Bibliothek des Instituts für Weltwirtschaft an der Universität Kiel ALBERTO DE’ ¿STEFANI Libero docente della R. Université di Padova L’OFELIMITÀ DEL DENARO STUDIO ECONOMICO - FINANZIARIO VENEZIA PHKMIATK OKKLCINK (i H A PICH K 1)1 CARLO FBftRARl 1914. ■g Bibliothek n Ä d. All! OKU lvKA KK ItiTITUTOl^fcTü. H^M 'I KNZK. KKTTKKK Kl) AK II. Anno accademico 1 !♦ 13-1*14 - Tomo LXX1II - Carte seconda. L’OFELIMITÀ DEL DENARO STUDIO ECONOMICO-FINANZ! A RIO ALBERTO DE’ STEFANI (prtsent. dal prof. K. Tamassiu m. e., nelV adun. ord. del SO ottobre 1913) SOMMARIO — 1. Le leggi psico-tisiche — 2. L’ ipotesi di Daniele Bernoulli ­ — Ü. Confronto tra la formóla della fortuna morale di 1). Bernoulli e del Buffon — 4 Patrimonio e reddito considérât} dalC as petto della fortuna morale — 5. Le conseguenze finanziarie del principio della fortuna morale nell’ordinamento di un imposta generale sul reddito — <5. Illustration i di queste eonseguenze — 7. Le capitazioni — 8. La speranza morale — í). Considerazioni eritiche sul concetto di speranza morale. I. - Le leggi psico - fisiche. II problema che riguarda la natura e la forma delle relation! tra le grandezze fisiche e la corrispondente ofelimitá c análogo, per al cu ni dementi logici e psicologici, del problema che riguardp la natura e la forma delle relazioni tra le grandezze fisiche e le corrispondenti sensazioni. 1/esistenza di «¡ueste relazioni ò un dato dello spirito : ma si può dabitare se ad esse convenga la definizione di f'unzione. Si può cioè dabitare se C ofelimitá e le sensazioni possano dirsi grandezze suscettibili di valori comunqae determinabili e se, potendolo dire, si possa comanque affermare che ad ogni valore di ana data grandezza física corrispondono uno o piii valori determinati della ofelimitá o della sensazione relativa a quella data grandezza física. E il dubhio non è di poco peso ; perche a quelle relazioni convengono le proprietá analitiche delle funzioni soltanto se ad esse conviene il carattere di f'unzione. So no relazioni tra vari ab i li fisiche e condizioni psichiche e, per questo, son dette leggi psico-fisiche (i 1 s A. DE’ STEFANI (2) in generale e, distinguendo, leggi dell’ ofelimità e leggi delle sensazioni. Scopo di questo scritto è lo studio di una tra le leggi dell’ofelimità, per oaratteri suoi proprii singolare tra tutti 1 2 3 : la legge dell’ ofelimità del denaro, o, cou altre parole, la legge dell’utilità 8iibbiettiva dei redditi pecuniarii. li mi limito, in questa prima oceasione, ail' an ali si del T ipotesi bernoulliana. 2. - L’ipotesi ni Daniele Bernoulli. Daniele Bernoulli (') fu tra i primi a formulare, con l’ausilio di un’ipotesi psicológica, la legge dell’utilité, subbiettiva dei redditi pecuniarii, detta poi dal Lapláce (-) legge della fortuna morale ; ma potrebbe anche denominarei : legge deli’ofelimità del denaro, senza modificare od estendere la definizione di ofelimità data da V. Pareto ( :1 ). 0’ò pero da notare che la legge formulata da 1). Bernoulli vale per redditi positivi e per redditi negativi, e, cioè per amuenti e diininuzioni dell’ainmontare pecuniario del patrimonio delle persone ; e si han no, quindi, in corrispondenza, i due casi : il caso di ofelimità positive ed il caso di ofelimità negative. D. Bernoulli animette che P ofelimità relativa ad un reddito variabile sia una funzione di quel reddito ; si tratterehbe di una funzione crescente col crescere del reddito e decrescente col crescere del patrimonio originario. I). Bernoulli estende dunque al caso dell’ofelimità del denaro quel la propriété che è comuneniente attribuita all’ofelimità dei béni economici e che spiega la natura della legge della demanda : la propriété cioè di decrescere col crescere della quantité che si consuma (o di oui si dispone). Questa ipotesi corrisponde, astraendo da alcuni casi che diremo casi sinyolari dell' ofelimità ( 4 ), al dato dell’esperienza psichica. Se indichiamo con ¡j la ofelimità del reddito, con x— a il reddito e con a 1’ am montare del patrimonio originario (1) Mi valgo dell’edizione di A. Piungsheim : Die Grundlage der modernen Wertlehre: I). Bernoulli, Versuch einer neuen Theorie der Werthbestimmung von Glücksfällen. Leipzig, 1896. (2) Théorie analytique des prohabilités. Livre II, Ch. X. Oeuvres. T. VII. Paris, 1886. (3) Manuale di Economia, politico. Milano, 1906. Capo III. §. 32. (4) Ciño Borgatta. Di uno proprietá generate delV ofelimità. A ti i della It. Acead. delle Scienze di Torino. Vol. XLVII. 1912. (3) \j OFELIMITÀ DK Ij DEN AHO Bin e si accetta la veduta di 1). Bernoulli relativa alla natura analítica della legge di ofelimità del denaro, si può legittiniamente scrivero la relazione all’ ipotesi che si è introdotta ; ma dall’aspetto delle operazioni analitiche il lógame tra le variabili sarebbe tuttavia indeterminato. (puesta ulteriore ipotesi, che rappresenta una determinazione della precedente, è espressa dalla relazione nella quale d x, e dy so no, rispettivamente, i differenziali di x e di y, e /í è una costante rispetto ad x. Integrando da a ad x si ha la relazione che, astraendo da k, ci dà la forma della legge della ofelimità del red dito x — a. Relativamente al segno si deve notare che se è x > a è y > 0 e se è x < a è y < 0 e ci où che l’ofelimità è positiva o negativa secondo che si tratta di un aumento o di una diminuzione deirammontare pecuniario del patrimonio, o, con alt re parole, di un reddito positivo o negativo. I prezzi ed il método di valutazione del patrimonio devono naturalmente supporsi costanti. Particolare considerazione meritano spécial! valori di x e di ti. Consideriamo i casi seguenti : y = f(x, a) U) che godrebbe delle proprietá delle funzioni e di quelle relative du = k x (2) (a) a > 0 donde y — U x > ü y = + 30 y = indetermimito 020 a. de’ steeani (4) Esaminiamo ora il significato económico di ciascuno di que-Hti casi : (a) Se il reddito è zero, è zero la corrispondente ofelimità. (ß) Per dare un soddisfacente significato al valore che la funzione assume in questo caso è necessário ricorrere ad un concetto del patrimonio pin ampio del concetto che si mostra ordinariamente di ave nie e comprendervi : (I) 1’ ammontare dei beni di una persona espresso nell’unità di prezzo ; (11) la somma espressa nella stessa unità di prezzo, che questa persona esigerebbe per rinunziare a quais i as i forma di attivitá económica diretta alio scopo di conseguiré un reddito qualsiasi. 11 caso che ora si considera sarebbe quello di una persona che perde, oltre di ogni suo ave re, anche qualunque possibilita di reddito, compresa la possibilitá di redditi caritativi o illegittimi ; e, in questo caso, soddisfa il considerare come infinita I’ ofelimità negativa, il danno corrispondente a quella perdita, a tpiel reddito negativo. (7) Questo terzo caso è eguale e contrario al precedente ; è il caso cioè di una persona che, priva delia possibilità di procurers! ­ comunque un reddito qualsiasi, riesce a procurárselo ; e soddisfa pure in questo caso il considerare come infinita 1' ofelimità ­ di quel reddito. (ô) 11 quarto caso non richicde particolare spiegazione. Si noti infine che da quella definizione del patrimonio, che si è introdotta per ottenere un signifícate soddisfacente nci casi X (ß) e (y) , discende che è da escludersi la relazione — < 0. a 3. - Confronto tea de formule della fortuna morale di 1). Bernoulli e del Buffon. 11 Button (Q parti va dall’osservazione che i guadagni e le (1 ) Essai d’Arithmétique morale. Histoire naturelle. Supplément. Tome IV. Paris 1777, pag. 46. L’ occasione <li considerare la legge dell’utilità subbiettiva del denaro fu data da Nicola Bernoulli con «piel suo problema che va sotto il nome di paradosso di Pietroburyo ed il primo a scriverne è stato appunto il Buffon in una luttera al Cramer, nol 1730. Sombra pero (dio il Cramer avesso già per conto suo posto la que- li' OFELIM1TÀ DKL KENAÜO 621 (5) perdite pecmiiarie non vanno considerate nella loro mi sura assoluta ma in relazione all’ animontare del patrimonio delle persone espresso neU'unità di prezzo (^). E cioè se r rappresenta il guadagno o la perdita di una persona che possedeva un patrimonio originario eguale ad a i loro rispettivi valori subhiettivi sono (4) la differenza : r r a + r a r r a 4- y « a (a + r) ci dice chiaramente che il valore relativo di r è maggiore come perdita che come guadagno. Ne viene che qualunque sia la funzione con cui si voglia esprimere la legge dell’ utilità subbiettiva partendosi dall’ ijiotesi del Buffon la variabile da considerarei r r sarebbe nel caso di un guadagno ed — nel caso di una í/H-/* a perdita; 1 addo ve nell’ espressione (3) di 1). Bernoulli la variabile che si considera è sempre il quoziente ti n 1’animontare successive ­ e quelle originario del patrimonio (i) e la distinzione tra i due casi nella funzione è puramente di segno e dipende dal valore numérico del quoziente —- o dalla propriety analítica della relazione logarítmica. Supponiamo ora che la funzione che l appresenta l’utilità subbiettiva di r sia della forma (4) ; con che si viene a sustituiré alia considerazione di un incremento infinitesimale la considerastiono del valore subbiottivo del demiro, beuche si deeidesse a trattarne nei Commeniarii dolí’ Accademia di Pietroburgo solo dope ehe I). Bernoulli ­ vi a ve va comunícate la celebre Memoria di cui ci oecupiamo. Portano pero ambedue la data del 1738. È duu<|ue inesatto ¡I Seligman. Prof/re.ssire Taxation ; American Kconomic Association, 190S, p. 280. (1) (Mr. Bacuoix, Traité élémentaire du ralcal îles probabilités, Paris, I8(>4. Pag. 113 e segg. A. DE’ STEFANI 1122 (6) zione di un incremento finito. Si avril per il caso di un »'iiadagno, e posto r = r t + y — k a + r k r { + <i 4- 1\ 4- r, (5) Ma, se si indica con y t 1’ofelimità di r t e con y i l’ofeliniità di r s , si ha V — !h 4 íh ( ( >) D’altronde, poichè nessuna limitazione è st ata introdotta, relativa al valore di r, si può scrivere : y. — k — e w = k —-«4- a 4- r t + r, Ne verrebbe 1’eguaglianza G + G = >j « 4- r t 4- )\ a 4- r t a 4- 4-evidentemente assurda. Lo stesso acoade nel caso di due perdi te successive t\, i\ e tali che sia r { + = r. ln tat ti : V V V y =k—- y t = k — ', y = k !— ; a a a — r { si giunge dunque all’assurdo, come nel primo caso. La posizione y = y { -\- y s deve mutarsi in quest’altra : //<//, 4- y t - quella non era legittima : posta infatti la (5) è contradditorio porre la (6) e il calcólo ce ne avverte. Ad un matemático, il Timerding ('), che considerava hipótesi di D. Bernoulli estesa ad un incremento finito, par ve st rana ed economicamente assurda l’incompatibilità di (pielle due posizioni (5) e (6). “ In der That kann der Wert einer Einnahme nicht “ dadurch erhöht werden, dass man sich die Geldsumme statt (1) Die- Bernoullische Werththeorie. Zeisclirift für Math. u. Physik. 47 Band. 15)02, % ed. 4 lieft. (7) j/ O FE LI MIT À DEL JJ EN A KO “ in Zwanzigmarkstücken in einzelnen Pfennigen auszahlen “ lässt Il Timerding non ha compreso che qui ci si ri feri see sempre alla consecuzione di un red di to e non alla sua emzione. Quando l’esazione è certa non importa, a riguardo della nostra questione, che essa si compia in una o più volte ; ma non si deve meravigliarsi se Putilità subbiettiva, l’ofelimità di un dato reddito r non è eguale al T utilità subbiettiva, alla ofelimità di due redd iti r { , /•, successivamente conseguiti, e tali ehe sia r = Si tratta di una questione di psicologogia económica, che vuole per sé un esame delicate e minuto. 4« - Patrimonio e reddito considérait dall’asfetto lella FORTUNA MORALE. Ai riguardi della diñe ronza x — a che rappresenta la misara ­ del reddito (positivo o negativo) si possono fare due ipotesi : (I) che questa difierenza sia economicamente indipendente da a ; (II) che questa diflerenza dipenda economicamente da a. La (I) è T ipotesi di un aumento o di una diminuzione delr ammontare del patrimonio, espresso nell’ uni ta di prezzo, ¡iraticamente indipendenti dal patrimonio stesso ; sopravvenienze atine a passice, conseguenze della sorte, in generale. Se, invece, si pensa a quella categoria di redditi che dipendono, nella lora misma, dal patrimonio (11) si puo notare che tra x ed a passa la relazione dove h è il coefficiente di capitalizzazioue. Se ne deduce il valore ­ di x in termini di «, e oioè (,x — a) li = a x = a -\-h e quindi la " ' h che esprime, per il caso (II) la legge dell' ofelimità del reddito. 624 A. DE’ STEFANI (8) Come si vede questa ofelimità ò iiidipeiideiite dal patrimonio e dipende invece dal reciproco del coefficiente di capitalizzazione e cioè dal saggio dell’ intéressé. K superfino avvertiré che lo stesso integrale può porsi sotto altra forma. Sostituisco al limite inferiore ­ a il suo valore x e otteimo 1 + h 0 y=/c /? =i ' los ( 1 + i) h x iTã Si è quindi condotti a concludere che il patrimonio non è una entità económica originaria ma una entità derivata dalla entità reddito : e d’altronde si renderebbe colpevole di un oatepov îtpÔTspov chi pensasse il contrario. 5- - Le conseguenze finanziarie del principio della fortuna ­ MORALE SÜLL’ OEDINAMENTO Dl UN IMPOSTA GENERALE ­ SUL REDDITO. Mi propongo ora di determinare la ta ri ff a di una imposta generale sul reddito corrispondente a tutte le possibili interpretazioni del principio delia fortuna morale. Trascuro qui quel coefficiente k che I). Bernoulli ha introdotto nella propria formula. ­ Si tratta di un coefficiente perdónale di cu i lo Stato non può tener conto a menu che non ne voglia determinare esso medesimo arbitrariamente il valore secundo un criterio uniforme per tutti e in relazione a circostanze esteriori accertabili ; la circostanza piíi ovvia ai di nostri sarebbe il numero dcllc persone cu i il contribuente deve provvedere. Designo con / 1’ ammontare delr imposta, con r il reddito e pongo t = f{r) essendo f(r) una funzione crescente con 1’ argumento e che si annulla per p = y, se y rappresenta il limite di esenzione e cioè il massimo reddito non imponibile. Indico inoltre con P (r) ¡1 sacrificio súbito, come effetto dell’ imposta, dal contribuente che possiedo un reddito r e determino 1’ incremento di sacrificio Il OFKIjIMITA DEL DENABO 625 (9) d P (r) corrispondente ¡1 un piccolo incremento dr del reddito. Il reddito netto è r—t] pongo la relatione : dt f (r) (7 ) e, cliiainando con z (r) il coefficiente di dr, e cioè il sacrificio del contribuente per ogiii unità aggiunta al reddito r, potro scrivere brevemente : d P (r) = rp (r) dr . (8) La (7) corrisponde all’ ipotesi che F incremento del sacrificio ­ sia proportionale all’incremento dell'am montare dell’imposta ed inversamente proportionale al reddito netto ; se in luogo di considerare il reddito netto si considerasse il reddito lordo si dovrebbe ser i vero : <n >(r) = d l = f -^,lr r r L ipotesi del Bernoulli corrisponderebbe invece alia relatione d I *(r) dt f\r) r (// 4- 1 ) r (h 4- 1 ) (#")' dove // è un coefficiente di capitalittationo che si considera costante ­ e che mi permette di esprimere in termini pecuniarii F ammontare del patrimonio. ínfatti, posto india (2), x = a -f- /' —-1' ( A-f-1) e dx == dt si ha la (8"). Lsamineró il problema che mi sono proposto ordinatamente per ciascuna di q ueste ipotesi, e parteado dal segmente principio finantiario : Clase un contribuente de re sopportare un sacrificio proporzionale al sao reddito ('). (1) (puesto principio corrisponde ad un assetto tributario in oui le imposto sieno proporzionali ai redditi : o rappresenta quindi, abbastanza fedelinente. non diré la odierna tomlen/a del sistema finantiario ma, 626 A. DE' STEFANI f (r) - f (r) donde T equa/done differenziale : /" (f) 4- c f (r) — cr ; moltiplicando per e" si ottiene : e r f' (r) + ce" f (r) = cre" , donde : d dr e" f (r) — cre . Integrando si ha: e" f(r) = J ere" + A ; (10) considerándolo ne 1 suo disiente, la sua attuale condizione. Tradotto questo principio in espressione analítica esso sarebbe definito dalla relazione : t = Kr dove /.' rappresenta la quota dei redditi individuad assorbiti dalla fiuanza pubbliea. (¿ueste principio implica I’ipotesi : P (t) = rt — cK /• , Helia quale c è una costante: esso implica eioe hipótesi delta proporzionalità tra il sacrificio del contribuente e P am montare dell’imposta e del redd i to. Se ne deduce che la cp (r) derivata di P(r), è, in ogni caso, una costante. Ricordo qui che alcuni eultori dell’economia finanziaria Ininno sostenuto che il principio de\V et/it<i(/lianza del .saeri/ieio si attua i’acendo contribuiré ciascun cittadino con una f'razione. eguale per tutti i cittadini, del valore subbiettivo del suo red dito. Chiainando I I’ammontare dell’ imposta ed — la frazione del red di to subbiettivo con cu i si deve n contribuiré si avrebbe, in termini della (3j, (¿ueir opinione non si fonda dunquo su IT ipotesi del Bernoulli: non si avrebbe seconde questa ipotesi, un sacrificio (iguale per tutti i oittadini, ma un sacrificio proporzionale al loro reddito subbiettivo. (11) l’ OEELIMITÀ DEL DENAUO G27 donde : /'(O = -jr j f (-• - 7) + A j = Per determinare A si osservi che 1 A ~c + 7 r f(l) = 1 — — + — = 0 ; C (f> dalla quale A (7~ '')■ Si è £Íunsi cosí alia relazione 1 (M / (»’) = r 1 7^7 c e - (’■ - 7) 1 \ , (1 — V e ) rlr~. A re che ci dá, per hipótesi (7) e per il principio finanziario adottato, I" ammontare dell’ imposta in funzione del red di to c del limite di esenzione e di un parametro c che occorre determinare. A questo scopo si sf’rutta la circostanza che il reddito netto deve essere, qualunque sia t, crescente con r. Dunque : <t(r — t) d\r — / (r)J dr dr = 1 — /" (»*) = c (7-) g >0 ; donde, fácilmente, 1 c < — 7 (II) Se si parte dalla (7') si ha la relazione : f (»•) = 0 ; 628 A. DE’ STEFANI (12) donde : ' f (r) = rr ; (9) ed integrando : f(r) = — cr + A, Dalla : /■(ï) = y c?' + A, — 0 , si rieava : ¡Si è giunti cosí alia relazione : f(v) — y í; ( , a Y*) • Nel determinare c si osservi che asando il método segnito j)er il caso (I) si arriva alla diseguaglianza ;• < — , ed essemlo c r per sua natura vari ahilé esisterebbero dei valori di r maggiori di r = r a tali che la diseguaglianza r <— non sarebbe per (piesti valori soddisfatta. Si osservi infatti che dalla condizionc che il red di to netto Ji — r — f (r) sia crescente con r, si deduce: d H _ d[r — /‘(»OL A dr - dr ' e cioè dalla (9) : donde : 1 — cr > 0 ; (13) l’ ÜFEL1MITÀ DEL DENAliO (¡20 Finché duiique r varia da 7 ad — è adempiuta la condic zione qualitativa della difforenza r — II red dito netto R raggiunge il suo massimo quando sia e cioè per d R = 0 1 c (10) perché per q 11 esto valore si annulla la (10) e la <r r e per ,>± il red dito netto R decresce. (Ill) Dalla (8") si ricava, analogamente al método ora seguito : f(r) = — (h+ 1) c (/ — 7 a ) è cioè Y ammontare deli’ imposta corrispondente al principio della fortuna morale di I). Bernoulli e al principio finanziario adottato : e si possono ripetere per questo caso le osservazioni relative alia condi zione di variabilité di r, parche si sostituisca (// -f- l)r a c (*)• (1) (¿ueste conelusioni relative alia legge della fortuna morale, oontrastano singolarmente con quella che A. 1. Cohen - Stuart lia crédulo di poterne dedurre noil’opera liijdraye tot de, Theorie der Propressieve Inkomstenbelastiny (1889), divulgate in Italia da Augusto Graziani (La rapione progressiva del sistema tributario in rapporio al principio del (/rado finale, di utilità, Giornale degli economist!, Fehhraio, 1891 o Istituzioni di Srienza del le Finante). A. DK ST Bf’AN L (14) «30 6. - IiiLUSTHAZIONI Dl (¿UESTE CONSEGUENZE. L' analisi è stata condotta parteado da <jnest’ único principio finanziario : che ciascun contribuente deva sopportare un sacrificio proporzionale al suo red di to ¡ordo e dalla condizione che, a malgrado dell’ imposta, il reddito netto cresca col crescere del reddito Iordo : e nessuno che conosca questo j)rohlema può certo dire che quel principio e questa condizione determino, nella loro applicazione finanziaria, le tre ipotesi che sono state ordinatamente discusse. La prima ipotesi ($. 5. 1) ò la pin remota dalla forma analítica che le diede I). Bernoulli e in oui consenti ­ va il Laplace. Seconde questa ipotesi 1’ aumento del sacrificio sentito dal contrihuente per un dato aumento di imposta sarebbe proporzionale a questo aumento ed inversamente al suo reddito netto. La su a conseguenza finanziaria ò espressa dalla relezione : Si rile va ¡inmediatamente che 1’ ammontare della tassa cresce ­ rapidíssimo eosicohè con V applicazione di questa ipotesi si sarebbe condotti ad una imposta pressor he egnagliatrice dei redd i ti. Per tarsi un chiaro concetto del valore di applicazione della (II) ipotesi faceiam o c — —- ed 7=10'. La variability di r 1 10 fi è definita dalla : I’ ammontare doll’ imposta ci sari) dato, entro questi limiti di r, per alouni valori di r compres! nel limite imposto dalla scelta di c. r llalla Do qui una tabella dei valori di f(r), di U, e di 100 f(r) (15) l’ OF KLl MITÀ DKL K KN A KU ()81 2,000 3.000 4.000 8.000 12,000 1 20,000 100,000 200,(HK) : 500,000 1,000,000 f(r) 1.5 4 7.5 31.5 71.5 199,5 4,999,5 I 19,999,5 I 199.999.5 : 499.999.5 ! K=r— f(r 1.998.5 2,990 3.992.5 7.969.5 11.909.5 19.800.5 95,000,5 180.000. 5 3(H),000,5 500.000. 5 100 f (D r 1 0,075 0,133 0,187 0,394 0,597 0,997 4.999 9.999 39.999 49.999 Si rileva (hinque che il saggio dell’ imposta sarebbe per piceoli redditi tenuíssimo : ma altissimo per i grandi redditi. Si deve notare che sciegliendo valo ri pin piccoli di c, la f(r) ne va auméntala ma ne risulta anche ridotto il campo d’applica-/ione della formula. A riguardo della (III) i jiotes i che è quella di I). Bernoulli si rileva che la f(r) della (IT) deve moltiplicarsi per A, coeficiente di capitalizzazione. I)a (¡ueste analisi si vede chiaram en te come a nessuna delle tre i poleai che scaturiscono d all’ ipotesi Bernoulliana puó attri-Imirsi una vera e propria competen/a d’ applica/ione. E corto il sentimento deli' equità tributaria è, in questo campo, pin eonduttivo che non le tabelle di tarife che si possono costruire su determinazioni quantitative della fortuna morale. 7. - IjR capitazioni. Supponiamo ora che sia : t = /’(?•) = costante e taie sarebbe il caso di una imposta íissa per capo. Sa robbe in questo caso A. JJIi’ STEFANI (Iß) f O') = 0 ; d 1 ’ (r) = 0 per qualimque incremento del reddito. A malgrado dell’ aumento del reddito non aumente rebbe il sacrificio sentito dal contribuente, e quindi una imposta di capitazione violerebbe il principio finanziario della proporzionalitá tra aumento di sacrificio e aumento di reddito. Se pero /*(»•) t'osse costante perché r fosse costante, I’imposta fis sa per capo sarebbe analiticamente giustificata. 8- - La speranza morale. E noto che I). Bernoulli ha introdotto il concetto di un valore ­ subbiettivo, morale, relativo del den aro distinto dal concetto del suo valore oyyettivo, físico, assolnto o, più brevemente, di una fortuna morale distinta dalla fortuna física, per sfruttarlo nella (leterminazione dei red di ti incerti. Se una persona piló aspettarsi uno tra i red di ti. b ) L » 1 n con le corrispondenti probabiltà il valore medio di questi redditi incerti è p¡r¡. Questo valore è denominate speranza matemática di quella persona rispetto alie dette circostanze. Si tratta, a malgrado di questa denominazione, di un valore essenzialmente obbiettivo, físico, assoluto : il valore medio di una fortuna física incerta. Sostituisco ora a quoi redditi i corrispondenti valori subbiettivi Bernoulliani : a + r a + r , /y s = k log - y, = k log - a r 4 a a a dove a è il patrimonio originario della persona che si considera, espresso noli’ imita di prezzo. (17) Si otticnc 1/ OEELIMITÀ DE J j D ENA HO die è il valore medio dell' ofeliinità deyIi n redditi iucerti. Cuesto valore è denominato speranza morale di quoi la persona ­ in qiieste circostanze. Rappresentando con X il red dito monetario cu i corrisponde 1’ ofeliinità V si lia : La differenza X—o è la somma di d enaro cu i corrisponde r ofeliinità Y. Richiamato cosí il procedimento con cu i si determina il valore ­ della speranza morale espresso noli' uni ta di prezzo mi propongo ­ di esporre alen ne considerazioni sul contenuto concettuale di (piesto procedimento. Rer rayioni di semplicità formale limito, (¡ueste considerazioni al caso della speranza morale di un solo red di to incerto : le stesse considerazioni valyono in generale. Si è veduto che il valore della speranza morale per una persona si ricava operando convenientemente su elementi obbiettivi ; il patrimonio ­ di quclla persona, il red dito che si considera e la prohabilita di conseguirlo. Seconde le ipotesi e il procedimento usato da 1). Bernoulli, confórtate d’ altronde deli’autoritá di Laplace, la ley ye della speranza morale di un reddito incerto sarebbc : Rimarrebbe tuttavia a determinar si il coefficiente personale /r, che si deve considerare costante rispetto alie al tro variabi 1 i o, r, p. (puesta indeterminazione non ha una importanza deci-X Y = /• loy a donde, per confronto X = (a -f- rj 1 (a -R rj’*. . . . (a -R rj‘ 9. - Considerazioni ckiticjik sud concetto jo speranza MORALE. y — k.p. log a 034 A. DE STEFANI (18) «iva : sarebbe davvero in errorc chi proponesse il problema della speraiiza morale in questa forma : dati a, r, j> determinare // , e dichiarasse senz’ altro insoluto il problema della speraiiza morale perche non gli vien . risposto con un dato numérico. Solo una augusta nozione della competenza delle forme analitiche puó spiegare questa pretosa ; molti psicologi, anche per quel che riguarda il problema di Rechner, son caduti in simile equivoco sulla vera natura del loro problema. Non bisogna dimenticare che p, a, r sono elementi variabili e che attribuendo ad essi un valore determinato se ne modifica essenzialmente l’ indolo lógica : e non sempre ò consenti ta o ò possibile questa sostituzionç di elementi costanti ad elementi variabili. ­ Non si deve domandarsi quale valore di y corrisponde ad un dato sistema delle variabili indipendenti, ma quale ò la natura ­ della relazione tra queste variabili e i corrispondenti valo ri di //, e cioè come varia y col variare di />, di a e di r. Si vuol cónoscere 1' andamento, 1’ aspetto globale della legge, anche se riesce praticamente impossibile la determinazione dei valori indi ­ vidual!. Donde la distinzione cu i si rich i am a anche F Kdgeworth di numerical e unrntmerical mathematics (‘). Questo, dico, va teil ­ uto presente beuche si venga con questa veduta a diminuiré notevol mente la por tata di applicazione della legge di Bernoulli. Determinato cosí quello che i o direi il cauone di interpretazione della legge della speraiiza morale mi sombra che occorra studiare questa legge non tanto nolle sue consegueiize d’ applicazione, ­ quanto nel suo stesso soggetto logico, ch’ ò quello appunto designate col no me di speraiiza morale ( 2 ). A questo fine riproduco il brano in cui Laplace defini see la speranza morale : “Supposons que la fortune physique d’un individu soit o, et qu' il lui survienne F expectative d’un aeroissement r, cette quantité pouvant être nulle ou même négative, ce qui change F accroissement en diminution. Représentons par p la probabilité (1) Mathematical psychics. London, 1881. Fag. 83. (2) Per una critica superficiale v. Hkktkand, Calad des probabilités. Paris 1907, pag. (12 e segg. (10) Ij OEELIM1TÀ DEL ÜENAHO 635 de cot accroissement. La fortune morale correspondente de 1’ individu ­ pourra être En multipliant cette fortune par sa probabilité />, ce quoduit sera la fortune monde de V individu en vertu de son expectative ; en nommant donc Y cette fortune, on aura Soit X la fortune physique qui corresponde à cette fortune morale, on aura Si T ou retranche la fortune primitive a de cette valeur de X , la différence sera T accroissement de la fortune physique qui procurerait à 1‘ individu le même avantage moral qui résulte pour lui de son expectative. Cette difference est donc F expression ­ de cet avantage ,,('). Non puô duuquc duhitarsi che il Laplace non considerasse la (12) corne la legge delF utilità subhiettiva dei redditi incerti : “N—a è facer encimen! o délia fortuna física che procurerehhe dll' ­ individuo lo stesso vuntafjgio morale che risulta dalla sua aspett ativa „. Lo stesso carat te re le a ve va attrihuito anche il Bernoulli e ce lo conforma un suo moderno commentatore, il sig. A. Bringslieim (-). lo credo che (¡tiesta ved uta, <F al fronde generalmente accettata, meriti di essere discussa. La misara matemática della (1) Op. cit. Fag. 442. Ilo ridotto il testo al caso di un solo reddito e lio posto h—a. La ridu/ione c legittiinata dalle relazioni ¡> — 1 —7 a e kq log — = 0 . (H) Y = l-p log (a -}- /•) log a (12) La comparaison de ces deux valeurs y donne X = (a 4- rf a (2) Op. cit. pag. 38. A. !>e’ STEFANI (20.) probabilité di un avveniinento è una quantité obbiettiva, física, assoluta : qiiesti caratteri non possono essere messi in dubbio da alen no. L talc c anche quclla probability die agisce nulla (11) come fat-tore di riduzionc poichc c quella medesima probabilité che agisce come failure di riduzionc ai riguardi del valore della speranza matemática pr corrispondente alia speranza morale lo credo, dicevo, che meriti di esaminarsi se la legge della speran/a morale possa dirai una legge subbiettiva del sentimento, come la legge della fortuna morale o come la legge psico-fisica di Pechner relativa alia conoscenza. 11 concederlo implica alen ne tacite ammissioni, e cioc : (a) che non esista una probability subbiettiva, distinta dalla probability obbiettiva o che, pur esistendo, le rispettive misare sieno equivalent!’. (ß) che per ottenere dalla fortuna morale log ' j la speranza morale si debba com pie re sulla fortuna morale la stessa operazione che si compie sulla fortuna física per ottenere la speranza matemática corrispondente a questa fortuna. A riguardo della (a) osservo che il negare l’esistenza di una probability subbiettiva distinta dalla obbiettiva equivale ad introdurre una eccezione no) campo della corrispondenza psichica dolle variabili fisiche, in un campo eioe che non consente eccezioni. I)’altronde basta l’esperienza interiore di ogunuo per convincersi che ncanche puó sostenersi che la logge della probability subbiettiva sempre coincida nella sua espressione analítica, con la logge della probability, obbiettiva espressa dalla L’esperienza interiore ci ri vola che la valutazione subbiettiva della probability dipende anche da element! sentimental! e puó variare a cagion d’essi a malgrado della costanza del corrispondente ­ valore obhiettivo, come puó variare la fortuna morale corrispondente ­ a una data fortuna física o la sensazione corrispondente ad un dato eccitamento. Non bisogna confondere il dato origi-X 'n intero positivo ./• variabile da 1 ad n per numeri interi (21) !<’ OFF,LIMITA DEL DENARO 637 nario, ingenuo, primitivo della coscienza spontanea eon la olaborazione, la ricostruzione, o la critica della coscienza riflessa ( 1 ). II valore della probabilité non è assoluto ina relativo: relativo ad un dato individuo e a una data sua condizione. I giuocatori, a malgrado della costanza della speranza matemática e della Fortuna morale della posta e della vin cita, si decid ono or si or no a rischiare la loro posta; si decidono dunque non in relazóme ­ alla misura obbiettiva della probabilité ma obbedendo al loro sentimento, a una previsione sentimentale, ad un giudizio subbiettivo del valore della probabilité. È un problema questo di psicologia che non m’è accaduto di veder trattato da al cuno : e non mi sombra debbano essore inféconde quelle indagini positive ­ che vi si volessero tentare ( 2 ). (1) A. Faooi ; Sully Proudhomme e il conceito di liberta. Rend, del R. Ist. Lomb. di se. o loti. Serie II. Vol. XLI, I90S. (2) Me ne venue 1’ idea da una distinzione proposta dal Ruffon nelia sua “ Arithmétique morale „. Egli dieeva : u On sent bien que c’est un certain nombre de probabilités qui fait la certitude morale, mais quel est ce nombre? et pouvons nous espérer de le déterminer aussi précisément que celui par lequel nous venons de représenter la certitude ­ physique? Après y avoir réfléchi, j’ai pensé que de toutes les probabilités ­ morales possibles, celle qui affecte le plus l’homme en général c’est la crainte de la mort, et j’ai senti dès-lors que toute crainte ou toute espérance, dont la probabilité serait égale à celle qui produit la crainte de la mort, peut dans le moral être prise pour l’unité à laquelle ­ on doit rapporter la mesure des autres craintes ; et j’y rapporte de même celle des espérances, car il n’y a de différence entre I’ espéra ­ nce et la crainte, que celle du positif au négatif; et les probabilités de toutes deux doivent se mesurer de la même manière, de cherche donc quelle est réellement la probabilité qu’ un homme qui se porte bien, et qui par conséquent n’a nulle crainte de la mort, meure néarnmoins dans les vingt-quatre heures. En consultant les Tables de mortalité, ­ je vois qu’on en peut déduire, qu’il n’y a que dix mille cent quatre-vingt-neuf à parier contre un. qu’un homme de cinquante six ans, vivra plus d’un jour. Or comme tout homme de cet âge, où la raison a acquis toute se maturité et l’expérience toute sa force, n’a néammoins nulle crainte do la mort dans les vingt-quatre heures, quoiqu’il n’y ait que dix mille cent quatre-vingt-neuf à parier contre un, qu’il ne mourra pas dans ce court intervalle de temps ; j’en conclus, ­ que toute probabilité égale ou plus petite, doit être regardée comme nulle, et que toute crainte ou toute espérance qui se trouve au- A. DE’ STEFANI - i/ OFELIMITÀ DEL DEN A HO (22) Che poi, anche dimostrata questa coincidenza di valori, per si debba compiere sulla fortuna morale la stessa operazione analítica ­ che si compie sulla fortuna física (r) per ottenere la speranza matemática corrispondente a questa fortuna (pr) o una i pote si che ha anch'essa bisogno di qualche giustificaziono. dessous de dix-mille ne doit ni nous affecter, ni même nous occuper un seul instant le coeur ou la tête „. Supplément. Tome IV. pag. 55 e segg. Paris, 1777. Qu esto modo di valutare i limiti del le prohabilità moral i venue approvato dallo s tes so I). Bernoulli (ibidem): egli proponeva soltanto una correzione nella misura de! limite. Se la p s rappresenta lu prohabilità snbbiettiva e />„ la prohabilità obbiettiva, possiamo scrivero Questa ò una tale funzione che per i valori pin piecoli di un dato valore, la funzione p, si mantiene costantemente eguale a zero. Più avant! pero il Buffon stesso escinde che la distinzione valga oit re quel caso limite. Questa circostanza potrebbe riguardarsi come una prima ottenere dalla fortuna morale ( k log a + r la speranza morale P, = k 9 (p„) propriety della legge della probabilité subbiettiva. (Licenzinte le bozze per ht stnmpa il piorno 12 febbmio lit 14) ■ 206807980590 634 A. DE STEFANI (18) D the scale towards document «iva : sarebbe davvero in errore chi proponesse il problema della speranza morale in questa forma : dati a, r, j> determinare y, e dichiarasse senz’ altro insoluto il problema della speranza morale perché non gli vien . riaposto con un dato numérico. Solo una augusta nozione della competenza dellc forme analitiehe puo «plegare questa pretesa ; molti psicologi, anche per quel che riguarda il problema di Pechner, son caduti in simile equivoco sulla vera natura del loro problema. Non bisogna dimenticare che p, a, r sono elementi variabili e che attribuendo ad essi un valore determinato se ne modifica essenzialmente 1’ indole lógica : e non sempre o consenti ta o è possibile questa sostituzione di elementi costanti ad elementi variabili. Non si deve domandarsi quale valore di y corrisponde ad un dato sistema delle variabili indipendenti, ma quale è la natui'a della relazione tra queste variabili e i corrispondenti valu ri «li !/i e cioè corne varia y col variare di p, di o e di /•. Si vuol coiioscere 1’ andamento, l’aspetto globale della legge, anche se i'iesce praticamente impossibile la determinazione dei valori individúan. ­ Donde la distinzione cu i si rich i am a anche 1’ Edgeworth di numerical e un numerical mathematics ('). Questo, dice, va tenuto presente beuche si venga con questa veduta a diminuiré uotevolmente la portata di applicazione della legge di Bernoulli. Determinato cosi quello che i o direi il canone di interpretábante ­ della legge della speranza morale mi sembra che occurra studiare questa legge non tanto nolle sue eonsegueuze d’ applicazione, ­ quanto nol suo stesso soggetto log ico, ch’è quelle appunto designato col nomo di speranza morale (-). A questo fine riproduco il brano in cui Laplace defini see la speranza morale : “ Supposons que la fortune physique d’ un individu soit o , et qu’il lui survienne l’expectative d’un acroissement r, cette quantité pouvant être nulle ou même négative, ce qui change 1 accroissement en diminution. Représentons par p la probabilité (lj Mathematical psychics. London, 1881. Pax. 811. (2) Per una critica superficiale v. Bertrand, Calcul des probabilités 1 avis 1907, pag. 02 e segg.