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und denken wir uns allmählich die 20 Komplexe von zusammen- 
gehörigen Werten von x und a(x) eingesetzt und die 20 Ausdrücke 
summiert, so wird die Quadratsumme durch a, b und c mittels 
folgenden Polynomiums ausgedrückt: 
20a? + b?Sx? + c?Xx1 + S(al(x))? + 2ab 3x + 2acIx? — 2a Zal(x) 
+ 2bc x? — 2b Ixa(x) — 26 Ix’a(x). 
Hier sollen Xx?, 3x‘, S(a(x))? usw. aus den Zahlen der Tabelle 51 
berechnet werden; etwas einfacher gestalten sich jedoch die Be- 
rechnungen, wenn man die Altersskala 
35, 36, 37, ...... 44, 45, 46 ...... 53, 54 
durch 
—19,— 17, —15......—1, +1, +3......17, 19 
arsetzt, indem man dann für Xx und Xx? den Wert Null erhält; 
setzt man der Kürze halber 
Xx?=— A, Xxt= B, Salx)= U, Sxo(x) =D, 
Sxla(x) = E, Sa(x))?= F, 
30 nimmt das Polynomium (die Quadratsumme) die Form 
20a? + Ab? + Be? + F + 2Aac — 2Ca — 2Db — 2Ec 
an: der Wert dieses Polynomiums hängt von der Größe von a, b 
und c ab, und es gilt, diejenigen Werte für a, b und c zu finden, 
für die der Wert des Polynomiums möglichst klein wird. 
Bemerken wir jetzt, daß ein ganz willkürliches Polynomium 
zweiten Grades 
Pu? + Qu + RR, 
wo P, Q und R gegebene Zahlenkoeffizienten sind, deren Wert un- 
abhängig von u ist, stets in der Form 
Q \* Q? 
P (u + 2) + R — AP 
geschrieben werden kann, so ist ersichtlich, daß das Polynomium 
den Wert RS annimmt, wenn u = — Zn und daß der Wert, 
den das Polynomium für einen beliebig anderen (größeren oder 
kleineren) Wert von u annimmt, stets größer werden muß, wenn 
P >00. 
Ordnet man daher den gefundenen Ausdruck für die Quadrat- 
summe z. B. nach Potenzen von a, so erhält er die Form 
20a? + a(2Ac — 2C) + Ab? + Be? + F — 2Db — ZEc, 
und der Wert von a, für welchen die Quadratsumme ein Minimum 
ist, muß also der Gleichung