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so ergibt sich, wie bereits oben ($ 151) erwähnt, das gleiche Re- 
sultat, nämlich daß die einem gegebenen Wert von a entsprechende 
Wahrscheinlichkeit P sich mit wachsendem N der 1 nähert, oder 
daß der einem gegebenen Wert von P entsprechende Wert von a 
mit wachsendem N kleiner und kleiner wird. 
Der letztgenannte speziellere Satz geht, wie oben ($ 34) erwähnt, 
auf Jacob Bernoulli zurück (Ars conjectandi, etwa von 1680—85 
ausgearbeitet, jedoch erst 1713, 8 Jahre nach dem Tode des Ver- 
fassers, veröffentlicht), weshalb er denn auch als Bernoullisches 
Theorem bezeichnet wird. Bernoulli machte bei seiner Beweis- 
führung jedoch keinen Gebrauch von dem Exponentialgesetz als 
Annäherungsformel für das Binomialgesetz; diese Methode verdankt 
man Laplace (Theorie analytique des probabilites, 1812). Später 
ist der Satz verschiedentlich erweitert worden, zuerst von Poisson 
1837), welcher alternative Versuche mit variierenden Wahrschein- 
lichkeiten betrachtete und dem Satze den Namen „Gesetz der 
zroßen Zahl“ verlieh, später von Tchebycheff, Markoff 
u. a, deren Beiträge den Satz erweiterten, so daß er nicht nur 
Beobachtungen mit mehr als zwei möglichen Ergebnissen, sondern 
auch solchen, welche nicht alle derselben Verteilungsregel folgen, 
ja — unter gewissen Bedingungen — sogar Beobachtungen, die nicht 
voneinander unabhängig sind, gilt. 
Mit Rücksicht auf das Folgende wird es indes nicht notwendig 
sein, hierauf einzugehen. Wir werden unten Beispiele dafür sehen, 
daß das Verteilungsgesetz für ein Polynomium, speziell für das 
Polynomium 
Yo == 
z 
{ 1 1 
Fu FR FON 
dazu neigen wird, mit Annäherung exponentielle Form anzunehmen, 
selbst wenn die einzelnen Glieder nicht binomialen oder exponentialen 
Verteilungsgesetzen folgen, wenn nur das Polynomium genügend viele 
Glieder enthält. Diese Eigenschaft ist somit für die alternativen 
Versuche nichts Charakteristisches, aber eine Eigenschaft, welche im 
wesentlichen mit der Zahl der Glieder zusammenhängt und von 
dieser bedingt ist. Selbst wenn man, falls das Verteilungsgesetz 
für die Beobachtungen unbekannt ist, sich einen annähernden Aus- 
üruck für den mittleren Fehler 42 im Verteilungsgesetze für das 
arithmetische Mittel verschaffen kann, wird auch die Anwendung 
der Tabelle 22 in der Regel einen schärferen Ausdruck für die 
Genauigkeit ergeben, welche man bei der präsumptiven Setzung E (0)