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dafür, daß die Reihe der Wahrscheinlichkeiten, S,, nach dem Bi-
nomialgesetz berechnet, nicht eine ständig abnehmende oder ständig
wachsende Reihe bildet. Da es sich in dieser Verbindung um solche
Fälle handelt, in denen p und q nicht nahe an !/ liegen, es im
übrigen aber gleichgülti gist, ob p oder ob q nahe bei 0 liegt, können
wir uns auf eine Betrachtung des Falles beschränken, wo p nahe bei
0 (q nahe bei 1) liegt. Die oben angeführte Bedingung wird dann
jedenfalls immer erfüllt sein, wenn
pn > 1
und daher auch, wenn
npq > 1 ist.
Wenn also der mittlere Fehler in einer binomialen Verteilung
größer als 1 ist, wird die Reihe der (n + 1) Wahrscheinlichkeiten
nie beständig abnehmen können. Selbst wenn dies keineswegs be-
sagt, daß das Binomial- durch das Exponentialgesetz ersetzt werden
kann, so liegt doch hierin schon ein Fingerzeig, der, wenn sich der
mittlere Fehler 1 nähert, zur Vorsicht mahnt. Hinsichtlich der Be-
lehrung darüber, wie sehr man sich in dieser Beziehung einem mitt-
leren Fehler von 1 zu nähern wagt, kann auf die im Vorhergehenden
durchgerechneten Beispiele verwiesen werden; die mittleren F ehler,
mit denen man es hier zu tun hatte, waren von der Größe von ca.
2,2 an aufwärts; im allgemeinen kann man rechnen, daß die in den
betrachteten Beispielen bewiesene Übereinstimmung jedenfalls vor-
liegt, wenn die „mittlere Zahl“ np und der mittlere Fehler Yapq
nicht unter jeweils etwa 10 und ca. 3 hinuntergehen.
118. In manchen Fällen ist die Wahrscheinlichkeit p gerade
sehr klein, z. B. wenn von Sterblichkeit, Kriminalität und ähnl. die
Rede ist. In solchen Fällen wird der mittlere Fehler, Ynpg, nur
wenig kleiner sein als die Quadratwurzel der „erwarteten“ Anzahl, d.h.
Ynp, weil q dann fast = 1 ist. Wenn beispielsweise die Sterblich-
keit in einem Jahre !/,„ beträgt und 10000 Menschen beobachtet
werden, dann ist Ynpq = 30, aber Yap = V1000 = 31,6; einerlei,
ob man mit der einen oder der andern dieser Zahlen als Maßstab
für die Größe der Abweichungen rechnet, stets wird man finden,
