244
Beobachtungsreihen vorgefundener Unterschied zwischen den relativen
Häufigkeiten für diese Reihen „zufälligen Ursachen“ oder wesent-
lichen Unterschieden zwischen den wirkenden Ursachen zuzuschreiben
ist; es wird daher hier genügen hervorzuheben, was oben bemerkt
ist, daß, wenn sich der Unterschied zwischen den relativen Häufig-
keiten auf das Vielfache des mittleren Fehlers für diesen Unter-
schied beläuft, man annehmen muß, daß die näheren Umstände,
welche die verschiedenen Ergebnisse bedingt haben, nicht als im
wesentlichen dieselben betrachtet und daher nicht durch eine einzelne
Wahrscheinlichkeit charakterisiert werden können.
Aufgabe 48. Auf Grund der in der Aufgabe 4 mitgeteilten Zahlen ist
die Größe der Wahrscheinlichkeit dafür zu bewerten, bei einem Wurf mit den
betrachteten Würfeln eine Sechs zu erhalten.
Aufgabe 49. Aus einem Beutel mit weißen und roten Kugeln zieht man
zu wiederholten Malen, und zwar so, daß jede entnommene Kugel vor der nächsten
Ziehung in den Beutel zurückgelegt wird. Wenn man dem Beutel anfühlen kann,
daß er insgesamt 7 Kugeln enthält, dann ist festzustellen, wieviele Male man
wenigstens ziehen muß, um mit einiger Sicherheit entscheiden zu können, wieviele
der im Beutel enthaltenen Kugeln weiß und wieviele rot sind.
162. Da die relative Häufigkeit nur eine spezielle Art von
Durchschnitten, nämlich Durchschnitte bei alternativen Versuchen,
ist, werden wir sehen, daß das Problem, wozu die Frage der em-
pirischen Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit Veranlassung gibt,
auch bei der empirischen (statistischen) Bestimmung von Durch-
schnitten von Beobachtnngen, welche mehr als zwei Werte
annehmen können, entsteht; das Problem kann daher auch in
größerer Allgemeinheit zu der Frage formuliert werden, in welchem
Umfange es möglich ist zu erkennen, ob ein bei zwei (oder mehr)
Beobachtungsreihen vorgefundener Unterschied zwischen den Durch-
schnitten für diese Reihen auf „zufällige“ Ursachen zurückzuführen
ist oder zu der Annahme zwingt, daß sich in einer Gruppe Ursachen
geltend machen, welche der zweiten (den übrigen) fehlen. Nun ist
die Bedingung dafür, daß eine faktisch vorgefundene relative Häufig-
keit als Ausdruck für eine Wahrscheinlichkeit angesprochen werden
kann, die, daß eine Teilung des Beobachtungsmaterials in mehrere
Gruppen keine andere Wirkung verursacht, als daß sich die Durch-
schnitte (Häufigkeiten), welche man jetzt für jede der Gruppen fest-
stellt, jedenfalls annähernd exponentiell um einen gewissen „Normal-
wert“ verteilen und sich nicht voneinander durch Beträge unter-
scheiden, welche den mittleren Fehler der Differenzen viele Male
übersteigen. In derselben Weise muß das Kennzeichen dafür. daß
