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und folglich

u? = E(x?) — (ze) _ q+1 .
pp! U,

u? = nr und % de
Zu $ 222 (S. 336). Die Lagrangsche Interpolationsformel. Eine
yanze rationelle Funktion, die für

X = Ay, Aoy Aa... Ant

die Werte

y=A,, Az Az. ..An+1
annimmt, muß sich folgendermaßen schreiben lassen können:

ar
a) (x —a)(X-—a)......(X— an+1) S Kar
Xx= a, und” -A4 dann erhält man
; (8, — 1.) (8, —8)......(8, — An-+1)-0
„= a, undy=A4,
A, = (8, — 8,) (8, — 8) ..... (2, — an-+1)-0,
X =äan+1 Und y = An+1
An+1= (an +1— 2,) (an +1— 8) ..... (80 +1 — an) An +1 -
ergibt, durch welche n+1 Gleichungen sämtliche n +1 Konstanten (ar) bestimmt
 sind.
Daß das hierbei errechnete Polynomium dasselbe wie das durch die Newtonsche
 Formel bestimmte werden muß, geht daraus hervor, daß es (vgl. 8 222) im
allgemeinen nur ein Polynomium n-ten Grades gibt, das durch n + 1 gegebene
Punkte geht. Während die Bestimmung der Konstanten formell sehr einfach aussieht,
 wenn das Polynomium in der obigen Form geschrieben wird, eignet sie
sich augenscheinlich nicht für die numerische Rechnung.
Zu $ 254 (S. 378). Interpolation bei Anwendung unendlich
kleiner Intervalle. Wir erwähnten im 8 227 (und gaben im 8 228 ein Beispiel),
 wie man durch mehrmalige aufeinander folgende Interpolation zu x = 0
sofort die Koeffizienten zu x°,x', x? ....usw. in dem als Interpolationsformel benutzten
 Polynomium finden kann. Die Berechnung von dividierten Differenzen
für wiederholte Argumente ö'(a,a) ö?(a, a, a) ö°(a, a, a) usw. läßt sich nicht direkt mittels
der Definition vornehmen, da diese eine ganz unbestimmte Antwort ergäbe; dagegen
 bildet die entgegengesetzte Rechenmethode mittels des Newtonschen Differenzschemas
 kein Hindernis.
Wenn man in der im 8 227 angegebenen Weise soviel Male zu x = a interpoliert,
 daß die dabei erhaltenen dividierten Differenzen stets dieselben bleiben,
und danach zum willkürlichen Argument x interpoliert, dann erhält man eine
polgendermaßen geschriebene Gleichung der Interpolationskurve:
f(x) = f(a) + (x — a)ö'(a) + (x — a)’ö°(a,a) + (x — a) OöMa,‚a‚a) +.....
Da sich infolge der Taylorschen Formel jedes ganze Polynomium stets folgendermaßen
 schreiben läßt:

X—a X — a)? X — a)?
f(x) = f(a) + 77 f(a) + Spa) + ST f‘“(a) +....,
wo f(a), f‘(a), f“(a) .... usw. die Werte angeben, die f(x) und die Differenzialquotienten
 dieser Funktion hinsichtlich der Größe x für x==a angeben, 80 geht