Anhang zum II. Kapitel. 
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steht, und daß wir einen Durchschnitt der beiden Höhen zu suchen haben, 
die jedem Baume die gleiche Bedeutung gibt. Die Gruppe der zwanzig 
niedrigen Bäume erhält hierbei die doppelte Bedeutung gegenüber der aus 
den zehn hohen Bäumen bestehenden Gruppe. Wir geben jedem Baume 
die gleiche Bedeutung, wenn wir das einfache arithmetische Mittel der 
dreißig Bäume nehmen. Dieses einfache Mittel von dreißig Bäumen ist dann 
der gewogene Durchschnitt der beiden Baumgruppen. Er wird gefunden, 
wenn die sämtlichen Höhen addiert (zwanzig Höhen von zwei Metern und 
zehn Höhen von acht Metern) und durch die Zahl der Bäume (20 + 10) 
20 x 2 4-10 x 8 
dividiert werden. Das heißt, die mittlere Höhe beträgt 20 + 10 = ^ 
(als Durchschnitt der beiden Gruppen betrachtet, anstatt desjenigen der 
dreißig Bäume), und dies ist das gewogene arithmetische Mittel von 2 und 8; 
darin ist die 2 zwanzigmal und die 8 zehnmal gewogen. Das gewogene Mittel 
der beiden Gruppen bedeutet das einfache Mittel der dreißig Bäume. Mit 
anderen Worten: wenn wir die verschiedenen Glieder, deren Durchschnitt 
ermittelt werden soll, „wiegen“, so wird jedes dieser Glieder nicht mehr 
einmal gezählt, sondern so, als ob das eine (sagen wir) zwanzig und das andere 
(sagen wir) zehn bedeuten würde, wobei die Zahl, die angibt, wie oft ein 
Glied gezählt wird, dessen „Gewicht“ bildet. Auf dieselbe Weise können 
wir den gewogenen geometrischen und den gewogenen harmonischen Durch 
schnitt bestimmen. Wenn wir das nämliche Beispiel der Bäume anwen- 
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den, so finden wir die Ergebnisse S j/2 20 • 8 10 bzw. 3.175 und ^0(-)■) -(-10 (rj 
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oder 2f. 
Das gleiche Ergebnis würden wir erhalten haben, wenn wir (statt 20 
und 10) 2 und 1 als Gewichte genommen hätten. 
Da es so viele verschiedene Arten von Durchschnitten gibt, müssen 
wir uns die Frage vorlegen: Welche Bedeutung hat ein Durchschnitt oder 
Mittelwert im allgemeinen? Die Antwort lautet: Jeder Durchschnitt einer 
Anzahl von Gliedern muß durch eine mathematische Regel erlangt werden, 
und zwar so, daß deren Durchschnitt auf eine Reihe gleichbedeutender Glieder 
ungewandt, mit jedem einzelnen dieser Glieder gleichbedeutend ist. Eine 
jede Regel ist zur Berechnung von Durchschnitten zulässig, die diese Be 
dingungen erfüllt (nämlich die Bedingung, daß der Durchschnitt gleich 
bedeutender Glieder mit jedem einzelnen Gliede gleichbedeutend sein muß). 
Bekanntlich ist das einfache arithmetische Mittel A, von a, b und c, 
A = Daß diese Formel der geforderten Probe entspricht, liegt