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S, = pragt— + prat—t +..... p“d”—" (insgesamt (7) Summanden),
woraus folgt, daß
N
s, = | 5) . |
Setzt man nach und nach in diesen Ausdruck r=0, r=1,
r=—2,usw.....T=N ein, so findet man die Wäahrscheinlichkeit dafür,
jaß das Ereignis A in einer Versuchsreihe von n Beobachtungen
jeweilig 0, 1, 2, 3 .... n mal eintrifft. Es ist bemerkenswert, daß
die (n + 1) Wahrscheinlichkeiten, welche man auf diese Weise fest-
stellen kann, gerade die (n +1) Glieder werden, die man nach dem
Newtonschen Binomialtheorem erhalten wird, wenn man die Potenz
(p + q)® entwickelt; da p + q = 1, erhält man also
SS +85 +S...... +S3a = 1.
Dies stimmt mit der Gewißheit überein, daß das Ereignis A in
einer Versuchsreihe von n Beobachtungen entweder 0 mal oder ein-
oder zweimal usw. .... oder nmal eintrifft, so daß die Wahr-
scheinlichkeit dafür, daß die Begebenheit A irgend eine Anzahl von
Malen eintrifft, 1 sein muß.
Da die einzelnen Glieder in der Entwicklung der Potenz (p-Fq)*
somit die hier gesuchten Wahrscheinlichkeiten angeben, wird der
Ausdruck für S. im allgemeinen das Binomialgesetz oder das bi-
nomiale Verteilungsgesetz genannt. Zur Beleuchtung der
Eigenart dieses Gesetzes wird es praktisch sein, einige Beispiele zu
petrachten.
104. Als erstes solcher Beispiele mögen die in den 88 79 f£. be-
trachteten Kugelversuche wieder vorgenommen werden. Mit Hilfe
dieser hat man die Voraussetzung, unter der das Binomialgesetz
abgeleitet worden ist (nämlich daß die Wahrscheinlichkeit dafür,
Jaß die zwei möglichen Begebenheiten, hier weiß und rot, in dem
sinzelnen Versuche eintreffen, unverändert durch alle Versuche die-
selbe bleibt), zu verwirklichen gesucht, indem nach jeder einzelnen
Ziehung die entnommene Kugel in den Beutel zurückgelegt wird,
bevor aufs neue gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeiten, p und g,
bei den einzelnen Ziehungen bzw. weiß und rot zu erhalten, sollten
dann, gleichviele weiße und rote Kugeln im Beutel vorausgesetzt,
die ganze Zeit unverändert !/, zu *, sein; genau dasselbe gilt mit
Versuchen, bei denen wie z. B. beim Buffonschen Münzversuch ($ 89)
mit einer kleineren oder größeren Anzahl Münzen geworfen wird.
