Grundzüge der Theorie der Statistik

Bibliographic data

Monograph

Identifikator:: 1782637850

URN:: urn:nbn:de:zbw-retromon-178813

Document type:: Monograph

Author:: Westergaard, Harald http://d-nb.info/gnd/117574163; Nybølle, Hans Cl. http://d-nb.info/gnd/127386696

Title:: Grundzüge der Theorie der Statistik

Edition:: 2., völlig umgearb. Aufl.

Place of publication:: Jena

Publisher:: G. Fischer

Year of publication:: 1928

Scope:: 640 Seiten

Digitisation:: 2022

Collection:: Economics Books

Usage license:: Get license information via the feedback formular.

Chapter

Document type:: Monograph

Structure type:: Chapter

Title:: III. Kapitel. Das Exponentialgesetz

Collection:: Economics Books

235 so ergibt sich, wie bereits oben ($ 151) erwähnt, das gleiche Re- sultat, nämlich daß die einem gegebenen Wert von a entsprechende Wahrscheinlichkeit P sich mit wachsendem N der 1 nähert, oder daß der einem gegebenen Wert von P entsprechende Wert von a mit wachsendem N kleiner und kleiner wird. Der letztgenannte speziellere Satz geht, wie oben ($ 34) erwähnt, auf Jacob Bernoulli zurück (Ars conjectandi, etwa von 1680—85 ausgearbeitet, jedoch erst 1713, 8 Jahre nach dem Tode des Ver- fassers, veröffentlicht), weshalb er denn auch als Bernoullisches Theorem bezeichnet wird. Bernoulli machte bei seiner Beweis- führung jedoch keinen Gebrauch von dem Exponentialgesetz als Annäherungsformel für das Binomialgesetz; diese Methode verdankt man Laplace (Theorie analytique des probabilites, 1812). Später ist der Satz verschiedentlich erweitert worden, zuerst von Poisson 1837), welcher alternative Versuche mit variierenden Wahrschein- lichkeiten betrachtete und dem Satze den Namen „Gesetz der zroßen Zahl“ verlieh, später von Tchebycheff, Markoff u. a, deren Beiträge den Satz erweiterten, so daß er nicht nur Beobachtungen mit mehr als zwei möglichen Ergebnissen, sondern auch solchen, welche nicht alle derselben Verteilungsregel folgen, ja — unter gewissen Bedingungen — sogar Beobachtungen, die nicht voneinander unabhängig sind, gilt. Mit Rücksicht auf das Folgende wird es indes nicht notwendig sein, hierauf einzugehen. Wir werden unten Beispiele dafür sehen, daß das Verteilungsgesetz für ein Polynomium, speziell für das Polynomium Yo == z { 1 1 Fu FR FON dazu neigen wird, mit Annäherung exponentielle Form anzunehmen, selbst wenn die einzelnen Glieder nicht binomialen oder exponentialen Verteilungsgesetzen folgen, wenn nur das Polynomium genügend viele Glieder enthält. Diese Eigenschaft ist somit für die alternativen Versuche nichts Charakteristisches, aber eine Eigenschaft, welche im wesentlichen mit der Zahl der Glieder zusammenhängt und von dieser bedingt ist. Selbst wenn man, falls das Verteilungsgesetz für die Beobachtungen unbekannt ist, sich einen annähernden Aus- üruck für den mittleren Fehler 42 im Verteilungsgesetze für das arithmetische Mittel verschaffen kann, wird auch die Anwendung der Tabelle 22 in der Regel einen schärferen Ausdruck für die Genauigkeit ergeben, welche man bei der präsumptiven Setzung E (0)

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