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und eine Revision, ob die gegebenen numerischen Wahrscheinlichkeiten
 auch binomial sind, vorgenommen werden.
Auf diese Frage wollen wir hier jedoch nicht näher eingehen ;
während oben gezeigt wurde, wie sich die Momente (speziell die
Erwartung und die Streuung) durch ganz elementare Mittel finden
lassen, wenn das Verteilungsgesetz bekannt ist, handelt die hier
vorliegende Frage darüber, inwieweit man aus den Momenten das
Verteilungsgesetz finden kann, eine Frage, welche entweder rein
mathematischer Natur ist (im allgemeinen auch zugleich mehr als
elementare Hilfsmittel beansprucht) oder — wenn die numerische
Angabe des Verteilungsgesetzes nur als annähernde (nicht exakte)
Angabe vorliegt — in den Abschnitt über Ausgleichung und Interpolation
 gehört.

131. Da das Exponentialgesetz, wie wir im folgenden sehen
werden, in auffallend vielen Beobachtungsreihen jedenfalls als vorläufiger
 Ausdruck für das Verteilungsgesetz wird gelten können,
verlohnt es sich wohl, bereits an dieser Stelle das, was oben gezeigt
wurde, zu bemerken, nämlich daß die Erwartung (s,) und die Streuung
(u) dieses Gesetz vollständig definieren (vgl. die Tabelle 22 und die
Zahlen S, in der Tabelle 25); und selbst wenn die Wahrscheinlichkeit
dafür, daß ein zufälliges Ergebnis innerhalb eines gegebenen Spielraums
 fällt, nur recht mäßig durch die in Kolonne b der Tabelle 25
angeführten Wahrscheinlichkeiten (Exponentialgesetz) ausgedrückt
wird, wird man doch stets so viel wissen können, daß sie nie kleiner
als die in der Kolonne a angeführten Zahlen ausfallen kann.
Wie mehrmals hervorgehoben, ist die Erwartung unter den möglichen
 nicht ein Resultat, welches besonders häufig erwartet werden
kann; das Allgemeine wird sogar sein, daß E(x) eine Zahl wird,
die gar nicht mit einer der Zahlen xX,, X ...-. Xn, für welche das
Verteilungsgesetz gilt, zusammenfällt. Die Erwartung ist beispielsweise
 bei einem Würfelwurf 34, ein Resultat mit der Wahrscheinlichkeit
 Null.

Der Nutzen der Begriffe der Erwartung und Streuung beruht
dagegen auf den teilweise ganz elementaren Eigenschaften dieser
Größen und besonders auf den Eigenschaften derjenigen Abweichungen
(a), deren Summe gleich Null und deren Quadratsumme kleiner ist
als die Quadratsumme der Abweichungen von einer beliebigen anderen
 Zahl. Diese letztgenannte Eigenschaft hat einer Ausgleichungsmethode
 (Methode der kleinsten Quadrate) den Namen gegeben.