Grundzüge der Theorie der Statistik

Bibliographic data

Monograph

Identifikator:: 1782637850

URN:: urn:nbn:de:zbw-retromon-178813

Document type:: Monograph

Author:: Westergaard, Harald http://d-nb.info/gnd/117574163; Nybølle, Hans Cl. http://d-nb.info/gnd/127386696

Title:: Grundzüge der Theorie der Statistik

Edition:: 2., völlig umgearb. Aufl.

Place of publication:: Jena

Publisher:: G. Fischer

Year of publication:: 1928

Scope:: 640 Seiten

Digitisation:: 2022

Collection:: Economics Books

Usage license:: Get license information via the feedback formular.

Chapter

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Title:: III. Kapitel. Das Exponentialgesetz

Collection:: Economics Books

| 93 Da der Wert von k, „um“ den die Momente M, und M, be- rechnet gedacht sind, nicht in diese Formel eingeht, so folgt daraus, daß, wenn die Streuung für die zufällig variierende Größe x gleich u ist, dann auch die Streuung für x + c (wo c eine willkürliche Kon- stante ist) gleich % sein wird. Dies geht auch unmittelbar aus dem oben, $ 124, Entwickelten hervor, woraus ebenfalls folgt, daß die Größe (c-x), wenn x die Potenzsummen s, und s, hat, die Potenz- zummen cs, und c?s, und daher eine Streuung, welche c Male so groß wie die Streuung für x ist, haben wird, da Vc?s — (c8,)? = Ys — 8% = Ge. Dagegen kann man nicht unmittelbar M,, M,, sı und s lurch m, und m, finden, denn m, ist in allen Fällen = 0. Kennt man indes außer m, zugleich die Erwartung E (x) für x, d.h. 3, dann erhält man aus den hier entwickelten Formeln Ss = m + 8;? \ s—k Rn (LID. Mo = m, + (sı — k)? | Die letzte Formel zeigt, wie sich M, (dessen Wert von der Größe von k abhängt) mit k verändert. Es geht aus der Formel hervor, laß M, beliebig groß werden kann, wenn nur k ausreichend ver- schieden von s, gewählt wird; dagegen kann Mz; nie kleiner als m, werden. Wenn k = s,, ist M; = m,; aber wenn k zz S,, ist M, stets > m,. . Entsprechende Relationen existieren natürlich für Momente dritter und höherer Ordnung und können selbstverständlich analog den gegen- wärtigen Methoden durch Berechnung der Erwartung E (b*), wo b= X— k, festgestellt werden. Hier sind nur die Relationen für Mo- mente erster und zweiter Ordnung entwickelt, da es vorläufig die sind, deren wir im folgenden bedürfen. Als Beispiel für die Anwendung der Formel sei folgendes an- zeführt: Ein Beutel enthält 10 Täfelchen; auf dem einen steht 986, auf zweien 987, auf dreien 988 und auf dem Rest 989, im übrigen sind sie sonst gleich. Wenn x die bei einer Ziehung erhaltene Zahl be- deutet, kann x einen der Werte 986; 987; 988; 989 annehmen, und nimmt man im Hinblick auf den Inhalt des Beutels an, daß die Wahrscheinlichkeiten, jede dieser Zahlen zu ziehen, jeweils zu Westergaard und Nybo@lle, Theorie der Statistik, 2. Autl. 13

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