324 PONTIFICIAE ACADEMIAE SCIENTIARVM SCRIPTA VARIA -

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Comme À» est plus grand que 1, = tend vers -oc quand ¢
croît indéfiniment ce qui contredit le fait que S,+8 S, ne soit
jamais négatif. (Les conditions (3) et (8) impliquent bien S, > o
pour tout programme possible). Cette contradiction complète la
démonstration de la proposition r.
Pour déterminer un programme optimal, il suffirait en principe
 de trouver un programme régulier qui satisfasse la condition
 r. Mais cette recherche serait assez laborieuse si on
n'avait aucun fil directeur. En pratique, il peut être plus simple
de rechercher d’abord un programme régulier maximal, et de
vérifier ensuite qu’il satisfait la condition 1. La proposition
suivante suggère que cette manière de faire sera généralement
efficace quand la condition 2 est satisfaite.

Proposition 2. Si la condition 2 est satisfaite, un programme
régulier maximal est optimal dans l’ensemble de tous les programmes
 réguliers (*).
La démonstration est immédiate. Supposons en, effet que
soit un programme régulier maximal et Æ+5 Æ un programme
régulier qui lui soit préférable. Par hypothèse à C, € o. De
plus on établit, comme au début de la démonstration de la proposition
 1, que à S,<o. Mais ceci est contradictoire avec la
condition 2.
La condition 2 peut sembler un peu difficile à vérifier. Il
est donc intéressant de connaître des hypothèses sous lesquelles
slle est bien satisfaite. Posons :

Hypothése 3. La production s’effectue a rendements constants,
 c’est-à-dire qu’il existe des fonctions ¢, (x) possédant
des dérivées ©’, décroissantes, et telles que:

28)

A(N,, K,) = N, Es

() La définition 1 introduit, entre les programmes possibles, un ordre
partiel: Il se pourrait donc a priori qu'un programme régulier non maximal
soit optimal. Mais cela semble peu vraisemblable.

‘5] Malinvaud - pag. 24