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Aus dem Ausdruck für () folgt, daß
( 5) = (n 2 r )-Beispielsweise

 ist ( 5) = (8); es ist ebenfalls klar, daß jeder Gruppe,
die in der Weise gebildet wurde, daß unter 13 Elementen 5 herausgenommen
wurden, gerade eine andere besondere entspricht, nämlich die, welche sich ergeben
 würde, wenn die übrigen 8 unter den 13 Elementen herausgenommen
würden; es muß somit die Anzahl von Verfahren, mittels deren man 5 Gegenstände
 unter 13 auswählen kann, gleich der Anzahl von Verfahren, mittels deren
sich 8 Gegenstände unter 13 auswählen lassen, sein.
Wenn für einen gegebenen Wert von n die Größe von ( Tr) für alle Werte
von r berechnet wird, ergibt sich also eine Reihe, welche symmetrisch ist, da
man den gleichen Wert von (?) für die zwei Werte von r, die gleichviel von
1 n abweichen, erhält.
Wenn r=0 oder =n ist, muß (©) = (ı) = 1 sein; denn unter n Elementen
 kann man nur n nach einem Verfahren herausnehmen.
Die Größen ( 7) finden in einer Menge von Verbindungen Anwendung;
speziell ist im $ 103 das Newtonsche Binomialtheorem benutzt, das angibt, zu
welchem Resultat man gelangt, wenn man die zur Berechnung der n-ten Potenz
des Binomiums (a + b) notwendigen Multiplikationen ausführt, da
(a + b)r = (a +b) (a+b).... (a + b)
ist, welches Produkt sich als eine Summe von insgesamt (n + 1) Gliedern schreiben
können lassen muß; nämlich eins muß als Benennung an. bo haben, eins
an—l.bl, eins an—?.b2 usw. bis zu den Gliedern mit a2. bn—2, al. bn—1, und
ao. bn, Das Theorem lehrt, daß das Glied mit ar. b2—r den Koeffizienten (1)
hat, so daß man erhält
(a +b)r = (5) an. bo + (1) a1. bl + (3) ar—2.b2+.....
+ (2) aber +... (7) alba—-1+ (P) aobn,

Infolge der Rolle, die die Größen (3) in diesem Lehrsatz spielen, werden
sie auch oft Binomialkoeffizienten genannt. Sie besitzen verschiedene
merkwürdige Eigenschaften. Wir wollen uns hier darauf beschränken, zu bemerken,
 daß

@FTD=(?)+(.2ı)

ist, was unmittelbar durch Anwendung des Ausdrucks für ( r) bewiesen wird.
Aus diesem Satz folgt, daß die sukzessive Berechnung der Binomialkoeffizienten
auf dem Wege fortgesetzter Summation, wie in folgendem Schema angeführt, erfolgen
 kann: