195

Selbst in diesem sehr einfachen Beispiel bietet die Anwendung
der hier entwickelten Formeln eine bedeutende Vereinfachung der
Rechenarbeit. In andern, weniger einfachen Fällen kann es praktisch
 unausführbar werden, die Berechnungen ohne diese Hilfe durchzuführen.

Aufgabe 24. Berechne erst die Momente M, und M, um 3, demnächst die
Potenzsummen s, (die Erwartung) und s, sowie die Momente der Abweichungen
und die Streuung, wenn x die Anzahl Augen bedeutet, welche man mit einem
nur unmerkbar falschen Würfel erhält. Wie groß werden die Momente 3. und
4. Ordnung der Abweichungen?
Aufgabe 25. Berechne Erwartung und Streuung in den zwei in der
Aufgabe 23 und der Tabelle 15 erwähnten Fällen, indem zuerst die Momente
um die Zahl 9 festgestellt werden. Untersuche, in welcher Weise das Moment
M, um k mit dem Werte k variiert.
Aufgabe 26. Wenn x die Zahl der weißen Kugeln (0 oder 1) bedeutet,
welche man bei einer einzelnen Ziehung aus einem Beutel mit weißen und roten
Kugeln, von denen der Bruchteil p weiß ist, bekommt, dann ist die Erwartung,
wie oben ($ 123) angeführt, p; wie groß wird die Streuung?
128. Wenn die zufällig variierende Größe x das Resultat einer
Reihe von n hintereinander vorgenommenen, unabhängigen, alternativen
 Versuchen, wie z. B. die im Vorhergehenden behandelten
Glückspiel-Erfahrungen, angibt, dann wird das Verteilungsgesetz, wie
wir gesehen haben, binomial (mit Annäherung exponential) sein;
l. h. die Wahrscheinlichkeit, daß x der n Versuche ein „günstiges“
Resultat gibt, ist

= (?) X yD—X
Px x PA
wo 0<

“

ale

Es ließe sich nun mit Hilfe dieses Ausdrucks für Px und des
Newtonschen Binomialtheorems direkt nachweisen (vgl. den Anhang),
laß man für das Binomialgesetz
E (x) = ss, = np bekommt
und daß u* = E ((x — np)?) = npaqa ist.
Da diese Ergebnisse im folgenden ($$ 138 und 149) in weit
sinfacherer Weise erzielt werden können, wollen wir uns hier auf die
Bemerkung beschränken, daß die Erwartung und Streuung beim binomialen
 (und damit beim exponentialen) Verteilungsgesetz also genau
 demjenigen entspricht, was wir oben „die erwartete Anzahl“
und den „mittleren Fehler“ genannt haben; und mit Hilfe dieser
beiden Größen und der Tabelle 22 konnten wir sofort die Wahrscheinlichkeit
 dafür angeben, daß das Ergebnis aus einer Versuchs-13*