Grundzüge der Theorie der Statistik

Bibliographic data

Monograph

Identifikator:: 1782637850

URN:: urn:nbn:de:zbw-retromon-178813

Document type:: Monograph

Author:: Westergaard, Harald http://d-nb.info/gnd/117574163; Nybølle, Hans Cl. http://d-nb.info/gnd/127386696

Title:: Grundzüge der Theorie der Statistik

Edition:: 2., völlig umgearb. Aufl.

Place of publication:: Jena

Publisher:: G. Fischer

Year of publication:: 1928

Scope:: 640 Seiten

Digitisation:: 2022

Collection:: Economics Books

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62 und folglich u? = E(x?) — (ze) _ q+1 . pp! U, u? = nr und % de Zu $ 222 (S. 336). Die Lagrangsche Interpolationsformel. Eine yanze rationelle Funktion, die für X = Ay, Aoy Aa... Ant die Werte y=A,, Az Az. ..An+1 annimmt, muß sich folgendermaßen schreiben lassen können: ar a) (x —a)(X-—a)......(X— an+1) S Kar Xx= a, und” -A4 dann erhält man ; (8, — 1.) (8, —8)......(8, — An-+1)-0 „= a, undy=A4, A, = (8, — 8,) (8, — 8) ..... (2, — an-+1)-0, X =äan+1 Und y = An+1 An+1= (an +1— 2,) (an +1— 8) ..... (80 +1 — an) An +1 - ergibt, durch welche n+1 Gleichungen sämtliche n +1 Konstanten (ar) be- stimmt sind. Daß das hierbei errechnete Polynomium dasselbe wie das durch die Newton- sche Formel bestimmte werden muß, geht daraus hervor, daß es (vgl. 8 222) im allgemeinen nur ein Polynomium n-ten Grades gibt, das durch n + 1 gegebene Punkte geht. Während die Bestimmung der Konstanten formell sehr einfach aus- sieht, wenn das Polynomium in der obigen Form geschrieben wird, eignet sie sich augenscheinlich nicht für die numerische Rechnung. Zu $ 254 (S. 378). Interpolation bei Anwendung unendlich kleiner Intervalle. Wir erwähnten im 8 227 (und gaben im 8 228 ein Bei- spiel), wie man durch mehrmalige aufeinander folgende Interpolation zu x = 0 sofort die Koeffizienten zu x°,x', x? ....usw. in dem als Interpolationsformel be- nutzten Polynomium finden kann. Die Berechnung von dividierten Differenzen für wiederholte Argumente ö'(a,a) ö?(a, a, a) ö°(a, a, a) usw. läßt sich nicht direkt mittels der Definition vornehmen, da diese eine ganz unbestimmte Antwort ergäbe; da- gegen bildet die entgegengesetzte Rechenmethode mittels des Newtonschen Dif- ferenzschemas kein Hindernis. Wenn man in der im 8 227 angegebenen Weise soviel Male zu x = a inter- poliert, daß die dabei erhaltenen dividierten Differenzen stets dieselben bleiben, und danach zum willkürlichen Argument x interpoliert, dann erhält man eine polgendermaßen geschriebene Gleichung der Interpolationskurve: f(x) = f(a) + (x — a)ö'(a) + (x — a)’ö°(a,a) + (x — a) OöMa,‚a‚a) +..... Da sich infolge der Taylorschen Formel jedes ganze Polynomium stets folgender- maßen schreiben läßt: X—a X — a)? X — a)? f(x) = f(a) + 77 f(a) + Spa) + ST f‘“(a) +...., wo f(a), f‘(a), f“(a) .... usw. die Werte angeben, die f(x) und die Differenzial- quotienten dieser Funktion hinsichtlich der Größe x für x==a angeben, 80 geht

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