199

setzung hinsichtlich der Form des Verteilungsgesetzes kleiner als
lie in der Kolonne a aufgezeichneten Zahlen hätten ausfallen können.

Aufgabe 27. Eine Zahl nehme mit der gleichen Wahrscheinlichkeit jeden
der Werte 1, 2, 3... 98, 99 (sämtliche ganzen Zahlen von 1 bis 99) und keine
anderen an. Finde die Erwartung und die Streuung. Zur Erleichterung der Be-,
 . n(n+1)(2n+1)
rechnung sei bemerkt, daß die Summe der n ersten Quadratzahlen ——— -
ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, welches weniger von
der Erwartung als das 1l}fache der Dispersion abweicht?
130. Es ist zu bemerken, daß man nach dem oben Entwickelten
notwendigerweise das Verteilungsgesetz kennen muß, um die Größe
der Erwartung und der Streuung berechnen zu können; auf der
ınderen Seite ist eine solche Kenntnis auch ausreichend. Wenn das
Verteilungsgesetz speziell binomial (oder exponential) und mit bekanntem
 n und p gegeben ist, erhält man, wie im $ 128 erwähnt,
sofort, ohne erst die Momente zu berechnen.
E (x) = sı = np

ınd

u = Ynpq

Dagegen kann man nicht, wenn s, und w durch die Momente
vgl. $ 153) eines numerisch gegebenen Verteilungsgesetzes bestimmt
sind, n und p aus diesen Gleichungen berechnen, selbst dann nicht,
wenn es gegeben ist, daß die einer Reihe äquidistanter Werte von
& entsprechenden Wahrscheinlichkeiten binomial sind; denn die im
Binomialgesetz „r günstigen Ereignissen unter n Begebenheiten“ entsprechende
 Wahrscheinlichkeit

N
(2) pa

braucht nicht mit Notwendigkeit für x = r gegeben zu sein
bloß durch eine Änderung des Nullpunktes und der Einheit derjenigen
Zahlen, durch welche die Größe x ihren Ausdruck erhält, wird pr;
für x = ar + b (wo a und b Konstanten sind) gegeben sein; und
statt durch Berechnung der Momente des Verteilungsgesetzes
Ss, = E (x) = np und u? = npq
zu erhalten, bekommt man dann
s, = E (x) = anp + b und uw? = a?npgq,
und aus diesen Gleichungen lassen sich n und p nicht finden, ohne
laß auch a und b gegeben sind. Kennt man dagegen zugleich die Momente
 dritter und höherer Ordnung, so können auch a und b bestimmt