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der Weise, in der dann der mittlere Fehler im Verteilungsgesetz für
die Summe durch den mittleren Fehler in den Verteilungsgesetzen
der einzelnen Addenden ausgedrückt wird, daß auch der arithmetische
Durchschnitt von Beobachtungen, welche einer Reihe verschiedener
Verteilungsgesetze folgen, sich mit wachsender Wahrscheinlichkeit
ler Erwartung für die Summe nähern wird, wenn die Zahl der
Versuche zunimmt.
Obwohl wir hier nicht näher auf diese erweiterten Formen für
„das Gesetz der großen Zahlen“ eingehen wollen, ist es jedoch
nicht ohne Interesse zu bemerken — was bereits oben, $ 155, angedeutet
 wurde —, daß auch dieses Gesetz nicht mit Notwendigkeit
dadurch bedingt ist, daß die Addenden gegenseitig unabhängig sind;
von der Art und Weise, in der die Abhängigkeit zustande kommt,
wird es dann abhängen, teils, ob das Verteilungsgesetz für die Summe
solcher korrelierten Addenden überhaupt sich der exponentiellen Form
nähert, teils, welche Größe der mittlere Fehler dieses Verteilungsgesetzes
 erhält, und ob der Durchschnitt solcher Beobachtungen dem
Gesetz der großen Zahlen folgt.
171. Wie oben erwähnt, ist in der Statistik eine häufig vorkommende
 und gleichzeitig eine der wichtigsten Aufgaben die, entscheiden
 zu können, ob ein vorgefundener Unterschied zwischen zwei
durch eine gewisse Zahl von Beobachtungen bestimmten Durchschnitten
 — hierunter speziell zwei relative Häufigkeiten — zufälligen
 oder wesentlichen Ursachen zuzuschreiben ist. Allerdings
läßt sich die Grenze zwischen diesen Gruppen von Ursachen nicht
mit voller Genauigkeit festlegen; bei vielen Phänomenen in der
menschlichen Gesellschaft jedoch kann man mit genügender Annäherung
 die genannte Unterscheidung vornehmen und den Zusammenhang
 zwischen den betreffenden Beobachtungen zahlenmäßig
zum Ausdruck bringen. Unter der Voraussetzung, daß gerade die
gleichen Umstände zu anderer Zeit, an anderem Ort und in einer
anderen Gruppe für das betrachtete Phänomen entscheidend sein
werden, wird man denn auch mit Annäherung manche Resultate
vorausberechnen können; diese Seite der Sache war bis zu einem
zewissen Grade der Hauptzweck der politischen Arithmetik.
Wer sich durch Berechnungen dieser Art einen Ausdruck für die
erzielte Genauigkeit zu verschaffen sucht, wird indes wieder auf die
Schwierigkeit stoßen, welche in einem anderen Zusammenhange oben
($ 151) erwähnt wurde und daher rührt, daß man im allgemeinen
nit beobachteten Zahlen operiert. Wer sich nur auf dem Wege der