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und eine Revision, ob die gegebenen numerischen Wahrscheinlich- 
keiten auch binomial sind, vorgenommen werden. 
Auf diese Frage wollen wir hier jedoch nicht näher eingehen ; 
während oben gezeigt wurde, wie sich die Momente (speziell die 
Erwartung und die Streuung) durch ganz elementare Mittel finden 
lassen, wenn das Verteilungsgesetz bekannt ist, handelt die hier 
vorliegende Frage darüber, inwieweit man aus den Momenten das 
Verteilungsgesetz finden kann, eine Frage, welche entweder rein 
mathematischer Natur ist (im allgemeinen auch zugleich mehr als 
elementare Hilfsmittel beansprucht) oder — wenn die numerische 
Angabe des Verteilungsgesetzes nur als annähernde (nicht exakte) 
Angabe vorliegt — in den Abschnitt über Ausgleichung und Inter- 
polation gehört. 
131. Da das Exponentialgesetz, wie wir im folgenden sehen 
werden, in auffallend vielen Beobachtungsreihen jedenfalls als vor- 
läufiger Ausdruck für das Verteilungsgesetz wird gelten können, 
verlohnt es sich wohl, bereits an dieser Stelle das, was oben gezeigt 
wurde, zu bemerken, nämlich daß die Erwartung (s,) und die Streuung 
(u) dieses Gesetz vollständig definieren (vgl. die Tabelle 22 und die 
Zahlen S, in der Tabelle 25); und selbst wenn die Wahrscheinlichkeit 
dafür, daß ein zufälliges Ergebnis innerhalb eines gegebenen Spiel- 
raums fällt, nur recht mäßig durch die in Kolonne b der Tabelle 25 
angeführten Wahrscheinlichkeiten (Exponentialgesetz) ausgedrückt 
wird, wird man doch stets so viel wissen können, daß sie nie kleiner 
als die in der Kolonne a angeführten Zahlen ausfallen kann. 
Wie mehrmals hervorgehoben, ist die Erwartung unter den mög- 
lichen nicht ein Resultat, welches besonders häufig erwartet werden 
kann; das Allgemeine wird sogar sein, daß E(x) eine Zahl wird, 
die gar nicht mit einer der Zahlen xX,, X ...-. Xn, für welche das 
Verteilungsgesetz gilt, zusammenfällt. Die Erwartung ist beispiels- 
weise bei einem Würfelwurf 34, ein Resultat mit der Wahrscheinlich- 
keit Null. 
Der Nutzen der Begriffe der Erwartung und Streuung beruht 
dagegen auf den teilweise ganz elementaren Eigenschaften dieser 
Größen und besonders auf den Eigenschaften derjenigen Abweichungen 
(a), deren Summe gleich Null und deren Quadratsumme kleiner ist 
als die Quadratsumme der Abweichungen von einer beliebigen an- 
deren Zahl. Diese letztgenannte Eigenschaft hat einer Ausgleichungs- 
methode (Methode der kleinsten Quadrate) den Namen gegeben.