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PONTIFICIAE ACADEMIAE SCIENTIARVM SCRIPTA VARIA - 28 
La différence æ, - æ,_, est bornée inférieurement par un nombre 
positif tant que w,<xx. Ainsi, æ, croît et finit certainement par 
atteindre xx. 
Le programme Æ* est aussi optimal. Soit en effet un autre 
programme possible #*+à Æ. Nécessairement, & N<o pour 
tout # et à K,£<o pour tout #<t,. Or B,>0 pour tout t; x,>o 
pour tout £<Z, et a,=o0 pour tout £=¢,. L’inégalité (72) im- 
plique donc Py & Ur =< - 17 3 S;. 
Admettons maintenant que le programme /#* +8 # donne 
à l’utilité au moins la même valeur que Æ* à partir d’un cer- 
tain instant T que nous pouvons supposer postérieur à Zo 
Pour que à Us, soit positif, il faudrait que & Sy soit négatif. Mais 
nous allons montrer que ceci n’est pas possible, ce qui établira 
l’optimalité de Æ*. 
En effet, en vertu de la concavité de la fonction de produc- 
tion, nous pouvons écrire, pour tout t=T: 
8S, = [T+ ¢"(xx)] 8 K, + [p(xx) - *x 9'(xx)] à N, . 
Par ailleurs, pour tout #>T. 
àC,=> vôàN,. 
Or à N, est nécessairement négatif, et à K,=à S, - à C,. Par 
suite de la définition de xx et du fait que xx<xr, nous pouvons 
écrire: 
5S, =18S,- A3C,+Av8N, =13S,. 
5] Malinvauu - pag. 62