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bei jeder zahlenmäßigen Angabe wieder, auch wenn es sich dabei
um die Schwankungen handelt, welche durch Veränderungen in der
Sterblichkeit, im Preisniveau usw. usw. verursacht werden, Es ist
daher unmittelbar einleuchtend, daß, wenn k eine Konstante be-
zeichnet, die Größen x + k (oder x — k) und k + x auch zufällig
variierende Größen sein werden, deren Verteilungsgesetze mit dem
Gesetz für x identisch sein müssen, und daß
Ex + ©) = E(x) + k
E(k-x)= k- E(x).
125. Da E (x) selbst eine Konstante ist, deren Wert im fol-
zenden der Kürze halber mit s, (vgl. unten) bezeichnet werden wird,
kann man hier besonders den Fall; wo k= E (x) = sı, betrachten.
Die zufällig varilerende Größe
a= x -— E (x = X-— 8)
ım welche es sich dann handelt, wird als Abweichung bezeichnet,
and aus obiger Gleichung ‚geht hervor, daß die Abweichung
Jie Erwartung Null hat; denn es ist
E (a) = E(x— 8) =E@x —-s=0
Betrachtet man mehr im allgemeinen die Potenzen der Ab-
weichungen, also
a* = (X — 8,)“,
so werden auch diese Größen zufällig variierende Größen mit dem
gleichen Verteilungsgesetz wie x sein; ihr Verteilungsgesetz ist also
mit dem bekannten Gesetz für x gegeben. Unter dieser Voraussetzung
kann man analog mit der Erwartung für E (x) die Erwartung E (a*)
finden mit Hilfe der Formel:
na = E(a*)= 3 pr (X — 8) =D Ki —8)* +P 8) H--s-
+ pr (Zr — 81) *+..... Du (Xa — S1)*-
Die hierbei bestimmten Zahlen, deren Größe von &« abhängen
and im folgenden mit ma bezeichnet werden, werden, analog der
-ationellen Mechanik, Momente des Verteilungsgesetzes
1, 2., 3.....&«. Ordnung) genannt. Sie spielen in der Statistik
sine bedeutende Rolle, namentlich zur Charakterisierung der Be-
schaffenheit allgemein vorkommender Verteilungsgesetze (vgl. das
Kapitel über Interpolation und Ausgleichung).
Wie soeben bewiesen, wird m, = E (a) = 0, während m.,
wenn « eine gerade Zahl ist, stets positiv sein muß, weil sämtliche
Addenden dann positiv sind. Ist «x eine ungerade Zahl größer als 1,
Jann wird es dagegen von der Beschaffenheit!des Verteilungsgesetzes
