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O0, = 01 + 02 +08 ....... On
betrachten und wo die Summanden nicht gebunden sind, mit gewissen
 Wahrscheinlichkeiten einen von nur zwei verschiedenen
Werten (0 und 1) anzunehmen, aber mit gewissen Wahrscheinlichkeiten
einen unter beliebig vielen Werten annehmen können. Es wird
jetzt wie früher vorausgesetzt, daß das Verteilungsgesetz für alle
Summanden dasselbe ist; und wir geben diesem Verteilungsgesetz
die Erwartung e und den mittleren Fehler u.
Sind e und 4 bekannt, so werden sich die Werte, welche die
Summe O0, von N Addenden annehmen kann, exponentiell mit der
Erwartung N-e und dem mittleren Fehler uVN verteilen; wenn
man dagegen bei n Beobachtungen als präsumptiven Wert für e das

arithmetische Mittel e; = 10: gefunden hat und daraus schließt,
daß die Summe von N Addenden Ne, wird, so findet man die Abweichung


y=N- ej — Os.
Das Verteilungsgesetz für y muß mit Annäherung ein Exponentialgesetz
 sein; es bekommt wie das Verteilungsgesetz für
x=N-e—0
die Erwartung Null; da jedoch e, und O, wie früher als voneinander
unabhängig betrachtet werden, wird das Quadrat des mittleren Fehlers
im Verteilungsgesetz für y nicht u? - N, sondern dagegen
2
u? = N 4 Nu? = Nu? (1 + N)
welche Größe, wenn n= Kı, N=K, und u?==pq ist, das oben
gefundene Resultat gibt.
Wenn man für den Mittelwert des Quadrats der Abweichunger
zwischen den n Beobachtungen und dem Durchschnitte e, aus diesen
(dem empirischen mittleren Fehler) wu? gefunden hat, dann kann mar
wie früher damit rechnen, daß
Mal
n n—1

ist, und erhält also

uU? — AS
— N
(N +
n) A
—1”

Beispiel: Nach der Viehzählung in Dänemark im Jahre 1909 belief sich
die Zahl der Kühe unter 10 Jahren in 18 zerstreut liegenden Kirchspielen des
Kreises Svendborgz insgesamt auf 12.200: jedes dieser Kirchspiele hatte also durch