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PONTIFICIAE ACADEMIAE SCIENTIARVM SCRIPTA VARIA - 28

La différence æ, - æ,_, est bornée inférieurement par un nombre
positif tant que w,<xx. Ainsi, æ, croît et finit certainement par
atteindre xx.
Le programme Æ* est aussi optimal. Soit en effet un autre
programme possible #*+à Æ. Nécessairement, & N<o pour
tout # et à K,£<o pour tout #<t,. Or B,>0 pour tout t; x,>o
pour tout £<Z, et a,=o0 pour tout £=¢,. L’inégalité (72) implique
 donc Py & Ur =< - 17 3 S;.
Admettons maintenant que le programme /#* +8 # donne
à l’utilité au moins la même valeur que Æ* à partir d’un certain
 instant T que nous pouvons supposer postérieur à Zo
Pour que à Us, soit positif, il faudrait que & Sy soit négatif. Mais
nous allons montrer que ceci n’est pas possible, ce qui établira
l’optimalité de Æ*.
En effet, en vertu de la concavité de la fonction de production,
 nous pouvons écrire, pour tout t=T:

8S, = [T+ ¢"(xx)] 8 K, + [p(xx) - *x 9'(xx)] à N, .

Par ailleurs, pour tout #>T.

àC,=> vôàN,.

Or à N, est nécessairement négatif, et à K,=à S, - à C,. Par
suite de la définition de xx et du fait que xx<xr, nous pouvons
écrire:

5S, =18S,- A3C,+Av8N, =13S,.

5] Malinvauu - pag. 62