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dann erhält man für log'n z. B. folgende Werte: 
J 
2 
109 
log n! 
6,55976 
18,38612 
22,.42366 
61,48307 
157,97000 
Nach Stirlings 
Formel 
6,55614 
18,38431 
32,42245 
64,48235 
157.96964 
Hieraus geht hervor, daß die Formel für n = 10 einen Wert ergibt, der ca. 
3°%% zu klein, für n=20 ca. 4°/ zu klein und für n =30 ca, 2,8 %, zu klein ist 
1 
und so fort. Nimmt man das Glied Jan mit, dann wird der Fehler noch viel 
kleiner. 
Mit Hilfe der Stirlingschen Formel kann man nun folgendermaßen einen 
Ausdruck zur annähernden Berechnung der binomiellen Wahrscheinlichkeit 
Sr: == ( T ) Prqh—r, 
oder (indem man statt der Anzahl r die Abweichung x von der erwarteten 
Anzahl np anwendet, sodaß also r= np + x und n — r =nq-—xXx) der Wahrschein- 
lichkeit 
n! 
Pr = (ap + 3)! (ng — x)1 PP FA res 
ableiten. Setzt man hier die Ausdrücke, die die Stirlingsche Formel für n! 
(np + x)! und (nq — x)! ergibt, ein, 
1 DI ynp— x. gnd-—x 
dann erhält man Pr = Va PASTE SET 
Da ferner 
nat Ts 
1 1 
DPA zn PP und ET gra—x+43, 
; np x-+4 nq—x-4- 1 
wird s na+t1 + pP +x. qna—x == _(np)® y En 3 
1 x — (px + $) x —(nq—x+ 2 
und Px = V 2unpq ( 1 + 3) ( 1 — a) 
Hieraus folgt nun gleich die Wahrscheinlichkeit Po dafür, gerade die erwartete 
Anzahl zu erhalten, da x= o, wie in den 88 108 und 119 angeführt, 
Ben 
9 V2npq *Y2x 
ergibt. Für andere Werte von x findet man Px aus 
P. — (pp-+xz+ 1) — (nq—x-+1 
Pr (14 3) HR (x) 767 
oa np nq 
P 
am bequemsten, indem man log 5 berechnet: