322 PONTIFICIAE ACADEMIAE SCIENTIARVM SCRIPTA VARIA - 23
la consommation initiale C,. Nous allons en effet obtenir une
propriété assez analogue. Pour en préciser le sens, posons
d’abord la définition suivante -
Définition 2. Un programme est dit « régulier » s’il est pos-
sible et s’il satisfait les équations de récurrence définies par la
condition d’équilibre (7) et les égalités (22). Un programme est
dit « régulier maximal » s’il est régulier et si aucun programme
régulier ne donne une valeur plus forte à Co
Posons également les deux conditions suivantes:
Condition r. Le programme @ satisfait la condition 1 si
U’;c.>>0 pour tout # et s’il existe un nombre k plus grand que I
tel que, au moins à partir d’une certaine valeur de £-
(23)
+ —— I
: > hk >
(1 fix) S,.1 =
Condition 2. Etant donné deux programmes réguliers quel-
conques #! et #?, l’inégalité C! > C2? implique S! < S2 pour
tout ?.
Etablissons le résultat suivant:
Proposition 1. Un programme régulier Æ qui satisfait la
condition 1 est optimal.
Supposons en effet qu’il n’en soit pas ainsi. Il doit exister
une valeur T et un programme possible +5 Æ tel que 5,
soit positif et que à U, ne soit négatif pour aucun ¢# > T. En
vertu des égalités (22), de l’inégalité (ar) et du fait que U's
ne peut être négatif, &'Ur ne peut être positif que si à Sy est
négatif.
Par ailleurs, l’inégalité (16) implique:
(24)
U. à C,+U/,, à N, > o pour tout ¢ > 1
"51 Malinvaud - pag. 22