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y=@% +0, X + 03x? + 03 x®
setzen und erhält dann folgende 4 Gleichungen zur Bestimmung der
Konstanten (Koeffizienten):
& + 30, + 909 + 2703 = 0,4771
& + 40, + 160%, + 6403 = 0,6021
x + 50, + 2504 + 125043 = 0,6990
X + 60, + 3602 + 21603 = 0,7782
welche Gleichungen
10230 M 18289
7 = — 0,1705 CC = 60000
2091 104
60000 7" — 0,0348, 03 = 60006 7 0,0017
ergeben; man erhält hierbei den oben ($ 213) angeführten Ausdruck,
welcher die Eigenschaft hat, daß er für x==3, x=4, x=5 und
<= 6 gerade die gewünschten Werte ergibt.
223. Es geht aus diesem Beispiel hervor, daß, wenn man sich
ein ganzes Polynomium verschaffen will, das eine durch n gegebene
Punkte gehende Parabel darstellt, die Formel im allgemeinen, um
na disponible Konstanten zu enthalten, von der Ordnung (n—1) sein
muß; andererseits wird man dann auch n lineare Gleichungen zur
Bestimmung der n Koeffizienten (Konstanten) erhalten, so daß sich
im allgemeinen immer eine und nur eine Parabel der Ordnung
'n—1) findet, welche durch die n gegebenen Punkte geht.
In dem oben benutzten Beispiel sind die 4 Gleichungen, welche
zur Bestimmung der 4 Konstanten (@xo, &,, x und «g) dienen, ein-
flacher Form; und es ist eine verhältnismäßig leichte Sache, die
Gleichungen aufzustellen und zu lösen. Anders stellt es sich, wenn
die Werte für x, für welche die Werte der Funktion gegeben sind,
gebrochene Zahlen oder Zahlen sehr verschiedener Größe sind, oder
wenn die Zahl der Gleichungen größer wird; in solchen Fällen
— wie überhaupt immer, wenn man ein ganzes algebraisches
Polynomium als Interpolationsformel benutzt — lassen sich die Be-
rechnungen am leichtesten in der weiter unten beschriebenen Weise
durchführen, indem man die von Newton eingeführten dividierten
Differenzen!) benutzt; hierbei vermeidet man nicht nur die direkte
) Newtons Beitrag hierzu findet man in 3 Abhandlungen, nämlich in:
I) Methodus differentialis (1711 erschienen, doch viel früher ausgearbeitet),
2?) einem Brief, datiert den 8. Mai 1675, 3) dem III. Buch der „Principia“ (Philo-
sophiae naturalis principia mathematica) London 1687. Vegl.im übrigen D.C. Fraser.
