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829. In welchem Grade ein solches Polynomium imstande ist,
an die Stelle des wirklichen Verlaufes der betrachteten Funktion
zu treten, ist indes, wie oben erwähnt, eine Frage, die besonders
zu untersuchen ist. Es folgt aus dem Vorhergehenden, daß man, um
die Newtonsche Interpolationsformel auf beobachtete
Zahlen anwenden zu können, voraussetzen muß, daß der betrachtete
Zusammenhang so beschaffen ist, daß man bei fortgesetzter Berechnung
dividierter Differenzen 1., 2., 3. usw. Ordnung auf irgend einem
Punkte Differenzen erhalten wird, die jedenfalls mit einer gewissen
Annäherung konstant sind. Für die auf mathematischem Wege de-
finierten Funktionen (beispielsweise Vx, log x, das Exponential-
gesetz usw.) erzielt man dies in der Regel um so besser, je kleiner
die Intervalle sind, über die sich die Interpolation erstreckt, und
man gelangt zu einem ganz ähnlichen Resultat hinsichtlich der
Interpolation an beobachteten Zahlen, wenn man den zwischen diesen
bestehenden Zusammenhang als eine Abhängigkeit mit ähnlichen
Eigenschaften wie denen einer wohldefinierten Funktion betrachtet.
Bloß ist zu erinnern, daß man im allgemeinen nicht, wenn es sich
um beobachtete Zahlen. handelt, in demselben Grade wie bei rein
mathematischen Problemen darüber Herr ist, wie kleine Intervalle
man benutzen will.
Weiter unten gehen wir auf diejenigen Interpolationsmethoden
ein, die man sich angewandt denken kann, wenn es sich um Inter-
polation über weitere Strecken handelt. An dieser Stelle seien einige
Beispiele über die Anwendung der Newtonschen Formel auf beob-
achtete Zahlen gegeben.
Wir entnehmen der deutschen Sterbetafel für die Jahre 1891
bis 19001 folgenden Auszug über die mittlere Lebensdauer für
Frauen verschiedener Altersklassen:
Alter Mittlere Lebensdauer
X
45 Jahre 24,87 Jahre
50 20,58
55 16°)
60 .
RE
LUD
5
90
*
VAR Yz
Wenn man mit den hier angeführten Werten von y für x =
60, 70 und 75 Jahre als Ausgangspunkt durch Interpolation die
mittlere Lebensdauer für 65-jährige bestimmen will, so erhält man
1) Deutsche Sterbetafeln für das Jahrzehnt 1891—1900, St. d. d. R. Bd. 200,
Berlin 1910, S. 6.
