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+7? = Dy)
sodaß die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens der Begebenheit A
dann auch unverändert dieselbe bleibt, einerlei, ob das Ereignis B
im voraus eingetroffen ist oder nicht. Die betrachtete Eigenschaft
ist, wie hieraus hervorgeht, reziprok; Ereignisse, deren Wahr-
scheinlichkeiten diese Eigenschaft besitzen, heißen gegenseitig
unabhängig (unkorreliert), und auf solche Ereignisse findet das
Multiplikationstheorem! am leichtesten Anwendung; man erhält
also folgenden Satz, der leicht auf eine willkürliche Anzahl Be-
gebenheiten ausgedehnt werden kann:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zwei voneinander unab-
hängige Ereignisse auf einmal in einem Versuche eintreffen, d. h.
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sowohl das eine als auch das
andere eintrifft, ist gleich dem Produkt aus den Wahrscheinlichkeiten
dafür, daß jedes einzelne Ereignis, für sich betrachtet, eintreffen
wird („Die Sowohl als auch-Regel“).
Geht man beispielsweise bei einem Wurf mit zwei Würfeln
davon aus, daß die Wahrscheinlichkeit, „eine Sechs“ zu erhalten, für
beide Würfel '!/4 ist, ohne Rücksicht darauf, was der andere zeigt,
dann wird die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sowohl der eine als
auch der andere Würfel „eine Sechs“ ergibt, !+!/s = 146; die Ant-
wort fällt natürlich ebenso aus, wenn man nur einen Würfel hat,
mit dem zweimal geworfen und die Wahrscheinlichkeit erfragt wird
dafür, sowohl im ersten als auch im zweiten Wurf „eine Sechs“
zu erhalten; Voraussetzung ist, daß man hier ebenfalls damit rechnen
kann, daß die Wahrscheinlichkeit, daß der Würfel beim zweiten
Wurf „eine Sechs“ ergibt, unverändert !/; ist wie beim ersten Wurf,
einerlei ob beim ersten Wurf „Sechs“ oder „Nicht-Sechs“ geworfen
wurde.
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Aufgabe 9. Finde die Wahrscheinlichkeit dafür, mit einem Wurf mit einem
Würfel zu erhalten
1. „Sechs‘“ beim ersten Wurf,
2, „Sechs“ beim dritten Wurf,
3. „Sechs“ zum erstenmal beim dritten Wurf,
4. „Sechs“ frühestens beim dritten Wurf.
100. Wann kann man indes damit rechnen, daß die Voraussetzung
einer solchen Unabhängigkeit vorliegt? Welche Ereignisse können
als gegenseitig unabhängig und welche nicht als solche angesprochen
werden? Diese Frage hat einen ganz ähnlichen Charakter wie die
