet man die unten unter Kolonne b angeführten Zahlen für die mittlere Lebensdauer, wo auch die Zahlen, welche die benutzte Sterbetafel ergibt, ersichtlich sind (Kol. e): To9nate 61,32 61,68 62,24 6295 61,44 61,80 62,21 6223 61,44 61,77 ; 62,22 6293 Es kann natürlich auch von Differentialquotienten anderer Größe als Null lie Rede sein. Wenn man z. B. eine Interpolationskurve intervallenweise aus Stücken zusammenzusetzen wünscht, die in den Grenzpunkten zwischen den [ntervallen nicht nur denselben Funktionswert (beispielsweise wie die geraden Linienstücke A,B,, BE, und E,F, in Figur 8, S. 321), sondern auch eine gemein- same Tangente in den Grenzpunkten haben, dann kann dies in der Weise ge- schehen, daß man im Interpolationsschema ausdrückt, daß die Funktion im yegebenen Punkte sowohl einen gegebenen Wert als auch einen gegebenen Differentialquotienten haben soll. Bei einer Interpolation an der Logarithmen- funktion ergibt sich z. B. di d= (01 ‚3429 was für x=4 und x=5 f‘(4) = 0,10857 und f‘(5) = 0,08686 ergibt, woraus dann wiederum untenstehendes Interpolationsschema folgt (vgl R 9928): 6 «r "m a J 2,10857 2,09690 0.086886 —0,01167 — 0.01004 0,00163 0.6990 Hieraus findet man für log 4,5 den Wert 0,6533 anstatt 0,6506, welcher Wert sich bei einfacher linearer Interpolation ergeben hätte ($ 210). Im 8 254 (S. 378) erwähnten wir eine andere Anwendung, die mitunter von Nutzen sein kann. Man kennt z. B. hier nicht nur die Verteilung der Einkünfte, sondern auch die der Einkommenmasse (sowohl die Anzahl der Einkünfte in yegebenen Intervallen als auch die Summe der auf diese Intervalle entfallenden Einkünfte). Wenn man die Einkommenverteilung mit (x) bezeichnet, so daß " "o(x)dx = 4 die Anzahl der auf das Intervall von a bis b entfallenden Einkünfte angibt, 30 wird X + @(X)dX — »v» die Summe dieser A Einkünfte angeben. Wie kann man nun bei der Bestimmung von @(x) daraus Nutzen ziehen, daß nicht nur A, sondern auch B bekanut ist? — 624 Wenn man für Werte von x im Intervall a<x<b f(x) = f "p(x)dx und D(x) = | x@(x)dx setzt. a a . df d® dann ist ax = (x) und = Xo@(x) und wenn man zugleich die Funktion F(x) = | "{(x)dx, . ce . dF d’F df einführt, dann wird dx“ f(x) und dx x (x); da ferner D(x) = f x. p(X)dx = x . f(x) — F(x) a ist, wird auch F(x)= x - f(z) — H(x). Man kann also folgende Tabelle über den Wert dieser Funktionen für x== 2 und x=Db aufstellen : f(x) H(x) F(x) F‘(x) = f(x) 0 0 0 0 A B b.-A-—B A Nach dem oben Entwickelten läßt sich also für das Intervall von a bis b folgendes Interpolationsschema für F{(x) aufstellen: F(xz) nn va. „BB & 9 NE bA —B ZA Hieraus lassen sich (wie im obigen Beispiel über die Logarithmenfunktion) auf dem Wege der Interpolation beliebig viele Werte von F(x) für Werte von x im Intervall von a bis b bestimmen. Eine zweimal hintereinander vorgenommene Interpolation zum gleichen Wert von x ergibt dF Öl(X, x) = zz” f(x), d. h. die Ordinate zur Flächenkurve der Einkommenverteilung, woraus wiederum die Ordinate S(x) der der Verteilung der Einkommenmasse entsprechenden Flächenkurve folgt, da D(x)= x . f(x) — F(x). Interpoliert man schließlich dreimal zum gleichen Wert von x, dann erhält man d£f d?’F (x) ax 7 dx? =} 0Ö°(X, x, x), d. h. die Ordinate der Einkommenverteilung und hieraus wieder die Ordinate Xx- (x) zur Verteilungskurve der Einkommenmasse. Beispiel. Nach der Volkszählung im Jahre 1921 war die Einkommen- gliederung für dänische Hofbesitzer folgende: 5925 Einkommenskal- (im Jahre 1925) Zahl der Einkünfte Einkommer 23619 4737 28 356 | 215 920 Wenn man beim Einkommen mit ganzen Tausenden rechnet, ergibt sich hier für das ganze Einkommenintervall von 5—20 (tausend Kr.) folgende Tabelle: f(x) x - f(x) D(x) Fıx) F‘(x) 9 0 0 0 0 0 20 28 356 567 120 215 920 351 200 28 356 und damit folgendes Interpolationsschema: FG) 0 1560,2 23413 351 200 329,5 28 356 20 351 200 Hieraus findet man, wenn die gefundene dritte Differenz konstant ver- bleibt, daß 1} + F(10) =59565 und F*‘(10) = 21 765, £(10) = F‘(10) = 21 765 H(10) = 10 - f(10) — F(10) = 158 085, während die faktisch beobachteten Zahlen nach obigem {(10) = 23619 (10) — 157 356 sind. Wo es sich, wie hier, um eine Interpolation über verhältnismäßig große intervalle handelt, kann man jedoch nur ausnahmsweise eine so gute Überein- stimmung bei Anwendung der Newtonschen Formel (vgl. 8 243) erwarten. Man kann indes auch bei der hier behandelten Art von Problemen die in den 38 246—248 erwähnte Interpolation mittels numerisch gegebener Muster verwenden, wenn solche hinlänglich detailliert vorliegen. Man kann z. B. hier die Statistik der dänischen Steuerveranlagung in den Landgemeinden für 1921—1922 als Vorbild nehmen, welche im wesentlichen die Einnahmen des Jahres 1920 betrifft. Wir entnehmen ihr folgende Zahlen: Einkommenskala 'im Jahre 19201 Zahl der Einkünfte Einkommen nr 2 Ö 56 2522 7404 10 — wu ; 2.063 Westergaard und Nybolle, Theorie der Statistik, 2. Aufl. 7 236 45 830 34 047 38 848 35 071 c— 626 Analog dem Obigen ergibt sich hieraus folgende Tabelle: f(x) x -f,) 6-3) J D Ü) 12 107 66 588 62 956 19 849 119 094 107 085 32 536 227 752 188 282 40 676 325 408 248 518 46 132 415 188 294 348 49 754 407 540 328 395 57 158 8b 270 417 243 59 221 1184 420 452 314 C 5,0 5,5 5,0 F,(x) 0 3632 12 009 39 470 76 890 120 840 169 145 440 127 732 106 £: > az Setzt man nun F(x) = (a + b-x) - F(x), also fix) = F(x) = (a + b:x) - F,‘(x) + b- F,(x) = (a + bx)f,(x) + b + F,(x), so ergeben diese Gleichungen für x = 20 351 200 = (a + 20b) + 732 106 28 356 = (a + 20b) - 59221 + b - 732 106, woraus folgt, daß a= 0,48116 b = — 0,0000724. Der Wert von F(x) und F‘(x)= f(x) läßt sich danach für die oben ange- führten Werte von x berechnen, und man findet dabei f(x) F(x) 0 1746 5773 18 971 36 952 58 065 81 263 211 294 351 200 I 5820 9541 15 636 19 543 22 158 23 891 27 408 28 356 Die Zahl der Einkünfte zwischen 5 und 10 tausend Kr. und die Gesamt- summe dieser Einkünfte wird also folgende (die faktischen Zahlen sind zum Vergleich angeführt): Gesamtes u Einkommen ; 1000 Kr. Berechnet. ..... 23891 157 647 Faktisch ...... 23619 157 356 Im ganzen erhält man mit Hilfe der Zahlen der Steuerstatistik die hier be- handelten 28 356 Einkünfte für Hofbesitzer folgendermaßen aufgeteilt: Einkommenskala | Zahl der | G Deren (1000 Kr.) Einkünfte KO ae > — 5,5 5820 5— 6,0 3721 öü—7 6 095 7 —8 3.907 ‚ı—9 2615 9 —10 1733 10 —15 3517 15 —20 1 948 Zusammen | 28 356 30 264 21 209 39 008 28911 21 965 16 290 42179 16 094 215 92° 627 Zu $ 286 (S. 434). Wenn man sich vorstellt, daß die Volkszahl nach „einer geometrischen Progression“ wächst, so daß Fı= Fo ect ist, dann beträgt die von der Bevölkerung in der Periode von t=0 bist=n durchlebte Zeit (vgl. 8 236) fn n Fo Jo Fu dt= Fo „ etdt = (em — 1) T' Tl — 1 (Fo- en — Fo)= (Fa Fo). Zu 8 303 (S. 459), vgl. $ 305 (S. 463). Die biometrischen Funktionen in ihren gegenseitigen Beziehungen. Die Altersgliederung der Be- völkerung im Zeitpunkt t wird mit f (x, t) bezeichnet, so daß die Zahl der Per- sonen, die im Zeitpunkt t zwischen x, und x, Jahre alt sind, durch fi (x,t)dx ausgedrückt wird. Die Funktion f(x,t) muß man sich hier auf dem Wege der Beobachtung bestimmt denken. Wenn es sich um den Bestand einer Lebensversicherungs- zesellschaft handelt, wird sich f(x,t) jederzeit mit großer Genauigkeit bestimmen assen. Hat man es mit der Bevölkerung eines ganzen Landes oder gewissen Gruppen derselben zu tun, dann ist die Aufgabe schwieriger, weil die Volks- zählungen nur mit Zwischenräumen von mehreren Jahren vorgenommen werden. Außer den in den $8 295 und 296 erwähnten Hilfsmitteln kann hierbei in aus- zedehntem Maße für Interpolationsmethoden Anwendung sein. Während, wie gesagt, Fo(Xy %, U) = f "f(x, t)dx X 1 ine Hauptgruppe von Lebenden zweiter Art (vgl. 8 292) angibt, wird die Zahl derjenigen, die in der Zeit von t, bis t, das Alter x erreichen, durch Fı(z, ty 6) = / "f(x, tdi 1 dargestellt werden, welche Gleichung also eine Hauptgruppe von Lebenden erster Art angibt. Wenn wir vorläufig davon ausgehen, daß der Zu- und Abgang einer Be- völkerung lediglich durch Geburten und Sterbefälle erfolgt, dann wird speziell Ho,t) die Gliederung der Geburten nach der Kalenderzeit t angeben, da t F,(0, ty, t,) = / 2 f(o,t)dt 1 die Zahl der in der Zeit von t, bis t, eingetroffenen Geburten angibt. Im Zeitraum von t, + x bis t, + x wird ferner von diesen F,(o,t,,t,) Ge- borenen eine Anzahl von 7" x t)dt RL +2) [ix das Alter x erreichen. — 628 Wenn man speziell die zur Zeit t geborenen f(o,t)dt Personen betrachtet, dann werden f(x,t + x)dt von diesen das Alter x erreichen, so daß die Gleichung _ f(x,t + x) 1(x,t) = "oO angibt, wie die zur Zeit t Geborenen aussterben, d. h. daß sie die Generations- tafel (vgl. 8 301) für die zur Zeit t Geborenen darstellt. Bezeichnet man die Verteilung der Sterbefälle nach dem Todesalter x: und dem Todeszeitpunkt t mit © (x,t), So daß t X fat f wtdx 1 1 die Zahl der in der Zeit von t, bis t, und im Alter von x, bis x, eingetroffenen Sterbefälle angibt, dann muß, wenn keine Wanderungen stattfinden, q(x,t) durch f(x,t) bestimmt sein. Den Zusammenhang zwischen @ und f findet man un- mittelbar dadurch, daß man sowohl zu x wie t den unendlich kleinen Wert dx = dt hinzusetzt, womit die Zahl der zur Zeit t im Alter x anwesenden Per- sonen, deren Anzahl gleich f(x,t) dx ist, sich in öf öÖf (f(x,t) + 5x dt + 37 I) dx verändert, so daß im Laufe des Zeitelements dt öf , öf pz,dxdt = — (+) dxdt gestorben sind. Kennt man also f(x,t), dann wird t, ll x, — öf — öf J dt x, ( öxX 5) dx die Zahl der Sterbefälle angeben, die in der Zeit von t, bis t, im Alter von x, bis x, eintreffen (eine A-Gruppe von Toten, vgl. $ 293). Analog wird t, [ACT J. dt z al die Anzahl der Sterbefälle angeben, die in der Zeit von t, bis t, unter den in der Zeit von t,—x; bis t,—x, Geborenen eintreffen (eine B-Gruppe von Toten) und x, t— x, +x SL ax x +37 E0dt die Zahl der Sterbefälle angeben, die im Alter von x, bis x, unter den in der Zeit von t,—x, bis t,—x, Geborenen eintreffen (eine C-Gruppe von Toten). Der im 8 295 erwähnte Satz, daß der Unterschied zwischen der Anzahl von Individuenlinien, die hinsichtlich einer willkürlichen konvexen Gruppe von Toten „eintreten“ und „austreten“, gleich der Zahl der Sterbepunkte der Gruppe ist, ließe sich jetzt direkt mit Hilfe obiger Ausdrücke nachweisen. Da jedoch die zwischen f£f und © gefundene Relation nichts anderes besagt, als daß der hier er- wähnte Satz für jedes der unendlich kleinen Flächenelemente gilt, in die man sich jede Gruppe von Toten aufgelöst denken kann, so wird solch näherer Nachweis überflüssig sein. Man kann nun auch den summarischen Sterblichkeitsquotienten bestimmen, z. B. für Personen, die in der Zeit von t, bis t, im Alter von x, bis x, gestorben sind. Da die Anzahl von Sterbefällen in der Zeiteinheit gleich 625 t (94 | "2x, t)dx 1 1 wird, während die Zahl der Personen im Alter von x, bis x,, die in diesem Zeitraum durchschnittlich dem Tode ausgesetzt gewesen sind, gleich At X a4 fl *f(x,t)dx wird, T = Denkt man sich hier, daß sowohl die Altersklasse als auch das betrachtete Zeitintervall unendlich klein wird, dann findet man für die Sterblichkeitsinten- sität zur Zeit t im Alter x den Ausdruck __ (xt) __ 1 röf , öf HD a“ Ta) dx + 3) der in der Bevölkerungsstatistik ausgedehnte Anwendung findet. Während sich @(x,t) nach obigem in der Weise bestimmen läßt, daß man f(x,t) partiell im Hinblick auf x und t differenziert, kann man umgekehrt f{(x,t) jestimmen, wenn (x,t) gegeben ist, indem man die Differenzialgleichung öf , öf öx + St = — o(x;t)] dann erhält man A = integriert, woraus folgt, daß f(x) =y(t—x)— f plz, x + 1)dx ist, wobei die Geburtszeit z nach der Integration gegen t— x umgetauscht wird and w(t— x) eine arbiträre Funktion der Geburtszeit ist, welche Funktion sich vestimmen läßt, so daß die Altersgliederung in einem gegebenen Zeitpunkt t, eine gegebene Form erhält und die Verteilung der Geburten nach der Kalender- zeit t eine gegebene Form für t>t, erhält. Wenn keine Wanderungen statt- finden, wird sich also die Altersgliederung der Verstorbenen mittels der der Lebenden und umgekehrt die Altersgliederung der Bevölkerung mittels der Ver- jeilung der Geburten und Sterbefälle bestimmen lassen, was man im speziellen Fall, wo die Bevölkerung stationär ist (vgl. 8 291) besonders leicht nachweisen kann (vgl. die 88 297—300). Eine andere Aufgabe von weit größerer praktischer Bedeutung ist indes die Bestimmung der Altersgliederung der Bevölkerung, wenn die Sterblichkeitsinten- 3ität u(x,t) als eine Funktion von x und t gegeben ist. Diese Aufgabe wird yanz allgemein analog der soeben behandelten gelöst, indem man die partielle Differenzialgleichung öf öf öx + 5 — (xt) f(x;t) integriert, wo u gegeben ist, aber f gesucht wird, welche Gleichung f(x,t) = w(t — x).e7 SG, x + oda ergibt, wo die Geburtszeit z nach der Integration gegen t—x umgetauscht wird und w{(t— x) eine arbiträre Funktion von rt ist, welche Funktion analog dem Obigen bestimmt wird. Während die Aufgabein dieser Allgemeinheit keine größere praktische Bedeutung hat, gibt es einen speziellen Fall von großer Wichtigkeit. Wie in den 630 — 38 304—305 erwähnt, kann man, wenn passende Beobachtungen vorliegen, auf dem Wege der Erfahrung den Verlauf von u(x,t) als eine Funktion des Alters x in irgendeinem Zeitpunkt t, bestimmen. In praxi geht diese Bestimmung, wie gesagt, indirekt vor sich, indem man die Beobachtungen über die Anzahl von Sterbefällen, die in Zeiträumen und Altersklassen von endlicher Größe ein- treffen, und über die durchschnittliche Volkszahl dieser Altersklassen in der angewandten Periode benutzt; und dann kann man durch Interpolation den Ver- lauf von u(x) und die von dieser Funktion begrenzten Flächen in gegebenen Altersintervallen finden. Wenn der Verlauf von u(x) gefunden ist, drückt die auf diese Weise bestimmte biometrische Funktion die Größe der Sterblichkeit auf den verschiedenen Altersstufen unter den im angewandten Zeitraum (gleichzeitig) Lebenden aus. Denkt man sich nun, daß sich die Sterblichkeit, der der ermittelte Verlauf von u(x) Ausdruck verleiht, zukünftig konstant verhielte (unabhängig von t ist), dann würden sämtliche Generationen in gleicher Weise nach einer Überlebens- kurve 1l(x) aussterben, welche ebenfalls die Altersgliederung angeben wird, die die Bevölkerung im Laufe der Zeit aufweisen würde, falls gleichzeitig die Anzahl von Geburten pro Zeiteinheit konstant wäre; denn die Bevölkerung wird dann stationär. Diese Altersgliederung (und 1(x)) findet man unmittelbar aus der Diffe- renzialgleichung öf of df xt a=a= x) xy), _ f *u (x) dx f(x) = f£f.e © nn f(x) fx argibt, woraus folgt, daß 1(x) = fo) — e f dx und (vgl. 8 297) f(x) = £-1(x) Die Bestimmung des dem gegebenen Verlauf von u(x) entsprechenden Ver- laufs von (x) beruht also auf der Ermittlung des Verlaufs der der Funktion u(x) entsprechenden Flächenkurve M(x) = / m(x)dx, so daß (vgl. 8 303) M(x) = — log 1(x) ist. Für die Altersgliederung der Sterbefälle in der durch den Verlauf von u(x) oestimmten stationären Bevölkerung erhält man unmittelbar df dl == Hieraus folgt umgekehrt, daß die Ordinate der Altersgliederung f(x) gleich f(x) = il 9 uix)dx wird, d.h. daß die Anzahl der Personen, die in einer Zeiteinheit x Jahre alt werden, zleich der Anzahl derjenigen ist, die in allen möglichen Altern über x Jahre sterben. Speziell wird die Gesamtzahl der Sterbefälle pro Zeiteinheit gleich ll (x)dx = f(x)=f ° gleich der Zahl der Geburten in der Zeiteinheit, und für das Durchschnittsalter beim Tode (mittlere Lebensdauer) erhält man 53_ OO Ax)dx = [ 1(x)dx und demgemäß für die konstante Volkszahl F M ex)dx © (ıx)dx=£.e A - und damit (vgl. 8 299° e = Wenn die Zeiteinheit ein Jahr ist, gibt f die jährliche Anzahl von Geburten and gleichzeitig die jährliche Anzahl von Sterbefällen an. Die mittlere Leben sdauer (in Jahren) läßt sich also auch als diejenige Volks- berechnen, die pro Jahr gerade 1 Sterbefall ergibt. Setzt man der Kürze halber dl “dr = d(z) zahl dann ist umgekehrt OO 1(x) = /[ d(x)dx. Für die Altersgliederung der Sterbefälle ergibt sich dann @o(x) = f-d(x), so daß (vgl. 8 298) fec)dx = f f-dix)dx = f(x,) — 1x) Xxı XL die Anzahl der Sterbefälle im Alter von x, bis x, angibt und 1(x) die der Funktion i(x) entsprechende Flächenfunktion ist. Ferner erhält man dl d(X) = — — = 1(x)-4(x), so daß auch (vgl. 8 303) 1 dl _ d(x) . u(X) = 1@) ‘ax 1x) ist, Im Obigen wurde vorausgesetzt, daß keine Wanderungen stattfanden oder was auf dasselbe hinausko mmt, daß die oben unter der Bezeichnung „Sterbefälle“ zusammengefaßten Begebenheiten in keinerlei Beziehung geteilt gedacht sind, sondern den ganzen Nettoabgang von der betrachteten Bevölkerungsgruppe amfassen, einerlei in welche Teile (Sterbefälle an irgendeiner Krankheit, Aus- oder Einwanderung, Heirat, Übergang zu einem andern Beruf usw.) man sich diesen Abgang zerlegt denken könnte. Der Einfachheit halber können wir uns nun diejenigen Begebenheiteh, die faktisch die Veränderungen in der Altersgliederung bestimmen, in zwei Gruppen eingeteilt vorstellen, von denen die eine all diejenigen, deren Wirkung man aus- zudrücken sucht, die andere alle übrigen umfaßt. Wenn man z.B. für die Sterb- üichkeit unter den unverheirateten Männern des ganzen Landes einen Ausdruck finden will, hat man es nicht nur mit der Ein- und Auswanderung schlechthin, sondern auch mit dem Abgang auf Grund von Heirat als Wanderung zu tun. Und sucht man einen Ausdruck dafür, wie sich die Sterblichkeit in der männlichen Be- völkerung gestalten würde, falls es möglich wäre, völlig die Tuberkulose als Todes- ursache zu bekämpfen, dann sind nur die Sterbefälle, die nicht dieser Krank- 632 heit zuzuschreiben sind, unter „Tod“ mitzurechnen, während der Abgang durch Tod auf Grund der Tuberkulose zu demjenigen Ab- oder Zugang! gelegt werden muß, der im übrigen bei Wanderungen über die Landesgrenzen stattfindet. Bezeichnet man die Abgangsintensitäten für die so betrachteten Ursachen mit jeweils u,(x) und u„(x), dann wird der Schwund in einem Zeitelement dx unter 1(x) Personen im Alter von x Jahren gleich — di= 10x). u, (x)dx + 1(3) + u, (Xx)dx sein, so daß man auch hier ı dl 76x“ 4, (X) + 44, (X) der, wenn die Abgangsintensität für beide Gruppen von Ursachen als Ganzes wie oben mit 21 ad WX) = — Ic) d&x oezeichnet wird, u(x) = u, (X) + (X) erhält. Es ist einleuchtend, daß diese Relation sich auf eine Teilung in beliebig viele Gruppen von Abgangsursachen ausdehnen läßt. Aus der hier‘ gedachten Teilung in zwei Gruppen geht hervor, daß, wenn sich der Verlauf von wu,(x) und u, (x) durch Beobachtung bestimmen läßt, aus der gefundenen Relation folgt, daß (x) = e-M6) = e—M, (x) . e-M,(x) ist, wenn man, wie in den 88 307 und 308, die den Intensitäten u, u, und u, entsprechenden Flächenfunktionen mit M(x), M,(x) und M,(x) bezeichnet. Ferner erhellt, daß X) =1,(x) 16) ist, wo 1, und 1, die Altersgliederungen bezeichnen, welche die betrachteten zwei Gruppen von Abgangsursachen jede für sich hervorzubringen trachten. Die Schwierigkeiten, die damit verbunden sind, u,(x) und u„(x) auf dem Wege der Beobachtung zu bestimmen, wenn zwei oder mehrere Abgangsursachen auf einmal in einer Bevölkerungsgruppe auftreten, sind in den 8$ 316—318 er- wähnt worden. Wie bei der empirischen Bestimmung der Sterblichkeit in einer Bevölkerung, in der keine Wanderungen stattfinden, muß man hier mit Alters- klassen endlicher Größe operieren. Beobachtet man nun die Anzahl von Lebenden (n), die von t, bis t, das Alter x erreichen, und findet man, daß, bevor diese n Lebenden das Alter x +h erreichen, d Sterbefälle und v Fälle der Wanderung eintreffen, dann kann q,.(x,h) = und g, (x,h) = nicht unmittelbar die Wahrscheinlichkeiten dafür angeben, daß eine x-jährige Person vor Verlauf von h Jahren jeweils stirbt oder „wandert“; denn d würde größer geworden sein, wenn keine Auswanderung gleichzeitig stattgefunden hätte, und dasselbe gilt hinsichtlich der Größe v, wenn keine Sterbefälle *eingetroffen wären. In den weitaus meisten Fällen (vgl. jedoch weiter unten) muß man daher in praxi Methoden der im 8 317 erwähnten Art anwenden. ren Als Beispiel der Anwendungen, die man von Obigem machen kann, sei noch dies eine folgende gegeben (vgl. im übrigen das Zitat auf S, 488): Wenn die männliche Bevölkerung eines Landes betrachtet und die Altersgliederung dieser Bevölkerungsgruppe im Zeitpunkt t mit f(x,‚t) bezeichnet wird, dann findet sich analog dem Obigen, jedoch in größerer Allgemeinheit, daß öf öf . Öx + "St aaa fix,t) (Mt, (x, t) + u, (x, t) 1,(x, t)) ist, wo %,, u, und i, die Intensitäten bezeichnen, mit denen jeweils Tod, Aus- und Einwanderung im Zeitpunkt t auf die Altersgliederung der Gruppe ein- wirken. Wenn insbesondere der bisher unverheiratete Teil der Gruppe betrachtet wird, dann werden teils Tod, Aus- und Einwanderung hier mit gewissen anderen [ntensitäten %,, u, und i,, teils ferner die Eheschließung als Abgangsursache nit einer gewissen Intensität auftreten, die man für die Zeit t und das Alter x mit m(x,t) bezeichnen kann. Wird die Altersgliederung für diesen Teil der Gruppe mit b(x,t) bezeichnet, dann muß sich ebenfalls ergeben, daß 4 = dx) (ka +4, — iz + m) ist. Bezeichnet man nun ferner den Bruchteil sämtlicher x-jähriger Männer, die zur Zeit t unverheiratet (noch nicht verbeiratet) sind, mit r(x,t), dann erhält man Ob pine Größe, die sich mittels der meisten Volkszählungsergebnisse direkt auf dem Wege der Beobachtung bestimmen läßt. Hieraus erhält man nun „öb , &f = A 30 daß ör ör 1 öb öb b öf öt . STR) (+) ist, Faßt man dem Abgang durch Eheschließung gegenüber allen übrigen Ab- der Zugang zusammen, indem kurz 4, + u, — 5 4 +, +7 43 gesetzt wird, dann erhält man indes nach Voranstehendem $L + , = —T (7, + m) Sf )= rn — 64 — also für die Funktion r(x,t) eine Relation von genau derselben Beschaffenheit wie die, welche für f(x,t) und b(x,t) gilt, nämlich ör ör öx tar 5 Mor 4 m) oder 1 ör öÖr dm tm In der Regel wird die linke Seite dieser Gleichung aus solchen von Zeit zu Zeit wiederholten Beobachtungen über die Werte von r1(x,t), die man den Volkszählungen entnehmen kann, berechnet werden können. Die rechte Seite enthält 3 Größen, oder, wenn man »v, und »v, auflöst, insgesamt 7 Größen (Inten- sitäten), und alle diese Größen lassen sich selten mittels direkter Beobachtung finden. Der Unterschied», —v, wird indes, obgleich er fast stets positiv!) sein wird, im Vergleich mit der Trauungsintensität m verschwindend klein sein, die in der Lebensperiode, in der die meisten Ehen geschlossen werden, 10°, oder mehr beträgt, während Sterblichkeit und Wanderungen nur Inten- sitäten von einigen wenigen Promillen ergeben. Unter dieser Voraussetzung kann die Berücksichtigung der Differenz »”,—», nicht von größerer Bedeutung sein, und man kann dann aus 1 rör ör (SE +)=m die Eheschließungsfrequenz auf verschiedenen Altersstufen ohne Kenntnis der Zahlen der Eheschließungsstatistik über die Anzahl der Trauungen finden. Wenn man nur Beobachtungen von einer ein- zigen Volkszählung zur Verfügung hat, muß man das Glied — + SE vernach- lässigen, was voraussetzen muß, daß die von Zeit zu Zeit erfolgenden Verände- rungen in der Eheschließungsfrequenz im Vergleich mit der Veränderung dieser Frequenz bezüglich des Alters klein sind. Zu $ 814 (S. 479). Teilung einer A-Gruppe von Toten in Elementar- gruppen mittels Interpolation. Bezeichnet man die Verteilung der Sterbe- fälle mit w(x,t), so daß f Ha f x t)dx=b t x die Anzahl der Sterbefälle angibt, die im Alter von x bis x +1 in der Zeit von bt bis t+1 (vgl. Fig. 18 auf S. 479) eintreffen, wenn sowohl Alter als auch Kalenderzeit vom Punkte A als Nullpunkt aus gerechnet werden, dann wird b. = | "at f*p(x,t)dx und b, = ll at ll “(x t)dx o ot 0 o . die Zahlen für die Sterbefälle angeben, die jeweils in der ältesten (ABD) und der jüngsten (ADC) der in der A-Gruppe enthaltenen Generationen eingetroffen sind. 1) Sowohl die Sterblichkeit der Junggesellen als auch ihre Wanderungs- frequenz werden auf den weitaus meisten Altersstufen größer sein als die ent- sprechenden Zahlen für die Gesamtbevölkerung. 635 Sind nun die Zahlen für diejenigen Sterbefälle, die von t bis t +1 im Alter von x —1 bis x eintreffen, gleich a D 2 x + 1 D ? „X+1 „ x+2 » ; 0 RG dann kann man als Ausdruck für die Verteilung der Sterbefälle die Gleichung (x) = A + Bx + Ux? benutzen, wo sich A, B und C mittels der Newtonschen Formel bestimmen lassen, so daß f° w(x)dx = a, f"p(x)dx = bund f’oix)dx =C —1 0 1 ist, woraus folgt, daß 2 5b — —92b (x) = AD me_ (a — b)x + arte und hieraus wieder, daß b a-—e b a— b, =5 — undb, = + 57 ist. Zu 8 315, Es ist klar, daß sich eine genau entsprechende Methode an- wenden läßt, wenn die Anzahl von Sterbefällen gegeben ist, die im Laufe eines Jahres in drei aufeinanderfolgenden 1-jährigen Generationen (B-Gruppen) eintreffen Bezeichnet man diese Anzahl mit a‘, b‘’ und c‘, dann findet man für diejenigen Teile von b‘, und b‘, der b Sterbefälle in der mittleren Generation, die jeweils nach und vor dem Geburtstage eingetroffen sind, b‘ a‘ — ee‘ ‘ 4__ ol bh‘, = ES and bag + 4 Betrachtet man einen der b, Sterbepunkte (x,t), der (vgl. Fig. 18) in die Elementargruppe ABD fällt, dann ist die Zeit, welche die betreffende Person in der Gruppe zugebracht hat (die Zeit vom Anfang des Kalenderjahres bis zum Tode), gleich t. Die Gesamtsumme von durchlebten Zeiten für alle b, Sterbe- ounkte wird dann gleich 1, fl td f* par = 7A 3008 Durchschnittlich erhält man pro Sterbepunkt _ _7/a+59b + 8c , — 15a + 180b + 15e Für einen Sterbepunkt (x, t) in der Elementargruppe ADC wird die von der betreffenden Person in der Gruppe verlebte Zeit (die Zeit vom letzten Geburtstag bis zum Tod) gleich x. Die Summe aus allen b, Lebezeiten wird hier gleich x CO a+62b—e u = — 9 Durchschnittlich erhält man hier pro Sterbepunkt 78 + 62b —._ " 15a + 180b — 15e° Die Zeit, die eine Person, deren Sterbepunkt (x,t) in die Elementargruppe ABD fällt, im Laufe des vorhergehenden Kalenderjahres in der Alters- -— 636 klasse von x bis x +1 (vom Geburtstage zum Schluß des Kalenderjahres) zuge- bracht hat, wird gleich x — t und die Summe dieser b, Lebezeiten also T= fax f* (x —Ydt = —7a + 59b +8c o 0 360 Durchschnittlich erhält man pro Sterbepunkt T, — 7a + 59b + 8c b, 5 — 15a + 180b + I5e Die Zeit, die eine Person, deren Sterbepunkt (x,t) in die Elementargruppe ADC fällt, im Laufe des Kalenderjahres seit Jahresanfang bis zur Erreichung des letzten Geburtstages durchlebt hat, wird gleich t —x und die Summe dieser bb. Lebezeiten also 1 1 8a + 59b — 7e al wax f (t — x)dt = —— 360 —— Durchschnittlich erhält man pro Sterbepunkt T, 8a + 59b — 76 b, 7 15a + 180b — 15e Zu $ 316. Die Zeit, die eine in eine Elementargruppe ABD einge- wanderte Person seit der Einwanderung in der Gruppe zugebracht hat (die Zeit von der Einwanderung bis zum ersten eintreffenden Geburtstage), wird gleich 1—x und die Summe der b, Lebezeiten gleich 1 X — — T. = L (L—x)pdx | di= ZA 4 CD —o Durchschnittlich erhält man pro Einwanderer T; —a+62b—e b, — 15a +180b +15e Die Zeit, die eine in eine Elementargruppe ADC eingewanderte Person in der Gruppe seit der Einwanderung zugebracht hat (die Zeit von der Einwanderung bis Jahresschluß), wird gleich 1— t und die Summe dieser b, Lebezeiten daher “1 t 8a + 59b — 76 T = | (a —ddt f gdx = AL Durchschnittlich erhält man pro Einwanderer Te 8a + 59b — 7e b, 15a + 180b — 15e- Es erhellt aus den Ausdrücken für diese 6 durchschnittlichen Lebezeiten, daß sie alle mit großer Annäherung */, Jahr betragen, wenn a, b und c nicht sehr verschieden sind. Zu $ 324 (S. 494). Wenn die Altersklasse von x bis x + h nicht zu groß ist und sich der Abgang bei Tod und Unglücksfall in der Beobachtungs- periode auf jeweils d Sterbefälle und i Unglücksfälle verteilt, dann erhält man für die Sterblichkeits- und Invaliditätsintensitäten jeweils u= = und » = z wo T die von Personen im Alter zwischen x und x -+h in der Beobachtungs- periode durchlebte Zeit ist. Hieraus läßt sich wieder in gewöhnlicher Weise die 637 Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, innerhalb eines gewissen Zeitraumes zu sterben oder invalide zu werden. Bezeichnet man denjenigen Bruchteil einer Sammlung gleichaltriger Per- sonen, der das Alter x erreicht, ohne ‘gestorben oder ohne invalide geworden zu sein, mit L(x), dann wird L(x)— L(x + h) den Schwund in diesem Bestande im betrachteten Altersintervall und V — h ) —_ (L(x) — L(x + h)) und zz (Lex) L(x+b) u + vv die Bruchteile dieses Schwundes angeben, die im Laufe des Intervalls h ohne vorhergehenden Unglücksfall jeweils sterben oder invalide werden. Die Wahr- scheinlichkeiten dafür, daß diese Begebenheiten im Laufe des Intervalls von x bis x + h eintreffen, werden also jeweils gleich Rn L(x+h' i(x,h) = —X_ ä(x,b) 1 L(x +» {+ wobei man (vgl. 8 303) damit rechnen kann, daß L(x + h) = L(z)e7 +” ist. Während die hier betrachtete Bevölkerungsgruppe teils infolge Sterbefalls, teils infolge Unglücksfalls einschrumpft, wird umgekehrt die Bevölkerungsgruppe der [nvaliden einerseits durch Todesfall verkleinert, andererseits durch Zuwanderung von Invaliden aus der Reihe der Aktiven vergrößert werden. Berechnet man nach gewöhnlichem Verfahren eine Überlebenstafel U(x) auf Grund von Erfahrungen unter Invaliden, indem z. B. die Sterblichkeitsintensität u‘ für die Altersklasse x bis x +h berechnet wird, dann wird (vgl. 8 303) U(x + h) = U(x)e—-&h und die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine invalide Person im Alter von x bis x + h stirbt, demgemäß gleich U(x)— Uix+h) — u‘ F—— UG) '=} —@e Auf Grund des Zugangs von Invaliden im Alter von xbisx+h und der in diesen Zugang eintretenden Sterbefälle kann indes U(x) — U(x + bh) = U(x) (1 —e7“*) nicht die ganze Anzahl von Sterbefällen im Alter von x bis (x + h) angeben, sondern nur einen Teil von ihnen, nämlich die, welche unter denjenigen, die vor sinem Alter von x Jahren invalide geworden sind, eintreffen. Um die wirkliche Anzahl von Sterbefällen bestimmen zu können, muß man diejenige Überlebens- kurve U, (x) berechnen, die die Anzahl der x-jährigen Invaliden angibt, indem so- wohl der Abgang durch Tod als auch der Zugang von Invaliden berück- sichtigt wird. Nach Voranstehendem wird nun U, (x + h) im Zeitelement dh durch Todes- fall um u‘.U, (x +h) dh verkleinert und durch Zugang von Invaliden aus der Reihe der Aktiven um 7». L(x+h) dh vermehrt. Man erhält also (vgl. S. 632) — 638 oder dU, = — u‘. U,dh + »-L-dh dU. , an +“ U, =->7L. — Nimmt man hier nun wu‘ und 7L als bekannt an, dann ist diese Differenzial- gleichung linear und erster Ordnung. Setzt man wie oben — fl San e %°* =e7“ und L(x +h) = L(x) ‚e-@-+7h, dann ergibt sich das Integral U,(x + b) = Ux).e 7 Ah + (em —e 764), woraus man die Zahl der in der Zeit von x bis x+h im Bestande von In- validen eingetroffenen Sterbefälle mittels der Größe [*U.@x+b)- dh 0 berechnen kann, die sich leicht integrieren läßt. Zu $ 331 (S. 507). Ableitung des Binomialgesetzes mit Hilfe des Prinzips des statistischen Gleichgewichts. Daß ein statistisches Gleichgewicht zwischen den Verschiebungen (Veränderungen), denen ein System (eine Masse) unterworfen ist, besteht, bedeutet, daß sich die Verschiebungen „in ihe.long run“ das Gleichgewicht halten, d. h. daß die Wahrscheinlichkeiten für Be- gebenheiten, deren Wirkungen sich gegenseitig aufheben, jederzeit gleich groß sind. Betrachten wir eine willkürliche geschlossene Kurve (z. B. einen Kreis), deren Gesamtlänge gleich 1 ist, und stellen wir sie uns durch die Punkte A und B in zwei Teile: ACB (den „inneren“ Teil) und BDA (den „äußeren“ Teil) zerlegt vor, deren Längen jeweils p und q (p + q==1) betragen! Es wird dann, wenn ein Punkt in zufälliger Weise auf der Kurve angebracht wird, die Wahrscheinlichkeit dafür, daß dieser in den inneren Teil fällt, gleich p, und dafür, daß er in den äußeren fällt, gleich q sein. Wenn wir uns denken, daß insgesamt n Punkte unabhängig voneinander über die ganze Peripherie zerstreut sind, ohne daß ge- wisse Teile der Peripherie vor anderen bevorzugt werden, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, daß gerade x Punkte in den inneren und also n — x in den äußeren Teil fallen? Diese Wahrscheinlichkeit findet man durch Be- trachtung der Wahrscheinlichkeiten dafür, daß sich die Zahl der Punkte in den zwei Teilen verändert, wenn man die Stücke ACB und BDA längs der Kurve verschiebt, ohne daß deren Länge sich dabei verändert. Denkt man sich, daß beide Kurvenstücke ACB und BDA ein beliebig kleines Stück von a=AA,=BB, in die Stellung A,‚CB, und B,DA, ver- schoben werden, dann ist es möglich, daß der innere Teil dabei einen Punkt gewinnt; dies geschieht dann, wenn AA, null Punkte und BB, gerade einen Punkt!) enthält. Wenn ACB anfangs gerade x Punkte enthält, dann wird die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Stück AA, einen Punkt enthält, gleich Sx, und 1) Die folgende Betrachtung kann auch von der Möglichkeit ihren Ausgangs- punkt nehmen, daß man bei der Verschiebung einen Punkt verliert, welches ge- schieht, wenn AA, gerade 1 Punkt und BB, 0 Punkte enthält. Wie unmittelbar einleuchtet, gelangt man dadurch zu genau demselben Resultat. 654 die Wahrscheinlichkeit dafür, daß es 0 Punkte enthält, also gleich 1 — 7% sein, indem vorausgesetzt wird, daß a hinlänglieh klein ist. Unter der gleichen Voraussetzung wird die Wahrscheinlichkeit dafür, daß BB, gerade einen Punkt enthält, gleich — (n — x) sein. Und indem wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich im Stück ACB x Punkte finden, mit Sx bezeichnen, wird die Wahrscheinlichheit dafür, daß man bei der Verschiebung einen Punkt gewinnt, yleich a a P=8,.(1 7 a ® x). Analog kann man die Wahrscheinlichkeit Q dafür finden, daß die Ver- schiebung umgekehrt von x +1 Punkten zu x Punkten im inneren Teil ACB führt. Wenn ACB anfangs x +1 Punkte enthält (die Wahrscheinlichkeit hierfür st Sx+1), dann verliert man bei der Verschiebung 1 Punkt, wenn AA, einen Punkt und BB, 0 Punkte enthält. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, daß dies aintrifft, werden wie oben jeweils gleich A (x+ 1) und 1— Amnm—x— 1), so daß sich Q — Syz41 (. — (DD — ‚aa a l > (x+1) ergibt. Wenn man nun, einerlei wie klein die Verschiebung a auch ist, verlangt, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, bei vorherigem Vorhandensein von x Punkten im inneren Teil mittels dieser Verschiebung einen Punkt zu gewinnen, gleich Jer Wahrscheinlichkeit dafür sein soll, einen Punkt zu verlieren, wenn sich im voraus x +1 Punkte im inneren Teil befinden, dann muß die Gleichung P=Q für beliebig kleine Werte von a gelten; man erhält also S, Ss, ıder 1 welche Gleichung bereits oben ($ 105, S. 160) für das binomiale Verteilungsgesetz yefunden wurde. Aus der Gleichung folgt nun auf dem Wege sukzessiver Einsetzung, daß > Ps (Ps. (pP "S _{(n (Fr ) 0 — 2) ve ) So n\/p)} ad -. -(2)(2)'. 640 - woraus folgt, daß n So +S,; +8 +8... =(1 +2) So re ist. Wenn diese Summe gleich 1 sein soll, dann muß So==qn sein, was auch direkt einleuchtet; und für Sx erhält man also Sx = (1)e-- qn—x, Die Forderung, daß die Wahrscheinlichkeiten P und Q bei einer unendlich kleinen Verschiebung gleich groß sein sollen, hat also im Gefolge, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß x der n Punkte in den Teil fallen, dessen Länge p beträgt, von der durch das Binomialgesetz angegebenen Größe sein muß. Frommannsche Buchdruckerei (Hermann Pohle) in Jena. — 5579 zb Entsäuerung 78 Okt. 2010 nn es Dr € hu Sa N Yred Verlagvon Gustav Fischer indlena Allgemeines Statistisches Archiv Organ der Deutschen Statistischen Gesellschaft Begründet von Georg von Mayr Herausgegeben von Dr. Friedrich Zahn Präsident des Bayerischen statistischen Landesamts und Professor an der Universität München Das „Allgemeine Statistische Archiv“ hat den Zweck, einen literarischen Mittel- punkt für die wissenschaftliche statistische Forschung, eine eigene Heim- stätte für die statistische Wissenschaft zur Erörterung von theoretischen und praktischen Fragen der Statistik zu bilden. Hierbei kommt die Statistik in ihrem gesamten Umfang zur Berücksichtigung, ebenso die verschiedenen Richtungen der Statistik, sowie die Statistik des In- und Auslandes, Bei der immer mehr zutage tretenden hohen Bedeutung der Statistik für das gesamte öffentliche Leben hat sich das ausschließlich der Statistik gewidmete Archiv — neben dem in kleinerem Umfang erscheinenden Deutschen Statistischen Zentralblatt — als dringendes Bedürfnis erwiesen. Es trägt allen wissenschaftlichen Anforderungen, wie den vielseitigen praktischen Wünschen und Bedürfnissen weiter Kreise Rechnung. Im beson- deren kommen die Veröffentlichungen des Archivs den Interessen von Politik und Wirtschaft zustatten; auch für die Vertreter zahlreicher anderer Disziplinen, die für ihre Forschungen sich der Statistik bedienen, wie Finanz- und Versicherun gs- wissenschaft, Sozialpolitik, Medizin usw., bedeutet das Archiv eine wertvolle Fundgrube. Wie das Archiv im Lauf seiner bisherigen Entwicklung sich eine besondere Beachtung des In- und Auslandes sicherte, so erfreut es sich auch einer regen Mitarbeit aus dem Kreise der internationalen Statistik. Vierteljährlich erscheint ein Heft im Umfang von 160 Seiten. / Vier Hefte bilden einen Band im Gesamtumfang von 40 Bogen. | Jedes Heft wird je nach Umfang einzeln berechnet. Band 16. Vier Hefte. VI, 675 S. gr. 8° 1926/27 Rmk 40.— Band 17%. Vier Hefte, 1928 Im Erscheinen. 5. 1—204, (Juli 1927) Inhalt: I. Abhandlungen. Bevölkerung und Nahrungsspielraum in Deutsch- (und. Von Regierungs- und Volkswirtschaftsrat Dr. Karl Keller, Berlin, Mitglied des Preußischen Statistischen Landesamtes. / Fin neuer Versuch zur internationalvergleichen- den Finanzstatistik. Von Dr. Gerhard Colm, Privatdozent an der Universität Kiel. / Die deutsche Obst- und Gemüseeinfuhr 1924—1926. Von Dr. Ludwig Gebhardt, München, Regierungsrat im Bayrischen Staatsministerium für Landwirtschaft. / Die Bibliotheksstatistik in Deutschland. Von Bibliothekar Dr. Paul Gehring, Tübingen. — IT. Statistische Gesetzgebung, Verwaltung und Organisation. Die deutsche Reichs- und Landesgesundheitsstatistik. Von Dr. A. Kasten, Berlin. — Il. Miszellen. Die Volkszählung in der Union der Sozialistischen Sowjet-Republiken vom 17. Dezember 1926. Von Dr. Eugen Stieda, Berlin. / Zur Geburtenstatistik der Vereinigten Staaten von Amerika. Von Sanitätsrat Dr. Printzing, Ulm. / Internationale geistige Zusammen- urbeit. Von Präsident Prof. Dr. F. Zahn, München. / Deutsche Statistische Gesellschaft ‚m Jahre 1927. Von Präsident Prof. Dr. F. Zahn, München. — IV. Literatur. Heft 2. S. 205—348. (Sept. 1927) Inhalt: I. Abhandlungen, Struktur und Konjunktur. Von Prof. HE. Wolff, Halle. / Grundsätzliche Fragen zur Abgrenzung von Landschaften. Von Dr. Otto Schlier, Berlin. / Die Einwanderungsquotengesetze in den Vereinigten Staaten von Amerika. Von Prof, A. Sartorius von Waltershausen, Gauting bei München. / Soziale Mißstände und Alkoholverbrauch. Ein Beitrag zur statistischen Ursachenforschung. Von Dr. Günter Schmölders, Berlin. — II. Statistische Gesetzgebung, Ver- waltung und Organisation. Die erste allgemeine Zählung der Republik Polen vom Rmk 10.— ed Verlagvrtron Gustav Fischer in lena 30, September 1921. Erhebungstechnik sowie Bearbeitungsgrundsäize. Von Dr. Raimund Bulawski, Warschau, Leiter der Volkszählungsabteilung im Polnischen Statistischen Zentralamt (Warschau). — III, Miszellen, Ergebnisse des britischen Census 1921. Von H. Fehlinger, Genf, Das aktive Offizierkorps in der deutschen Kriegstotenstatistik 1914|1918. Von Wilhelm Britzelmayr, München. — IT. Literatur. Heft 3. S. 349—496. (Dez. 1927) Inhalt: I. Abhandlungen, Volk, Familie und Statistik, Von Oberregierungs- rat Dr. F. Burgdörfer, Mitglied des Statistischen Reichsamts, Berlin. / Die Statistik der politischen Wahlen. Von Dr. O0. H. Jenny, Basel. / Ursachenbegriffe und Ursachen- forschung in der Statistik, Von Prof. Dr. Franz Zizek, Frankfurt a. M. / Die wissen- schaftliche und praktische Entwicklung der Betriebsstatistik. Von Prof. Dr. Curt Eis- feld, Hamburg. — II. Statistische Gesetzgebung, Verwaltung und Organi- sation. Probleme der Bevölkerungsdichte-Berechnung. Von Dr. Johannes Müller, Weimar... Mit 2 Karten im Text. — III. Miszelleu, Tagung der Deutschen Statistischen. Gesellschaft im Jahre 1927. Von Prof. Dr. W. Morgenroth, München. / Konferenz der deutschen Städtestatistiker im Jahre 1927. Von Prof. Dr. W. Morgenroth, München. / Die Bewegung der spezifischen Männersterblichkeit in Bayern von 1869—1925. Von Dr. med. Rudolf Bandel, Nürnberg. — IV. Literatur. Grundriß zum Studium der politischen 0ekonomie. Begründet von Joh. Conrad, Halle a. S., fortgeführt von Prof. Dr. A, Hesse, Breslau und Prof. Dr. H. Köppe, Marburg. IV. Teil: Statistik. 1. Allgemeine Statistik, Bevölkerungsstatistik, Von Prof. Dr. A. Hesse. Fünfte, erweiterte und ergänzte Auflage (8.—12. Tausend). XIl, 244 8. gr. 8° 1923 Rmk 5.—, geb. 6.50 Berufs- und Agrarstatistik. Pon Prof. Dr. A. Hesse, Dritte, erweiterte und ergänzte Auflage (5.—9. Tausend). VIL 291 S. gr. 8° 1924 Rmk 7.50, geb. 9.— 3, Gewerbestatistik und Arbeitsstatistik. Von Prof, Dr. A, Hesse, Vierte, erweiterte und ergänzte Auflage. XII, 395 S. gr. 8° 1925 ‚Rmk 15.—, geb. 17.— 4. Handels- und Verkehrsstatistik. Von Prof. Dr. A, Hesse, in Vorbereitung. Statistik. Von Prof. Dr. Carl von Tyszka, Hamburg. Teil I: Theorie, Methode und Geschichte der Statistik, VIII, 111 S, gr. 8° 1924 Rmk 3.50 Teil II: Die Wirtschaft, XII, 192 S. gr. 8° 1924 Rmk 6.50 Der Verfasser beschränkt sich auf die Darstellung des Wesentlichen und Wissenswerten, Er bietet so in erster Linie dem Studierenden in gefälliger Form ein klares, abgerundetes Bild von der statistischen Wissenschaft. Darüber hinaus dient das Buch aber auch denen als Wegweiser, die sich für Statistik interessieren und sie im Beruf oder nebenberuflich verwerten ; insbesondere nimmt es auf die Bedürfnisse des modernen Kaufmanns Rücksicht. Im 2. Teil werden ausführlich Beruf, gewerblicher Betrieb, agrarische Verhältnisse, Handel und Verkehr, Wohnweise, Preise, Löhne und Lebenshaltung behandelt, Soziale Physik oder: Abhandlung über die Entwicklung der Fähigkeiten des Menschen. Von Ad. Quetelet, Direktor des Observatoriums in Brüssel, Uebersetzt von V. Dorn. Zwei Bände. (Sammlung sozialwissenschaftl. Meister. Herausgegeben von H. Waentig. Bd. 19/20.) Rmk 13.20, geb. 16.50 Band I. XXVI, 529 S. kl. 8° 1914. Band II. Mit 31 Abbild. im Text.und 3 Karten. XVI, 593 S. kl. 8° 1921 Quetelet bedeutet einen epochemachenden Wendepunkt in der Entwicklungs- geschichte der Statistik und der Sozialwissenschaften überhaupt. Seine wissenschaft- liche Leistung läßt sich dahin zusammenfassen, daß er allgemeines Interesse für die Idee erweckte, aus zuhlenmäßigen Massenbeobachtungen über Erscheinungen im menschlichen Leben Schlüsse von allgemeinem wissenschaftlichen Werte zu ziehen und die Resultate der praktischen Statistik zur Anwendung induktiver Forschungsmethode bei sozial- wissenschaftlichen Studien zu verwerten lehrte. Z7eriagvon Gustav Fischer in Jena Theoretische Statistik. Von Prof. Dr. H. Wolff, Halle a. S. Mit 7 graph. Darstellungen im Text. („Grundrisse zum Studium der Nationalökonomie“, Hrsg. von Prof. Dr. K. Diehl, Freiburg i. Br. und Prof. Dr. P. Mombert, eßen. Bd. 20.) XXIV, 453 8. gr. 8° 1926 Rmk 16.—, geb. 18.— Inhalt: 1. Einleitung. 2. Der Gegenstand der Statistik: a) der Gegenstand selbst ; b) das Erfassen des Gegenstandes; c) das Erkennen des Gegenstandes. 3. Die Definition der Statistik. 4. Abgrenzung der Statistik von anderen Wissenschaften. 5. Die Methoden- ehre der Statistik: a) die politische Arithmetik; b) die statistische Methode; c) die pseudo- statistischen Methoden. 6. Die statistische Darstellung: a) Allgemeines; b) die textliche Darstellung ; c) die zahlenmäßige Darstellung ; d) die statistischen Reihen; e) die statistischen Mittelwerte; f) die graphische Darstellung. — Schluß. — Personenregister. Sachreegister. Wirtschaftsstatistik. Von Prof. Dr. H. Wolff in Halle a. S. („Grundrisse zum Studium der Nationalökonomie‘. Herausgegeben von Prof. Dr. K. Diehl, Freiburg i. Br. uud Prof. Dr. P. Mombert, Gießen. Bd. 21.) Mit 5 Abbild. ım Text. XXVTI, 698 S. gr. 8° 1927 Rmk 25.—, geb. 27.— inhalt: 1. Einleitung. 2. Bedarfsstatistik. 3. Berufsstatistik. 4. Betriebsstatistik: a) landwirtschaftliche Betriebsstatistik ; b) gewerbliche Betriebsstatistik ; c) Handelsbetriebs- statistik; d) Verkehrsbetriebsstatistik. 5. Die Statistik der Unternehmungsformen. 6. Pro- juktionsstatistik: a) landwirtschaftliche Produktionsstatistik ; b) gewerbliche Produktions- statistik. 7. Absatzstatistik: a) Außenhandelsstatistik; b) Preisstatistik. 8. Verkehrs- statistik: a) Geldverkehrsstatistik; b) Verkehrszählungen; c) die übrige Verkehrsstatistik. 9). Konjunkturstatistik. 10. Einkommensstatistik. 11. Verbrauchsstatistik. 12. Finanz- statistik. 13. Verwaltungsstatistik. 14. Schluß. Grundriß der Arbeitswissenschaft und Ergebnisse der arbeitswissenschaftlichen Statistik. Von Dr. Otto Lipmann, Direktor des Instituts für angewandte Psycho- logie in Berlin. Mit 50 Abbild. im Text. V, 93 8. gr. S° 1926 Rmk 4.50 Probleme der internationalen Arbeitsstatistik. Von Prof. Dr. Karl Pribram, Leiter der statist. Abteilung des Internationalen Arbeitsamtes Genf. (= Kieler Vorträge, gehalten im wissenschaftl. Klub des Instituts für Weltwirtschaft und Seeverkehr an der Universität Kiel. Nr. 14.) 16 8. gr. 8° 1925 Rmk —.80 Der Geburtenrückyang. Von Dr. Johannes Müller, Direktor des Thürine. statist. Landesamtes und Privatdozent an der Univers. Jena. VII, 144 S. gr. 8° 1924 Rmk 5.60 Handbuch der medizinischen Statistik. Von Dr. med. Priedrich Prinzing, prakt. Arzt in Ulm a. D. VII, 559 8. gr. 8° 1906 Rmk 15.— inhalt: Einleitung. Definition, Aufgaben, Methoden und Entwicklung der medizinischen Statistik. — I. Teil: Die Geburten. — II. Teil: Krankheit, Unfall und Gebrechen. — III. Teil: Die Sterbefälle. Vorlesungen über soziale Medizin. Von Dr. Ludwig Teleky, Priv.-Doz. für soziale Medizin an der Universität Wien. Erster Teil: Die medizinal-statistischen Grundlagen. Sterblichkeit. Todesursachen, Geburten, Körperbeschaffenheit in Stadt und Land und in verschiedenen Wohl- standsstufen. Einfluß des Berufes auf Sterblichkeit und Erkrankungshäufigkeit, Krankenkassenstatistik. Mit 14 Kurven im Text. VIII, 282 8. gr. &° 1914 Rmk 8.—, geb. 10.— Zeitschrift für Sozialwissenschaft. 1915, Nr. 1: ... Statistikern und Sozialhygienikern muß das Buch hochwillkommen sein; as ist ein Zeugnis davon, daß lie sozialhygienische Statistik eine große Vertiefung gefunden hat. Vor allem aber wünschen wir, daß die vielen, die frei von aller Kenntnis statistischen Arbeitens sozial- hygienische Fragen behandeln, sich dieses Buch recht genau ansehen möchten. F Prinzing, Ulm. S Verlagvon Gustav Fischer in Jena Grundriß der deutschen Statistik. Von Dr. Johannes Müller, Direktor des ri A atisrischen Landesamts und Privatdozent an der Universität Jena. jier Teile. I. Teil: Theorie und Technik der Statistik, Ein Grundriß für Studium und Praxis. Mit 28 Abbild. im Text und 3 Zählformular-Beilagen, XI, 294 S. gr. 8° 1927 Rmk 14.—, geb. 16.— Inhalt: I. Wesen und Grundlagen der Statistik. 1. Die Statistik als Wissenschaft, 2. Die Methoden der statistischen Wissenschaft: a) Die Grundlagen der statistischen Methodenlehre, b) Die einzelnen Methoden. — II.Gewinnung des Zahlen- materials. 1. Gewinnung des Urmaterials. 2. Aufbereitung des Erhebungsmaterials; a) Logische Aufbereitung. b) Technische Aufbereitung. 3. Darstellung der Beobachtungs- ergebnisse. — III. Verarbeitung des Zahlenmaterials. 1. Verhältniszahlen und Mittelwerte.‘ 2. Die weitere Zahlenverarbeitung. — IV. Organisation und Ge- schichte der deutschen Statistik, — Alphabetisches Stichwortregister. II. Teil: Deutsche Wirtschaftsstatistik, Ein Grundriß für Studium und Praxis. XILT, 333 8. gr. 8° 1925 Rmk 16.—, geb. 18.— Inhalt: 1. Einleitung. 2, Die wirtschaftende Bevölkerung. 3. Produktion. 4, Ver- kehr und Handel (Verkehrswesen; Außen- und Binnenhandel; Geld- und Kreditwesen; Preise). 5. Privatversicherung. 6. Arbeit. 7, Einkommen, Vermögen, Verbrauch. 8, Ge- bäude und Wohnungen. 9. Wohlfahrtswesen. (Sozialversicherung, Armenfürsorge. Sonstige Wohlfahrtspflege.) 10. Nichtwirtschaftliche Sachgebiete, deren Statistiken Ein- blicke in das Wirtschaftsleben gewähren. (Konkurse und Zwangsvollstreckungen ; Finanzen; Brände: Stand und Bewegung ‚der Bevölkerung.) 11, Zusammenfassung mehrerer wirtschaftlicher Einzelstatistiken. — Alphabetisches Stichwortverzeichnis, HILL Teil: Deutsche Bevölkerungsstatistik, Ein Grundriß für Studium und Praxis. Mit 4 Abbild. im Text. VIL, 280 S. gr. 8° 1926 Rmk 12.—, geb. 14.— Inhalt: I. Einleitung. 1. Stellung der Bevölkerungsstatistik im System der Wissenschaften. 2, Einzelzweig der Bevölkerungsstatistik. — II. Bevölkerungsstand. 1. Methodik der Erhebung. 2. Stand um wichtigste Gliederungen der Bevölkerung. — III; Bevölkerungsbewegung. 1. Methodik der Erhebung. 2. Eheschließungen und Ehelösungen. 3. Geburten. 4. Todesfälle. 5. Wanderungen, Bevölkerungsbilanz. 6. Er- krankungen und sonstige Vorgänge der Bevölkerungsbewegung. — Alphabetisches Stich- wortverzeichnis. IV. Teil: Deutsche Kulturstatistik. “in Vorbereitung. Statistik und Verwaltung. Mit besonderer Berücksichtigung der preußischen Verwaltungsreform. Von Dr. Reinhold Jaeckel, Kreisstatistiker. IX, 62 8. gr. 8° 1913 Rmk 2. — Beiträge zur Darstellung des Bernoullischen Theorems der Gamma- funktion und des Laplaceschen Integrals. Von Dr. Joh. Eggenberger. Zweite Auflage. 79 5. gr. 8° 1906 Rmk 2.50 Grundzüge einer Theorie der Lebensversicherung. Von N. R. Jörgensen, Kopenhagen. Mit 11 Tabellen. X, 408 8. gr. 8° 1913 Rmk 12,—, geb. 14.— Inhalt: Einleitung: Sterblichkeit und Selektion. KErlebenswahrscheinlichkeit und Sterbenswahrscheinlichkeit. Voraussetzungen der Theorie. Sterblichkeitskurven. — 1. Die Sterbetafel. 2. Funktionen, die von der Sterblichkeit abhängen. 3. Ausgleichung der Sterbetafeln. Interpolation. Sterbeformeln. a) Analytische Ausgleichung von Sterbe- tafeln. b) Mechanische Ausgleichung. c) Graphische Ausgleichung. 4. Versicherungs- weite. 5. Die praktische Ausführung der Rechnungen. 6. Verbindungsrenten und Ver- Sicherungen. 7. Prämien. 8. Rückgewähr. 9. Prämienreserve. 10. Rücklauf, Reduk- tion der Versicherungssumme und Abänderung der Versicherung. 11. Gewinnverteilung. Dividenden und Bruttoprämien. — Sachregister. Namenregister. 11 Tabellen (60 Seiten). Mathematisch - technische‘ Kapitel zur Lebensversicherung. Von Dr. Corneille L. Landre. Fünfte Auflage. Unveränderter Abdruck der von H. F., Landre verbesserten und vermehrten vierten Auflage, XXVI, 528 S, gr. 8° (911 Rmk 10.—, geb. 12.— = fr 94-7 RIt ERS URE, VENEN, : 2 „5 REN = 243 ik dr Ma Art 3 Se ) } . K a“ % EEE wr Z al Ay oma), FM ; Makel : Shen +3 ar EC VAT I Ta AR SE DIA SM ‚634 „DE Or AN ; AS AR. P PO Zr er zz 3 7- 3 k-4 an Kat % T ; IB a Et NE HUREN S LE HN EN: EEE AED Ar ME HE E50 BENONM- KT SETCHACTE BA EEG zen m ya HEHE, ea AREA n N AM N EN Ka dt em“ f > zn HM 7 + 7 Ad 5-47 X SA a Ur a ee. Zw 33: «+ a ca NS SE es ABLE RE rn Ze 43 RR © Ds x BETEN Pe $ A HC) x Ex BE > ya Sean x} > (} 3 A RE? EEE ER 272.2 3 rn “ A Vr = 3 A 2 "kn zei Re A nn Un AR: oa —_— » =. ._ a JE a at & m SO KO iz X 3 A Bi. ER 34 Ban 05a N sg a g3 22 — Ener Tea rent HE EA A Ad ÜF En ar "7 ein A A X 4 Pan) rt „a SCH & x We f BD az "r } a} "a CA I 4 & Su EEE BD z a Bes En A a n u yE “ SS. Az { nr K> x E > : BE A Ag Vader HE, SO NS ME Zn N Ha Aa u > 4 F 1 $ ARNHSEE I I 403: Sen by KK Sa A {N Pd 3 i BRD En 33 Sr ALS ALS SEELEN F; LEE 4 za ARE 3 SE HA DT 252 SE EL AG FO X RE 1 3} 4} \ea h—_ 5 1 lim. 5. le 4602579263 Fäl | a HE 61: pometrie die Körpergröße der erwachsenen männlichen Bevölkerung untersucht, wobei die gefundene Verteilungskurve faktisch aus mehreren Kurven, deren jede ihren Landesteil vertritt, entsteht (vgl. $$ 183—185). Um sich der Fehlschlüsse zu erwehren, muß man dann in allererster Linie das Material in diese einzelnen Gruppen auflösen und wiederum diese Untergruppen einer näheren Prüfung unterziehen, bis man zu- letzt nicht weiter kommen kann. Wenn man danach für die Unter- abteilungen der Gesamtheit entsprechende Resultate gewonnen hat, dann kann man damit anfangen, einigermaßen zuverlässige Schlüsse zu ziehen. Andererseits fehlt dem Statistiker nicht der Ansporn; er muß sich stets und ständig dazu berufen fühlen, immer tiefer zu schürfen, um so der Wahrheit näher zu kommen. Hinsichtlich der Gruppierung des Stoffes dürften sich die Resultate der Untersuchung so zusammenfassen lassen, daß man nach der Bearbeitung des Stoffes, insbesondere nach einer gebührenden Ein- teilung der Beobachtungen, mit großer Wahrscheinlichkeit zur Binomialformel gelangt. Wenn man als vorläufiges Resultat bald dieses, bald jenes von der Binomialformel abweichende Gesetz erhalten hat, dann dürfte die Erklärung die sein, daß man einen zusammen- gesetzten Ausdruck gefunden hat, der aus mehreren Unterabteilungen hervorgegangen ist, der jedoch, sobald sich diese verschieben, wesent- lichen Veränderungen unterliegt. Die nächste Zukunft der Statistik liegt daher kaum in der Ent- wicklung neuer Formeln für Verteilungsgesetze verschiedener Form. Der mathematisch geschulte Statistiker wird leicht dazu versucht werden, solche Ziele zu verfolgen, anstatt in erster Linie die Mög- lichkeiten auszunutzen, die in dem einfachen Binomialgesetze ihren Ausdruck gefunden haben. In Anbetracht der Tatsache, daß die Statistik, wie man sie auch immer auffassen mag, von so deutlich ausgesprochenem zahlenmäßigen Charakter ist, muß es allerdings klar sein, daß die Kenntnis der Zahlenbehandlung eine Voraussetzung für die Möglichkeit der Vornahme statistischer Untersuchungen sein muß. Es ist daher auch nicht so merkwürdig, daß spezielle mathematische Hilfsmittel im Laufe der Zeit eine stets größere Rolle in der Statistik gespielt haben. Hat die Abgrenzung des Begriffes der Statistik über- haupt Schwierigkeit bereitet, dann muß es daher doppelt so schwer sein, einen besonderen Teil der Statistik als „mathematische Statistik“ auszuscheiden. Eine solche Ausscheidung, die sich lediglich auf Benutzung oder Nichtbenutzung gewisser Hilfsmittel stützt, muß anfruchtbar bleiben, solange man nicht einmal die betreffenden Hilfs- 20* . Zn + 3 } Fr A 5 © a © (8) Fe dr 3 3 3 3 $ | Zi) 3 | 5: 3 S 3 3 8 3} 3 x | © < © = m * co Q ns < n a nn OÖ vw © N © (a) [a] © © © —- r > } X i 5 2. 3 315 S 5 ES 3 ; EZ | na - SF SP ar al Es E es -— a ‚© ı — 45 NE © N ‚MD ‚ < U) ao I N ao N 7) — & < A — | ao‘ 4 {)-+