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und folglich 
u? = E(x?) — (ze) _ q+1 . 
pp! U, 
u? = nr und % de 
Zu $ 222 (S. 336). Die Lagrangsche Interpolationsformel. Eine 
yanze rationelle Funktion, die für 
X = Ay, Aoy Aa... Ant 
die Werte 
y=A,, Az Az. ..An+1 
annimmt, muß sich folgendermaßen schreiben lassen können: 
ar 
a) (x —a)(X-—a)......(X— an+1) S Kar 
Xx= a, und” -A4 dann erhält man 
; (8, — 1.) (8, —8)......(8, — An-+1)-0 
„= a, undy=A4, 
A, = (8, — 8,) (8, — 8) ..... (2, — an-+1)-0, 
X =äan+1 Und y = An+1 
An+1= (an +1— 2,) (an +1— 8) ..... (80 +1 — an) An +1 - 
ergibt, durch welche n+1 Gleichungen sämtliche n +1 Konstanten (ar) be- 
stimmt sind. 
Daß das hierbei errechnete Polynomium dasselbe wie das durch die Newton- 
sche Formel bestimmte werden muß, geht daraus hervor, daß es (vgl. 8 222) im 
allgemeinen nur ein Polynomium n-ten Grades gibt, das durch n + 1 gegebene 
Punkte geht. Während die Bestimmung der Konstanten formell sehr einfach aus- 
sieht, wenn das Polynomium in der obigen Form geschrieben wird, eignet sie 
sich augenscheinlich nicht für die numerische Rechnung. 
Zu $ 254 (S. 378). Interpolation bei Anwendung unendlich 
kleiner Intervalle. Wir erwähnten im 8 227 (und gaben im 8 228 ein Bei- 
spiel), wie man durch mehrmalige aufeinander folgende Interpolation zu x = 0 
sofort die Koeffizienten zu x°,x', x? ....usw. in dem als Interpolationsformel be- 
nutzten Polynomium finden kann. Die Berechnung von dividierten Differenzen 
für wiederholte Argumente ö'(a,a) ö?(a, a, a) ö°(a, a, a) usw. läßt sich nicht direkt mittels 
der Definition vornehmen, da diese eine ganz unbestimmte Antwort ergäbe; da- 
gegen bildet die entgegengesetzte Rechenmethode mittels des Newtonschen Dif- 
ferenzschemas kein Hindernis. 
Wenn man in der im 8 227 angegebenen Weise soviel Male zu x = a inter- 
poliert, daß die dabei erhaltenen dividierten Differenzen stets dieselben bleiben, 
und danach zum willkürlichen Argument x interpoliert, dann erhält man eine 
polgendermaßen geschriebene Gleichung der Interpolationskurve: 
f(x) = f(a) + (x — a)ö'(a) + (x — a)’ö°(a,a) + (x — a) OöMa,‚a‚a) +..... 
Da sich infolge der Taylorschen Formel jedes ganze Polynomium stets folgender- 
maßen schreiben läßt: 
X—a X — a)? X — a)? 
f(x) = f(a) + 77 f(a) + Spa) + ST f‘“(a) +...., 
wo f(a), f‘(a), f“(a) .... usw. die Werte angeben, die f(x) und die Differenzial- 
quotienten dieser Funktion hinsichtlich der Größe x für x==a angeben, 80 geht