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während man, hätte die Verteilung den Voraussetzungen genau ent-
sprochen (n==100, p=q: ",),
E(0o)=50 und u =5
bekommen hätte.
Aufgabe 44. Finde auf Grund der in der Tabelle 5 angeführten beob-
achteten Zahlen den Durchschnitt und den mittleren Fehler in der Verteilung
der behandelten Gruppen nach der Zahl der abgekreuzten Ziffern und vergleiche
lie gefundenen Zahlen mit den theoretischen.
Aufgabe 45. Dieselbe Aufgabe für die in der Tabelle 8 betrachteten Be-
obachtungen.
154. Bezüglich der Ursachen zur gefundenen Übereinstimmung
nun kann man allerdings darauf hinweisen, daß die Umstände, unter
denen die Beobachtungen faktisch vorgenommen worden sind, viel-
leicht nicht — trotz aller Mühe — mit den Voraussetzungen ganz
\m Einklang gewesen sind, welche dazu führen, daß E(o)=: 50 und
u=5 wird. Man darf indes eins nicht vergessen: selbst wenn man
sich diese Fehlerquelle fortdächte und nur davon ausginge, daß die
beobachtete Größe o einem bestimmten — obgleich unbekannten —
Verteilungsgesetz folge (d.h. daß o mit gewissen konstanten
Wahrscheinlichkeiten p,, Pay Ps -.... die Werte X,, X, Xa .... aD-
jehme), könnte man nicht einmal erwarten, daß die Werte, welche
man für M,, M,, E(o) und w usw. erhält, indem die unbekannten
Wahrscheinlichkeiten durch die beobachteten relativen Häufigkeiten
ersetzt werden, mit den Werten übereinstimmten, welche man finden
würde, wenn die Versuche wiederholt würden, auch nicht mit den
Werten, welche die Kenntnis des Verteilungsgesetzes ergäbe.
Dieses Verhältnis hängt mit der oben ($ 93) besprochenen Un-
bestimmtheit der Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffes zu-
sammen und kann insofern kurz durch einen Hinweis auf die Erfahrung
begründet werden, daß wiederholte Versuche, auf empirischem
Wege die Größe einer Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, im all-
gemeinen niemals übereinstimmende Resultate ergeben. Es lohnt sich
jedoch, dieses Verhältnis näher zu untersuchen. Es kann nämlich
bemerkt werden, daß die Größe, welche im benutzten Beispiel
formell genau so bestimmt wurde, wie man die Erwartung fest-
stellt, wenn das Verteilungsgesetz bekannt ist, nämlich die Erwartung
E(o), für die wir
E(0o) = s, = 50,11
erhielten, auch als das arithmetische Mittel g der 100 Beob-
achtungen (0,, 00, 03 .... 000) aufgefaßt werden kann, d. h. daß
