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Man würde daher denselben ausgeglichenen Wert und dieselbe 
Reihe von Korrektionen (Fehlern) finden, wenn man den ausge- 
glichenen Wert g als denjenigen bestimmte, welcher den kleinsten 
mittleren Fehler oder was auf dasselbe hinausläuft, die kleinste 
Quadratsumme von Abweichungen (vgl. $ 131) ergab. 
262. Die Möglichkeit, auf diese Weise die an den ausgeglichenen 
Wert gestellte Forderung umschreiben zu können, wird von Be- 
deutung, wenn man zu Aufgaben übergeht, bei denen die Theorie 
nicht die oben genannte — möglichst einfache — Form annimmt. 
Als Beispiel hierfür können wir einen Augenblick die oben be- 
handelte Aufgabe, die in der Tabelle 51 berechneten Verhältnisse 
x(x) auszugleichen, betrachten; da diese Verhältnisse in groben 
Zügen eine mit wachsendem Alter abnehmende Zahlenreihe bilden, 
kann man die Abhängigkeit, die zwischen dem Alter x und dem 
entsprechenden Wert des Verhältnisses z = (x) besteht, durch 
irgend eine passend gewählte Funktion von x ausdrücken; wird 
hierzu beispielsweise die lineare Funktion 
Ax—+B 
gewählt, dann geht die Theorie darauf aus, daß sich die fehlerfreien 
Verhältnisse «(x) mit hinlänglicher Annäherung durch eine solche 
lineare Funktion darstellen lassen. 
Zur Bestimmung der beiden Konstanten A. und B erhält man 
indes insgesamt 20 Gleichungen, eine für jede der vorliegenden Be- 
obachtungen; in ähnlicher Weise geht es im allgemeinen, wenn die 
Theorie verlangt, daß sich sämtliche Beobachtungen durch eine 
einzige Formel von gegebener Form ausdrücken lassen sollen, die 
gewisse unbekannte, aber gesuchte Konstanten enthält, deren Zahl n 
— falls von einer Ausgleichung die Rede sein soll — kleiner als die 
Anzahl der Beobachtungen, N, ist; man erhält mehr Gleichungen, 
als Unbekannte da sind. 
Da es nur ganz ausnahmsweise n Zahlen geben wird, die auf 
einmal sämtlichen N Gleichungen genügen, so muß die Aufgabe dahin 
geändert werden, daß man solche Werte für die n unbekannten 
Konstanten sucht, welche so annähernd wie irgend möglich 
die N Gleichungen befriedigen. Diese werden dann nur annäherungs- 
weise genügen, d. h., die Werte o‘, welche die Formel für die N Be- 
obachtungen (die ausgeglichenen Beobachtungen) ergibt, werden 
yewisse größere oder kleinere Abweichungen o‘'—0o den faktisch