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und denken wir uns allmählich die 20 Komplexe von zusammengehörigen
 Werten von x und a(x) eingesetzt und die 20 Ausdrücke
summiert, so wird die Quadratsumme durch a, b und c mittels
folgenden Polynomiums ausgedrückt:
20a? + b?Sx? + c?Xx1 + S(al(x))? + 2ab 3x + 2acIx? — 2a Zal(x)
+ 2bc x? — 2b Ixa(x) — 26 Ix’a(x).
Hier sollen Xx?, 3x‘, S(a(x))? usw. aus den Zahlen der Tabelle 51
berechnet werden; etwas einfacher gestalten sich jedoch die Berechnungen,
 wenn man die Altersskala
35, 36, 37, ...... 44, 45, 46 ...... 53, 54
durch

—19,— 17, —15......—1, +1, +3......17, 19
arsetzt, indem man dann für Xx und Xx? den Wert Null erhält;
setzt man der Kürze halber
Xx?=— A, Xxt= B, Salx)= U, Sxo(x) =D,
Sxla(x) = E, Sa(x))?= F,
30 nimmt das Polynomium (die Quadratsumme) die Form
20a? + Ab? + Be? + F + 2Aac — 2Ca — 2Db — 2Ec
an: der Wert dieses Polynomiums hängt von der Größe von a, b
und c ab, und es gilt, diejenigen Werte für a, b und c zu finden,
für die der Wert des Polynomiums möglichst klein wird.
Bemerken wir jetzt, daß ein ganz willkürliches Polynomium
zweiten Grades
Pu? + Qu + RR,
wo P, Q und R gegebene Zahlenkoeffizienten sind, deren Wert unabhängig
 von u ist, stets in der Form
Q \* Q?
P (u + 2) + R — AP
geschrieben werden kann, so ist ersichtlich, daß das Polynomium
den Wert RS annimmt, wenn u = — Zn und daß der Wert,
den das Polynomium für einen beliebig anderen (größeren oder
kleineren) Wert von u annimmt, stets größer werden muß, wenn
P >00.
Ordnet man daher den gefundenen Ausdruck für die Quadratsumme
 z. B. nach Potenzen von a, so erhält er die Form
20a? + a(2Ac — 2C) + Ab? + Be? + F — 2Db — ZEc,
und der Wert von a, für welchen die Quadratsumme ein Minimum
ist, muß also der Gleichung