336

und oft beschwerliche Lösung mehrerer Gleichungen mit mehreren
Unbekannten (Koeffizienten des Polynomiums), sondern zugleich die
im allgemeinen ebenso beschwerlichen Berechnungen, welche die
direkte Berechnung der Werte des Polynomiums für neue Werte
von x mit sich führt. Eine andere Methode zur Bestimmung des
ganzen algebraischen Polynomiums, welches für gewisse Werte von x
gegebene Werte annimmt, ist — übrigens in einer in formeller Beziehung
 außerordentlich anschaulichen Form — von Lagrange?)
angegeben worden. Für numerische Berechnungen jedoch ist die
Lagrangesche Formel nicht bequem (vgl. den Anhang); wir beschränken
 uns hier daher auf eine Besprechung der Newtonschen
Interpolationsformel.

223. Wenn eine Funktion (y) von x für x= 3,
<= bb, X=C... usw. die Werte y=A4, y=B
y=C usw. wie in der nebenstehenden Tabelle angedeutet,
annimmt, kann man die Quotienten

D
C
d

\

A
B
C
D

B—A - — —
3 (ad) = BA 90 mc) = 978 a0) (ac) = —

‚.. usw. berechnen; diese Quotienten werden die den Intervallen
(b— a), (c—b), (c—a) ... usw. entsprechenden dividierten Differenzen
 erster Ordnung („ersten Differenzen“) genannt. Sind
z. B. folgende Volkszählungsergebnisse (in Tausenden)
a = 1890 A = 2172
b = 1901 B =— 2450
ce = 1906 C = 2589
d = 1916 D = 2921,
gegeben, dann beträgt die absolute Größe des Bevölkerungszuwachses

1) 1890—1901. ....
2) 1901—1906 . .
3) 1906 - 1916 .
4) 1890—1906
5) 1890—1916
6) 1901—1916

278
LE

=

USW. :

Newton’s interpolation formulas (reprinted from the Journ. of the Institute of
Actuaries, vol. 51, 1919 und vol. 58, 1927), worin auch der im Jahre 1870 von
L. Oppermann gegebene Kommentar (Assurance magazine vol. 15, 1870) erwähnt
 ist.
') J. L. Lagrange, Sur l’usage des courbes dans la solution des problemes,
vgl. z. B. Oeuvres, 7, S. 271—287, Paris 1877.