Grundzüge der Theorie der Statistik

Bibliographic data

Monograph

Identifikator:: 1782637850

URN:: urn:nbn:de:zbw-retromon-178813

Document type:: Monograph

Author:: Westergaard, Harald http://d-nb.info/gnd/117574163; Nybølle, Hans Cl. http://d-nb.info/gnd/127386696

Title:: Grundzüge der Theorie der Statistik

Edition:: 2., völlig umgearb. Aufl.

Place of publication:: Jena

Publisher:: G. Fischer

Year of publication:: 1928

Scope:: 640 Seiten

Digitisation:: 2022

Collection:: Economics Books

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616 Aus dem Ausdruck für () folgt, daß ( 5) = (n 2 r )- Beispielsweise ist ( 5) = (8); es ist ebenfalls klar, daß jeder Gruppe, die in der Weise gebildet wurde, daß unter 13 Elementen 5 herausgenommen wurden, gerade eine andere besondere entspricht, nämlich die, welche sich er- geben würde, wenn die übrigen 8 unter den 13 Elementen herausgenommen würden; es muß somit die Anzahl von Verfahren, mittels deren man 5 Gegen- stände unter 13 auswählen kann, gleich der Anzahl von Verfahren, mittels deren sich 8 Gegenstände unter 13 auswählen lassen, sein. Wenn für einen gegebenen Wert von n die Größe von ( Tr) für alle Werte von r berechnet wird, ergibt sich also eine Reihe, welche symmetrisch ist, da man den gleichen Wert von (?) für die zwei Werte von r, die gleichviel von 1 n abweichen, erhält. Wenn r=0 oder =n ist, muß (©) = (ı) = 1 sein; denn unter n Ele- menten kann man nur n nach einem Verfahren herausnehmen. Die Größen ( 7) finden in einer Menge von Verbindungen Anwendung; speziell ist im $ 103 das Newtonsche Binomialtheorem benutzt, das angibt, zu welchem Resultat man gelangt, wenn man die zur Berechnung der n-ten Potenz des Binomiums (a + b) notwendigen Multiplikationen ausführt, da (a + b)r = (a +b) (a+b).... (a + b) ist, welches Produkt sich als eine Summe von insgesamt (n + 1) Gliedern schreiben können lassen muß; nämlich eins muß als Benennung an. bo haben, eins an—l.bl, eins an—?.b2 usw. bis zu den Gliedern mit a2. bn—2, al. bn—1, und ao. bn, Das Theorem lehrt, daß das Glied mit ar. b2—r den Koeffizienten (1) hat, so daß man erhält (a +b)r = (5) an. bo + (1) a1. bl + (3) ar—2.b2+..... + (2) aber +... (7) alba—-1+ (P) aobn, Infolge der Rolle, die die Größen (3) in diesem Lehrsatz spielen, werden sie auch oft Binomialkoeffizienten genannt. Sie besitzen verschiedene merkwürdige Eigenschaften. Wir wollen uns hier darauf beschränken, zu be- merken, daß @FTD=(?)+(.2ı) ist, was unmittelbar durch Anwendung des Ausdrucks für ( r) bewiesen wird. Aus diesem Satz folgt, daß die sukzessive Berechnung der Binomialkoeffizienten auf dem Wege fortgesetzter Summation, wie in folgendem Schema angeführt, er- folgen kann:

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