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E(g) = E00 +o+..... ‚+ on) = © +N - E(o)= E(o) ist.
Dies bedeutet, daß die als Resultat aus wiederholten Beob-
achtungsreihen erhaltenen arithmetischen Mittel gerade um die un-
bekannte Erwartung schwingen werden. Es ist diese Eigenschaft
des Durchschnitts, welche seine Verwendung als empirischen Re-
präsentanten für die unbekannte Erwartung E(o) ermöglicht und
welche kurz so ausgedrückt wird, daß g einen präsumptiven
Wert für E(o) angibt. Durch die Anwendung dieser Bezeichnung
bringt man zum Ausdruck, daß g zwar einen annähernden Wert für
die Erwartung E(o) angibt, daß der Annäherungsgrad jedoch nicht
derselben Art ist wie derjenige, von dem bei der Benutzung an-
nähernder Werte gewöhnlich die Rede ist. Wenn man annähernd
z. B. V2 = 1,414 setzt, ist der Annäherungsgrad (die Genauigkeit)
ladurch angegeben, daß nur 3 Dezimalen mitgenommen sind; man
weiß dann soviel über den Fehler, daß er in jedem Fall < 0,001 ist.
Da ein präsumptiver Wert g für E(o) eine zufällig variierende
Größe ist, kann seine Abweichung von E(o) verschiedene — mög-
licherweise viele — Werte, darunter vielleicht den Wert Null (g
zerade gleich E(o)), annehmen, ohne daß man imstande ist zu ent-
scheiden, von welcher der möglichen Abweichungen die Rede ist.
In obigem Beispiel fanden wir g = 50,11; mit diesem Annäherungs-
wert ist indes nichts darüber mitgeteilt, daß der Fehler < 0,01 ist,
d. h. man sollte
50,10 < E(o) < 50,12 erhalten.
Der Genauigkeitsgrad bei einer präsumptiven Bewertung der
Erwartung E(o) kann dagegen durch den mittleren Fehler im Ver-
teilungsgesetz für das arithmetische Mittel angegeben werden. Kann
man davon ausgehen, daß alle Beobachtungen 0,, 02, 08 ...... ON
nicht bloß dem gleichen Verteilungsgesetz folgen, sondern zugleich
Resultate voneinander unabhängiger Versuche sind, so folgt aus dem
Ausdruck
1 1 1
= °ı tz he N ©»)
daß der mittlere Fehler ww, im Verteilungsgesetz für den Durch-
schnitt g ($ 148)
L 1 .
y Ni (4 + RM? +...... (N Add.) wird,
WO 4, im unbekannten Verteilungsgesetz für die einzelnen Beob-
achtungen o der mittlere Fehler ist; man bekommt also
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