3838 Die Entstehung der exakten Wissenschaft. — Die Mathematik. 
Einen neuen Antrieb seiner Erneuerung und Umgestaltung 
empfängt der Zahlbegriff sodann von seiten der Gleichungs- 
lehre, indem hier zuerst die Bedeutung des Negativen und 
Imaginären sich deutlich darstellt. Freilich kann man gerade 
an dieser Stelle verfolgen, wie das philosophische Begreifen mit 
den Fortschritten der mathematischen Einzelerkenntnis nicht 
gleichen Schritt zu halten vermag: wie nur allmählich und 
schrittweise das logische Recht der neuen Gedanken erkämpft 
wird. Die negativen Zahlen gelten anfangs noch schlechthin 
als „absurde Zahlen“; das Imaginäre wird dem „Unmöglichen“ 
durchweg gleichgesetzt. Es ist — wie Cardano, sein eigentlicher 
Entdecker, ausspricht — eine „sophistische Grösse“: ein Ge- 
bilde, das lediglich auf formaler Logik beruht, „da man an ihm 
nicht, wie an den übrigen Grössen, die Rechnungsoperationen 
ausüben, noch weiterhin fragen kann, was es ist und zu bedeuten 
hat“.1865) Wäre die Anwendbarkeit der allgemeinen algebraischen 
Verfahren und Betrachtungsweisen für das Imaginäre ausge- 
schlossen, so wäre damit freilich das Verwerfungsurteil notwendig, 
das hier gefällt wird. Die Geschichte der Mathematik aber weist 
einen andern Weg: es galt eine neue Logik zu schaffen, die dem 
neuen Inhalt gerecht würde. Der Zahlbegriff in seiner Weiter- 
bildung vollzieht daher am klarsten den Bruch mit dem über- 
lieferten Ideal des Erkennens. Wenn wir von den einzelnen 
Individuen und „Substanzen“ ausgehen sollen, um sie in begrift- 
lichen Merkmalen abzubilden, so müssen wir für jeden noch so 
allgemeinen Begriff zuletzt eine konkrete Entsprechung fordern, 
so muss jeder Gedanke, der sich nicht derart als mittelbares 
Abbild vorhandener Gegenstände beglaubigen kann, hinfällig 
werden. Die neue Denkweise indes lehrt von dieser Forderung 
absehen: nicht als Erzeugnis der „Abstraktion“ vom Einzelnen, 
sondern als Erzeugnis der Definition entsteht ihr der Begriff. 
Die Grundlegung kann vollzogen werden, die Geltung und deı 
Eigenwert unserer ersten gedanklichen Relationen kann entwickelt 
und ausgebildet werden, unbekümmert darum, ob direkte Gegen- 
bilder für sie in der Welt der dinglichen Wirklichkeit vorhanden 
sind. So wird auch die Zahl zum Ausdruck eines reinen Ver- 
lahrens und einer Operation des Denkens: ihr „Sein“ ist gesichert, 
wenn es gelingt, eine strenge und allgemeine Erklärung zu finden