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wo k eine Konstante ist, so erhält man demnach folgenden all-
gemeinen Satz:
Die mehrgliedrige Größe
X—atbrkHey+dz-—.....
wo a, b, c und d gegebene Zahlenkoeffizienten, während x, y und z
zufällig variierende Größen sind, ist selbst eine zufällig variierende
Größe, deren Verteilungsgesetz nicht ohne weiteres mit den Ver-
teilungsgesetzen für x, y und z gegeben und daher im allgemeinen
unbekannt ist, wenn nichts anderes vorausgesetzt oder gegeben ist:
die Erwartung für X ist jedoch ohne Rücksicht hierauf
E(X)=a+b-Elz)+c-E(y)+d-E(@z).....
138. Um ein Beispiel für die Anwendung dieses Satzes zu
geben, können wir zu dem oben ($ 123) behandelten Falle zurück-
kehren, wo x die Anzahl weißer Kugeln (0 oder 1) bedeutet, welche
man bei einer einzelnen Ziehung aus einem Beutel mit weißen
und roten Kugeln erhält, von denen der Bruchteil p weiß, der Rest
1—p=d rot ist. Wir fanden hier, daß E (x) = p. Fragt man,
wie groß die Erwartung ist, wenn x die Zahl der bei n Ziehungen
erhaltenen weißen Kugeln bedeutet, dann ist die Antwort infolge
des‘ gefundenen Satzes E (X) = np, also diejenige Zahl, um welche
die Resultate aus wiederholten Versuchsreihen schwingen werden
($ 119); denn die zufällig varlierende Größe, von der hier die Rede
ist. ist
X=xy tz. Am
wo x, die Zahl der im ersten Zuge erhaltenen weißen Kugeln (0 oder 1),
x, die Zahl der bei der zweiten Ziehung erhaltenen (0 oder 1) usw.
bedeutet. Man erhält also
EX)=p+?+p+...-.. + p(n Addenden) = np.
Diese Antwort ist dieselbe, einerlei, ob die entnommenen Kugeln
nach jedem Zuge vor einer nächsten Ziehung in den Beutel zurück-
gelegt werden oder nicht (eventuell stellt man sich auch die Kugeln
als auf einmal hintereinander gezogen vor).
Wollte man die erfragte Erwartung direkt mit Hilfe der De-
finition finden, so müßte man zwischen den vielen verschiedenen
Arten, auf die sich die Kugeln ziehen ließen, unterscheiden. Die
Grenzfälle bilden hier die zwei Fälle ($8 96 und 103), in denen die
Wahrscheinlichkeit dafür, gerade r weiße Kugeln !zu erhalten, wie
im Vorhergehenden erwähnt, jeweils
