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Als Erwartung für diese Größe erhält man also 
E(a%= M- = Mo + Mor + 2m. ;. 
Da nun 
Mag = 
Noa = Wo? und My = TU Lo, 
wird 
u = Yu? + ug? + Qu Wi. 
Wenn wir uns vergegenwärtigen, daß die Streuung für k-x 
gleich dem k-fachen der Streuung für x ist, und daß r seinen Wert 
unverändert behält, selbst wenn x und y mit willkürlichen Kon- 
stanten multipliziert werden, so erhält man hieraus das mehr all- 
zemeine Resultat, daß die Streuung für das Polynomium erster Ord- 
ıung u=ax-+by-+c, 
u = Ya? u,?+ib? wu? + 2 abr u, u wird. 
Um die Streuung im Verteilungsgesetz für 
u=ax+by-+c 
zu finden, braucht man also keine andere Kenntnis der Korrelation 
zwischen x und y als die mit dem Werte von r gegebene. 
144. Die gefundene Formel dient nun nicht bloß dazu, w zu 
finden, wenn /4,, 4, und r gegeben sind; ist die Korrelationstabelle 
zegeben, so kann man, wie oben bemerkt, aus dieser Tabelle direkt 
das Verteilungsgesetz z. B. für u = x -+y finden. Bestimmt man 
nun in gewöhnlicher Weise die Streuung wu in diesem Verteilungs- 
zesetz sowie die Streuungen 4, und u, in den marginalen Ver- 
teilungen, so bekommt man den Koeffizienten r aus der Formel 
H ua? + ZUG Lo, 
— 1.3? 
—A4 Hg 
ergibt, woraus man weiter schließt, daß 
Dr = 410 = 3 (U? — 44? — 827). 
51 =D TS 
Mu= 84 — St + (81 — 5) (ti — 0). 
Diese Methode wird im allgemeinen zur Bestimmung des Kor- 
relationskoeffizienten und der gemischten Momente die bequemste 
sein, da diese Größen sich dadurch wie die marginalen Momente 
allein durch die Bestimmung der Momente in einfachen, eindimen- 
sionalen Verteilungen finden lassen. 
Aufgabe 35. Bestimme mit Hilfe der Streuung in den marginalen Ver- 
‚eilungen und im Verteilungsgesetz für (x + y) in dem in der Tabelle 26 ge- 
nannten Falle den Korrelationskoeffizienten für die bei der Tabelle gegebene