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Würfen mit einer größeren Anzahl erhaltenen Summen handelt, das wirkliche
Verteilungsgesetz gegen das Exponentialgesetz umtauschen, genau So, wie es mit
dem Binomialgesetz der Fall war.
Aufgabe 51. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einem Wurf
mit 10 Würfeln eine Summe von Augen zu erhalten, welche höchstens um 5 von
der erwarteten abweicht?
Aufgabe 52. Ein Bote behält als Vergütung dafür, daß er einmal monatlich
 einen Betrag von wechselnder Größe abholt, die Pfennige und liefert nur die
Mark ab. Wenn die Zahl der Pfennige mit gleicher Wahrscheinlichkeit jeden
Wert zwischen 1 und 99 annimmt, mit welcher Vergütung kann dann der Bote pro
Monat rechnen? Finde die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Vergütung in einem
einzelnen Monat nicht mehr als 10 Pfennig von der Erwartung abweicht. Finde
die Wahrscheinlichkeit, daß die durchschnittliche monatliche Vergütung
1. nach Verlauf eines Jahres, 2.nach Verlauf von 5 Jahren nicht mehr ale
10 Pfennig von der Erwartung abweicht (vgl. Aufg. 27).
168. Da die Verteilung, welche in obigem Beispiel n = 1 (dem Verteilungsgesetz
 für den einzelnen Addenden) entspricht, symmetrisch ist, werden ebenso
wie beim Binomialgesetz alle Verteilungskurven symmetrisch. Ist diese Bedingung
nicht erfüllt, dann erreicht man erst bei größerer Gliederzahl eine entsprechend
gute Übereinstimmung. Als Beispiel hierfür kann das im 8 127 behandelte gelten.
Wie bei den Würfeln kann man durch fortgesetzte Multiplikation und Addition
die Wahrscheinlichkeit dafür finden, daß die Summe der in n Ziehungen erhaltenen
 Zahlen einen gegebenen Wert hat. Vorausgesetzt wird, daß ein gezogenes
 Stäbchen vor der nächsten Ziehung in den Beutel zurückgelegt wird.
Da die Erwartung in der einzelnen Ziehung 988 mit einem mittleren Fehler
von 1 ist. wird die Erwartung für die Summe von n gezogenen Zahlen
988 n + V n
; N 3 S—988 nn x .
sein; und trägt man wie oben % — 7% - als Abszisse und die entsprechende
Wahrscheinlichkeit (multipliziert mit Ya) als Ordinate ab, so findet man für
n=1, 2,3, 6 und 16 die in der Figur 6 abgebildeten Kurven; diese Kurven
werden, wie erwähnt, nur mit Annäherung symmetrisch; im übrigen aber geht
es hier wie mit dem Binomialgesetz (vgl. 8 111): je mehr Addenden in der
Summe enthalten sind, desto bessere Übereinstimmung mit dem Exponentialgesetz
erhält man.
Wenn man für den Fall n = 16 analog dem vorigen Beispiel die Spielräume
 s, innerhalb deren die Summe S mit den Wahrscheinlichkeiten 25,40....%
fallen wird, berechnet und diese Spielräume mit dem mittleren Fehler im Verteilungsgesetz
 für S mißt, für welchen mittleren Fehler man u = V16 = 4 erhält
dann ergeben sich folgende Zahlen:
Faktische Verteilung
2,58 = 0,64 u
4,25 = 1,06 u
5,46 = 1,26 u
3,37 = 2,9 u
11,57 = 2,89 u
1566 — 3.92 u

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25
40
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