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Es ist jedoch viel leichter, zuerst aus der Tabelle 22 teils die
Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Anzahl innerhalb des Maximalabstandes
 a = 29,5 fällt, welches x = 0,983 und P, = 0,674 ergibt,
 teils die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Zahl innerhalb des
Maximalabstandes a = 30,5 fällt, was wie oben erwähnt x — 1,017
und P, = 0,691 gibt, zu bestimmen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit
ist dann die Hälfte des Unterschieds P, — P,, d. h. 0,008.
116. Es ist klar, daß man, wenn sich die hier gewonnenen
Resultate (speziell Tabelle 22) auf ein statistisches Material anwenden
lassen, ein sehr einfaches Mittel zur Hand hat zu entscheiden, ob
festgestellte Unterschiede etwa besonderen — nicht zufälligen —
Ursachen zuzuschreiben sind oder nicht. Da sich die Abweichungen,
welche — im gegenwärtigen Sinne — zufälligen Ursachen zugeschrieben
werden können, äußerst selten auf mehr als das Drei- oder das Vierfache
 des mittleren Fehlers belaufen werden, ist es höchst wahrscheinlich,
 daß Abweichungen, wenn sie diese Größe erreichen — oder
darüber hinausreichen —, dem Umstande zu verdanken sind, daß
sich die wirkenden Ursachen verändert haben und daß man bei Wiederholung
 der Versuche aufs neue eine „große“ Abweichung in gleicher
Richtung feststellen wird. Und jeder Schluß, welcher auf Abweichungen
 fußt, die kleiner sind als das Drei- oder Vierfache des
mittleren Fehlers, muß im allgemeinen als unzulänglich begründet
abgewiesen werden können. Natürlich muß zuerst eine eingehendere
Untersuchung zeigen, ob das Exponentialgesetz mit den Erfahrungen
aus der Sozial- und Wirtschaftsstatistik übereinstimmt. Für solche
Untersuchungen ist es von Bedeutung, über noch mehr Sätze der
Wahrscheinlichkeitslehre verfügen zu können; solche Sätze werden
daher im folgenden behandelt werden.

Aufgabe 16. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einem
Wurf mit 64 Münzen die Anzahl Münzen, welche Avers zeigen, höchstens 10 von
dem erwarteten Ergebnis abweicht? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
daß mehr als erwartet Avers ergeben? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
 daß wenigstens 40 Avers zeigen ?
Aufgabe 17. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einem
Wurf mit 180 Würfeln wenigstens 40 dieser eine Sechs ergeben ?
Aufgabe 18. Verteile 1000 Abweichungen nach einem Exponentialgesetz
mit einem mittleren Fehler von erstens 2, zweitens 5,
Aufgabe 19. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einem
Wurf mit 3 Würfeln wenigstens einer eine Sechs ergibt? Wenn dies eintrifft, ge
winnt A, sonst B. A und B setzen jedesmal 10 Pfennig, und der Gewinner erhält
 den ganzen Einsatz. Mit welchem Verlust muß A im Laufe von 60 Spielen
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