189
Im folgenden wird es jedoch praktisch sein, hierfür einen fest-
stehenden Ausdruck zu haben; für die Erwartung für x wird ferner
auch stets das Zeichen E (x) verwandt.
E (x) wird unmittelbar aus dem bekannten Verteilungsgesetz
gefunden, indem man jeden Wert x. den x annehmen kann, mit
der entsprechenden Wahrscheinlichkeit pr. multipliziert und die Pro-
dukte addiert; man bekommt dann
EX) = HAIR Feed X Fee ia.
Es sei bemerkt, daß E (x) sich nach der Definition nur bei be-
kanntem Verteilungsgesetz finden läßt, daß ferner E (x) selbst eine
Konstante ist, d. h. eine Größe, welche (im Gegensatz zu x) nicht
mit gewissen Wahrscheinlichkeiten verschiedene Werte annehmen
kann.
Beispielsweise wird die Erwartung für die Anzahl von Augen
beim Wurf mit einem Würfel
1 1 1 1 1 1
BE@=E 1+5 2+€ 36 445 5+€ . 6 = 3,5.
Zieht man Kugeln aus einem Beutel mit weißen und roten
Kugeln, von denen der Bruchteil p weiß, der Rest (q = 1 — p) rot
ist, dann wird die Erwartung für die Zahl weißer Kugeln in
einer einzelnen Ziehung in gleicher Weise
EX) =0-aqa+1-p=»X
ein Ergebnis, von dem wir weiter unten Gebrauch machen werden
Aufgabe 23. Berechne die Größe der Erwartung in den zwei in der
Tabelle 15 (8 104) behandelten Fällen, in denen 20 Kugeln Beuteln entnommen
werden, deren Kugeln zur Hälfte und zu zwei Fünfteln weiß sind und wo x die
Zahl der im Laufe der 20 Ziehungen erhaltenen weißen Kugeln bedeutet,
124. Die Zahl selber, durch welche die Größe von x aus-
gedrückt wird, braucht nicht unter allen Verhältnissen dieselbe zu
sein. Körpergröße oder -gewicht, Temperatur, Preise usw. können
alle in verschiedenen Einheiten angegeben werden; aber nicht
nur die Einheit kann verschieden und zuguterletzt willkürlich ge-
wählt werden; auch wenn man zahlenmäßig die Schwankungen,
denen die beobachteten Größen unterworfen sein können, ausdrückt,
kann der Ausgangspunkt („Nullpunkt“) willkürlich und mehr oder
weniger praktisch gewählt werden. Veränderungen in der Tem-
peratur lassen sich als Abweichung der Temperatur vom Gefrier-
punkt („die eigentliche Temperatur“), jedoch auch als Abweichung
der Temperatur von einem beliebigen anderen Ausgangspunkt (Beisp.:
das Fahrenheitsche Thermometer) ablesen, und dasselbe finden wir
