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oder 
dU, = — u‘. U,dh + »-L-dh 
dU. , 
an +“ U, =->7L. 
— Nimmt man hier nun wu‘ und 7L als bekannt an, dann ist diese Differenzial- 
gleichung linear und erster Ordnung. Setzt man wie oben 
— fl San 
e %°* =e7“ und L(x +h) = L(x) ‚e-@-+7h, 
dann ergibt sich das Integral 
U,(x + b) = Ux).e 7 Ah + (em —e 764), 
woraus man die Zahl der in der Zeit von x bis x+h im Bestande von In- 
validen eingetroffenen Sterbefälle mittels der Größe 
[*U.@x+b)- dh 
0 
berechnen kann, die sich leicht integrieren läßt. 
Zu $ 331 (S. 507). Ableitung des Binomialgesetzes mit Hilfe 
des Prinzips des statistischen Gleichgewichts. Daß ein statistisches 
Gleichgewicht zwischen den Verschiebungen (Veränderungen), denen ein System 
(eine Masse) unterworfen ist, besteht, bedeutet, daß sich die Verschiebungen „in 
ihe.long run“ das Gleichgewicht halten, d. h. daß die Wahrscheinlichkeiten für Be- 
gebenheiten, deren Wirkungen sich gegenseitig aufheben, jederzeit gleich groß sind. 
Betrachten wir eine willkürliche geschlossene Kurve (z. B. einen Kreis), deren 
Gesamtlänge gleich 1 ist, und stellen wir sie uns durch die Punkte A und B in 
zwei Teile: ACB (den „inneren“ Teil) und BDA (den „äußeren“ Teil) zerlegt vor, 
deren Längen jeweils p und q (p + q==1) betragen! Es wird dann, wenn ein 
Punkt in zufälliger Weise auf der Kurve angebracht wird, die Wahrscheinlichkeit 
dafür, daß dieser in den inneren Teil fällt, gleich p, und dafür, daß er in den 
äußeren fällt, gleich q sein. Wenn wir uns denken, daß insgesamt n Punkte 
unabhängig voneinander über die ganze Peripherie zerstreut sind, ohne daß ge- 
wisse Teile der Peripherie vor anderen bevorzugt werden, wie groß ist dann die 
Wahrscheinlichkeit dafür, daß gerade x Punkte in den inneren und also n — x 
in den äußeren Teil fallen? Diese Wahrscheinlichkeit findet man durch Be- 
trachtung der Wahrscheinlichkeiten dafür, daß sich die Zahl der Punkte in den 
zwei Teilen verändert, wenn man die Stücke ACB und BDA längs der Kurve 
verschiebt, ohne daß deren Länge sich dabei verändert. 
Denkt man sich, daß beide Kurvenstücke ACB und BDA ein beliebig 
kleines Stück von a=AA,=BB, in die Stellung A,‚CB, und B,DA, ver- 
schoben werden, dann ist es möglich, daß der innere Teil dabei einen Punkt 
gewinnt; dies geschieht dann, wenn AA, null Punkte und BB, gerade einen 
Punkt!) enthält. Wenn ACB anfangs gerade x Punkte enthält, dann wird die 
Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Stück AA, einen Punkt enthält, gleich Sx, und 
1) Die folgende Betrachtung kann auch von der Möglichkeit ihren Ausgangs- 
punkt nehmen, daß man bei der Verschiebung einen Punkt verliert, welches ge- 
schieht, wenn AA, gerade 1 Punkt und BB, 0 Punkte enthält. Wie unmittelbar 
einleuchtet, gelangt man dadurch zu genau demselben Resultat.