248 
einzelnen Falle entscheiden, mehr als eine sein wird, welche vor- 
herrschend ist, und bloß eine größere oder kleinere Asymmetrie in der 
Verteilungskurve wird einer solchen Vermutung Raum geben. In 
welchem Grade es glücken kann, hinlänglich gute Beobachtungen zu 
beschaffen und die Teilungslinien zu finden, welche die bei der einzelnen 
Beobachtung wirksam gewesenen Ursachen charakterisieren, das beruht 
natürlich auf der Einsicht des Statistikers in die betreffende Frage 
ınd — wie auch sonst oft — auf einer glücklichen Wahl bei der 
Teilung des Materials. 
166. Daß das Exponentialgesetz nun — wenn das Beobachtungs- 
material in passender Weise eingeteilt wird — in so auffallend 
vielen Beobachtungsreihen als Ausdruck für das Verteilungsgesetz 
wird gelten können, ist eine Tatsache, deren tiefere Begründung 
schwierig genug sein kann, da die Bedingungen, unter denen die 
Beobachtungen gemacht werden, so ungemein verschieden sein können: 
Es soll daher hier nicht versucht werden, eine allgemeine Erklärung 
für dieses Phänomen zu geben. 
Zur Beleuchtung der Frage ist jedoch folgende Bemerkung nicht 
ohne Bedeutung: sofern die Größe O, welche zum Gegenstand der 
Beobachtung gemacht wird, als eine Summe von genügend vielen Ad- 
denden gelten kann, von denen jeder für sich als zufällig varlierende 
Größe betrachtet wird, muß das Verteilungsgesetz für O zur An- 
nahme exponentieller Form neigen. 
Dies haben wir im Vorhergehenden in den einfacheren Fällen 
zu bestätigen versucht, wo sämtliche Addenden als entweder bi- 
nomiellen oder exponentiellen Verteilungsgesetzen folgend gedacht 
wurden. Über diese Fälle hinaus wird die Bestimmung der genauen 
Form des Verteilungsgesetzes für eine Summe von vielen Addenden, 
deren einzelne Verteilungsgesetze bekannt sind, wie im $ 149 erwähnt, 
in der Regel beschwerlich sein und oft sehr komplizierte Ausdrücke er- 
geben. Sind die Addenden gegenseitig unabhängig, so kann man jedoch 
unter gewissen sehr allgemeinen Voraussetzungen über die Verteilungs- 
gesetze für die einzelnen Addenden beweisen, daß sich das Verteilungs- 
gesetz für O mit allmählichem Anwachsen der Zahl der voneinander 
unabhängigen Addenden 0;, 02, 03. ... mehr und mehr der exponen- 
tiellen Form nähern muß. Wenn die Erwartung und der mitt- 
lere Fehler im Verteilungsgesetz für o, gleich er und ur ist, so ergeben 
sich als die der Summe 
0= 01-706 -70 ..- 
entsprechenden Größen