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Man würde daher denselben ausgeglichenen Wert und dieselbe
Reihe von Korrektionen (Fehlern) finden, wenn man den ausgeglichenen
 Wert g als denjenigen bestimmte, welcher den kleinsten
mittleren Fehler oder was auf dasselbe hinausläuft, die kleinste
Quadratsumme von Abweichungen (vgl. $ 131) ergab.
262. Die Möglichkeit, auf diese Weise die an den ausgeglichenen
Wert gestellte Forderung umschreiben zu können, wird von Bedeutung,
 wenn man zu Aufgaben übergeht, bei denen die Theorie
nicht die oben genannte — möglichst einfache — Form annimmt.
Als Beispiel hierfür können wir einen Augenblick die oben behandelte
 Aufgabe, die in der Tabelle 51 berechneten Verhältnisse
x(x) auszugleichen, betrachten; da diese Verhältnisse in groben
Zügen eine mit wachsendem Alter abnehmende Zahlenreihe bilden,
kann man die Abhängigkeit, die zwischen dem Alter x und dem
entsprechenden Wert des Verhältnisses z = (x) besteht, durch
irgend eine passend gewählte Funktion von x ausdrücken; wird
hierzu beispielsweise die lineare Funktion
Ax—+B

gewählt, dann geht die Theorie darauf aus, daß sich die fehlerfreien
Verhältnisse «(x) mit hinlänglicher Annäherung durch eine solche
lineare Funktion darstellen lassen.
Zur Bestimmung der beiden Konstanten A. und B erhält man
indes insgesamt 20 Gleichungen, eine für jede der vorliegenden Beobachtungen;
 in ähnlicher Weise geht es im allgemeinen, wenn die
Theorie verlangt, daß sich sämtliche Beobachtungen durch eine
einzige Formel von gegebener Form ausdrücken lassen sollen, die
gewisse unbekannte, aber gesuchte Konstanten enthält, deren Zahl n
— falls von einer Ausgleichung die Rede sein soll — kleiner als die
Anzahl der Beobachtungen, N, ist; man erhält mehr Gleichungen,
als Unbekannte da sind.
Da es nur ganz ausnahmsweise n Zahlen geben wird, die auf
einmal sämtlichen N Gleichungen genügen, so muß die Aufgabe dahin
geändert werden, daß man solche Werte für die n unbekannten
Konstanten sucht, welche so annähernd wie irgend möglich
die N Gleichungen befriedigen. Diese werden dann nur annäherungsweise
 genügen, d. h., die Werte o‘, welche die Formel für die N Beobachtungen
 (die ausgeglichenen Beobachtungen) ergibt, werden
yewisse größere oder kleinere Abweichungen o‘'—0o den faktisch