Grundzüge der Theorie der Statistik

Bibliographic data

Monograph

Identifikator:: 1782637850

URN:: urn:nbn:de:zbw-retromon-178813

Document type:: Monograph

Author:: Westergaard, Harald http://d-nb.info/gnd/117574163; Nybølle, Hans Cl. http://d-nb.info/gnd/127386696

Title:: Grundzüge der Theorie der Statistik

Edition:: 2., völlig umgearb. Aufl.

Place of publication:: Jena

Publisher:: G. Fischer

Year of publication:: 1928

Scope:: 640 Seiten

Digitisation:: 2022

Collection:: Economics Books

Usage license:: Get license information via the feedback formular.

Chapter

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Title:: III. Kapitel. Das Exponentialgesetz

Collection:: Economics Books

213 Die Differenz zwischen m,2 - mo und m? wird also aus Gliedern zusammengesetzt werden können, welche alle die Form P; P; (ai b; — a: bj)? haben, und da keins dieser Glieder negativ werden kann, muß Moog * Mo — m? =0 sein. Es wäre denkbar, daß alle Glieder P; P; (ai bj — a; bi)? gleich Null würden, also r? = 1 wäre. Dies kann indes nur dann ge- schehen, wenn sämtliche Abweichungen a; und b; proportional sind, also wenn yYıi— tt =K- (zi— s;) ist, und es würde dann einem gegebenen Werte von x; von x nur ein Wert von y, nämlich yı=t; + Kk (x; — sı) entsprechen, und die durch x; bedingte Wahrscheinlichkeit, y; zu erhalten, müßte dann 1 sein; hieraus folgt wiederum, daß die Wahrscheinlichkeit, x; und yı=-t, +Kk (xi —s,) (die marginalen Verteilungen) zu er- halten, dieselbe sein muß, und daß es sich nicht länger um Größen, welche im eigentlichen Sinne korreliert sind, sondern um lineär voneinander abhängige Größen handelt. Es ist der Mühe wert zu bemerken, daß wir bereits im Vorher- zehenden ($ 124) von diesem speziellen Falle Gebrauch gemacht haben, indem wir bemerkten, daß das Verteilungsgesetz für die Größen x + Kk und c-x und damit auch für cx -+ k dasselbe wie für x sein müsse. Für solche lineär voneinander abhängige Größen wird der Korrelationskoeffizient + 1 sein, je nachdem c positiv der negativ ist. Da die Bedingung dafür, daß r? = 1, nach dem Vorhergehenden auch notwendig ist, wird der numerische Wert von Korrelationskoeffizienten für Größen, welche zwar direkt, jedoch nicht lineär voneinander abhängig sind, nicht gleich 1 werden können. Als Beispiel solcher Größen können die zufällig variierende Größe x und die im Vorhergehenden betrachteten Potenzen der Abweichungen X — 8,)* erwähnt werden, welche Größen direkt voneinander ab- hängig sind und dasselbe Verteilungsgesetz haben, deren ent- sprechender Korrelationskoeffizient jedoch numerisch kleiner als 1 werden muß. Daß der Korrelationskoeffizient kleiner als 1 ist, schließt also aus, daß x und y lineär abhängig sind, nicht aber, daß sie in anderer Weise direkt voneinander abhängig sein können. 142. Hinsichtlich des Korrelationskoeffizienten gilt ferner, daß er gleich Null wird, wenn x und y unkorreliert sind; unter dieser Voraussetzung kann man nämlich beweisen. daß

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